AIIMS 1995 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
પ્રથમ,વિમાન $400 \,m$ ઉત્તર તરફ ($y$-અક્ષ પર) અને $300 \,m$ દક્ષિણ તરફ (ઋણ $y$-અક્ષ પર) ગતિ કરે છે.
આમ,સમતલમાં કુલ સ્થાનાંતર $400 \,m - 300 \,m = 100 \,m$ ઉત્તર દિશામાં થાય છે.
ત્યારબાદ,તે $1200 \,m$ ઉપરની તરફ ($z$-અક્ષ પર) ઉડે છે.
અંતિમ સ્થાન સદિશ $\vec{r} = 100 \hat{j} + 1200 \hat{k}$ છે.
કુલ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $r = \sqrt{(100)^2 + (1200)^2}$ થશે.
$r = \sqrt{10000 + 1440000} = \sqrt{1450000}$.
$r = 100 \sqrt{145} \approx 100 \times 12.04 = 1204 \,m$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સમયનું રેખીય વિધેય છે. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ વેગ $v_y = \frac{dy}{dt} = 0$ થાય છે. શિરોલંબ ગતિ માટેના સ્થાનાંતર-સમયના આલેખ પર,ઢાળ $\frac{dy}{dt}$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,ઢાળ $0$ છે. કારણ કે પથ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે ($y = at^2 + bt + c$ જ્યાં $a < 0$),તેથી દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dt^2} = -g$ ઋણ છે. આમ,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખ પર મહત્તમ બિંદુએ ઢાળ શૂન્ય અને વક્રતા ઋણ હોય છે.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રક્ષેપણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને પ્રક્ષેપણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
શરૂઆતમાં ટેન્ક અને પદાર્થ બંને સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
ધારો કે $M = 100 \, kg$ એ ટેન્કનું દળ છે અને $m = 0.25 \, kg$ એ પદાર્થનું દળ છે.
ધારો કે $V$ એ ટેન્કનો રિકોઈલ વેગ છે અને $v = 100 \, m/s$ એ પદાર્થનો વેગ છે.
$M \times V + m \times v = 0$
$100 \times V + 0.25 \times 100 = 0$
$100 \times V = -25$
$V = -25 / 100 = -0.25 \, m/s$.
રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $0.25 \, m/s$ છે.

(D) કણની સ્થિતિ ઊર્જા $U(x) = k(1 - e^{-x^2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ પર લાગતું બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ છે.
$F = -\frac{d}{dx} [k(1 - e^{-x^2})] = -k[0 - e^{-x^2} \cdot (-2x)] = -2kxe^{-x^2}$.
ઉગમબિંદુથી નાના સ્થાનાંતર $(x \approx 0)$ માટે,આપણે ટેલર શ્રેણી $e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \dots \approx 1$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આમ,$F \approx -2kx$.
અહીં $F \propto -x$ હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં છે,જે સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટેની શરત છે.

(B) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$ હોવાથી,ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ ની ઝડપનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$
આપેલ છે કે $r_A = 4R$ અને $r_B = R$,તેથી:
$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
ઉપગ્રહ $A$ ની ઝડપ $v_A = 3V$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{3V}{v_B} = \frac{1}{2}$
આમ,$v_B = 3V \times 2 = 6V$.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળનો વર્ગ $(T^2)$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન $(R^3)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T^2 \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto R^{3/2}$.
આપેલ છે કે પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 5$ કલાક.
ધારો કે પ્રારંભિક અંતર $R_1$ છે અને નવું અંતર $R_2 = 4R_1$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ શોધી શકાય: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{5} = \left( \frac{4R_1}{R_1} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = 5 \times 8 = 40$ કલાક.

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_0 + h\rho g$ છે,જ્યાં $P_0$ વાતાવરણીય દબાણ છે અને $\rho$ પાણીની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = H\rho g$.
તેથી,$P_1 = H\rho g + h\rho g = (H + h)\rho g$.
તળિયે પરપોટાનું કદ $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
સપાટી પર,દબાણ $P_2 = P_0 = H\rho g$ છે અને ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે,તેથી કદ $V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$ થાય છે.
તાપમાન અચળ રહે છે તેમ ધારીને,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1V_1 = P_2V_2$.
$(H + h)\rho g \times \frac{4}{3}\pi r^3 = H\rho g \times 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$(H + h) = 8H$.
$h = 7H$.

(B) ધારો કે કોંક્રિટ અને લાકડાના વહેરની વિશિષ્ટ ઘનતા અનુક્રમે $\rho_1 = 2.4$ અને $\rho_2 = 0.3$ છે.
પ્લવનના સિદ્ધાંત મુજબ,આખા ગોળાનું વજન = ગોળા પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ.
ગોળાનું વજન = વિસ્થાપિત પાણીનું વજન
$\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1 g + \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2 g = \frac{4}{3}\pi R^3 \times 1 \times g$
$\frac{4}{3}\pi g$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$(R^3 - r^3)\rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3 \rho_1 - r^3 \rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3(\rho_1 - 1) = r^3(\rho_1 - \rho_2)$
$\frac{R^3}{r^3} = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 - 1} = \frac{2.4 - 0.3}{2.4 - 1} = \frac{2.1}{1.4} = 1.5$
હવે,કોંક્રિટના દળ $(M_c)$ અને લાકડાના વહેરના દળ $(M_s)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{M_c}{M_s} = \frac{\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1}{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2} = \left( \frac{R^3}{r^3} - 1 \right) \frac{\rho_1}{\rho_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{M_c}{M_s} = (1.5 - 1) \times \frac{2.4}{0.3} = 0.5 \times 8 = 4$.

(D) પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $(dS)$ $dS = \frac{dQ_{rev}}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
એડિયાબેટિક પ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $dQ_{rev} = 0$ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે $dS = 0$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સમકદ પ્રક્રિયા દ્વારા કાર્યનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર (જો તે પ્રતિવર્તી રીતે કરવામાં આવે) અથવા કોઈપણ પ્રક્રિયા જે આંતરિક રીતે પ્રતિવર્તી અને એડિયાબેટિક હોય,તેમાં એન્ટ્રોપીમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ એક એવી પ્રક્રિયા દર્શાવે છે જ્યાં કાર્યનું ઉષ્મામાં રૂપાંતર થાય છે; જો આ પ્રક્રિયા પ્રતિવર્તી રીતે કરવામાં આવે,તો સિસ્ટમની એન્ટ્રોપી અચળ રહે છે.

(B) આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2}R$ અને અચળ કદ માટે $C_V = \frac{3}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં વધારો કરતી ઉષ્મા ઊર્જાનો અંશ $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5} = 0.6$ મળે છે.

(C) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ $(FLOT)$ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W = 0 + \Delta W = \Delta W$.
થયેલું કાર્ય $\Delta W$ એ $P-V$ આલેખમાં ચક્રીય પ્રક્રિયા દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r_P r_V$ છે,જ્યાં $r_P$ એ દબાણ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે અને $r_V$ એ કદ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે.
$r_P = \frac{30 \text{ kPa} - 10 \text{ kPa}}{2} = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^{3} \text{ Pa}$.
$r_V = \frac{30 \text{ litre} - 10 \text{ litre}}{2} = 10 \text{ litre} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}$.
તેથી,$\Delta Q = \pi \times (10 \times 10^{3} \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}) = \pi \times 100 \text{ J} = 100 \pi \text{ J} = 10^{2} \pi \text{ J}$.

(B) કણ માટે મધ્યમાન સ્થાન $(x=0)$ થી અંતિમ સ્થાન $(x=4 \, cm)$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $T/4 = 1.2/4 = 0.3 \, s$ છે.
ધારો કે $x=0$ થી $x=2 \, cm$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે. ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 = 4 \sin(\frac{2\pi}{T} t_1) \Rightarrow 1/2 = \sin(\frac{2\pi}{1.2} t_1)$.
આનાથી $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{1.2} t_1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $t_1 = 0.1 \, s$ મળે છે.
$x=2 \, cm$ થી $x=4 \, cm$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_2 = (T/4) - t_1 = 0.3 - 0.1 = 0.2 \, s$ છે.
$x=2 \, cm$ થી $x=4 \, cm$ સુધી જવા અને પાછા આવવા માટે લાગતો કુલ સમય $2 \times t_2 = 2 \times 0.2 = 0.4 \, s$ છે.

(B) બે તરંગોના કંપનવિસ્તાર ${a_1} = 5$ અને ${a_2} = 10$ છે.
તરંગની તીવ્રતા તેના કંપનવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,$I \propto a^2$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$.
કંપનવિસ્તારની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 10}{5 - 10} \right)^2 = \left( \frac{15}{-5} \right)^2 = (-3)^2 = 9$.
તેથી,ગુણોત્તર $9$ છે.

(D) સ્થિર તરંગમાં,કુલ ઊર્જા ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જા વચ્ચે દોલન કરે છે.
જ્યારે દોરીની ગતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય,ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા દોરીના વિરૂપણ (સ્થાનાંતર) સાથે સંકળાયેલી છે.
સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોવાથી,તે ક્ષણે દોરી પરના દરેક કણનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,બધા કણો એકસાથે તેમના સરેરાશ સ્થાનમાંથી પસાર થઈ રહ્યા છે.
પરિણામે,દોરી સંતુલન અક્ષ પર એક સીધી રેખા તરીકે દેખાય છે.

(C) ધારો કે કંપનવિસ્તાર $A_1 = 10 \,\mu m$,$A_2 = 4 \,\mu m$,અને $A_3 = 7 \,\mu m$ છે.
તરંગો $\frac{\pi}{2}$ ના ક્રમિક કળા તફાવત સાથે પહોંચે છે.
ધારો કે પ્રથમ તરંગની કળા $0$,બીજાની $\frac{\pi}{2}$,અને ત્રીજાની $\pi$ છે.
ફેઝર પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A_R$ એ કંપનવિસ્તારોના સદિશ સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$A_R = \sqrt{(\sum A_i \cos \phi_i)^2 + (\sum A_i \sin \phi_i)^2}$
$A_x = A_1 \cos(0) + A_2 \cos(\frac{\pi}{2}) + A_3 \cos(\pi) = 10(1) + 4(0) + 7(-1) = 10 - 7 = 3 \,\mu m$
$A_y = A_1 \sin(0) + A_2 \sin(\frac{\pi}{2}) + A_3 \sin(\pi) = 10(0) + 4(1) + 7(0) = 4 \,\mu m$
પરિણામી કંપનવિસ્તાર $A_R = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \,\mu m$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે. દળો $A, B$ અને $C$ પર મૂકવામાં આવ્યા છે. પરિભ્રમણની અક્ષ બાજુ $AB$ માંથી પસાર થાય છે.
$1$. અક્ષ $AB$ થી $A$ પરના દળનું લંબ અંતર $r_A = 0$ છે.
$2$. અક્ષ $AB$ થી $B$ પરના દળનું લંબ અંતર $r_B = 0$ છે.
$3$. અક્ષ $AB$ થી $C$ પરના દળનું લંબ અંતર એ સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ $x$ છે.
ઊંચાઈ દ્વારા બનતા ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 + (a/2)^2 = a^2$
$x^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$
$x = \frac{\sqrt{3}}{2}a$
અક્ષ $AB$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \sum m_i r_i^2 = m(r_A^2) + m(r_B^2) + m(r_C^2)$
$I = m(0)^2 + m(0)^2 + m(x)^2$
$I = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2}a \right)^2 = m \left( \frac{3}{4}a^2 \right) = \frac{3}{4}m a^2$

(C) જ્યારે $m$ દળની વસ્તુ ઘર્ષણરહિત ઢળતી સપાટી પર સરકે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv^2$,જે $v = \sqrt{2gh}$ આપે છે.
જ્યારે વસ્તુ રીંગ સ્વરૂપે ઢળતી સપાટી પર ગબડે છે,ત્યારે સ્થિતિઊર્જા સ્થાનાંતરિત અને ચાકગતિઊર્જા બંનેમાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$.
રીંગ માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mR^2$ અને $\omega = \frac{v_{ring}}{R}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $mgh = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v_{ring}}{R})^2 = \frac{1}{2}mv_{ring}^2 + \frac{1}{2}mv_{ring}^2 = mv_{ring}^2$.
આમ,$v_{ring} = \sqrt{gh}$.
કારણ કે $v = \sqrt{2gh}$,આપણે લખી શકીએ કે $\sqrt{gh} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
તેથી,રીંગનો વેગ $\frac{v}{\sqrt{2}}$ થશે.

(A) દળ સપાટી સાથે સંપર્કમાં રહે તે માટે,સપાટીનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
$S.H.M.$ માં કણનો મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપર્ક જાળવી રાખવા માટે,આપણે $a_{max} \leq g$ ની જરૂર છે.
$\omega = 2 \pi f$ મૂકતા,આપણને $(2 \pi f)^2 A \leq g$ મળે છે.
અહીં $A = 1 \, cm = 0.01 \, m$ અને $g \approx 10 \, m/s^2$ લેતા:
$4 \pi^2 f^2 (0.01) = 10$
$f^2 = \frac{10}{4 \pi^2 \times 0.01} = \frac{10}{0.04 \pi^2} = \frac{250}{\pi^2}$
$f = \sqrt{\frac{250}{\pi^2}} = \frac{\sqrt{250}}{\pi} \approx \frac{15.81}{3.14} \approx 5.03 \, Hz$.
આમ,મહત્તમ આવૃત્તિ આશરે $5 \, Hz$ છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારો માટે,કુલંબના નિયમ મુજબ બળ $F_e = \frac{k Q^2}{d^2}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારોને $R = 0.3 \, d$ ત્રિજ્યાના ગોળાઓ પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ રહે છે.
ગોળાઓ એકબીજાની નજીક હોવાથી ($R$ એ $d$ નો નોંધપાત્ર ભાગ છે),સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણની અસરને કારણે ગોળાઓની સપાટી પર વિદ્યુતભારોનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
ખાસ કરીને,એક ગોળા પરનો ધન વિદ્યુતભાર બીજા ગોળા પરના ઋણ વિદ્યુતભાર તરફ આકર્ષાય છે,જેના કારણે વિદ્યુતભારો ગોળાઓની અંદરની સપાટીઓ પર એકબીજાની નજીક આવે છે.
કારણ કે વિદ્યુતભારોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $d$ કરતા ઘટી જાય છે,તેથી આકર્ષણ બળ વધે છે.
આથી,નવું બળ $F_e$ કરતા વધારે હોય છે.

(C) ચોરસના કેન્દ્ર $O$ થી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
ખૂણાઓ પર રહેલા ચાર વિદ્યુતભારો $Q$ ને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_O$:
$V_O = 4 \times \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \right) = 4 \times \left( \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 (a/\sqrt{2})} \right) = \frac{4\sqrt{2} Q}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a}$.
કેન્દ્રથી અનંત સુધી $-Q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_{\infty} - V_O)$ છે.
અનંત અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\infty} = 0$ હોવાથી:
$W = (-Q)(0 - V_O) = Q V_O$.
$V_O$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = Q \times \left( \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a} \right) = \frac{\sqrt{2} Q^2}{\pi \varepsilon_0 a}$.

(C) ધારો કે અનંત નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R$ છે. નેટવર્ક અનંત હોવાથી,એક પુનરાવર્તિત એકમ ઉમેરવાથી કે દૂર કરવાથી સમતુલ્ય અવરોધમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આ સર્કિટને ઉપરની શાખામાં $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં,નીચેની શાખામાં $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને ઊભી $2\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં સમતુલ્ય અવરોધ $R$ તરીકે જોઈ શકાય છે.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = 2 + 2 + \frac{2 \times R}{2 + R}$
$R = 4 + \frac{2R}{2 + R}$
$(2 + R)$ વડે ગુણતા:
$R(2 + R) = 4(2 + R) + 2R$
$2R + R^2 = 8 + 4R + 2R$
$R^2 - 4R - 8 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $R = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$R = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$
અવરોધ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે ધન ઉકેલ લઈએ છીએ:
$R = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) = 5.464\,\Omega$.
આ મૂલ્ય $4\,\Omega$ થી વધુ અને $12\,\Omega$ થી ઓછું છે.

(D) બે ટૂંકા ગજિયા ચુંબકોને અક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવે ત્યારે,તેમની વચ્ચેનું આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ $F$ એ તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર $r$ ની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $F \propto \frac{1}{r^4}$.
આપેલ છે કે શરૂઆતનું બળ $F_1 = 4.8 \ N$ અંતર $r_1 = r$ પર છે.
જ્યારે અંતર વધારીને $r_2 = 2r$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{F_2}{F_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$
$\frac{F_2}{4.8} = \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{1}{16}$
$F_2 = \frac{4.8}{16} = 0.3 \ N$.

(B) ધારો કે $A, B$ અને $C$ અવસ્થાઓની ઉર્જા અનુક્રમે $E_A, E_B$ અને $E_C$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$C$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જા એ $C$ થી $B$ અને $B$ થી $A$ ના સંક્રમણની ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
આમ,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$.
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.

(B) જ્યારે લેન્સ સંપર્કમાં હોય,ત્યારે અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ $F$ માટે $\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ થાય. વસ્તુ અનંત અંતરે હોવાથી,પ્રતિબિંબ $F = 60 \ cm$ પર રચાય છે. તેથી,$\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{60}$ ... $(i)$.
જ્યારે લેન્સ $d = 10 \ cm$ ના અંતરે હોય,ત્યારે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F'$ માટે $\frac{1}{F'} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}$ થાય. પ્રતિબિંબ સંયોજન તરફ $30 \ cm$ ખસે છે,તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $60 \ cm - 30 \ cm = 30 \ cm$ થાય. તેથી,$\frac{1}{30} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{10}{f_1 f_2}$ ... $(ii)$.
$(i)$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા: $\frac{1}{30} = \frac{1}{60} - \frac{10}{f_1 f_2} \implies \frac{10}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} - \frac{1}{30} = -\frac{1}{60} \implies f_1 f_2 = -600$.
$(i)$ પરથી,$\frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2} = \frac{1}{60} \implies f_1 + f_2 = \frac{-600}{60} = -10$.
સમીકરણ $x^2 - (f_1+f_2)x + f_1 f_2 = 0 \implies x^2 + 10x - 600 = 0 \implies (x+30)(x-20) = 0$ ઉકેલતા,કેન્દ્રલંબાઈ $20 \ cm$ અને $-30 \ cm$ મળે છે.

(A) પ્રકાશનું કિરણ તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું પડે.
પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,ચાંદીવાળી સપાટી પાસેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે અને શિરોબિંદુ પાસેનો ખૂણો $A$ છે. તેથી,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r = 90^{\circ} - A$ થશે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
અહીં $i = 2A$ અને $r = 90^{\circ} - A$ આપેલ છે,તેથી:
$\mu = \frac{\sin(2A)}{\sin(90^{\circ} - A)}$
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\cos A}$
$\mu = 2 \sin A$.

(D) ધારો કે $P$ એ પડદા પરનું બિંદુ છે જે સ્લિટ $S_1$ ની બરાબર સામે છે. $S_1$ અને $S_2$ થી $P$ પર પહોંચતા પ્રકાશના કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = S_2P - S_1P = \sqrt{b^2 + d^2} - d$
$d >> b$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta x = d(1 + \frac{b^2}{d^2})^{1/2} - d \approx d(1 + \frac{b^2}{2d^2}) - d = \frac{b^2}{2d}$
વિનાશક વ્યતિકરણ (ગેરહાજર તરંગલંબાઇઓ) માટે,પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોવો જોઈએ:
$\Delta x = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, ...$
પથ તફાવત માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{b^2}{2d} = (2n - 1)\frac{\lambda}{2}$
$\lambda = \frac{b^2}{(2n - 1)d}$
$n = 1$ માટે,$\lambda = \frac{b^2}{d}$.
$n = 2$ માટે,$\lambda = \frac{b^2}{3d}$.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.