Trigonometry Questions in Hindi

(D) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$1$. $\tan(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$
$2$. $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$
$3$. $\sin(\frac{7\pi}{2} - x) = -\cos x$
$4$. $\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$
$5$. $\tan(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cot x$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
अंश: $(-\cot x)(\sin x) - (-\cos x)^3 = -\cos x + \cos^3 x = \cos x(\cos^2 x - 1) = -\cos x \sin^2 x$
हर: $(\sin x)(-\cot x) = -\cos x$
व्यंजक: $\frac{-\cos x \sin^2 x}{-\cos x} = \sin^2 x$.

(D) माना व्यंजक $E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan^2 \theta - 1}$ है।
सबसे पहले,दूसरे पद को सरल करें: $\tan^2 \theta - 1 = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\cos^2 \theta}$.
इसे दूसरे पद में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\cos^2 \theta}} = \frac{(\sin \theta + \cos \theta) \cdot \cos^2 \theta}{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$.
अब,$E$ में वापस रखने पर: $E = \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin \theta - \cos \theta} = \sin \theta + \cos \theta$.
हम जानते हैं कि $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$.
$\sin(\theta + 45^\circ)$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\sqrt{2} \sin(\theta + 45^\circ)$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।
अतः,मान $-\sqrt{2}$ और $\sqrt{2}$ के बीच स्थित है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}} - 2 \tan \theta \cot \theta = -1$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करते हुए,पहला पद $\sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + \sin \theta \cos \theta$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\sqrt{1 + \cot^2 \theta} = \sqrt{\csc^2 \theta} = |\csc \theta|$,दूसरा पद $\frac{\cos \theta}{|\csc \theta|} = \cos \theta |\sin \theta|$ है।
साथ ही,$2 \tan \theta \cot \theta = 2(1) = 2$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(1 + \sin \theta \cos \theta) - \cos \theta |\sin \theta| - 2 = -1$.
$\sin \theta \cos \theta - \cos \theta |\sin \theta| = 0$.
$\cos \theta (\sin \theta - |\sin \theta|) = 0$.
यह तब सत्य है यदि $\cos \theta = 0$ या $\sin \theta = |\sin \theta|$.
$\sin \theta = |\sin \theta|$ का अर्थ है $\sin \theta \ge 0$,जो प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में होता है,अर्थात $\theta \in (0, \pi)$.
हालाँकि,हर $\sin \theta - \cos \theta \neq 0$ का अर्थ है $\theta \neq \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$\theta \in (0, \pi/2)$ के लिए $\sin \theta > 0$ होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।

(A) दिया गया है: $\cos \alpha = \frac{2 \cos \beta - 1}{2 - \cos \beta}$.
योगानुपात और अंतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{(2 - \cos \beta) - (2 \cos \beta - 1)}{(2 - \cos \beta) + (2 \cos \beta - 1)}$
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{2 - \cos \beta - 2 \cos \beta + 1}{2 - \cos \beta + 2 \cos \beta - 1}$
$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{3 - 3 \cos \beta}{1 + \cos \beta} = 3 \left( \frac{1 - \cos \beta}{1 + \cos \beta} \right)$
अर्ध-कोण सर्वसमिका $\tan^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = 3 \tan^2 \frac{\beta}{2}$
$\frac{\tan^2 \frac{\alpha}{2}}{\tan^2 \frac{\beta}{2}} = 3$
चूँकि $\frac{1}{\tan \frac{\beta}{2}} = \cot \frac{\beta}{2}$,इसलिए:
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} \cot^2 \frac{\beta}{2} = 3$
वर्गमूल लेने पर (चूँकि $\alpha, \beta \in (0, \pi)$,इसलिए टेंजेंट के मान धनात्मक होंगे):
$\tan \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = \sqrt{3}$.

(A) दिया गया व्यंजक $E = \frac{\sqrt{1 - \sin x} + \sqrt{1 + \sin x}}{\sqrt{1 - \sin x} - \sqrt{1 + \sin x}}$ है।
$1 \pm \sin x = (\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2})^2$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sqrt{1 \pm \sin x} = |\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{5\pi}{2} < x < 3\pi$,इसलिए $\frac{5\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{3\pi}{2}$ है।
इस अंतराल में,$\cos \frac{x}{2} < 0$ और $\sin \frac{x}{2} < 0$ है,और $|\cos \frac{x}{2}| > |\sin \frac{x}{2}|$ है।
अतः,$\sqrt{1 - \sin x} = |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$।
और $\sqrt{1 + \sin x} = |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) = -\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}) + (-\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})}{(\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}) - (-\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})} = \frac{-2\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}} = -\cot \frac{x}{2}$।

(B) माना $x \sin \theta = y \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) = z \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = k$.
तब $x = \frac{k}{\sin \theta}$,$y = \frac{k}{\sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)}$,और $z = \frac{k}{\sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)}$.
योग $xy + yz + zx = k^2 \left[ \frac{1}{\sin \theta \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right)} + \frac{1}{\sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right)} + \frac{1}{\sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) \sin \theta} \right]$ पर विचार करें।
सर्वसमिका $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर,हर के पद सरल हो जाते हैं।
वैकल्पिक रूप से,इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि $\sin \theta + \sin \left( \theta + \frac{2\pi}{3} \right) + \sin \left( \theta + \frac{4\pi}{3} \right) = 0$,हम यह दिखा सकते हैं कि $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ है।
$xyz$ से गुणा करने पर,हमें $yz + zx + xy = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\theta = \frac{\pi}{10}$। व्यंजक $E = \cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \cos 8\theta \cos 16\theta$ है।
सूत्र $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $n=5$ है।
$E = \frac{\sin(2^5 \theta)}{2^5 \sin \theta} = \frac{\sin(32 \theta)}{32 \sin \theta}$।
चूंकि $\theta = \frac{\pi}{10}$,इसलिए $32\theta = \frac{32\pi}{10} = 3\pi + \frac{2\pi}{10} = 3\pi + \frac{\pi}{5}$।
$E = \frac{\sin(3\pi + \pi/5)}{32 \sin(\pi/10)} = \frac{-\sin(\pi/5)}{32 \sin(\pi/10)}$।
$\sin(2A) = 2 \sin A \cos A$ सूत्र का उपयोग करने पर,$\sin(\pi/5) = 2 \sin(\pi/10) \cos(\pi/10)$।
$E = \frac{-2 \sin(\pi/10) \cos(\pi/10)}{32 \sin(\pi/10)} = -\frac{1}{16} \cos(\pi/10)$।

(C) माना $f(x) = cot\, x + cot\, (60^\circ + x) + cot\, (120^\circ + x)$.
सर्वसमिका $cot\, A + cot\, B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}$ का उपयोग करने पर:
$cot\, (60^\circ + x) + cot\, (120^\circ + x) = \frac{\sin(180^\circ + 2x)}{\sin(60^\circ + x)\sin(120^\circ + x)}$.
चूंकि $\sin(180^\circ + 2x) = -\sin 2x$ और $\sin(60^\circ + x)\sin(120^\circ + x) = \sin^2 60^\circ - \sin^2 x = \frac{3}{4} - \sin^2 x$,
$f(x) = cot\, x - \frac{\sin 2x}{\frac{3}{4} - \sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{2\sin x \cos x}{\frac{3-4\sin^2 x}{4}} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{8\sin x \cos x}{3-4\sin^2 x}$.
$f(x) = \frac{\cos x(3-4\sin^2 x) - 8\sin^2 x \cos x}{\sin x(3-4\sin^2 x)} = \frac{3\cos x - 4\sin^2 x \cos x - 8\sin^2 x \cos x}{3\sin x - 4\sin^3 x} = \frac{3\cos x - 12\sin^2 x \cos x}{3\sin x - 4\sin^3 x}$.
अंश और हर को $\cos^3 x$ से विभाजित करने पर या त्रिकोणमितीय त्रिक कोण सूत्र का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{3\cos x(1 - 4\sin^2 x)}{3\sin x - 4\sin^3 x} = \frac{3\cos x(1 - 4(1-\cos^2 x))}{\sin 3x} = \frac{3\cos x(4\cos^2 x - 3)}{\sin 3x} = \frac{3(4\cos^3 x - 3\cos x)}{\sin 3x} = \frac{3\cos 3x}{\sin 3x} = 3\, cot\, 3x$.

(A) दी गई व्यंजक: $E = \frac{3 + \cot 76^\circ \cot 16^\circ}{\cot 76^\circ + \cot 16^\circ}$.
इसे साइन और कोसाइन में बदलने पर: $E = \frac{3 + \frac{\cos 76^\circ \cos 16^\circ}{\sin 76^\circ \sin 16^\circ}}{\frac{\cos 76^\circ}{\sin 76^\circ} + \frac{\cos 16^\circ}{\sin 16^\circ}} = \frac{3 \sin 76^\circ \sin 16^\circ + \cos 76^\circ \cos 16^\circ}{\cos 76^\circ \sin 16^\circ + \sin 76^\circ \cos 16^\circ}$.
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,हर $\sin(76^\circ + 16^\circ) = \sin 92^\circ$ हो जाता है।
अंश के लिए,$3 = 2 + 1$ लिखने पर: $2 \sin 76^\circ \sin 16^\circ + (\sin 76^\circ \sin 16^\circ + \cos 76^\circ \cos 16^\circ)$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,कोष्ठक में पद $\cos(76^\circ - 16^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ हो जाता है।
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर,पहला पद $\cos 60^\circ - \cos 92^\circ = \frac{1}{2} - \cos 92^\circ$ हो जाता है।
अंश $= \frac{1}{2} - \cos 92^\circ + \frac{1}{2} = 1 - \cos 92^\circ$.
अतः,$E = \frac{1 - \cos 92^\circ}{\sin 92^\circ} = \frac{2 \sin^2 46^\circ}{2 \sin 46^\circ \cos 46^\circ} = \tan 46^\circ = \cot(90^\circ - 46^\circ) = \cot 44^\circ$.

(D) माना $E = \csc \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sec \frac{\pi}{18} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{18}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi}{18}}$.
$E = \frac{\cos \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{18} \cos \frac{\pi}{18}}$.
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$E = \frac{2 \left( \frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\pi}{18} \right)}{\frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{18}} = \frac{2 \left( \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{18} \right)}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{9}}$.
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{18})}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin(\frac{3\pi - \pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{2\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}} = 4$.
चूंकि $4$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए सही विकल्प $D$ है.

(B) माना समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर डाला गया लंब $p$ है।
त्रिभुज की ज्यामिति के अनुसार,कर्ण के दो खंड $p \tan \theta$ और $p \cot \theta$ हैं,जहाँ $\theta$ एक न्यून कोण है।
कर्ण $h = p \tan \theta + p \cot \theta = p(\tan \theta + \cot \theta) = p \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right) = p \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right) = \frac{p}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2p}{\sin 2\theta}$.
दिया गया है कि $h = 2\sqrt{2} p$,इसलिए $\frac{2p}{\sin 2\theta} = 2\sqrt{2} p$.
$\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{4}$ या $2\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{8}$ या $\theta = \frac{3\pi}{8}$.
चूँकि समकोण त्रिभुज में न्यून कोणों का योग $\frac{\pi}{2}$ होता है,इसलिए कोण $\frac{\pi}{8}$ और $\frac{3\pi}{8}$ हैं।

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{\sec 8 \theta - 1}{\sec 4 \theta - 1}$ है।
इसे कोसाइन में बदलने पर,हमें $\frac{\frac{1}{\cos 8 \theta} - 1}{\frac{1}{\cos 4 \theta} - 1} = \frac{1 - \cos 8 \theta}{\cos 8 \theta} \times \frac{\cos 4 \theta}{1 - \cos 4 \theta}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos 2A = 2 \sin^2 A$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 8 \theta = 2 \sin^2 4 \theta$ और $1 - \cos 4 \theta = 2 \sin^2 2 \theta$ होता है।
इन मानों को रखने पर,हमें $\frac{2 \sin^2 4 \theta}{\cos 8 \theta} \times \frac{\cos 4 \theta}{2 \sin^2 2 \theta}$ प्राप्त होता है।
$\sin 4 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{2 (2 \sin 2 \theta \cos 2 \theta) \sin 4 \theta \cos 4 \theta}{\cos 8 \theta (2 \sin^2 2 \theta)}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$\frac{2 \sin 4 \theta \cos 4 \theta}{\cos 8 \theta} \times \frac{\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} = \frac{\sin 8 \theta}{\cos 8 \theta} \times \cot 2 \theta = \tan 8 \theta \cot 2 \theta$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $\cot x - \cos x = 1 - \cot x \cos x$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cot x - \cos x + \cot x \cos x - 1 = 0$.
पदों का समूह बनाने पर: $\cot x(1 + \cos x) - (1 + \cos x) = 0$.
$(1 + \cos x)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $(1 + \cos x)(\cot x - 1) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $1 + \cos x = 0$ या $\cot x - 1 = 0$.
स्थिति $1$: $\cos x = -1$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x = \pi$.
स्थिति $2$: $\cot x = 1$. अंतराल $[0, 2\pi]$ में,$x = \frac{\pi}{4}$ और $x = \frac{5\pi}{4}$.
$x$ के मान $\frac{\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}$ हैं।
अतः,$x$ के कुल $3$ मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

(C) माना व्यंजक $E = \cos^2 73^\circ + \cos^2 47^\circ + \cos 73^\circ \cos 47^\circ$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1 + \cos 146^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 94^\circ}{2} + \cos 73^\circ \cos 47^\circ$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ सूत्र के अनुसार,$\cos 73^\circ \cos 47^\circ = \frac{\cos 120^\circ + \cos 26^\circ}{2} = \frac{-1/2 + \cos 26^\circ}{2} = -1/4 + \frac{\cos 26^\circ}{2}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 1 + \frac{\cos 146^\circ + \cos 94^\circ}{2} - 1/4 + \frac{\cos 26^\circ}{2}$.
$\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos 146^\circ + \cos 94^\circ = 2 \cos(120^\circ) \cos(26^\circ) = 2(-1/2) \cos 26^\circ = -\cos 26^\circ$.
अतः,$E = 1 - 1/4 - \frac{\cos 26^\circ}{2} + \frac{\cos 26^\circ}{2} = 3/4$.

(C) माना $y = (7 \cos\theta + 24 \sin\theta) \times (7 \sin\theta - 24 \cos\theta)$ है।
हम जानते हैं कि $7 \cos\theta + 24 \sin\theta = r \sin(\theta + \alpha)$,जहाँ $r = \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$ और $\tan \alpha = \frac{7}{24}$ है।
इसी प्रकार,$7 \sin\theta - 24 \cos\theta = r \sin(\theta - \beta)$,जहाँ $\tan \beta = \frac{24}{7}$ है।
वैकल्पिक रूप से,$7 \cos\theta + 24 \sin\theta = 25 \sin(\theta + \alpha)$ और $7 \sin\theta - 24 \cos\theta = -25 \cos(\theta + \alpha)$ लें।
तब $y = 25 \sin(\theta + \alpha) \times (-25 \cos(\theta + \alpha)) = -625 \sin(\theta + \alpha) \cos(\theta + \alpha)$ होगा।
सर्वसमिका $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,हमें $y = -\frac{625}{2} \sin(2(\theta + \alpha))$ प्राप्त होता है।
$\sin(2(\theta + \alpha))$ का अधिकतम मान $1$ और न्यूनतम मान $-1$ होता है।
इस व्यंजक का अधिकतम मान $|-\frac{625}{2}| = \frac{625}{2}$ होगा।

(A) चूंकि $A$ और $B$ पूरक कोण हैं,इसलिए $A + B = 90^\circ$ या $A + B = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$\frac{A}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{B}{2}$।
दोनों तरफ टैनजेंट लेने पर: $\tan \frac{A}{2} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{B}{2})$।
सूत्र $\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \tan \frac{B}{2}}{1 + \tan \frac{B}{2}}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(1 + \tan \frac{A}{2})(1 + \tan \frac{B}{2})$ पर विचार करें।
$\tan \frac{A}{2}$ का मान रखने पर: $(1 + \frac{1 - \tan \frac{B}{2}}{1 + \tan \frac{B}{2}})(1 + \tan \frac{B}{2})$।
$= (\frac{1 + \tan \frac{B}{2} + 1 - \tan \frac{B}{2}}{1 + \tan \frac{B}{2}})(1 + \tan \frac{B}{2})$।
$= (\frac{2}{1 + \tan \frac{B}{2}})(1 + \tan \frac{B}{2}) = 2$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया व्यंजक: $E = a \operatorname{cosec} \alpha - b \sec \alpha = \frac{a}{\sin \alpha} - \frac{b}{\cos \alpha}$.
$E = \frac{a \cos \alpha - b \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
$\sqrt{a^2 + b^2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sin \alpha \cos \alpha} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos \alpha - \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin \alpha \right)$.
चूंकि $\sin \theta = \sin 3\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,मान लीजिए $\cos 3\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
अतः $E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sin \alpha \cos \alpha} (\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha)$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sin \alpha \cos \alpha} \sin(3\alpha - \alpha) = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} \sin 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}$.
चूंकि $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:
$E = \frac{\sqrt{a^2 + b^2} (2 \sin \alpha \cos \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2 \sqrt{a^2 + b^2}$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $E = (\cot 7.5^{\circ} - \tan 7.5^{\circ}) + (\tan 67.5^{\circ} - \cot 67.5^{\circ})$
हम जानते हैं कि $\cot \theta - \tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\cos 2\theta}{\frac{1}{2} \sin 2\theta} = 2 \cot 2\theta$
अतः,पहला पद: $\cot 7.5^{\circ} - \tan 7.5^{\circ} = 2 \cot(2 \times 7.5^{\circ}) = 2 \cot 15^{\circ}$
दूसरा पद: $\tan 67.5^{\circ} - \cot 67.5^{\circ} = -(\cot 67.5^{\circ} - \tan 67.5^{\circ}) = -2 \cot(2 \times 67.5^{\circ}) = -2 \cot 135^{\circ}$
यहाँ,$\cot 15^{\circ} = \cot(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \frac{\cot 45^{\circ} \cot 30^{\circ} + 1}{\cot 30^{\circ} - \cot 45^{\circ}} = \frac{1 \times \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 + 1 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$
और $\cot 135^{\circ} = \cot(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cot 45^{\circ} = -1$
अतः,$E = 2(2 + \sqrt{3}) - 2(-1) = 4 + 2\sqrt{3} + 2 = 6 + 2\sqrt{3} = 2(3 + \sqrt{3})$
नोट: विकल्पों में सुधार के बाद,सही उत्तर $2(3 + \sqrt{3})$ है,जो एक अपरिमेय संख्या है।

(B) माना व्यंजक $E = (\sin x + \csc x)^2 + (\cos x + \sec x)^2 - (\tan x + \cot x)^2$ है।
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर:
$E = (\sin^2 x + \csc^2 x + 2 \sin x \csc x) + (\cos^2 x + \sec^2 x + 2 \cos x \sec x) - (\tan^2 x + \cot^2 x + 2 \tan x \cot x)$.
चूंकि $\sin x \csc x = 1$,$\cos x \sec x = 1$,और $\tan x \cot x = 1$:
$E = (\sin^2 x + \cos^2 x) + \csc^2 x + \sec^2 x + 2 + 2 - (\tan^2 x + \cot^2 x + 2)$.
सर्वसमिका $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + \csc^2 x + \sec^2 x + 4 - \tan^2 x - \cot^2 x - 2$.
$E = 3 + (\csc^2 x - \cot^2 x) + (\sec^2 x - \tan^2 x)$.
सर्वसमिका $\csc^2 x - \cot^2 x = 1$ और $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ का उपयोग करने पर:
$E = 3 + 1 + 1 = 5$.

(C) दिया गया है $A = 580^\circ$। हम जानते हैं कि $\sqrt{1 + \sin A} = |\sin(A/2) + \cos(A/2)|$ और $\sqrt{1 - \sin A} = |\cos(A/2) - \sin(A/2)|$।
यहाँ $A/2 = 290^\circ$ है,जो चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है। चतुर्थ चतुर्थांश में $\sin(290^\circ) < 0$ और $\cos(290^\circ) > 0$ होता है।
साथ ही,$|\sin(290^\circ)| > |\cos(290^\circ)|$ होने के कारण,$\sin(A/2) + \cos(A/2) < 0$ होगा,इसलिए $\sqrt{1 + \sin A} = -(\sin(A/2) + \cos(A/2))$।
और $\cos(A/2) - \sin(A/2) > 0$ होने के कारण,$\sqrt{1 - \sin A} = \cos(A/2) - \sin(A/2)$।
दोनों को जोड़ने पर: $\sqrt{1 + \sin A} + \sqrt{1 - \sin A} = -\sin(A/2) - \cos(A/2) + \cos(A/2) - \sin(A/2) = -2 \sin(A/2)$।
अतः,$2 \sin(A/2) = -\sqrt{1 + \sin A} - \sqrt{1 - \sin A}$।

(A) माना $t = x^2 - x$ है।
अतः,$\tan \alpha = \frac{t}{t + 1}$ और $\tan \beta = \frac{1}{2t + 1}$ है।
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{t}{t + 1} + \frac{1}{2t + 1}}{1 - \left(\frac{t}{t + 1}\right) \left(\frac{1}{2t + 1}\right)}$
$= \frac{\frac{t(2t + 1) + (t + 1)}{(t + 1)(2t + 1)}}{\frac{(t + 1)(2t + 1) - t}{(t + 1)(2t + 1)}}$
$= \frac{2t^2 + t + t + 1}{2t^2 + 2t + t + 1 - t}$
$= \frac{2t^2 + 2t + 1}{2t^2 + 2t + 1} = 1$.
अतः,$\tan(\alpha + \beta) = 1$ है।

(C) माना $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ है।
धनात्मक पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{8 \cos^2 x \cdot 18 \sec^2 x}$
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}$
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144}$
$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq 12$
$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x \geq 24$.
हालाँकि,हमें यह जांचना होगा कि क्या समानता संभव है। $AM$-$GM$ में समानता तब होती है जब $8 \cos^2 x = 18 \sec^2 x$ हो।
$\cos^4 x = \frac{18}{8} = 2.25$। चूँकि $\cos^4 x$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए यह समानता संभव नहीं है।
अब,फलन $f(x) = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ पर विचार करें। माना $t = \cos^2 x$ है। तब $y = 8t + \frac{18}{t}$,जहाँ $t \in (0, 1]$ है।
$f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ का अवकलन $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ है। $f'(t) = 0$ रखने पर $t^2 = 2.25$,अर्थात $t = 1.5$,जो डोमेन $(0, 1]$ के बाहर है।
चूँकि $t \in (0, 1]$ के लिए $f'(t) < 0$ है,फलन एक ह्रासमान फलन है।
अतः,न्यूनतम मान $t$ के अधिकतम मान $t = 1$ (अर्थात $\cos^2 x = 1$) पर प्राप्त होगा।
$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 8 + 18 = 26$।

(B) दिए गए समीकरण $x = a \cos(\theta - \alpha)$ और $y = b \cos(\theta - \beta)$ हैं।
इसका अर्थ है $\frac{x}{a} = \cos(\theta - \alpha)$ और $\frac{y}{b} = \cos(\theta - \beta)$।
सर्वसमिका $\cos(\alpha - \beta) = \cos((\theta - \beta) - (\theta - \alpha))$ पर विचार करें।
सूत्र $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos(\alpha - \beta) = \cos(\theta - \beta) \cos(\theta - \alpha) + \sin(\theta - \beta) \sin(\theta - \alpha)$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(\alpha - \beta) = \frac{y}{b} \cdot \frac{x}{a} + \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab} = \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} \cdot \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\left(\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab}\right)^2 = \left(1 - \frac{y^2}{b^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)$।
$\cos^2(\alpha - \beta) + \frac{x^2y^2}{a^2b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2y^2}{a^2b^2}$।
दोनों पक्षों से $\frac{x^2y^2}{a^2b^2}$ को काटने और व्यवस्थित करने पर:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \cos^2(\alpha - \beta)$।
चूंकि $1 - \cos^2(\theta) = \sin^2(\theta)$,इसलिए व्यंजक का मान $\sin^2(\alpha - \beta)$ है।

(A) माना $x = \log_a b$,$y = \log_b c$,और $z = \log_c a$ है।
दिया गया है कि $x + y + z = 0$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका जानते हैं: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
अब,गुणनफल $xyz = (\log_a b) \cdot (\log_b c) \cdot (\log_c a)$ पर विचार करें।
आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$,$\log_b c = \frac{\ln c}{\ln b}$,और $\log_c a = \frac{\ln a}{\ln c}$ है।
अतः,$xyz = \left( \frac{\ln b}{\ln a} \right) \cdot \left( \frac{\ln c}{\ln b} \right) \cdot \left( \frac{\ln a}{\ln c} \right) = 1$ है।
इसलिए,$x^3 + y^3 + z^3 = 3(1) = 3$ है।
चूंकि $3$ एक विषम अभाज्य संख्या है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{\tan^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ}$.
हम जानते हैं कि $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$.
अंश: $\tan^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ = \frac{\sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} - \sin^2 20^\circ = \sin^2 20^\circ \left( \frac{1}{\cos^2 20^\circ} - 1 \right)$.
$1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{1 - \cos^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = \frac{\sin^2 20^\circ}{\cos^2 20^\circ} = \tan^2 20^\circ$ प्राप्त होता है।
अतः,अंश $\sin^2 20^\circ \cdot \tan^2 20^\circ$ हो जाता है।
इस मान को व्यंजक में वापस रखने पर: $E = \frac{\sin^2 20^\circ \cdot \tan^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ} = 1$.
चूंकि $1$ एक प्राकृतिक संख्या है और यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य,इसलिए सही विवरण यह है कि यह एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है जो भाज्य नहीं है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है: $x = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \dots \infty$.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -x$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|r| < 1$ होना चाहिए।
मान रखने पर,हमें $x = \frac{1}{1 - (-x)} = \frac{1}{1 + x}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $x(1 + x) = 1$,अर्थात $x^2 + x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
श्रेणी के अभिसारी होने के लिए $|-x| < 1$ होना चाहिए,अर्थात $x$ का मान $-1$ और $1$ के बीच होना चाहिए।
मान $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$ को अस्वीकार कर दिया जाता है क्योंकि यह $-1$ से छोटा है।
अतः,$x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ होता है।
इसलिए,$x = 2 \sin 18^\circ$।

(D) कथनों का विश्लेषण:
$[A]$ मान लीजिए $x = \sin^2 \theta$. समीकरण $x^2 - x - 1 = 0$ बन जाता है। मूल $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं। चूँकि $\sin^2 \theta$ का मान $[0, 1]$ के बीच होना चाहिए,और $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 1$ तथा $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$ है,इसलिए कोई वास्तविक $\theta$ संभव नहीं है। अतः,कथन $A$ गलत है।
$[B]$ $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{4 + \sqrt{3}}}{1 + \frac{3}{16 - 3}} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$. चूँकि $3/8$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए यह कथन कि यह अपरिमेय है,गलत है।
$[C]$ रेडियन में: $2$ रेडियन दूसरे चतुर्थांश में है $(\sin 2 > 0)$,$3$ रेडियन दूसरे चतुर्थांश में है $(\sin 3 > 0)$,और $5$ रेडियन चौथे चतुर्थांश में है $(\sin 5 < 0)$। गुणनफल $(+)(+)(-)$ ऋणात्मक होता है। अतः,कथन $C$ गलत है।
चूँकि $A, B$ और $C$ तीनों गलत हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) आइए प्रत्येक फलन का विश्लेषण करें:
$1$. विकल्प $A$ के लिए: $f(x) = \sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$. $\cos 2x$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $-\cos 2x$ का परिसर भी $[-1, 1]$ है। इसका अधिकतम मान $1$ है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: $f(x) = \frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x = \sin(2x - \frac{\pi}{4})$. साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए इसका अधिकतम मान $1$ है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: $f(x) = -\frac{\sin 2x - \cos 2x}{\sqrt{2}} = -\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4} - 2x)$. साइन फलन का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए इसका अधिकतम मान $1$ है।
चूंकि सभी फलनों का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं।
$a = \sin 2\alpha + \sin 2\beta + 2\sin(\alpha + \beta) = 2\sin(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\sin(\alpha + \beta) = 2\sin(\alpha + \beta)[\cos(\alpha - \beta) + 1] = 4\sin(\alpha + \beta)\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
$b = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + 2\cos(\alpha + \beta) = 2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) + 2\cos(\alpha + \beta) = 2\cos(\alpha + \beta)[\cos(\alpha - \beta) + 1] = 4\cos(\alpha + \beta)\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
कर्ण $h = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{[4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2})]^2 [\sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta)]}$.
चूँकि $\sin^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha + \beta) = 1$,इसलिए $h = 4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2})$.
सर्वसमिका $2\cos^2(\theta) = 1 + \cos(2\theta)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $4\cos^2(\frac{\alpha - \beta}{2}) = 2[1 + \cos(\alpha - \beta)]$.
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) दी गई व्यंजक $E = 1 + 4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ है।
हम जानते हैं कि व्यंजक $a \sin \theta + b \cos \theta$ का मान $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ अंतराल में होता है।
यहाँ,$a = 4$ और $b = 3$ है।
अतः,$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ है।
इस प्रकार,$4 \sin \theta + 3 \cos \theta$ का परिसर $[-5, 5]$ है।
अब,पूरे परिसर में $1$ जोड़ने पर,हमें $E$ का परिसर $[1 - 5, 1 + 5]$ प्राप्त होता है,जो कि $[-4, 6]$ है।
अतः,चरम मान $-4$ और $6$ हैं।

(D) दिया गया है $2\cos\theta + \sin\theta = 1$,जिसे हम $2\cos\theta = 1 - \sin\theta$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(2\cos\theta)^2 = (1 - \sin\theta)^2$ प्राप्त होता है।
$4\cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta$.
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ का उपयोग करने पर,$4(1 - \sin^2\theta) = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta$ मिलता है।
$4 - 4\sin^2\theta = 1 - 2\sin\theta + \sin^2\theta$.
$5\sin^2\theta - 2\sin\theta - 3 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5\sin\theta + 3)(\sin\theta - 1) = 0$.
इससे $\sin\theta = 1$ या $\sin\theta = -\frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: यदि $\sin\theta = 1$,तो $\cos\theta = 0$. व्यंजक $E = 4\cos\theta + 3\sin\theta$ में मान रखने पर,$E = 4(0) + 3(1) = 3$ मिलता है।
स्थिति $2$: यदि $\sin\theta = -\frac{3}{5}$,तो $\cos^2\theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$,अतः $\cos\theta = \pm\frac{4}{5}$.
चूंकि $2\cos\theta + \sin\theta = 1$,इसलिए $2\cos\theta = 1 - (-\frac{3}{5}) = \frac{8}{5}$,जिसका अर्थ है $\cos\theta = \frac{4}{5}$.
$E$ में मान रखने पर,$E = 4(\frac{4}{5}) + 3(-\frac{3}{5}) = \frac{16}{5} - \frac{9}{5} = \frac{7}{5}$.
अतः,संभावित मान $3$ और $\frac{7}{5}$ हैं।

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ का उपयोग करते हैं।
श्रेणी को $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tan \frac{x}{2^n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर,योग एक टेलिस्कोपिंग श्रेणी बनाता है:
$S = \frac{1}{2} \cot \frac{x}{2} - \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2^N} \cot \frac{x}{2^N} = \frac{1}{2} \cot \frac{x}{2} - \frac{1}{x}$.
यहाँ $x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{2}{\pi} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) द्विघात समीकरण $4x^2 + 4(a - 1)x + (1 - 2a) = 0$ के लिए,मूलों का योग $\sin \theta + \cos \theta = -\frac{4(a - 1)}{4} = 1 - a$ .....$(1)$
मूलों का गुणनफल $\sin \theta \cdot \cos \theta = \frac{1 - 2a}{4}$ .....$(2)$
समीकरण $(1)$ का वर्ग करने पर,$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = (1 - a)^2$ प्राप्त होता है।
इसमें $(2)$ का मान रखने पर,$1 + 2(\frac{1 - 2a}{4}) = (1 - a)^2 \Rightarrow 1 + \frac{1 - 2a}{2} = 1 - 2a + a^2$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 + 1 - 2a = 2 - 4a + 2a^2 \Rightarrow 2a^2 - 2a - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \theta + \cos \theta = 1 - a$ और $\sin \theta, \cos \theta > 0$,इसलिए $a < 1$ होना चाहिए,अतः $a = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$।
तब $\sin \theta \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः $\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है $\theta = 30^\circ$ या $60^\circ$।
$a + \sin \theta$ का अधिकतम मान $\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(A) फलन $f(x) = \sqrt{\ln(2\lambda \cos x + 5)}$ के सभी $x \in R$ के लिए परिभाषित होने के लिए, वर्गमूल के अंदर का व्यंजक अ-ऋणात्मक होना चाहिए और लघुगणक का तर्क धनात्मक होना चाहिए।
$1$. $\ln(2\lambda \cos x + 5) \geq 0 \implies 2\lambda \cos x + 5 \geq e^0 = 1$.
$2$. यह $2\lambda \cos x \geq -4$ या $\lambda \cos x \geq -2$ में सरल हो जाता है।
$3$. चूंकि यह सभी $x \in R$ के लिए सत्य होना चाहिए, हम $\cos x$ का परिसर $[-1, 1]$ लेते हैं।
$4$. यदि $\lambda > 0$ है, तो $\lambda \cos x$ का न्यूनतम मान $-\lambda$ है। अतः, $-\lambda \geq -2 \implies \lambda \leq 2$। इसलिए, $\lambda \in \{1, 2\}$।
$5$. यदि $\lambda < 0$ है, तो $\lambda \cos x$ का न्यूनतम मान $\lambda$ है। अतः, $\lambda \geq -2$। इसलिए, $\lambda \in \{-1, -2\}$।
$6$. यदि $\lambda = 0$ है, तो व्यंजक $\ln(5) \geq 0$ हो जाता है, जो सत्य है। अतः, $\lambda = 0$ एक हल है।
$7$. पूर्णांक मानों का समुच्चय $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ है।
$8$. ऐसे पूर्णांक मानों की कुल संख्या $5$ है।

(B) दिया गया है $E = \prod_{r=1}^{59} \left( {1 - \frac{{\cos(60^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}}} \right)$.
गुणनफल के अंदर के पद को सरल करने पर:
$1 - \frac{{\cos(60^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}} = \frac{{\cos r^\circ - \cos(60^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}}$.
सूत्र $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{{A+B}}{2} \sin \frac{{A-B}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos r^\circ - \cos(60^\circ + r^\circ) = 2 \sin \frac{{r^\circ + 60^\circ + r^\circ}}{2} \sin \frac{{60^\circ + r^\circ - r^\circ}}{2} = 2 \sin(30^\circ + r^\circ) \sin 30^\circ$.
चूंकि $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,इसलिए पद $2 \cdot \frac{1}{2} \sin(30^\circ + r^\circ) = \sin(30^\circ + r^\circ)$ हो जाता है।
अतः,$E = \prod_{r=1}^{59} \frac{{\sin(30^\circ + r^\circ)}}{{\cos r^\circ}} = \frac{{\sin 31^\circ \cdot \sin 32^\circ \dots \sin 89^\circ}}{{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \dots \cos 59^\circ}}$.
चूंकि $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$,अंश $\cos 59^\circ \cdot \cos 58^\circ \dots \cos 1^\circ$ हो जाता है,जो हर के साथ पूरी तरह कट जाता है।
इसलिए,$E = 1$.

(B) दिया गया है: $\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = 1$.
मान लीजिए $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \beta} = \cos \theta$ और $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \beta} = \sin \theta$.
तब $\cos^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta$ और $\sin^2 \alpha = \sin \beta \sin \theta$.
इनका योग करने पर,$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta + \sin \beta \sin \theta = \cos(\beta - \theta) = 1$.
इसका अर्थ है $\beta = \theta + 2n\pi$,अतः $\cos \beta = \cos \theta$ और $\sin \beta = \sin \theta$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,$\cos^2 \alpha = \cos^2 \beta$ और $\sin^2 \alpha = \sin^2 \beta$.
अतः,$\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \beta} = \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$.
$1$ का महत्तम पूर्णांक $[1] = 1$ है।

(D) दिया गया व्यंजक: $E = \sin A \cos B \cos C + \sin B \cos C \cos A + \sin C \cos A \cos B$
व्यंजक से $\cos A \cos B \cos C$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$E = \cos A \cos B \cos C \left( \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C} \right)$
$E = \cos A \cos B \cos C (\tan A + \tan B + \tan C)$
किसी भी $\Delta ABC$ में,हम जानते हैं कि $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$E = \cos A \cos B \cos C (\tan A \tan B \tan C)$
$E = \cos A \cos B \cos C \left( \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin B}{\cos B} \cdot \frac{\sin C}{\cos C} \right)$
$E = \sin A \sin B \sin C$.

(A) मानों की तुलना करने के लिए,हम कोणों को प्रथम चतुर्थांश में बदलते हैं।
$sin\ 95^{\circ} = sin(180^{\circ} - 95^{\circ}) = sin\ 85^{\circ}$।
अब हम $sin\ 85^{\circ}$,$sin\ 63^{\circ}$ और $sin\ 1^{\circ}$ की तुलना करते हैं।
चूंकि साइन फलन अंतराल $[0^{\circ}, 90^{\circ}]$ में एक वर्धमान फलन है,इसलिए हमारे पास $sin\ 85^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$ है।
अतः,$sin\ 95^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$ सत्य है।

(A) दिया गया रैखिक समीकरण $12a + 5b = 9$ है।
हमें $f(a, b) = a^2 + b^2$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $12a + 5b = 9$ पर स्थित बिंदु $(a, b)$ तक की दूरी का वर्ग है।
किसी बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ तक की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
यहाँ,$A = 12$,$B = 5$,$C = -9$,और $(x_0, y_0) = (0, 0)$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|12(0) + 5(0) - 9|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \frac{|-9|}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{9}{\sqrt{169}} = \frac{9}{13}$ है।
$a^2 + b^2$ का न्यूनतम मान इस न्यूनतम दूरी का वर्ग है,अर्थात $d^2 = (\frac{9}{13})^2 = \frac{81}{169}$।

(C) दिया गया है कि $\sin A + \sin B + \sin C = 0$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ होता है।
अतः,$\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = 3(\sin A + \sin B + \sin C) - 4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$।
चूंकि $\sin A + \sin B + \sin C = 0$ है,व्यंजक $-4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$ में बदल जाता है।
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए: यदि $x+y+z=0$ है,तो $x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ होता है।
यहाँ,$\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C = 3 \sin A \sin B \sin C$ है।
इस मान को हर (denominator) में रखने पर: $\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = -4(3 \sin A \sin B \sin C) = -12 \sin A \sin B \sin C$।
इसलिए,अनुपात $\frac{\sin A \sin B \sin C}{-12 \sin A \sin B \sin C} = -\frac{1}{12}$ होगा।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{r=1}^{18} \cos^2(5r)^\circ = \cos^2 5^\circ + \cos^2 10^\circ + \dots + \cos^2 85^\circ + \cos^2 90^\circ$ है।
हम जानते हैं कि $\cos^2 90^\circ = 0$ होता है।
शेष पदों के लिए,हम उन्हें $\cos^2 \theta + \cos^2(90^\circ - \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ के रूप में जोड़ सकते हैं।
$\cos^2 90^\circ$ को छोड़कर कुल $17$ पद हैं। हम $(\cos^2 5^\circ + \cos^2 85^\circ), (\cos^2 10^\circ + \cos^2 80^\circ), \dots, (\cos^2 40^\circ + \cos^2 50^\circ)$ के $8$ जोड़े बना सकते हैं और एक मध्य पद $\cos^2 45^\circ$ शेष रहेगा।
प्रत्येक जोड़े का योग $1$ है,इसलिए $8 \times 1 = 8$ होगा।
मध्य पद $\cos^2 45^\circ = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ है।
अतः,कुल योग $8 + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sin 2 = 2 \sin 1 \cos 1$,$1 = \sin^2 1 + \cos^2 1$ और $\cos 2 = \cos^2 1 - \sin^2 1$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1} \left( \frac{2 \sin 1 \cos 1 - (\sin^2 1 + \cos^2 1)}{\cos^2 1 - \sin^2 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( \frac{-(\cos 1 - \sin 1)^2}{(\cos 1 - \sin 1)(\cos 1 + \sin 1)} \right)$
$= \tan^{-1} \left( -\frac{\cos 1 - \sin 1}{\cos 1 + \sin 1} \right)$
$= \tan^{-1} \left( -\frac{1 - \tan 1}{1 + \tan 1} \right)$
$= -\tan^{-1} \left( \tan \left( \frac{\pi}{4} - 1 \right) \right)$
$= -(\frac{\pi}{4} - 1) = 1 - \frac{\pi}{4}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{\sec 8\theta - 1}{\sec 4\theta - 1} = \frac{1 - \cos 8\theta}{\cos 8\theta} \cdot \frac{\cos 4\theta}{1 - \cos 4\theta} = \frac{2\sin^2 4\theta}{\cos 8\theta} \cdot \frac{\cos 4\theta}{2\sin^2 2\theta}$.
$\sin 4\theta = 2\sin 2\theta \cos 2\theta$ का उपयोग करने पर,$E = \frac{2(4\sin^2 2\theta \cos^2 2\theta)}{\cos 8\theta} \cdot \frac{\cos 4\theta}{2\sin^2 2\theta} = \frac{4\cos^2 2\theta \cos 4\theta}{\cos 8\theta}$.
माना $t = \tan^2 2\theta$. तब $\cos 4\theta = \frac{1-t}{1+t}$ और $\cos 8\theta = \frac{1 - \tan^2 4\theta}{1 + \tan^2 4\theta} = \frac{1 - 6t + t^2}{1 + 2t + t^2}$.
साथ ही $\cos^2 2\theta = \frac{1}{1+t}$.
इन मानों को रखने पर: $E = \frac{4}{1+t} \cdot \frac{1-t}{1+t} \cdot \frac{1+2t+t^2}{1-6t+t^2} = \frac{4-4t}{1-6t+t^2}$.
$\frac{a+bt}{1+ct+dt^2}$ से तुलना करने पर,$a=4, b=-4, c=-6, d=1$ प्राप्त होता है।
अतः,$a-b+c-d = 4 - (-4) + (-6) - 1 = 4 + 4 - 6 - 1 = 1$.

(D) दिया गया है $\sin x + \cos x = a$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \sin 2x = a^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin x \cos x = \frac{a^2 - 1}{2}$.
योग $S = \sum_{n=1}^\infty \sin^n x + \sum_{n=1}^\infty \cos^n x = \frac{\sin x}{1 - \sin x} + \frac{\cos x}{1 - \cos x}$ है।
$S = \frac{\sin x(1 - \cos x) + \cos x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 - \cos x)} = \frac{(\sin x + \cos x) - 2\sin x \cos x}{1 - (\sin x + \cos x) + \sin x \cos x}$.
मान रखने पर: $S = \frac{a - (a^2 - 1)}{1 - a + \frac{a^2 - 1}{2}} = \frac{a - a^2 + 1}{\frac{2 - 2a + a^2 - 1}{2}} = \frac{2(1 + a - a^2)}{a^2 - 2a + 1} = \frac{2(1 + a - a^2)}{(a - 1)^2}$.

(A) माना $f(\theta) = 8 \sec^2 \theta + 2 \cos^2 \theta$.
अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करते हुए,धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$a + b$ का न्यूनतम मान $2\sqrt{ab}$ होता है।
यहाँ,$a = 8 \sec^2 \theta$ और $b = 2 \cos^2 \theta$ है।
$f(\theta) \ge 2 \sqrt{(8 \sec^2 \theta) \cdot (2 \cos^2 \theta)}$.
चूंकि $\sec^2 \theta \cdot \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$f(\theta) \ge 2 \sqrt{16 \cdot 1} = 2 \cdot 4 = 8$.
हालाँकि,हमें यह जांचना होगा कि क्या यह न्यूनतम मान प्राप्त करने योग्य है। $AM$-$GM$ में समानता तब होती है जब $a = b$,अर्थात $8 \sec^2 \theta = 2 \cos^2 \theta$.
$4 \sec^2 \theta = \cos^2 \theta \implies 4 = \cos^4 \theta \implies \cos^2 \theta = 2$,जो असंभव है क्योंकि $\cos^2 \theta \le 1$ होता है।
अतः,हम फलन $f(\theta) = 8(1 + \tan^2 \theta) + 2 \cos^2 \theta$ का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि $\tan^2 \theta \ge 0$,न्यूनतम मान $\tan \theta = 0$ पर प्राप्त होता है,अर्थात $\theta = 0^\circ$ पर।
$\theta = 0^\circ$ पर,$f(0) = 8 \sec^2(0) + 2 \cos^2(0) = 8(1) + 2(1) = 10$.

(A) दिया गया है $f(x) = \sin^2 x + \cos^4 x + 2$.
$f(x+\pi) = \sin^2(x+\pi) + \cos^4(x+\pi) + 2 = (-\sin x)^2 + (-\cos x)^4 + 2 = \sin^2 x + \cos^4 x + 2 = f(x)$.
अतः,$f(x)$ का आवर्तकाल $T_1 = \pi$ है।
अब $g(x) = \cos(\cos x) + \cos(\sin x)$ के लिए,
$g(x+\pi/2) = \cos(\cos(x+\pi/2)) + \cos(\sin(x+\pi/2)) = \cos(-\sin x) + \cos(\cos x) = \cos(\sin x) + \cos(\cos x) = g(x)$.
अतः,$g(x)$ का आवर्तकाल $T_2 = \pi/2$ है।
इसलिए,$T_1 = 2T_2$ होगा।

(C) हम जानते हैं कि $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$ और $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8}$ होता है।
अतः,व्यंजक $2(\sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8})$ बन जाता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\sin^4 \theta = (\frac{1 - \cos 2\theta}{2})^2 = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta) = \frac{1}{4}(1 - 2\cos 2\theta + \frac{1 + \cos 4\theta}{2}) = \frac{1}{8}(3 - 4\cos 2\theta + \cos 4\theta)$ प्राप्त होता है।
$\theta = \frac{\pi}{8}$ के लिए: $\sin^4 \frac{\pi}{8} = \frac{1}{8}(3 - 4\cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{8}(3 - 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 0) = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{8}$।
$\theta = \frac{3\pi}{8}$ के लिए: $\sin^4 \frac{3\pi}{8} = \frac{1}{8}(3 - 4\cos \frac{3\pi}{4} + \cos \frac{3\pi}{2}) = \frac{1}{8}(3 - 4(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + 0) = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}$।
इनका योग करने पर: $2(\frac{3 - 2\sqrt{2}}{8} + \frac{3 + 2\sqrt{2}}{8}) = 2(\frac{6}{8}) = 2(\frac{3}{4}) = \frac{3}{2}$।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x)y^2 + ay + g(x) = 0$ के सभी $x \in R$ के लिए वास्तविक मूल हैं।
द्विघात समीकरण $Ay^2 + By + C = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए विविक्तकर $D = B^2 - 4AC \geq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = f(x)$,$B = a$,और $C = g(x)$ है।
अतः,$a^2 - 4f(x)g(x) \geq 0$,जिसका अर्थ है $a^2 \geq 4f(x)g(x)$।
चूँकि $f(x)g(x) = \sin x \cos x$ होता है।
इसलिए,$a^2 \geq 4 \sin x \cos x = 2 \sin(2x)$।
यह असमिका सभी $x \in R$ के लिए सत्य होनी चाहिए,इसलिए $a^2$ को $2 \sin(2x)$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
$2 \sin(2x)$ का अधिकतम मान $2$ है।
अतः,$a^2 \geq 2$।
इसका अर्थ है $|a| \geq \sqrt{2}$,जिससे $a \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$\frac{\cos x}{a} = \frac{\cos (x + \theta)}{b} = \frac{\cos (x + 2\theta)}{c} = \frac{\cos (x + 3\theta)}{d} = k$ (माना).
अतः,$a = \frac{\cos x}{k}, b = \frac{\cos (x + \theta)}{k}, c = \frac{\cos (x + 2\theta)}{k}, d = \frac{\cos (x + 3\theta)}{k}$.
अब,व्यंजक $\frac{a + c}{b + d}$ पर विचार करते हैं:
$\frac{a + c}{b + d} = \frac{\frac{1}{k} [\cos x + \cos (x + 2\theta)]}{\frac{1}{k} [\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta)]} = \frac{\cos x + \cos (x + 2\theta)}{\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta)}$.
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \left( \frac{C + D}{2} \right) \cos \left( \frac{C - D}{2} \right)$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\cos x + \cos (x + 2\theta) = 2 \cos \left( \frac{2x + 2\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{-2\theta}{2} \right) = 2 \cos (x + \theta) \cos \theta$.
हर: $\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta) = 2 \cos \left( \frac{2x + 4\theta}{2} \right) \cos \left( \frac{-2\theta}{2} \right) = 2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta$.
अतः,$\frac{a + c}{b + d} = \frac{2 \cos (x + \theta) \cos \theta}{2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta} = \frac{\cos (x + \theta)}{\cos (x + 2\theta)} = \frac{b}{c}$.

(D) दिया गया है,$\sin \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) = a$। यहाँ $\frac{4\pi}{9} = 80^{\circ}$ है।
हमें $\cos \left( x + \frac{7\pi}{9} \right)$ का मान ज्ञात करना है,जहाँ $\frac{7\pi}{9} = 140^{\circ}$ है।
हम $\cos \left( x + 140^{\circ} \right) = \cos \left( (x + 80^{\circ}) + 60^{\circ} \right)$ लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos \left( (x + 80^{\circ}) + 60^{\circ} \right) = \cos(x + 80^{\circ}) \cos 60^{\circ} - \sin(x + 80^{\circ}) \sin 60^{\circ}$।
शर्त $\frac{\pi}{9} < x < \frac{\pi}{3}$ के अनुसार,$20^{\circ} < x < 60^{\circ}$ है,इसलिए $100^{\circ} < x + 80^{\circ} < 140^{\circ}$ होगा।
इस अंतराल में $\cos(x + 80^{\circ})$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\cos(x + 80^{\circ}) = -\sqrt{1 - \sin^2(x + 80^{\circ})} = -\sqrt{1 - a^2}$।
मान रखने पर: $\cos(x + 140^{\circ}) = (-\sqrt{1 - a^2}) \cdot \frac{1}{2} - a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-\sqrt{1 - a^2} - a\sqrt{3}}{2}$।