AIEEE 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) विस्थापन $y(t) = A \sin (\omega t + \phi)$ द्वारा दिया गया है।
दिया गया है $\phi = \frac{2\pi}{3}$।
$t = 0$ पर,विस्थापन $y(0) = A \sin(\phi) = A \sin(\frac{2\pi}{3})$ है।
चूंकि $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,इसलिए $y(0) = 0.866 A$ है।
इसका अर्थ है कि $t = 0$ पर,ग्राफ को लगभग $0.87 A$ के बराबर धनात्मक विस्थापन दिखाना चाहिए। इसके अतिरिक्त,वेग $v(t) = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi)$ है। $t = 0$ पर,$v(0) = A\omega \cos(\frac{2\pi}{3}) = A\omega (-0.5) = -0.5 A\omega$ है। चूंकि $t = 0$ पर वेग ऋणात्मक है,इसलिए $t = 0$ पर ग्राफ का ढाल (slope) घटता हुआ होना चाहिए। ग्राफ $B$,$t = 0$ पर धनात्मक विस्थापन और ऋणात्मक ढाल दर्शाता है,जो इन शर्तों को पूरा करता है।

(A) मान लीजिए कि स्टील की तापीय चालकता $K_{steel} = k$ है।
तब,तांबे की तापीय चालकता $K_{copper} = 9k$ होगी।
मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं और आसपास के वातावरण से इंसुलेटेड हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों छड़ों से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होगी।
$H = \frac{K_{copper} A (100 - \theta)}{L/2} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L/2}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और लंबाई $L/2$ समान है:
$K_{copper} (100 - \theta) = K_{steel} (\theta - 0)$
$9k (100 - \theta) = k \theta$
$900 - 9\theta = \theta$
$10\theta = 900$
$\theta = 90\,^oC$.

(B) जब दो पिंड अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर घूमते हैं,तो गुरुत्वाकर्षण बल दोनों कणों के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
चूंकि सिस्टम के संतुलन को बनाए रखने के लिए कणों को हमेशा द्रव्यमान केंद्र के विपरीत दिशाओं में रहना चाहिए,इसलिए उन्हें समान समयावधि $T$ में अपनी वृत्ताकार कक्षा पूरी करनी होगी।
कोणीय वेग को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि दोनों कणों की समयावधि $T$ समान है,इसलिए उनके कोणीय वेग समान होने चाहिए,अर्थात $\omega_1 = \omega_2$।
यह कोणीय वेग दो द्रव्यमानों के बीच गुरुत्वाकर्षण संपर्क द्वारा निर्धारित होता है और कक्षीय गति की गतिशीलता के संदर्भ में यह अंश $f$ से स्वतंत्र है।

(D) दिया गया है कि मुख्य पैमाने के $N$ भाग वर्नियर पैमाने के $(N + 1)$ भागों के साथ संपाती हैं।
मान लीजिए कि मुख्य पैमाने के एक भाग का मान $a$ है।
मान लीजिए कि वर्नियर पैमाने के एक भाग का मान $v$ है।
प्रश्न के अनुसार,$(N + 1)v = Na$ है।
इसलिए,वर्नियर पैमाने के एक भाग का मान $v = \frac{Na}{N + 1}$ है।
वर्नियर कैलीपर का अल्पतमांक (Least Count) मुख्य पैमाने के एक भाग और वर्नियर पैमाने के एक भाग के बीच का अंतर होता है।
अल्पतमांक = $a - v$ है।
$v$ का मान रखने पर:
अल्पतमांक = $a - \frac{Na}{N + 1} = a \left( 1 - \frac{N}{N + 1} \right)$ है।
अल्पतमांक = $a \left( \frac{N + 1 - N}{N + 1} \right) = \frac{a}{N + 1}$ है।

(C) $m_1$ द्रव्यमान का कण जो $u_1$ वेग से गति कर रहा है और $m_2$ द्रव्यमान का कण जो स्थिर है $(u_2 = 0)$,उनके बीच टक्कर के बाद पहले कण का अंतिम वेग $v_1$ इस प्रकार है:
$v_1 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) u_1$
पहले कण द्वारा संरक्षित गतिज ऊर्जा का अंश:
$\frac{K_f}{K_i} = \frac{\frac{1}{2} m_1 v_1^2}{\frac{1}{2} m_1 u_1^2} = \left( \frac{v_1}{u_1} \right)^2 = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right)^2$
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = 2m$ दिया गया है:
$\frac{K_f}{K_i} = \left( \frac{m - 2m}{m + 2m} \right)^2 = \left( \frac{-m}{3m} \right)^2 = \left( -\frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$
गतिज ऊर्जा में होने वाली हानि का अंश:
$\frac{\Delta K}{K_i} = 1 - \frac{K_f}{K_i} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$
ऊर्जा में प्रतिशत हानि:
$\text{प्रतिशत हानि} = \frac{8}{9} \times 100 \approx 88.89\% \approx 90\%$

(D) माना $S$ ट्रेन की कुल लंबाई है और $a$ समान त्वरण है।
गति के समीकरण $v^2 - u^2 = 2aS$ का उपयोग करने पर:
$v^2 - u^2 = 2aS \implies aS = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
माना $V_c$ मध्य डिब्बे का वेग है जब वह खंभे को पार करता है। इंजन से मध्य डिब्बे तक की दूरी $S/2$ है।
इस दूरी के लिए गति का समीकरण लागू करने पर:
$V_c^2 - u^2 = 2a(S/2) = aS$.
$aS$ का मान रखने पर:
$V_c^2 - u^2 = \frac{v^2 - u^2}{2}$.
$V_c^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{u^2 + v^2}{2}$.
अतः,$V_c = \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{2}}$.

(A) भौतिक लोलक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ निलंबन बिंदु के परितः जड़त्व आघूर्ण है और $l$ निलंबन बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी है।
$m$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली वलय के लिए,उसकी परिधि पर स्थित बिंदु $S$ से लटकाने पर,समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार जड़त्व आघूर्ण $I = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ होता है।
निलंबन बिंदु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $l = R$ है।
इन मानों को आवर्तकाल के सूत्र में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
यहाँ $T = 1 \, s$ और $g = \pi^2$ दिया गया है,अतः:
$1 = 2\pi \sqrt{\frac{2R}{\pi^2}} = 2\pi \frac{\sqrt{2R}}{\pi} = 2\sqrt{2R}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 = 4(2R) = 8R$.
अतः,$R = 1/8 = 0.125 \, m$.
नोट: यदि प्रश्न में $T=2s$ लिया जाए,तो $R = 0.5 \, m$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $A$ के अनुसार है।

(C) तार का ब्रेकिंग फोर्स (तोड़ने वाला बल) उसके ब्रेकिंग स्ट्रेस और उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल द्वारा निर्धारित होता है। ब्रेकिंग फोर्स का सूत्र $F = \text{Breaking Stress} \times \text{Area}$ है।
चूंकि ब्रेकिंग स्ट्रेस पदार्थ का एक गुण है और तार को दो बराबर भागों में काटने पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल नहीं बदलता है, इसलिए प्रत्येक भाग के लिए ब्रेकिंग फोर्स समान रहता है।
अतः, प्रत्येक भाग अभी भी $100\,kg$ वजन सहन कर सकता है।

(A) दिया गया दबाव-आयतन संबंध: $P = \alpha V$ है।
प्रारंभिक आयतन $V_i = V$ से अंतिम आयतन $V_f = mV$ तक विस्तार के दौरान गैस द्वारा किया गया कार्य $W$ समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$W = \int_{V_i}^{V_f} P \, dV$
$P = \alpha V$ प्रतिस्थापित करने पर:
$W = \int_{V}^{mV} \alpha V \, dV$
$V$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$W = \alpha \left[ \frac{V^2}{2} \right]_{V}^{mV}$
$W = \frac{\alpha}{2} [(mV)^2 - V^2]$
$W = \frac{\alpha V^2}{2} (m^2 - 1)$

(B) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = 264 \, Hz$ है। ध्वनि का वेग $v = 330 \, m/s$ है।
एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुनाद आवृत्तियाँ $n = \frac{(2k-1)v}{4L}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $k = 1, 2, 3, \dots$ हार्मोनिक संख्या है।
मूल लंबाई $(k=1)$ $L_1 = \frac{v}{4n} = \frac{330}{4 \times 264} = 0.3125 \, m = 31.25 \, cm$ है।
संभावित अनुनाद लंबाई $L = (2k-1) \times 31.25 \, cm$ है।
$k=1$ के लिए,$L = 31.25 \, cm$ है।
$k=2$ के लिए,$L = 3 \times 31.25 = 93.75 \, cm$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$93.75 \, cm$ सही उत्तर है।

(A) विद्युत प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{a}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रतिरोधकता $\rho$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\rho = \frac{R a}{l}$ प्राप्त होता है।
प्रतिरोध $R$ का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-3} A^{-2}]$ है।
क्षेत्रफल $a$ का विमीय सूत्र $[L^2]$ है।
लंबाई $l$ का विमीय सूत्र $[L]$ है।
इन मानों को $\rho$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\rho = \frac{[M L^2 T^{-3} A^{-2}] [L^2]}{[L]} = [M L^3 T^{-3} A^{-2}]$.
विद्युत चालकता $\sigma$ प्रतिरोधकता $\rho$ का व्युत्क्रम है,इसलिए $\sigma = \frac{1}{\rho}$।
अतः,$\sigma$ का विमीय सूत्र $[M^{-1} L^{-3} T^3 A^2]$ है।

(C) माना कण का द्रव्यमान $M$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,प्रारंभिक स्थिति (केंद्र से $r$ दूरी पर) पर कुल ऊर्जा केंद्र $C$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले वलय के अक्ष पर $x$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V_p = -\frac{Gm}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = M \times V_p(r) = -\frac{GMm}{\sqrt{r^2 + r^2}} = -\frac{GMm}{r\sqrt{2}}$.
केंद्र पर अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = M \times V_p(0) = -\frac{GMm}{r}$.
ऊर्जा संरक्षण के अनुसार: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
$-\frac{GMm}{r\sqrt{2}} + 0 = -\frac{GMm}{r} + \frac{1}{2}MV^2$.
$\frac{1}{2}MV^2 = \frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r\sqrt{2}} = \frac{GMm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V^2 = \frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$V = \sqrt{\frac{2Gm}{r} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}})}$.

(A) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 = 25\, J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है,जो $F-x$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर है।
किया गया कार्य $W = \int_{0}^{8} F dx = \text{ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
$x=0$ से $x=2$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के ऊपर त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2\, J$.
$x=2$ से $x=5$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के नीचे त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 3 \times (-1) = -1.5\, J$.
$x=5$ से $x=8$ तक का क्षेत्रफल (अक्ष के ऊपर त्रिभुज): $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5\, J$.
कुल कार्य $W = 2 - 1.5 + 4.5 = 5\, J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = K_i + W = 25 + 5 = 30\, J$.

(D) रेफ्रिजरेटर हीट पंप के सिद्धांत पर काम करता है,जो कूलिंग चैंबर से गर्मी निकालता है और उसे आसपास के वातावरण में छोड़ देता है।
ऊष्मागतिकी (thermodynamics) के पहले नियम के अनुसार,कमरे में छोड़ी गई ऊर्जा कूलिंग चैंबर से निकाली गई गर्मी और कंप्रेसर द्वारा किए गए कार्य के योग के बराबर होती है।
चूंकि कंप्रेसर कार्य करने के लिए विद्युत ऊर्जा का उपभोग करता है,इसलिए कमरे में छोड़ी गई कुल गर्मी कूलिंग चैंबर से हटाई गई गर्मी से अधिक होती है।
इसलिए,यदि एक अच्छी तरह से इंसुलेटेड कमरे में रेफ्रिजरेटर का दरवाजा खुला छोड़ दिया जाए,तो इसका शुद्ध प्रभाव कमरे के तापमान में वृद्धि करना होगा।

(A) स्टोक्स के नियम के अनुसार,जब $a$ त्रिज्या का एक छोटा गोला किसी श्यान द्रव में गिरता है,तो वह एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेता है जिसे सीमांत वेग $(V_T)$ कहा जाता है।
सीमांत वेग का सूत्र इस प्रकार है:
$V_T = \frac{2a^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ:
$a$ = गोले की त्रिज्या
$\rho$ = गोले का घनत्व
$\sigma$ = द्रव का घनत्व
$g$ = गुरुत्वीय त्वरण
$\eta$ = द्रव का श्यानता गुणांक
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_T \propto a^2$ है।
अतः,सीमांत वेग गोले की त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।

(D) पत्थर का कोणीय संवेग $L$,$L = mvr = mr^2\omega$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ रैखिक वेग है,$r$ त्रिज्या है और $\omega$ कोणीय वेग है।
चूंकि कोणीय संवेग नियत है,हमारे पास $mr^2\omega = C$ है (जहाँ $C$ एक नियतांक है)।
इसका अर्थ है $\omega = \frac{C}{mr^2}$।
डोरी में तनाव $T$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T = m\omega^2r$।
तनाव के सूत्र में $\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = m \left( \frac{C}{mr^2} \right)^2 r = m \left( \frac{C^2}{m^2r^4} \right) r = \frac{C^2}{mr^3} = \left( \frac{C^2}{m} \right) r^{-3}$।
इसे $T = Ar^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{C^2}{m}$ और $n = -3$ प्राप्त होता है।

(C) धनात्मक $x$-दिशा में संचरित हो रही तरंग का सामान्य समीकरण $y(x, t) = f(x - vt)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ तरंग का वेग है।
समय $t = 0$ पर,समीकरण $y = f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ है।
किसी भी समय $t$ पर,समीकरण $y = f(x - vt) = \frac{1}{1 + (x - vt)^2}$ हो जाता है।
दिया गया है कि $t = 2 \ s$ पर,समीकरण $y = \frac{1}{1 + (x - 1)^2}$ है।
$t = 2 \ s$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$vt = 1$
चूंकि $t = 2 \ s$ है,इसलिए $v(2) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = \frac{1}{2} = 0.5 \ m/s$।

(D) समतापीय प्रक्रिया के लिए, तापमान स्थिर रहता है, इसलिए $PV = \text{स्थिरांक}$.
प्रारंभिक अवस्था: $(P, V)$. अंतिम अवस्था: $(P_i, 2V)$.
$PV = P_i(2V) \implies P_i = \frac{P}{2} \implies P = 2P_i \quad ...(i)$
रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए, $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$.
प्रारंभिक अवस्था: $(P, V)$. अंतिम अवस्था: $(P_a, 2V)$.
$PV^{\gamma} = P_a(2V)^{\gamma} \implies P_a = P \left(\frac{V}{2V}\right)^{\gamma} = P(2)^{-\gamma}$
एकपरमाणुक गैस के लिए, रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = \frac{5}{3}$ होता है।
$P = 2P_i$ और $\gamma = \frac{5}{3}$ का मान रुद्धोष्म समीकरण में रखने पर:
$P_a = (2P_i)(2)^{-5/3} = P_i \cdot 2^1 \cdot 2^{-5/3} = P_i \cdot 2^{1 - 5/3} = P_i \cdot 2^{-2/3}$
अतः, अनुपात $\frac{P_a}{P_i} = 2^{-2/3}$ है।

(D) जब एक गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो किसी भी ऊँचाई $y$ (जमीन से मापी गई) पर उसकी चाल $v$ ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा दी जाती है: $mgh = mgy + \frac{1}{2}mv^2$,जो सरल होकर $v = \sqrt{2g(h-y)}$ हो जाता है।
यह समीकरण $(v, h)$ तल में बाईं ओर खुलने वाले परवलय को दर्शाता है,जहाँ $h$ ऊर्ध्वाधर अक्ष है और $v$ क्षैतिज अक्ष है।
नीचे की ओर गति के दौरान,जैसे-जैसे $h$ प्रारंभिक ऊँचाई से घटकर $0$ हो जाता है,चाल $v$ बढ़कर $0$ से $\sqrt{2gh}$ हो जाती है।
जमीन से अप्रत्यास्थ रूप से टकराने पर,गेंद कुछ गतिज ऊर्जा खो देती है,इसलिए उछलने के तुरंत बाद उसका वेग $v' = ev$ होता है,जहाँ $e < 1$ प्रत्यावस्थान गुणांक है।
ऊपर की ओर गति के दौरान,गेंद $h=0$ पर $v'$ चाल से शुरू होती है और नई अधिकतम ऊँचाई $h' = e^2h$ तक पहुँचती है। जैसे-जैसे $h$ बढ़कर $0$ से $h'$ हो जाता है,चाल $v$ घटकर $v'$ से $0$ हो जाती है।
यह व्यवहार नीचे की ओर गति के लिए नीचे की ओर खुलने वाले परवलयाकार चाप और ऊपर की ओर गति के लिए ऊपर की ओर खुलने वाले परवलयाकार चाप द्वारा दर्शाया जाता है,जिसमें ऊपर की गति कम ऊँचाई तक पहुँचती है। ग्राफ $D$ इस क्रम को सही ढंग से दर्शाता है।

(B) मान लीजिए गोले का द्रव्यमान $m$ है और इसकी घूर्णन त्रिज्या $k$ है। ढलान के शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ नीचे पहुँचने पर गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
स्थिति $1$: बिना फिसले लुढ़कना।
$PE = K.E_{trans} + K.E_{rot} = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$
चूँकि $I = mk^2$ और $\omega = v_0/R_0$,इसलिए:
$PE = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(mk^2)(v_0^2/R_0^2) = \frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) \dots (i)$
स्थिति $2$: बिना लुढ़के फिसलना (घर्षणरहित)।
$PE = K.E_{trans} = \frac{1}{2}m(5v_0/4)^2 = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16) \dots (ii)$
चूँकि $PE$ समान है,समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2}mv_0^2(1 + k^2/R_0^2) = \frac{1}{2}m(25v_0^2/16)$
$1 + k^2/R_0^2 = 25/16$
$k^2/R_0^2 = 25/16 - 1 = 9/16$
$k = 3R_0/4$

(A) कुल ऊँचाई $H$ वाली टंकी में सतह से $y$ गहराई पर स्थित छेद से निकलने वाले पानी की क्षैतिज परास (range) $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ द्वारा दी जाती है।
छेद $A$ के लिए,सतह से गहराई $h_1$ है,इसलिए परास $R_A = 2\sqrt{h_1(H - h_1)}$ है।
छेद $B$ के लिए,तल से ऊँचाई $h_2$ है,इसलिए सतह से गहराई $(H - h_2)$ है। परास $R_B = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$ है।
चूंकि परास समान हैं,$R_A = R_B$:
$2\sqrt{h_1(H - h_1)} = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$h_1(H - h_1) = h_2(H - h_2)$
$Hh_1 - h_1^2 = Hh_2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = h_1^2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = (h_1 - h_2)(h_1 + h_2)$
यदि $h_1 \neq h_2$ है,तो हमें $H = h_1 + h_2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $h_1/h_2$ का अनुपात कोई निश्चित स्थिरांक नहीं है बल्कि यह $H$ पर निर्भर करता है।

(C) कथन $1$ सत्य है क्योंकि न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। जब आप गाड़ी को धक्का देते हैं,तो वह आप पर समान और विपरीत बल लगाती है।
कथन $2$ असत्य है। गाड़ी इसलिए नहीं हिलती क्योंकि गाड़ी पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होता है। आप जो बल गाड़ी पर लगाते हैं और घोड़ा जो बल गाड़ी पर लगाता है,वे स्थैतिक घर्षण या घोड़े के विपरीत बल द्वारा संतुलित होते हैं,न कि इसलिए कि क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म एक-दूसरे को रद्द करते हैं। क्रिया और प्रतिक्रिया बल अलग-अलग पिंडों पर कार्य करते हैं,इसलिए वे कभी भी एक-दूसरे को रद्द नहीं कर सकते।

(D) तीनों इलेक्ट्रॉनों को हटाने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा प्रत्येक इलेक्ट्रॉन को क्रमिक रूप से हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का योग है।
$1$. पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए ऊर्जा ($Li$ की आयनीकरण ऊर्जा): $E_1 = 5.4 \ eV$.
$2$. पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के बाद,हमारे पास $Li^+$ बचता है। $Li^+$ आयन में एक इलेक्ट्रॉन की बंधन ऊर्जा $75.6 \ eV$ है। चूंकि $Li^+$ आयन में दो इलेक्ट्रॉन शेष हैं,इसलिए दोनों को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $2 \times 75.6 \ eV = 151.2 \ eV$ होगी।
$3$. आवश्यक कुल ऊर्जा = $E_1 + E_2 + E_3 = 5.4 \ eV + 151.2 \ eV = 156.6 \ eV$.

(B) एक आदर्श अनंत परिनालिका का स्व-प्रेरकत्व $L_{ideal} = \frac{\mu_0 N^2 A}{L} = \frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
सीमित लंबाई की वास्तविक परिनालिका में,चुंबकीय क्षेत्र पूरे आंतरिक भाग में समान नहीं होता है; यह केंद्र में अधिकतम होता है और सिरों की ओर घटता जाता है।
चूंकि सीमित परिनालिका में चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज अनंत परिनालिका की तुलना में कम होता है,इसलिए वास्तविक स्व-प्रेरकत्व आदर्श सूत्र $\frac{\mu_0 N^2 \pi r^2}{L}$ का उपयोग करके गणना किए गए मान से कम होता है।
कथन $1$ सत्य है क्योंकि यह सीमित लंबाई के प्रभाव को ध्यान में रखता है।
कथन $2$ सत्य है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 NI}{L}$ केवल एक अनंत परिनालिका के लिए या एक लंबी परिनालिका के केंद्र में मान्य है,और यह सिरों की ओर घटता जाता है।
चूंकि सिरों पर चुंबकीय फ्लक्स में कमी सीधे कथन $2$ में वर्णित चुंबकीय क्षेत्र की असमानता के कारण होती है,इसलिए कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(C) मान लीजिए कि $r$ और $R$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं।
दिया गया है कि $q_1 + q_2 = Q$.
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान है,$\sigma_1 = \sigma_2$.
$\frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2} \implies \frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$.
अनुपात के नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2} = \frac{q_1 + q_2}{r^2 + R^2} = \frac{Q}{r^2 + R^2}$.
अतः,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$ और $q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
उभयनिष्ठ केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$ है।
$q_1$ और $q_2$ के मान रखने पर:
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r + Q R}{R^2 + r^2} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{R^2 + r^2}$.

(C) जब कोई रेडियोधर्मी पदार्थ एक साथ कई प्रक्रियाओं के माध्यम से क्षय होता है,तो कुल क्षय नियतांक व्यक्तिगत क्षय नियतांकों का योग होता है।
अतः,प्रभावी क्षय नियतांक $\lambda_{eff} = \lambda_{\alpha} + \lambda_{\beta}$ है।
अर्ध-आयु $T$,क्षय नियतांक $\lambda$ से $T = \frac{\ln 2}{\lambda}$ द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$।
इसे प्रभावी क्षय नियतांक के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\ln 2}{T_{eff}} = \frac{\ln 2}{T_{\alpha}} + \frac{\ln 2}{T_{\beta}}$।
दोनों पक्षों को $\ln 2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{T_{eff}} = \frac{1}{T_{\alpha}} + \frac{1}{T_{\beta}}$ प्राप्त होता है।
$T_{eff}$ के लिए हल करने पर,हमें $T_{eff} = \frac{T_{\alpha}T_{\beta}}{T_{\alpha} + T_{\beta}}$ प्राप्त होता है।

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hv - hv_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है,और $v_0$ देहली आवृत्ति है।
यदि आवृत्ति $v$ को दोगुना करके $2v$ कर दिया जाए,तो नई गतिज ऊर्जा $K'_{max} = h(2v) - hv_0 = 2hv - hv_0$ होगी। यह $2K_{max} = 2(hv - hv_0) = 2hv - 2hv_0$ के बराबर नहीं है। अतः,अधिकतम गतिज ऊर्जा दोगुनी नहीं होती है।
इसके अलावा,फोटोकरंट प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या पर निर्भर करता है,जो प्रकाश की तीव्रता के समानुपाती होता है,न कि आवृत्ति के। इसलिए,कथन $1$ असत्य है।
कथन $2$ सही ढंग से बताता है कि $K_{max}$ आवृत्ति पर रैखिक रूप से निर्भर करता है और फोटोकरंट तीव्रता पर निर्भर करता है। अतः,कथन $2$ सत्य है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
जब कण को $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित किया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा $K = qV = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,जिसका अर्थ है $v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$।
$v$ का मान त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{m}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{q}}$।
प्रोटॉन के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m$ है। अतः,$r_p = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}}$।
ड्यूटेरॉन के लिए,$q_d = e$ और $m_d = 2m$ है। अतः,$r_d = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2(2m)V}{e}} = \sqrt{2} \times \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2mV}{e}} = \sqrt{2} r_p$।
चूंकि $r_d = R$ दिया गया है,इसलिए $R = \sqrt{2} r_p$,जिसका अर्थ है $r_p = \frac{R}{\sqrt{2}}$।

(C) $1$. प्रकाश किरण $AB$ सतह पर लंबवत आपतित होती है,इसलिए यह बिना विचलन के प्रिज्म में प्रवेश करती है और $AC$ सतह से टकराती है।
$2$. मान लीजिए $AC$ सतह पर आपतन कोण $i$ है। प्रिज्म की ज्यामिति से,$AC$ सतह के अभिलंब और आपतित किरण के बीच का कोण प्रिज्म के कोण $\theta$ के बराबर होता है। अतः,$i = \theta$।
$3$. $AC$ सतह पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन $(TIR)$ होने के लिए,आपतन कोण कांच-पानी इंटरफ़ेस के लिए क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
$4$. $TIR$ के लिए शर्त $i > C$ है,जिसका अर्थ है $\sin i > \sin C$।
$5$. चूंकि $i = \theta$,इसलिए $\sin \theta > \sin C$।
$6$. क्रांतिक कोण $C$ का मान $\sin C = \frac{\mu_{\text{water}}}{\mu_{\text{glass}}} = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$ द्वारा दिया जाता है।
$7$. अतः,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin \theta > \frac{8}{9}$ है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में, विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और तरंग के संचरण की दिशा $\vec{k}$ परस्पर लंबवत होते हैं।
दिया गया है कि तरंग $+y$ दिशा में संचरित होती है, इसलिए तरंग सदिश $y$-अक्ष के अनुदिश है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ $+x$ अक्ष के अनुदिश है।
चूंकि संचरण की दिशा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के क्रॉस उत्पाद $(\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v})$ द्वारा दी जाती है, इसलिए $\hat{E} \times \hat{x} = \hat{y}$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $z$-अक्ष के अनुदिश होना चाहिए (क्योंकि $\hat{z} \times \hat{x} = \hat{y}$)।
$+y$ दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए, चरण पद $(\omega t - ky)$ है, जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
अतः, विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E} = E_0 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} y \right) \hat{z}$ है।

(B) समांतर परिपथ में,प्रत्येक घटक के सिरों पर वोल्टेज बैटरी के वोल्टेज के समान होता है।
बल्ब $1$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_1)$ $= 6.0\,V$.
बल्ब $2$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_2)$ $= 6.0\,V$.
बल्ब की चमक उसके द्वारा व्यय की गई शक्ति पर निर्भर करती है,जिसे $P = \frac{V^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
बल्ब $1$ के लिए: $P_1 = \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12\,W$.
बल्ब $2$ के लिए: $P_2 = \frac{6^2}{6} = \frac{36}{6} = 6\,W$.
चूंकि $P_1 > P_2$ है,इसलिए बल्ब $1$ अधिक चमकीला जलेगा।

(C) दिया गया है:
आर्मेचर प्रतिरोध, $R = 0.1 \, \Omega$
प्रेरित emf, $e = 120 \, V$
ली गई धारा, $I = 50 \, A$
एक जनरेटर के लिए, प्रेरित emf $(e)$, टर्मिनल वोल्टेज $(V)$ और आर्मेचर प्रतिरोध $(R)$ के बीच संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$e = V + I R$
टर्मिनल वोल्टेज $(V)$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$V = e - I R$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = 120 - (50 \times 0.1)$
$V = 120 - 5$
$V = 115 \, V$
अतः, टर्मिनल वोल्टेज $115 \, V$ है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार, बिना किसी आंतरिक आवेश वाली बंद सतह के लिए कुल विद्युत फ्लक्स शून्य होता है।
$\phi_{\text{net}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{base}} = 0$
इसलिए, $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$।
समतल आधार से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{base}} = \vec{E} \cdot \vec{A}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\vec{A}$ आधार का क्षेत्रफल सदिश है। क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर (आधार के लंबवत) होता है, जबकि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ के बीच का कोण $180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ है।
$\phi_{\text{base}} = E A \cos(135^{\circ}) = E (\pi a^2) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{base}}$, इसलिए $\phi_{\text{curved}} = \frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$।

(B) आयाम मॉडुलित तरंग के लिए दिया गया व्यंजक $\vec E = \hat i E_c (1 + \frac{E_m}{E_c} \cos \omega_m t) \cos \omega_c t$ है।
इस व्यंजक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec E = \hat i [E_c \cos \omega_c t + E_m \cos \omega_m t \cos \omega_c t]$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\vec E = \hat i [E_c \cos \omega_c t + \frac{E_m}{2} (\cos(\omega_c + \omega_m)t + \cos(\omega_c - \omega_m)t)]$।
यह व्यंजक दर्शाता है कि मॉडुलित तरंग में तीन अलग-अलग आवृत्ति घटक मौजूद हैं:
$1$. वाहक आवृत्ति: $\omega_c$
$2$. उच्च साइडबैंड आवृत्ति: $\omega_c + \omega_m$
$3$. निम्न साइडबैंड आवृत्ति: $\omega_c - \omega_m$
अतः,उपस्थित आवृत्तियाँ $\omega_c, \omega_c + \omega_m$ और $\omega_c - \omega_m$ हैं।

(C) एक धनात्मक आवेश के कारण विद्युत बल रेखाएं त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होती हैं और गोलाकार रूप से सममित होती हैं। चूंकि तीनों आवेश धनात्मक और परिमाण में समान हैं,इसलिए वे एक-दूसरे पर प्रतिकर्षण बल लगाते हैं। परिणामस्वरूप,विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक आवेश से उत्पन्न होती हैं और एक-दूसरे से दूर जाती हैं। आवेशों के बीच के क्षेत्र में कोई भी विद्युत क्षेत्र रेखा प्रवेश नहीं कर सकती क्योंकि तीनों आवेशों के क्षेत्र एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,जिससे त्रिभुज के केंद्रक पर एक उदासीन बिंदु बनता है। विद्युत क्षेत्र रेखाओं का परिणामी पैटर्न दिए गए समाधान चित्र में दिखाया गया है।

(C) हम जानते हैं कि व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} - 1)^2}$
जहाँ $\omega_1$ और $\omega_2$ दो स्लिट्स की चौड़ाई हैं।
दिया गया है कि स्लिट की चौड़ाई का अनुपात $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{1}{25}$ है।
इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{\frac{1}{25}} + 1)^2}{(\sqrt{\frac{1}{25}} - 1)^2} = \frac{(\frac{1}{5} + 1)^2}{(\frac{1}{5} - 1)^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\frac{6}{5})^2}{(\frac{-4}{5})^2} = \frac{\frac{36}{25}}{\frac{16}{25}} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
अतः,उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ पर तीव्रता का अनुपात $9 : 4$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_n = \frac{2 \pi K Z e^2}{n h}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि वेग मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है:
$v_n \propto \frac{1}{n}$
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है जहाँ जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,वेग घटता जाता है।
दिए गए चित्र में,आलेख $B$ एक वक्र को दर्शाता है जहाँ $n$ के बढ़ने पर $v$ का मान घटता है,जो व्युत्क्रम संबंध $v \propto 1/n$ से मेल खाता है। इसलिए,आलेख $B$ सही निरूपण है।

(D) दी गई आवृत्ति $v = 830 \, kHz = 830 \times 10^3 \, Hz$.
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = 4.82 \times 10^{-11} \, T$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$1$. तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ की गणना:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{830 \times 10^3} = \frac{3000}{83} \approx 361.4 \, m \approx 360 \, m$.
$2$. विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ की गणना:
संबंध $E_0 = B_0 c$ का उपयोग करते हुए,
$E_0 = (4.82 \times 10^{-11} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s)$,
$E_0 = 14.46 \times 10^{-3} \, N/C \approx 0.014 \, N/C$.
अतः,विद्युत क्षेत्र $0.014 \, N/C$ है और तरंगदैर्ध्य $360 \, m$ है।

(A) अनंत लंबाई के तार $A$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I_A = 10\, A$ और $r = 10\, cm = 0.1\, m$ है।
अतः,$B_A = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 10}{2\pi \times 0.1} = 2 \times 10^{-5}\, T$.
चुंबकीय क्षेत्र $B_A$ में $L$ लंबाई के धारावाही तार $B$ पर लगने वाला बल $F = I_B L B_A \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि तार समानांतर हैं,इसलिए कोण $\theta = 90^\circ$ है,अतः $\sin(90^\circ) = 1$.
यहाँ $I_B = 2\, A$ और $L = 2\, m$ दिया गया है,इसलिए $F = 2 \times 2 \times (2 \times 10^{-5}) = 8 \times 10^{-5}\, N$.

(D) गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
$C = 1 \, F$ के लिए,आवश्यक त्रिज्या $r = \frac{C}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, m$ है।
यह त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या $(6.4 \times 10^6 \, m)$ से लगभग $1500$ गुना बड़ी है,जिससे ऐसा गोला बनाना भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ दावा करता है कि पृथ्वी के लिए यह संभव है,लेकिन पृथ्वी की धारिता केवल $C = 4 \pi \epsilon_0 R_e \approx 711 \, \mu F$ है,जो $1 \, F$ से बहुत कम है।
अतः,कथन $2$ असत्य है।

(C) तार का प्रारंभिक प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $l$ लंबाई है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
जब तार को बीच से $180^o$ पर मोड़ा जाता है और सिरों को मरोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $l' = \frac{l}{2}$ हो जाती है और नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A' = 2A$ हो जाता है।
नया प्रतिरोध $R'$ सूत्र $R' = \rho \frac{l'}{A'}$ द्वारा दिया जाता है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R' = \rho \frac{l/2}{2A} = \frac{1}{4} \left( \rho \frac{l}{A} \right) = \frac{R}{4}$.

(A) विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम को आवृत्ति के आधार पर क्रमबद्ध किया जाता है। आवृत्ति की श्रेणियाँ लगभग इस प्रकार हैं:
$1$. $\gamma$-किरणें $(b)$: $10^{19} \, Hz$ से $10^{24} \, Hz$
$2$. $X$-किरणें $(a)$: $10^{16} \, Hz$ से $10^{19} \, Hz$
$3$. पराबैंगनी किरणें $(c)$: $10^{15} \, Hz$ से $10^{16} \, Hz$
इन मानों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $\gamma$-किरणों $(b)$ की आवृत्ति सबसे अधिक है,उसके बाद $X$-किरणें $(a)$ और फिर पराबैंगनी किरणें $(c)$ आती हैं।
अतः,$b > a > c$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$a < b$ और $b > c$ सही संबंध है।

(C) $NOR$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं क्योंकि वे $NOT$ गेट से होकर गुजरते हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$.
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
सत्यता सारणी:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$\bar{B}$	$\bar{A} + \bar{B}$	$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

अतः,यह संयोजन $AND$ गेट के समतुल्य है।

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K.E_{max})$ इस प्रकार है: $K.E_{max} = hv - W$,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है,$v$ आपतित प्रकाश की आवृत्ति है और $W$ धातु का कार्य फलन है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि यदि $v < W/h$ है,तो $hv < W$ होगा,जिसका अर्थ है कि आपतित ऊर्जा कार्य फलन को पार करने के लिए अपर्याप्त है।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि प्रकाश-विद्युत प्रभाव एक तात्कालिक प्रक्रिया है।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि $K.E_{max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति पर निर्भर करता है,उसकी तीव्रता पर नहीं।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि अधिकतम गतिज ऊर्जा $hv - W$ है,न कि $hv$।

(A) टेलीस्कोप की विभेदन सीमा (limit of resolution) $\Delta \theta = \frac{1.22 \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta \theta = \frac{1.22 \times 5.5 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-2}} = 2.236 \times 10^{-5} \, \text{rad}$.
$D = 80 \, m$ की दूरी पर टेलीस्कोप जिस न्यूनतम दूरी $x$ को विभेदित कर सकता है,वह $x = \Delta \theta \times D$ है।
$x = 2.236 \times 10^{-5} \times 80 = 1.788 \times 10^{-3} \, m$.
तार की जाली का अंतराल $2 \times 10^{-3} \, m$ है।
चूंकि जाली का अंतराल $(2 \times 10^{-3} \, m)$ विभेदन सीमा $(1.788 \times 10^{-3} \, m)$ से अधिक है,इसलिए जाली को विभेदित किया जा सकता है।
यदि एपर्चर को आधा कर दिया जाए,तो नई विभेदन सीमा $\Delta \theta' = 2 \times \Delta \theta = 4.472 \times 10^{-5} \, \text{rad}$ होगी।
नया न्यूनतम अंतराल $x' = 4.472 \times 10^{-5} \times 80 = 3.577 \times 10^{-3} \, m$ होगा।
चूंकि $3.577 \times 10^{-3} \, m > 2 \times 10^{-3} \, m$,इसलिए यदि एपर्चर को आधा कर दिया जाए तो जाली को विभेदित नहीं किया जा सकता है।
अतः,यह वर्तमान एपर्चर के साथ संभव है,लेकिन आधे व्यास के साथ संभव नहीं है।

(D) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}$ हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा आवेश पर किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,कथन $1$ सही है।
कथन $2$ भी सही है क्योंकि चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ हमेशा $\vec{v}$ और $\vec{B}$ दोनों के लंबवत होता है,और यही लंबवत बल कारण है कि गति (और इसलिए गतिज ऊर्जा) नहीं बदलती है।
इसलिए,कथन $2$ कथन $1$ की सही व्याख्या है।

(C) जब सेल ओपन सर्किट में होता है,तो संतुलन लंबाई $\ell$ सेल के विद्युत वाहक बल $(E)$ के अनुरूप होती है।
$E = K\ell$,जहाँ $K$ विभव प्रवणता (potential gradient) है।
जब सेल को बाहरी प्रतिरोध $R$ से जोड़ा जाता है,तो टर्मिनल वोल्टेज $V$ मापा जाता है।
$V = K\ell'$,जहाँ $\ell'$ नई संतुलन लंबाई है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र है: $r = \left(\frac{E - V}{V}\right)R$।
दिया गया है कि $R = r$,इसलिए समीकरण में मान रखने पर:
$r = \left(\frac{E - V}{V}\right)r$
$1 = \frac{E - V}{V}$
$V = E - V$
$2V = E$
$E = K\ell$ और $V = K\ell'$ रखने पर:
$2(K\ell') = K\ell$
$\ell' = \ell/2$।

(C) $LC$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
जब पात्र निर्वातित होता है,तो धारिता $C_0$ होती है,अतः $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC_0}} = 10,000\, Hz$ है।
जब पात्र को $K$ परावैद्युतांक वाली गैस से भरा जाता है,तो नई धारिता $C_g = K C_0$ हो जाती है।
नई अनुनाद आवृत्ति $f_g = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(K C_0)}} = \frac{f_0}{\sqrt{K}}$ होती है।
यह दिया गया है कि आवृत्ति में $50\, Hz$ का परिवर्तन होता है,अतः नई आवृत्ति $f_g = 10,000 - 50 = 9,950\, Hz$ है।
अतः,$\frac{f_g}{f_0} = \frac{1}{\sqrt{K}} = \frac{9,950}{10,000} = 0.995$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{K} = (0.995)^2 \approx 0.990025$ प्राप्त होता है।
$K = \frac{1}{0.990025} \approx 1.010075 \approx 1.01$।

(A) रेडियोधर्मी क्षय का नियम $N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ है, जहाँ $T_{1/2}$ अर्ध-आयु है।
दिया गया है $N(0) = 1600$ और $N(8) = 100$।
$100 = 1600 \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\frac{1}{16} = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$\left( \frac{1}{2} \right)^4 = \left( \frac{1}{2} \right)^{8/T_{1/2}}$
$4 = \frac{8}{T_{1/2}} \implies T_{1/2} = 2 \, s$।
अब, $t = 6 \, s$ पर, व्यतीत हुई अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{6}{2} = 3$ है।
अतः, गणना दर $N(6) = 1600 \times \left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1600}{8} = 200 \, \text{काउंट्स प्रति सेकंड}$।