Trigonometry Questions in Hindi

(C) दिया गया व्यंजक: $S = \sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} + \sin^4 \frac{5\pi}{8} + \sin^4 \frac{7\pi}{8}$.
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$ और $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8}$.
अतः,$S = 2 \left( \sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} \right)$.
सर्वसमिका $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$.
इसलिए,$\sin^4 \theta = \left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} (1 - 2 \cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$.
$S = 2 \left[ \frac{1}{4} (1 - 2 \cos \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4} (1 - 2 \cos \frac{3\pi}{4} + \cos^2 \frac{3\pi}{4}) \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2}) + (1 - 2(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2}) \right]$.
$S = \frac{1}{2} \left[ (1 - \sqrt{2} + 0.5) + (1 + \sqrt{2} + 0.5) \right] = \frac{1}{2} [1.5 + 1.5] = \frac{1}{2} (3) = \frac{3}{2}$.

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{7\pi }}{8}} \right)$ है।
चूँकि $\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos \left( \pi - \frac{\pi }{8} \right) = -\cos \frac{\pi }{8}$ और $\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos \left( \pi - \frac{{3\pi }}{8} \right) = -\cos \frac{{3\pi }}{8}$,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = \left( {1 + \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 + \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)\left( {1 - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)$
सर्वसमिका $(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta) = 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \left( {1 - \cos^2 \frac{\pi }{8}} \right)\left( {1 - \cos^2 \frac{{3\pi }}{8}} \right) = \sin^2 \frac{\pi }{8} \sin^2 \frac{{3\pi }}{8}$
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \left( \sin \frac{\pi }{8} \sin \frac{{3\pi }}{8} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{3\pi }{8} - \frac{\pi }{8} \right) - \cos \left( \frac{3\pi }{8} + \frac{\pi }{8} \right) \right) \right)^2$
$E = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{2} \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - 0 \right) \right)^2 = \left( \frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{8}$.

(A) दिया गया है कि $3\tan A - 4 = 0$,इसलिए $\tan A = \frac{4}{3}$।
चूंकि $A$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\sin A$ और $\cos A$ दोनों ऋणात्मक हैं।
$\tan A = \frac{4}{3}$ का उपयोग करके,हम इसे एक समकोण त्रिभुज के रूप में दर्शा सकते हैं जिसमें सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है। कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ होगा।
अतः,$\sin A = -\frac{4}{5}$ और $\cos A = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $5\sin 2A + 3\sin A + 4\cos A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(2\sin A \cos A) + 3\sin A + 4\cos A$
$= 10\sin A \cos A + 3\sin A + 4\cos A$
$= 10\left(-\frac{4}{5}\right)\left(-\frac{3}{5}\right) + 3\left(-\frac{4}{5}\right) + 4\left(-\frac{3}{5}\right)$
$= 10\left(\frac{12}{25}\right) - \frac{12}{5} - \frac{12}{5}$
$= \frac{120}{25} - \frac{24}{5} = \frac{24}{5} - \frac{24}{5} = 0$।

(A) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\cot(A) = \frac{1 + \cos(2A)}{\sin(2A)}$ होती है।
माना $A = 7.5^{\circ}$,तो $2A = 15^{\circ}$ होगा।
इस सर्वसमिका में $A = 7.5^{\circ}$ रखने पर,हमें $\cot(7.5^{\circ}) = \frac{1 + \cos(15^{\circ})}{\sin(15^{\circ})}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$ और $\sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ होता है।
इन मानों को रखने पर: $\cot(7.5^{\circ}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{(2\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 4}{2} = \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + 2$।
चूंकि $\sqrt{4} = 2$,इसलिए यह व्यंजक $\sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}$ के बराबर है।

(C) हम जानते हैं कि $2A = (A + B) + (A - B).$
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan 2A = \tan((A + B) + (A - B)).$
सूत्र $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करते हुए,
यहाँ $x = (A + B)$ और $y = (A - B)$ रखने पर,
$\tan 2A = \frac{\tan(A + B) + \tan(A - B)}{1 - \tan(A + B)\tan(A - B)}.$
दिए गए मान $\tan(A + B) = p$ और $\tan(A - B) = q$ प्रतिस्थापित करने पर,
हमें प्राप्त होता है $\tan 2A = \frac{p + q}{1 - pq}.$

(C) दी गई व्यंजक: $E = 2\sin^2 \beta + 4\cos(\alpha + \beta)\sin \alpha \sin \beta + \cos 2(\alpha + \beta)$.
सर्वसमिका $2\sin^2 \beta = 1 - \cos 2\beta$ और $\cos 2(\alpha + \beta) = 2\cos^2(\alpha + \beta) - 1$ का उपयोग करने पर:
$E = (1 - \cos 2\beta) + 4\cos(\alpha + \beta)\sin \alpha \sin \beta + (2\cos^2(\alpha + \beta) - 1)$
$E = 2\cos^2(\alpha + \beta) - \cos 2\beta + 4\cos(\alpha + \beta)\sin \alpha \sin \beta$
$E = 2\cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha + \beta) + 2\sin \alpha \sin \beta] - \cos 2\beta$
$2\sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$ का उपयोग करने पर:
$E = 2\cos(\alpha + \beta) [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] - \cos 2\beta$
$E = 2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) - \cos 2\beta$
$2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = [\cos 2\alpha + \cos 2\beta] - \cos 2\beta$
$E = \cos 2\alpha$.

(B) माना $f(\theta) = \sin \theta + \cos \theta$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक को $f(\theta) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(\theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$ प्राप्त होता है।
ज्या (sine) फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब कोण $90^\circ$ हो।
अतः,$\sin(\theta + 45^\circ) = 1$ का अर्थ है कि $\theta + 45^\circ = 90^\circ$.
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $a$ के लिए,एक वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात $(a - b)^2 \ge 0$।
इसका तात्पर्य है कि $a^2 + b^2 \ge 2ab$।
मान लीजिए $a = \cos x$ और $b = \sec x = \frac{1}{\cos x}$।
तब,$f(x) = \cos^2 x + \sec^2 x = \cos^2 x + \frac{1}{\cos^2 x}$।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,अंकगणितीय माध्य ज्यामितीय माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है:
$\frac{\cos^2 x + \sec^2 x}{2} \ge \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x}$।
चूंकि $\cos^2 x \cdot \sec^2 x = \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(x)}{2} \ge \sqrt{1} = 1$।
अतः,$f(x) \ge 2$।

(A) माना $y = \frac{\tan x}{\tan 3x}$.
सूत्र $\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y = \frac{\tan x}{\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}} = \frac{1 - 3\tan^2 x}{3 - \tan^2 x}$.
माना $t = \tan^2 x$,जहाँ $t \ge 0$ और $t \neq 3$ (क्योंकि $\tan 3x$ परिभाषित होना चाहिए)।
तब $y = \frac{1 - 3t}{3 - t}$.
रेंज ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के पदों में $t$ का मान निकालते हैं:
$y(3 - t) = 1 - 3t \implies 3y - yt = 1 - 3t \implies 3t - yt = 1 - 3y \implies t(3 - y) = 1 - 3y$.
$t = \frac{1 - 3y}{3 - y} = \frac{3y - 1}{y - 3}$.
चूंकि $t = \tan^2 x \ge 0$,इसलिए $\frac{3y - 1}{y - 3} \ge 0$.
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,यह व्यंजक $y \le 1/3$ या $y \ge 3$ होने पर $\ge 0$ होता है।
अतः,$y$ कभी भी $1/3$ और $3$ के बीच नहीं होता है।

(C) माना $f(\theta) = \cos 2\theta + 2\cos \theta$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta) = 2\cos^2 \theta - 1 + 2\cos \theta = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta) - 1$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$f(\theta) = 2(\cos^2 \theta + \cos \theta + \frac{1}{4}) - 1 - \frac{1}{2} = 2(\cos \theta + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$.
चूँकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,इसलिए $(\cos \theta + \frac{1}{2})$ का परिसर $[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ है।
अतः,$(\cos \theta + \frac{1}{2})^2$ का परिसर $[0, \frac{9}{4}]$ है।
इसलिए,$2(\cos \theta + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{2}$ का परिसर $[2(0) - \frac{3}{2}, 2(\frac{9}{4}) - \frac{3}{2}] = [-\frac{3}{2}, \frac{9}{2} - \frac{3}{2}] = [-\frac{3}{2}, 3]$ है।
अतः,यह व्यंजक हमेशा $-\frac{3}{2}$ से बड़ा या उसके बराबर और $3$ से छोटा या उसके बराबर होता है।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A + B + C = \pi$ होता है।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan \left( \frac{A+B}{2} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} \right) = \cot \frac{C}{2}$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \cot \frac{C}{2}$ मिलता है।
दिए गए मान $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}$ और $\tan \frac{B}{2} = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$\cot \frac{C}{2} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$।
चूंकि $\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$ है,इसलिए $\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$ होगा।

(B) दिया गया है कि $A + B + C = \pi$,इसलिए $A = \pi - (B + C)$।
इस मान को दिए गए समीकरण $\cos A = \cos B \cos C$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(\pi - (B + C)) = \cos B \cos C$
सर्वसमिका $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$-\cos(B + C) = \cos B \cos C$
$\cos(B + C)$ का विस्तार करने पर:
$-(\cos B \cos C - \sin B \sin C) = \cos B \cos C$
$-\cos B \cos C + \sin B \sin C = \cos B \cos C$
$\sin B \sin C = 2 \cos B \cos C$
दोनों पक्षों को $\cos B \cos C$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin B \sin C}{\cos B \cos C} = 2$
$\tan B \tan C = 2$.

(B) दिया गया संबंध $A + C = B$ है।
दोनों पक्षों में टैनजेंट लेने पर,हमें $\tan(A + C) = \tan B$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A + C) = \frac{\tan A + \tan C}{1 - \tan A \tan C}$ का उपयोग करने पर,
हमें $\frac{\tan A + \tan C}{1 - \tan A \tan C} = \tan B$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$\tan A + \tan C = \tan B(1 - \tan A \tan C)$ प्राप्त होता है।
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\tan A + \tan C = \tan B - \tan A \tan B \tan C$ प्राप्त होता है।
$\tan A \tan B \tan C$ के लिए हल करने पर,
हमें $\tan A \tan B \tan C = \tan B - \tan A - \tan C$ प्राप्त होता है।

(B) माना $u = \cos \theta \{\sin \theta + \sqrt{\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha\}}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $u - \sin \theta \cos \theta = \cos \theta \sqrt{\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(u - \sin \theta \cos \theta)^2 = \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \sin^2 \alpha)$।
$u^2 - 2u \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^2 \theta \sin^2 \alpha$।
$u^2 - 2u \sin \theta \cos \theta - \cos^2 \theta \sin^2 \alpha = 0$।
$\cos^2 \theta$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\cos \theta \neq 0$):
$u^2 \sec^2 \theta - 2u \tan \theta - \sin^2 \alpha = 0$।
$\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$u^2 (1 + \tan^2 \theta) - 2u \tan \theta - \sin^2 \alpha = 0$।
$u^2 \tan^2 \theta - 2u \tan \theta + (u^2 - \sin^2 \alpha) = 0$।
चूंकि $\tan \theta$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$:
$(-2u)^2 - 4(u^2)(u^2 - \sin^2 \alpha) \ge 0$।
$4u^2 - 4u^4 + 4u^2 \sin^2 \alpha \ge 0$।
$4u^2$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $u \neq 0$):
$1 - u^2 + \sin^2 \alpha \ge 0$।
$u^2 \le 1 + \sin^2 \alpha$।
अतः,$|u| \le \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$।
इस प्रकार,$k = \sqrt{1 + \sin^2 \alpha}$।

(B) दिया गया है $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\cos x + \sin x)^2 = (\frac{1}{2})^2$.
$\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$,इसलिए $1 + \sin 2x = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है $\sin 2x = -\frac{3}{4}$.
चूंकि $\sin 2x < 0$ और $0 < x < \pi$,इसलिए $x$ दूसरे चतुर्थांश में होना चाहिए,अतः $\tan x < 0$.
सर्वसमिका $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ का उपयोग करने पर,$\frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} = -\frac{3}{4}$.
$8 \tan x = -3 - 3 \tan^2 x \Rightarrow 3 \tan^2 x + 8 \tan x + 3 = 0$.
द्विघात सूत्र $\tan x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$\tan x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{-8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}$.
चूंकि $\tan x < 0$ और दोनों मान ऋणात्मक हैं,हम शर्त $\cos x + \sin x = \frac{1}{2}$ की जाँच करते हैं।
$\tan x = \frac{-4 - \sqrt{7}}{3}$ के लिए,$\cos x + \sin x$ ऋणात्मक है,जो दी गई शर्त का खंडन करता है। अतः,$\tan x = \frac{-4 + \sqrt{7}}{3}$।

(B) दिया गया है: $\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha) = -\frac{3}{2}$
$2$ से गुणा करने पर: $2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] = -3$
$\Rightarrow 2[\cos (\alpha - \beta) + \cos (\beta - \gamma) + \cos (\gamma - \alpha)] + 3 = 0$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हम $3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + (\sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma)$ लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma + 2\sin \alpha \sin \beta + 2\sin \beta \sin \gamma + 2\sin \gamma \sin \alpha) + (\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma + 2\cos \alpha \cos \beta + 2\cos \beta \cos \gamma + 2\cos \gamma \cos \alpha) = 0$
यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)^2 = 0$
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ और $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$
अतः,कथन $A$ और $B$ दोनों सही हैं।

(B) दिया गया है $\cos(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$. चूँकि $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 \le \alpha + \beta \le \frac{\pi}{2}$,अतः $\tan(\alpha + \beta) = \frac{3}{4}$।
दिया गया है $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$. चूँकि $0 \le \alpha, \beta \le \frac{\pi}{4}$,इसलिए $-\frac{\pi}{4} \le \alpha - \beta \le \frac{\pi}{4}$,अतः $\tan(\alpha - \beta) = \frac{5}{12}$।
हम जानते हैं कि $2\alpha = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)$।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan(\alpha - \beta)}{1 - \tan(\alpha + \beta)\tan(\alpha - \beta)}$
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \times \frac{5}{12})} = \frac{\frac{9+5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{33}{48}} = \frac{14}{12} \times \frac{48}{33} = \frac{14 \times 4}{33} = \frac{56}{33}$।

(C) दिया गया है $A = \sin^2 x + \cos^4 x$.
हम इसे $A = \sin^2 x + (\cos^2 x)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$,मान लीजिए $t = \cos^2 x$,जहाँ $0 \le t \le 1$.
तब $A = (1 - t) + t^2 = t^2 - t + 1$.
यह $t$ में एक द्विघात व्यंजक है। परवलय $f(t) = t^2 - t + 1$ का शीर्ष $t = -b/(2a) = -(-1)/(2 \times 1) = 1/2$ पर स्थित है।
चूंकि $1/2$ अंतराल $[0, 1]$ में है,इसलिए न्यूनतम मान $f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) + 1 = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4$ है।
अधिकतम मान अंतराल $[0, 1]$ के अंतिम बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,$f(0) = 0^2 - 0 + 1 = 1$.
$t = 1$ पर,$f(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1$.
अतः,$A$ का परिसर $\frac{3}{4} \le A \le 1$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\tan A}{1 - \cot A} + \frac{\cot A}{1 - \tan A}$
$\tan A$ और $\cot A$ को $\sin A$ और $\cos A$ के पदों में बदलने पर:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left[ \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right]$
सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left[ \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A \cos A} \right]$
$= \frac{\sin^2 A + \cos^2 A + \sin A \cos A}{\sin A \cos A}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \csc A + 1$

(B) दिया गया है कि $f_k(x) = \frac{1}{k}(\sin^k x + \cos^k x)$.
हमें $f_4(x) - f_6(x)$ का मान ज्ञात करना है।
$f_4(x) = \frac{1}{4}(\sin^4 x + \cos^4 x) = \frac{1}{4}((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x)$.
$f_6(x) = \frac{1}{6}(\sin^6 x + \cos^6 x) = \frac{1}{6}((\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x)) = \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
अब,$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4}(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x) - \frac{1}{6}(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x)$.
$= \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}$.

(A) दिया गया समीकरण: $5(\tan^2 x - \cos^2 x) = 2\cos 2x + 9$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ का उपयोग करने पर:
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 2(2\cos^2 x - 1) + 9$
$5\tan^2 x - 5\cos^2 x = 4\cos^2 x - 2 + 9$
$5\tan^2 x = 9\cos^2 x + 7$
चूंकि $\tan^2 x = \sec^2 x - 1 = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$,मान लीजिए $\cos^2 x = t$:
$5(\frac{1}{t} - 1) = 9t + 7$
$5 - 5t = 9t^2 + 7t$
$9t^2 + 12t - 5 = 0$
$(3t - 1)(3t + 5) = 0$
चूंकि $t = \cos^2 x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = \frac{1}{3}$.
अब,$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(\frac{1}{3}) - 1 = -\frac{1}{3}$.
अंत में,$\cos 4x = 2\cos^2 2x - 1 = 2(-\frac{1}{3})^2 - 1 = 2(\frac{1}{9}) - 1 = \frac{2}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.

(D) द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $-p$ है और मूलों का गुणनफल $q$ है।
दिए गए मूल $\tan 30^\circ$ और $\tan 15^\circ$ हैं।
अतः,$-p = \tan 30^\circ + \tan 15^\circ$ और $q = \tan 30^\circ \cdot \tan 15^\circ$ है।
सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^\circ = \frac{\tan 30^\circ + \tan 15^\circ}{1 - \tan 30^\circ \tan 15^\circ} = 1$ है।
$p$ और $q$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = \frac{-p}{1 - q} \Rightarrow 1 - q = -p \Rightarrow p - q = -1$ है।
हमें $2 + q - p$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $p - q = -1$,इसलिए $q - p = 1$ है।
अतः,$2 + q - p = 2 + 1 = 3$ है।

(B) चूंकि दिया गया समीकरण एक सर्वसमिका है,इसलिए यह $x$ के सभी मानों के लिए सत्य होना चाहिए।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $(\cos^2 x + \sin^2 x) + 2 \sin x \cos x + k \sin x \cos x - 1 = 0$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 + 2 \sin x \cos x + k \sin x \cos x - 1 = 0$.
समीकरण को सरल करने पर:
$(2 + k) \sin x \cos x = 0$.
इसे सर्वसमिका होने के लिए,$\sin x \cos x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$2 + k = 0$,जिससे $k = -2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\tan (A - B) = 1$। चूँकि $\tan(\pi/4) = 1$,इसलिए $A - B = \frac{\pi}{4} + n\pi$। सबसे छोटे धनात्मक मान के लिए,$A - B = \frac{\pi}{4}$ लें $(i)$।
दिया गया है कि $\sec (A + B) = \frac{2}{\sqrt{3}}$। चूँकि $\sec(\pi/6) = \frac{2}{\sqrt{3}}$,इसलिए $A + B = 2n\pi \pm \frac{\pi}{6}$।
$B$ का सबसे छोटा धनात्मक मान ज्ञात करने के लिए,हम $B = \frac{(A+B) - (A-B)}{2}$ का उपयोग करेंगे।
$A + B = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ और $A - B = \frac{\pi}{4}$ लेने पर:
$2B = \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi - 3\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}$।
अतः,$B = \frac{19\pi}{24}$।

(A) दिया गया है: $\frac{{\sin^4 A}}{a} + \frac{{\cos^4 A}}{b} = \frac{1}{{a + b}}$
सर्वसमिका $\sin^2 A = \frac{{1 - \cos 2A}}{2}$ और $\cos^2 A = \frac{{1 + \cos 2A}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{{(1 - \cos 2A)^2}}{{4a}} + \frac{{(1 + \cos 2A)^2}}{{4b}} = \frac{1}{{a + b}}$
$4ab(a + b)$ से गुणा करने पर:
$b(a + b)(1 - 2\cos 2A + \cos^2 2A) + a(a + b)(1 + 2\cos 2A + \cos^2 2A) = 4ab$
पदों का विस्तार और पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(a + b)^2 \cos^2 2A + 2(a + b)(a - b) \cos 2A + (a - b)^2 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग है:
$((a + b) \cos 2A + (a - b))^2 = 0$
अतः,$\cos 2A = \frac{{b - a}}{{a + b}}$.
अब,$\frac{{\sin^8 A}}{{a^3}} + \frac{{\cos^8 A}}{{b^3}}$ का मान ज्ञात करने पर:
$= \frac{{(1 - \cos 2A)^4}}{{16a^3}} + \frac{{(1 + \cos 2A)^4}}{{16b^3}}$
$\cos 2A = \frac{{b - a}}{{a + b}}$ रखने पर:
$= \frac{1}{{16a^3}} \left( 1 - \frac{{b - a}}{{a + b}} \right)^4 + \frac{1}{{16b^3}} \left( 1 + \frac{{b - a}}{{a + b}} \right)^4$
$= \frac{1}{{16a^3}} \left( \frac{{2a}}{{a + b}} \right)^4 + \frac{1}{{16b^3}} \left( \frac{{2b}}{{a + b}} \right)^4$
$= \frac{{16a^4}}{{16a^3(a + b)^4}} + \frac{{16b^4}}{{16b^3(a + b)^4}} = \frac{a + b}{{(a + b)^4}} = \frac{1}{{(a + b)^3}}$.

(B) हम जानते हैं कि $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$,इसलिए $\sin^3 x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x)$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
${\sin ^3}x \sin 3x = \frac{1}{4}(3 \sin x - \sin 3x) \sin 3x$
$= \frac{3}{4} \sin x \sin 3x - \frac{1}{4} \sin^2 3x$
गुणनफल को योग में बदलने वाले सूत्रों $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{3}{8}(2 \sin x \sin 3x) - \frac{1}{8}(2 \sin^2 3x)$
$= \frac{3}{8}(\cos 2x - \cos 4x) - \frac{1}{8}(1 - \cos 6x)$
$= -\frac{1}{8} + \frac{3}{8} \cos 2x - \frac{3}{8} \cos 4x + \frac{1}{8} \cos 6x$
इसे $\sum_{m=0}^n c_m \cos mx = c_0 + c_1 \cos x + c_2 \cos 2x + \dots + c_n \cos nx$ के साथ तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि उच्चतम आवृत्ति वाला पद $\cos 6x$ है,जिसका अर्थ है कि $n = 6$।

(D) अनंत गुणोत्तर श्रेणी दी गई है:
$x = 1 + \cos^2\phi + \cos^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi}$
$y = 1 + \sin^2\phi + \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \sin^2\phi} = \frac{1}{\cos^2\phi}$
$z = 1 + \cos^2\phi \sin^2\phi + \cos^4\phi \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}$
अब,$xy$ की गणना करें:
$xy = \frac{1}{\sin^2\phi} \cdot \frac{1}{\cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}$
विकल्प $(b)$ की जाँच करें:
$xy + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi} = \frac{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi + \sin^2\phi \cos^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$
$xyz = \left(\frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}\right) \left(\frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}\right) = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$
अतः,$xyz = xy + z$ सही है।
विकल्प $(c)$ की जाँच करें:
$x + y + z = \frac{1}{\sin^2\phi} + \frac{1}{\cos^2\phi} + z = \frac{\cos^2\phi + \sin^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + z = xy + z = xyz$.
चूँकि $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है ${f_n}(\theta ) = \tan \frac{\theta }{2} (1 + \sec \theta ) (1 + \sec 2\theta ) \dots (1 + \sec {2^n}\theta ).$
$1 + \sec x = 1 + \frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x + 1}{\cos x} = \frac{2\cos^2(x/2)}{\cos x}$ का उपयोग करते हुए:
${f_n}(\theta ) = \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} \cdot \frac{2\cos^2(\theta/2)}{\cos \theta} \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \cdot \frac{2\cos^2 2\theta}{\cos 4\theta} \dots \frac{2\cos^2(2^{n-1}\theta)}{\cos(2^n\theta)}.$
पदों को सरल करने पर:
${f_n}(\theta ) = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos \theta} \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \dots = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \dots = \tan \theta \cdot \frac{2\cos^2 \theta}{\cos 2\theta} \dots = \tan 2\theta \cdot \frac{2\cos^2 2\theta}{\cos 4\theta} \dots$
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें ${f_n}(\theta ) = \tan(2^n\theta)$ प्राप्त होता है।
विकल्प $A$ के लिए: ${f_2}(\pi/16) = \tan(2^2 \cdot \pi/16) = \tan(4\pi/16) = \tan(\pi/4) = 1.$
विकल्प $B$ के लिए: ${f_3}(\pi/32) = \tan(2^3 \cdot \pi/32) = \tan(8\pi/32) = \tan(\pi/4) = 1.$
विकल्प $C$ के लिए: ${f_4}(\pi/64) = \tan(2^4 \cdot \pi/64) = \tan(16\pi/64) = \tan(\pi/4) = 1.$
अतः,उपरोक्त सभी सही हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi }{2^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos \frac{\pi }{2^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2^n} \right) = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\sin \left( \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{2^n} \right) \le 1$.
अतः,$\frac{\sqrt{n}}{2} \le \sqrt{2} \implies \sqrt{n} \le 2\sqrt{2} \implies n \le 8$.
$n=4$ के लिए,$\sin \frac{\pi}{16} + \cos \frac{\pi}{16} = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{16}) = \sqrt{2} \sin(\frac{5\pi}{16}) \approx 1.175$,जबकि $\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$. चूंकि $1.175 > 1$,समीकरण $n > 4$ के लिए सत्य है।
अतः,$4 < n \le 8$.

(B) दिया गया है $k = \sin \frac{\pi}{18} \sin \frac{5\pi}{18} \sin \frac{7\pi}{18}$।
सर्वसमिका $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ का उपयोग करने पर:
$k = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{18} \right) \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{7\pi}{18} \right)$
$k = \cos \frac{8\pi}{18} \cos \frac{4\pi}{18} \cos \frac{2\pi}{18} = \cos \frac{4\pi}{9} \cos \frac{2\pi}{9} \cos \frac{\pi}{9}$।
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{9}$ है:
$k = \frac{\sin \left( 8 \cdot \frac{\pi}{9} \right)}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{\sin \frac{8\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}}$।
चूंकि $\sin \frac{8\pi}{9} = \sin \left( \pi - \frac{\pi}{9} \right) = \sin \frac{\pi}{9}$ है:
$k = \frac{\sin \frac{\pi}{9}}{8 \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{1}{8}$।

(C) दिया गया है कि $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ और $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = \sin \delta = k$ है। चूंकि ये सबसे छोटे धनात्मक कोण हैं,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $\beta = \pi - \alpha$,$\gamma = 2\pi + \alpha$,और $\delta = 3\pi - \alpha$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\sin \frac{\pi - \alpha}{2} + 2\sin \frac{2\pi + \alpha}{2} + \sin \frac{3\pi - \alpha}{2}$
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) + 2\sin \left( \pi + \frac{\alpha}{2} \right) + \sin \left( \frac{3\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\cos \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}$
$E = 2\sin \frac{\alpha}{2} + 2\cos \frac{\alpha}{2} = 2 \left( \sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right)$
वर्गमूल के अंदर के व्यंजक का वर्ग करने पर:
$E = 2 \sqrt{(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2} = 2 \sqrt{\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}$
$E = 2 \sqrt{1 + \sin \alpha} = 2 \sqrt{1 + k}$.

(D) माना $L = (\sec A + \tan A)(\sec B + \tan B)(\sec C + \tan C)$ और $M = (\sec A - \tan A)(\sec B - \tan B)(\sec C - \tan C)$ है।
दिया गया है कि $L = M$ है।
हम जानते हैं कि $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होता है।
$L$ और $M$ का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $LM = (\sec^2 A - \tan^2 A)(\sec^2 B - \tan^2 B)(\sec^2 C - \tan^2 C) = 1 \times 1 \times 1 = 1$।
चूंकि $L = M$ है,हम समीकरण $LM = 1$ में $M$ के स्थान पर $L$ रख सकते हैं,जिससे $L^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $L = 1$ या $L = -1$ है।
चूंकि $L = M$ है,इसलिए दोनों पक्ष $1$ या $-1$ के बराबर हैं।

(D) माना दी गई श्रेणी $S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots \infty$ है,जहाँ $x = (1 - \cos \theta)$ है।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}$ है।
इस अनंत श्रेणी का योग $|x| < 1$ के लिए $S = (1 - x)^{-2}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $x = 1 - \cos \theta$ रखने पर:
$S = (1 - (1 - \cos \theta))^{-2} = (\cos \theta)^{-2} = \sec^2 \theta$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$S = 1 + \tan^2 \theta$।
दिया गया है कि $\tan \theta = \sqrt{\frac{3}{2}}$,इसलिए $\tan^2 \theta = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$S = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$।

(A) दिया गया है कि ${x_1}, {x_2}, ..., {x_n}$ एक $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $\alpha$ है,इसलिए प्रत्येक $k$ के लिए ${x_{k+1}} - {x_k} = \alpha$ है।
हम $\sin \alpha = \sin({x_{k+1}} - {x_k})$ लिख सकते हैं।
अतः,व्यंजक $\sum_{k=1}^{n-1} \sin \alpha \sec {x_k} \sec {x_{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sin({x_{k+1}} - {x_k})}{\cos {x_k} \cos {x_{k+1}}}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A - B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sum_{k=1}^{n-1} (\tan {x_{k+1}} - \tan {x_k})$ प्राप्त होता है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $(\tan {x_2} - \tan {x_1}) + (\tan {x_3} - \tan {x_2}) + ... + (\tan {x_n} - \tan {x_{n-1}})$।
पदों के कटने के बाद,हमारे पास $\tan {x_n} - \tan {x_1} = \frac{\sin({x_n} - {x_1})}{\cos {x_n} \cos {x_1}}$ बचता है।
चूंकि ${x_n} = {x_1} + (n-1)\alpha$,इसलिए ${x_n} - {x_1} = (n-1)\alpha$ है।
अतः,मान $\frac{\sin(n - 1)\alpha}{\cos {x_1} \cos {x_n}}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\sin \alpha + \sin \beta = -\frac{21}{65}$ और $\cos \alpha + \cos \beta = -\frac{27}{65}$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \alpha + \sin \beta)^2 + (\cos \alpha + \cos \beta)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta + \cos^2 \beta) + 2(\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta) = \frac{441 + 729}{4225}$
$1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{1170}{4225}$
$2 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$
$2(1 + \cos(\alpha - \beta)) = \frac{18}{65}$
$4\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{18}{65}$
$\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{18}{260} = \frac{9}{130}$
$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \pm \frac{3}{\sqrt{130}}$
चूंकि $\pi < \alpha - \beta < 3\pi$,इसलिए $2$ से भाग देने पर $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में कोसाइन फलन ऋणात्मक होता है।
अतः,$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = -\frac{3}{\sqrt{130}}$।

(C) माना $x \cos \theta = y \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) = z \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = k$.
तब,$\frac{k}{x} = \cos \theta$,$\frac{k}{y} = \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)$,और $\frac{k}{z} = \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\frac{k}{x} + \frac{k}{y} + \frac{k}{z} = \cos \theta + \cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) + \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)$.
योग-गुणन सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\cos \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) + \cos \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = 2 \cos \left( \frac{2\theta + 2\pi}{2} \right) \cos \left( \frac{-2\pi/3}{2} \right) = 2 \cos (\theta + \pi) \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right)$.
चूंकि $\cos (\theta + \pi) = -\cos \theta$ और $\cos (-\pi/3) = 1/2$,इसलिए योग:
$2(-\cos \theta)(1/2) = -\cos \theta$ होगा।
अतः,$\frac{k}{x} + \frac{k}{y} + \frac{k}{z} = \cos \theta - \cos \theta = 0$.
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) नियमित षट्भुज $A_0 A_1 A_2 A_3 A_4 A_5$ एक $R = 1$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है।
एक नियमित षट्भुज में,भुजा की लंबाई परिगत वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।
अतः,$A_0 A_1 = 1$.
$A_0 A_2$ ज्ञात करने के लिए,त्रिभुज $A_0 A_1 A_2$ पर विचार करें। एक नियमित षट्भुज का आंतरिक कोण $120^\circ$ होता है।
$\triangle A_0 A_1 A_2$ में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$A_0 A_2^2 = A_0 A_1^2 + A_1 A_2^2 - 2(A_0 A_1)(A_1 A_2) \cos(120^\circ)$
$A_0 A_2^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
इसलिए,$A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
समरूपता द्वारा,$A_0 A_4 = A_0 A_2 = \sqrt{3}$.
लंबाई का गुणनफल $A_0 A_1 \times A_0 A_2 \times A_0 A_4 = 1 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ है।

(B) दी गई व्यंजक: $3\left[ {{{\sin }^4}\left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right) + {{\sin }^4}(3\pi + \alpha )} \right] - 2\left[ {{{\sin }^6}\left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + {{\sin }^6}(5\pi - \alpha )} \right]$
त्रिकोणमितीय न्यूनीकरण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(3\pi + \alpha) = -\sin \alpha$
$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos \alpha$,$\sin(5\pi - \alpha) = \sin \alpha$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 3\left[ {(-\cos \alpha)^4 + (-\sin \alpha)^4} \right] - 2\left[ {(\cos \alpha)^6 + (\sin \alpha)^6} \right]$
$= 3(\cos^4 \alpha + \sin^4 \alpha) - 2(\cos^6 \alpha + \sin^6 \alpha)$
सर्वसमिकाओं $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ और $a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए:
$= 3[(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha] - 2[(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)^3 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)]$
चूंकि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$= 3[1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha] - 2[1 - 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha]$
$= 3 - 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 + 6\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
$= 3 - 2 = 1$

(A) हमें व्यंजक $E = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ दिया गया है।
चूंकि $\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ है,इसलिए $\tan \alpha > 0$ है,और $x^2 + x > 0$ के लिए दोनों पद धनात्मक हैं।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार,किन्हीं भी दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$a + b \ge 2\sqrt{ab}$ होता है।
मान लीजिए $a = \sqrt{x^2 + x}$ और $b = \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}.$
तब $a + b \ge 2 \sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}.$
$a + b \ge 2 \sqrt{\tan^2 \alpha}.$
चूंकि $\alpha \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के लिए $\tan \alpha > 0$ है,इसलिए $a + b \ge 2 \tan \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,यह व्यंजक हमेशा $2 \tan \alpha$ से बड़ा या उसके बराबर होता है।

(A) दिया गया है कि $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$.
इसका अर्थ है $\frac{\cos \alpha_1}{\sin \alpha_1} \cdot \frac{\cos \alpha_2}{\sin \alpha_2} \cdots \frac{\cos \alpha_n}{\sin \alpha_n} = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n = \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n$.
मान लीजिए $P = \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n$.
तब $P^2 = (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n) \cdot (\sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n)$.
सर्वसमिका $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $P^2 = \frac{1}{2^n} \sin 2\alpha_1 \cdot \sin 2\alpha_2 \cdots \sin 2\alpha_n$.
चूंकि प्रत्येक $i$ के लिए $\sin 2\alpha_i \le 1$,इसलिए $P^2$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2^n}$ है।
अतः,$P$ का अधिकतम मान $\sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}}$ है।

(B) दिया गया है कि $A = \sin^8 \theta + \cos^{14} \theta$.
हम जानते हैं कि सभी वास्तविक $\theta$ के लिए $0 \le \sin^2 \theta \le 1$ और $0 \le \cos^2 \theta \le 1$ होता है।
अतः,$\sin^8 \theta \le \sin^2 \theta$ और $\cos^{14} \theta \le \cos^2 \theta$ होगा।
इन असमिकाओं को जोड़ने पर:
$A = \sin^8 \theta + \cos^{14} \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
साथ ही,चूंकि $\sin^8 \theta > 0$ और $\cos^{14} \theta > 0$ है (दोनों एक साथ शून्य नहीं हो सकते),इसलिए $A > 0$ होगा।
अतः,$0 < A \le 1$।

(B) चूंकि $\theta$ एक न्यूनकोण है,इसलिए $0^\circ < \theta < 90^\circ$ होता है।
न्यूनकोण के लिए,$\sin\theta$ का मान $0 \le \sin\theta < 1$ के बीच होना चाहिए।
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $0 \le \frac{p - 6}{8 - p} < 1$ प्राप्त होता है।
सबसे पहले,$0 \le \frac{p - 6}{8 - p}$ पर विचार करें। हर $8 - p$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $8 - p > 0$,जिसका अर्थ है $p < 8$। अंश के लिए,$p - 6 \ge 0$,इसलिए $p \ge 6$।
अब,$\frac{p - 6}{8 - p} < 1$ पर विचार करें। चूंकि $8 - p > 0$ है,इसलिए असमिका के चिह्न को बदले बिना दोनों पक्षों को $(8 - p)$ से गुणा करने पर: $p - 6 < 8 - p$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $p$ जोड़ने पर: $2p - 6 < 8$।
दोनों पक्षों में $6$ जोड़ने पर: $2p < 14$।
$2$ से भाग देने पर: $p < 7$।
अतः,$p \ge 6$ और $p < 7$ को संयोजित करने पर,हमें $6 \le p < 7$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई व्यंजक: $\sum \frac{\cot A + \cot B}{\tan A + \tan B}$ है।
हम जानते हैं कि $\cot A + \cot B = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B \cos A + \cos B \sin A}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ है।
इसी प्रकार,$\tan A + \tan B = \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\sin A \cos B + \cos A \sin B}{\cos A \cos B} = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cot A + \cot B}{\tan A + \tan B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} \times \frac{\cos A \cos B}{\sin(A+B)} = \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} = \cot A \cot B$ प्राप्त होता है।
अतः,योग $\sum \cot A \cot B = \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A$ होगा।
किसी भी त्रिभुज के लिए जहाँ $A + B + C = \pi$ होता है,सर्वसमिका $\cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1$ सत्य है।
इसलिए,अंतिम उत्तर $1$ है।

(C) दिया गया है $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$,अतः $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$,जिससे $\tan \beta = \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot \alpha$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\beta + \gamma = \alpha$ दिया गया है,दोनों पक्षों में $\tan$ लेने पर,$\tan(\beta + \gamma) = \tan \alpha$ प्राप्त होता है।
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1 - \tan \beta \tan \gamma} = \tan \alpha$ प्राप्त होता है।
$\tan \beta = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\frac{1}{\tan \alpha} + \tan \gamma}{1 - \frac{1}{\tan \alpha} \tan \gamma} = \tan \alpha$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $\tan \alpha$ से गुणा करने पर,$\frac{1 + \tan \alpha \tan \gamma}{\tan \alpha - \tan \gamma} = \tan \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$1 + \tan \alpha \tan \gamma = \tan^2 \alpha - \tan \alpha \tan \gamma$.
$1 + 2\tan \alpha \tan \gamma = \tan^2 \alpha$.
$\tan \alpha$ से विभाजित करने पर,$\cot \alpha + 2\tan \gamma = \tan \alpha$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cot \alpha = \tan \beta$,इसलिए $\tan \alpha = \tan \beta + 2\tan \gamma$ होता है।

(A) माना $E = a\sin^2 \theta + b\sin \theta \cos \theta + c\cos^2 \theta - \frac{1}{2}(a + c)$.
सर्वसमिकाओं $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ और $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = a\left( \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \right) + b\left( \frac{\sin 2\theta}{2} \right) + c\left( \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) - \frac{1}{2}(a + c)$
$E = \frac{1}{2} [a - a\cos 2\theta + b\sin 2\theta + c + c\cos 2\theta - a - c]$
$E = \frac{1}{2} [b\sin 2\theta - (a - c)\cos 2\theta]$
हम जानते हैं कि $A\sin x + B\cos x$ के रूप के किसी भी व्यंजक के लिए,उसका परिसर $[-\sqrt{A^2 + B^2}, \sqrt{A^2 + B^2}]$ होता है।
अतः,$|b\sin 2\theta - (a - c)\cos 2\theta| \le \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
इस प्रकार,$|E| = \left| \frac{1}{2} [b\sin 2\theta - (a - c)\cos 2\theta] \right| \le \frac{1}{2} \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$.
दी गई असमिका $|E| \le \frac{1}{2}k$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = \sqrt{b^2 + (a - c)^2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$k^2 = b^2 + (a - c)^2$।

(D) दी गई असमिका: $\frac{4x^2 + 1}{64x^2 - 96x \sin \alpha + 5} < \frac{1}{32}$.
वज्र गुणन करने पर: $32(4x^2 + 1) < 64x^2 - 96x \sin \alpha + 5$.
$128x^2 + 32 < 64x^2 - 96x \sin \alpha + 5$.
$64x^2 + 96x \sin \alpha + 27 < 0$.
इस द्विघात समीकरण के लिए विविक्तकर (discriminant) $D > 0$ होना चाहिए ताकि यह ऋणात्मक मान प्राप्त कर सके।
$D = (96 \sin \alpha)^2 - 4(64)(27) > 0$.
$9216 \sin^2 \alpha - 6912 > 0$.
$\sin^2 \alpha > \frac{6912}{9216} = \frac{3}{4}$.
$|\sin \alpha| > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः $\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ या $\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin \alpha > \frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\alpha \in (\pi/3, 2\pi/3)$.
$\sin \alpha < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ के लिए,$\alpha \in (4\pi/3, 5\pi/3)$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x + y = 3 - \cos 4\theta = 3 - (1 - 2 \sin^2 2\theta) = 2 + 2 \sin^2 2\theta$
$x - y = 4 \sin 2\theta$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2x = 2 + 2 \sin^2 2\theta + 4 \sin 2\theta = 2(1 + 2 \sin 2\theta + \sin^2 2\theta) = 2(1 + \sin 2\theta)^2$
$x = (1 + \sin 2\theta)^2 \implies \sqrt{x} = 1 + \sin 2\theta$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$2y = 2 + 2 \sin^2 2\theta - 4 \sin 2\theta = 2(1 - 2 \sin 2\theta + \sin^2 2\theta) = 2(1 - \sin 2\theta)^2$
$y = (1 - \sin 2\theta)^2 \implies \sqrt{y} = 1 - \sin 2\theta$
$\sqrt{x}$ और $\sqrt{y}$ को जोड़ने पर:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = (1 + \sin 2\theta) + (1 - \sin 2\theta) = 2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ होता है।
$\tan B = \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}$ का मान रखने पर:
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}{1 - \tan A \cdot \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}$
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}{1 - \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{n \sin A \cos A}{1 - n \cos^2 A}}$
$= \frac{\sin A(1 - n \cos^2 A) + n \sin A \cos^2 A}{\cos A(1 - n \cos^2 A) - n \sin^2 A \cos A}$
$= \frac{\sin A - n \sin A \cos^2 A + n \sin A \cos^2 A}{\cos A(1 - n(\cos^2 A + \sin^2 A))}$
$= \frac{\sin A}{\cos A(1 - n(1))}$
$= \frac{\sin A}{(1 - n) \cos A}$.

(B) दिया गया समीकरण $a^2 + 2a + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,हमें $(a^2 + 2a + 1) + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $(a + 1)^2 + \csc^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ हो जाता है।
सर्वसमिका $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ का उपयोग करके,हम समीकरण को $(a + 1)^2 + 1 + \cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,हमें $(a + 1)^2 + \cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(a + x) \right) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों पद वास्तविक संख्याओं के वर्ग हैं,इसलिए उनका योग केवल तभी शून्य हो सकता है जब प्रत्येक पद व्यक्तिगत रूप से शून्य हो।
अतः,$(a + 1)^2 = 0 \Rightarrow a = -1$।
दूसरे पद में $a = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\cot^2 \left( \frac{\pi}{2}(-1 + x) \right) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\cot \left( \frac{\pi}{2}(x - 1) \right) = 0$।
यह तब होता है जब कोण $\frac{\pi}{2}$ का विषम गुणज हो,अर्थात $\frac{\pi}{2}(x - 1) = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,जहाँ $n$ कोई पूर्णांक है।
$x - 1 = 2n + 1 \Rightarrow x = 2n + 2 = 2(n + 1)$।
अतः,$\frac{x}{2} = n + 1$,जो एक पूर्णांक $(I)$ है।

(D) माना $x = \frac{\pi}{28}$. व्यंजक $S = \cos(2x) \csc(3x) + \cos(6x) \csc(9x) + \cos(18x) \csc(27x)$ है।
सामान्य पद $T_k = \frac{\cos(2 \cdot 3^{k-1} x)}{\sin(3^k x)}$ लें,जहाँ $k = 1, 2, 3$ है।
सर्वसमिका $\cos(A) \csc(B) = \frac{\cos A}{\sin B}$ का उपयोग करके,अंश और हर को $\sin(3^{k-1} x)$ से गुणा करने पर:
$T_k = \frac{\cos(2 \cdot 3^{k-1} x) \sin(3^{k-1} x)}{\sin(3^k x) \sin(3^{k-1} x)}$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) - \sin(B-A)$ का उपयोग करने पर:
$T_k = \frac{1}{2} \frac{\sin(3^k x) - \sin(3^{k-1} x)}{\sin(3^k x) \sin(3^{k-1} x)} = \frac{1}{2} (\csc(3^{k-1} x) - \csc(3^k x))$.
$k=1, 2, 3$ के लिए योग करने पर:
$S = \frac{1}{2} [(\csc x - \csc 3x) + (\csc 3x - \csc 9x) + (\csc 9x - \csc 27x)]$.
$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc 27x)$.
चूंकि $27x = 27\frac{\pi}{28} = \pi - \frac{\pi}{28} = \pi - x$,इसलिए $\csc(27x) = \csc(\pi - x) = \csc x$ है।
अतः,$S = \frac{1}{2} (\csc x - \csc x) = 0$.