Trigonometry Questions in Hindi

(A) दिया गया व्यंजक: $(1+\cot A)^{2}+(1-\cot A)^{2}$
$(a+b)^{2} = a^{2}+b^{2}+2ab$ और $(a-b)^{2} = a^{2}+b^{2}-2ab$ सर्वसमिकाओं का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर:
$= (1 + \cot^{2} A + 2 \cot A) + (1 + \cot^{2} A - 2 \cot A)$
समान पदों को जोड़ने पर:
$= 1 + \cot^{2} A + 2 \cot A + 1 + \cot^{2} A - 2 \cot A$
$= 2 + 2 \cot^{2} A$
$2$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= 2(1 + \cot^{2} A)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cot^{2} A = \operatorname{cosec}^{2} A$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \operatorname{cosec}^{2} A$

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\cot A \cdot \cot B - 1}{\cot B + \cot A}$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{1}{\tan A} \cdot \frac{1}{\tan B} - 1}{\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan A}}$
अंश और हर को सरल करने पर:
$= \frac{\frac{1 - \tan A \cdot \tan B}{\tan A \cdot \tan B}}{\frac{\tan A + \tan B}{\tan A \cdot \tan B}}$
$= \frac{1 - \tan A \cdot \tan B}{\tan A + \tan B}$
हम जानते हैं कि $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}$ होता है।
अतः,यह व्यंजक $\frac{1}{\tan (A + B)}$ के बराबर है।
$= \cot (A + B)$

(D) दिया गया है कि $\theta+\phi=\frac{2 \pi}{3}$ और $\cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}.$
चूंकि $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2},$ हम जानते हैं कि $\theta = \frac{\pi}{6}$ (या $30^{\circ}$).
$\theta$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$\frac{\pi}{6} + \phi = \frac{2 \pi}{3}$
$\phi = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi}{6}$
$\phi = \frac{4 \pi - \pi}{6} = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2}$
अब,हमें $\sin \phi$ का मान ज्ञात करना है:
$\sin \phi = \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1.$

(C) दिया गया है $(1+\tan ^{2} \theta)=\frac{625}{49}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1+\tan ^{2} \theta=\sec ^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,$\sec ^{2} \theta=\frac{625}{49}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$\sec \theta=\frac{25}{7}$ (चूंकि $\theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\sec \theta$ धनात्मक है)।
अतः,$\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta}=\frac{7}{25}$.
$\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin \theta=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} = \sqrt{1-\left(\frac{7}{25}\right)^{2}}$.
$\sin \theta = \sqrt{1-\frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625-49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
अब,$\sqrt{\sin \theta+\cos \theta} = \sqrt{\frac{24}{25}+\frac{7}{25}}$ की गणना करने पर।
$= \sqrt{\frac{31}{25}} = \frac{\sqrt{31}}{5}$.

(D) दी गई व्यंजक: $\left[\frac{\sec ^{3} x-\tan ^{3} x}{\sec x-\tan x}\right]-2 \tan ^{2} x-\sec x \tan x$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \sec x$ और $b = \tan x$ है:
$= \frac{(\sec x - \tan x)(\sec^2 x + \tan^2 x + \sec x \tan x)}{\sec x - \tan x} - 2 \tan^2 x - \sec x \tan x$
$= (\sec^2 x + \tan^2 x + \sec x \tan x) - 2 \tan^2 x - \sec x \tan x$
$= \sec^2 x + \tan^2 x - 2 \tan^2 x + \sec x \tan x - \sec x \tan x$
$= \sec^2 x - \tan^2 x$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,सरलीकृत मान $1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण: $\sin \theta + \sin 5 \theta = \sin 3 \theta$
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \frac{\theta + 5 \theta}{2} \cos \frac{5 \theta - \theta}{2} = \sin 3 \theta$
$2 \sin 3 \theta \cos 2 \theta = \sin 3 \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 \sin 3 \theta \cos 2 \theta - \sin 3 \theta = 0$
$\sin 3 \theta (2 \cos 2 \theta - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin 3 \theta = 0$. चूँकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 3 \theta < \frac{3 \pi}{2}$. अतः $3 \theta = \pi$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2 \cos 2 \theta - 1 = 0 \implies \cos 2 \theta = \frac{1}{2} = \cos 60^{\circ}$.
$2 \theta = 60^{\circ} \implies \theta = 30^{\circ}$.
$0 < \theta < 90^{\circ}$ की सीमा की जाँच करने पर,$30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ दोनों मान्य हैं। हालाँकि,आमतौर पर सबसे छोटा धनात्मक मान लिया जाता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$30^{\circ}$ सही उत्तर है।

(C) $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के अंतराल के लिए,$\sin \theta$ का मान $0$ और $1$ के बीच होता है,अर्थात $0 < \sin \theta < 1$.
माना $x = \sin \theta$. चूँकि $0 < x < 1$,दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर हमें $x^2 < x$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin^{2} \theta < \sin \theta$,जिसे $\sin \theta > \sin^{2} \theta$ के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण: माना $\theta = 30^{\circ}$.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ और $\sin^{2} 30^{\circ} = (0.5)^{2} = 0.25$.
चूँकि $0.5 > 0.25$,अतः यह सिद्ध होता है कि $\sin \theta > \sin^{2} \theta$।

(B) दिया गया है: $\cos ^{2} x+\cos ^{4} x=1$
हम जानते हैं कि $\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x$ होता है।
दिए गए समीकरण से,$\cos ^{4} x = 1 - \cos ^{2} x$,जिसका अर्थ है कि $\cos ^{4} x = \sin ^{2} x$ है।
अब,व्यंजक $\tan ^{2} x+\tan ^{4} x$ पर विचार करें।
$= \tan ^{2} x (1 + \tan ^{2} x)$
$= \tan ^{2} x (\sec ^{2} x)$
$= \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}$
$= \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{4} x}$
चूंकि $\sin ^{2} x = \cos ^{4} x$,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$= \frac{\cos ^{4} x}{\cos ^{4} x} = 1$.

(B) दिया गया है: $\sec \theta + \tan \theta = m$ ....$(i)$
हम जानते हैं कि सर्वसमिका: $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1$
$(a^{2} - b^{2}) = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$
इसमें $(i)$ का मान रखने पर:
$(\sec \theta - \tan \theta) \cdot m = 1 \Rightarrow \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{m}$ ....$(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2 \sec \theta = m + \frac{1}{m} = \frac{m^{2} + 1}{m} \Rightarrow \sec \theta = \frac{m^{2} + 1}{2m}$
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{2m}{m^{2} + 1}$।
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$2 \tan \theta = m - \frac{1}{m} = \frac{m^{2} - 1}{m} \Rightarrow \tan \theta = \frac{m^{2} - 1}{2m}$
अब,$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \left( \frac{m^{2} - 1}{2m} \right) \cdot \left( \frac{2m}{m^{2} + 1} \right) = \frac{m^{2} - 1}{m^{2} + 1}$।

(C) दिया गया है कि $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है $A+B = 120^{\circ}$।
किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A+B+C = 180^{\circ}$ होता है।
$A+B = 120^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $120^{\circ} + C = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $C = 60^{\circ}$।
अब,हमें $\sin \frac{C}{2} = \sin \frac{60^{\circ}}{2} = \sin 30^{\circ}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए अंतिम मान $\frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया है: $\sqrt{2} \tan 2 \theta = \sqrt{6}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\tan 2 \theta = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए:
$2 \theta = 60^{\circ}$
$\theta = 30^{\circ}$
अब,$\theta = 30^{\circ}$ का मान व्यंजक $\sin \theta + \sqrt{3} \cos \theta - 2 \tan^{2} \theta$ में रखने पर:
$= \sin 30^{\circ} + \sqrt{3} \cos 30^{\circ} - 2 \tan^{2} 30^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मानों $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} + \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - 2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}$
$= \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 \left( \frac{1}{3} \right)$
$= \frac{4}{2} - \frac{2}{3}$
$= 2 - \frac{2}{3} = \frac{6-2}{3} = \frac{4}{3}$

(C) मान लीजिए पेड़ $AB$ है और यह बिंदु $C$ पर टूट जाता है। ऊपरी हिस्सा $AC$ जमीन को बिंदु $D$ पर छूता है।
दिया गया है: $BD = 10 \text{ m}$ और $\angle BDC = 60^{\circ}$।
$\triangle BCD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{BC}{BD} \implies \sqrt{3} = \frac{BC}{10} \implies BC = 10\sqrt{3} \text{ m}$।
साथ ही,$\cos 60^{\circ} = \frac{BD}{CD} \implies \frac{1}{2} = \frac{10}{CD} \implies CD = 20 \text{ m}$।
चूँकि $AC = CD$,इसलिए पेड़ की मूल ऊँचाई $AB = BC + AC = BC + CD = 10\sqrt{3} + 20 = 10(2 + \sqrt{3}) \text{ m}$ है।

(C) माना $AB$ दीवार है और $AD$ सीढ़ी की प्रारंभिक स्थिति है। सीढ़ी का निचला सिरा $D$ पर है,जहाँ $BD = 10 \, ft$ है।
$\triangle ABD$ में,$\angle ADB = 60^{\circ}$ और $\angle B = 90^{\circ}$ है।
$\cos 60^{\circ} = \frac{BD}{AD} \implies \frac{1}{2} = \frac{10}{AD} \implies AD = 20 \, ft$.
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD} \implies \sqrt{3} = \frac{AB}{10} \implies AB = 10\sqrt{3} \, ft$.
जब सीढ़ी फिसलती है,तो नई स्थिति $EC$ है,जहाँ $EC = AD = 20 \, ft$ (सीढ़ी की लंबाई समान रहती है)।
$\triangle EBC$ में,$\angle ECB = 30^{\circ}$ और $\angle B = 90^{\circ}$ है।
$\sin 30^{\circ} = \frac{EB}{EC} \implies \frac{1}{2} = \frac{EB}{20} \implies EB = 10 \, ft$.
सीढ़ी दीवार के शीर्ष से जितनी नीचे फिसली है,वह दूरी $AE = AB - EB = 10\sqrt{3} - 10 = 10(\sqrt{3} - 1) \, ft$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$AE = 10(1.732 - 1) = 10(0.732) = 7.32 \, ft$।

(C) माना $AC$ स्तंभ की ऊँचाई $= h \ m$ है।
माना $B$ और $D$ एक ही क्षैतिज रेखा पर स्थित दो बिंदु हैं ताकि $\angle ABC = \theta$ और $\angle ADC = \phi$ हो।
$\triangle ADC$ में,$\tan \phi = \frac{AC}{CD} = \frac{h}{CD}$,इसलिए $CD = h \cot \phi$ है।
$\triangle ABC$ में,$\tan \theta = \frac{AC}{CB} = \frac{h}{CB}$,इसलिए $CB = h \cot \theta$ है।
दोनों बिंदुओं $B$ और $D$ के बीच की दूरी $BD = CB - CD$ है।
मान रखने पर,$BD = h \cot \theta - h \cot \phi = h(\cot \theta - \cot \phi)$।

(A) दिया गया है: $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ होता है। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\sin \theta + (1 - \cos^2 \theta) = 1$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$\sin \theta - \cos^2 \theta = 0$
अतः,$\sin \theta = \cos^2 \theta$.
अब,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\sin^2 \theta = (\cos^2 \theta)^2$
$\sin^2 \theta = \cos^4 \theta$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 - \cos^2 \theta = \cos^4 \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$1 = \cos^2 \theta + \cos^4 \theta$
इस प्रकार,$\cos^2 \theta + \cos^4 \theta$ का मान $1$ है।

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\cos ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 60^{\circ}}+\frac{\cos ^{2} 60^{\circ}}{\sin ^{2} 45^{\circ}}-\frac{\tan ^{2} 30^{\circ}}{\cot ^{2} 45^{\circ}}-\frac{\sin ^{2} 30^{\circ}}{\cot ^{2} 30^{\circ}}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\cot 45^{\circ} = 1$,$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$.
$\Rightarrow \frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}} + \frac{(\frac{1}{2})^{2}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}} - \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}}{(1)^{2}} - \frac{(\frac{1}{2})^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}$
$\Rightarrow \frac{1/2}{3/4} + \frac{1/4}{1/2} - \frac{1/3}{1} - \frac{1/4}{3}$
$\Rightarrow (\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}) + (\frac{1}{4} \times 2) - \frac{1}{3} - \frac{1}{12}$
$\Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{12}$
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर: $\frac{8 + 6 - 4 - 1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

(A) दिया गया है: $x \cos \theta - \sin \theta = 1$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x \cos \theta = 1 + \sin \theta$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 \cos^2 \theta = (1 + \sin \theta)^2$
$x^2 (1 - \sin^2 \theta) = (1 + \sin \theta)^2$
$x^2 (1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta) = (1 + \sin \theta)^2$
चूंकि $1 + \sin \theta \neq 0$,इसलिए $(1 + \sin \theta)$ से भाग देने पर:
$x^2 (1 - \sin \theta) = 1 + \sin \theta$
$x^2 - x^2 \sin \theta = 1 + \sin \theta$
$x^2 - 1 = x^2 \sin \theta + \sin \theta$
$x^2 - 1 = (1 + x^2) \sin \theta$
$x^2 - (1 + x^2) \sin \theta = 1$

(A) दी गई व्यंजक: $\tan 4^{\circ} \tan 43^{\circ} \tan 47^{\circ} \tan 86^{\circ}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करने पर:
$\tan 4^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 86^{\circ}) = \cot 86^{\circ}$।
इसी प्रकार,$\tan 43^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 47^{\circ}) = \cot 47^{\circ}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\cot 86^{\circ} \times \tan 86^{\circ}) \times (\cot 47^{\circ} \times \tan 47^{\circ})$।
चूंकि $\tan \theta \times \cot \theta = 1$:
$1 \times 1 = 1$।

(A) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ होती है।
इसे गुणनखंडित करने पर $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}}(\sec \theta + \tan \theta) = 1 \implies \sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$।
अब,हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1) \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$2) \sec \theta + \tan \theta = \sqrt{3}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sec \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = \frac{1+3}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies \sec \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
दूसरे समीकरण में से पहला समीकरण घटाने पर: $2 \tan \theta = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \implies \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\sec \theta \cdot \tan \theta = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2}{3}$।

(A) दिया गया है: $\tan A = n \tan B$ और $\sin A = m \sin B$.
प्रथम समीकरण से: $\frac{\sin A}{\cos A} = n \frac{\sin B}{\cos B} \Rightarrow \frac{\sin A}{\sin B} = n \frac{\cos A}{\cos B}$.
चूंकि $\sin A = m \sin B$,इसलिए $\frac{\sin A}{\sin B} = m$.
$\frac{\sin A}{\sin B}$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $m = n \frac{\cos A}{\cos B}$,जिसका अर्थ है $\cos B = \frac{n}{m} \cos A$.
साथ ही,$\sin A = m \sin B$ से,$\sin B = \frac{1}{m} \sin A$.
सर्वसमिका $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{1}{m} \sin A)^2 + (\frac{n}{m} \cos A)^2 = 1$.
$\frac{1}{m^2} \sin^2 A + \frac{n^2}{m^2} \cos^2 A = 1$.
$\sin^2 A + n^2 \cos^2 A = m^2$.
$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 - \cos^2 A) + n^2 \cos^2 A = m^2$.
$(n^2 - 1) \cos^2 A = m^2 - 1$.
अतः,$\cos^2 A = \frac{m^2 - 1}{n^2 - 1}$.

(B) दिया गया समीकरण $\tan \theta - \cot \theta = 0$ है।
इसका अर्थ है $\tan \theta = \cot \theta$.
चूँकि $\cot \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$,इसलिए $\tan \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$.
कोणों की तुलना करने पर,$\theta = 90^{\circ} - \theta$,जिससे $2\theta = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $\theta = 45^{\circ}$.
अब,$\theta = 45^{\circ}$ को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\tan(45^{\circ} + 15^{\circ})}{\tan(45^{\circ} - 15^{\circ})} = \frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}}$.
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ और $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,
अतः व्यंजक का मान $\frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$ होगा।

(B) दिया गया समीकरण: $\sin A + \sin^2 A = 1$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sin A = 1 - \sin^2 A$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ का उपयोग करते हुए,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $\sin A = \cos^2 A$.
अब,हमें $\cos^2 A + \cos^4 A$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक में $\cos^2 A = \sin A$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos^2 A + (\cos^2 A)^2 = \sin A + (\sin A)^2$.
चूंकि हम जानते हैं कि $\sin A + \sin^2 A = 1$,इसलिए इस व्यंजक का मान $1$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $7 \sin^{2} \theta + 3 \cos^{2} \theta = 4$.
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta = 1 - \sin^{2} \theta$ का उपयोग करते हुए:
$7 \sin^{2} \theta + 3(1 - \sin^{2} \theta) = 4$
$7 \sin^{2} \theta + 3 - 3 \sin^{2} \theta = 4$
$4 \sin^{2} \theta = 4 - 3$
$4 \sin^{2} \theta = 1$
$\sin^{2} \theta = 1/4$
चूँकि $\theta$ न्यूनकोण है,इसलिए $\sin \theta = 1/2$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$.
इसलिए,$\tan \theta = \tan 30^{\circ} = 1/\sqrt{3}$.

(A) दिया गया समीकरण: $5 \cos \theta + 12 \sin \theta = 13$ है।
दोनों पक्षों को $13$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{13} \cos \theta + \frac{12}{13} \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होती है। इसे मानक रूप $\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta = \cos(\theta - \alpha) = 1$ के साथ तुलना करने पर,हम $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ और $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ ले सकते हैं।
अतः $\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta = 1 \implies \cos(\theta - \alpha) = 1$ है।
चूंकि $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ है,इसलिए $\theta = \alpha$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \sin \alpha = \frac{12}{13}$।

(C) दी गई व्यंजक $E = \cos 41^{\circ} \cdot \cos 42^{\circ} \cdot \cos 43^{\circ} \cdot \cos 44^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \cdot \cos 46^{\circ} \cdot \cos 47^{\circ} \cdot \cos 48^{\circ} \cdot \cos 49^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$E = \cos 41^{\circ} \cdot \cos 42^{\circ} \cdot \cos 43^{\circ} \cdot \cos 44^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} \cdot \sin 44^{\circ} \cdot \sin 43^{\circ} \cdot \sin 42^{\circ} \cdot \sin 41^{\circ}$.
समान कोण वाले पदों को समूहबद्ध करने पर:
$E = (\sin 41^{\circ} \cos 41^{\circ}) \cdot (\sin 42^{\circ} \cos 42^{\circ}) \cdot (\sin 43^{\circ} \cos 43^{\circ}) \cdot (\sin 44^{\circ} \cos 44^{\circ}) \cdot \cos 45^{\circ}$.
सर्वसमिका $\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{1}{2^4} \sin 82^{\circ} \cdot \sin 84^{\circ} \cdot \sin 86^{\circ} \cdot \sin 88^{\circ} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
यदि प्रश्न में $\cos 90^{\circ}$ शामिल होता,तो उत्तर $0$ होता। दिए गए विकल्पों के आधार पर,यदि इस श्रृंखला में $\cos 90^{\circ}$ को शामिल माना जाए,तो सही उत्तर $0$ है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$x = a \sin \theta - b \cos \theta$ ..... $(1)$
$y = a \cos \theta + b \sin \theta$ ..... $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$x^{2} = (a \sin \theta - b \cos \theta)^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta$ ..... $(3)$
$y^{2} = (a \cos \theta + b \sin \theta)^{2} = a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta$ ..... $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$x^{2} + y^{2} = a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta + a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) + b^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} + y^{2} = a^{2}(1) + b^{2}(1)$
$x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$

(D) मान लीजिए टेलीग्राफ के खंभे की मूल ऊंचाई $AB$ है। यह बिंदु $C$ पर मुड़ जाता है। ऊपरी सिरा $A$ जमीन पर बिंदु $D$ को छूता है।
दिया गया है: $BD = 10 \sqrt{3} \text{ m}$ और $\angle BDC = 30^{\circ}$।
$\Delta BCD$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{BD}$।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{BC}{10 \sqrt{3}} \implies BC = 10 \text{ m}$।
पुनः,$\Delta BCD$ में,$\sin 30^{\circ} = \frac{BC}{CD}$।
$\frac{1}{2} = \frac{10}{CD} \implies CD = 20 \text{ m}$।
खंभे की कुल ऊंचाई $AB = BC + CD$ है (क्योंकि $AC = CD$ है,क्योंकि ऊपरी सिरा जमीन को छूता है)।
$AB = 10 + 20 = 30 \text{ m}$।

(A) दी गई व्यंजक: $(\operatorname{cosec} a - \sin a)(\sec a - \cos a)(\tan a + \cot a)$
चरण $1$: सभी त्रिकोणमितीय फलनों को $\sin a$ और $\cos a$ में बदलें।
$= \left(\frac{1}{\sin a} - \sin a\right) \left(\frac{1}{\cos a} - \cos a\right) \left(\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\cos a}{\sin a}\right)$
चरण $2$: प्रत्येक कोष्ठक को सरल करें।
$= \left(\frac{1 - \sin^2 a}{\sin a}\right) \left(\frac{1 - \cos^2 a}{\cos a}\right) \left(\frac{\sin^2 a + \cos^2 a}{\sin a \cos a}\right)$
चरण $3$: सर्वसमिका $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ का उपयोग करें।
$= \left(\frac{\cos^2 a}{\sin a}\right) \left(\frac{\sin^2 a}{\cos a}\right) \left(\frac{1}{\sin a \cos a}\right)$
चरण $4$: पदों का गुणा करें।
$= \frac{\cos^2 a \cdot \sin^2 a}{\sin a \cdot \cos a \cdot \sin a \cdot \cos a} = \frac{\sin^2 a \cdot \cos^2 a}{\sin^2 a \cdot \cos^2 a} = 1$

(D) दिया गया है कि $\tan \theta + \cot \theta = 5.$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\tan \theta + \cot \theta)^2 = 5^2$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ का उपयोग करने पर:
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 25$
चूंकि $\tan \theta \cot \theta = 1$,इसलिए समीकरण इस प्रकार होगा:
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2(1) = 25$
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 25 - 2$
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 23$

(C) दिया गया व्यंजक: $\sin A \cos A(\tan A - \cot A)$
$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ और $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin A \cos A \left( \frac{\sin A}{\cos A} - \frac{\cos A}{\sin A} \right)$
कोष्ठक के अंदर लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर:
$= \sin A \cos A \left( \frac{\sin^{2} A - \cos^{2} A}{\sin A \cos A} \right)$
अंश और हर से $\sin A \cos A$ को काटने पर:
$= \sin^{2} A - \cos^{2} A$
सर्वसमिका $\cos^{2} A = 1 - \sin^{2} A$ का उपयोग करने पर:
$= \sin^{2} A - (1 - \sin^{2} A)$
$= \sin^{2} A - 1 + \sin^{2} A$
$= 2\sin^{2} A - 1$

(C) दिया गया है:
$n = \frac{\cos \alpha}{\sin \beta} \implies \cos \alpha = n \sin \beta \quad (1)$
$m = \frac{\cos \alpha}{\cos \beta} \implies \cos \alpha = m \cos \beta \quad (2)$
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$n \sin \beta = m \cos \beta$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$n^2 \sin^2 \beta = m^2 \cos^2 \beta$
सर्वसमिका $\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$ का उपयोग करने पर:
$n^2 (1 - \cos^2 \beta) = m^2 \cos^2 \beta$
$n^2 - n^2 \cos^2 \beta = m^2 \cos^2 \beta$
$n^2 = (m^2 + n^2) \cos^2 \beta$
अतः,$\cos^2 \beta = \frac{n^2}{m^2 + n^2}$.

(A) हमें व्यंजक दिया गया है: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \cdots \tan 89^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए,हम $46^{\circ}$ से $89^{\circ}$ तक के पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,...,$\tan 46^{\circ} = \cot 44^{\circ}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= (\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ} \cdot (\tan 46^{\circ} \cdots \tan 88^{\circ} \tan 89^{\circ})$
$= (\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ}) \cdot 1 \cdot (\cot 44^{\circ} \cdots \cot 2^{\circ} \cot 1^{\circ})$
चूँकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,प्रत्येक युग्म $(\tan \theta \cdot \cot \theta)$ का गुणनफल $1$ होता है।
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = 1$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan^{2} \theta + \frac{1}{\tan^{2} \theta} = 2$.
माना $x = \tan^{2} \theta$ है। तब समीकरण $x + \frac{1}{x} = 2$ बन जाता है।
$x$ से गुणा करने पर,हमें $x^{2} + 1 = 2x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^{2} - 2x + 1 = 0$ मिलता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(x - 1)^{2} = 0$,अतः $x = 1$.
मान वापस रखने पर,$\tan^{2} \theta = 1$.
चूंकि $\theta$ एक न्यून कोण है,इसलिए $\tan \theta = 1$.
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।

(A) माना टावर $A$ की ऊँचाई $AP = 45 \, m$ और टावर $B$ की ऊँचाई $BQ = 15 \, m$ है। माना टावरों के आधारों के बीच की दूरी $RO = d$ है।
$\Delta PRO$ में,टावर $B$ के निचले सिरे $(R)$ से टावर $A$ के शीर्ष $(P)$ का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है।
$\tan 60^{\circ} = \frac{AP}{RO} = \frac{45}{d}$
$\sqrt{3} = \frac{45}{d} \implies d = \frac{45}{\sqrt{3}} = 15\sqrt{3} \, m$.
अब,$\Delta QOR$ में,टावर $A$ के निचले सिरे $(O)$ से टावर $B$ के शीर्ष $(Q)$ का उन्नयन कोण $\theta$ है।
$\tan \theta = \frac{BQ}{RO} = \frac{15}{15\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin \theta = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

(D) व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ का एक सुविधाजनक मान रख सकते हैं। मान लीजिए $\theta = 0^{\circ}$.
चूंकि $\sin 0^{\circ} = 0$ और $\cos 0^{\circ} = 1$,हम इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$= 3(0^{4} + 1^{4}) + 2(0^{6} + 1^{6}) + 12(0^{2})(1^{2})$
$= 3(0 + 1) + 2(0 + 1) + 12(0)(1)$
$= 3(1) + 2(1) + 0$
$= 3 + 2 = 5$.
वैकल्पिक रूप से,सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\sin^{4} \theta + \cos^{4} \theta = 1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$\sin^{6} \theta + \cos^{6} \theta = 1 - 3\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
इन मानों को रखने पर:
$= 3(1 - 2\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta) + 2(1 - 3\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta) + 12\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$= 3 - 6\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + 2 - 6\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta + 12\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$= 3 + 2 + (-6 - 6 + 12)\sin^{2} \theta \cos^{2} \theta$
$= 5 + 0 = 5$.

(A) दिया गया है: $\sec \theta + \tan \theta = 2 + \sqrt{5} \quad \dots(1)$
हम जानते हैं कि $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,जिसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \sqrt{5} - 2 \quad \dots(2)$.
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = (2 + \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 2)$
$2 \sec \theta = 2 \sqrt{5} \implies \sec \theta = \sqrt{5}$.
चूंकि $\sec \theta = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{\sqrt{5}}{1}$,इसलिए $\text{कर्ण} = \sqrt{5}$ और $\text{आधार} = 1$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$\text{लंब} = \sqrt{(\text{कर्ण})^2 - (\text{आधार})^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

(B) दी गई व्यंजक: $\cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos 125^{\circ} + \cos 204^{\circ} + \cos 300^{\circ}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\cos 24^{\circ} + \cos 204^{\circ}) + (\cos 55^{\circ} + \cos 125^{\circ}) + \cos 300^{\circ}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos(180^{\circ} + \theta) = -\cos \theta$ और $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\cos 204^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$।
$\cos 125^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 55^{\circ}) = -\cos 55^{\circ}$।
अंतिम पद के लिए,$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(\cos 24^{\circ} - \cos 24^{\circ}) + (\cos 55^{\circ} - \cos 55^{\circ}) + \frac{1}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(A) दिया गया है: $\frac{\sec \theta+\tan \theta}{\sec \theta-\tan \theta} = 2 \frac{51}{79} = \frac{2 \times 79 + 51}{79} = \frac{158 + 51}{79} = \frac{209}{79}$.
योगानुपात और अंतरानुपात $(C \& D)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(\sec \theta+\tan \theta) + (\sec \theta-\tan \theta)}{(\sec \theta+\tan \theta) - (\sec \theta-\tan \theta)} = \frac{209 + 79}{209 - 79}$.
$\frac{2 \sec \theta}{2 \tan \theta} = \frac{288}{130}$.
$\frac{1}{\cos \theta} \times \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{144}{65}$.
$\frac{1}{\sin \theta} = \frac{144}{65}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{65}{144}$.

(C) दिया गया समीकरण $\tan A + \cot A = 2$ है।
हम जानते हैं कि $\cot A = \frac{1}{\tan A}$ होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$\tan A + \frac{1}{\tan A} = 2$ प्राप्त होता है।
माना $\tan A = x$,तो $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसे सरल करने पर $x^2 - 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $(x - 1)^2 = 0$ है,इसलिए $x = 1$ है।
अतः,$\tan A = 1$,जिसका अर्थ है कि $\cot A = 1$ है।
अब,हमें $\tan^{10} A + \cot^{10} A$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर,$(1)^{10} + (1)^{10} = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $1 + \cos^{2} \theta = 3 \sin \theta \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $\cos^{2} \theta$ से विभाजित करने पर (चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए $\cos \theta \neq 0$):
$\frac{1}{\cos^{2} \theta} + \frac{\cos^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} = 3 \frac{\sin \theta \cos \theta}{\cos^{2} \theta}$.
$\sec^{2} \theta + 1 = 3 \tan \theta$.
सर्वसमिका $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$(1 + \tan^{2} \theta) + 1 = 3 \tan \theta$.
$\tan^{2} \theta - 3 \tan \theta + 2 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(\tan \theta - 1)(\tan \theta - 2) = 0$.
अतः,$\tan \theta = 1$ या $\tan \theta = 2$.
यदि $\tan \theta = 1$ है,तो $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = 1$.
यदि $\tan \theta = 2$ है,तो $\cot \theta = \frac{1}{2} = 0.5$.
चूंकि प्रश्न में पूर्णांक मान पूछा गया है,इसलिए सही मान $1$ है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}+\cot ^{2} 30^{\circ}$
हम जानते हैं कि $\sin(90^{\circ}-\theta) = \cos \theta$.
अतः,$\sin 22^{\circ} = \sin(90^{\circ}-68^{\circ}) = \cos 68^{\circ}$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos ^{2} 68^{\circ} + \sin ^{2} 68^{\circ} + \cot ^{2} 30^{\circ}$
सर्वसमिका $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$1 + \cot ^{2} 30^{\circ}$
चूंकि $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $\cot ^{2} 30^{\circ} = (\sqrt{3})^{2} = 3$.
अतः,कुल मान $1 + 3 = 4$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $\tan(4\theta - 50^{\circ}) = \cot(50^{\circ} - \theta)$.
हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $\tan(A) = \cot(90^{\circ} - A)$.
बाएँ पक्ष पर इस सर्वसमिका का उपयोग करने पर: $\tan(4\theta - 50^{\circ}) = \cot(90^{\circ} - (4\theta - 50^{\circ}))$.
कोटि-पूरक कोण के पद को सरल करने पर: $90^{\circ} - 4\theta + 50^{\circ} = 140^{\circ} - 4\theta$.
अतः,$\cot(140^{\circ} - 4\theta) = \cot(50^{\circ} - \theta)$.
कोणों की तुलना करने पर: $140^{\circ} - 4\theta = 50^{\circ} - \theta$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $140^{\circ} - 50^{\circ} = 4\theta - \theta$.
$90^{\circ} = 3\theta$.
इसलिए,$\theta = 30^{\circ}$.

(C) दिया गया है कि $5 \sin \theta = 3$,इसलिए $\sin \theta = 3/5$ है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ होता है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \sqrt{1 - (3/5)^2} = \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{16/25} = 4/5$ प्राप्त होता है।
अब,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = 3/4$ है।
साथ ही,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = 5/4$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{\sec \theta - \tan \theta}{\sec \theta + \tan \theta} = \frac{5/4 - 3/4}{5/4 + 3/4} = \frac{2/4}{8/4} = 2/8 = 1/4$।

(B) दिया गया है: $\sec \theta + \tan \theta = p$ ......... $(1)$
हम जानते हैं कि सर्वसमिका: $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$
इसे इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है: $(\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1$
समीकरण $(1)$ का मान सर्वसमिका में रखने पर: $p(\sec \theta - \tan \theta) = 1$
अतः: $\sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{p}$ ......... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$(\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta) = p + \frac{1}{p}$
$2 \sec \theta = p + \frac{1}{p}$
$\sec \theta = \frac{1}{2}(p + \frac{1}{p})$

(C) दी गई व्यंजक: $2 \sin ^{2} \theta + 3 \cos ^{2} \theta$
हम जानते हैं कि $\sin ^{2} \theta = 1 - \cos ^{2} \theta$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(1 - \cos ^{2} \theta) + 3 \cos ^{2} \theta$
$= 2 - 2 \cos ^{2} \theta + 3 \cos ^{2} \theta$
$= \cos ^{2} \theta + 2$
चूंकि $\cos ^{2} \theta$ का परिसर $[0, 1]$ है,इसलिए $\cos ^{2} \theta$ का न्यूनतम मान $0$ है।
अतः,व्यंजक का न्यूनतम मान $0 + 2 = 2$ है।

(A) दी गई व्यंजक: $\sin ^{2} 30^{\circ} \cos ^{2} 45^{\circ}+5 \tan ^{2} 30^{\circ}+\frac{3}{2} \sin ^{2} 90^{\circ}-3 \cos ^{2} 90^{\circ}$
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sin 90^{\circ} = 1$,$\cos 90^{\circ} = 0$.
$= \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right] + 5\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} + \frac{3}{2}(1)^{2} - 3(0)^{2}$
$= \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\right) + 5\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} - 0$
$= \frac{1}{8} + \frac{5}{3} + \frac{3}{2}$
$8, 3, 2$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $24$ लेने पर:
$= \frac{3 + 40 + 36}{24} = \frac{79}{24}$
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $\frac{79}{24} = 3 \frac{7}{24}$.

(A) हमें दिया गया है कि $\cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta = \frac{1}{3}$.....$(1)$
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं कि $\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta = 1$.....$(2)$
हमें $\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta$ का मान ज्ञात करना है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta = (\cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta)(\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ से मान रखने पर:
$\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta = (\frac{1}{3}) \times (1)$
$\cos ^{4} \theta - \sin ^{4} \theta = \frac{1}{3}$

(C) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{11}}.$
हम जानते हैं कि $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta = 1 + \frac{1}{11} = \frac{12}{11}.$
साथ ही,$\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta = 1 + (\frac{1}{\tan \theta})^{2} = 1 + (\sqrt{11})^{2} = 1 + 11 = 12.$
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\operatorname{cosec}^{2} \theta - \sec ^{2} \theta}{\operatorname{cosec}^{2} \theta + \sec ^{2} \theta} = \frac{12 - \frac{12}{11}}{12 + \frac{12}{11}}.$
अंश और हर को $12$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 - \frac{1}{11}}{1 + \frac{1}{11}} = \frac{\frac{10}{11}}{\frac{12}{11}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}.$

(A) दी गई व्यंजक: $\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{3} \sec \frac{\pi}{6} + \frac{5 \tan \frac{\pi}{4}}{12 \sin \frac{\pi}{2}}$
मानक त्रिकोणमितीय मान रखने पर:
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sec \frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}}$,$\tan \frac{\pi}{4} = 1$,$\sin \frac{\pi}{2} = 1$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{2}{\sqrt{3}} \right) + \frac{5 \times 1}{12 \times 1}$
$= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2\sqrt{2}} \right) - \frac{2}{3} + \frac{5}{12}$
$= \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{5}{12}$
$= \frac{3 - 8 + 5}{12} = \frac{0}{12} = 0$

(B) दिया गया है $\sin \theta = \frac{3}{5}.$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}.$
$\cos \theta = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$
अब,अन्य त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}.$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{4}{3}.$
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{3}.$
इन मानों को व्यंजक $\frac{\tan \theta + \cos \theta}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
अंश: $\frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 16}{20} = \frac{31}{20}.$
हर: $\frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3.$
परिणाम: $\frac{31/20}{3} = \frac{31}{60}.$