Trigonometry Questions in Hindi

(B) दिया गया है $\cos A = \frac{3}{4}$.
हम गुणन-से-योग सूत्र का उपयोग करते हैं: $2\sin X \cos Y = \sin(X+Y) + \sin(X-Y)$.
यहाँ,$X = \frac{A}{2}$ और $Y = \frac{5A}{2}$ है।
$32\sin \frac{A}{2}\cos \frac{5A}{2} = 16 \times (2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{5A}{2})$
$= 16 \times [\sin(\frac{A}{2} + \frac{5A}{2}) + \sin(\frac{A}{2} - \frac{5A}{2})]$
$= 16 \times [\sin(3A) + \sin(-2A)]$
$= 16 \times [\sin(3A) - \sin(2A)]$
$\sin(3A) = 3\sin A - 4\sin^3 A$ और $\sin(2A) = 2\sin A \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= 16 \times [3\sin A - 4\sin^3 A - 2\sin A \cos A]$
$= 16\sin A [3 - 4\sin^2 A - 2\cos A]$
चूंकि $\cos A = \frac{3}{4}$,$\sin^2 A = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$,इसलिए $\sin A = \frac{\sqrt{7}}{4}$।
$= 16 \times \frac{\sqrt{7}}{4} [3 - 4(\frac{7}{16}) - 2(\frac{3}{4})]$
$= 4\sqrt{7} [3 - \frac{7}{4} - \frac{3}{2}]$
$= 4\sqrt{7} [\frac{12 - 7 - 6}{4}] = 4\sqrt{7} [-\frac{1}{4}] = -\sqrt{7}$.

(D) दिया गया है,$\tan \theta = \frac{1}{7}$ और $\sin \phi = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
चूंकि $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{50}}$ और $\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{50}}$.
चूंकि $\phi$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \phi = \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.
अब,$\cos 2\phi$ और $\sin 2\phi$ की गणना करें:
$\cos 2\phi = 2\cos^2 \phi - 1 = 2(\frac{9}{10}) - 1 = \frac{18}{10} - 1 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
$\sin 2\phi = 2\sin \phi \cos \phi = 2(\frac{1}{\sqrt{10}})(\frac{3}{\sqrt{10}}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
अब,$\cos(\theta + 2\phi)$ की गणना करें:
$\cos(\theta + 2\phi) = \cos \theta \cos 2\phi - \sin \theta \sin 2\phi$
$= (\frac{7}{\sqrt{50}})(\frac{8}{10}) - (\frac{1}{\sqrt{50}})(\frac{6}{10})$
$= \frac{56 - 6}{10\sqrt{50}} = \frac{50}{10\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\cos(\theta + 2\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\theta + 2\phi = 45^\circ$ है।

(D) हमारे पास $\frac{\cos A}{1 - \sin A}$ है।
अंश और हर को $(1 + \sin A)$ से गुणा करने पर:
$\frac{\cos A(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)} = \frac{\cos A(1 + \sin A)}{1 - \sin^2 A} = \frac{\cos A(1 + \sin A)}{\cos^2 A} = \frac{1 + \sin A}{\cos A}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ और $\cos A = \cos^2 \frac{A}{2} - \sin^2 \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})^2}{(\cos \frac{A}{2} - \sin \frac{A}{2})(\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2})} = \frac{\cos \frac{A}{2} + \sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2} - \sin \frac{A}{2}}$.
अंश और हर को $\cos \frac{A}{2}$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 + \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2}} = \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{A}{2} \right)$.

(A) दिया गया है $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ और $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (अर्थात $\alpha$ $III$ चतुर्थांश में है)।
$III$ चतुर्थांश में $\cos \alpha$ ऋणात्मक होता है।
$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$।
चूँकि $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2},$ इसे $2$ से भाग देने पर $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{3\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{\alpha}{2}$ $II$ चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\cos$ ऋणात्मक होता है।
अर्ध-कोण सूत्र $\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ है।
$\cos \alpha$ का मान रखने पर:
$\cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + (-4/5)}{2}} = -\sqrt{\frac{1/5}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$।

(B) दिया गया व्यंजक: $\sec 2x - \tan 2x$
$= \frac{1}{\cos 2x} - \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{1 - \sin 2x}{\cos 2x}$
सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$,और $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$
$= \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}$
चूंकि $\tan \frac{\pi}{4} = 1$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan x} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$.

(B) दिया गया है $\sin \theta + \cos \theta = x.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = x^2.$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1,$ इसलिए $1 + \sin 2\theta = x^2,$ जिसका अर्थ है $\sin 2\theta = x^2 - 1.$
चूंकि $\sin 2\theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $-1 \le x^2 - 1 \le 1$ होना चाहिए,जो $0 \le x^2 \le 2$ में सरल हो जाता है.
अब,व्यंजक ${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta$ पर विचार करें.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sin^2 \theta$ और $b = \cos^2 \theta,$
${\sin ^6}\theta + {\cos ^6}\theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta).$
$= 1^3 - 3(\sin \theta \cos \theta)^2 (1) = 1 - 3(\frac{\sin 2\theta}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\theta.$
$\sin 2\theta = x^2 - 1$ प्रतिस्थापित करने पर,
$= 1 - \frac{3}{4}(x^2 - 1)^2 = \frac{1}{4}[4 - 3(x^2 - 1)^2].$
यह सर्वसमिका केवल तभी सत्य है जब $\sin 2\theta$ परिभाषित हो,जिसके लिए $x^2 \le 2$ होना आवश्यक है।

(A) दिया गया है $\tan \theta = t.$
हम जानते हैं कि डबल एंगल (दोगुने कोण) के सूत्र:
$\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2t}{1 - t^2}$
$\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
इसलिए,$\sec 2\theta = \frac{1}{\cos 2\theta} = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}$
अब,$\tan 2\theta + \sec 2\theta = \frac{2t}{1 - t^2} + \frac{1 + t^2}{1 - t^2}$
$= \frac{2t + 1 + t^2}{1 - t^2} = \frac{(1 + t)^2}{(1 - t)(1 + t)}$
$= \frac{1 + t}{1 - t}$.

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{{\sqrt 2 - \sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}$
$= \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \alpha + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \alpha } \right)}}{{\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \alpha - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos \alpha } \right)}}$
$= \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 2 \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)}}$
माना $\theta = \alpha - \frac{\pi }{4}$. तब व्यंजक $\frac{{\sqrt 2 (1 - \cos \theta )}}{{\sqrt 2 \sin \theta }} = \frac{{1 - \cos \theta }}{{\sin \theta }}$ हो जाता है।
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ और $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{{2{{\sin }^2}(\theta /2)}}{{2\sin (\theta /2)\cos (\theta /2)}} = \tan \frac{\theta }{2}$
$\theta = \alpha - \frac{\pi }{4}$ का मान वापस रखने पर:
$= \tan \left( {\frac{\alpha }{2} - \frac{\pi }{8}} \right)$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ होती है।
दिया गया है $\cos \theta = \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right)$।
सर्वसमिका में $\cos \theta$ का मान रखने पर:
$\cos 3\theta = 4 \left[ \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right) \right]^3 - 3 \left[ \frac{1}{2}\left( a + \frac{1}{a} \right) \right]$
$\cos 3\theta = 4 \cdot \frac{1}{8} \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 - \frac{3}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right)$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right)^3 - \frac{3}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right)$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \left[ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 - 3 \right]$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \left[ a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} - 3 \right]$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a + \frac{1}{a} \right) \left[ a^2 - 1 + \frac{1}{a^2} \right]$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a^3 - a + \frac{1}{a} + a - \frac{1}{a} + \frac{1}{a^3} \right)$
$\cos 3\theta = \frac{1}{2} \left( a^3 + \frac{1}{a^3} \right)$.

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $25\cos^2\theta + 5\cos\theta - 12 = 0$ है। माना $x = \cos\theta$,तब $25x^2 + 5x - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(25)(-12)}}{50} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{50} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{50} = \frac{-5 \pm 35}{50}$.
इससे $\cos\alpha$ के दो संभावित मान मिलते हैं: $x_1 = 3/5$ और $x_2 = -4/5$.
चूंकि $\pi/2 < \alpha < \pi$,$\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,जहाँ $\cos\alpha$ ऋणात्मक होता है। अतः,$\cos\alpha = -4/5$.
अब,$\sin\alpha$ का मान ज्ञात करते हैं: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (-4/5)^2} = 3/5$ (दूसरे चतुर्थांश में $\sin$ धनात्मक होता है)।
अंततः,$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2(3/5)(-4/5) = -24/25$.

(C) दिया गया है $A = 133^\circ$,इसलिए $\frac{A}{2} = 66.5^\circ$ है।
चूंकि $45^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ$ है,इसलिए $\sin \frac{A}{2} > \cos \frac{A}{2} > 0$ होगा।
हम जानते हैं कि $1 + \sin A = \sin^2 \frac{A}{2} + \cos^2 \frac{A}{2} + 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2})^2$।
अतः,$\sqrt{1 + \sin A} = |\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2}| = \sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2}$ (क्योंकि दोनों धनात्मक हैं)।
इसी प्रकार,$1 - \sin A = \sin^2 \frac{A}{2} + \cos^2 \frac{A}{2} - 2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2} = (\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2})^2$।
अतः,$\sqrt{1 - \sin A} = |\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}| = \sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}$ (क्योंकि $\sin \frac{A}{2} > \cos \frac{A}{2}$)।
दोनों व्यंजकों को घटाने पर: $\sqrt{1 + \sin A} - \sqrt{1 - \sin A} = (\sin \frac{A}{2} + \cos \frac{A}{2}) - (\sin \frac{A}{2} - \cos \frac{A}{2}) = 2\cos \frac{A}{2}$।

(D) दिया गया है $\sin A = \frac{4}{5}$ और $90^\circ < A < 180^\circ$ (द्वितीय चतुर्थांश)।
द्वितीय चतुर्थांश में $\sin A$ धनात्मक और $\cos A$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\sqrt{1 - (4/5)^2} = -\sqrt{1 - 16/25} = -\sqrt{9/25} = -3/5$।
अब,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{4/5}{-3/5} = -4/3$।
अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए: $\tan A = \frac{2 \tan(A/2)}{1 - \tan^2(A/2)}$।
मान लीजिए $P = \tan(A/2)$। तो $-4/3 = \frac{2P}{1 - P^2}$।
$-4(1 - P^2) = 6P \implies -4 + 4P^2 = 6P \implies 4P^2 - 6P - 4 = 0$।
$2$ से भाग देने पर: $2P^2 - 3P - 2 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(2P + 1)(P - 2) = 0$।
अतः,$P = -1/2$ या $P = 2$।
चूंकि $90^\circ < A < 180^\circ$ है,इसलिए $45^\circ < A/2 < 90^\circ$ होगा। इस अंतराल में $\tan(A/2)$ धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$\tan(A/2) = 2$।

(B) दिया गया है: $2\tan A = 3\tan B \implies \tan A = \frac{3}{2}\tan B$.
माना $\tan B = t$,तो $\tan A = \frac{3}{2}t$.
हम जानते हैं कि $\sin 2B = \frac{2t}{1 + t^2}$ और $\cos 2B = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.
इन मानों को $\frac{\sin 2B}{5 - \cos 2B}$ में रखने पर:
$= \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{5 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{2t}{5(1 + t^2) - (1 - t^2)} = \frac{2t}{5 + 5t^2 - 1 + t^2} = \frac{2t}{4 + 6t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
अब,$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{2}t - t}{1 + (\frac{3}{2}t)(t)} = \frac{\frac{1}{2}t}{1 + \frac{3}{2}t^2} = \frac{t}{2 + 3t^2}$.
चूंकि दोनों व्यंजक समान हैं,इसलिए उत्तर $\tan(A - B)$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = 2\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$.
विस्तार सूत्रों $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ और $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \left( \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} = \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$.
दोनों पक्षों को $3 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2}} = \frac{1}{3}$.
अतः,$\tan \frac{\alpha}{2} \tan \frac{\beta}{2} = \frac{1}{3}$.

(B) दिया गया है,$\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} = 2\cos \theta$ --- $(i)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + \frac{1}{x} + 2 = 4\cos^2 \theta$
$x + \frac{1}{x} = 4\cos^2 \theta - 2 = 2(2\cos^2 \theta - 1) = 2\cos 2\theta$ --- $(ii)$
$(ii)$ के दोनों पक्षों का पुनः वर्ग करने पर:
$x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 4\cos^2 2\theta$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 4\cos^2 2\theta - 2 = 2(2\cos^2 2\theta - 1) = 2\cos 4\theta$ --- $(iii)$
अब,$(iii)$ के दोनों पक्षों का घन करने पर:
$(x^2 + \frac{1}{x^2})^3 = (2\cos 4\theta)^3$
$x^6 + \frac{1}{x^6} + 3(x^2 \cdot \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x^2}) = 8\cos^3 4\theta$
$x^6 + \frac{1}{x^6} + 3(2\cos 4\theta) = 8\cos^3 4\theta$
$x^6 + \frac{1}{x^6} = 8\cos^3 4\theta - 6\cos 4\theta$
$x^6 + \frac{1}{x^6} = 2(4\cos^3 4\theta - 3\cos 4\theta)$
सर्वसमिका $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ का उपयोग करने पर:
$x^6 + \frac{1}{x^6} = 2\cos(3 \cdot 4\theta) = 2\cos 12\theta$.

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$\sin 2\theta + \sin 2\phi = 1/2$ --- $(i)$
$\cos 2\theta + \cos 2\phi = 3/2$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin 2\theta + \sin 2\phi)^2 + (\cos 2\theta + \cos 2\phi)^2 = (1/2)^2 + (3/2)^2$
$(\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta) + (\sin^2 2\phi + \cos^2 2\phi) + 2(\sin 2\theta \sin 2\phi + \cos 2\theta \cos 2\phi) = 1/4 + 9/4$
$1 + 1 + 2 \cos(2\theta - 2\phi) = 10/4$
$2 + 2 \cos(2\theta - 2\phi) = 5/2$
$2 \cos(2\theta - 2\phi) = 5/2 - 2 = 1/2$
$\cos(2\theta - 2\phi) = 1/4$
सर्वसमिका $\cos 2A = 2 \cos^2 A - 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos^2(\theta - \phi) - 1 = 1/4$
$2 \cos^2(\theta - \phi) = 1 + 1/4 = 5/4$
$\cos^2(\theta - \phi) = 5/8$.

(A) दी गई व्यंजक: $E = \cos 2(\theta + \phi ) - 4\cos (\theta + \phi )\sin \theta \sin \phi + 2\sin^2 \phi$
सर्वसमिका $2\sin \theta \sin \phi = \cos(\theta - \phi) - \cos(\theta + \phi)$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos 2(\theta + \phi) - 2\cos(\theta + \phi)[\cos(\theta - \phi) - \cos(\theta + \phi)] + 2\sin^2 \phi$
$E = \cos 2(\theta + \phi) - 2\cos(\theta + \phi)\cos(\theta - \phi) + 2\cos^2(\theta + \phi) + 2\sin^2 \phi$
$2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos 2(\theta + \phi) - [\cos 2\theta + \cos 2\phi] + 2\cos^2(\theta + \phi) + 2\sin^2 \phi$
$2\cos^2 A = 1 + \cos 2A$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos 2(\theta + \phi) - \cos 2\theta - \cos 2\phi + 1 + \cos 2(\theta + \phi) + 2\sin^2 \phi$
चूंकि $1 - \cos 2\phi = 2\sin^2 \phi$,व्यंजक का सरलीकरण:
$E = 2\cos 2(\theta + \phi) - \cos 2\theta + 2\sin^2 \phi + 2\sin^2 \phi - \cos 2\phi$
वैकल्पिक रूप से,$\theta = \phi = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$E = \cos 2(\frac{\pi}{2}) - 4\cos(\frac{\pi}{2})\sin(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{4}) + 2\sin^2(\frac{\pi}{4}) = \cos \pi - 0 + 2(\frac{1}{2}) = -1 + 1 = 0$.
विकल्पों की जांच करने पर,$\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए:
$(a) \cos 2(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$.
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(C) प्रत्येक विकल्प का मूल्यांकन करते हैं:
$A) \sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$,जो अपरिमेय है।
$B) \cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$,जो अपरिमेय है।
$C) \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$,जो परिमेय है।
$D) \sin 15^\circ \cos 75^\circ = \sin 15^\circ \sin 15^\circ = \sin^2 15^\circ = \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{8} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$,जो अपरिमेय है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है: $\sin A + \cos A = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin A + \cos A)^2 = (\sqrt{2})^2$
$\sin^2 A + \cos^2 A + 2 \sin A \cos A = 2$
चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,इसलिए:
$1 + 2 \sin A \cos A = 2$
$2 \sin A \cos A = 1$
$\sin 2A = 1 = \sin 90^\circ$
$2A = 90^\circ \implies A = 45^\circ$.
अब,$\cos^2 A$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\cos^2 45^\circ = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$.

(B) दिया गया समीकरण: $2\cos^2 \theta - 2\sin^2 \theta = 1$
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $2(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 1$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2\cos 2\theta = 1$
$\cos 2\theta = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$2\theta = 60^\circ$
$\theta = 30^\circ$

(C) दिया गया है $\sin \alpha = \frac{336}{625}$ और $450^\circ < \alpha < 540^\circ$ है।
चूँकि $450^\circ < \alpha < 540^\circ$,$\alpha$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है $(90^\circ < \alpha - 360^\circ < 180^\circ)$।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\cos \alpha$ ऋणात्मक होता है।
$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left( \frac{336}{625} \right)^2} = -\sqrt{\frac{625^2 - 336^2}{625^2}} = -\sqrt{\frac{289 \times 961}{625^2}} = -\frac{527}{625}$।
अब,$225^\circ < \frac{\alpha}{2} < 270^\circ$,इसलिए $\frac{\alpha}{2}$ तृतीय चतुर्थांश में है।
$\cos \left( \frac{\alpha}{2} \right) = -\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 - \frac{527}{625}}{2}} = -\sqrt{\frac{98}{1250}} = -\frac{7}{25}$।
अंत में,$112.5^\circ < \frac{\alpha}{4} < 135^\circ$,इसलिए $\frac{\alpha}{4}$ द्वितीय चतुर्थांश में है।
द्वितीय चतुर्थांश में,$\sin \left( \frac{\alpha}{4} \right)$ धनात्मक होता है।
$\sin \left( \frac{\alpha}{4} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha/2)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-7/25)}{2}} = \sqrt{\frac{32/25}{2}} = \frac{4}{5}$।

(B) दिया गया है: $\tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 1$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर: $1 + \tan^2 \theta = 2\tan^2 \phi + 2$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2(1 + \tan^2 \phi)$
$\Rightarrow \sec^2 \theta = 2\sec^2 \phi$
व्युत्क्रम लेने पर: $\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \cos^2 \phi$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{1}{2} \cos^2 \phi$
$1 + \cos 2\theta = \cos^2 \phi$
$1 + \cos 2\theta = 1 - \sin^2 \phi$
$\cos 2\theta + \sin^2 \phi = 0$
वैकल्पिक रूप से,मान लीजिए $\theta = 45^\circ$ है। तब $\tan^2 45^\circ = 2\tan^2 \phi + 1 \Rightarrow 1 = 2\tan^2 \phi + 1 \Rightarrow \tan^2 \phi = 0 \Rightarrow \phi = 0^\circ$।
अतः,$\cos(2 \times 45^\circ) + \sin^2 0^\circ = \cos 90^\circ + 0 = 0 + 0 = 0$।

(C) दिया गया व्यंजक: $E = \cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8} + \cos^4 \frac{5\pi}{8} + \cos^4 \frac{7\pi}{8}$
चूंकि $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए $\cos \frac{7\pi}{8} = \cos(\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8}$ और $\cos \frac{5\pi}{8} = \cos(\pi - \frac{3\pi}{8}) = -\cos \frac{3\pi}{8}$ है।
इनकी घात $4$ करने पर,$\cos^4 \frac{7\pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$ और $\cos^4 \frac{5\pi}{8} = \cos^4 \frac{3\pi}{8}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $E = 2(\cos^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{3\pi}{8})$।
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \cos^2 \frac{\pi}{8}$ और $b = \cos^2 \frac{3\pi}{8}$:
$E = 2[(\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8})^2 - 2\cos^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{3\pi}{8}]$
यहाँ $\cos^2 \frac{3\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8}$ है,इसलिए $\cos^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{3\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} = 1$ होता है।
$E = 2[1^2 - 2(\cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8})^2] = 2[1 - 2(\frac{1}{2} (2 \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8}))^2]$
सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos \frac{\pi}{8} \cos \frac{3\pi}{8} = \cos(\frac{4\pi}{8}) + \cos(-\frac{2\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{4} = 0 + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$E = 2[1 - 2(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})^2] = 2[1 - 2(\frac{1}{2\sqrt{2}})^2] = 2[1 - 2(\frac{1}{8})] = 2[1 - \frac{1}{4}] = 2(\frac{3}{4}) = \frac{3}{2}$।

(D) दिया गया है: $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\sin x + \cos x)^2 = (\frac{1}{5})^2$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25}$
हम जानते हैं कि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ और $2 \sin x \cos x = \sin 2x$:
$1 + \sin 2x = \frac{1}{25}$
$\sin 2x = \frac{1}{25} - 1 = -\frac{24}{25}$
अब,$\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x = 1 - (-\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$
$\cos 2x = \pm \frac{7}{25}$
$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{-24/25}{\pm 7/25} = \mp \frac{24}{7}$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{24}{7}$ है।

(C) दी गई व्यंजक: $\cos^2 A(3 - 4\cos^2 A)^2 + \sin^2 A(3 - 4\sin^2 A)^2$
$= (3\cos A - 4\cos^3 A)^2 + (3\sin A - 4\sin^3 A)^2$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: $\cos 3A = 4\cos^3 A - 3\cos A$ और $\sin 3A = 3\sin A - 4\sin^3 A$.
यहाँ,$(3\cos A - 4\cos^3 A)^2 = (-(4\cos^3 A - 3\cos A))^2 = (-\cos 3A)^2 = \cos^2 3A$.
अतः,व्यंजक $\cos^2 3A + \sin^2 3A$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos^2 3A + \sin^2 3A = 1$ प्राप्त होता है।
ट्रिक: $A = 0^\circ$ रखने पर,व्यंजक $\cos^2 0(3 - 4\cos^2 0)^2 + \sin^2 0(3 - 4\sin^2 0)^2 = 1(3 - 4)^2 + 0 = (-1)^2 = 1$ होता है।

(C) हम जानते हैं कि $1 = \sec^2 A - \tan^2 A$ होता है। अंश में इसका मान रखने पर:
$\frac{{\tan A + \sec A - (\sec^2 A - \tan^2 A)}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
$= \frac{{(\tan A + \sec A) - (\sec A - \tan A)(\sec A + \tan A)}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
$= \frac{{(\tan A + \sec A)(1 - (\sec A - \tan A))}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
$= \frac{{(\tan A + \sec A)(1 - \sec A + \tan A)}}{{\tan A - \sec A + 1}}$
चूंकि $(1 - \sec A + \tan A)$ पद अंश और हर में समान है,इसलिए वे कट जाएंगे:
$= \tan A + \sec A$
$= \frac{{\sin A}}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos A}}$
$= \frac{{1 + \sin A}}{{\cos A}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हम जानते हैं कि $1 - \sin A = 1 - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right) = 2\sin^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)$ और $1 + \sin A = 1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right) = 2\cos^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt {\frac{{1 - \sin A}}{{1 + \sin A}}} = \sqrt {\frac{{2\sin^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)}}{{2\cos^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)}}} = \sqrt {\tan^2 \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)} = \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{A}{2}} \right)$.

(A) माना कि दी गई व्यंजक $E = \frac{{\sin 3\theta - \cos 3\theta }}{{\sin \theta + \cos \theta }} + 1$ है।
सर्वसमिकाओं $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ और $\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$N = \sin 3\theta - \cos 3\theta = (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) - (4\cos^3 \theta - 3\cos \theta)$
$N = 3(\sin \theta + \cos \theta) - 4(\sin^3 \theta + \cos^3 \theta)$
घनों के योग $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ के सूत्र का उपयोग करने पर:
$N = 3(\sin \theta + \cos \theta) - 4(\sin \theta + \cos \theta)(\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta)$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$N = (\sin \theta + \cos \theta) [3 - 4(1 - \sin \theta \cos \theta)]$
अब,$D = \sin \theta + \cos \theta$ से भाग देने पर:
$\frac{N}{D} = 3 - 4 + 4\sin \theta \cos \theta = 4\sin \theta \cos \theta - 1$
व्यंजक में $1$ जोड़ने पर:
$E = (4\sin \theta \cos \theta - 1) + 1 = 4\sin \theta \cos \theta$
द्विगुण कोण सर्वसमिका $2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2\sin 2\theta$.

(B) हम सर्वसमिका $\tan A = \frac{\sin 2A}{1 + \cos 2A}$ का उपयोग करते हैं।
$A = 7\frac{1}{2}^\circ$ रखने पर,हमें $2A = 15^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan 7\frac{1}{2}^\circ = \frac{\sin 15^\circ}{1 + \cos 15^\circ}$.
हम जानते हैं कि $\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ और $\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\tan 7\frac{1}{2}^\circ = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1 + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 + \sqrt{6} + \sqrt{2}}$.
अंश और हर को $(4 + \sqrt{2}) - \sqrt{6}$ से गुणा करने पर,सरलीकरण करने पर हमें $\sqrt{6} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{2x}}$.
हम जानते हैं कि $\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \frac{\theta}{2} = 1 - 2\left(\frac{x - 1}{2x}\right) = 1 - \frac{x - 1}{x} = \frac{x - x + 1}{x} = \frac{1}{x}$.
साथ ही,$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$.
चूंकि $\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{x - 1}{2x}}$,इसलिए $\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{1 - \sin^2 \frac{\theta}{2}} = \sqrt{1 - \frac{x - 1}{2x}} = \sqrt{\frac{2x - x + 1}{2x}} = \sqrt{\frac{x + 1}{2x}}$.
अतः,$\sin \theta = 2 \sqrt{\frac{x - 1}{2x}} \cdot \sqrt{\frac{x + 1}{2x}} = 2 \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{2x} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$.
अंत में,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}}{\frac{1}{x}} = \sqrt{x^2 - 1}$.

(C) यह व्यंजक $a\cos \theta + b\sin \theta$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$ और $b = -4$ है।
व्यंजक $a\cos \theta + b\sin \theta$ का अधिकतम मान ज्ञात करने का सूत्र $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर:
अधिकतम मान $= \sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$.
अतः,$3\cos \theta - 4\sin \theta$ का अधिकतम मान $5$ है।

(D) माना $f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4(1 - \sin^2 \theta)$
$f(\theta) = 5 \sin^2 \theta + 4 - 4 \sin^2 \theta$
$f(\theta) = \sin^2 \theta + 4$.
चूंकि $\sin^2 \theta$ का न्यूनतम मान $0$ है,इसलिए $f(\theta)$ का न्यूनतम मान $0 + 4 = 4$ होगा।

(C) दिया गया व्यंजक: $f(x) = \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{3} + x \right)$.
सर्वसमिका $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B - A) \sin(B + A)$ का उपयोग करने पर:
माना $A = \frac{\pi}{3} - x$ और $B = \frac{\pi}{3} + x$.
तब $B - A = (\frac{\pi}{3} + x) - (\frac{\pi}{3} - x) = 2x$.
और $B + A = (\frac{\pi}{3} + x) + (\frac{\pi}{3} - x) = \frac{2\pi}{3}$.
अतः,$f(x) = \sin(2x) \sin\left( \frac{2\pi}{3} \right)$.
चूंकि $\sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(2x)$.
$\sin(2x)$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
इसलिए,व्यंजक का अधिकतम मान $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(A) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $x \neq 0$ के लिए,एक वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $(x - \frac{1}{x})^2 \ge 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 \ge 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$।
मान लीजिए $x = \tan \theta$। चूँकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इस मान को असमिका में रखने पर हमें $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta \ge 2$ प्राप्त होता है।
अतः,इस व्यंजक का मान हमेशा $2$ या उससे अधिक होता है।

(A) माना $f(x) = \sqrt{3} \cos x + \sin x$ है।
हम इस व्यंजक को $2$ से गुणा और भाग करके पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x + \frac{1}{2} \sin x \right)$.
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जहाँ $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = 2 \sin(x + 60^\circ)$.
ज्या (sine) फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब कोण $90^\circ$ हो।
अतः,$f(x)$ के अधिकतम मान के लिए:
$x + 60^\circ = 90^\circ$
$x = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

(D) यह व्यंजक $a \cos x + b \sin x + c$ के रूप में है।
हम जानते हैं कि $a \cos x + b \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतः,$3 \cos x + 4 \sin x$ का परिसर $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-\sqrt{9 + 16}, \sqrt{9 + 16}] = [-5, 5]$ है।
$3 \cos x + 4 \sin x$ का न्यूनतम मान $-5$ है।
इस प्रकार,$3 \cos x + 4 \sin x + 5$ का न्यूनतम मान $-5 + 5 = 0$ होगा।

(B) माना $f(x) = \sin x \cos x$ है।
$2$ से गुणा और भाग करने पर,हमें $f(x) = \frac{2 \sin x \cos x}{2} = \frac{1}{2} \sin(2x)$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए $-1 \le \sin(2x) \le 1$ है।
पूरी असमिका को $\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर,हमें $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2} \sin(2x) \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ है और न्यूनतम मान $-\frac{1}{2}$ है।

(B) माना $f(\theta) = \cos \theta + \sin \theta$.
हम इस व्यंजक को $\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करके पुन: लिख सकते हैं:
$f(\theta) = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \right)$
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(\theta) = \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$
चूंकि साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ होता है,इसलिए:
$-1 \le \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \le 1$
$\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\sqrt{2} \le \sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) \le \sqrt{2}$
अतः,इस व्यंजक का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।

(B) माना $f(x) = 4\sin^2 x + 3\cos^2 x$.
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = 4\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x)$.
$f(x) = 4\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x$.
$f(x) = \sin^2 x + 3$.
चूंकि $\sin x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sin^2 x$ का परिसर $[0, 1]$ होगा।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $\sin^2 x$ का अधिकतम मान $1$ लेंगे।
अधिकतम मान $= 1 + 3 = 4$.

(A) माना $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$.
हम इस व्यंजक को $f(x) = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \right]$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{5\pi}{12} \right)$ प्राप्त होता है।
ज्या (sine) फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब कोण $\frac{\pi}{2}$ हो।
अतः,$x + \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,$x = \frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi - 5\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{\pi}{12}$ अंतराल $\left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ के भीतर स्थित है,इसलिए अधिकतम मान $x = \frac{\pi}{12}$ पर प्राप्त होता है।

(D) हम दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करते हैं,जो बताता है कि $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
मान लीजिए $a = 9\tan^2\theta$ और $b = 4\cot^2\theta$.
तब,$\frac{9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta}{2} \ge \sqrt{9\tan^2\theta \cdot 4\cot^2\theta}$.
चूंकि $\tan\theta \cdot \cot\theta = 1$,इसलिए हमें $\sqrt{9 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta}{2} \ge 6$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $9\tan^2\theta + 4\cot^2\theta \ge 12$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,न्यूनतम मान $12$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ है।
$\alpha, \beta, \gamma$ कोणों वाले त्रिभुज के लिए,कोणों के ज्या (sine) का योग $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos(\alpha/2) \cos(\beta/2) \cos(\gamma/2)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ त्रिभुज के कोण हैं (या योग की शर्त को पूरा करते हैं),इसलिए उन्हें $(0, \pi)$ अंतराल में होना चाहिए।
परिणामस्वरूप,$\alpha/2, \beta/2, \gamma/2$ अंतराल $(0, \pi/2)$ में हैं।
$(0, \pi/2)$ अंतराल में,कोज्या (cosine) फलन हमेशा धनात्मक होता है।
इसलिए,$4 \cos(\alpha/2) \cos(\beta/2) \cos(\gamma/2) > 0$।
अतः,व्यंजक $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$ हमेशा धनात्मक होता है।

(D) यह व्यंजक $a\sin \theta + b\cos \theta$ के रूप में है।
इस व्यंजक का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 4$ है।
अतः,परिसर $[-\sqrt{3^2 + 4^2}, \sqrt{3^2 + 4^2}] = [-\sqrt{9 + 16}, \sqrt{9 + 16}] = [-5, 5]$ है।
इसलिए,न्यूनतम मान $-5$ है।

(A) व्यंजक $f(x) = \sin x - \cos x$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $R \sin(x - \alpha)$ के रूप में लिख सकते हैं।
हम जानते हैं कि $a \sin x + b \cos x$ के रूप वाले किसी भी व्यंजक का परिसर $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = -1$ है।
अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया है $A = \cos^2 \theta + \sin^4 \theta$.
हम इसे $A = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \cdot \sin^2 \theta$ के रूप में लिख सकते हैं।
चूंकि $\sin^2 \theta \le 1$,इसलिए $A \le \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$,जिसका अर्थ है $A \le 1$.
अब,$A$ को $\sin^2 \theta$ के पदों में व्यक्त करें:
$A = (1 - \sin^2 \theta) + \sin^4 \theta$.
मान लीजिए $x = \sin^2 \theta$,जहाँ $0 \le x \le 1$.
तब $A = x^2 - x + 1$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $A = (x - 1/2)^2 + 3/4$.
चूंकि $(x - 1/2)^2 \ge 0$,इसलिए $A$ का न्यूनतम मान $3/4$ है (जब $x = 1/2$ हो)।
अतः,$3/4 \le A \le 1$.

(B) दिया गया है $A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta$.
चूंकि $\cos^2 \theta \le 1$,इसलिए $\cos^4 \theta \le \cos^2 \theta$ होता है।
अतः,$A = \sin^2 \theta + \cos^4 \theta \le \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$। इसलिए,$A \le 1$।
अब,$A$ को $\cos^2 \theta$ के पदों में व्यक्त करने पर:
$A = (1 - \cos^2 \theta) + \cos^4 \theta = \cos^4 \theta - \cos^2 \theta + 1$।
माना $x = \cos^2 \theta$,जहाँ $0 \le x \le 1$ है।
तब $A = x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$।
चूंकि $(x - \frac{1}{2})^2 \ge 0$,इसलिए न्यूनतम मान $\frac{3}{4}$ है (जब $x = \frac{1}{2}$)।
चूंकि $x \in [0, 1]$,अधिकतम मान सीमाओं $x=0$ या $x=1$ पर प्राप्त होता है,जो $1$ है।
अतः,$\frac{3}{4} \le A \le 1$।

(C) व्यंजक $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ है।
हम इसे $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$ से गुणा और भाग करके फिर से लिख सकते हैं।
$f(x) = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right)$.
$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\sin(x + 30^\circ) = \sin x \cos 30^\circ + \cos x \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x$ है।
अतः,$f(x) = 2 \sin(x + 30^\circ)$.
ज्या (sine) फलन का अधिकतम मान $1$ होता है,जो तब प्राप्त होता है जब कोण $90^\circ$ हो।
इसलिए,$x + 30^\circ = 90^\circ$,जिससे $x = 60^\circ$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\alpha + \beta - \gamma = \pi$,जिसका अर्थ है $\gamma = \alpha + \beta - \pi$.
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A - B) \sin(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2 \gamma = \sin^2 \alpha + (\sin^2 \beta - \sin^2 \gamma)$
$= \sin^2 \alpha + \sin(\beta - \gamma) \sin(\beta + \gamma)$
चूंकि $\beta - \gamma = \pi - \alpha$,इसलिए $\sin(\beta - \gamma) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$.
साथ ही,$\gamma = \alpha + \beta - \pi$ होने के कारण,$\sin \gamma = \sin(\alpha + \beta - \pi) = -\sin(\alpha + \beta)$.
अतः,$\sin^2 \gamma = \sin^2(\alpha + \beta)$.
व्यंजक $= \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - \sin^2(\alpha + \beta)$
$= \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)^2$
$= \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta - (\sin^2 \alpha \cos^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta + 2 \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta)$
$= \sin^2 \alpha(1 - \cos^2 \beta) + \sin^2 \beta(1 - \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha \cos \beta$
$= \sin^2 \alpha \sin^2 \beta + \sin^2 \beta \sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \alpha \cos \beta$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta (\sin \alpha \sin \beta - \cos \alpha \cos \beta)$
$= 2 \sin \alpha \sin \beta (- \cos(\alpha + \beta))$
चूंकि $\alpha + \beta = \pi + \gamma$,इसलिए $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi + \gamma) = -\cos \gamma$.
अतः,व्यंजक $= 2 \sin \alpha \sin \beta (-(- \cos \gamma)) = 2 \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma$.

(D) दिया गया है कि $ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।
चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग $180^\circ$ होता है।
इसलिए,$A + C = 180^\circ$ और $B + D = 180^\circ$ है।
$A + C = 180^\circ$ से,हमें $A = 180^\circ - C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos A = \cos(180^\circ - C) = -\cos C$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\cos A + \cos C = 0$ है।
इसी प्रकार,$B + D = 180^\circ$ से,हमें $B = 180^\circ - D$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का कोसाइन लेने पर,$\cos B = \cos(180^\circ - D) = -\cos D$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\cos B + \cos D = 0$ है।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $A + B + C = \pi$।
माना $S = \frac{\cos A}{\sin B \sin C} + \frac{\cos B}{\sin C \sin A} + \frac{\cos C}{\sin A \sin B}$।
उभयनिष्ठ हर $\sin A \sin B \sin C$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{\cos A \sin A + \cos B \sin B + \cos C \sin C}{\sin A \sin B \sin C}$।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$S = \frac{2 \sin A \cos A + 2 \sin B \cos B + 2 \sin C \cos C}{2 \sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C}{2 \sin A \sin B \sin C}$।
त्रिभुज के लिए सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,जहाँ $A + B + C = \pi$,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \frac{4 \sin A \sin B \sin C}{2 \sin A \sin B \sin C} = 2$।