AIIMS 1995 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना झील की गहराई $h$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + h\rho g$ है। दिया गया है कि वायुमंडलीय दबाव $P_{atm} = H\rho g$ है,इसलिए $P_1 = (H + h)\rho g$ होगा।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_{atm} = H\rho g$ है।
माना तली पर बुलबुले की त्रिज्या $r$ है। इसका आयतन $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
सतह पर,त्रिज्या $2r$ हो जाती है,इसलिए आयतन $V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 8V_1$ होगा।
तापमान स्थिर मानते हुए,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1V_1 = P_2V_2$।
मान रखने पर: $(H + h)\rho g \times V_1 = H\rho g \times 8V_1$।
दोनों पक्षों को $\rho g V_1$ से विभाजित करने पर,हमें $H + h = 8H$ प्राप्त होता है।
अतः,$h = 7H$।

(C) पिंड को सतह के संपर्क में रहने के लिए,सतह का नीचे की ओर त्वरण गुरुत्वीय त्वरण $g$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
$SHM$ के उच्चतम बिंदु पर,त्वरण नीचे की ओर निर्देशित होता है और इसका परिमाण $a_{max} = \omega^2 A$ होता है।
संपर्क बनाए रखने के लिए,हमें $a_{max} \leq g$ की आवश्यकता है।
अतः,$\omega^2 A = g$।
$\omega = 2\pi n$ प्रतिस्थापित करने पर,जहाँ $n$ आवृत्ति है:
$(2\pi n)^2 A = g$
$4\pi^2 n^2 A = g$
$n^2 = \frac{g}{4\pi^2 A}$।
दिया गया है $g = 10 \, m/s^2$,$A = 1 \, cm = 0.01 \, m$,और $\pi^2 \approx 10$:
$n^2 = \frac{10}{4 \times 10 \times 0.01} = \frac{10}{0.4} = 25$।
$n = \sqrt{25} = 5 \, Hz$।

(B) चांदी वाली सतह से परावर्तन के बाद प्रकाश किरण के अपने पथ पर वापस लौटने के लिए,इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत (आपतन कोण $0^{\circ}$ पर) गिरना चाहिए।
प्रिज्म की ज्यामिति से,पहली सतह पर अपवर्तन कोण $r$,प्रिज्म कोण $A$ से $r = A$ द्वारा संबंधित है।
पहली सतह पर स्नेल का नियम लागू करने पर:
$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$
यह दिया गया है कि आपतन कोण $i = 2A$ और अपवर्तन कोण $r = A$ है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(2A) = \mu \sin A$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin A \cos A = \mu \sin A$
दोनों पक्षों को $\sin A$ से विभाजित करने पर ($A \neq 0$ मानते हुए):
$\mu = 2 \cos A$

(B) तरंगों के आयाम $a_1 = 10 \mu m,$ $a_2 = 4 \mu m,$ और $a_3 = 7 \mu m$ हैं। पहली और दूसरी तरंग के बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है और दूसरी तथा तीसरी तरंग के बीच का कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है। इसलिए,पहली और तीसरी तरंग के बीच का कुल कलांतर $\pi$ है।
पहली और तीसरी तरंग को संयोजित करने पर,उनका परिणामी आयाम $A_1$ इस प्रकार होगा:
$A_1 = \sqrt{a_1^2 + a_3^2 + 2a_1a_3 \cos(\pi)} = \sqrt{10^2 + 7^2 + 2(10)(7)(-1)} = \sqrt{100 + 49 - 140} = \sqrt{9} = 3 \mu m.$
यह परिणामी $A_1$ पहली तरंग की दिशा में है।
अब,इस परिणामी $A_1$ को दूसरी तरंग के साथ संयोजित करने पर (जिसका पहली तरंग के सापेक्ष कलांतर $\frac{\pi}{2}$ है),अंतिम परिणामी आयाम $A$ होगा:
$A = \sqrt{A_1^2 + a_2^2 + 2A_1a_2 \cos(\frac{\pi}{2})} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2(3)(4)(0)} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \mu m.$

(B) माना आपतन कोण $i = 2A$ है और अपवर्तन कोण $r_1$ है।
पहली सतह पर स्नेल के नियम के अनुसार: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1} = \frac{\sin 2A}{\sin r_1}$।
चूंकि प्रकाश किरण चांदी वाली सतह पर परावर्तन के बाद उसी पथ पर वापस लौट आती है,इसलिए इसे चांदी वाली सतह पर लंबवत आपतित होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि दूसरी सतह पर अपवर्तन कोण $r_2 = 0$ है।
प्रिज्म के लिए,$A = r_1 + r_2$ होता है। चूंकि $r_2 = 0$ है,इसलिए $r_1 = A$ प्राप्त होता है।
$r_1 = A$ को स्नेल के नियम के समीकरण में रखने पर:
$\mu = \frac{\sin 2A}{\sin A}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2A = 2 \sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\sin A} = 2 \cos A$।

(C) माना आयामों को सदिशों के रूप में दर्शाया गया है: $\vec{A}_1 = 10\hat{i}$,$\vec{A}_2 = 4\hat{j}$,और $\vec{A}_3 = -7\hat{i}$ (क्योंकि क्रमिक तरंगों के बीच कलांतर $\pi/2$ है)।
परिणामी आयाम सदिश $\vec{A}_R = \vec{A}_1 + \vec{A}_2 + \vec{A}_3$ है।
$\vec{A}_R = (10 - 7)\hat{i} + 4\hat{j} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$।
परिणामी आयाम का परिमाण $A_R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\, \mu m$ है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए गति का समीकरण $x = A \sin(\omega t)$ है।
यहाँ आयाम $A = 4\, cm$ और आवर्तकाल $T = 1.2\, s$ दिया गया है।
$x = 2\, cm$ से $x = 4\, cm$ तक जाने में लगा समय:
$x = 2\, cm$ पर,$2 = 4 \sin(\omega t_1) \implies \sin(\omega t_1) = 1/2 \implies \omega t_1 = \pi/6$.
$x = 4\, cm$ पर,$4 = 4 \sin(\omega t_2) \implies \sin(\omega t_2) = 1 \implies \omega t_2 = \pi/2$.
$x = 2\, cm$ से $x = 4\, cm$ तक जाने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = (\pi/2 - \pi/6) / \omega = (\pi/3) / (2\pi/T) = T/6$.
चूंकि कण $x = 4\, cm$ से $x = 2\, cm$ पर वापस आता है,इसलिए वापसी यात्रा में लगा समय भी $T/6$ है।
कुल न्यूनतम समय $= T/6 + T/6 = T/3$.
$T = 1.2\, s$ दिया गया है,इसलिए कुल समय $= 1.2 / 3 = 0.4\, s$।

(C) मान लीजिए कि झील की गहराई $h$ है और तली पर बुलबुले की त्रिज्या $R$ है।
तली पर, कुल दबाव $P_{1} = P_{atm} + \rho gh = \rho gH + \rho gh = \rho g(H + h)$ है।
तली पर आयतन $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ है।
सतह पर, दबाव $P_{2} = P_{atm} = \rho gH$ है।
बुलबुले की त्रिज्या $2R$ हो जाती है, इसलिए सतह पर आयतन $V_{2} = \frac{4}{3} \pi (2R)^{3} = 8 \cdot \frac{4}{3} \pi R^{3} = 8V_{1}$ है।
यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है, हम बॉयल के नियम को लागू करते हैं: $P_{1}V_{1} = P_{2}V_{2}$।
$\rho g(H + h) V_{1} = \rho gH (8V_{1})$।
$H + h = 8H$।
$h = 7H$।
अतः, झील की गहराई $7H$ है।

(B) माना कि तीनों आयामों को सदिशों के रूप में दर्शाया गया है: $\vec{A_1} = 10\hat{i}$,$\vec{A_2} = 4\hat{j}$,और $\vec{A_3} = -7\hat{i}$ (क्योंकि उनके बीच $\pi/2$ का क्रमिक कलांतर है)।
परिणामी सदिश $\vec{A} = \vec{A_1} + \vec{A_2} + \vec{A_3} = (10 - 7)\hat{i} + 4\hat{j} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ है।
परिणामी आयाम का परिमाण $A = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\,\mu m$ है।

(B) स्तरों $C$ और $A$ के बीच का ऊर्जा अंतर, $C$ और $B$ तथा $B$ और $A$ के बीच के ऊर्जा अंतर का योग है।
$E_C - E_A = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_2 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_2}$
अतः, $\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।