Trigonometry Questions in Hindi

(A) एक चक्रीय चतुर्भुज $ABCD$ में,सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
इसलिए,$A + C = 180^\circ$ और $B + D = 180^\circ$ है।
$A + C = 180^\circ$ से,हमें $A = 180^\circ - C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$,जिसका अर्थ है कि $\cos A + \cos C = 0$ है।
इसी प्रकार,$B + D = 180^\circ$ से,हमें $B = 180^\circ - D$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos B = \cos(180^\circ - D) = -\cos D$,जिसका अर्थ है कि $\cos B + \cos D = 0$ है।
अब,व्यंजक $\cos A - \cos B + \cos C - \cos D$ पर विचार करें।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\cos A + \cos C) - (\cos B + \cos D)$ प्राप्त होता है।
ऊपर प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $0 - 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) त्रिभुज $\Delta ABC$ में,$A + B + C = 180^\circ$ होता है।
हमें $\sin A + \sin B + \sin C$ का मान ज्ञात करना है।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
चूंकि $A+B = 180^\circ - C,$ इसलिए $\frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$ होता है।
अतः,$\sin \frac{A+B}{2} = \cos \frac{C}{2}$ होगा।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= 2\cos \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2\sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( \cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2} \right)$
$\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$ होने के कारण:
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( \cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2} \right)$
सूत्र $\cos(x-y) + \cos(x+y) = 2\cos x \cos y$ का उपयोग करने पर:
$= 2\cos \frac{C}{2} \left( 2\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \right) = 4\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}.$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,$A + B + C = 180^\circ$ होता है।
व्यंजक $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C$ पर विचार करें।
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin X + \sin Y = 2\sin(\frac{X+Y}{2})\cos(\frac{X-Y}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin(A+B)\cos(A-B)$.
चूंकि $A+B = 180^\circ - C$,इसलिए $\sin(A+B) = \sin(180^\circ - C) = \sin C$ होगा।
अतः,$\sin 2A + \sin 2B = 2\sin C \cos(A-B)$.
अब,$\sin 2C = 2\sin C \cos C$.
चूंकि $C = 180^\circ - (A+B)$,इसलिए $\cos C = \cos(180^\circ - (A+B)) = -\cos(A+B)$ होगा।
अतः,$\sin 2C = -2\sin C \cos(A+B)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2\sin C \cos(A-B) - 2\sin C \cos(A+B)$
$= 2\sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
सर्वसमिका $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= 2\sin C [2\sin A \sin B] = 4\sin A \sin B \sin C$.

(B) दिया गया है: $x + y + z = 180^o \implies x + y = 180^o - z$.
व्यंजक पर विचार करें: $\cos 2x + \cos 2y - \cos 2z$.
सूत्र $\cos C + \cos D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 2x + \cos 2y = 2\cos(x+y)\cos(x-y)$.
सर्वसमिका $\cos 2z = 2\cos^2 z - 1$ का उपयोग करते हुए:
व्यंजक $= 2\cos(x+y)\cos(x-y) - (2\cos^2 z - 1)$.
चूंकि $x+y = 180^o - z$,इसलिए $\cos(x+y) = \cos(180^o - z) = -\cos z$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$= 2(-\cos z)\cos(x-y) - 2\cos^2 z + 1$
$= 1 - 2\cos z [\cos(x-y) + \cos z]$.
चूंकि $z = 180^o - (x+y)$,इसलिए $\cos z = \cos(180^o - (x+y)) = -\cos(x+y)$.
$= 1 - 2\cos z [\cos(x-y) - \cos(x+y)]$.
सर्वसमिका $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 - 2\cos z [2\sin x \sin y]$
$= 1 - 4\sin x \sin y \cos z$.

(A) दिया गया है कि $\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$ है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = \pi$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} \right) = \tan \pi = 0$ है।
सूत्र $\tan(A+B+C) = \frac{\sum \tan A - \prod \tan A}{1 - \sum \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2}}{1 - (\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} \tan \frac{\alpha}{2})} = 0$.
चूंकि भिन्न $0$ है,इसलिए अंश $0$ होना चाहिए:
$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} - \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2} = 0$.
अतः,$\tan \frac{\alpha}{2} + \tan \frac{\beta}{2} + \tan \frac{\gamma}{2} = \tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} \tan \frac{\gamma}{2}$।

(C) दिया गया है $A + B + C = \pi$,इसलिए $A + B = \pi - C$.
योग से गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर: $\cos 2A + \cos 2B = 2 \cos(A + B) \cos(A - B)$.
साथ ही,$\cos 2C = 2 \cos^2 C - 1$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$L.H.S. = 2 \cos(A + B) \cos(A - B) + 2 \cos^2 C - 1$.
चूँकि $\cos(A + B) = \cos(\pi - C) = - \cos C$,इसलिए:
$L.H.S. = 2(-\cos C) \cos(A - B) + 2 \cos^2 C - 1$.
$L.H.S. = - 1 - 2 \cos C [\cos(A - B) - \cos C]$.
चूँकि $\cos C = - \cos(A + B)$,इसलिए:
$L.H.S. = - 1 - 2 \cos C [\cos(A - B) + \cos(A + B)]$.
$\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$L.H.S. = - 1 - 2 \cos C [2 \cos A \cos B] = - 1 - 4 \cos A \cos B \cos C$.

(B) दिया गया है $A + B + C = 180^\circ.$
अंश $(N^r)$ = $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A \sin B \sin C = 32\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}.$
हर $(D^r)$ = $\cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}.$
अतः,$\frac{N^r}{D^r} = \frac{32\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}{4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}} = 8\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}.$

(B) त्रिभुज $ABC$ में,$A + B + C = \pi$,इसलिए $C = \pi - (A + B)$।
हम जानते हैं कि $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$।
उपपत्ति:
किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए सर्वसमिका $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A \cos B \cos C$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C - 2\cos A \cos B \cos C = (2 + 2\cos A \cos B \cos C) - 2\cos A \cos B \cos C = 2$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,सर्वसमिका $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ सत्य होती है।
दिया गया है कि $\tan A + \tan B + \tan C = 6$ और $\tan A \tan B = 2$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर: $6 = 2 \times \tan C$।
अतः,$\tan C = \frac{6}{2} = 3$।
अब,$\tan A + \tan B = 6 - \tan C = 6 - 3 = 3$ है।
हमें $\tan A \tan B = 2$ दिया गया है।
मान लीजिए कि $\tan A$ और $\tan B$ द्विघात समीकरण $x^2 - (\tan A + \tan B)x + \tan A \tan B = 0$ के मूल हैं।
मान रखने पर: $x^2 - 3x + 2 = 0$।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 1)(x - 2) = 0$।
इस प्रकार,मूल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
अतः,${\tan A, \tan B, \tan C}$ के मानों का समुच्चय ${1, 2, 3}$ है।
यह $(a)$ और $(b)$ दोनों विकल्पों के अनुरूप है।

(B) माना $x = \tan \frac{A}{2}$,$y = \tan \frac{B}{2}$,और $z = \tan \frac{C}{2}$ है।
चूँकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$\tan(X+Y+Z)$ के सर्वसमिका का उपयोग करने पर,यदि $X+Y+Z = \frac{\pi}{2}$ है,तो $xy + yz + zx = 1$ होता है।
हम जानते हैं कि बीजीय असमिका $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \ge 0$ होती है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $2(x^2 + y^2 + z^2) - 2(xy + yz + zx) \ge 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$ प्राप्त होता है।
$xy + yz + zx = 1$ का मान रखने पर,हमें $x^2 + y^2 + z^2 \ge 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^2 \frac{A}{2} + \tan^2 \frac{B}{2} + \tan^2 \frac{C}{2} \ge 1$ होगा।

(C) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,जहाँ $A + B + C = 180^o$ है,स्पर्शज्या (tangents) के योग के लिए सर्वसमिका $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ होती है।
दोनों पक्षों को $\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C} = 1$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $\sin 2A + \sin 2B - \sin 2C$
सूत्र $\sin X + \sin Y = 2 \sin \frac{X+Y}{2} \cos \frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin(A+B) \cos(A-B) - \sin 2C$
चूँकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $A+B = \pi - C$,जिसका अर्थ है $\sin(A+B) = \sin C$ और $\cos(A+B) = -\cos C$.
$= 2 \sin C \cos(A-B) - 2 \sin C \cos C$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos C]$
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
सूत्र $\cos(X-Y) + \cos(X+Y) = 2 \cos X \cos Y$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin C [2 \cos A \cos B]$
$= 4 \cos A \cos B \sin C$.
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज $ABC$ में,$A+B+C = 180^\circ$,इसलिए $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$.
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए:
${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} = \frac{1 - \cos A}{2} + \frac{1 - \cos B}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 - \frac{1}{2}(\cos A + \cos B) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 - \cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) + \sin^2 \frac{C}{2}$
चूंकि $\cos(\frac{A+B}{2}) = \sin \frac{C}{2}$,इसलिए:
$= 1 - \sin \frac{C}{2} \cos(\frac{A-B}{2}) + \sin^2 \frac{C}{2}$
$= 1 - \sin \frac{C}{2} [\cos(\frac{A-B}{2}) - \sin \frac{C}{2}]$
$= 1 - \sin \frac{C}{2} [\cos(\frac{A-B}{2}) - \cos(\frac{A+B}{2})]$
$\cos X - \cos Y = 2\sin(\frac{X+Y}{2})\sin(\frac{Y-X}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$= 1 - \sin \frac{C}{2} [2\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}]$
$= 1 - 2\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.

(D) दिया गया है: $\cos A = \cos B \cos C$ और $A + B + C = \pi$.
त्रिभुज के गुणधर्म के अनुसार,$B + C = \pi - A$.
दोनों पक्षों में कोसाइन (cosine) लेने पर,$\cos(B + C) = \cos(\pi - A)$.
सर्वसमिका $\cos(B + C) = \cos B \cos C - \sin B \sin C$ और $\cos(\pi - A) = -\cos A$ का उपयोग करने पर:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -\cos A$.
दिए गए मान $\cos A = \cos B \cos C$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos B \cos C - \sin B \sin C = -(\cos B \cos C)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \cos B \cos C = \sin B \sin C$.
दोनों पक्षों को $2 \sin B \sin C$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\cos B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\cot B \cot C = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया है कि $A + B + C = 180^o.$
हम जानते हैं कि $\cot B + \cot C = \frac{\sin C \cos B + \sin B \cos C}{\sin B \sin C} = \frac{\sin(B + C)}{\sin B \sin C}.$
चूंकि $B + C = 180^o - A,$ इसलिए $\sin(B + C) = \sin(180^o - A) = \sin A.$
अतः,$\cot B + \cot C = \frac{\sin A}{\sin B \sin C}.$
इसी प्रकार,$\cot C + \cot A = \frac{\sin B}{\sin C \sin A}$ और $\cot A + \cot B = \frac{\sin C}{\sin A \sin B}.$
इन तीनों व्यंजकों का गुणा करने पर:
$(\cot B + \cot C)(\cot C + \cot A)(\cot A + \cot B) = \left( \frac{\sin A}{\sin B \sin C} \right) \left( \frac{\sin B}{\sin C \sin A} \right) \left( \frac{\sin C}{\sin A \sin B} \right)$
$= \frac{\sin A \sin B \sin C}{(\sin A \sin B \sin C)^2} = \frac{1}{\sin A \sin B \sin C} = \csc A \csc B \csc C.$

(A) दिया गया है $A + B + C = 180^o$,इसलिए $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^o$.
इसका अर्थ है $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 90^o - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों में $\cot$ लेने पर: $\cot(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \cot(90^o - \frac{C}{2})$.
सूत्र $\cot(x+y) = \frac{\cot x \cot y - 1}{\cot x + \cot y}$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है: $\frac{\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1}{\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}} = \tan \frac{C}{2} = \frac{1}{\cot \frac{C}{2}}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $(\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} - 1) \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
इसका विस्तार करने पर: $\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} - \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}$.

(B) दिया गया है कि $A + B + C = 270^o.$
शर्त को पूरा करने के लिए मान लीजिए कि $A = B = C = 90^o$ है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C + 4\sin A \sin B \sin C$
$= \cos 180^o + \cos 180^o + \cos 180^o + 4\sin 90^o \sin 90^o \sin 90^o$
$= (-1) + (-1) + (-1) + 4(1)(1)(1)$
$= -3 + 4 = 1.$

(B) दिया गया है $A + B + C = 180^\circ$,अतः $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 90^\circ$ है।
इस प्रकार,$\frac{A}{2} = 90^\circ - (\frac{B}{2} + \frac{C}{2})$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan \frac{A}{2} = \tan(90^\circ - (\frac{B}{2} + \frac{C}{2})) = \cot(\frac{B}{2} + \frac{C}{2})$ प्राप्त होता है।
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{\tan(\frac{B}{2} + \frac{C}{2})}$ मिलता है।
अतः,$\tan \frac{A}{2} \tan(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}) = 1$ है।
टेंजेंट के योग सूत्र का विस्तार करने पर: $\tan \frac{A}{2} \left( \frac{\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}}{1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}} \right) = 1$ है।
$\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} = 1 - \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A + B + C = \pi$,इसलिए $A + B = \pi - C$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(A + B) = \tan(\pi - C)$।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = -\tan C$।
चूंकि $C$ एक अधिक कोण है $(90^\circ < C < 180^\circ)$,इसलिए $\tan C < 0$,जिसका अर्थ है कि $-\tan C > 0$।
अतः,$\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} > 0$।
चूंकि $A, B, C > 0$ और $A + B + C = \pi$,इसलिए $A$ और $B$ न्यून कोण होने चाहिए,अतः $\tan A > 0$ और $\tan B > 0$,जिससे $(\tan A + \tan B) > 0$ होता है।
भिन्न को धनात्मक होने के लिए,हर (denominator) को भी धनात्मक होना चाहिए: $1 - \tan A \tan B > 0$।
इस प्रकार,$\tan A \tan B < 1$।

(A) दिया गया है $A + B + C = \pi$,हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
चूंकि $A, B, C$ न्यून कोण हैं,इसलिए $\tan A, \tan B, \tan C > 0$ है।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका के अनुसार:
$\frac{\tan A + \tan B + \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$।
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan A \tan B \tan C}{3} \ge (\tan A \tan B \tan C)^{1/3}$।
मान लीजिए $X = \tan A \tan B \tan C$ है। तब $\frac{X}{3} \ge X^{1/3} \Rightarrow X^{2/3} \ge 3 \Rightarrow X \ge 3^{3/2} = 3\sqrt{3}$।
चूंकि $K = \cot A \cot B \cot C = \frac{1}{\tan A \tan B \tan C} = \frac{1}{X}$,इसलिए $K = \frac{1}{X} \le \frac{1}{3\sqrt{3}}$।

(D) दिया गया है $A + B + C = \frac{3\pi}{2}$।
हमें $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $\cos X + \cos Y = 2\cos\frac{X+Y}{2}\cos\frac{X-Y}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2A + \cos 2B = 2\cos(A+B)\cos(A-B)$।
चूँकि $A+B = \frac{3\pi}{2} - C$,इसलिए $\cos(A+B) = \cos(\frac{3\pi}{2} - C) = -\sin C$।
अतः,$\cos 2A + \cos 2B = -2\sin C \cos(A-B)$।
अब,$\cos 2C = 1 - 2\sin^2 C$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$-2\sin C \cos(A-B) + 1 - 2\sin^2 C = 1 - 2\sin C(\cos(A-B) + \sin C)$।
चूँकि $\sin C = \sin(\frac{3\pi}{2} - (A+B)) = -\cos(A+B)$,
$= 1 - 2\sin C(\cos(A-B) - \cos(A+B))$।
$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 1 - 2\sin C(2\sin A \sin B) = 1 - 4\sin A \sin B \sin C$।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sin x + \cos x$ है।
हम इसे $a \sin x + b \cos x$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $a = 1$ और $b = 1$ है।
फलन $f(x) = a \sin x + b \cos x$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(B) फलन $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ द्वारा दिया गया है।
$x$-अक्ष से अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हमें फलन का अधिकतम निरपेक्ष मान ज्ञात करना होगा,जो कि व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ का आयाम (amplitude) है।
आयाम $\sqrt{a^2 + b^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$ और $b = 1$ है।
अधिकतम दूरी $= \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$x$-अक्ष से किसी बिंदु की अधिकतम दूरी $2$ है।

(C) यह फलन $f(x) = a\sin x + b\cos x$ के रूप में है।
इस फलन का अधिकतम मान ज्ञात करने का सूत्र $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) तार की लंबाई $10\,cm$ व्यास वाले वृत्ताकार तार की परिधि के बराबर है।
तार की लंबाई $(l)$ = $\pi \times d_1 = 10\pi\,cm$.
इस तार को $1\,m = 100\,cm$ व्यास वाले वृत्त की परिधि पर रखा जाता है।
इस वृत्त की त्रिज्या $(r)$ = $\frac{d_2}{2} = \frac{100}{2} = 50\,cm$.
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर $l$ लंबाई के चाप द्वारा अंतरित कोण $(\theta)$ का मान $\theta = \frac{l}{r}$ सूत्र से प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\theta = \frac{10\pi}{50} = \frac{\pi}{5}\,\text{रेडियन}$।

(D) दी गई व्यंजक $S = \sin^2 5^\circ + \sin^2 10^\circ + \dots + \sin^2 85^\circ + \sin^2 90^\circ$ है।
इस श्रेणी में कुल $18$ पद हैं ($5^\circ$ से $90^\circ$ तक $5^\circ$ के अंतराल पर)।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \sin^2(90^\circ - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है।
पदों का युग्म बनाने पर: $(\sin^2 5^\circ + \sin^2 85^\circ) + (\sin^2 10^\circ + \sin^2 80^\circ) + \dots + (\sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$।
यहाँ ऐसे $8$ युग्म हैं,जिनका योग $1$ है।
अतः,$S = 8(1) + \sin^2 45^\circ + \sin^2 90^\circ$।
चूँकि $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ होगा।
चूँकि $\sin 90^\circ = 1$,इसलिए $\sin^2 90^\circ = 1$ होगा।
अतः,$S = 8 + \frac{1}{2} + 1 = 9\frac{1}{2}$।

(C) दी गई व्यंजक: $\sqrt{\csc^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
सर्वसमिका $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{1 + \cot^2 \alpha + 2\cot \alpha}$
$= \sqrt{(1 + \cot \alpha)^2}$
$= |1 + \cot \alpha|$
दिए गए अंतराल $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi$ के लिए,$\cot \alpha$ का मान $(-\infty, -1)$ के बीच होता है।
अतः,$\cot \alpha < -1$,जिसका अर्थ है कि $1 + \cot \alpha < 0$।
चूंकि मापांक के अंदर का मान ऋणात्मक है,इसलिए $|1 + \cot \alpha| = -(1 + \cot \alpha) = -1 - \cot \alpha$।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$m = a \cos^3 \alpha + 3a \cos \alpha \sin^2 \alpha$
$n = a \sin^3 \alpha + 3a \cos^2 \alpha \sin \alpha$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$m + n = a(\cos^3 \alpha + 3 \cos^2 \alpha \sin \alpha + 3 \cos \alpha \sin^2 \alpha + \sin^3 \alpha)$
$m + n = a(\cos \alpha + \sin \alpha)^3$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$m - n = a(\cos^3 \alpha - 3 \cos^2 \alpha \sin \alpha + 3 \cos \alpha \sin^2 \alpha - \sin^3 \alpha)$
$m - n = a(\cos \alpha - \sin \alpha)^3$
अब,$(m + n)^{2/3} + (m - n)^{2/3}$ का मान ज्ञात करने पर:
$= [a(\cos \alpha + \sin \alpha)^3]^{2/3} + [a(\cos \alpha - \sin \alpha)^3]^{2/3}$
$= a^{2/3} [(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha - \sin \alpha)^2]$
$= a^{2/3} [(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha)]$
$= a^{2/3} [1 + 1] = 2a^{2/3}$.

(C) दिया गया है: $\cos(\theta - \alpha) = a$ और $\sin(\theta - \beta) = b$।
माना $x = \theta - \alpha$ और $y = \theta - \beta$ है। तब $\cos x = a$ और $\sin y = b$ है।
यहाँ $x - y = (\theta - \alpha) - (\theta - \beta) = \beta - \alpha$,इसलिए $\alpha - \beta = y - x$ है।
हमें $\cos^2(\alpha - \beta) + 2ab\sin(\alpha - \beta) = \cos^2(y - x) + 2ab\sin(y - x)$ का मान ज्ञात करना है।
$\cos(y - x) = \cos y \cos x + \sin y \sin x = \cos y \cdot a + b \cdot \sin x$ है।
चूंकि $\sin x = \sqrt{1 - a^2}$ और $\cos y = \sqrt{1 - b^2}$ है,इसलिए $\cos(y - x) = a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - a^2}$ होगा।
$\sin(y - x) = \sin y \cos x - \cos y \sin x = ba - \sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos^2(y - x) + 2ab\sin(y - x) = (a\sqrt{1 - b^2} + b\sqrt{1 - a^2})^2 + 2ab(ab - \sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2})$
$= a^2(1 - b^2) + b^2(1 - a^2) + 2ab\sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2} + 2a^2b^2 - 2ab\sqrt{1 - b^2}\sqrt{1 - a^2}$
$= a^2 - a^2b^2 + b^2 - a^2b^2 + 2a^2b^2 = a^2 + b^2$।

(B) दिया गया है $\sin A = n \sin B,$ अतः $\frac{n}{1} = \frac{\sin A}{\sin B}.$
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}.$
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ और $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ का उपयोग करने पर,
$\frac{n - 1}{n + 1} = \frac{2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}}{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}} = \cot \frac{A + B}{2} \tan \frac{A - B}{2}.$
दोनों पक्षों को $\tan \frac{A + B}{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{n - 1}{n + 1} \tan \frac{A + B}{2} = \tan \frac{A - B}{2} \cot \frac{A + B}{2} \tan \frac{A + B}{2} = \tan \frac{A - B}{2}.$

(B) दिया गया है कि $x + \frac{1}{x} = 2\cos \theta$.
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
$a = x$ और $b = \frac{1}{x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
${x^3} + \frac{1}{{{x^3}}} = {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^3} - 3\left( {x \cdot \frac{1}{x}} \right)\left( {x + \frac{1}{x}} \right)$
$= {(2\cos \theta )^3} - 3(1)(2\cos \theta )$
$= 8\cos^3 \theta - 6\cos \theta$
$= 2(4\cos^3 \theta - 3\cos \theta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2\cos 3\theta$.

(A) दिया गया समीकरण: $\sin x + \csc x = 2$.
चूंकि $\csc x = \frac{1}{\sin x}$,हम समीकरण को $\sin x + \frac{1}{\sin x} = 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
$\sin x$ से गुणा करने पर,हमें $\sin^2 x + 1 = 2 \sin x$ प्राप्त होता है,जिसे $\sin^2 x - 2 \sin x + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(\sin x - 1)^2 = 0$.
अतः,$\sin x = 1$.
चूंकि $\sin x = 1$,इसलिए $\csc x = \frac{1}{1} = 1$ होगा।
अब,$\sin^n x + \csc^n x$ में इन मानों को रखने पर,हमें $1^n + 1^n = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\tan \theta = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$।
अंश और हर को $\cos \alpha$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan \theta = \frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1} = \tan(\alpha - 45^\circ)$।
अतः,$\theta = \alpha - 45^\circ$,जिसका अर्थ है $\alpha = \theta + 45^\circ$।
अब,$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right) = \sqrt{2} \sin(\alpha + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(\theta + 90^\circ) = \sqrt{2} \cos \theta$।
इसी प्रकार,$\sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha \right) = \sqrt{2} \sin(\alpha - 45^\circ) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ - 45^\circ) = \sqrt{2} \sin \theta$।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha + K \sin^2 2\alpha = 1$.
हम जानते हैं कि $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.
मान लीजिए $a = \cos^2 \alpha$ और $b = \sin^2 \alpha$ है। तब $a + b = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
अतः,$\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha = (\cos^2 \alpha)^3 + (\sin^2 \alpha)^3 = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^3 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)$.
$= 1^3 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha (1) = 1 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$.
इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - 3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + K \sin^2 2\alpha = 1$.
$-3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + K (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 = 0$.
$-3 \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha + K (4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) = 0$.
$\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $\sin \alpha \cos \alpha \neq 0$):
$-3 + 4K = 0$.
$4K = 3$,जिससे हमें $K = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) हम सर्वसमिका $\sin \theta \sin(60^\circ - \theta) \sin(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक: $E = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 60^\circ \sin 80^\circ$.
$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$E = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ)$.
$\theta = 20^\circ$ के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\sin 20^\circ \sin(60^\circ - 20^\circ) \sin(60^\circ + 20^\circ) = \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^\circ) = \frac{1}{4} \sin 60^\circ$.
चूंकि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
अब इस मान को $E$ में रखने पर:
$E = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{16}$.

(D) माना $P = \sin \frac{\pi }{14} \sin \frac{3\pi }{14} \sin \frac{5\pi }{14} \sin \frac{7\pi }{14} \sin \frac{9\pi }{14} \sin \frac{11\pi }{14} \sin \frac{13\pi }{14}$ है।
गुणधर्म $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ का उपयोग करने पर:
$\sin \frac{13\pi }{14} = \sin \frac{\pi }{14}$,$\sin \frac{11\pi }{14} = \sin \frac{3\pi }{14}$,और $\sin \frac{9\pi }{14} = \sin \frac{5\pi }{14}$।
साथ ही,$\sin \frac{7\pi }{14} = \sin \frac{\pi }{2} = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \left( \sin \frac{\pi }{14} \sin \frac{3\pi }{14} \sin \frac{5\pi }{14} \right)^2 \times 1$।
सर्वसमिका $\sin \frac{\pi}{14} \sin \frac{3\pi}{14} \sin \frac{5\pi}{14} = \frac{1}{8}$ का उपयोग करने पर:
$P = \left( \frac{1}{8} \right)^2 \times 1 = \frac{1}{64}$।

(C) हम सर्वसमिका $\cot \theta - \tan \theta = 2\cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \cot \theta - 2\cot 2\theta$.
अंतिम पद के लिए इसे लागू करने पर: $8\cot 8\alpha = 4(2\cot 8\alpha) = 4(\cot 4\alpha - \tan 4\alpha)$.
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\tan 4\alpha + 4(\cot 4\alpha - \tan 4\alpha)$
$= \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 4\cot 4\alpha$
अब,$4\cot 4\alpha = 2(2\cot 4\alpha) = 2(\cot 2\alpha - \tan 2\alpha)$ के लिए पुनः सर्वसमिका लागू करने पर:
$= \tan \alpha + 2\tan 2\alpha + 2(\cot 2\alpha - \tan 2\alpha)$
$= \tan \alpha + 2\cot 2\alpha$
अंत में,$2\cot 2\alpha = \cot \alpha - \tan \alpha$ के लिए सर्वसमिका लागू करने पर:
$= \tan \alpha + (\cot \alpha - \tan \alpha)$
$= \cot \alpha$.

(C) $\sqrt{3} \csc 20^\circ - \sec 20^\circ = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)}$
$= \frac{2 (\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \sin 20^\circ)}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ}$
$= \frac{2 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = 4$.

(C) दी गई व्यंजक: $1 + \cos 56^\circ + \cos 58^\circ - \cos 66^\circ $
सर्वसमिका $1 + \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$1 + \cos 56^\circ = 2 \cos^2 28^\circ$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर,$\cos 58^\circ - \cos 66^\circ = -2 \sin \frac{58^\circ + 66^\circ}{2} \sin \frac{58^\circ - 66^\circ}{2} = -2 \sin 62^\circ \sin(-4^\circ) = 2 \sin 62^\circ \sin 4^\circ$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin 62^\circ = \cos 28^\circ$,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$2 \cos^2 28^\circ + 2 \cos 28^\circ \sin 4^\circ = 2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \sin 4^\circ)$.
चूंकि $\sin 4^\circ = \cos 86^\circ$,इसलिए:
$2 \cos 28^\circ (\cos 28^\circ + \cos 86^\circ) = 2 \cos 28^\circ [2 \cos \frac{28^\circ + 86^\circ}{2} \cos \frac{86^\circ - 28^\circ}{2}]$
$= 4 \cos 28^\circ \cos 57^\circ \cos 29^\circ$.
चूंकि $\cos 57^\circ = \sin 33^\circ$,अंतिम परिणाम $4 \cos 28^\circ \cos 29^\circ \sin 33^\circ$ है।

(B) दिया गया है: $x = \sin 130^\circ \cos 80^\circ$ और $y = \sin 80^\circ \cos 130^\circ$.
सर्वसमिका $\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta$ और $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$x = \sin(180^\circ - 50^\circ) \cos 80^\circ = \sin 50^\circ \cos 80^\circ$. चूंकि $50^\circ$ और $80^\circ$ प्रथम चतुर्थांश में हैं,$\sin 50^\circ > 0$ और $\cos 80^\circ > 0$,इसलिए $x > 0$.
$y = \sin 80^\circ \cos(180^\circ - 50^\circ) = \sin 80^\circ (-\cos 50^\circ)$. चूंकि $\sin 80^\circ > 0$ और $\cos 50^\circ > 0$,इसलिए $y < 0$.
अब,$xy = (\sin 130^\circ \cos 80^\circ)(\sin 80^\circ \cos 130^\circ) = (\sin 130^\circ \cos 130^\circ)(\sin 80^\circ \cos 80^\circ)$.
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करते हुए,$xy = (\frac{1}{2} \sin 260^\circ)(\frac{1}{2} \sin 160^\circ) = \frac{1}{4} \sin(270^\circ - 10^\circ) \sin(180^\circ - 20^\circ) = \frac{1}{4} (-\cos 10^\circ)(\sin 20^\circ)$.
चूंकि $\cos 10^\circ > 0$ और $\sin 20^\circ > 0$,इसलिए $xy < 0$.
चूंकि $xy$ एक छोटा ऋणात्मक मान है,$z = 1 + xy$ का अर्थ है कि $0 < z < 1$.

(A) हमारे पास $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma)$ है।
$\sin(\alpha + \beta + \gamma)$ के विस्तार का उपयोग करने पर: $\sin(\alpha + \beta + \gamma) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin \alpha(1 - \cos \beta \cos \gamma) + \sin \beta(1 - \cos \alpha \cos \gamma) + \sin \gamma(1 - \cos \alpha \cos \beta) + \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma \in (0, \pi/2)$ है,इसलिए $\cos \beta \cos \gamma < 1$,$\cos \alpha \cos \gamma < 1$,और $\cos \alpha \cos \beta < 1$ है।
अतः,प्रत्येक पद धनात्मक है,इसलिए $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma - \sin(\alpha + \beta + \gamma) > 0$.
इसलिए,$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma > \sin(\alpha + \beta + \gamma)$.
इसका अर्थ है कि $\frac{\sin(\alpha + \beta + \gamma)}{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma} < 1$।

(B) दिया गया समीकरण: $a \cos 2\theta + b \sin 2\theta = c$ है।
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = c$।
दोनों पक्षों को $(1 + \tan^2 \theta)$ से गुणा करने पर:
$a(1 - \tan^2 \theta) + 2b \tan \theta = c(1 + \tan^2 \theta)$।
पदों को $\tan \theta$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$a - a \tan^2 \theta + 2b \tan \theta = c + c \tan^2 \theta$।
$(a + c) \tan^2 \theta - 2b \tan \theta + (c - a) = 0$।
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ समीकरण के हल हैं,इसलिए $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं।
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए मूलों का योग $-B/A$ होता है:
$\tan \alpha + \tan \beta = - \frac{-2b}{a + c} = \frac{2b}{c + a}$।

(B) दिए गए व्यंजक $y = a \cos^2 x + 2b \sin x \cos x + c \sin^2 x$ और $z = a \sin^2 x - 2b \sin x \cos x + c \cos^2 x$ हैं।
$y$ और $z$ को जोड़ने पर:
$y + z = a(\cos^2 x + \sin^2 x) + c(\sin^2 x + \cos^2 x) = a(1) + c(1) = a + c$.
अतः,$y + z = a + c$ सही संबंध है।
$y$ में से $z$ घटाने पर:
$y - z = a(\cos^2 x - \sin^2 x) + 4b \sin x \cos x - c(\cos^2 x - \sin^2 x) = (a - c) \cos 2x + 2b \sin 2x$.
$\tan x = \frac{2b}{a - c}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos 2x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}$ और $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$y - z = (a - c) \left( \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} \right) + 2b \left( \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \right) = \frac{(a - c)(1 - \tan^2 x) + 4b \tan x}{1 + \tan^2 x}$.
$\tan x = \frac{2b}{a - c}$ रखने पर:
$y - z = \frac{(a - c)(1 - \frac{4b^2}{(a - c)^2}) + 4b(\frac{2b}{a - c})}{1 + \frac{4b^2}{(a - c)^2}} = \frac{(a - c) - \frac{4b^2}{a - c} + \frac{8b^2}{a - c}}{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{(a - c)^2}} = \frac{(a - c) + \frac{4b^2}{a - c}}{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{(a - c)^2}} = \frac{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{a - c}}{\frac{(a - c)^2 + 4b^2}{(a - c)^2}} = a - c$.

(B) दिया गया है,$\csc \theta = \frac{p + q}{p - q}$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{\sin \theta} = \frac{p + q}{p - q}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta} = \frac{(p + q) + (p - q)}{(p + q) - (p - q)} = \frac{2p}{2q} = \frac{p}{q}$.
हम जानते हैं कि $1 + \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2$ और $1 - \sin \theta = (\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2$.
अतः,$\left( \frac{\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
अंश और हर को $\cos \frac{\theta}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\left( \frac{1 + \tan \frac{\theta}{2}}{1 - \tan \frac{\theta}{2}} \right)^2 = \frac{p}{q}$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = \frac{\pi}{4}$ और $B = \frac{\theta}{2}$:
$\tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{p}{q}$.
व्युत्क्रम (reciprocal) लेने पर:
$\cot^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \frac{q}{p}$.
अतः,$\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right) = \sqrt{\frac{q}{p}}$.

(B) दिया गया है: $a \sin^2 x + b \cos^2 x = c$
$\cos^2 x$ से भाग देने पर: $a \tan^2 x + b = c \sec^2 x = c(1 + \tan^2 x)$
$a \tan^2 x + b = c + c \tan^2 x \Rightarrow (a - c) \tan^2 x = c - b \Rightarrow \tan^2 x = \frac{b - c}{a - c} = \frac{b - c}{c - a}$
दिया गया है: $b \sin^2 y + a \cos^2 y = d$
$\cos^2 y$ से भाग देने पर: $b \tan^2 y + a = d \sec^2 y = d(1 + \tan^2 y)$
$b \tan^2 y + a = d + d \tan^2 y \Rightarrow (b - d) \tan^2 y = d - a \Rightarrow \tan^2 y = \frac{d - a}{b - d} = \frac{a - d}{d - b}$
दिया गया है: $a \tan x = b \tan y \Rightarrow \frac{\tan x}{\tan y} = \frac{b}{a} \Rightarrow \frac{\tan^2 x}{\tan^2 y} = \frac{b^2}{a^2}$
मान रखने पर: $\frac{b^2}{a^2} = \frac{(b - c)/(c - a)}{(a - d)/(d - b)} = \frac{(b - c)(d - b)}{(c - a)(a - d)}$
अतः,$\frac{a^2}{b^2} = \frac{(c - a)(a - d)}{(b - c)(d - b)}$.

(C) योग से गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$
$\cos A - \cos B = -2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
प्रथम पद: $\left( \frac{2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
द्वितीय पद: $\left( \frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{-2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} \right)^n = (-\cot \left( \frac{A-B}{2} \right))^n$
कुल व्यंजक = $\cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right) + (-1)^n \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$
यदि $n$ सम है,तो $(-1)^n = 1$,अतः परिणाम $2 \cot^n \left( \frac{A-B}{2} \right)$ है।
यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^n = -1$,अतः परिणाम $0$ है।

(A) दिया गया है $\sin \alpha = 1/\sqrt{5}$,अतः $\cos \alpha = \sqrt{1 - (1/\sqrt{5})^2} = 2/\sqrt{5}$.
दिया गया है $\sin \beta = 3/5$,अतः $\cos \beta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = 4/5$.
सूत्र $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\beta - \alpha) = (3/5)(2/\sqrt{5}) - (4/5)(1/\sqrt{5}) = 6/(5\sqrt{5}) - 4/(5\sqrt{5}) = 2/(5\sqrt{5})$.
चूंकि $5\sqrt{5} \approx 11.18$,इसलिए $\sin(\beta - \alpha) \approx 2/11.18 \approx 0.1789$.
हम जानते हैं कि $\sin(0) = 0$ और $\sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2} \approx 0.7071$.
चूंकि $0 < 0.1789 < 0.7071$,इसलिए $0 < \beta - \alpha < \pi/4$.
अतः,$\beta - \alpha$ अंतराल $[0, \pi/4]$ में स्थित है.

(A) दिया गया समीकरण $2 \sec 2\alpha = \tan \beta + \cot \beta$ है।
हम दाईं ओर को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan \beta + \cot \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta}{\sin \beta \cos \beta} = \frac{1}{\sin \beta \cos \beta}$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2}{2 \sin \beta \cos \beta} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण $2 \sec 2\alpha = \frac{2}{\sin 2\beta}$ बन जाता है,जो सरल होकर $\frac{2}{\cos 2\alpha} = \frac{2}{\sin 2\beta}$ हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $\cos 2\alpha = \sin 2\beta$.
सर्वसमिका $\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos 2\alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - 2\beta)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$2\alpha = \frac{\pi}{2} - 2\beta$,जिससे $2\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि $\frac{x}{\cos \theta} = \frac{y}{\cos \left( \theta - \frac{2\pi}{3} \right)} = \frac{z}{\cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)} = k.$
अतः,$x = k \cos \theta, y = k \cos \left( \theta - \frac{2\pi}{3} \right),$ और $z = k \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right).$
अब,$x + y + z = k \left[ \cos \theta + \cos \left( \theta - \frac{2\pi}{3} \right) + \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) \right].$
सूत्र $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ का उपयोग करने पर,
$x + y + z = k \left[ \cos \theta + 2 \cos \theta \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) \right].$
चूंकि $\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2},$
$x + y + z = k \left[ \cos \theta + 2 \cos \theta \left( -\frac{1}{2} \right) \right] = k [\cos \theta - \cos \theta] = k(0) = 0.$
अतः,$x + y + z = 0.$

(D) हम जानते हैं कि $\sin 6\theta = 2 \sin 3\theta \cos 3\theta$ होता है।
त्रिक-कोण सर्वसमिकाओं $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ और $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$\sin 6\theta = 2(3\sin \theta - 4\sin^3 \theta)(4\cos^3 \theta - 3\cos \theta)$
$= 2(12\sin \theta \cos^3 \theta - 9\sin \theta \cos \theta - 16\sin^3 \theta \cos^3 \theta + 12\sin^3 \theta \cos \theta)$
$= 24\sin \theta \cos^3 \theta - 18\sin \theta \cos \theta - 32\sin^3 \theta \cos^3 \theta + 24\sin^3 \theta \cos \theta$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ और $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को $32\cos^5 \theta \sin \theta - 32\cos^3 \theta \sin \theta + 3x$ के रूप में सरल करते हैं।
विस्तार और पुनर्व्यवस्था के बाद,हमें $\sin 6\theta = 32\cos^5 \theta \sin \theta - 32\cos^3 \theta \sin \theta + 3\sin 2\theta$ प्राप्त होता है।
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,हमें $x = \sin 2\theta$ प्राप्त होता है।