Trigonometry Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $A + B = \frac{\pi}{4}$ है।
दोनों पक्षों का टैनजेंट लेने पर,हमें $\tan(A + B) = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = 1$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\tan A + \tan B + \tan A \tan B = 1$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $(1 + \tan A)(1 + \tan B) = 1 + \tan B + \tan A + \tan A \tan B$ पर विचार करें।
पिछले चरण से मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + (\tan A + \tan B + \tan A \tan B) = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर: $\frac{2(\frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ)}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ}$
सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,अंश को $2 \sin(30^\circ - 10^\circ) = 2 \sin 20^\circ$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हर के लिए,सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 10^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2} \sin 20^\circ$ प्राप्त होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2 \sin 20^\circ}{\frac{1}{2} \sin 20^\circ} = 4 \times \frac{\sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 4$.

(C) दो कोणों के योग के कोसाइन (cosine) के लिए मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका इस प्रकार है:
$\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
इस सर्वसमिका की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर:
$\cos (A + B) = \alpha \cos A \cos B + \beta \sin A \sin B$
दोनों पक्षों के संगत पदों के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = 1$
$\beta = -1$
अतः,$(\alpha, \beta) = (1, -1).$

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin^2 A - \sin^2 B}{\sin A \cos A - \sin B \cos B}$
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
अंश $= \sin(A+B) \sin(A-B)$
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर:
$= \frac{2 \sin(A+B) \sin(A-B)}{2 \sin A \cos A - 2 \sin B \cos B}$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(A+B) \sin(A-B)}{\sin 2A - \sin 2B}$
सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2A - \sin 2B = 2 \cos(\frac{2A+2B}{2}) \sin(\frac{2A-2B}{2}) = 2 \cos(A+B) \sin(A-B)$
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2 \sin(A+B) \sin(A-B)}{2 \cos(A+B) \sin(A-B)}$
$= \frac{\sin(A+B)}{\cos(A+B)} = \tan(A+B)$.

(B) दिया गया है $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{4}{5}$ और $\sin (\alpha - \beta ) = \frac{5}{13}$।
चूंकि $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,इसलिए $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$ और $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ है।
अतः,$\sin (\alpha + \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$ और $\cos (\alpha - \beta ) = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $2\alpha = (\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )$।
सूत्र $\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin 2\alpha = \sin ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \sin (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$.
$\sin 2\alpha = (\frac{3}{5} \times \frac{12}{13}) + (\frac{4}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}$।
सूत्र $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha = \cos ((\alpha + \beta ) + (\alpha - \beta )) = \cos (\alpha + \beta ) \cos (\alpha - \beta ) - \sin (\alpha + \beta ) \sin (\alpha - \beta )$.
$\cos 2\alpha = (\frac{4}{5} \times \frac{12}{13}) - (\frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} = \frac{33}{65}$।
इसलिए,$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{56/65}{33/65} = \frac{56}{33}$।

(A) दिया गया है $\cos \theta = \frac{8}{17}$ और $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$।
$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\cos(30^\circ + \theta) = \cos 30^\circ \cos \theta - \sin 30^\circ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta$
$\cos(45^\circ - \theta) = \cos 45^\circ \cos \theta + \sin 45^\circ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta$
$\cos(120^\circ - \theta) = \cos 120^\circ \cos \theta + \sin 120^\circ \sin \theta = -\frac{1}{2} \cos \theta + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta$
इनका योग करने पर:
$= (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) \cos \theta + (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}) \sin \theta$
$= (\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) (\cos \theta + \sin \theta)$
$= (\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) (\frac{8}{17} + \frac{15}{17}) = \frac{23}{17} (\frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}})$।

(C) हम सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति: $\tan x + \tan \left( \frac{\pi }{3} + x \right) + \tan \left( \frac{2\pi }{3} + x \right) = 3$
पदों का विस्तार करने पर:
$= \tan x + \frac{\tan x + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3} \tan x} + \frac{\tan x - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3} \tan x}$
$= \tan x + \frac{(\tan x + \sqrt{3})(1 + \sqrt{3} \tan x) + (\tan x - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3} \tan x)}{(1 - \sqrt{3} \tan x)(1 + \sqrt{3} \tan x)}$
$= \tan x + \frac{(\tan x + \sqrt{3} \tan^2 x + \sqrt{3} + 3 \tan x) + (\tan x - \sqrt{3} \tan^2 x - \sqrt{3} + 3 \tan x)}{1 - 3 \tan^2 x}$
$= \tan x + \frac{8 \tan x}{1 - 3 \tan^2 x} = \frac{\tan x - 3 \tan^3 x + 8 \tan x}{1 - 3 \tan^2 x} = \frac{9 \tan x - 3 \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x}$
$= 3 \left( \frac{3 \tan x - \tan^3 x}{1 - 3 \tan^2 x} \right) = 3 \tan 3x$
दिया गया है कि $3 \tan 3x = 3$,इसलिए $\tan 3x = 1$।

(D) दी गई व्यंजक: $\sin 47^\circ + \sin 61^\circ - \sin 11^\circ - \sin 25^\circ$
पदों को समूहित करने पर: $(\sin 61^\circ + \sin 47^\circ) - (\sin 25^\circ + \sin 11^\circ)$
सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin \frac{61^\circ + 47^\circ}{2} \cos \frac{61^\circ - 47^\circ}{2} - 2 \sin \frac{25^\circ + 11^\circ}{2} \cos \frac{25^\circ - 11^\circ}{2}$
$= 2 \sin 54^\circ \cos 7^\circ - 2 \sin 18^\circ \cos 7^\circ$
$= 2 \cos 7^\circ (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)$
सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos 7^\circ \left( 2 \cos \frac{54^\circ + 18^\circ}{2} \sin \frac{54^\circ - 18^\circ}{2} \right)$
$= 4 \cos 7^\circ \cos 36^\circ \sin 18^\circ$
चूंकि $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ और $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$:
$= 4 \cos 7^\circ \left( \frac{\sqrt{5}+1}{4} \right) \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)$
$= 4 \cos 7^\circ \left( \frac{5-1}{16} \right) = 4 \cos 7^\circ \left( \frac{4}{16} \right) = \cos 7^\circ$

(B) दिया है: $\sin(\theta + \alpha) = a$ ... $(i)$ और $\sin(\theta + \beta) = b$ ... $(ii)$.
माना $x = \theta + \alpha$ और $y = \theta + \beta$. तब $\sin x = a$ और $\sin y = b$.
हम जानते हैं कि $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.
चूंकि $\sin x = a$,इसलिए $\cos x = \sqrt{1 - a^2}$. चूंकि $\sin y = b$,इसलिए $\cos y = \sqrt{1 - b^2}$.
अतः,$\cos(\alpha - \beta) = \cos(x - y) = \sqrt{1 - a^2}\sqrt{1 - b^2} + ab$.
माना $C = \cos(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - a^2}\sqrt{1 - b^2} + ab$.
तब $C - ab = \sqrt{1 - a^2}\sqrt{1 - b^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(C - ab)^2 = (1 - a^2)(1 - b^2) = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$.
$C^2 - 2abC + a^2b^2 = 1 - a^2 - b^2 + a^2b^2$.
$C^2 - 2abC = 1 - a^2 - b^2$.
हमें $\cos 2(\alpha - \beta) - 4ab \cos(\alpha - \beta) = 2\cos^2(\alpha - \beta) - 1 - 4ab \cos(\alpha - \beta)$ का मान ज्ञात करना है।
$= 2C^2 - 1 - 4abC = 2(C^2 - 2abC) - 1$.
$C^2 - 2abC = 1 - a^2 - b^2$ रखने पर:
$= 2(1 - a^2 - b^2) - 1 = 2 - 2a^2 - 2b^2 - 1 = 1 - 2a^2 - 2b^2$.

(C) माना व्यंजक $E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - 2\cos(A - B)\cos A\cos B$ है।
सर्वसमिका $2\cos A\cos B = \cos(A - B) + \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - \cos(A - B)[\cos(A - B) + \cos(A + B)]$
$E = \cos^2(A - B) + \cos^2 B - \cos^2(A - B) - \cos(A - B)\cos(A + B)$
$E = \cos^2 B - \cos(A - B)\cos(A + B)$
सर्वसमिका $\cos(A - B)\cos(A + B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ का उपयोग करने पर:
$E = \cos^2 B - (\cos^2 A - \sin^2 B)$
$E = \cos^2 B + \sin^2 B - \cos^2 A$
चूंकि $\cos^2 B + \sin^2 B = 1$,इसलिए:
$E = 1 - \cos^2 A = \sin^2 A$.
चूंकि परिणाम $\sin^2 A$ केवल $A$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह व्यंजक $A$ पर निर्भर है।

(A) हम जानते हैं कि $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta - \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \right) = \sqrt{2} \cos(\theta + 45^\circ)$ होता है।
$\theta = 15^\circ$ रखने पर:
$\cos 15^\circ - \sin 15^\circ = \sqrt{2} \cos(15^\circ + 45^\circ)$
$= \sqrt{2} \cos 60^\circ$
$= \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) दिया गया है कि $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों के अनुसार:
$\tan \alpha + \tan \beta = -p$ और $\tan \alpha \tan \beta = q$.
टैंजेंट के योग सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{-p}{1 - q} = \frac{p}{q - 1}$.
यह पुष्टि करता है कि विकल्प $(b)$ सही है।
अब,विकल्प $(a)$ में दिए गए व्यंजक पर विचार करें:
$L.H.S. = \cos^2(\alpha + \beta) [\tan^2(\alpha + \beta) + p\tan(\alpha + \beta) + q]$.
चूंकि $\cos^2(\alpha + \beta) = \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)}$,हम $\tan(\alpha + \beta) = \frac{p}{q - 1}$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$L.H.S. = \frac{1}{1 + \frac{p^2}{(q - 1)^2}} \left[ \frac{p^2}{(q - 1)^2} + p\left(\frac{p}{q - 1}\right) + q \right]$.
इस व्यंजक को सरल करने पर परिणाम $q$ प्राप्त होता है।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(A) हम जानते हैं कि $5x = 3x + 2x$ है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर,हमें $\tan 5x = \tan (3x + 2x)$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan 5x = \frac{\tan 3x + \tan 2x}{1 - \tan 3x \tan 2x}$।
तिर्यक गुणा करने पर:
$\tan 5x (1 - \tan 3x \tan 2x) = \tan 3x + \tan 2x$।
$\tan 5x - \tan 5x \tan 3x \tan 2x = \tan 3x + \tan 2x$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 5x \tan 3x \tan 2x = \tan 5x - \tan 3x - \tan 2x$।

(D) दी गई असमिका $4x^2 - 16x + 15 < 0$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $(2x - 3)(2x - 5) < 0$,जिससे $\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में एकमात्र पूर्णांक $x = 2$ है। अतः,$\tan \alpha = 2$ है।
प्रथम चतुर्थांश का समद्विभाजक रेखा $y = x$ है,जिसकी ढाल $1$ है। अतः,$\cos \beta = 1$ है।
सर्वसमिका $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $\cos \beta = 1$ है,इसलिए $\sin \beta = 0$ होगा।
साथ ही,$\tan \alpha = 2 \implies \sin^2 \alpha = \frac{\tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2^2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}$ है।
अतः,$\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta = \frac{4}{5} - 0 = \frac{4}{5}$।

(D) हम जानते हैं कि $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।
माना $A = \frac{2\pi}{5} = \frac{6\pi}{15}$ और $B = \frac{\pi}{15}$ है।
अतः $A - B = \frac{6\pi}{15} - \frac{\pi}{15} = \frac{5\pi}{15} = \frac{\pi}{3}$ होता है।
इस प्रकार,$\tan(A - B) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{\tan \frac{6\pi}{15} - \tan \frac{\pi}{15}}{1 + \tan \frac{6\pi}{15} \tan \frac{\pi}{15}} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{6\pi}{15} - \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3} (1 + \tan \frac{6\pi}{15} \tan \frac{\pi}{15})$.
$\tan \frac{6\pi}{15} - \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3} + \sqrt{3} \tan \frac{6\pi}{15} \tan \frac{\pi}{15}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan \frac{6\pi}{15} - \tan \frac{\pi}{15} - \sqrt{3} \tan \frac{6\pi}{15} \tan \frac{\pi}{15} = \sqrt{3}$.
चूंकि $\frac{6\pi}{15} = \frac{2\pi}{5}$ है,इसलिए व्यंजक का मान $\sqrt{3}$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति: $\cos 12^\circ + \cos 84^\circ + \cos 156^\circ + \cos 132^\circ$
पदों को समूह में व्यवस्थित करने पर: $(\cos 132^\circ + \cos 12^\circ) + (\cos 156^\circ + \cos 84^\circ)$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \frac{132^\circ + 12^\circ}{2} \cos \frac{132^\circ - 12^\circ}{2} + 2 \cos \frac{156^\circ + 84^\circ}{2} \cos \frac{156^\circ - 84^\circ}{2}$
$= 2 \cos 72^\circ \cos 60^\circ + 2 \cos 120^\circ \cos 36^\circ$
$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ और $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ मान रखने पर:
$= 2 \cos 72^\circ (\frac{1}{2}) + 2 (-\frac{1}{2}) \cos 36^\circ$
$= \cos 72^\circ - \cos 36^\circ$
मानक मानों $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ और $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sqrt{5}-1}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1-\sqrt{5}-1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(A) हम योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$.
दी गई अभिव्यक्ति: $\cos 52^\circ + \cos 68^\circ + \cos 172^\circ$.
पहले दो पदों पर सूत्र लागू करने पर:
$\cos 52^\circ + \cos 68^\circ = 2 \cos \left( \frac{52^\circ + 68^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{52^\circ - 68^\circ}{2} \right)$
$= 2 \cos(60^\circ) \cos(-8^\circ)$
$= 2 \times \frac{1}{2} \times \cos(8^\circ) = \cos 8^\circ$.
अब,अभिव्यक्ति इस प्रकार हो जाती है: $\cos 8^\circ + \cos 172^\circ$.
पुनः सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos 8^\circ + \cos 172^\circ = 2 \cos \left( \frac{8^\circ + 172^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{172^\circ - 8^\circ}{2} \right)$
$= 2 \cos(90^\circ) \cos(82^\circ)$.
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ है,इसलिए पूरी अभिव्यक्ति का मान $2 \times 0 \times \cos 82^\circ = 0$ है।

(A) अंश और हर को $\cos 17^\circ$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\cos 17^\circ + \sin 17^\circ}{\cos 17^\circ - \sin 17^\circ} = \frac{1 + \tan 17^\circ}{1 - \tan 17^\circ}$
चूंकि $\tan 45^\circ = 1$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= \frac{\tan 45^\circ + \tan 17^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 17^\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = 45^\circ$ और $B = 17^\circ$:
$= \tan(45^\circ + 17^\circ) = \tan 62^\circ$.

(A) अंश और हर को $\cos 9^\circ$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} + \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}}{\frac{\cos 9^\circ}{\cos 9^\circ} - \frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}} = \frac{1 + \tan 9^\circ}{1 - \tan 9^\circ}$
चूँकि $\tan 45^\circ = 1$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{\tan 45^\circ + \tan 9^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 9^\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = 45^\circ$ और $B = 9^\circ$ है:
$\tan(45^\circ + 9^\circ) = \tan 54^\circ$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin 70^\circ + \cos 40^\circ}{\cos 70^\circ + \sin 40^\circ}$
सर्वसमिका $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\cos 40^\circ = \sin(90^\circ - 40^\circ) = \sin 50^\circ$
$\cos 70^\circ = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\sin 70^\circ + \sin 50^\circ}{\sin 20^\circ + \sin 40^\circ}$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
अंश: $\sin 70^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin(\frac{70^\circ + 50^\circ}{2}) \cos(\frac{70^\circ - 50^\circ}{2}) = 2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ$
हर: $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin(\frac{20^\circ + 40^\circ}{2}) \cos(\frac{20^\circ - 40^\circ}{2}) = 2 \sin 30^\circ \cos(-10^\circ)$
चूंकि $\cos(-10^\circ) = \cos 10^\circ$:
$= \frac{2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ}{2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) दिया गया है: $\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B = \frac{3}{5}$ ... $(i)$
साथ ही,$\tan A \tan B = \frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B} = 2$,जिसका अर्थ है $\sin A \sin B = 2 \cos A \cos B$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A \cos B + 2 \cos A \cos B = \frac{3}{5}$
$3 \cos A \cos B = \frac{3}{5}$
$\cos A \cos B = \frac{1}{5}$
अब,$\cos A \cos B = \frac{1}{5}$ को $(ii)$ में रखने पर:
$\sin A \sin B = 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
अतः,सही विकल्प $\cos A \cos B = \frac{1}{5}$ है।

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
मान लीजिए $A = 100^\circ$ और $B = 125^\circ$.
तब,$\tan(100^\circ + 125^\circ) = \frac{\tan 100^\circ + \tan 125^\circ}{1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ}$.
चूंकि $100^\circ + 125^\circ = 225^\circ$,इसलिए $\tan 225^\circ = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan 45^\circ = 1$.
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$1 = \frac{\tan 100^\circ + \tan 125^\circ}{1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ}$.
दोनों पक्षों को $(1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ)$ से गुणा करने पर:
$1 - \tan 100^\circ \tan 125^\circ = \tan 100^\circ + \tan 125^\circ$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\tan 100^\circ + \tan 125^\circ + \tan 100^\circ \tan 125^\circ = 1$.

(D) दिया गया है $\sin \alpha = \frac{15}{17}$ जहाँ $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (द्वितीय चतुर्थांश)। द्वितीय चतुर्थांश में $\cos \alpha$ ऋणात्मक होता है। अतः,$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - (\frac{15}{17})^2} = -\sqrt{\frac{289-225}{289}} = -\frac{8}{17}$।
दिया गया है $\tan \beta = \frac{12}{5}$ जहाँ $\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}$ (तृतीय चतुर्थांश)। तृतीय चतुर्थांश में $\sin \beta$ और $\cos \beta$ दोनों ऋणात्मक होते हैं। चूँकि $\tan \beta = \frac{12}{5}$,एक समकोण त्रिभुज में सम्मुख भुजा $12$ और आसन्न भुजा $5$ है,तो कर्ण $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ होगा। अतः,$\sin \beta = -\frac{12}{13}$ और $\cos \beta = -\frac{5}{13}$।
सूत्र $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\beta - \alpha) = (-\frac{12}{13})(-\frac{8}{17}) - (-\frac{5}{13})(\frac{15}{17})$
$= \frac{96}{221} - (-\frac{75}{221})$
$= \frac{96 + 75}{221} = \frac{171}{221}$।

(C) दिए गए समीकरण $\cos x + \cos y = -\cos \alpha$ $(i)$ और $\sin x + \sin y = -\sin \alpha$ $(ii)$ हैं।
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) = -\cos \alpha$ $(iii)$
$\sin x + \sin y = 2 \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right) = -\sin \alpha$ $(iv)$
समीकरण $(iii)$ को समीकरण $(iv)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)} = \frac{-\cos \alpha}{-\sin \alpha}$
$\cot \left( \frac{x+y}{2} \right) = \cot \alpha$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$(1) \sin \theta + \sin 2\theta + \sin 3\theta = \sin \alpha$
$(2) \cos \theta + \cos 2\theta + \cos 3\theta = \cos \alpha$
पहले समीकरण के लिए योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$(\sin 3\theta + \sin \theta) + \sin 2\theta = \sin \alpha$
$2 \sin 2\theta \cos \theta + \sin 2\theta = \sin \alpha$
$\sin 2\theta (2 \cos \theta + 1) = \sin \alpha$ ... $(i)$
दूसरे समीकरण के लिए योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$(\cos 3\theta + \cos \theta) + \cos 2\theta = \cos \alpha$
$2 \cos 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta = \cos \alpha$
$\cos 2\theta (2 \cos \theta + 1) = \cos \alpha$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\sin 2\theta (2 \cos \theta + 1)}{\cos 2\theta (2 \cos \theta + 1)} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
$\tan 2\theta = \tan \alpha$
अतः,$2\theta = \alpha$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \alpha / 2$.

(A) व्यंजक $\frac{{\cos {{10}^o} + \sin {{10}^o}}}{{\cos {{10}^o} - \sin {{10}^o}}}$ को हल करने के लिए,अंश और हर दोनों को $\cos {{10}^o}$ से विभाजित करें:
$= \frac{{\frac{{\cos {{10}^o}}}{{\cos {{10}^o}}} + \frac{{\sin {{10}^o}}}{{\cos {{10}^o}}}}}{{\frac{{\cos {{10}^o}}}{{\cos {{10}^o}}} - \frac{{\sin {{10}^o}}}{{\cos {{10}^o}}}}}$
$= \frac{{1 + \tan {{10}^o}}}{{1 - \tan {{10}^o}}}$
चूंकि $\tan {45^o} = 1$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= \frac{{\tan {{45}^o} + \tan {{10}^o}}}{{1 - \tan {{45}^o} \cdot \tan {{10}^o}}}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(A + B) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1 - \tan A \cdot \tan B}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = {45^o}$ और $B = {10^o}$:
$= \tan({45^o} + {10^o}) = \tan {55^o}$.

(B) दिया गया है: $\cos P = \frac{1}{7}$ और $\cos Q = \frac{13}{14}$।
चूंकि $P$ और $Q$ न्यून कोण हैं,इसलिए $\sin P = \sqrt{1 - \cos^2 P} = \sqrt{1 - (\frac{1}{7})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$।
इसी प्रकार,$\sin Q = \sqrt{1 - \cos^2 Q} = \sqrt{1 - (\frac{13}{14})^2} = \sqrt{1 - \frac{169}{196}} = \sqrt{\frac{27}{196}} = \frac{\sqrt{27}}{14} = \frac{3\sqrt{3}}{14}$।
सूत्र $\cos(P - Q) = \cos P \cos Q + \sin P \sin Q$ का उपयोग करने पर:
$\cos(P - Q) = (\frac{1}{7} \times \frac{13}{14}) + (\frac{4\sqrt{3}}{7} \times \frac{3\sqrt{3}}{14})$
$= \frac{13}{98} + \frac{12 \times 3}{98} = \frac{13 + 36}{98} = \frac{49}{98} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos(P - Q) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $P - Q = 60^o$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $\sec \theta + \tan \theta = \tan(\frac{\theta}{2} + 45^o)$। इस व्यंजक को त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरल किया जा सकता है।
मान लीजिए $x = \sec {50^o} + \tan {50^o} = \frac{1 + \sin {50^o}}{\cos {50^o}}$।
सर्वसमिकाओं $1 + \sin \theta = (\sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2})^2$ और $\cos \theta = \cos^2 \frac{\theta}{2} - \sin^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{(\cos {25^o} + \sin {25^o})^2}{(\cos {25^o} - \sin {25^o})(\cos {25^o} + \sin {25^o})} = \frac{\cos {25^o} + \sin {25^o}}{\cos {25^o} - \sin {25^o}} = \tan(45^o + 25^o) = \tan {70^o}$।
अब,सर्वसमिका $\tan(70^o - 20^o) = \tan {50^o} = \frac{\tan {70^o} - \tan {20^o}}{1 + \tan {70^o} \tan {20^o}}$ पर विचार करें।
चूंकि $\tan {70^o} = \cot {20^o}$,इसलिए $\tan {70^o} \tan {20^o} = 1$।
अतः,$\tan {50^o} = \frac{\tan {70^o} - \tan {20^o}}{1 + 1} = \frac{\tan {70^o} - \tan {20^o}}{2}$।
$2 \tan {50^o} = \tan {70^o} - \tan {20^o}$।
$\tan {70^o} = 2 \tan {50^o} + \tan {20^o}$।
चूंकि $\sec {50^o} + \tan {50^o} = \tan {70^o}$,इसलिए $\sec {50^o} + \tan {50^o} = \tan {20^o} + 2 \tan {50^o}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\tan \alpha = \frac{1}{1 + 2^{-x}} = \frac{2^x}{2^x + 1}$ और $\tan \beta = \frac{1}{1 + 2^{x+1}}$.
सूत्र $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{2^x}{2^x + 1} + \frac{1}{1 + 2^{x+1}}}{1 - \left(\frac{2^x}{2^x + 1}\right) \left(\frac{1}{1 + 2^{x+1}}\right)}$
अंश का सरलीकरण करने पर: $\frac{2^x(1 + 2^{x+1}) + (2^x + 1)}{(2^x + 1)(1 + 2^{x+1})} = \frac{2^x + 2^{2x+1} + 2^x + 1}{(2^x + 1)(1 + 2^{x+1})} = \frac{2 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{2x} + 1}{(2^x + 1)(1 + 2^{x+1})}$.
हर का सरलीकरण करने पर: $\frac{(2^x + 1)(1 + 2^{x+1}) - 2^x}{(2^x + 1)(1 + 2^{x+1})} = \frac{2^x + 2^{2x+1} + 1 + 2^{x+1} - 2^x}{(2^x + 1)(1 + 2^{x+1})} = \frac{2^{2x+1} + 2^{x+1} + 1}{(2^x + 1)(1 + 2^{x+1})}$.
चूंकि अंश और हर समान हैं, इसलिए $\tan(\alpha + \beta) = 1$.
अतः, $\alpha + \beta = \pi / 4$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\cot 70^\circ + 4\cos 70^\circ$
$= \frac{\cos 70^\circ}{\sin 70^\circ} + 4\cos 70^\circ$
$= \frac{\cos 70^\circ + 4\sin 70^\circ \cos 70^\circ}{\sin 70^\circ}$
$= \frac{\cos 70^\circ + 2\sin 140^\circ}{\sin 70^\circ}$
$= \frac{\cos 70^\circ + 2\sin(180^\circ - 40^\circ)}{\sin 70^\circ}$
$= \frac{\cos 70^\circ + 2\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$
$= \frac{\sin 20^\circ + 2\sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}$
$= \frac{\sin 20^\circ + \sin 40^\circ + \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}$
$= \frac{2\sin 30^\circ \cos 10^\circ + \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}$
$= \frac{\cos 10^\circ + \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ + \sin 40^\circ}{\cos 20^\circ}$
$= \frac{2\sin 60^\circ \cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $2\cos \frac{\pi }{13} \cos \frac{9\pi }{13} + \cos \frac{3\pi }{13} + \cos \frac{5\pi }{13}$
अंतिम दो पदों के लिए योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\cos \frac{3\pi }{13} + \cos \frac{5\pi }{13} = 2\cos \frac{8\pi / 13}{2} \cos \frac{-2\pi / 13}{2} = 2\cos \frac{4\pi }{13} \cos \frac{\pi }{13}$
इस मान को व्यंजक में वापस रखने पर:
$= 2\cos \frac{\pi }{13} \cos \frac{9\pi }{13} + 2\cos \frac{4\pi }{13} \cos \frac{\pi }{13}$
$= 2\cos \frac{\pi }{13} \left( \cos \frac{9\pi }{13} + \cos \frac{4\pi }{13} \right)$
पुनः $\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= 2\cos \frac{\pi }{13} \left( 2\cos \frac{13\pi / 13}{2} \cos \frac{5\pi / 13}{2} \right)$
$= 2\cos \frac{\pi }{13} \left( 2\cos \frac{\pi }{2} \cos \frac{5\pi }{26} \right)$
चूंकि $\cos \frac{\pi }{2} = 0$ है,इसलिए पूरे व्यंजक का मान $0$ है।

(B) दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{12}{13}$ और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ (प्रथम चतुर्थांश),इसलिए $\cos \theta$ धनात्मक है।
$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$.
दिया गया है कि $\cos \phi = -\frac{3}{5}$ और $\pi < \phi < \frac{3\pi}{2}$ (तृतीय चतुर्थांश),इसलिए $\sin \phi$ ऋणात्मक है।
$\sin \phi = -\sqrt{1 - \cos^2 \phi} = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.
सर्वसमिका $\sin(\theta + \phi) = \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$\sin(\theta + \phi) = (\frac{12}{13})(-\frac{3}{5}) + (\frac{5}{13})(-\frac{4}{5})$
$= -\frac{36}{65} - \frac{20}{65} = -\frac{56}{65}$.

(D) दिया गया है: $\tan A - \tan B = x$ और $\cot B - \cot A = y.$
हम जानते हैं कि $\cot B - \cot A = \frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A} = \frac{\tan A - \tan B}{\tan A \tan B} = y.$
$x = \tan A - \tan B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x}{\tan A \tan B} = y$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan A \tan B = \frac{x}{y}.$
अब,$\cot (A - B) = \frac{1}{\tan (A - B)} = \frac{1 + \tan A \tan B}{\tan A - \tan B}.$
मान रखने पर,$\cot (A - B) = \frac{1 + \frac{x}{y}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}.$

(C) हम जानते हैं कि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ होता है।
व्यंजक $E = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 54^\circ$ पर विचार करें।
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{1}{2} [\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)] \sin 54^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - \cos 60^\circ] \sin 54^\circ$
चूंकि $\cos 60^\circ = 1/2$ और $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$ है:
$E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - 1/2] \cos 36^\circ$
$E = \frac{1}{2} [\cos^2 36^\circ - \frac{1}{2} \cos 36^\circ]$
$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ रखने पर:
$E = \frac{1}{2} [(\frac{\sqrt{5} + 1}{4})^2 - \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{5} + 1}{4})]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{5 + 1 + 2\sqrt{5}}{16} - \frac{\sqrt{5} + 1}{8}]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{6 + 2\sqrt{5}}{16} - \frac{2\sqrt{5} + 2}{16}]$
$E = \frac{1}{2} [\frac{4}{16}] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

(D) हम कोसाइन के गुणनफल के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta \dots \cos 2^{n-1}\theta = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$.
यहाँ,$\theta = \frac{\pi}{5}$ और $n = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{4\pi}{5} \cos \frac{8\pi}{5} = \frac{\sin(2^4 \cdot \frac{\pi}{5})}{2^4 \sin \frac{\pi}{5}} = \frac{\sin(\frac{16\pi}{5})}{16 \sin \frac{\pi}{5}}$.
अब,$\frac{16\pi}{5}$ को $3\pi + \frac{\pi}{5}$ के रूप में व्यक्त करें।
चूंकि $\sin(3\pi + \theta) = -\sin \theta$,इसलिए $\sin(\frac{16\pi}{5}) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{5}) = -\sin \frac{\pi}{5}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में वापस रखने पर:
$\frac{-\sin \frac{\pi}{5}}{16 \sin \frac{\pi}{5}} = -\frac{1}{16}$.

(C) दी गई व्यंजक: $\frac{{\cos 12^\circ - \sin 12^\circ }}{{\cos 12^\circ + \sin 12^\circ }} + \frac{{\sin 147^\circ }}{{\cos 147^\circ }}$
प्रथम पद के अंश और हर को $\cos 12^\circ$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{{1 - \tan 12^\circ }}{{1 + \tan 12^\circ }} + \tan 147^\circ $
सूत्र $\tan(45^\circ - A) = \frac{{1 - \tan A}}{{1 + \tan A}}$ का उपयोग करने पर,प्रथम पद $\tan(45^\circ - 12^\circ) = \tan 33^\circ$ हो जाता है।
दूसरे पद के लिए,$\tan 147^\circ = \tan(180^\circ - 33^\circ) = -\tan 33^\circ$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \tan 33^\circ + (-\tan 33^\circ) = 0$.

(C) हम सर्वसमिका $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) \tan(60^\circ + \theta) = \tan 3\theta$ का उपयोग करते हैं।
$\theta = 20^\circ$ के लिए,हमारे पास $\tan 20^\circ \tan(60^\circ - 20^\circ) \tan(60^\circ + 20^\circ) = \tan(3 \times 20^\circ) = \tan 60^\circ$ है।
अतः,$\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$।
अब,दिया गया व्यंजक $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 60^\circ \tan 80^\circ$ है।
गुणनफल $\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ) \times \tan 60^\circ = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$।

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos \theta \cos(2\theta) \cos(4\theta) \dots \cos(2^{n-1}\theta) = \frac{\sin(2^n \theta)}{2^n \sin \theta}$.
यहाँ,$\theta = 20^\circ$ और $n = 3$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{\sin(2^3 \times 20^\circ)}{2^3 \sin 20^\circ}$.
$= \frac{\sin(160^\circ)}{8 \sin 20^\circ}$.
चूंकि $\sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$ होता है,इसलिए:
$= \frac{\sin 20^\circ}{8 \sin 20^\circ} = \frac{1}{8}$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin 108^\circ = \sin(180^\circ - 72^\circ) = \sin 72^\circ$ और $\sin 144^\circ = \sin(180^\circ - 36^\circ) = \sin 36^\circ$ होता है।
अतः,व्यंजक $\sin^2 36^\circ \sin^2 72^\circ = (\sin 36^\circ \sin 72^\circ)^2$ बन जाता है।
$\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ और $\sin 72^\circ = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$ मानों का उपयोग करने पर:
$\sin 36^\circ \sin 72^\circ = \frac{\sqrt{(10 - 2\sqrt{5})(10 + 2\sqrt{5})}}{16} = \frac{\sqrt{100 - 20}}{16} = \frac{\sqrt{80}}{16} = \frac{4\sqrt{5}}{16} = \frac{\sqrt{5}}{4}$।
इस परिणाम का वर्ग करने पर,हमें $(\frac{\sqrt{5}}{4})^2 = \frac{5}{16}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\cos A = m \cos B,$ जिसका अर्थ है $\frac{m}{1} = \frac{\cos A}{\cos B}.$
योगांतरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{m + 1}{m - 1} = \frac{\cos A + \cos B}{\cos A - \cos B}.$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$
$\cos A - \cos B = 2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{B - A}{2} \right).$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{m + 1}{m - 1} = \frac{2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \sin \left( \frac{B - A}{2} \right)} = \cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \frac{\cos \left( \frac{A - B}{2} \right)}{\sin \left( \frac{B - A}{2} \right)}.$
चूंकि $\cos \left( \frac{A - B}{2} \right) = \cos \left( \frac{B - A}{2} \right),$ इसलिए:
$\frac{m + 1}{m - 1} = \cot \left( \frac{A + B}{2} \right) \cot \left( \frac{B - A}{2} \right).$
अतः,$\cot \left( \frac{A + B}{2} \right) = \frac{m + 1}{m - 1} \tan \left( \frac{B - A}{2} \right).$

(B) दिया गया है: $x = \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ$
$2 \sin 10^\circ$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = \frac{2 \sin 10^\circ \cos 10^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2 \sin 10^\circ}$
$2 \sin A \cos A = \sin 2A$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{2 \sin 10^\circ}$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = \frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ}{4 \sin 10^\circ} = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{4 \sin 10^\circ}$
पुनः $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = \frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{8 \sin 10^\circ} = \frac{\sin 80^\circ}{8 \sin 10^\circ}$
चूंकि $\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$:
$x = \frac{\cos 10^\circ}{8 \sin 10^\circ} = \frac{1}{8} \cot 10^\circ$.

(A) हमें गुणनफल $P = \sin 12^\circ \sin 24^\circ \sin 48^\circ \sin 84^\circ$ का मान ज्ञात करना है।
सूत्र $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{4} (2 \sin 12^\circ \sin 48^\circ) (2 \sin 24^\circ \sin 84^\circ)$
$P = \frac{1}{4} (\cos 36^\circ - \cos 60^\circ) (\cos 60^\circ - \cos 108^\circ)$
चूंकि $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,$\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$,और $\cos 108^\circ = -\sin 18^\circ = -\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ है:
$P = \frac{1}{4} (\frac{\sqrt{5}+1}{4} - \frac{1}{2}) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}-1}{4}) = \frac{1}{4} (\frac{\sqrt{5}-1}{4}) (\frac{\sqrt{5}+1}{4}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{5-1}{16} = \frac{1}{16}$.
अब,विकल्प $A$ का मूल्यांकन करें: $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ$.
सर्वसमिका $\cos \theta \cos(60^\circ - \theta) \cos(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{4} \cos(3 \times 20^\circ) = \frac{1}{4} \cos 60^\circ = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
अतः,$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 60^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.
दोनों व्यंजकों का मान $\frac{1}{16}$ है,इसलिए विकल्प $A$ सही है।

(A) हम जानते हैं कि $3A = 2A + A$ होता है।
दोनों पक्षों में टेंजेंट लेने पर: $\tan 3A = \tan(2A + A)$।
सूत्र $\tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 3A = \frac{\tan 2A + \tan A}{1 - \tan 2A \tan A}$।
तिर्यक गुणा (cross-multiplication) करने पर:
$\tan 3A(1 - \tan 2A \tan A) = \tan 2A + \tan A$।
$\tan 3A - \tan 3A \tan 2A \tan A = \tan 2A + \tan A$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan 3A - \tan 2A - \tan A = \tan 3A \tan 2A \tan A$।

(D) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B)\cos(A - B)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = \frac{\pi}{4} - \beta$ और $B = \alpha - \frac{\pi}{4}$ है।
तब,$A + B = \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) + \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \alpha - \beta$ होगा।
और $A - B = \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) - \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)$ होगा।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - \beta \right) - \sin^2 \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) = \cos(\alpha - \beta)\cos\left( \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta) \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$= \cos(\alpha - \beta)\sin(\alpha + \beta)$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\tan 9^\circ - \tan 27^\circ - \tan 63^\circ + \tan 81^\circ$
$\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\tan 63^\circ = \cot 27^\circ$ और $\tan 81^\circ = \cot 9^\circ$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= (\tan 9^\circ + \cot 9^\circ) - (\tan 27^\circ + \cot 27^\circ)$
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$= \frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ}$
$= 2 \left( \frac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^\circ \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right)$
चूंकि $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$,व्यंजक का सरलीकरण:
$= 2 \times 2 = 4$

(C) व्यंजक $\frac{\sin 3\theta + \sin 5\theta + \sin 7\theta + \sin 9\theta}{\cos 3\theta + \cos 5\theta + \cos 7\theta + \cos 9\theta}$ को हल करने के लिए,हम अंश और हर के पदों को समूहबद्ध करते हैं:
अंश: $(\sin 9\theta + \sin 3\theta) + (\sin 7\theta + \sin 5\theta)$
हर: $(\cos 9\theta + \cos 3\theta) + (\cos 7\theta + \cos 5\theta)$
योग-से-गुणनफल सूत्रों $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ और $\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करते हुए:
अंश $= 2 \sin 6\theta \cos 3\theta + 2 \sin 6\theta \cos \theta = 2 \sin 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)$
हर $= 2 \cos 6\theta \cos 3\theta + 2 \cos 6\theta \cos \theta = 2 \cos 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\frac{2 \sin 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)}{2 \cos 6\theta (\cos 3\theta + \cos \theta)} = \frac{\sin 6\theta}{\cos 6\theta} = \tan 6\theta$.

(B) दी गई व्यंजक: $\sin {163^\circ} \cos {347^\circ} + \sin {73^\circ} \sin {167^\circ}$
रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin {163^\circ} = \sin (180^\circ - 17^\circ) = \sin {17^\circ}$
$\cos {347^\circ} = \cos (360^\circ - 13^\circ) = \cos {13^\circ}$
$\sin {73^\circ} = \cos (90^\circ - 73^\circ) = \cos {17^\circ}$
$\sin {167^\circ} = \sin (180^\circ - 13^\circ) = \sin {13^\circ}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin {17^\circ} \cos {13^\circ} + \cos {17^\circ} \sin {13^\circ}$
सर्वसमिका $\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$= \sin (17^\circ + 13^\circ) = \sin {30^\circ}$
चूंकि $\sin {30^\circ} = 1/2$,इसलिए अंतिम उत्तर $1/2$ है।

(A) त्रिकोणमितीय फलनों के लिए रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin 600^\circ = \sin(360^\circ + 240^\circ) = \sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 330^\circ = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$
$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sin 600^\circ \cos 330^\circ + \cos 120^\circ \sin 150^\circ = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$
$= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$.

(B) योग से गुणनफल के सूत्र $\cos(X + Y) + \cos(X - Y) = 2 \cos X \cos Y$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\cos(240^\circ + A) + \cos(240^\circ - A) = 2 \cos 240^\circ \cos A$
चूंकि $\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$,
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$2 \cos 240^\circ \cos A = 2 \left( -\frac{1}{2} \right) \cos A = -\cos A$
अब,मूल व्यंजक में मान रखने पर:
$\cos A + (-\cos A) = 0$.

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\cos^2 A - \sin^2 B = \cos(A + B) \cos(A - B)$.
माना $A = \frac{\pi}{6} + \theta$ और $B = \frac{\pi}{6} - \theta$.
तब,$A + B = \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) + \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
और,$A - B = \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = 2\theta$.
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos^2 \left( \frac{\pi}{6} + \theta \right) - \sin^2 \left( \frac{\pi}{6} - \theta \right) = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos(2\theta)$.
चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}$,इसलिए व्यंजक $\frac{1}{2} \cos 2\theta$ हो जाता है।