AIPMT 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) स्टीफन का नियम $E = \sigma T^4$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E$ प्रति इकाई क्षेत्रफल उत्सर्जित शक्ति है।
$\sigma$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sigma = \frac{E}{T^4}$ प्राप्त होता है।
$E$ (प्रति इकाई क्षेत्रफल शक्ति) का मात्रक $\frac{\text{Watt}}{\text{m}^2} = W\,m^{-2}$ है।
तापमान $T$ का मात्रक केल्विन $(K)$ है।
अतः,$\sigma$ का मात्रक $\frac{W\,m^{-2}}{K^4} = W\,m^{-2}\,K^{-4}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) दोनों कणों के लिए,ऊर्ध्वाधर गति गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि दोनों कणों को समान ऊंचाई $h$ से छोड़ा गया है और दोनों ही स्थितियों में प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग का घटक $u_y = 0$ है,इसलिए जमीन तक पहुंचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ होगा।
चूंकि दोनों के लिए $h$ और $g$ समान हैं,इसलिए दोनों कणों के लिए लिया गया समय $t$ समान होगा।
अतः,दोनों कण एक साथ जमीन पर पहुंचेंगे।

(C) लिफ्ट पर कार्य करने वाले बल ऊपर की ओर तनाव $T$ और नीचे की ओर भार $mg$ हैं।
चूंकि लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही है,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार कुल बल: $F_{net} = T - mg = ma$ है।
तनाव के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $T = m(g + a)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $m = 1000\,kg$,$g = 9.8\,m/s^2$,और $a = 1\,m/s^2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $T = 1000(9.8 + 1) = 1000(10.8) = 10800\,N$ प्राप्त होता है।
अतः,केबल में उत्पन्न तनाव $10800\,N$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$,आरोपित बल $F = 100 \, N$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$.
सबसे पहले,घर्षण बल की गणना करें: $f_k = \mu \cdot m \cdot g = 0.5 \times 10 \times 10 = 50 \, N$.
चूंकि आरोपित बल $F = 100 \, N$,घर्षण बल $f_k = 50 \, N$ से अधिक है,इसलिए ब्लॉक गति करेगा।
ब्लॉक पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 100 - 50 = 50 \, N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = m \cdot a$,इसलिए त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{50}{10} = 5 \, m/s^2$।

(A) माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_1 = E$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $E_2 = E + 300\% \text{ of } E = E + 3E = 4E$ होगी।
हम जानते हैं कि संवेग $P$ और गतिज ऊर्जा $E$ के बीच संबंध $P = \sqrt{2mE}$ है,जिसका अर्थ है $P \propto \sqrt{E}$।
इसलिए,अंतिम संवेग $P_2$ और प्रारंभिक संवेग $P_1$ का अनुपात $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}} = \sqrt{\frac{4E}{E}} = \sqrt{4} = 2$ होगा।
इसका अर्थ है $P_2 = 2P_1$।
संवेग में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100\% = \frac{2P_1 - P_1}{P_1} \times 100\% = 100\%$ है।
अतः,संवेग में $100\%$ की वृद्धि होगी।

(B) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी की सतह पर,$r_1 = R$,इसलिए $U_1 = -\frac{GMm}{R}$।
$h = 3R$ की ऊँचाई पर,केंद्र से दूरी $r_2 = R + h = R + 3R = 4R$ है।
अतः,$U_2 = -\frac{GMm}{4R}$।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1 = -\frac{GMm}{4R} - (-\frac{GMm}{R}) = \frac{GMm}{R} - \frac{GMm}{4R} = \frac{3GMm}{4R}$ है।
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए $GM = gR^2$ होगा।
इस मान को रखने पर,$\Delta U = \frac{3(gR^2)m}{4R} = \frac{3}{4}mgR$।

(B) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान और $T_2$ सिंक का तापमान है।
प्रारंभ में,$\eta_1 = 0.5$ और $T_2 = 500 \ K$ है।
$0.5 = 1 - \frac{500}{T_1} \implies \frac{500}{T_1} = 0.5 \implies T_1 = 1000 \ K$.
अब,स्रोत का तापमान $T_1 = 1000 \ K$ स्थिर रखते हुए दक्षता को बढ़ाकर $\eta_2 = 0.6$ कर दिया जाता है।
$0.6 = 1 - \frac{T_2'}{1000} \implies \frac{T_2'}{1000} = 1 - 0.6 = 0.4$.
$T_2' = 0.4 \times 1000 = 400 \ K$.
अतः,सिंक का आवश्यक तापमान $400 \ K$ होगा।

(B) चालन द्वारा छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_{1} - T_{2})}{l}$
दोनों छड़ों के लिए,ऊष्मा हानि की दरें हैं:
$(\frac{dQ}{dt})_{1} = \frac{K_{1}A_{1}(T_{1} - T_{2})}{l}$
$(\frac{dQ}{dt})_{2} = \frac{K_{2}A_{2}(T_{1} - T_{2})}{l}$
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा हानि की दर समान है:
$(\frac{dQ}{dt})_{1} = (\frac{dQ}{dt})_{2}$
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K_{1}A_{1}(T_{1} - T_{2})}{l} = \frac{K_{2}A_{2}(T_{1} - T_{2})}{l}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए लंबाई $l$ और तापमान का अंतर $(T_{1} - T_{2})$ समान है,इसलिए हम इन पदों को दोनों पक्षों से काट सकते हैं:
$K_{1}A_{1} = K_{2}A_{2}$

(C) $S.H.M.$ में,स्थितिज ऊर्जा $U$ को $U = \frac{1}{2} k y^2$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $y$ विस्थापन है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा चरम स्थितियों पर होती है,जहाँ $y = \pm a$ होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{1}{2} k (a^2 - y^2)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अधिकतम गतिज ऊर्जा माध्य स्थिति पर होती है,जहाँ $y = 0$ होता है।
अधिकतम स्थितिज ऊर्जा की स्थिति $(y = \pm a)$ और अधिकतम गतिज ऊर्जा की स्थिति $(y = 0)$ के बीच का विस्थापन $| \pm a - 0 | = a$ है।

(D) स्प्रिंग-द्रव्यमान निकाय के लिए,आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K}}$ द्वारा दिया जाता है।
अलग-अलग स्प्रिंगों के लिए,हमारे पास $t_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_1}}$ और $t_2 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_2}}$ है।
इनका वर्ग करने पर,हमें $t_1^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_1} \implies K_1 = \frac{4\pi^2 m}{t_1^2}$ और $t_2^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_2} \implies K_2 = \frac{4\pi^2 m}{t_2^2}$ प्राप्त होता है।
दिए गए चित्र में,स्प्रिंगें समानांतर क्रम में हैं। तुल्य स्प्रिंग नियतांक $K_{eq} = K_1 + K_2$ है।
संयुक्त निकाय के लिए आवर्तकाल $t = 2\pi \sqrt{\frac{m}{K_1 + K_2}}$ है।
इसका वर्ग करने पर,$t^2 = 4\pi^2 \frac{m}{K_1 + K_2} \implies \frac{1}{t^2} = \frac{K_1 + K_2}{4\pi^2 m} = \frac{K_1}{4\pi^2 m} + \frac{K_2}{4\pi^2 m}$।
$K_1$ और $K_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{t^2} = \frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2}$ प्राप्त होता है,जिसे $t^{-2} = t_1^{-2} + t_2^{-2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) धनात्मक $x-$दिशा में गति करने वाली तरंग का समीकरण:
$y = A \sin \left( \frac{2\pi}{\lambda} (vt - x) \right)$
यहाँ $A = 0.2\;m,$ $v = 360\;m/s,$ और $\lambda = 60\;m$ दिए गए हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$y = 0.2 \sin \left( \frac{2\pi}{60} (360t - x) \right)$
$y = 0.2 \sin \left( 2\pi \left( \frac{360}{60}t - \frac{x}{60} \right) \right)$
$y = 0.2 \sin \left[ 2\pi \left( 6t - \frac{x}{60} \right) \right]$
अतः,सही व्यंजक $y = 0.2 \sin \left[ 2\pi \left( 6t - \frac{x}{60} \right) \right]$ है।

(B) सीटी की रैखिक गति $v_s = r\omega$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $r = 50 \; cm = 0.5 \; m$ और $\omega = 20 \; rad/s$ दिया गया है।
अतः,$v_s = 0.5 \times 20 = 10 \; m/s.$
न्यूनतम आवृत्ति तब सुनी जाती है जब स्रोत प्रेक्षक से सीधे दूर जा रहा होता है।
प्रेक्षित आवृत्ति के लिए सूत्र $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ है।
मान रखने पर: $n_{\min} = 385 \left( \frac{340}{340 + 10} \right) = 385 \left( \frac{340}{350} \right) = 385 \times \frac{34}{35} = 11 \times 34 = 374 \; Hz.$

(B) किसी पिंड का अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \int r^2 dm$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $dm$ अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित द्रव्यमान तत्व है।
निश्चित कुल द्रव्यमान और त्रिज्या के लिए जड़त्व आघूर्ण को अधिकतम करने के लिए,हमें अक्ष से अधिकतम संभव दूरी $r$ पर अधिक से अधिक द्रव्यमान रखना होगा।
चूंकि लोहे का घनत्व एल्युमिनियम से अधिक होता है,इसलिए लोहे को बाहरी परिधि (आंतरिक भाग के चारों ओर) पर रखने से अधिक त्रिज्या पर द्रव्यमान का वितरण बढ़ जाता है।
इसलिए,आंतरिक भाग में एल्युमिनियम और बाहरी भाग (उसके चारों ओर) में लोहा रखने से अन्य विन्यासों की तुलना में जड़त्व आघूर्ण अधिक प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) कोणीय संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,यदि किसी निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल आघूर्ण (टॉर्क) शून्य है,तो निकाय का कुल कोणीय संवेग नियत रहता है।
जब एक बच्चा घूमती हुई डिस्क पर बैठता है,तो बच्चे का भार ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है,जो घूर्णन अक्ष से होकर गुजरता है या घूर्णन अक्ष के परितः कोई टॉर्क उत्पन्न नहीं करता है।
चूंकि निकाय (डिस्क + बच्चा) पर कोई बाह्य टॉर्क कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

(D) एक आदर्श कृष्णिका को एक ऐसी वस्तु के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उस पर पड़ने वाले सभी आपतित विकिरणों को अवशोषित कर लेती है,चाहे उनकी आवृत्ति या आपतन कोण कुछ भी हो।
स्थिर तापमान पर रखी गई एक कोटरिका (cavity),जिसे अक्सर फेरी की कृष्णिका (Fery's black body) कहा जाता है,एक आदर्श कृष्णिका का सबसे निकटतम भौतिक सन्निकटन है।
इस व्यवस्था में,कोटरिका के छोटे छिद्र में प्रवेश करने वाला कोई भी विकिरण आंतरिक दीवारों पर बार-बार परावर्तित होता है। प्रत्येक परावर्तन पर,विकिरण का एक हिस्सा दीवारों द्वारा अवशोषित कर लिया जाता है। ऐसे कई परावर्तनों के बाद,लगभग सभी आपतित विकिरण अवशोषित हो जाते हैं,जो इसे एक उत्कृष्ट कृष्णिका बनाता है।

(B) स्टीफन-बोल्ट्ज़मैन नियम के अनुसार,एक कृष्णिका द्वारा विकिरित शुद्ध शक्ति $P = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ वस्तु का तापमान है और $T_0$ परिवेश का तापमान है।
दिया गया है:
$T_1 = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \; K$
$T_0 = 227^{\circ} C = 227 + 273 = 500 \; K$
$P_1 = 60 \; W$
$P_1 = k(T_1^4 - T_0^4) \Rightarrow 60 = k(1000^4 - 500^4) \quad \dots(1)$
अब,$T_2 = 1227^{\circ} C = 1227 + 273 = 1500 \; K$
$P_2 = k(T_2^4 - T_0^4) \Rightarrow P_2 = k(1500^4 - 500^4) \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P_2}{60} = \frac{1500^4 - 500^4}{1000^4 - 500^4} = \frac{500^4 (3^4 - 1^4)}{500^4 (2^4 - 1^4)}$
$\frac{P_2}{60} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$
$P_2 = 60 \times \frac{16}{3} = 20 \times 16 = 320 \; W$.

(B) जब $R$ त्रिज्या का एक पहिया बिना फिसले लुढ़कता है,तो आधे चक्कर में पहिये के केंद्र द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $\pi R$ के बराबर होती है।
बिंदु $P$ का ऊर्ध्वाधर विस्थापन (जो शुरू में संपर्क बिंदु $A$ पर था और सबसे ऊपरी बिंदु $A'$ पर चला जाता है) पहिये के व्यास के बराबर होता है,जो $2R$ है।
कुल विस्थापन क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन का सदिश योग है,जो $\pi R$ और $2R$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
विस्थापन $= \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$.
चूंकि $R = 1 \ m$ दिया गया है,इसलिए विस्थापन $= 1 \times \sqrt{\pi^2 + 4} = \sqrt{\pi^2 + 4} \ m$.

(D) वीन का विस्थापन नियम बताता है कि परम तापमान $(T)$ और वह तरंगदैर्ध्य $(\lambda_{\max})$ जिस पर उत्सर्जक शक्ति अधिकतम होती है, का गुणनफल एक नियतांक होता है।
इसका गणितीय व्यंजक इस प्रकार है:
$\lambda_{\max} T = b$
जहाँ $b$ वीन का नियतांक है।
अतः, यह नियम अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य और वस्तु के परम तापमान के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

(B) अवमंदित दोलनों में,आयाम समय के साथ घातीय रूप से घटता है,जिसे $a = a_0 e^{-bt}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $b$ अवमंदन स्थिरांक है और $t$ समय है।
मान लीजिए $T$ एक दोलन का आवर्तकाल है। $n$ दोलनों के बाद,बीता हुआ समय $t = nT$ है।
प्रारंभ में,$100$ दोलनों के बाद,आयाम $a = \frac{a_0}{3}$ है।
अतः,$\frac{a_0}{3} = a_0 e^{-b(100T)}$,जिसका अर्थ है $e^{-100bT} = \frac{1}{3}$।
$200$ दोलनों के बाद,बीता हुआ समय $t = 200T$ है।
नया आयाम $a'$ होगा $a' = a_0 e^{-b(200T)}$।
इसे $a' = a_0 (e^{-100bT})^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
पहले चरण से मान प्रतिस्थापित करने पर: $a' = a_0 (\frac{1}{3})^2 = \frac{a_0}{9}$।
इस प्रकार,आयाम प्रारंभिक मान का $\frac{1}{9}$ हो जाता है।

(B) सतह चिकनी है,इसलिए संपर्क सतह पर कोई घर्षण नहीं है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का रैखिक त्वरण $a = \frac{F}{m}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है और $m$ गोले का द्रव्यमान है।
चूंकि बल $F$ और द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए त्वरण $a$ उस ऊँचाई $h$ से स्वतंत्र है जिस पर बल लगाया जाता है।
इसलिए,त्वरण को अधिकतम करने के लिए $h$ और $R$ के बीच किसी विशेष संबंध की आवश्यकता नहीं है; यह किसी भी $h$ के लिए स्थिर रहता है।

(A) दिया गया द्रव्यमान $m = 3\,kg$ और बल $\vec{F} = (6t^2\hat{i} + 4t\hat{j})\,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{6t^2\hat{i} + 4t\hat{j}}{3} = (2t^2\hat{i} + \frac{4}{3}t\hat{j})\,m/s^2$.
चूंकि वस्तु विरामावस्था से शुरू होती है,$\vec{v}(0) = 0$। समय $t$ पर वेग $\vec{v} = \int_{0}^{t} \vec{a} dt$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v} = \int_{0}^{3} (2t^2\hat{i} + \frac{4}{3}t\hat{j}) dt$.
$\vec{v} = [\frac{2t^3}{3}\hat{i} + \frac{4t^2}{6}\hat{j}]_{0}^{3}$.
$\vec{v} = [\frac{2(3)^3}{3}\hat{i} + \frac{4(3)^2}{6}\hat{j}] = [\frac{54}{3}\hat{i} + \frac{36}{6}\hat{j}] = 18\hat{i} + 6\hat{j}\,m/s$.

(D) माना रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\rho = kx$ है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$dx$ लंबाई के एक छोटे अवयव का द्रव्यमान $dm = \rho \cdot dx = kx \cdot dx$ है।
द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की स्थिति सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\int x \cdot dm}{\int dm}$
मान रखने पर:
$x_{cm} = \frac{\int_{0}^{3} x(kx \cdot dx)}{\int_{0}^{3} kx \cdot dx} = \frac{\int_{0}^{3} x^2 \cdot dx}{\int_{0}^{3} x \cdot dx}$
समाकलन का मान निकालने पर:
$x_{cm} = \frac{[x^3/3]_{0}^{3}}{[x^2/2]_{0}^{3}} = \frac{27/3}{9/2} = \frac{9}{4.5} = 2 \; m$.

(D) भुजा वाले घन के विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3}b$ होती है।
अतः,घन के केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ है।
केंद्र पर स्थित $q$ आवेश की $8$ कोनों पर स्थित $-q$ आवेशों के कारण कुल विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \sum_{i=1}^{8} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(-q)(q)}{r}$
$U = 8 \times \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-q^2}{\sqrt{3}b/2} \right)$
$U = 8 \times \left( \frac{-2q^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{3}b} \right)$
$U = \frac{-16q^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{3}b} = \frac{-4q^2}{\sqrt{3}\pi\varepsilon_0b}$

(C) जब दो संधारित्रों को जोड़ा जाता है,तो आवेश उच्च विभव से निम्न विभव की ओर तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे एक उभयनिष्ठ विभव $V'$ प्राप्त न कर लें।
आवेश संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,संयोजन से पहले कुल आवेश संयोजन के बाद के कुल आवेश के बराबर होता है।
प्रारंभिक कुल आवेश $Q_{total} = C_1 V + C_2 (0) = C_1 V$.
संयोजन के बाद कुल धारिता $C_{total} = C_1 + C_2$.
उभयनिष्ठ विभव $V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{C_1 V}{C_1 + C_2}$.

(A) एक गैल्वेनोमीटर का अपना प्रतिरोध कम होता है,लेकिन एक वोल्टमीटर का प्रतिरोध बहुत अधिक होना चाहिए ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह उस सर्किट से न्यूनतम धारा खींचता है जिसे वह माप रहा है।
गैल्वेनोमीटर को वोल्टमीटर में बदलने के लिए,हमें इसके प्रभावी प्रतिरोध को बढ़ाने की आवश्यकता होती है। यह गैल्वेनोमीटर कुंडली के साथ श्रेणीक्रम में एक उच्च प्रतिरोध जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
जैसा कि चित्र में दिखाया गया है,गैल्वेनोमीटर और श्रेणी प्रतिरोध का संयोजन एक वोल्टमीटर के रूप में कार्य करता है।
नोट: एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होना चाहिए।

(C) $n$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली के केंद्र पर $I$ धारा के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 n I}{2r}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $L$ लंबाई के समान तार का उपयोग किया जाता है,तो $n=1$ के लिए,$L = 2\pi r_1$,इसलिए $r_1 = \frac{L}{2\pi}$। अतः,$B = \frac{\mu_0 I}{2(L/2\pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{L}$।
$n=2$ के लिए,नई त्रिज्या $r_2$ का मान $L = 2(2\pi r_2)$ से प्राप्त होता है,इसलिए $r_2 = \frac{L}{4\pi} = \frac{r_1}{2}$।
नया चुंबकीय क्षेत्र $B'$ होगा: $B' = \frac{\mu_0 (2) I}{2r_2} = \frac{\mu_0 I}{r_2} = \frac{\mu_0 I}{r_1/2} = 2 \left( \frac{\mu_0 I}{r_1} \right) = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2r_1} \right) = 4B$।
अतः,नया चुंबकीय क्षेत्र $4B$ है।

(A) जब एक आवेश $q$,वेग $\overrightarrow{v}$ के साथ ऐसे क्षेत्र में गति करता है जहाँ विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ दोनों मौजूद हों,तो वह दो बल अनुभव करता है:
$1$. विद्युत बल: $\overrightarrow{F_e} = q\overrightarrow{E}$
$2$. चुंबकीय बल (लॉरेंट्ज़ बल): $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
कुल बल,जिसे लॉरेंट्ज़ बल कहा जाता है,इन दोनों बलों का सदिश योग है:
$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{F_e} + \overrightarrow{F_m} = q\overrightarrow{E} + q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) कैथोड किरणें ऋणावेशित कणों (इलेक्ट्रॉनों) की एक धारा होती हैं। चूंकि वे आवेशित होती हैं,इसलिए वे विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्रों द्वारा विक्षेपित होती हैं। अतः,यह कथन कि वे विद्युत क्षेत्र में विक्षेपित नहीं होती हैं,गलत है।

(C) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{h}{mv}$ है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$m$ कण का द्रव्यमान है और $v$ उसका वेग है।
यह दिया गया है कि सभी कणों के लिए वेग $v$ समान है,इसलिए संबंध $\lambda \propto \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि सबसे कम द्रव्यमान वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।
द्रव्यमान की तुलना करने पर: $m_{\beta} < m_{proton} \approx m_{neutron} < m_{\alpha}$.
चूंकि $\beta$-कण (इलेक्ट्रॉन) का द्रव्यमान दिए गए विकल्पों में सबसे कम है,इसलिए इसकी डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य अधिकतम होगी।

(A) प्रकाश-विद्युत प्रभाव तब होता है जब आपतित विकिरण की आवृत्ति धातु की देहली आवृत्ति (threshold frequency) से अधिक होती है, या समान रूप से, इसकी तरंगदैर्ध्य देहली तरंगदैर्ध्य से कम होती है।
चूंकि पराबैंगनी $(UV)$ किरणें प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न नहीं करती हैं, इसलिए आपतित विकिरण की ऊर्जा $UV$ किरणों से अधिक (तरंगदैर्ध्य कम) होनी चाहिए।
दिए गए विकल्पों में से, $X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य $UV$ किरणों से कम $(\lambda_{X-ray} < \lambda_{UV-ray})$ होती है और इसलिए उनकी ऊर्जा अधिक होती है।
अतः, $X$-किरणें प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न करेंगी।

(B) हल्के तत्वों के नाभिकों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा मध्यम द्रव्यमान वाले तत्वों की तुलना में कम होती है। इसलिए वे कम स्थिर होते हैं। परिणामस्वरूप,हल्के तत्वों के संलयन से एक अधिक स्थिर नाभिक प्राप्त होता है जिसकी प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिक होती है,जिससे बड़ी मात्रा में ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) नाभिकीय अभिक्रिया को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: $_8O^{16} + _1H^2 \to _Z^AX + _2He^4$.
द्रव्यमान संख्या के संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $16 + 2 = A + 4$,जिससे $A = 14$ प्राप्त होता है।
परमाणु क्रमांक के संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर: $8 + 1 = Z + 2$,जिससे $Z = 7$ प्राप्त होता है।
अतः,उत्पाद नाभिक $_7N^{14}$ है।

(B) जब एक $P$-प्रकार के अर्धचालक को $N$-प्रकार के अर्धचालक के साथ जोड़कर $PN$-जंक्शन बनाया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन $N$-क्षेत्र से $P$-क्षेत्र में और होल $P$-क्षेत्र से $N$-क्षेत्र में विसरित (diffuse) होते हैं।
यह विसरण जंक्शन के पास एक अवक्षय परत (depletion layer) बनाता है।
आवेश वाहकों के स्थानांतरण के कारण,$N$-पक्ष $P$-पक्ष की तुलना में धनावेशित हो जाता है,जिससे $N$-पक्ष से $P$-पक्ष की ओर एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न होता है।
परिणामस्वरूप,$P$-पक्ष निम्न विभव पर और $N$-पक्ष उच्च विभव पर होता है। इस विभवांतर को बैरियर विभव के रूप में जाना जाता है।

(A) अग्र अभिनति (forward biasing) में,एक आदर्श $PN$ जंक्शन डायोड शून्य प्रतिरोध वाली बंद स्विच के रूप में कार्य करता है। इसलिए,संपूर्ण आरोपित वोल्टेज $V$,प्रतिरोध $R$ के सिरों पर दिखाई देता है।
पश्च अभिनति (reverse biasing) में,एक आदर्श $PN$ जंक्शन डायोड अनंत प्रतिरोध वाली खुली स्विच के रूप में कार्य करता है। इसलिए,परिपथ में कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है और प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $0$ होता है।

(B) कॉमन बेस कॉन्फ़िगरेशन में,करंट गेन $\alpha$ को कलेक्टर करंट $I_C$ और एमिटर करंट $I_E$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है: $\alpha = \frac{I_C}{I_E} = 0.96$.
कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में करंट गेन,जिसे $\beta$ द्वारा दर्शाया जाता है,$\alpha$ से इस प्रकार संबंधित है:
$\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$.
दी गई मान रखने पर:
$\beta = \frac{0.96}{1 - 0.96} = \frac{0.96}{0.04}$.
$\beta = 24$.
अतः,कॉमन एमिटर कॉन्फ़िगरेशन में अधिकतम करंट गेन $24$ होगा।

(D) $NAND$ गेट के लिए,आउटपुट $C$ को बूलियन व्यंजक $C = \overline{A \cdot B}$ द्वारा दिया जाता है।
मानों की जाँच करने पर:
$1$. $A = 0, B = 0$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$2$. $A = 0, B = 1$ के लिए: $C = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$.
$3$. $A = 1, B = 0$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$.
$4$. $A = 1, B = 1$ के लिए: $C = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.
इन परिणामों की दी गई तालिका से तुलना करने पर,आउटपुट $NAND$ गेट के तर्क से मेल खाता है।

(B) ग्रीनहाउस प्रभाव मुख्य रूप से अवरक्त (इन्फ्रारेड) विकिरणों के कारण होता है।
सौर ऊर्जा पृथ्वी की सतह तक पहुँचती है,जो फिर इस ऊर्जा को अवरक्त विकिरण के रूप में पुनः उत्सर्जित करती है।
वायुमंडल में मौजूद ग्रीनहाउस गैसें इन अवरक्त किरणों को अवशोषित कर लेती हैं और उन्हें वापस पृथ्वी की सतह की ओर परावर्तित कर देती हैं,जिससे गर्मी बनी रहती है और ग्रह गर्म रहता है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंगें विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow E$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow B$ दोनों के लंबवत दिशा में संचरित होती हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,तरंग संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश $\vec S$ की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\overrightarrow E \times \overrightarrow B$ के समानुपाती होती है।
अतः,संचरण की दिशा $\overrightarrow E \times \overrightarrow B$ के अनुदिश होती है।

(B) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को तरंगदैर्ध्य के आधार पर व्यवस्थित किया जाता है। अनुमानित तरंगदैर्ध्य सीमाएँ इस प्रकार हैं:
$1$. कॉस्मिक किरणें: $10^{-14} \ m$ से $10^{-12} \ m$
$2$. $\gamma$-किरणें: $10^{-12} \ m$ से $10^{-10} \ m$
$3$. एक्स-रे: $10^{-10} \ m$ से $10^{-8} \ m$
$4$. पराबैंगनी किरणें: $10^{-8} \ m$ से $4 \times 10^{-7} \ m$
इन मानों की तुलना करने पर,कॉस्मिक किरणों की तरंगदैर्ध्य सबसे कम (न्यूनतम) होती है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब किसी चालक को आवेश दिया जाता है,तो समान आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण यह पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर वितरित हो जाता है।
चालक के अंदर,विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = -dV/dr$ होता है,यदि $E = 0$ है,तो चालक के पूरे आयतन में विभव $V$ स्थिर होना चाहिए।
इसलिए,चालक के अंदर प्रत्येक बिंदु पर और सतह पर विभव समान होता है,जिससे चालक एक समविभव आयतन बन जाता है।

(B) विशिष्ट प्रतिरोध, जिसे प्रतिरोधकता $(\rho)$ के रूप में भी जाना जाता है, पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है।
धात्विक चालकों के लिए, तापमान बढ़ने पर जाली आयनों (lattice ions) के कंपन के कारण इलेक्ट्रॉनों का प्रकीर्णन बढ़ जाता है, जिससे प्रतिरोधकता बढ़ जाती है।
प्रतिरोधकता चालक के भौतिक आयामों, जैसे कि उसकी लंबाई या अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करती है।

(A) दिया गया है: विद्युत वाहक बल $(E)$ = $2.2\;V$,टर्मिनल वोल्टेज $(V)$ = $1.8\;V$,बाहरी प्रतिरोध $(R)$ = $5\;\Omega$।
आंतरिक प्रतिरोध $(r)$ के लिए सूत्र इस प्रकार है:
$r = \left( \frac{E}{V} - 1 \right) R$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \left( \frac{2.2}{1.8} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{22}{18} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{11}{9} - 1 \right) \times 5$
$r = \left( \frac{11 - 9}{9} \right) \times 5$
$r = \left( \frac{2}{9} \right) \times 5$
$r = \frac{10}{9}\;\Omega$

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ को $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अनुनाद पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ धारितीय प्रतिघात $X_{C}$ के बराबर होता है,अर्थात $X_{L} = X_{C}$।
इस मान को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर,हमें $Z = \sqrt{R^{2} + 0} = R$ प्राप्त होता है।
$AC$ परिपथ में शक्ति हानि $P = I^{2} R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I$ $R.M.S.$ धारा है।
चूंकि अनुनाद पर $Z = R$ होता है,इसलिए परिपथ एक शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ की तरह व्यवहार करता है और शक्ति हानि $I^{2} R$ होती है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B_{H}$ में दो चुंबकों के संयोजन के लिए दोलन काल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{total}}{M_{total} B_{H}}}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $1$: जब समान ध्रुव एक ही तरफ होते हैं,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{eff} = M + 2M = 3M$ होता है। जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ होता है।
अतः,$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{I_{1} + I_{2}}{3M B_{H}}}$.
स्थिति $2$: जब एक चुंबक की ध्रुवता उलट दी जाती है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{eff} = |2M - M| = M$ होता है। जड़त्व आघूर्ण $I = I_{1} + I_{2}$ समान रहता है।
अतः,$T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{I_{1} + I_{2}}{M B_{H}}}$.
$T_{1}$ और $T_{2}$ की तुलना करने पर,चूंकि $T_{2}$ का हर $T_{1}$ से छोटा है,इसलिए $T_{1} < T_{2}$ प्राप्त होता है।

(C) मूल नमूने में उपस्थित सक्रिय नाभिकों की संख्या $N_0 = 4 \times 10^{16}$ है।
तत्व की अर्ध-आयु $T_{1/2} = 10$ दिन है।
$30$ दिनों में अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{30}{10} = 3$ है।
$30$ दिनों के बाद शेष सक्रिय नाभिकों की संख्या $N = \frac{N_0}{2^n} = \frac{4 \times 10^{16}}{2^3} = \frac{4 \times 10^{16}}{8} = 0.5 \times 10^{16}$ है।
क्षयित नाभिकों की संख्या $N_{decayed} = N_0 - N$ द्वारा दी जाती है।
$N_{decayed} = 4 \times 10^{16} - 0.5 \times 10^{16} = 3.5 \times 10^{16}$.

(C) एपर्चर के लिए विभेदन की सीमा का सूत्र $\frac{y}{D} = \frac{\lambda}{d}$ है।
यहाँ दिया गया है:
लेंस का व्यास $d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$.
दूरी $D = 50\,m$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000\,\mathring{A} = 5 \times 10^{-7}\,m$.
मान रखने पर:
$y = \frac{\lambda D}{d} = \frac{5 \times 10^{-7} \times 50}{2 \times 10^{-3}}$.
$y = \frac{250 \times 10^{-7}}{2 \times 10^{-3}} = 125 \times 10^{-4}\,m$.
$y = 1.25 \times 10^{-2}\,m = 1.25\,cm$.

(D) बिंदु $A$ पर,स्नेल के नियम के अनुसार:
$1 \cdot \sin 45^{\circ} = \mu \cdot \sin r$
$\sin r = \frac{1}{\mu \sqrt{2}}$ ..... $(i)$
बिंदु $B$ पर,ऊर्ध्वाधर फलक पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,आपतन कोण $i_1$ क्रांतिक कोण $C$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
$\sin i_1 = \frac{1}{\mu}$
त्रिभुज की ज्यामिति से,$i_1 = 90^{\circ} - r$ है।
अतः,$\sin(90^{\circ} - r) = \frac{1}{\mu} \Rightarrow \cos r = \frac{1}{\mu}$ ..... $(ii)$
सर्वसमिका $\sin^2 r + \cos^2 r = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{1}{\mu \sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\mu}\right)^2 = 1$
$\frac{1}{2\mu^2} + \frac{1}{\mu^2} = 1$
$\frac{1 + 2}{2\mu^2} = 1$
$\frac{3}{2\mu^2} = 1 \Rightarrow \mu^2 = \frac{3}{2}$
$\mu = \sqrt{\frac{3}{2}}$

(C) मान लीजिए कि दो समानांतर दीवारों के बीच की दूरी $D$ है। बल्ब पहली दीवार पर है और प्रतिबिंब दूसरी दीवार पर बनता है।
एक उत्तल लेंस द्वारा समान आकार का वास्तविक प्रतिबिंब (आवर्धन $m = -1$) बनाने के लिए,वस्तु दूरी $u$ और प्रतिबिंब दूरी $v$ को $u = v = 2f$ की शर्त को पूरा करना चाहिए।
वस्तु और पर्दे के बीच की कुल दूरी $D = u + v = 2f + 2f = 4f$ होती है।
इस प्रश्न में,लेंस को दूसरी दीवार से $d$ दूरी पर रखा गया है,जिसका अर्थ है कि प्रतिबिंब दूरी $v = d$ है।
चूंकि प्रतिबिंब समान आकार का है,इसलिए वस्तु दूरी $u$ भी $d$ के बराबर होनी चाहिए (क्योंकि $m = -1$ के लिए $u = v$ होता है)।
अतः,दीवारों के बीच की कुल दूरी $D = u + v = d + d = 2d$ है।
संबंध $D = 4f$ का उपयोग करने पर,हमें $2d = 4f$ प्राप्त होता है।
$f$ के लिए हल करने पर,हमें $f = 2d / 4 = d / 2$ प्राप्त होता है।

(B) प्लांक नियतांक $(h)$ एक फोटॉन की ऊर्जा और उसकी आवृत्ति के बीच संबंध को समीकरण $E = h \nu$ द्वारा दर्शाता है।
चूंकि $E$ को जूल $(J)$ में मापा जाता है और आवृत्ति $\nu$ का मात्रक $s^{-1}$ है,इसलिए $h$ का मात्रक $J \cdot s$ होता है।
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $E = \text{बल} \times \text{दूरी} = (kg \cdot m/s^2) \times m = kg \cdot m^2/s^2$ है,इसलिए $h = E/\nu = (kg \cdot m^2/s^2) / (1/s) = kg \cdot m^2/s$ होता है।
प्लांक नियतांक का संख्यात्मक मान लगभग $6.63 \times 10^{-34} \; J \cdot s$ या $6.63 \times 10^{-34} \; kg \cdot m^2/s$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही मान और मात्रक को दर्शाता है।