AIIMS 1995 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + h\rho g$ છે. આપેલ છે કે વાતાવરણીય દબાણ $P_{atm} = H\rho g$,તેથી $P_1 = (H + h)\rho g$ થાય.
સપાટી પર,દબાણ $P_2 = P_{atm} = H\rho g$ છે.
ધારો કે તળિયે પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે. તેનું કદ $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ છે.
સપાટી પર,ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે,તેથી કદ $V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 8V_1$ થાય.
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે બોઈલનો નિયમ વાપરીએ: $P_1V_1 = P_2V_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(H + h)\rho g \times V_1 = H\rho g \times 8V_1$.
બંને બાજુ $\rho g V_1$ વડે ભાગતા,આપણને $H + h = 8H$ મળે છે.
તેથી,$h = 7H$.

(C) પદાર્થ સપાટીના સંપર્કમાં રહે તે માટે,સપાટીનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
$SHM$ ના ઉચ્ચતમ બિંદુએ,પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે અને તેનું મૂલ્ય $a_{max} = \omega^2 A$ છે.
સંપર્ક જાળવી રાખવા માટે,આપણે $a_{max} \leq g$ ની જરૂર છે.
તેથી,$\omega^2 A = g$.
$\omega = 2\pi n$ મૂકતા,જ્યાં $n$ એ આવૃત્તિ છે:
$(2\pi n)^2 A = g$
$4\pi^2 n^2 A = g$
$n^2 = \frac{g}{4\pi^2 A}$.
અહીં $g = 10 \, m/s^2$,$A = 1 \, cm = 0.01 \, m$,અને $\pi^2 \approx 10$ લેતા:
$n^2 = \frac{10}{4 \times 10 \times 0.01} = \frac{10}{0.4} = 25$.
$n = \sqrt{25} = 5 \, Hz$.

(B) ચાંદીવાળી સપાટી પરથી પરાવર્તન પામ્યા પછી પ્રકાશનું કિરણ તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે (આપાતકોણ $0^{\circ}$ પર) આપાત થવું જોઈએ.
પ્રિઝમની ભૂમિતિ પરથી,પ્રથમ સપાટી પરનો વક્રીભવનકોણ $r$ એ પ્રિઝમના ખૂણા $A$ સાથે $r = A$ સંબંધ ધરાવે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i = 2A$ અને વક્રીભવનકોણ $r = A$ છે,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$\sin(2A) = \mu \sin A$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin A \cos A = \mu \sin A$
બંને બાજુ $\sin A$ વડે ભાગતા ($A \neq 0$ ધારીને):
$\mu = 2 \cos A$

(B) તરંગોના કંપવિસ્તાર $a_1 = 10 \mu m,$ $a_2 = 4 \mu m,$ અને $a_3 = 7 \mu m$ છે. પ્રથમ અને બીજા તરંગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે અને બીજા તથા ત્રીજા તરંગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે. તેથી,પ્રથમ અને ત્રીજા તરંગ વચ્ચેનો કુલ કળા તફાવત $\pi$ થાય.
પ્રથમ અને ત્રીજા તરંગને જોડતા,તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_1$ નીચે મુજબ મળે:
$A_1 = \sqrt{a_1^2 + a_3^2 + 2a_1a_3 \cos(\pi)} = \sqrt{10^2 + 7^2 + 2(10)(7)(-1)} = \sqrt{100 + 49 - 140} = \sqrt{9} = 3 \mu m.$
આ પરિણામી $A_1$ પ્રથમ તરંગની દિશામાં છે.
હવે,આ પરિણામી $A_1$ ને બીજા તરંગ સાથે જોડતા (જેનો પ્રથમ તરંગ સાથેનો કળા તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે),અંતિમ પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ નીચે મુજબ મળે:
$A = \sqrt{A_1^2 + a_2^2 + 2A_1a_2 \cos(\frac{\pi}{2})} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4)(0)} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \mu m.$

(B) ધારો કે આપાતકોણ $i = 2A$ છે અને વક્રીભવનકોણ $r_1$ છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1} = \frac{\sin 2A}{\sin r_1}$.
કારણ કે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીવાળી સપાટી પર પરાવર્તન પામ્યા પછી તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે,તેથી તે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બીજી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_2 = 0$ છે.
પ્રિઝમ માટે,$A = r_1 + r_2$. $r_2 = 0$ હોવાથી,આપણને $r_1 = A$ મળે છે.
$r_1 = A$ ને સ્નેલના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$.

(C) ધારો કે કંપવિસ્તારને સદિશ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે: $\vec{A}_1 = 10\hat{i}$,$\vec{A}_2 = 4\hat{j}$,અને $\vec{A}_3 = -7\hat{i}$ (કારણ કે ક્રમિક તરંગો વચ્ચેનો કળા તફાવત $\pi/2$ છે).
પરિણામી કંપવિસ્તાર સદિશ $\vec{A}_R = \vec{A}_1 + \vec{A}_2 + \vec{A}_3$ છે.
$\vec{A}_R = (10 - 7)\hat{i} + 4\hat{j} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$.
પરિણામી કંપવિસ્તારનું મૂલ્ય $A_R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, \mu m$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
અહીં કંપવિસ્તાર $A = 4\, cm$ અને આવર્તકાળ $T = 1.2\, s$ આપેલ છે.
$x = 2\, cm$ થી $x = 4\, cm$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય:
$x = 2\, cm$ પર,$2 = 4 \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = 1/2 \implies \omega t_1 = \pi/6$.
$x = 4\, cm$ પર,$4 = 4 \sin(\omega t_2) \implies \sin(\omega t_2) = 1 \implies \omega t_2 = \pi/2$.
$x = 2\, cm$ થી $x = 4\, cm$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = (\pi/2 - \pi/6) / \omega = (\pi/3) / (2\pi/T) = T/6$.
કણ $x = 4\, cm$ થી $x = 2\, cm$ પર પાછો ફરે છે,તેથી પરત ફરવા માટે લાગતો સમય પણ $T/6$ છે.
કુલ લઘુત્તમ સમય $= T/6 + T/6 = T/3$.
$T = 1.2\, s$ આપેલ હોવાથી,કુલ સમય $= 1.2 / 3 = 0.4\, s$.

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે અને તળિયે પરપોટાની ત્રિજ્યા $R$ છે।
તળિયે, કુલ દબાણ $P_{1} = P_{atm} + \rho gh = \rho gH + \rho gh = \rho g(H + h)$ છે।
તળિયે કદ $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ છે।
સપાટી પર, દબાણ $P_{2} = P_{atm} = \rho gH$ છે।
પરપોટાની ત્રિજ્યા $2R$ થાય છે, તેથી સપાટી પરનું કદ $V_{2} = \frac{4}{3} \pi (2R)^{3} = 8 \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3} = 8V_{1}$ છે।
તાપમાન અચળ રહે છે તેમ ધારીને, આપણે બોઈલનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$।
$\rho g(H + h) V_{1} = \rho gH (8V_{1})$।
$H + h = 8H$।
$h = 7H$।
આમ, તળાવની ઊંડાઈ $7H$ છે।

(B) ધારો કે ત્રણ કંપવિસ્તાર સદિશો તરીકે દર્શાવેલ છે: $\vec{A_1} = 10\hat{i}$,$\vec{A_2} = 4\hat{j}$,અને $\vec{A_3} = -7\hat{i}$ (કારણ કે તેમની વચ્ચે $\pi/2$ નો ક્રમિક કળા તફાવત છે).
પરિણામી સદિશ $\vec{A} = \vec{A_1} + \vec{A_2} + \vec{A_3} = (10 - 7)\hat{i} + 4\hat{j} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$.
પરિણામી કંપવિસ્તારનું મૂલ્ય $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\mu m$ થાય.

(B) સ્તરો $C$ અને $A$ વચ્ચેનો ઉર્જાનો તફાવત એ $C$ અને $B$ તથા $B$ અને $A$ વચ્ચેના ઉર્જા તફાવતનો સરવાળો છે.
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
સંબંધ $E = \frac{hc}{\lambda}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે લખી શકીએ:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
બંને બાજુને $hc$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
તેથી, $\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$.