AIIMS 1995 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है।
सबसे पहले,हवाई जहाज $400 \,m$ उत्तर ($y$-अक्ष पर) और $300 \,m$ दक्षिण (ऋणात्मक $y$-अक्ष पर) उड़ता है।
क्षैतिज तल में कुल विस्थापन $400 \,m - 300 \,m = 100 \,m$ उत्तर की ओर है।
इसके बाद,यह $1200 \,m$ ऊपर की ओर ($z$-अक्ष पर) उड़ता है।
अंतिम स्थिति सदिश $\vec{r} = 100 \hat{j} + 1200 \hat{k}$ है।
कुल विस्थापन का परिमाण $r = \sqrt{(100)^2 + (1200)^2}$ होगा।
$r = \sqrt{10000 + 1440000} = \sqrt{1450000}$.
$r = 100 \sqrt{145} \approx 100 \times 12.04 = 1204 \,m$.

(C) प्रक्षेप्य गति में,क्षैतिज विस्थापन $x = u_x t$ द्वारा दिया जाता है,जो समय का एक रैखिक फलन है। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है,जो नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है। अधिकतम ऊँचाई पर,ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = \frac{dy}{dt} = 0$ होता है। ऊर्ध्वाधर गति के लिए विस्थापन-समय ग्राफ पर,ढाल $\frac{dy}{dt}$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,ढाल $0$ है। चूँकि पथ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है ($y = at^2 + bt + c$ जहाँ $a < 0$),इसलिए द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dt^2} = -g$ ऋणात्मक है। अतः,विस्थापन-समय ग्राफ पर अधिकतम बिंदु पर ढाल शून्य और वक्रता ऋणात्मक होती है।

(D) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रक्षेपण से पहले का कुल संवेग और प्रक्षेपण के बाद का कुल संवेग बराबर होता है।
प्रारंभ में टैंक और वस्तु दोनों स्थिर हैं,इसलिए प्रारंभिक संवेग $0$ है।
माना $M = 100 \, kg$ टैंक का द्रव्यमान है और $m = 0.25 \, kg$ वस्तु का द्रव्यमान है।
माना $V$ टैंक का प्रतिक्षेप वेग है और $v = 100 \, m/s$ वस्तु का वेग है।
$M \times V + m \times v = 0$
$100 \times V + 0.25 \times 100 = 0$
$100 \times V = -25$
$V = -25 / 100 = -0.25 \, m/s$.
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.25 \, m/s$ है।

(D) कण की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = k(1 - e^{-x^2})$ द्वारा दी गई है।
कण पर कार्य करने वाला बल $F = -\frac{dU}{dx}$ है।
$F = -\frac{d}{dx} [k(1 - e^{-x^2})] = -k[0 - e^{-x^2} \cdot (-2x)] = -2kxe^{-x^2}$.
मूल बिंदु से छोटे विस्थापन $(x \approx 0)$ के लिए,हम टेलर विस्तार $e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \dots \approx 1$ का उपयोग कर सकते हैं।
अतः,$F \approx -2kx$.
चूंकि $F \propto -x$,प्रत्यानयन बल विस्थापन के समानुपाती है,जो सरल आवर्त गति $(SHM)$ के लिए आवश्यक शर्त है।

(B) ग्रह के केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित उपग्रह की कक्षीय चाल $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$,हम उपग्रहों $A$ और $B$ की चालों का अनुपात इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$
दिया गया है कि $r_A = 4R$ और $r_B = R$,इसलिए:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
उपग्रह $A$ की चाल $v_A = 3V$ दी गई है,अतः:
$\frac{3V}{v_B} = \frac{1}{2}$
इसलिए,$v_B = 3V \times 2 = 6V$.

(D) केप्लर के ग्रहीय गति के तीसरे नियम के अनुसार,आवर्तकाल का वर्ग $(T^2)$ कक्षीय त्रिज्या के घन $(R^3)$ के समानुपाती होता है: $T^2 \propto R^3$,जिसका अर्थ है $T \propto R^{3/2}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक आवर्तकाल $T_1 = 5$ घंटे है।
मान लीजिए प्रारंभिक दूरी $R_1$ है और नई दूरी $R_2 = 4R_1$ है।
नया आवर्तकाल $T_2$ अनुपात द्वारा दिया जाता है: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{5} = \left( \frac{4R_1}{R_1} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$।
घातांक की गणना करने पर: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$।
अतः,$T_2 = 5 \times 8 = 40$ घंटे।

(C) मान लीजिए झील की गहराई $h$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_0 + h\rho g$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $\rho$ पानी का घनत्व है।
दिया गया है कि वायुमंडलीय दबाव $P_0 = H\rho g$ है।
अतः,$P_1 = H\rho g + h\rho g = (H + h)\rho g$.
तली पर बुलबुले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_0 = H\rho g$ है और त्रिज्या $2r$ हो जाती है,इसलिए आयतन $V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1V_1 = P_2V_2$.
$(H + h)\rho g \times \frac{4}{3}\pi r^3 = H\rho g \times 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$(H + h) = 8H$.
$h = 7H$.

(B) माना कंक्रीट और लकड़ी के बुरादे का विशिष्ट गुरुत्व क्रमशः $\rho_1 = 2.4$ और $\rho_2 = 0.3$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,पूरे गोले का भार = गोले पर लगने वाला उत्प्लावन बल।
गोले का भार = विस्थापित पानी का भार
$\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1 g + \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2 g = \frac{4}{3}\pi R^3 \times 1 \times g$
$\frac{4}{3}\pi g$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(R^3 - r^3)\rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3 \rho_1 - r^3 \rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3(\rho_1 - 1) = r^3(\rho_1 - \rho_2)$
$\frac{R^3}{r^3} = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 - 1} = \frac{2.4 - 0.3}{2.4 - 1} = \frac{2.1}{1.4} = 1.5$
अब,कंक्रीट के द्रव्यमान $(M_c)$ और लकड़ी के बुरादे के द्रव्यमान $(M_s)$ का अनुपात:
$\frac{M_c}{M_s} = \frac{\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1}{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2} = \left( \frac{R^3}{r^3} - 1 \right) \frac{\rho_1}{\rho_2}$
मान रखने पर:
$\frac{M_c}{M_s} = (1.5 - 1) \times \frac{2.4}{0.3} = 0.5 \times 8 = 4$.

(D) एक उत्क्रमणीय (reversible) प्रक्रिया के लिए एन्ट्रापी में परिवर्तन $(dS)$ को $dS = \frac{dQ_{rev}}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रुद्धोष्म (adiabatic) उत्क्रमणीय प्रक्रिया के लिए,ऊष्मा विनिमय $dQ_{rev} = 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $dS = 0$।
दिए गए विकल्पों में से,समआयतनिक प्रक्रिया द्वारा कार्य का ऊष्मा में रूपांतरण (यदि इसे उत्क्रमणीय रूप से किया जाए) या कोई भी प्रक्रिया जो आंतरिक रूप से उत्क्रमणीय और रुद्धोष्म है,उसमें एन्ट्रापी में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
अतः,विकल्प $(d)$ एक ऐसी प्रक्रिया को दर्शाता है जहाँ कार्य को ऊष्मा में परिवर्तित किया जाता है; यदि यह उत्क्रमणीय रूप से किया जाता है,तो प्रणाली की एन्ट्रापी स्थिर रहती है।

(B) एक आदर्श एकपरमाणुक गैस के लिए,नियत दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = \frac{5}{2}R$ और नियत आयतन पर $C_V = \frac{3}{2}R$ होती है।
नियत दाब पर दी गई ऊष्मा $\Delta Q = n C_P \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ होता है।
आंतरिक ऊर्जा को बढ़ाने वाली ऊष्मा ऊर्जा का अंश $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5} = 0.6$ प्राप्त होता है।

(C) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = 0$ होता है।
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम $(FLOT)$ से,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 0 + \Delta W = \Delta W$।
किया गया कार्य $\Delta W$,$P-V$ आरेख में चक्रीय प्रक्रिया द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के बराबर होता है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r_P r_V$ है,जहाँ $r_P$ दबाव अक्ष के अनुदिश त्रिज्या है और $r_V$ आयतन अक्ष के अनुदिश त्रिज्या है।
$r_P = \frac{30 \text{ kPa} - 10 \text{ kPa}}{2} = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^{3} \text{ Pa}$।
$r_V = \frac{30 \text{ litre} - 10 \text{ litre}}{2} = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}$।
अतः,$\Delta Q = \pi \times (10 \times 10^{3} \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}) = \pi \times 100 \text{ J} = 100 \pi \text{ J} = 10^{2} \pi \text{ J}$।

(B) कण द्वारा माध्य स्थिति $(x=0)$ से चरम स्थिति $(x=4 \, cm)$ तक जाने में लिया गया समय $T/4 = 1.2/4 = 0.3 \, s$ है।
माना $x=0$ से $x=2 \, cm$ तक जाने में लिया गया समय $t_1$ है। गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
मान रखने पर: $2 = 4 \sin(\frac{2\pi}{T} t_1) \Rightarrow 1/2 = \sin(\frac{2\pi}{1.2} t_1)$.
इससे $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{1.2} t_1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $t_1 = 0.1 \, s$ मिलता है।
$x=2 \, cm$ से $x=4 \, cm$ तक जाने में लिया गया समय $t_2 = (T/4) - t_1 = 0.3 - 0.1 = 0.2 \, s$ है।
$x=2 \, cm$ से $x=4 \, cm$ तक जाने और वापस आने में लिया गया कुल समय $2 \times t_2 = 2 \times 0.2 = 0.4 \, s$ है।

(B) दोनों तरंगों के आयाम ${a_1} = 5$ और ${a_2} = 10$ हैं।
तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto a^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$।
आयामों के मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 10}{5 - 10} \right)^2 = \left( \frac{15}{-5} \right)^2 = (-3)^2 = 9$।
अतः,अनुपात $9$ है।

(D) एक स्थिर तरंग में,कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच दोलन करती है।
जब डोरी की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,तो स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
स्थितिज ऊर्जा डोरी के विरूपण (विस्थापन) से जुड़ी होती है।
चूंकि स्थितिज ऊर्जा शून्य है,इसलिए उस क्षण डोरी पर प्रत्येक कण का विस्थापन शून्य होना चाहिए।
अतः,सभी कण एक साथ अपनी माध्य स्थितियों से गुजर रहे होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप,डोरी संतुलन अक्ष पर एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।

(C) माना आयाम $A_1 = 10 \,\mu m$,$A_2 = 4 \,\mu m$,और $A_3 = 7 \,\mu m$ हैं।
तरंगें $\frac{\pi}{2}$ के क्रमिक कलांतर के साथ पहुँचती हैं।
माना पहली तरंग की कला $0$,दूसरी की $\frac{\pi}{2}$,और तीसरी की $\pi$ है।
फेजर विधि का उपयोग करते हुए,परिणामी आयाम $A_R$ आयामों के सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$A_R = \sqrt{(\sum A_i \cos \phi_i)^2 + (\sum A_i \sin \phi_i)^2}$
$A_x = A_1 \cos(0) + A_2 \cos(\frac{\pi}{2}) + A_3 \cos(\pi) = 10(1) + 4(0) + 7(-1) = 10 - 7 = 3 \,\mu m$
$A_y = A_1 \sin(0) + A_2 \sin(\frac{\pi}{2}) + A_3 \sin(\pi) = 10(0) + 4(1) + 7(0) = 4 \,\mu m$
परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \,\mu m$.

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं। द्रव्यमान $A, B$ और $C$ पर रखे गए हैं। घूर्णन अक्ष भुजा $AB$ से होकर गुजरती है।
$1$. अक्ष $AB$ से $A$ पर स्थित द्रव्यमान की लंबवत दूरी $r_A = 0$ है।
$2$. अक्ष $AB$ से $B$ पर स्थित द्रव्यमान की लंबवत दूरी $r_B = 0$ है।
$3$. अक्ष $AB$ से $C$ पर स्थित द्रव्यमान की लंबवत दूरी समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $x$ है।
ऊँचाई द्वारा निर्मित त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$x^2 + (a/2)^2 = a^2$
$x^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$
$x = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
अक्ष $AB$ के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = \sum m_i r_i^2 = m(r_A^2) + m(r_B^2) + m(r_C^2)$
$I = m(0)^2 + m(0)^2 + m(x)^2$
$I = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)^2 = m \left( \frac{3}{4}a^2 \right) = \frac{3}{4}m a^2$

(C) जब $m$ द्रव्यमान की वस्तु घर्षणरहित नत तल पर फिसलती है,तो स्थितिज ऊर्जा पूरी तरह से स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,जिससे $v = \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
जब वस्तु एक छल्ले के रूप में नत तल पर लुढ़कती है,तो स्थितिज ऊर्जा स्थानांतरीय और घूर्णन गतिज ऊर्जा दोनों में परिवर्तित होती है: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
छल्ले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = mR^2$ और $\omega = \frac{v_{ring}}{R}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v_{ring}}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}mv_{ring}^2 = mv_{ring}^2$.
अतः,$v_{ring} = \sqrt{gh}$.
चूंकि $v = \sqrt{2gh}$,हम लिख सकते हैं कि $\sqrt{gh} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,छल्ले का वेग $\frac{v}{\sqrt{2}}$ होगा।

(A) द्रव्यमान को सतह के संपर्क में रहने के लिए,सतह का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$S.H.M.$ में एक कण का अधिकतम त्वरण $a_{max} = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है।
संपर्क बनाए रखने के लिए,हमें $a_{max} \leq g$ की आवश्यकता है।
$\omega = 2 \pi f$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2 \pi f)^2 A \leq g$ प्राप्त होता है।
यहाँ $A = 1 \, cm = 0.01 \, m$ और $g \approx 10 \, m/s^2$ लेने पर:
$4 \pi^2 f^2 (0.01) = 10$
$f^2 = \frac{10}{4 \pi^2 \times 0.01} = \frac{10}{0.04 \pi^2} = \frac{250}{\pi^2}$
$f = \sqrt{\frac{250}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{250}}{\pi} \approx \frac{15.81}{3.14} \approx 5.03 \, Hz$.
अतः,अधिकतम आवृत्ति लगभग $5 \, Hz$ है।

(A) बिंदु आवेशों के लिए,कूलम्ब के नियम के अनुसार बल $F_e = \frac{k Q^2}{d^2}$ होता है।
जब आवेशों को $R = 0.3 \, d$ त्रिज्या वाले गोलों पर रखा जाता है,तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ रहती है।
चूंकि गोले एक-दूसरे के करीब हैं ($R$,$d$ का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है),इसलिए स्थिर-वैद्युत प्रेरण प्रभाव के कारण गोलों की सतहों पर आवेशों का पुनर्वितरण होता है।
विशेष रूप से,एक गोले पर मौजूद धनात्मक आवेश दूसरे गोले पर मौजूद ऋणात्मक आवेश की ओर आकर्षित होता है,जिससे आवेश गोलों के आंतरिक फलकों पर एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं।
चूंकि आवेशों के केंद्रों के बीच की प्रभावी दूरी $d$ से कम हो जाती है,इसलिए आकर्षण बल बढ़ जाता है।
अतः,नया बल $F_e$ से अधिक होता है।

(C) वर्ग के केंद्र $O$ से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
कोनों पर स्थित चार आवेशों $Q$ के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत विभव $V_O$ है:
$V_O = 4 \times \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \right) = 4 \times \left( \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 (a/\sqrt{2})} \right) = \frac{4\sqrt{2} Q}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a}$.
केंद्र से अनंत तक $-Q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_{\infty} - V_O)$ है।
चूंकि अनंत पर विभव $V_{\infty} = 0$ है,इसलिए:
$W = (-Q)(0 - V_O) = Q V_O$.
$V_O$ का मान रखने पर:
$W = Q \times \left( \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a} \right) = \frac{\sqrt{2} Q^2}{\pi \varepsilon_0 a}$.

(C) मान लीजिए कि अनंत नेटवर्क का तुल्य प्रतिरोध $R$ है। चूंकि नेटवर्क अनंत है,इसलिए एक पुनरावर्ती इकाई को जोड़ने या हटाने से तुल्य प्रतिरोध में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
सर्किट को ऊपरी शाखा में $2\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में,निचली शाखा में $2\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में,और ऊर्ध्वाधर $2\,\Omega$ प्रतिरोध के साथ समानांतर में तुल्य प्रतिरोध $R$ के रूप में देखा जा सकता है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $R$ इस प्रकार दिया गया है:
$R = 2 + 2 + \frac{2 \times R}{2 + R}$
$R = 4 + \frac{2R}{2 + R}$
$(2 + R)$ से गुणा करने पर:
$R(2 + R) = 4(2 + R) + 2R$
$2R + R^2 = 8 + 4R + 2R$
$R^2 - 4R - 8 = 0$
द्विघात सूत्र $R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$R = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$R = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए हम धनात्मक मान लेते हैं:
$R = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) = 5.464\,\Omega$.
यह मान $4\,\Omega$ से अधिक और $12\,\Omega$ से कम है।

(D) दो छोटे छड़ चुम्बकों को समाक्षीय रूप से रखने पर,उनके बीच का बल $F$ उनके केंद्रों के बीच की दूरी $r$ की चौथी घात के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $F \propto \frac{1}{r^4}$।
दिया गया है कि प्रारंभिक बल $F_1 = 4.8 \ N$ दूरी $r_1 = r$ पर है।
जब दूरी को बढ़ाकर $r_2 = 2r$ कर दिया जाता है,तो नया बल $F_2$ इस प्रकार होगा:
$\frac{F_2}{F_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$
$\frac{F_2}{4.8} = \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$F_2 = \frac{4.8}{16} = 0.3 \ N$।

(B) मान लीजिए कि अवस्थाओं $A, B$ और $C$ की ऊर्जाएँ क्रमशः $E_A, E_B$ और $E_C$ हैं।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$C$ से $A$ तक के संक्रमण की ऊर्जा,$C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों की ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है।
अतः,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
इसलिए,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(B) जब लेंस संपर्क में होते हैं,तो प्रभावी फोकस दूरी $F$ का सूत्र $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ होता है। वस्तु अनंत पर है,इसलिए प्रतिबिंब $F = 60 \ cm$ पर बनता है। अतः,$\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{60}$ ... $(i)$.
जब लेंस $d = 10 \ cm$ की दूरी पर होते हैं,तो समतुल्य फोकस दूरी $F'$ का सूत्र $\frac{1}{F'} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ होता है। प्रतिबिंब संयोजन की ओर $30 \ cm$ खिसक जाता है,इसलिए नई प्रतिबिंब दूरी $60 \ cm - 30 \ cm = 30 \ cm$ है। अतः,$\frac{1}{30} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{10}{f_1 f_2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $\frac{1}{30} = \frac{1}{60} - \frac{10}{f_1 f_2} \implies \frac{10}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{60} \implies f_1 f_2 = -600$.
$(i)$ से,$\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} \implies f_1 + f_2 = \frac{-600}{60} = -10$.
समीकरण $x^2 - (f_1+f_2)x + f_1 f_2 = 0 \implies x^2 + 10x - 600 = 0 \implies (x+30)(x-20) = 0$ को हल करने पर,फोकस दूरियाँ $20 \ cm$ और $-30 \ cm$ प्राप्त होती हैं।

(A) प्रकाश किरण के अपने पथ को पुनः प्राप्त करने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत ($90^{\circ}$ के कोण पर) गिरना चाहिए।
प्रिज्म के अंदर बने त्रिभुज में,चांदी वाली सतह पर कोण $90^{\circ}$ है और शीर्ष पर कोण $A$ है। अतः,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r = 90^{\circ} - A$ होना चाहिए।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$।
दिया गया है $i = 2A$ और $r = 90^{\circ} - A$,इसलिए:
$\mu = \frac{\sin(2A)}{\sin(90^{\circ} - A)}$
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\cos A}$
$\mu = 2 \sin A$।

(D) मान लीजिए $P$ पर्दे पर वह बिंदु है जो स्लिट $S_1$ के ठीक सामने है। $S_1$ और $S_2$ से $P$ तक पहुँचने वाली प्रकाश किरणों के बीच पथ अंतर इस प्रकार है:
$\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{b^2 + d^2} - d$
$d >> b$ के लिए द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर:
$\Delta x = d(1 + \frac{b^2}{d^2})^{1/2} - d \approx d(1 + \frac{b^2}{2d^2}) - d = \frac{b^2}{2d}$
विनाशी व्यतिकरण (अनुपस्थित तरंगदैर्घ्य) के लिए,पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$
पथ अंतर के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{b^2}{2d} = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{b^2}{(2n - 1)d}$
$n = 1$ के लिए,$\lambda = \frac{b^2}{d}$.
$n = 2$ के लिए,$\lambda = \frac{b^2}{3d}$.
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।