Trigonometry Questions in Hindi

(C) दिया गया है $b \sin \alpha = a \sin (\alpha + 2\beta)$।
$\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + 2\beta)}$।
योगानुपात और अंतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{\sin \alpha + \sin (\alpha + 2\beta)}{\sin \alpha - \sin (\alpha + 2\beta)}$।
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ और $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\sin \alpha + \sin (\alpha + 2\beta) = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(-\beta) = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos \beta$।
हर: $\sin \alpha - \sin (\alpha + 2\beta) = 2 \cos(\alpha + \beta) \sin(-\beta) = -2 \cos(\alpha + \beta) \sin \beta$।
अतः,$\frac{a + b}{a - b} = \frac{2 \sin(\alpha + \beta) \cos \beta}{-2 \cos(\alpha + \beta) \sin \beta} = -\tan(\alpha + \beta) \cot \beta$।
इसे $-\frac{\cot \beta}{\cot(\alpha + \beta)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{{\sin (B + A) + \cos (B - A)}}{{\sin (B - A) + \cos (B + A)}}$
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{{\sin (B + A) + \sin(90^\circ - (B - A))}}{{\sin (B - A) + \sin(90^\circ - (B + A))}}$
$= \frac{{\sin (B + A) + \sin(90^\circ - B + A)}}{{\sin (B - A) + \sin(90^\circ - B - A)}}$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करते हुए:
अंश: $2 \sin(\frac{B+A+90^\circ-B+A}{2}) \cos(\frac{B+A-90^\circ+B-A}{2}) = 2 \sin(45^\circ+A) \cos(B-45^\circ)$
हर: $2 \sin(\frac{B-A+90^\circ-B-A}{2}) \cos(\frac{B-A-90^\circ+B+A}{2}) = 2 \sin(45^\circ-A) \cos(B-45^\circ)$
चूंकि $\cos(B-45^\circ) = \cos(45^\circ-B)$:
$= \frac{2 \sin(A+45^\circ) \cos(45^\circ-B)}{2 \sin(45^\circ-A) \cos(45^\circ-B)} = \frac{\sin(A+45^\circ)}{\sin(45^\circ-A)}$
$\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ और $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\sin A \cos 45^\circ + \cos A \sin 45^\circ}{\sin 45^\circ \cos A - \cos 45^\circ \sin A}$
अंश और हर को $\sin 45^\circ$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{\sin A + \cos A}{\cos A - \sin A} = \frac{\cos A + \sin A}{\cos A - \sin A}$.

(B) दिया गया है: $\frac{\sin(x + y)}{\sin(x - y)} = \frac{a + b}{a - b}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर,जो बताता है कि यदि $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ है,तो $\frac{p + q}{p - q} = \frac{r + s}{r - s}$:
$\frac{\sin(x + y) + \sin(x - y)}{\sin(x + y) - \sin(x - y)} = \frac{(a + b) + (a - b)}{(a + b) - (a - b)}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2\sin A \cos B$ और $\sin(A + B) - \sin(A - B) = 2\cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2\sin x \cos y}{2\cos x \sin y} = \frac{2a}{2b}$
$\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos y}{\sin y} = \frac{a}{b}$
$\tan x \cdot \frac{1}{\tan y} = \frac{a}{b}$
$\frac{\tan x}{\tan y} = \frac{a}{b}$

(A) दिया गया है: $x = \sin A + \sin 2A$ और $y = \cos A + \cos 2A$.
$x^2 + y^2$ की गणना करने पर:
$x^2 + y^2 = (\sin A + \sin 2A)^2 + (\cos A + \cos 2A)^2$
$= \sin^2 A + \sin^2 2A + 2 \sin A \sin 2A + \cos^2 A + \cos^2 2A + 2 \cos A \cos 2A$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 2A + \cos^2 2A) + 2(\cos 2A \cos A + \sin 2A \sin A)$
$= 1 + 1 + 2 \cos(2A - A)$
$= 2 + 2 \cos A = 2(1 + \cos A)$.
अब,इस मान को $({x^2} + {y^2})({x^2} + {y^2} - 3)$ व्यंजक में रखने पर:
$= [2(1 + \cos A)][2(1 + \cos A) - 3]$
$= [2(1 + \cos A)][2 + 2 \cos A - 3]$
$= [2(1 + \cos A)][2 \cos A - 1]$
$= 2(2 \cos^2 A + \cos A - 1)$
$= 2(2 \cos^2 A - 1 + \cos A)$
$= 2(\cos 2A + \cos A) = 2y$.

(B) माना अंश $N = \cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10$ है।
सर्वसमिका $(2\cos x)^n = 2\cos(nx) + 2n\cos((n-2)x) + \dots$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(2\cos x)^6 = 2\cos 6x + 12\cos 4x + 30\cos 2x + 20$।
अतः,$\cos 6x + 6\cos 4x + 15\cos 2x + 10 = \frac{(2\cos x)^6}{2} = 32\cos^6 x$।
इसी प्रकार,हर $D = \cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x$ के लिए,$(2\cos x)^5 = 2\cos 5x + 10\cos 3x + 20\cos x$।
अतः,$\cos 5x + 5\cos 3x + 10\cos x = \frac{(2\cos x)^5}{2} = 16\cos^5 x$।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{32\cos^6 x}{16\cos^5 x} = 2\cos x$ है।

(A) प्रत्येक पद को सर्वसमिका $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ का उपयोग करके विस्तारित करें।
$\cos \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) + \cos \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) + \cos \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 0$.
पदों का वितरण करने पर:
$\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha - \cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta = 0$.
सभी पद एक-दूसरे से कट जाते हैं:
$(\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta) + (-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \gamma \cos \alpha) + (-\cos \beta \cos \gamma \sin \alpha + \cos \gamma \sin \alpha \cos \beta) = 0 + 0 + 0 = 0$.

(B) माना व्यंजक $E = \sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) + \sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma )$ है।
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करते हुए:
सबसे पहले,पहले दो पदों को जोड़ें:
$\sin (\beta + \gamma - \alpha ) + \sin (\gamma + \alpha - \beta ) = 2 \sin \gamma \cos (\alpha - \beta) = 2 \sin \gamma \cos (\beta - \alpha)$.
इसके बाद,अंतिम दो पदों को जोड़ें:
$\sin (\alpha + \beta - \gamma ) - \sin (\alpha + \beta + \gamma ) = 2 \cos (\alpha + \beta) \sin (-\gamma) = -2 \sin \gamma \cos (\alpha + \beta)$.
अब,इन परिणामों को संयोजित करें:
$E = 2 \sin \gamma [\cos (\beta - \alpha) - \cos (\alpha + \beta)]$.
सर्वसमिका $\cos (A-B) - \cos (A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$E = 2 \sin \gamma [2 \sin \alpha \sin \beta] = 4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$.

(A) दिया गया है: $m \tan (\theta - 30^\circ) = n \tan (\theta + 120^\circ)$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{m}{n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ)}{\tan (\theta - 30^\circ)}$.
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\tan (\theta + 120^\circ) + \tan (\theta - 30^\circ)}{\tan (\theta + 120^\circ) - \tan (\theta - 30^\circ)}$.
सर्वसमिका $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ और $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin((\theta + 120^\circ) + (\theta - 30^\circ))}{\sin((\theta + 120^\circ) - (\theta - 30^\circ))}$.
$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\sin(2\theta + 90^\circ)}{\sin(150^\circ)}$.
चूंकि $\sin(2\theta + 90^\circ) = \cos 2\theta$ और $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{m + n}{m - n} = \frac{\cos 2\theta}{1/2} = 2 \cos 2\theta$.

(A) दी गई व्यंजक: $2\cos x - (\cos 5x + \cos 3x)$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos C + \cos D = 2\cos\left(\frac{C+D}{2}\right)\cos\left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करते हुए:
$\cos 5x + \cos 3x = 2\cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 2\cos 4x \cos x$
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\cos x - 2\cos 4x \cos x = 2\cos x(1 - \cos 4x)$
सर्वसमिका $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $2\theta = 4x$ (अतः $\theta = 2x$):
$2\cos x(2\sin^2 2x) = 4\cos x \sin^2 2x$
द्विगुण कोण सर्वसमिका $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करते हुए:
$4\cos x (2\sin x \cos x)^2 = 4\cos x (4\sin^2 x \cos^2 x) = 16\sin^2 x \cos^3 x$.

(C) दी गई व्यंजक: $1 + \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने के लिए पदों को समूहबद्ध करें:
$= (1 + \cos 6x) + (\cos 2x + \cos 4x)$
सर्वसमिकाओं $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2 \theta$ और $\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करते हुए:
$= 2\cos^2 3x + 2\cos(\frac{4x+2x}{2})\cos(\frac{4x-2x}{2})$
$= 2\cos^2 3x + 2\cos 3x \cos x$
$2\cos 3x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= 2\cos 3x (\cos 3x + \cos x)$
$(\cos 3x + \cos x)$ के लिए पुनः योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर:
$= 2\cos 3x [2\cos(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2})]$
$= 2\cos 3x [2\cos 2x \cos x]$
$= 4\cos x \cos 2x \cos 3x$.

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin A - \sin C = 2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
$\cos C - \cos A = 2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{2 \cos \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}}{2 \sin \frac{A + C}{2} \sin \frac{A - C}{2}} = \cot B$
$\cot \frac{A + C}{2} = \cot B$
इसका अर्थ है कि $\frac{A + C}{2} = B$,या $A + C = 2B$.
यह शर्त दर्शाती है कि $A, B, C$ एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) में हैं।

(D) हम सूत्र $\prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$\theta = \frac{2\pi}{15}$ और $n = 4$ है।
अतः,$\cos \frac{2\pi}{15} \cos \frac{4\pi}{15} \cos \frac{8\pi}{15} \cos \frac{16\pi}{15} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{2\pi}{15})}{2^4 \sin \frac{2\pi}{15}}$।
$= \frac{\sin(\frac{32\pi}{15})}{16 \sin \frac{2\pi}{15}}$।
चूंकि $\frac{32\pi}{15} = 2\pi + \frac{2\pi}{15}$,इसलिए $\sin(\frac{32\pi}{15}) = \sin(2\pi + \frac{2\pi}{15}) = \sin \frac{2\pi}{15}$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sin \frac{2\pi}{15}}{16 \sin \frac{2\pi}{15}} = \frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\cos^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{5\pi}{12}$
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ होता है।
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{6})}{2} + \cos^2(\frac{\pi}{4}) + \frac{1 + \cos(\frac{5\pi}{6})}{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{6}) + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(\frac{5\pi}{6})$
$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{5\pi}{6})$
चूंकि $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$:
$= \frac{3}{2} + \frac{1}{2}(\cos \frac{\pi}{6} - \cos \frac{\pi}{6})$
$= \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$.

(B) हमारे पास व्यंजक $E = \sin \frac{\pi }{16} \sin \frac{3\pi }{16} \sin \frac{5\pi }{16} \sin \frac{7\pi }{16}$ है।
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करके,हम पदों को इस प्रकार समूहित कर सकते हैं:
$E = \frac{1}{4} [ (2 \sin \frac{\pi }{16} \sin \frac{3\pi }{16}) (2 \sin \frac{5\pi }{16} \sin \frac{7\pi }{16}) ]$
$E = \frac{1}{4} [ (\cos \frac{2\pi }{16} - \cos \frac{4\pi }{16}) (\cos \frac{2\pi }{16} - \cos \frac{12\pi }{16}) ]$
$E = \frac{1}{4} [ (\cos \frac{\pi }{8} - \cos \frac{\pi }{4}) (\cos \frac{\pi }{8} - \cos \frac{3\pi }{4}) ]$
चूंकि $\cos \frac{3\pi }{4} = -\cos \frac{\pi }{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$E = \frac{1}{4} [ (\cos \frac{\pi }{8} - \frac{1}{\sqrt{2}}) (\cos \frac{\pi }{8} + \frac{1}{\sqrt{2}}) ]$
$E = \frac{1}{4} [ \cos^2 \frac{\pi }{8} - \frac{1}{2} ] = \frac{1}{8} [ 2 \cos^2 \frac{\pi }{8} - 1 ]$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{8} [ \cos(2 \times \frac{\pi }{8}) ] = \frac{1}{8} \cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{8} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$.

(D) हम सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ और गुणन-से-योग सूत्र $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक: $E = \cos^2 76^\circ + \cos^2 16^\circ - \cos 76^\circ \cos 16^\circ$
सरल बनाने के लिए $2/2$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{1}{2} [2\cos^2 76^\circ + 2\cos^2 16^\circ - 2\cos 76^\circ \cos 16^\circ]$
$2\cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 152^\circ) + (1 + \cos 32^\circ) - (\cos(76^\circ + 16^\circ) + \cos(76^\circ - 16^\circ))]$
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 152^\circ + \cos 32^\circ - \cos 92^\circ - \cos 60^\circ]$
चूंकि $\cos 152^\circ + \cos 32^\circ = 2\cos(\frac{152+32}{2})\cos(\frac{152-32}{2}) = 2\cos 92^\circ \cos 60^\circ = 2\cos 92^\circ (1/2) = \cos 92^\circ$:
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 92^\circ - \cos 92^\circ - 1/2]$
$E = \frac{1}{2} [3/2] = 3/4$.

(D) हम कोसाइन के गुणनफल के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$.
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{7}$ और $n = 3$ है।
अतः,$\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7} = \frac{\sin(2^3 \cdot \frac{\pi}{7})}{2^3 \sin(\frac{\pi}{7})}$.
$= \frac{\sin(\frac{8\pi}{7})}{8 \sin(\frac{\pi}{7})}$.
चूँकि $\sin(\frac{8\pi}{7}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin(\frac{\pi}{7})$.
$= \frac{-\sin(\frac{\pi}{7})}{8 \sin(\frac{\pi}{7})} = -\frac{1}{8}$.

(B) हमें व्यंजक $\frac{\tan 70^\circ - \tan 20^\circ}{\tan 50^\circ}$ दिया गया है।
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{\sin 70^\circ}{\cos 70^\circ} - \frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ}}{\frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}}$
अंश को सरल करने पर:
$= \frac{\frac{\sin 70^\circ \cos 20^\circ - \cos 70^\circ \sin 20^\circ}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ}}{\frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin(70^\circ - 20^\circ)}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ} \times \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ}$
$= \frac{\sin 50^\circ}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ} \times \frac{\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ} = \frac{\cos 50^\circ}{\cos 70^\circ \cos 20^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{2 \cos 70^\circ \cos 20^\circ}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A + B) + \cos(A - B)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{\cos(70^\circ + 20^\circ) + \cos(70^\circ - 20^\circ)}$
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{\cos 90^\circ + \cos 50^\circ}$
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$:
$= \frac{2 \cos 50^\circ}{0 + \cos 50^\circ} = 2$.

(A) सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \alpha + \cos^2(\alpha + 120^\circ) + \cos^2(\alpha - 120^\circ) = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha + 240^\circ)}{2} + \frac{1 + \cos(2\alpha - 240^\circ)}{2}$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + \cos(2\alpha + 240^\circ) + \cos(2\alpha - 240^\circ)]$
$\cos(A+B) + \cos(A-B) = 2\cos A \cos B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha \cos 240^\circ]$
चूंकि $\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -1/2$ है:
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha + 2\cos 2\alpha (-1/2)]$
$= \frac{1}{2} [3 + \cos 2\alpha - \cos 2\alpha]$
$= \frac{3}{2}$.

(B) दी गई व्यंजक: $\tan 20^\circ + 2\tan 50^\circ - \tan 70^\circ$
$= (\tan 20^\circ - \tan 70^\circ) + 2\tan 50^\circ$
$= (\frac{\sin 20^\circ}{\cos 20^\circ} - \frac{\sin 70^\circ}{\cos 70^\circ}) + 2\tan 50^\circ$
$= \frac{\sin 20^\circ \cos 70^\circ - \cos 20^\circ \sin 70^\circ}{\cos 20^\circ \cos 70^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin(20^\circ - 70^\circ)}{\cos 20^\circ \cos 70^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$= \frac{\sin(-50^\circ)}{\cos 20^\circ \sin 20^\circ} + 2\tan 50^\circ$ (चूंकि $\cos 70^\circ = \sin 20^\circ$)
$= \frac{-2\sin 50^\circ}{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$= \frac{-2\sin 50^\circ}{\sin 40^\circ} + 2\tan 50^\circ$
चूंकि $\sin 40^\circ = \cos 50^\circ$:
$= \frac{-2\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ} + 2\tan 50^\circ$
$= -2\tan 50^\circ + 2\tan 50^\circ = 0$.

(B) हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cot^2 15^\circ - 1}{\cot^2 15^\circ + 1} = \frac{\frac{\cos^2 15^\circ}{\sin^2 15^\circ} - 1}{\frac{\cos^2 15^\circ}{\sin^2 15^\circ} + 1}$
$= \frac{\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ}{\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ और $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\cos(2 \times 15^\circ)}{1} = \cos 30^\circ$
चूंकि $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।

(B) दिया गया है $\cos \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \phi = \frac{4}{5}$।
चूँकि $\theta$ और $\phi$ न्यून कोण हैं,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ और $\sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \phi} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$।
सूत्र $\cos(\theta - \phi) = \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\theta - \phi) = (\frac{3}{5})(\frac{4}{5}) + (\frac{4}{5})(\frac{3}{5}) = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$।
अर्ध-कोण सर्वसमिका $2\cos^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = 1 + \cos(\theta - \phi)$ का उपयोग करने पर:
$2\cos^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$।
$\cos^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = \frac{49}{50}$।
वर्गमूल लेने पर,$\cos(\frac{\theta - \phi}{2}) = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}}$।

(A) दिया गया है कि $\sec \theta = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
हम सर्वसमिका $\sec \theta = \frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$ जानते हैं।
$\sec \theta$ का मान रखने पर:
$\frac{5}{4} = \frac{1 + \tan^2(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$.
वज्र-गुणन करने पर:
$5(1 - \tan^2(\theta/2)) = 4(1 + \tan^2(\theta/2))$.
$5 - 5\tan^2(\theta/2) = 4 + 4\tan^2(\theta/2)$.
$5 - 4 = 4\tan^2(\theta/2) + 5\tan^2(\theta/2)$.
$1 = 9\tan^2(\theta/2)$.
$\tan^2(\theta/2) = \frac{1}{9}$.
वर्गमूल लेने पर,$\tan(\theta/2) = \frac{1}{3}$.

(D) दिया गया है कि $\tan \frac{A}{2} = \frac{3}{2}$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ जानते हैं: $1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$ और $1 - \cos A = 2 \sin^2 \frac{A}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 + \cos A}{1 - \cos A} = \frac{2 \cos^2 \frac{A}{2}}{2 \sin^2 \frac{A}{2}}$
$= \cot^2 \frac{A}{2}$
चूँकि $\tan \frac{A}{2} = \frac{3}{2}$,इसलिए $\cot \frac{A}{2} = \frac{1}{\tan \frac{A}{2}} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\cot^2 \frac{A}{2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.

(D) दिया गया है कि $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए $A = 30^{\circ}$ है।
अब,हमें $\tan 3A$ का मान ज्ञात करना है।
$A = 30^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan 3(30^{\circ}) = \tan 90^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan 90^{\circ}$ अपरिभाषित है,इसलिए इसका मान $\infty$ है।

(A) हम जानते हैं कि $\sin 2A = 2\sin A \cos A$ होता है।
$\sin 4\theta$ पर इसे लागू करने पर,हमें $\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta$ प्राप्त होता है।
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ और $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,हम इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sin 4\theta = 2(2\sin \theta \cos \theta)(1 - 2\sin^2 \theta)$।
चूंकि $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ होता है,इसलिए इस मान को रखने पर पूरा समीकरण $\sin \theta$ के पदों में इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\sin 4\theta = 4\sin \theta \sqrt{1 - \sin^2 \theta} (1 - 2\sin^2 \theta)$।

(B) दिया गया है: $\cos 2B = \frac{\cos (A + C)}{\cos (A - C)}$
$\cos(A+C)$ और $\cos(A-C)$ के विस्तार सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos 2B = \frac{\cos A \cos C - \sin A \sin C}{\cos A \cos C + \sin A \sin C}$
अंश और हर को $\cos A \cos C$ से विभाजित करने पर:
$\cos 2B = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$
हम जानते हैं कि $\cos 2B = \frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1 - \tan^2 B}{1 + \tan^2 B} = \frac{1 - \tan A \tan C}{1 + \tan A \tan C}$
वज्र-गुणन (cross-multiplication) करने पर:
$(1 - \tan^2 B)(1 + \tan A \tan C) = (1 + \tan^2 B)(1 - \tan A \tan C)$
$1 + \tan A \tan C - \tan^2 B - \tan^2 B \tan A \tan C = 1 - \tan A \tan C + \tan^2 B - \tan^2 B \tan A \tan C$
समीकरण को सरल करने पर:
$2 \tan A \tan C = 2 \tan^2 B$
$\tan^2 B = \tan A \tan C$
अतः,$\tan A, \tan B, \tan C$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $a \tan \theta = b$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \frac{b}{a}$।
हमें व्यंजक $a \cos 2\theta + b \sin 2\theta$ का मान ज्ञात करना है।
$\tan \theta$ के पदों में द्वि-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$।
इन सूत्रों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)$
$\tan \theta = \frac{b}{a}$ रखने पर:
$= a \left( \frac{1 - \frac{b^2}{a^2}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{2 \frac{b}{a}}{1 + \frac{b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}{\frac{a^2 + b^2}{a^2}} \right) + b \left( \frac{\frac{2b}{a}}{\frac{a^2 + b^2}{a^2}} \right)$
$= a \left( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right) + b \left( \frac{2ab}{a^2 + b^2} \right)$
$= \frac{a^3 - ab^2 + 2ab^2}{a^2 + b^2}$
$= \frac{a^3 + ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\left( \frac{\sin 2A}{1 + \cos 2A} \right) \left( \frac{\cos A}{1 + \cos A} \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$
$1 + \cos 2A = 2 \cos^2 A$
इन मानों को पहले भाग में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 \sin A \cos A}{2 \cos^2 A} = \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$
अब,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\tan A \cdot \frac{\cos A}{1 + \cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\cos A}{1 + \cos A} = \frac{\sin A}{1 + \cos A}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$
$1 + \cos A = 2 \cos^2 \frac{A}{2}$
अतः:
$\frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{2 \cos^2 \frac{A}{2}} = \frac{\sin \frac{A}{2}}{\cos \frac{A}{2}} = \tan \frac{A}{2}$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{1}{{\tan 3A - \tan A}} - \frac{1}{{\cot 3A - \cot A}}$
हम जानते हैं कि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$। इस मान को दूसरे पद में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{{\cot 3A - \cot A}} = \frac{1}{{\frac{1}{\tan 3A} - \frac{1}{\tan A}}} = \frac{1}{{\frac{\tan A - \tan 3A}{\tan 3A \tan A}}} = \frac{\tan 3A \tan A}{\tan A - \tan 3A} = -\frac{\tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A}$
इस मान को मूल व्यंजक में वापस रखने पर:
$= \frac{1}{{\tan 3A - \tan A}} - \left( -\frac{\tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A} \right)$
$= \frac{1 + \tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A}$
सर्वसमिका $\tan(X - Y) = \frac{\tan X - \tan Y}{1 + \tan X \tan Y}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan(3A - A) = \frac{\tan 3A - \tan A}{1 + \tan 3A \tan A}$.
अतः,$\frac{1 + \tan 3A \tan A}{\tan 3A - \tan A} = \frac{1}{\tan(3A - A)} = \frac{1}{\tan 2A} = \cot 2A$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\text{cosec } A - 2 \cot 2A \cos A$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{2 \cos A \cos 2A}{\sin 2A}$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{2 \cos A \cos 2A}{2 \sin A \cos A}$
$= \frac{1}{\sin A} - \frac{\cos 2A}{\sin A}$
$= \frac{1 - \cos 2A}{\sin A}$
सर्वसमिका $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin^2 A}{\sin A}$
$= 2 \sin A$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\sqrt {2 + \sqrt {2 + 2\cos 4\theta } }$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $2 + 2\cos 4\theta = 2(1 + \cos 4\theta) = 2(2\cos^2 2\theta) = 4\cos^2 2\theta$.
इसे आंतरिक वर्गमूल में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt {2 + \sqrt {4\cos^2 2\theta } } = \sqrt {2 + 2\cos 2\theta }$
पुनः,$1 + \cos 2A = 2\cos^2 A$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$2 + 2\cos 2\theta = 2(1 + \cos 2\theta) = 2(2\cos^2 \theta) = 4\cos^2 \theta$.
वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt {4\cos^2 \theta } = 2\cos \theta$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) वर्गों का विस्तार करने पर:
$(\cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta + 2\cos \alpha \cos \beta) + (\sin ^2 \alpha + \sin ^2 \beta + 2\sin \alpha \sin \beta)$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करके पदों को समूहित करने पर:
$(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)$
$= 1 + 1 + 2\cos(\alpha - \beta)$
$= 2 + 2\cos(\alpha - \beta)$
$= 2(1 + \cos(\alpha - \beta))$
सर्वसमिका $1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2(2\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2}))$
$= 4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2})$.

(B) दिया गया है कि,$\tan x = \frac{b}{a}.$
माना व्यंजक $E = \sqrt {\frac{{a + b}}{{a - b}}} + \sqrt {\frac{{a - b}}{{a + b}}}.$
वर्गमूल के अंदर प्रत्येक पद के अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = \sqrt {\frac{{1 + b/a}}{{1 - b/a}}} + \sqrt {\frac{{1 - b/a}}{{1 + b/a}}} = \sqrt {\frac{{1 + \tan x}}{{1 - \tan x}}} + \sqrt {\frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}}.$
उभयनिष्ठ हर लेने पर:
$E = \frac{{(1 + \tan x) + (1 - \tan x)}}{{\sqrt {(1 - \tan x)(1 + \tan x)} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 - \tan^2 x} }}.$
$\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{2}{{\sqrt {1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} }} = \frac{2}{{\sqrt {\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}} }} = \frac{2\cos x}{{\sqrt {\cos 2x} }}.$

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{{\sin 3A - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right)}}{{\cos A + \cos (\pi + 3A)}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$1$. $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right) = \sin A$
$2$. $\cos (\pi + 3A) = -\cos 3A$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{{\sin 3A - \sin A}}{{\cos A - \cos 3A}}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin C - \sin D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$
$\cos D - \cos C = 2 \sin \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$
अंश: $\sin 3A - \sin A = 2 \cos 2A \sin A$
हर: $\cos A - \cos 3A = 2 \sin 2A \sin A$
$= \frac{{2 \cos 2A \sin A}}{{2 \sin 2A \sin A}}$
$= \frac{{\cos 2A}}{{\sin 2A}} = \cot 2A$.

(B) हम जानते हैं कि $\tan 3A$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\tan 3A = \frac{3\tan A - \tan^3 A}{1 - 3\tan^2 A}$
दिया गया है कि $\tan A = \frac{1}{2}$।
सूत्र में $\tan A$ का मान रखने पर:
$\tan 3A = \frac{3(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^3}{1 - 3(\frac{1}{2})^2}$
$= \frac{\frac{3}{2} - \frac{1}{8}}{1 - 3(\frac{1}{4})}$
$= \frac{\frac{12 - 1}{8}}{1 - \frac{3}{4}}$
$= \frac{\frac{11}{8}}{\frac{4 - 3}{4}}$
$= \frac{11}{8} \times \frac{4}{1} = \frac{11}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{{\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 - \sin x} }}{{\sqrt {1 + \sin x} - \sqrt {1 - \sin x} }}$
हम जानते हैं कि $1 + \sin x = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2$
और $1 - \sin x = (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2$
चूंकि $x$,$II^{nd}$ चतुर्थांश में स्थित है,$\frac{\pi}{2} < x < \pi$,जिसका अर्थ है $\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}$.
इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} > 0$ और $\sin \frac{x}{2} > 0$,और $\cos \frac{x}{2} > \sin \frac{x}{2}$.
अतः,$\sqrt{1 + \sin x} = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$ और $\sqrt{1 - \sin x} = \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = \frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) + (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}$
$E = \frac{2 \cos \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2}} = \cot \frac{x}{2}$.

(D) दी गई अभिव्यक्ति: $(\sec 2A + 1){\sec ^2}A$
हम जानते हैं कि $\sec 2A = \frac{1}{\cos 2A} = \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A}$ और $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ होता है।
इन मानों को अभिव्यक्ति में रखने पर:
$= \left( \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A} + 1 \right) (1 + \tan^2 A)$
$= \left( \frac{1 + \tan^2 A + 1 - \tan^2 A}{1 - \tan^2 A} \right) (1 + \tan^2 A)$
$= \left( \frac{2}{1 - \tan^2 A} \right) (1 + \tan^2 A)$
$= 2 \cdot \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A}$
चूंकि $\cos 2A = \frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A}$,इसलिए $\sec 2A = \frac{1 + \tan^2 A}{1 - \tan^2 A}$ होता है।
अतः,अभिव्यक्ति का मान $2 \sec 2A$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $2\sin A{\cos ^3}A - 2{\sin ^3}A\cos A$
चरण $1$: व्यंजक से $2\sin A\cos A$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= 2\sin A\cos A(\cos^2 A - \sin^2 A)$
चरण $2$: दो कोणों के सर्वसमिका $\sin 2A = 2\sin A\cos A$ और $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A$ का उपयोग करने पर:
$= \sin 2A \cdot \cos 2A$
चरण $3$: $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने के लिए $2$ से गुणा और भाग करने पर,जहाँ $\theta = 2A$:
$= \frac{1}{2}(2\sin 2A \cos 2A)$
$= \frac{1}{2}\sin 4A$.

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{\sin \theta + \sin 2\theta }{1 + \cos \theta + \cos 2\theta }$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ और $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\sin \theta + 2\sin \theta \cos \theta }{1 + \cos \theta + (2\cos^2 \theta - 1)}$
$= \frac{\sin \theta (1 + 2\cos \theta )}{\cos \theta + 2\cos^2 \theta }$
$= \frac{\sin \theta (1 + 2\cos \theta )}{\cos \theta (1 + 2\cos \theta )}$
$= \frac{\sin \theta }{\cos \theta } = \tan \theta $.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(B) दिया गया है,$\frac{2\sin \alpha}{1 + \cos \alpha + \sin \alpha} = y$।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$,$1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{2(2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2})}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = y$।
अंश और हर को $2\cos \frac{\alpha}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है $\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2}} = y$।
अब,व्यंजक $E = \frac{1 - \cos \alpha + \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}$ पर विचार करें।
$1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,अंश $2\sin^2 \frac{\alpha}{2} + 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = 2\sin \frac{\alpha}{2} (\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})$ हो जाता है।
हर $1 + \sin \alpha = (\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2$ होता है।
अतः,$E = \frac{2\sin \frac{\alpha}{2} (\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})}{(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2})^2} = \frac{2\sin \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}} = y$।

(A) दिया गया है $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$। चूँकि $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$।
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}} = \frac{1}{3}$।
अब,$\tan 2\beta = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta} = \frac{2(1/3)}{1 - (1/3)^2} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}$।
अब,$\tan(\alpha + 2\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2\beta}{1 - \tan \alpha \tan 2\beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = \frac{(4+21)/28}{(28-3)/28} = \frac{25}{25} = 1$।
चूँकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 2\beta < \frac{\pi}{2}$ (क्योंकि $\tan 2\beta = 3/4 > 0$)।
अतः,$0 < \alpha + 2\beta < \pi$। चूँकि $\tan(\alpha + 2\beta) = 1$,इसलिए $\alpha + 2\beta = \frac{\pi}{4}$ होगा।
अतः,$2\beta = \frac{\pi}{4} - \alpha$।

(A) दिया गया है कि $\cos (\theta - \alpha ), \cos \theta, \cos (\theta + \alpha )$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
अतः,इनके व्युत्क्रम $\frac{1}{\cos (\theta - \alpha )}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।
इसका अर्थ है: $\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta - \alpha )} + \frac{1}{\cos (\theta + \alpha )}$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos (\theta + \alpha ) + \cos (\theta - \alpha )}{\cos (\theta - \alpha ) \cos (\theta + \alpha )}$
सर्वसमिका $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ और $\cos (A-B) \cos (A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \alpha = \cos^2 \theta \cos \alpha$
$\cos^2 \theta (1 - \cos \alpha ) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ और $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = (2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2})^2$
$\cos^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\cos^2 \theta \sec^2 \frac{\alpha}{2} = 2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\cos \theta \sec \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{2}$.

(B) दिया गया है: $\sin \theta + \sin \phi = a$ $(i)$ और $\cos \theta + \cos \phi = b$ $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \theta + \sin \phi)^2 + (\cos \theta + \cos \phi)^2 = a^2 + b^2$
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) + 2(\sin \theta \sin \phi + \cos \theta \cos \phi) = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2$
$2 \cos(\theta - \phi) = a^2 + b^2 - 2$
$\cos(\theta - \phi) = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
सर्वसमिका $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})} = \frac{a^2 + b^2 - 2}{2}$.
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{(1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})) + (1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}))}{(1 + \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})) - (1 - \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}))} = \frac{2 + (a^2 + b^2 - 2)}{2 - (a^2 + b^2 - 2)}$
$\frac{2}{2 \tan^2(\frac{\theta - \phi}{2})} = \frac{a^2 + b^2}{4 - a^2 - b^2}$
$\tan^2(\frac{\theta - \phi}{2}) = \frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}$
$\tan(\frac{\theta - \phi}{2}) = \sqrt{\frac{4 - a^2 - b^2}{a^2 + b^2}}$.

(A) दिया गया है $\tan A = \frac{1 - \cos B}{\sin B}$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $1 - \cos B = 2\sin^2(B/2)$ और $\sin B = 2\sin(B/2)\cos(B/2)$ का उपयोग करने पर:
$\tan A = \frac{2\sin^2(B/2)}{2\sin(B/2)\cos(B/2)} = \frac{\sin(B/2)}{\cos(B/2)} = \tan(B/2)$.
अतः,$A = B/2$,जिसका अर्थ है कि $2A = B$.
इस प्रकार,$\tan 2A = \tan B$.

(D) चूंकि $\sin \beta$ का मान $\sin \alpha$ और $\cos \alpha$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है,
$\sin^2 \beta = \sin \alpha \cos \alpha.$
अब,$\cos 2\beta = 1 - 2\sin^2 \beta = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha.$
सर्वसमिका $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos 2\beta = 1 - \sin 2\alpha.$
चूंकि $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha,$ इसलिए $\cos 2\beta = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)^2.$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $2\left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos \alpha - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \alpha \right)^2 = 2\left( \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha \right)^2 = 2\sin^2\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right).$
यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है.
साथ ही,$\cos^2 \theta = \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta)$ का उपयोग करने पर,$2\sin^2\left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - \alpha) \right) = 2\cos^2\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right).$
यह विकल्प $(b)$ से मेल खाता है.
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं.

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sec 8A - 1}{\sec 4A - 1}$
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\frac{1}{\cos 8A} - 1}{\frac{1}{\cos 4A} - 1} = \frac{1 - \cos 8A}{\cos 8A} \cdot \frac{\cos 4A}{1 - \cos 4A}$
सर्वसमिका $1 - \cos 2\theta = 2\sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2\sin^2 4A}{\cos 8A} \cdot \frac{\cos 4A}{2\sin^2 2A}$
$= \frac{(2\sin 4A \cos 4A) \cdot \sin 4A}{\cos 8A \cdot 2\sin^2 2A}$
चूंकि $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$,इसलिए $\sin 8A = 2\sin 4A \cos 4A$:
$= \frac{\sin 8A}{\cos 8A} \cdot \frac{\sin 4A}{2\sin^2 2A}$
$= \tan 8A \cdot \frac{2\sin 2A \cos 2A}{2\sin^2 2A}$
$= \tan 8A \cdot \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \tan 8A \cdot \cot 2A = \frac{\tan 8A}{\tan 2A}$

(C) हम गुणनफल को योग में बदलने वाले सूत्र का उपयोग करते हैं: $2\sin x \sin y = \cos(x - y) - \cos(x + y)$.
इस सूत्र को $32\sin \left( \frac{A}{2} \right)\sin \left( \frac{5A}{2} \right)$ पद पर लागू करने पर:
$= 16 \times [2\sin \left( \frac{A}{2} \right)\sin \left( \frac{5A}{2} \right)]$
$= 16 \times [\cos \left( \frac{5A}{2} - \frac{A}{2} \right) - \cos \left( \frac{5A}{2} + \frac{A}{2} \right)]$
$= 16 \times [\cos(2A) - \cos(3A)]$
सर्वसमिका $\cos(2A) = 2\cos^2 A - 1$ और $\cos(3A) = 4\cos^3 A - 3\cos A$ का उपयोग करने पर:
$= 16 \times [(2\cos^2 A - 1) - (4\cos^3 A - 3\cos A)]$
दिया गया है $\cos A = \frac{3}{4}$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$= 16 \times [2(\frac{3}{4})^2 - 1 - 4(\frac{3}{4})^3 + 3(\frac{3}{4})]$
$= 16 \times [2(\frac{9}{16}) - 1 - 4(\frac{27}{64}) + \frac{9}{4}]$
$= 16 \times [\frac{9}{8} - 1 - \frac{27}{16} + \frac{9}{4}]$
$= 16 \times [\frac{18 - 16 - 27 + 36}{16}]$
$= 18 - 16 - 27 + 36 = 11$.

(C) हम जानते हैं कि $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ होता है।
$\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ)$
$= \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$
$= \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} - 1)/\sqrt{3}}{(\sqrt{3} + 1)/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

(B) दिया गया है $\tan \alpha = \frac{1}{7}$.
सूत्र $\cos 2\alpha = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha = \frac{1 - (1/7)^2}{1 + (1/7)^2} = \frac{1 - 1/49}{1 + 1/49} = \frac{48/49}{50/49} = \frac{48}{50} = \frac{24}{25}$.
दिया गया है $\tan \beta = \frac{1}{3}$.
सूत्र $\sin 2\beta = \frac{2 \tan \beta}{1 + \tan^2 \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2\beta = \frac{2(1/3)}{1 + (1/3)^2} = \frac{2/3}{1 + 1/9} = \frac{2/3}{10/9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{3}{5}$.
चूंकि $\sin 2\beta = \frac{3}{5}$,इसलिए $\cos 2\beta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \frac{4}{5}$.
अब,$\sin 4\beta = 2 \sin 2\beta \cos 2\beta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$.
अतः,$\cos 2\alpha = \sin 4\beta$.

(C) दिया गया है कि $\tan \beta = \cos \theta \tan \alpha$,इसलिए $\cos \theta = \frac{\tan \beta}{\tan \alpha}$ है।
सर्वसमिका $\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos \theta$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\tan^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \frac{\tan \beta}{\tan \alpha}}{1 + \frac{\tan \beta}{\tan \alpha}}$
$= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{\tan \alpha + \tan \beta}$
$= \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}$
$= \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}$
$= \frac{\sin (\alpha - \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}$.