AIPMT 2004 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે: $|\vec A \times \vec B| = \sqrt 3 (\vec A \cdot \vec B)$
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા: $AB \sin \theta = \sqrt 3 AB \cos \theta$
બંને બાજુ $AB \cos \theta$ વડે ભાગતા: $\tan \theta = \sqrt 3$
તેથી,$\theta = 60^\circ$
પરિણામી સદિશ $|\vec A + \vec B|$ નું મૂલ્ય: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$
$\theta = 60^\circ$ મૂકતા: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos 60^\circ}$
કારણ કે $\cos 60^\circ = 1/2$ છે: $|\vec A + \vec B| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB(1/2)}$
તેથી,$|\vec A + \vec B| = (A^2 + B^2 + AB)^{1/2}$

(B) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$d$ અંતરે રહેલા બે દળ $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2}$ છે.
સૂત્રને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ માટે ગોઠવતા,$G = \frac{F d^2}{m_1 m_2}$ મળે છે.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}]$ છે,અંતર $d$ માટે $[L]$ છે,અને દળ $m$ માટે $[M]$ છે.
આ કિંમતો $G$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M][M]} = \frac{[ML^3T^{-2}]}{[M^2]} = [M^{-1}L^3T^{-2}]$.

(D) ધારો કે સૌથી નીચલું બિંદુ $A$ છે અને સમક્ષિતિજ સ્થિતિ $B$ છે। $A$ પર, વેગ $\vec{u} = u \hat{i}$ છે。
$A$ અને $B$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgL$
$v^2 = u^2 - 2gL$
$v = \sqrt{u^2 - 2gL}$.
સ્થિતિ $B$ પર, વેગ શિરોલંબ ઉપરની તરફ છે, તેથી $\vec{v} = v \hat{j} = \sqrt{u^2 - 2gL} \hat{j}$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u} = v \hat{j} - u \hat{i}$ છે。
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + u^2} = \sqrt{(u^2 - 2gL) + u^2} = \sqrt{2u^2 - 2gL} = \sqrt{2(u^2 - gL)}$ છે.

(D) બ્લોકને વેજની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,ઢળતી સપાટી પર બ્લોક પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$1$. વેજના ફ્રેમમાં બ્લોક પર લાગતા બળોના ઘટકો પાડો:
- નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$.
- વેજના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ રીતે લાગતું સ્યુડો બળ $ma$.
- વેજ દ્વારા ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$.
$2$. બ્લોક સરકે નહીં તે માટે,ઢળતી સપાટી પર નીચેની તરફ લાગતું $mg$ નું ઘટક,ઉપરની તરફ લાગતા સ્યુડો બળ $ma$ ના ઘટક દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$mg \sin \theta = ma \cos \theta$
$a = g \tan \theta$
$3$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ એ ઢળતી સપાટીને લંબ રૂપે લાગતા $mg$ અને $ma$ ના ઘટકોને સંતુલિત કરે છે:
$R = mg \cos \theta + ma \sin \theta$
$a = g \tan \theta = g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ કિંમત મૂકતા:
$R = mg \cos \theta + m(g \frac{\sin \theta}{\cos \theta}) \sin \theta$
$R = mg \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos \theta}$
$R = \frac{mg}{\cos \theta}$

(D) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ $T$ એ બ્લોક $B$ ના વજન અને બ્લોક $A$ પર લાગતા સીમાંત ઘર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બ્લોક $B$ માટે: $T = m_B g$
બ્લોક $A$ માટે: $T = f_s = \mu_s N = \mu_s m_A g$
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m_B g = \mu_s m_A g$
$m_B = \mu_s m_A$
અહીં $\mu_s = 0.2$ અને $m_A = 2\, kg$ આપેલ છે:
$m_B = 0.2 \times 2 = 0.4\, kg$
તેથી,બ્લોક $B$ નું મહત્તમ દળ $0.4\, kg$ છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સંકોચનના બિંદુએ પદાર્થની ગતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે $m = 0.5\,kg$ એ દળ છે,$v = 1.5\,m/s$ એ વેગ છે,અને $k = 50\,N/m$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
પદાર્થની ગતિ ઉર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
મહત્તમ સંકોચન $x$ પર સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $P.E. = \frac{1}{2}kx^2$ છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x^2 = \frac{mv^2}{k}$
$x = \sqrt{\frac{mv^2}{k}} = v\sqrt{\frac{m}{k}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x = 1.5 \times \sqrt{\frac{0.5}{50}}$
$x = 1.5 \times \sqrt{0.01}$
$x = 1.5 \times 0.1 = 0.15\,m$.
આમ,મહત્તમ સંકોચન $0.15\,m$ છે.

(A) $P$ વેગમાન અને $m$ દળ ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{P^2}{2m}$ છે.
બંને કણોનું વેગમાન સમાન હોવાથી $(P_1 = P_2 = P)$,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $E \propto \frac{1}{m}$.
અહીં આપેલ છે કે $m_1 > m_2$,તેથી પ્રથમ કણની ગતિઊર્જા બીજા કણની ગતિઊર્જા કરતા ઓછી હશે.
આમ,$E_1 < E_2$.

(C) કોઈપણ પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંને દડાઓને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને તેઓ સમાન ઊંચાઈ $(h = 30\,ft)$ કાપે છે,તેથી ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ (જ્યાં $u = 0$) મુજબ તેમનો અંતિમ વેગ $(v)$ સમાન હશે.
અહીં $v$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ દળના સમપ્રમાણમાં છે $(KE \propto m)$.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{KE_1}{KE_2} = \frac{m_1}{m_2}$ થશે.
અહીં $m_1 = 2\,kg$ અને $m_2 = 4\,kg$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{4}{3}\pi \rho GR$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે $g_p = g_e$ અને $\rho_p = 2\rho_e$,તેથી:
$\frac{g_p}{g_e} = \frac{\rho_p R_p}{\rho_e R_e} = 1$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1 = \frac{2\rho_e R_p}{\rho_e R_e}$
$1 = 2 \frac{R_p}{R_e}$
$R_p = \frac{R_e}{2} = \frac{R}{2}$
આમ,ગ્રહની ત્રિજ્યા $\frac{R}{2}$ છે.

(A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{\text{દળ } (m)}{\text{મોલર દળ } (M)}$.
ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 32 \, g/mol$ છે.
આપેલ દળ $m = 5 \, g$ છે.
તેથી,$\mu = \frac{5}{32} \, mol$.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $PV = \frac{5}{32}RT$ મળે છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$n$ મોલ આદર્શ વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$
આપેલ છે:
$n = 1 \text{ મોલ}$
$T_i = T \ K$
$W = 6R \ J$
$\gamma = 5/3$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$6R = \frac{1 \cdot R(T - T_f)}{(5/3 - 1)}$
$6R = \frac{R(T - T_f)}{2/3}$
$6R = \frac{3R(T - T_f)}{2}$
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા અને $T_f$ માટે ઉકેલતા:
$6 = 1.5(T - T_f)$
$T - T_f = 6 / 1.5 = 4$
$T_f = T - 4$
તેથી,વાયુનું અંતિમ તાપમાન $(T - 4) \ K$ હશે.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માં,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) = -\omega^2 y$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન $(y = 0)$ પર,વેગ $v$ મહત્તમ $(v_{max} = A\omega)$ હોય છે અને પ્રવેગ $a$ શૂન્ય $(a = -\omega^2(0) = 0)$ હોય છે.
અંતિમ સ્થાનો $(y = \pm A)$ પર,વેગ $v$ શૂન્ય હોય છે અને પ્રવેગ $a$ મહત્તમ $(a_{max} = \pm \omega^2 A)$ હોય છે.
તેથી,જ્યારે $v$ મહત્તમ હોય,ત્યારે $a$ શૂન્ય હોય છે.

(D) સ્પ્રિંગના શ્રેણી જોડાણમાં,અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_S$ નો વ્યસ્ત એ વ્યક્તિગત સ્પ્રિંગ અચળાંકોના વ્યસ્તના સરવાળા બરાબર હોય છે.
$\frac{1}{k_S} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$
જમણી બાજુએ સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{1}{k_S} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$
$k_S$ માટે ઉકેલવા માટે બંને બાજુ વ્યસ્ત કરતા:
$k_S = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$y_1 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + 0.5]$
$y_2 = 10^{-6} \cos [100t + (x/50)]$
કળાની સરખામણી કરવા માટે,કોસાઇન વિધેયને સાઇન વિધેયમાં રૂપાંતરિત કરો,$\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ નો ઉપયોગ કરીને:
$y_2 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + \pi/2]$
અહીં $\pi/2 \approx 1.57$ હોવાથી:
$y_2 = 10^{-6} \sin [100t + (x/50) + 1.57]$
પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = 100t + (x/50) + 0.5$ છે.
બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = 100t + (x/50) + 1.57$ છે.
કળા તફાવત $\Delta\phi$ નીચે મુજબ મળે:
$\Delta\phi = |\phi_2 - \phi_1|$
$\Delta\phi = |(100t + x/50 + 1.57) - (100t + x/50 + 0.5)|$
$\Delta\phi = 1.57 - 0.5 = 1.07 \, rad$.

(C) ડ્રાઈવર દ્વારા સાંભળવામાં આવતા પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ ગતિશીલ ઉદગમ અને ગતિશીલ અવલોકનકાર માટે ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f' = f \left( \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}} \right)$
આપેલ છે કે પરાવર્તિત આવૃત્તિ $f' = 2f$,તેથી આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2f = f \left( \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}} \right)$
$2 = \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}}$
$2(v - v_{car}) = v + v_{car}$
$2v - 2v_{car} = v + v_{car}$
$v = 3v_{car}$
$v_{car} = v/3$
તેથી,કારનો વેગ $v/3$ છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ (Wien's displacement law) મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થની મહત્તમ વર્ણપટ ઉત્સર્જન શક્તિને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_{m}$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમનું ગાણિતિક સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda_{m} = \frac{b}{T}$
જ્યાં '$b$' એ વીનનો અચળાંક છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે:
$\lambda_{m} \propto T^{-1}$

(C) રેખા $AX$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા એ દરેક કણની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$I = I_A + I_B + I_C$
કણ $A$ એ અક્ષ $AX$ પર આવેલો હોવાથી,તેનું લંબ અંતર $r_A = 0$ છે. તેથી,$I_A = m(0)^2 = 0$.
કણ $B$ એ $AB$ રેખા પર $A$ થી $l$ અંતરે છે. $AX$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$AX$ થી $B$ નું લંબ અંતર $r_B = l$ છે. તેથી,$I_B = m(l)^2 = m l^2$.
કણ $C$ એ $A$ અને $B$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. અક્ષ $AX$ થી $C$ નું લંબ અંતર એ $AC$ બાજુનો $AX$ ને લંબ રેખા (જે $AB$ ને સમાંતર છે) પરનો પ્રક્ષેપ છે. આ અંતર $r_C = l \cos(60^{\circ}) = l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$ છે.
તેથી,$I_C = m(r_C)^2 = m(\frac{l}{2})^2 = \frac{m l^2}{4}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0 + m l^2 + \frac{m l^2}{4} = \frac{5}{4} m l^2$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disk}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય છે.
$I = MK^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_{\text{disk}} = \sqrt{\frac{5}{4}}R = \frac{\sqrt{5}}{2}R$ મળે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{ring}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય છે.
$I = MK^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}R$ મળે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{disk}}}{K_{\text{ring}}} = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$ થાય.

(C) આપેલ છે: જડત્વની આઘૂર્ણ $I = 2 \; kg \cdot m^2$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 60 \; rpm = \frac{60 \times 2\pi}{60} \; rad/s = 2\pi \; rad/s$,અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \; rad/s$,સમય $t = 1 \; minute = 60 \; s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 2\pi}{60} = -\frac{\pi}{30} \; rad/s^2$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = |I \alpha| = 2 \times \left| -\frac{\pi}{30} \right| = \frac{2\pi}{30} = \frac{\pi}{15} \; N \cdot m$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કારણ કે બે ડિસ્કના તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી,તેથી કુલ કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.
તંત્રનું પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન: $L_{i} = I_{1}\omega + I_{2}(0) = I_{1}\omega$.
ડિસ્કને જોડ્યા પછી તંત્રનું અંતિમ કોણીય વેગમાન: $L_{f} = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$,જ્યાં $\omega_{f}$ એ અંતિમ કોણીય વેગ છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ કોણીય વેગમાનને સરખાવતા: $I_{1}\omega = (I_{1} + I_{2})\omega_{f}$.
અંતિમ કોણીય વેગ માટે ઉકેલતા: $\omega_{f} = \frac{I_{1}\omega}{I_{1} + I_{2}}$.

(D) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. શરૂઆતમાં,કણોના સ્થાન $-x_1$ અને $x_2$ છે,જેથી $m_1(-x_1) + m_2(x_2) = 0$,જેનો અર્થ થાય છે $m_1 x_1 = m_2 x_2$ (સમીકરણ $1$).
જ્યારે પ્રથમ કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું સ્થાન $-(x_1 - d)$ થાય છે. ધારો કે બીજા કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d'$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,તેથી તેનું નવું સ્થાન $(x_2 - d')$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને ઉગમબિંદુ પર રાખવા માટે,નવી શરત છે:
$m_1(-(x_1 - d)) + m_2(x_2 - d') = 0$
$-m_1 x_1 + m_1 d + m_2 x_2 - m_2 d' = 0$
સમીકરણ $1$ મુજબ $m_1 x_1 = m_2 x_2$ હોવાથી,$m_1 x_1$ અને $m_2 x_2$ પદો રદ થાય છે:
$m_1 d - m_2 d' = 0$
$m_2 d' = m_1 d$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2\,g = 2 \times 10^{-3}\,kg$, વિદ્યુતભાર $q = 2\,\mu C = 2 \times 10^{-6}\,C$, અંતિમ વેગ $v = 10\,m/s$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0\,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$qV = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$
અહીં $u = 0$ હોવાથી:
$qV = \frac{1}{2}mv^2$
$V = \frac{mv^2}{2q}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(2 \times 10^{-3}\,kg) \times (10\,m/s)^2}{2 \times (2 \times 10^{-6}\,C)}$
$V = \frac{2 \times 10^{-3} \times 100}{4 \times 10^{-6}}$
$V = \frac{2 \times 10^{-1}}{4 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^5\,V = 50,000\,V = 50\,kV$.
તેથી, જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $50\,kV$ છે।

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,ડાયપોલ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F} = q\vec{E} + (-q)\vec{E} = 0$ થાય છે.
જ્યારે ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં હોય,ત્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થાય છે.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલની સ્થિતિઊર્જા $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 0^\circ$ મૂકતા,આપણને $U = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ મળે છે.
કારણ કે $-pE$ એ સ્થિતિઊર્જા માટેનું સૌથી ઓછું શક્ય મૂલ્ય છે,તેથી તે ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જા છે.
આમ,બળ શૂન્ય છે અને સ્થિતિઊર્જા ન્યૂનતમ છે.

(B) સમાનતાને ધ્યાનમાં રાખીને સર્કિટને સરળ બનાવી શકાય છે. વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચનાને કારણે બિંદુઓ $C$ અને $D$ સમાન સ્થિતિમાન પર છે.
આમ,$C$ અને $D$ વચ્ચેના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી અને તેને દૂર કરી શકાય છે.
આ સર્કિટ અસરકારક રીતે $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓ બની જાય છે.
એક શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધો $R_{FC}$ અને $R_{CE}$ છે,જેનો કુલ અવરોધ $R + R = 2R$ છે.
બીજી શાખામાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધો $R_{FD}$ અને $R_{DE}$ છે,જેનો કુલ અવરોધ $R + R = 2R$ છે.
સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{eq}}$ એ $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} = \frac{1}{R}$ છે,તેથી $R_{\text{eq}} = R$.
બેટરીમાંથી કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{\text{eq}}} = \frac{V}{R}$ છે.
બે સમાંતર શાખાઓનો અવરોધ સમાન $2R$ હોવાથી,પ્રવાહ સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,$AFCEB$ શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2} = \frac{V}{2R}$ થશે.

(D) બેટરીની વોટ-અવર કાર્યક્ષમતા એ ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલી કુલ ઉર્જા અને ચાર્જિંગ દરમિયાન વપરાયેલી કુલ ઉર્જાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચાર્જિંગ દરમિયાન વપરાતી ઉર્જા $(E_{in})$ = $V_{charge} \times I_{charge} \times t_{charge} = 15\, V \times 10\, A \times 8\, h = 1200\, Wh$.
ડિસ્ચાર્જિંગ દરમિયાન પૂરી પાડવામાં આવતી ઉર્જા $(E_{out})$ = $V_{discharge} \times I_{discharge} \times t_{discharge} = 14\, V \times 5\, A \times 15\, h = 1050\, Wh$.
વોટ-અવર કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ = $\frac{E_{out}}{E_{in}} \times 100\%$.
$\eta = \frac{1050}{1200} \times 100\% = 0.875 \times 100\% = 87.5\%$.

(A) ગેલ્વેનોમીટરનો પોતાનો અવરોધ ઓછો હોય છે,પરંતુ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ ખૂબ જ ઊંચો હોવો જોઈએ જેથી તે જે સર્કિટનું માપન કરે છે તેમાંથી ન્યૂનતમ પ્રવાહ ખેંચે.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે તેના અસરકારક અવરોધમાં વધારો કરવો પડે છે. આ ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલ સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ જોડીને પ્રાપ્ત થાય છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,ગેલ્વેનોમીટર અને શ્રેણી અવરોધનું સંયોજન વોલ્ટમીટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
નોંધ: આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોવો જોઈએ.

(A) સમાન તારમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો તેની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે,કારણ કે $V = IR$ અને $R = \rho \frac{l}{A}$.
અહીં વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ અચળ હોવાથી,$V \propto l$ થાય.
આપેલ છે: કુલ લંબાઈ $L = 3\,m = 300\,cm$,કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{total} = 6\,V$,અને લંબાઈનો ભાગ $l = 50\,cm$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{V_{segment}}{V_{total}} = \frac{l}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{segment}}{6} = \frac{50}{300}$.
$\frac{V_{segment}}{6} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$V_{segment} = 1\,V$.

(D) ફુલ-સ્કેલ આવર્તન પ્રવાહ $I_g$ એ કાપાની સંખ્યા અને પ્રતિ કાપા પ્રવાહના ગુણાકાર દ્વારા મેળવવામાં આવે છે: $I_g = 25 \times 4 \times 10^{-4} \, A = 100 \times 10^{-4} \, A = 0.01 \, A$.
ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તેની સાથે શ્રેણીમાં ઉચ્ચ અવરોધ $R$ જોડવો આવશ્યક છે।
શ્રેણી અવરોધ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{V}{I_g} - G$ છે, જ્યાં $V = 25 \, V$, $I_g = 0.01 \, A$, અને $G = 50 \, \Omega$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{25}{0.01} - 50 = 2500 - 50 = 2450 \, \Omega$.
તેથી, $2450 \, \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં જોડવો જોઈએ.

(C) દરેક બલ્બનો અવરોધ $R = V^2 / P = (200)^2 / 60 = 40000 / 60 = 2000 / 3 \; \Omega$ છે.
ત્રણ બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કુલ અવરોધ $R_{eq} = 3R = 3 \times (2000 / 3) = 2000 \; \Omega$ થાય.
શ્રેણી જોડાણ દ્વારા વપરાતો કુલ પાવર $P_{total} = V_{supply}^2 / R_{eq} = (200)^2 / 2000 = 40000 / 2000 = 20 \; W$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,$n$ સમાન બલ્બ શ્રેણીમાં હોય ત્યારે કુલ પાવર $P' = P / n = 60 / 3 = 20 \; W$ થાય.

(D) $RL$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને અવરોધ $R$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્ર: $\tau = \frac{L}{R}$
આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 40 \, H$
અવરોધ $R = 8 \, \Omega$
કિંમતો મૂકતા:
$\tau = \frac{40}{8} = 5 \, s$
તેથી,સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $5 \, s$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $K_{\max}$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\phi_0 = h\nu_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$y = K_{\max}$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -\phi_0$ (y-અંતઃખંડ).
જેহেতু ઢાળ $h$ ધન છે અને અંતઃખંડ $-\phi_0$ ઋણ છે,તેથી આલેખ એક સુરેખ રેખા છે જે x-અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ થી શરૂ થાય છે અને તેનો ઢાળ ધન છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં રેખા x-અક્ષને $\nu_0$ પર છેદે છે અને $\nu > \nu_0$ માટે રેખીય રીતે વધે છે.

(D) $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \; eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 3$ માટે,$E_3 = \frac{-13.6}{3^2} = \frac{-13.6}{9} \approx -1.51 \; eV$.
$n = 2$ માટે,$E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \; eV$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા એ બે અવસ્થાઓ વચ્ચેના ઊર્જાના તફાવત જેટલી હોય છે:
$\Delta E = E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = -1.51 + 3.4 = 1.89 \; eV$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,ઊર્જા આશરે $1.9 \; eV$ મળે છે.

(A) બોહરની પૂર્વધારણા મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ફક્ત તે જ કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરી શકે છે જેમાં તેનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}$ નો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોય,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ કક્ષાઓમાં,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $\frac{h}{2 \pi}, \frac{2h}{2 \pi}, \frac{3h}{2 \pi}, \dots$ વગેરે જેવું મૂલ્ય ધરાવી શકે છે,પરંતુ ક્યારેય $\frac{1.5h}{2 \pi}, \frac{2.5h}{2 \pi}, \dots$ વગેરે જેવું મૂલ્ય ધરાવી શકતું નથી.
આ સ્થિતિને કોણીય વેગમાનનું ક્વોન્ટાઇઝેશન કહેવામાં આવે છે,જે બોહર મોડેલની મૂળભૂત પૂર્વધારણા છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $B$ એ દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ના ઉર્જા સમતુલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (Z M_p + N M_n) - M(N, Z)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા સંબંધ મુજબ,$B = \Delta m c^2$.
$\Delta m$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $B = [Z M_p + N M_n - M(N, Z)] c^2$ મળે છે.
$M(N, Z)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$B / c^2 = Z M_p + N M_n - M(N, Z)$
$M(N, Z) = Z M_p + N M_n - B / c^2$.

(C) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયામાં, પરિણામી ન્યુક્લિયસનું દળ હંમેશા શરૂઆતના ન્યુક્લિયસના દળના સરવાળા કરતા ઓછું હોય છે.
દળમાં આ તફાવતને દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જે આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત $E = \Delta m c^2$ મુજબ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી, સંબંધ ${m_3} < ({m_1} + {m_2})$ છે।
અહીં, ${m_3}$ એ પરિણામી ન્યુક્લિયસનું દળ છે, અને ${m_1}$ અને ${m_2}$ એ શરૂઆતના ફ્યુઝ થતા ન્યુક્લિયસના દળ છે।

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનું સૂત્ર $M = M_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}$ છે.
અહીં, પ્રારંભિક દળ $M_0 = 100 \, g$, બાકી રહેલું દળ $M = 25 \, g$, અને અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 1600 \, years$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$25 = 100 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
$\frac{25}{100} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
$\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
કારણ કે $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$, તેથી:
$\left( \frac{1}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{1600}}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$2 = \frac{t}{1600}$
$t = 2 \times 1600 = 3200 \, years$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઓરડાના તાપમાને,સેમિકન્ડક્ટરમાં વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કેટલાક ઇલેક્ટ્રોનને કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત કરવા માટે ઉષ્મીય ઉર્જા પૂરતી હોય છે.
પરિણામે,વેલેન્સ બેન્ડ આંશિક રીતે ખાલી થાય છે (હોલ્સ બનાવે છે) અને કન્ડક્શન બેન્ડ આ ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોનથી આંશિક રીતે ભરાય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે વેલેન્સ બેન્ડ આંશિક રીતે ખાલી છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ આંશિક રીતે ભરાયેલું છે.

(C) $PN$ જંકશન ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં ત્યારે હોય છે જ્યારે $N$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $P$-બાજુના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય $(V_N > V_P)$.
દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(A)$ $V_P = -12 \ V$,$V_N = -5 \ V$. અહીં $V_N > V_P$ $(-5 > -12)$,તેથી તે રિવર્સ બાયસમાં છે.
$(B)$ $V_P = 0 \ V$,$V_N = -10 \ V$. અહીં $V_P > V_N$ $(0 > -10)$,તેથી તે ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
$(C)$ $V_P = 0 \ V$,$V_N = +5 \ V$. અહીં $V_N > V_P$ $(5 > 0)$,તેથી તે રિવર્સ બાયસમાં છે.
$(D)$ $V_P = +5 \ V$,$V_N = +10 \ V$. અહીં $V_N > V_P$ $(10 > 5)$,તેથી તે રિવર્સ બાયસમાં છે.
નોંધ: આ પ્રકારના પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકના પ્રશ્નોમાં,આપેલ આકૃતિઓના આધારે એક કરતા વધુ વિકલ્પો રિવર્સ બાયસમાં હોઈ શકે છે. આપેલ આકૃતિઓ મુજબ,વિકલ્પો $(A)$,$(C)$ અને $(D)$ ત્રણેય રિવર્સ બાયસની શરત સંતોષે છે.

(C) જ્યારે સેમિકન્ડક્ટરના બેન્ડગેપ કરતા વધુ ઉર્જા ધરાવતો મોનોક્રોમેટિક પ્રકાશ $PN$ જંકશન પર પડે છે,ત્યારે તે ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી બનાવે છે.
ઉત્પન્ન થયેલી ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓની સંખ્યા આપાત ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ફોટો-ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (ફોટો-$EMF$) જંકશનના ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ દ્વારા આ ચાર્જ કેરિયર્સના અલગ થવાને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે,તેથી ફોટો-$EMF$ નું મૂલ્ય આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(B) $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ બુલિયન સમીકરણ $Y = A + B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$OR$ ગેટના તર્ક મુજબ,જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ ($A$ અથવા $B$) $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
તેથી,જો કોઈ એક ઇનપુટ $1$ હોય અથવા બંને ઇનપુટ $1$ હોય,તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.

(B) હાફ-વેવ રેક્ટિફાયર માટે,આઉટપુટ વોલ્ટેજ $0 \le t \le T/2$ માટે $V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ અને $T/2 < t < T$ માટે $V(t) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઉટપુટ વોલ્ટેજનો $dc$ ઘટક (સરેરાશ મૂલ્ય) નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$V_{dc} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} V(t) dt = \frac{1}{T} \int_{0}^{T/2} V_0 \sin(\omega t) dt$
કારણ કે $\omega = 2\pi/T$,તેથી:
$V_{dc} = \frac{V_0}{T} \left[ -\frac{\cos(\omega t)}{\omega} \right]_{0}^{T/2} = \frac{V_0}{T} \left( -\frac{1}{\omega} (\cos(\pi) - \cos(0)) \right) = \frac{V_0}{T} \left( \frac{2}{\omega} \right) = \frac{V_0}{T} \left( \frac{2}{2\pi/T} \right) = \frac{V_0}{\pi}$.
અહીં પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 10 \ V$ આપેલ છે,તેથી $dc$ ઘટક $V_{dc} = 10/\pi \ V$ થશે.

(B) જ્યારે વિવિધ રંગો (તરંગલંબાઇ) ધરાવતો પ્રકાશનો પુંજ લંબચોરસ કાચના સ્લેબમાં પ્રવેશે છે, ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે.
સ્નેલના નિયમ મુજબ, $n_1 \sin i = n_2 \sin r$. કાચનો વક્રીભવનાંક અલગ-અલગ તરંગલંબાઇ માટે અલગ-અલગ હોવાથી (કોશીના સમીકરણ મુજબ), લાલ અને લીલા પ્રકાશ માટે વક્રીભવન કોણ $r$ અલગ-અલગ હશે.
વક્રીભવન કોણ અલગ હોવાથી, કિરણો કાચના સ્લેબની અંદર અલગ-અલગ માર્ગે ગતિ કરે છે.
જ્યારે તેઓ સામેની સમાંતર સપાટી પર પહોંચે છે, ત્યારે તેઓ બે અલગ-અલગ બિંદુઓમાંથી બહાર આવે છે.
જો કે, સ્લેબની બંને સપાટીઓ સમાંતર હોવાથી, બહાર આવતા કિરણો આપાત કિરણને સમાંતર હશે અને પરિણામે, એકબીજાને પણ સમાંતર હશે.

(C) ટેલિસ્કોપની કોણીય વિભેદન શક્તિ $\theta = \frac{1.22\lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $D$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનો વ્યાસ, $D = 10\; m$
પદાર્થોનું અંતર, $d = 1\; km = 1000\; m$
પ્રકાશની તરંગલંબાઇ, $\lambda = 5000\; \text{\AA} = 5000 \times 10^{-10}\; m = 5 \times 10^{-7}\; m$
ધારો કે $x$ એ બે પદાર્થો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. તો, કોણીય વિભાજન $\theta = \frac{x}{d}$ થાય.
$\theta$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{x}{d} = \frac{1.22\lambda}{D}$
$x = \frac{1.22 \times \lambda \times d}{D}$
$x = \frac{1.22 \times (5 \times 10^{-7}\; m) \times (1000\; m)}{10\; m}$
$x = 1.22 \times 5 \times 10^{-4}\; m = 6.1 \times 10^{-4}\; m = 0.61\; mm$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા, તે $5\; mm$ ના ક્રમનું છે.

(D) જ્યારે $n$ અવરોધો,દરેક $r$ અવરોધ ધરાવતા,સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{r}{n}$
આના પરથી,આપણે $r$ ને $R$ અને $n$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ:
$r = nR$
જ્યારે આ $n$ અવરોધોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{\text{series}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R_{\text{series}} = n \times r$
પ્રથમ સમીકરણમાંથી $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$R_{\text{series}} = n \times (nR) = n^2R$
તેથી,શ્રેણીમાં સમતુલ્ય અવરોધ $n^2R \ \Omega$ થશે.

(B) પ્રકાશનું કિરણ તેના માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે સિલ્વર કરેલી સપાટી પર લંબરૂપે (સપાટી સાથે $90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું જોઈએ.
ધારો કે પ્રથમ સપાટી પરનો આપાતકોણ $i$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે. પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 30^{\circ}$ છે.
કિરણ બીજી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થતું હોવાથી,બીજી સપાટી પરનો વક્રીભવનકોણ $r_2 = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમના સૂત્ર $A = r_1 + r_2$ પરથી,આપણને મળે છે $30^{\circ} = r_1 + 0^{\circ}$,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$
$\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$i = 45^{\circ}$.

(D) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1}{Q_2}}}{{{r^2}}}$
પરમિટિવિટી ${\varepsilon _0}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
${\varepsilon _0} = \frac{{{Q_1}{Q_2}}}{{4\pi F{r^2}}}$
દરેક ભૌતિક રાશિ માટે $SI$ એકમો મૂકતા:
$Q$ (વિદ્યુતભાર) નો એકમ $Coulomb$ $(C)$ છે.
$F$ (બળ) નો એકમ $Newton$ $(N)$ છે.
$r$ (અંતર) નો એકમ $metre$ $(m)$ છે.
તેથી,${\varepsilon _0}$ નો એકમ:
$\frac{C \cdot C}{N \cdot m^2} = C^2 / (N \cdot m^2)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) બલ્બનો પાવર રેટિંગ $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ પાવર,$V$ એ વોલ્ટેજ અને $R$ એ અવરોધ છે.
ભારતમાં વપરાતા બલ્બ માટે: $P = \frac{V_{India}^2}{R} = \frac{220^2}{R} = 60\,W$.
$USA$ માં વપરાતા બલ્બ માટે: $P = \frac{V_{USA}^2}{R'} = \frac{110^2}{R'} = 60\,W$.
બંને કિસ્સામાં પાવર $P$ સમાન $(60\,W)$ હોવાથી,આપણે સમીકરણોને સરખાવી શકીએ:
$\frac{220^2}{R} = \frac{110^2}{R'}$
$R' = R \times \left(\frac{110}{220}\right)^2$
$R' = R \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{R}{4}$.

(C) પરમાણુના ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની સંખ્યા તેના પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ જેટલી હોય છે.
પરમાણુનો દળ ક્રમાંક $(A)$ એ ન્યુક્લિયસમાં રહેલા પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનની સંખ્યાના સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી, ન્યુટ્રોનની સંખ્યા એ દળ ક્રમાંક $(A)$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $(Z)$ વચ્ચેના તફાવત જેટલી હોય છે.
$A = \text{પ્રોટોન} + \text{ન્યુટ્રોન}$
$Z = \text{પ્રોટોન}$
પ્રોટોન માટે $Z$ મૂકતા:
$A = Z + \text{ન્યુટ્રોન}$
$\text{ન્યુટ્રોન} = A - Z$
આમ, ન્યુક્લિયસમાં $Z$ પ્રોટોન અને $A - Z$ ન્યુટ્રોન હોય છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e$ નું મૂલ્ય $e = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ છે.
પરિપથનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R} = \frac{\Delta \phi}{R \Delta t}$ થાય.
$\Delta t$ સમયમાં પરિપથમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = i \Delta t$ છે.
$i$ ની કિંમત મૂકતા,$Q = \left( \frac{\Delta \phi}{R \Delta t} \right) \Delta t = \frac{\Delta \phi}{R}$ મળે છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા (વિશિષ્ટ અવરોધ) છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ બમણી $(L' = 2L)$ અને ત્રિજ્યા બમણી $(r' = 2r)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ થાય છે:
$R' = \rho \frac{L'}{\pi (r')^2} = \rho \frac{2L}{\pi (2r)^2} = \rho \frac{2L}{4 \pi r^2} = \frac{1}{2} \left( \rho \frac{L}{\pi r^2} \right) = \frac{R}{2}$.
અવરોધકતા $(\rho)$ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને તે તારના પરિમાણો પર આધારિત નથી,તેથી તે બદલાતી નથી.
તેથી,અવરોધ અડધો થાય છે અને વિશિષ્ટ અવરોધ બદલાતો નથી.