Trigonometry Questions in Hindi

(C) हम जानते हैं कि $\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{8}\right)$ और $\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \cos^{3}\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin^{3}\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$
$= \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \left[ \cos^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin^{2}\left(\frac{\pi}{8}\right) \right]$
चूंकि $\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1$,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण:
$= \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot 1$
$= \frac{1}{2} \left( 2 \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) \right)$
$= \frac{1}{2} \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(C) बिंदु $P$,$R$,और $Q$ एक समकोण त्रिभुज $\triangle PRQ$ बनाते हैं,जहाँ $\angle PRQ = 90^\circ$ है।
दिया गया है कि $PR = 14\, km$ और $QR = 16\, km$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$PQ$ की दूरी इस प्रकार है:
$PQ = \sqrt{PR^2 + QR^2}$
$PQ = \sqrt{14^2 + 16^2}$
$PQ = \sqrt{196 + 256}$
$PQ = \sqrt{452}$
$PQ \approx 21.26\, km$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $21.2\, km$ प्राप्त होता है।

(D) माना $PQ$ अधूरे टॉवर की ऊँचाई है और $R$ आधार $Q$ से $120\, m$ की दूरी पर जमीन पर स्थित एक बिंदु है।
दिया गया है कि $QR = 120\, m$ और $\angle PRQ = 45^{\circ}$ है।
$\Delta PQR$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{QR} \implies 1 = \frac{PQ}{120} \implies PQ = 120\, m$ है।
माना टॉवर को $SP$ ऊँचाई तक बढ़ाया जाता है ताकि नया उन्नयन कोण $\angle SRQ = 60^{\circ}$ हो जाए।
$\Delta SQR$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{SQ}{QR} = \frac{SP + PQ}{QR}$ है।
$\sqrt{3} = \frac{SP + 120}{120}$।
$SP + 120 = 120\sqrt{3}$।
$SP = 120(\sqrt{3} - 1) = 120(1.732 - 1) = 120 \times 0.732 = 87.84\, m$।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और जब उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है तब छाया की लंबाई $x$ है।
$\triangle PQS$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x} \implies 1 = \frac{h}{x} \implies x = h$.
$\triangle PQR$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x + 60}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{h + 60}$.
$h + 60 = h\sqrt{3}$.
$60 = h(\sqrt{3} - 1)$.
$h = \frac{60}{\sqrt{3} - 1}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $h = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{60(\sqrt{3} + 1)}{2} = 30(\sqrt{3} + 1)\, m$.

(B) माना $P$ हवाई जहाज की स्थिति है और $S$ सड़क पर वह बिंदु है जो $P$ के ठीक नीचे है। माना $PS = h$ हवाई जहाज की ऊँचाई है।
माना $Q$ और $R$ सड़क पर दो क्रमिक मील के पत्थर हैं। चूँकि वे क्रमिक मील के पत्थर हैं,उनके बीच की दूरी $QR = 1$ मील है।
दिया गया है कि अवनमन कोण $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं,इसलिए मील के पत्थरों से हवाई जहाज के उन्नयन कोण भी क्रमशः $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ होंगे।
$\Delta PQS$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{PS}{QS} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{QS} \Rightarrow QS = h\sqrt{3}$.
$\Delta PSR$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{PS}{SR} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{SR} \Rightarrow SR = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $QS + SR = QR = 1$ मील,इसलिए $h\sqrt{3} + \frac{h}{\sqrt{3}} = 1$.
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $3h + h = \sqrt{3} \Rightarrow 4h = \sqrt{3} \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{4}$ मील।

(D) माना चट्टान $PQ = 200\, m$ है। माना दो जहाज $R$ और $S$ बिंदुओं पर हैं।
$\Delta PQS$ में,उन्नयन कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = \frac{PQ}{QS} = 1$
$QS = PQ = 200\, m$.
$\Delta PQR$ में,उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है।
$\tan 30^{\circ} = \frac{PQ}{QR} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$QR = PQ \times \sqrt{3} = 200\sqrt{3}\, m$.
जहाजों के बीच की दूरी $RS = QR - QS$ है।
$RS = 200\sqrt{3} - 200 = 200(1.732 - 1) = 200(0.732) = 146.4\, m$.

(B) माना टॉवर की ऊँचाई $CB = 100 \, m$ है। माना व्यक्ति टॉवर की ओर $AD = x \, m$ की दूरी चलता है।
$\Delta DBC$ में ($B$ पर समकोण):
$\tan 45^{\circ} = \frac{CB}{DB}$
$1 = \frac{100}{DB}$
$DB = 100 \, m$
$\Delta ABC$ में ($B$ पर समकोण):
$\tan 30^{\circ} = \frac{CB}{AB} = \frac{CB}{AD + DB}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{100}{x + 100}$
$x + 100 = 100\sqrt{3}$
$x = 100(\sqrt{3} - 1)$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$x = 100(1.732 - 1) = 100(0.732) = 73.2 \, m$.
अतः,व्यक्ति द्वारा तय की गई दूरी $73.2 \, m$ है।

(C) माना मीनार की ऊँचाई $AC = 100 \ m$ है और प्रेक्षण बिंदु $B$ है। उन्नयन कोण $\angle ABC = 30^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,हमें मीनार के शीर्ष $(A)$ और प्रेक्षण बिंदु $(B)$ के बीच की दूरी ज्ञात करनी है,जो कि कर्ण $AB$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करते हुए:
$\sin 30^{\circ} = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{AC}{AB}$
$\frac{1}{2} = \frac{100}{AB}$
$AB = 100 \times 2 = 200 \ m$.
अतः,मीनार के शीर्ष और प्रेक्षण बिंदु के बीच की दूरी $200 \ m$ है।

(B) माना मीनार $AB$ की ऊँचाई $H$ है और $B$ मीनार का आधार है।
माना $C$ प्रारंभिक स्थिति है और $D$ मीनार की ओर $100 \ m$ चलने के बाद की स्थिति है।
अतः,$CD = 100 \ m$.
$\Delta ABD$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{DB} = \frac{H}{DB}$.
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,इसलिए $DB = \frac{H}{\sqrt{3}}$ ... $(1)$.
$\Delta ABC$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AB}{BC} = \frac{H}{CD + DB} = \frac{H}{100 + DB}$.
चूँकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{H}{100 + DB}$,जिसका अर्थ है $100 + DB = H\sqrt{3}$,या $DB = H\sqrt{3} - 100$ ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{H}{\sqrt{3}} = H\sqrt{3} - 100$.
$\sqrt{3}$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है $H = 3H - 100\sqrt{3}$.
$2H = 100\sqrt{3}$,अतः $H = 50\sqrt{3} \ m$.

(C) माना सीढ़ी $AB$ है,जहाँ $AB = 16\,m$ सीढ़ी की लंबाई है।
माना $AC$ सीढ़ी के निचले सिरे $(A)$ और दीवार $(C)$ के बीच की दूरी है।
समकोण त्रिभुज $ABC$ में,जमीन के साथ बना कोण $\angle A = 60^{\circ}$ है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\cos \theta = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 60^{\circ} = \frac{AC}{AB}$
$\frac{1}{2} = \frac{AC}{16}$
$AC = 16 \times \frac{1}{2} = 8\,m$.
अतः,दीवार और सीढ़ी के निचले सिरे के बीच की दूरी $8\,m$ है।

(A) माना $AB$ पहली मीनार है जिसकी ऊँचाई $60 \, m$ है और $CD$ दूसरी मीनार है जिसकी ऊँचाई $H \, m$ है। माना दोनों मीनारों के बीच की दूरी $d$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta ABD$ से:
$\tan 60^{\circ} = \frac{AB}{BD} = \frac{60}{d}$
$\sqrt{3} = \frac{60}{d}$
$d = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20 \sqrt{3} \, m$.
अब,त्रिभुज $\Delta ACE$ पर विचार करें,जहाँ $E$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $CE \parallel DB$ हो। अतः $AE = AB - EB = AB - CD = 60 - H$.
$\Delta ACE$ में,अवनमन कोण $30^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ACE = 30^{\circ}$।
$\tan 30^{\circ} = \frac{AE}{CE} = \frac{60 - H}{d}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{60 - H}{20 \sqrt{3}}$
$60 - H = \frac{20 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20$
$H = 60 - 20 = 40 \, m$.
अतः,दूसरी मीनार की ऊँचाई $40 \, m$ है और मीनारों के बीच की दूरी $20 \sqrt{3} \, m$ है।

(B) दिया गया है $\frac{1+\cos A}{1-\cos A} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{(1+\cos A) + (1-\cos A)}{(1+\cos A) - (1-\cos A)} = \frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}-n^{2}}$
$\frac{2}{2\cos A} = \frac{m^{2}+n^{2}}{m^{2}-n^{2}}$
$\cos A = \frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}$
चूंकि $\sin^{2} A = 1 - \cos^{2} A = 1 - \left(\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}\right)^{2} = \frac{(m^{2}+n^{2})^{2} - (m^{2}-n^{2})^{2}}{(m^{2}+n^{2})^{2}} = \frac{4m^{2}n^{2}}{(m^{2}+n^{2})^{2}}$
अतः,$\sin A = \pm \frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}$.
अंत में,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \left(\pm \frac{2mn}{m^{2}+n^{2}}\right) / \left(\frac{m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}\right) = \pm \frac{2mn}{m^{2}-n^{2}}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $k = \sin 600^{\circ} \cos 30^{\circ} + \cos 120^{\circ} \sin 150^{\circ}$.
सबसे पहले,त्रिकोणमितीय कोणों को सरल करें:
$\sin 600^{\circ} = \sin(360^{\circ} + 240^{\circ}) = \sin 240^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\sin 60^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$.
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$k = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$.
$k = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$.
$k = -\frac{4}{4} = -1$.

(A) दिया गया समीकरण: $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$
$\sin \theta$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta$
$\sin \theta = (\sqrt{2} - 1) \cos \theta$
अब,$\cos \theta$ के लिए हल करने पर:
$\cos \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{2} - 1}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर को $(\sqrt{2} + 1)$ से गुणा करने पर:
$\cos \theta = \frac{(\sqrt{2} + 1) \sin \theta}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$
$\cos \theta = \frac{(\sqrt{2} + 1) \sin \theta}{2 - 1}$
$\cos \theta = (\sqrt{2} + 1) \sin \theta$
$\cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta$
अंत में,$\cos \theta - \sin \theta$ का मान ज्ञात करने पर:
$\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

(A) माना व्यंजक $E = \sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$E = \frac{1-\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}} - \frac{1+\sin \alpha}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}} = \frac{1-\sin \alpha - (1+\sin \alpha)}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$.
$E = \frac{-2 \sin \alpha}{|\cos \alpha|}$.
चूंकि $\alpha$ दूसरे चतुर्थांश में है,$\cos \alpha$ ऋणात्मक है,इसलिए $|\cos \alpha| = -\cos \alpha$.
अतः,$E = \frac{-2 \sin \alpha}{-\cos \alpha} = 2 \tan \alpha$.

(A) दिया गया है:
$p = \cot \theta + \cos \theta$
$q = \cot \theta - \cos \theta$
चरण $1$: $p^2 - q^2$ की गणना करें
$p^2 - q^2 = (p + q)(p - q)$
$p + q = (\cot \theta + \cos \theta) + (\cot \theta - \cos \theta) = 2 \cot \theta$
$p - q = (\cot \theta + \cos \theta) - (\cot \theta - \cos \theta) = 2 \cos \theta$
$p^2 - q^2 = (2 \cot \theta)(2 \cos \theta) = 4 \cot \theta \cos \theta$
चरण $2$: $(p^2 - q^2)^2$ की गणना करें
$(p^2 - q^2)^2 = (4 \cot \theta \cos \theta)^2 = 16 \cot^2 \theta \cos^2 \theta$
चरण $3$: $pq$ को $\theta$ के पदों में व्यक्त करें
$pq = (\cot \theta + \cos \theta)(\cot \theta - \cos \theta) = \cot^2 \theta - \cos^2 \theta$
$pq = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} - \cos^2 \theta = \cos^2 \theta \left( \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} \right) = \cos^2 \theta \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \right) = \cot^2 \theta \cos^2 \theta$
चरण $4$: $pq$ का मान समीकरण में रखें
$(p^2 - q^2)^2 = 16 (\cot^2 \theta \cos^2 \theta) = 16pq$

(B) दिए गए समीकरण $x = a \operatorname{cosec}^{n} \theta$ और $y = b \cot^{n} \theta$ हैं।
इनसे,हम लिख सकते हैं:
$\operatorname{cosec} \theta = \left(\frac{x}{a}\right)^{1/n}$ और $\cot \theta = \left(\frac{y}{b}\right)^{1/n}$.
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$.
$\operatorname{cosec} \theta$ और $\cot \theta$ के मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$\left(\left(\frac{x}{a}\right)^{1/n}\right)^{2} - \left(\left(\frac{y}{b}\right)^{1/n}\right)^{2} = 1$.
इसे सरल करने पर: $\left(\frac{x}{a}\right)^{2/n} - \left(\frac{y}{b}\right)^{2/n} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{p}{q}$।
व्यंजक $\frac{p \sin \theta - q \cos \theta}{p \sin \theta + q \cos \theta}$ के अंश और हर को $\cos \theta$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{p \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - q}{p \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + q}$
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{p}{q}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{p(\frac{p}{q}) - q}{p(\frac{p}{q}) + q} = \frac{\frac{p^2}{q} - q}{\frac{p^2}{q} + q}$
$= \frac{\frac{p^2 - q^2}{q}}{\frac{p^2 + q^2}{q}} = \frac{p^2 - q^2}{p^2 + q^2}$।

(D) दिया गया है $\sin A = \frac{3}{5}$। चूँकि $\frac{\pi}{2} < A < \pi$,$A$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है जहाँ $\tan A$ ऋणात्मक होता है।
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos A = -\frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$।
दिया गया है $\tan B = \frac{1}{2}$। चूँकि $\pi < B < \frac{3\pi}{2}$,$B$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है जहाँ $\sec B$ ऋणात्मक होता है।
$\sec^2 B = 1 + \tan^2 B = 1 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ का उपयोग करने पर,हमें $\sec B = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को व्यंजक $8 \tan A - \sqrt{5} \sec B$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 8(-\frac{3}{4}) - \sqrt{5}(-\frac{\sqrt{5}}{2})$
$= -6 + \frac{5}{2} = \frac{-12 + 5}{2} = -\frac{7}{2}$।

(B) हम जानते हैं कि $\sec^{2} \theta - \tan^{2} \theta = 1.$
इसे $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है $\sec \theta - \tan \theta = \frac{a+1}{a-1}.$
अतः,$\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = \frac{a-1}{a+1}.$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(\sec \theta - \tan \theta) + (\sec \theta + \tan \theta) = \frac{a+1}{a-1} + \frac{a-1}{a+1}.$
$2 \sec \theta = \frac{(a+1)^{2} + (a-1)^{2}}{(a-1)(a+1)} = \frac{(a^{2} + 2a + 1) + (a^{2} - 2a + 1)}{a^{2}-1} = \frac{2(a^{2}+1)}{a^{2}-1}.$
इस प्रकार,$\sec \theta = \frac{a^{2}+1}{a^{2}-1}.$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta},$ इसलिए $\cos \theta = \frac{a^{2}-1}{a^{2}+1}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\tan 20^{\circ} = k.$
हमें व्यंजक का मान ज्ञात करना है: $\frac{\tan 250^{\circ} + \tan 340^{\circ}}{\tan 200^{\circ} - \tan 110^{\circ}}.$
प्रत्येक पद को $20^{\circ}$ के रूप में व्यक्त करने पर:
$\tan 250^{\circ} = \tan(270^{\circ} - 20^{\circ}) = \cot 20^{\circ} = \frac{1}{k}.$
$\tan 340^{\circ} = \tan(360^{\circ} - 20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ} = -k.$
$\tan 200^{\circ} = \tan(180^{\circ} + 20^{\circ}) = \tan 20^{\circ} = k.$
$\tan 110^{\circ} = \tan(90^{\circ} + 20^{\circ}) = -\cot 20^{\circ} = -\frac{1}{k}.$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{1}{k} - k}{k - (-\frac{1}{k})} = \frac{\frac{1-k^{2}}{k}}{\frac{k^{2}+1}{k}} = \frac{1-k^{2}}{1+k^{2}}.$

(A) त्रिकोणमितीय फलनों के लिए रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin 780^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 480^{\circ} = \sin(360^{\circ} + 120^{\circ}) = \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sin 780^{\circ} \sin 480^{\circ} + \cos 240^{\circ} \cos 300^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \cot \theta = 2$
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,इसलिए: $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$
$\tan \theta$ से गुणा करने पर: $\tan^2 \theta + 1 = 2 \tan \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(\tan \theta - 1)^2 = 0$
अतः,$\tan \theta = 1$
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^\circ$ या $\frac{\pi}{4}$ रेडियन है।
अब,$\sin \theta$ का मान ज्ञात करने पर: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{3}{4}$ और $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है।
चूँकि $\tan \theta = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{3}{4}$,कर्ण $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ होगा।
अतः,$\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके व्यंजक को सरल करते हैं:
$\tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \cot \theta$
$\sin (\pi-\theta) = \sin \theta$
$\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right) = -\cos \theta$
$\cot (2 \pi-\theta) = -\cot \theta$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\cot \theta - \sin \theta}{-\cos \theta - (-\cot \theta)} = \frac{\cot \theta - \sin \theta}{\cot \theta - \cos \theta}$
$\cot \theta = \frac{4}{3}, \sin \theta = \frac{3}{5}, \cos \theta = \frac{4}{5}$ मान रखने पर:
$= \frac{\frac{4}{3} - \frac{3}{5}}{\frac{4}{3} - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{20-9}{15}}{\frac{20-12}{15}} = \frac{11}{15} \times \frac{15}{8} = \frac{11}{8}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\frac{\tan 160^{\circ} - \tan 110^{\circ}}{1 + \tan 160^{\circ} \tan 110^{\circ}}$
$\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करने पर,व्यंजक $\tan(160^{\circ} - 110^{\circ}) = \tan 50^{\circ}$ में सरल हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\tan 160^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ} = -\frac{1}{p}$
$\tan 110^{\circ} = \tan(90^{\circ} + 20^{\circ}) = -\cot 20^{\circ} = -p$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \frac{-\tan 20^{\circ} - (- \cot 20^{\circ})}{1 + (-\tan 20^{\circ})(-\cot 20^{\circ})}$
$= \frac{-\frac{1}{p} + p}{1 + 1} = \frac{\frac{p^{2} - 1}{p}}{2} = \frac{p^{2} - 1}{2p}$

(C) दिया गया है कि $A$ दूसरे चतुर्थांश में है,जहाँ $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
चूँकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,इसलिए $\sin A = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\cot A = -\sqrt{3}$ है।
दिया गया है कि $B$ तीसरे चतुर्थांश में है,जहाँ $\sin B = -\frac{3}{5}$ है।
चूँकि $\sin^2 B + \cos^2 B = 1$,इसलिए $\cos B = -\sqrt{1 - (-\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac{4}{5}$ है।
अतः,$\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$ है।
अब,इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2 \tan B + \sqrt{3} \tan A}{\cot^2 A + \cos B} = \frac{2(\frac{3}{4}) + \sqrt{3}(-\frac{1}{\sqrt{3}})}{(-\sqrt{3})^2 + (-\frac{4}{5})}$
$= \frac{\frac{3}{2} - 1}{3 - \frac{4}{5}} = \frac{1/2}{11/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{11} = \frac{5}{22}$.

(D) दी गई व्यंजक: $\frac{\sin 150^{\circ}-5 \cos 300^{\circ}+7 \tan 225^{\circ}}{\tan 135^{\circ}+3 \sin 210^{\circ}}$
त्रिकोणमितीय रिडक्शन सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ}-30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ}-60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\tan 225^{\circ} = \tan(180^{\circ}+45^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$
$\tan 135^{\circ} = \tan(180^{\circ}-45^{\circ}) = -\tan 45^{\circ} = -1$
$\sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ}+30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\frac{1}{2} - 5(\frac{1}{2}) + 7(1)}{-1 + 3(-\frac{1}{2})}$
$= \frac{\frac{1}{2} - \frac{5}{2} + 7}{-1 - \frac{3}{2}}$
$= \frac{-2 + 7}{-\frac{5}{2}} = \frac{5}{-\frac{5}{2}} = -2$

(D) दिया गया फलन $f(x) = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।
हम व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर लिख सकते हैं:
$f(x) = (\cos x - \sec x)^2 + 2 \cos x \sec x$
चूंकि $\cos x \cdot \sec x = 1$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार होगा:
$f(x) = (\cos x - \sec x)^2 + 2(1)$
$f(x) = (\cos x - \sec x)^2 + 2$
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग सदैव अऋणात्मक होता है,अर्थात $(\cos x - \sec x)^2 \geq 0$,इसलिए:
$f(x) \geq 0 + 2$
$f(x) \geq 2$
अतः,फलन का मान सदैव $2$ या उससे अधिक होता है।

(C) दिया गया है कि $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = p$ है।
हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$ होती है,जिसे $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर,हमें $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{p}$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) + (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) = p + \frac{1}{p} \Rightarrow 2 \operatorname{cosec} \theta = \frac{p^{2} + 1}{p} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = \frac{p^{2} + 1}{2p}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) - (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) = p - \frac{1}{p} \Rightarrow 2 \cot \theta = \frac{p^{2} - 1}{p} \Rightarrow \cot \theta = \frac{p^{2} - 1}{2p}$।
अंत में,$\cos \theta = \frac{\cot \theta}{\operatorname{cosec} \theta} = \frac{(p^{2} - 1) / 2p}{(p^{2} + 1) / 2p} = \frac{p^{2} - 1}{p^{2} + 1}$।

(A) दिया गया है कि $\sin \theta = -\frac{7}{25}$ और $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $\cos \theta = -\frac{24}{25}$ होगा।
अतः $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-7/25}{-24/25} = \frac{7}{24}$ और $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{24}{7}$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{7 \cot \theta - 24 \tan \theta}{7 \cot \theta + 24 \tan \theta} = \frac{7(\frac{24}{7}) - 24(\frac{7}{24})}{7(\frac{24}{7}) + 24(\frac{7}{24})}$
$= \frac{24 - 7}{24 + 7} = \frac{17}{31}$.

(C) दिया गया है: $m = \tan A + \sin A$ और $n = \tan A - \sin A$.
सबसे पहले,$m^2 - n^2$ की गणना करें:
$m^2 - n^2 = (m + n)(m - n) = (2 \tan A)(2 \sin A) = 4 \tan A \sin A$.
इसके बाद,$mn$ की गणना करें:
$mn = (\tan A + \sin A)(\tan A - \sin A) = \tan^2 A - \sin^2 A = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} - \sin^2 A = \sin^2 A \left( \frac{1 - \cos^2 A}{\cos^2 A} \right) = \sin^2 A \cdot \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A \sin^2 A$.
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{(m^2 - n^2)^2}{mn}$ में प्रतिस्थापित करें:
$\frac{(4 \tan A \sin A)^2}{\tan^2 A \sin^2 A} = \frac{16 \tan^2 A \sin^2 A}{\tan^2 A \sin^2 A} = 16$.

(B) दिया गया है $m = \operatorname{cosec} \theta - \sin \theta = \frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}$.
दिया गया है $n = \sec \theta - \cos \theta = \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta = \frac{1 - \cos^2 \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}$.
अब,व्यंजक $(m^2 n)^{2/3} + (m n^2)^{2/3}$ पर विचार करें।
$m$ और $n$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(m^2 n)^{2/3} = \left( \frac{\cos^4 \theta}{\sin^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \right)^{2/3} = (\cos^3 \theta)^{2/3} = \cos^2 \theta$.
इसी प्रकार,$(m n^2)^{2/3} = \left( \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \cdot \frac{\sin^4 \theta}{\cos^2 \theta} \right)^{2/3} = (\sin^3 \theta)^{2/3} = \sin^2 \theta$.
इन परिणामों को जोड़ने पर:
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

(C) दी गई व्यंजक $\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 3^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि कोणों की श्रृंखला में $90^{\circ}$ एक पद के रूप में शामिल है,अर्थात $\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \ldots \cos 90^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ}$।
चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$ होता है,इसलिए $\cos 90^{\circ}$ के साथ कोई भी गुणनफल $0$ के बराबर होगा।
अतः,$\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 3^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ} = 0$।

(B) हम जानते हैं कि पूरक कोण सर्वसमिकाओं के अनुसार: $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ और $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$ होता है।
साथ ही,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ होता है।
दी गई व्यंजक: $\sin 48^{\circ} \sec 42^{\circ} + \cos 48^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$ है।
$48^{\circ} = 90^{\circ} - 42^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \sin(90^{\circ} - 42^{\circ}) \sec 42^{\circ} + \cos(90^{\circ} - 42^{\circ}) \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
$= \cos 42^{\circ} \sec 42^{\circ} + \sin 42^{\circ} \operatorname{cosec} 42^{\circ}$
$= \cos 42^{\circ} \cdot \frac{1}{\cos 42^{\circ}} + \sin 42^{\circ} \cdot \frac{1}{\sin 42^{\circ}}$
$= 1 + 1 = 2$.

(B) दी गई व्यंजक: $\tan 5^{\circ} \tan 25^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 65^{\circ} \tan 85^{\circ}$
हम जानते हैं कि $\tan 45^{\circ} = 1$ होता है।
सर्वसमिका $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \tan(90^{\circ} - 25^{\circ}) \cdot \tan(90^{\circ} - 5^{\circ})$
$= \tan 5^{\circ} \cdot \tan 25^{\circ} \cdot 1 \cdot \cot 25^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}$
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ होता है,इसलिए:
$= (\tan 5^{\circ} \cdot \cot 5^{\circ}) \cdot (\tan 25^{\circ} \cdot \cot 25^{\circ}) \cdot 1$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(A) दी गई व्यंजक $S = \cos ^{2} 5^{\circ}+\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}+\cdots+\cos ^{2} 90^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$,इसलिए $\cos^{2}(90^{\circ} - \theta) = \sin^{2} \theta$ होता है।
पदों का युग्म बनाने पर: $(\cos ^{2} 5^{\circ}+\cos ^{2} 85^{\circ}) + (\cos ^{2} 10^{\circ}+\cos ^{2} 80^{\circ}) + \cdots + (\cos ^{2} 40^{\circ}+\cos ^{2} 50^{\circ}) + \cos ^{2} 45^{\circ} + \cos ^{2} 90^{\circ}$।
प्रत्येक युग्म $(\cos ^{2} \theta + \cos ^{2} (90^{\circ} - \theta)) = (\cos ^{2} \theta + \sin ^{2} \theta) = 1$ होता है।
यहाँ ऐसे $8$ युग्म हैं (कोण $5^{\circ}, 10^{\circ}, \dots, 40^{\circ}$ के लिए)।
अतः,योग $(8 \times 1) + \cos ^{2} 45^{\circ} + \cos ^{2} 90^{\circ}$ होगा।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^{2} 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ और $\cos 90^{\circ} = 0$ है।
कुल योग $= 8 + \frac{1}{2} + 0 = 8 \frac{1}{2}$ होगा।

(B) लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log (ab)$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\log (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 88^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ})$
हम सर्वसमिका $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$ का उपयोग करके पदों के जोड़े बना सकते हैं:
$= \log [(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \ldots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}]$
चूंकि $\tan 89^{\circ} = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,इत्यादि:
$= \log [(1) \cdot (1) \cdot \ldots \cdot (1) \cdot \tan 45^{\circ}]$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$:
$= \log (1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1) = \log 1 = 0$

(A) दी गई व्यंजक $\theta = 1, 2, 3, \ldots, 179$ के लिए $\log \sin \theta^{\circ}$ के पदों का गुणनफल है।
व्यंजक इस प्रकार है: $P = \log \sin 1^{\circ} \cdot \log \sin 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \log \sin 90^{\circ} \cdot \ldots \cdot \log \sin 179^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\sin 90^{\circ} = 1$ होता है।
इसलिए,$\theta = 90^{\circ}$ के संगत पद $\log \sin 90^{\circ} = \log 1$ होगा।
चूंकि $\log 1 = 0$ होता है,इसलिए पूरा गुणनफल शून्य हो जाएगा क्योंकि एक गुणनखंड शून्य है।
अतः,$P = \log \sin 1^{\circ} \cdot \log \sin 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot (0) \cdot \ldots \cdot \log \sin 179^{\circ} = 0$।

(C) दी गई व्यंजक: $\cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos 155^{\circ} + \cos 204^{\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ और $\cos(180^{\circ} + \theta) = -\cos \theta$ का उपयोग करते हुए:
$= \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos(180^{\circ} - 25^{\circ}) + \cos(180^{\circ} + 24^{\circ})$
$= \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} - \cos 25^{\circ} - \cos 24^{\circ}$
$= \cos 55^{\circ} - \cos 25^{\circ}$
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,इस व्यंजक का मान $0$ माना गया है।

(C) दिया गया व्यंजक: $\cos 24^{\circ} + \cos 5^{\circ} + \cos 300^{\circ} + \cos 175^{\circ} + \cos 204^{\circ}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए:
$\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\cos 175^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 5^{\circ}) = -\cos 5^{\circ}$
$\cos 204^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$= \cos 24^{\circ} + \cos 5^{\circ} + \frac{1}{2} - \cos 5^{\circ} - \cos 24^{\circ}$
समान पदों को काटने पर:
$= \frac{1}{2}$

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक $\theta$ के लिए,$\sin \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है।
इसलिए,$\sin^{2} \theta$ को $0 \leq \sin^{2} \theta \leq 1$ का पालन करना चाहिए।
दिया गया है $\sin^{2} \theta = \frac{(x+y)^{2}}{4xy}$,अतः $\frac{(x+y)^{2}}{4xy} \leq 1$ होना चाहिए।
चूंकि $(x+y)^{2} \geq 0$,व्यंजक को परिभाषित और धनात्मक होने के लिए $xy > 0$ होना चाहिए (अर्थात $x$ और $y$ दोनों का चिह्न समान होना चाहिए)।
यदि $xy > 0$ है,तो $(x+y)^{2} \leq 4xy$ होगा।
$(x+y)^{2} - 4xy \leq 0$ होगा।
$(x-y)^{2} \leq 0$ होगा।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $(x-y)^{2} \leq 0$ केवल तभी संभव है जब $(x-y)^{2} = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $x = y$ है।
यदि $x = y$ है,तो $\sin^{2} \theta = \frac{(2x)^{2}}{4x^{2}} = \frac{4x^{2}}{4x^{2}} = 1$,जो $\sin^{2} \theta$ के लिए एक मान्य मान है।

(C) दिया गया समीकरण: $7 \sin ^{2} \theta+3 \cos ^{2} \theta=4$
पूरे समीकरण को $\cos ^{2} \theta$ से विभाजित करने पर:
$7 \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} + 3 \frac{\cos ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} = \frac{4}{\cos ^{2} \theta}$
सर्वसमिकाओं $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ और $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$7 \tan ^{2} \theta + 3 = 4 \sec ^{2} \theta$
$\sec ^{2} \theta = 1 + \tan ^{2} \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$7 \tan ^{2} \theta + 3 = 4(1 + \tan ^{2} \theta)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$7 \tan ^{2} \theta + 3 = 4 + 4 \tan ^{2} \theta$
$\tan ^{2} \theta$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$7 \tan ^{2} \theta - 4 \tan ^{2} \theta = 4 - 3$
$3 \tan ^{2} \theta = 1$
$\tan ^{2} \theta = \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\tan \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

(D) दिया गया है: $\sin \alpha = m \sin \beta \implies m = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta} \implies m^2 - 1 = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta}{\sin^2 \beta}$.
साथ ही,$\tan \alpha = n \tan \beta \implies n = \frac{\tan \alpha}{\tan \beta} \implies n^2 - 1 = \frac{\tan^2 \alpha - \tan^2 \beta}{\tan^2 \beta}$.
अब,$n^2 - 1 = \frac{\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}}{\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}} = \frac{\sin^2 \alpha \cos^2 \beta - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \beta}{\sin^2 \beta} = \frac{\sin^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \sin^2 \alpha) \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta}$.
$= \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \sin^2 \alpha \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta} = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta}{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta}$.
अतः,$\frac{m^2 - 1}{n^2 - 1} = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta}{\sin^2 \beta} \cdot \frac{\cos^2 \alpha \sin^2 \beta}{\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta} = \cos^2 \alpha$.

(A) हम सर्वसमिका $\tan^2 A = \sec^2 A - 1$ जानते हैं।
$\sec A$ का दिया गया मान रखने पर:
$\tan^2 A = \left(a + \frac{1}{4a}\right)^2 - 1$
$= a^2 + 2(a)\left(\frac{1}{4a}\right) + \left(\frac{1}{4a}\right)^2 - 1$
$= a^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16a^2} - 1$
$= a^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16a^2} = \left(a - \frac{1}{4a}\right)^2$
अतः,$\tan A = \pm \left(a - \frac{1}{4a}\right)$.
स्थिति $1$: $\tan A = a - \frac{1}{4a}$
$\sec A + \tan A = \left(a + \frac{1}{4a}\right) + \left(a - \frac{1}{4a}\right) = 2a$.
स्थिति $2$: $\tan A = -\left(a - \frac{1}{4a}\right) = -a + \frac{1}{4a}$
$\sec A + \tan A = \left(a + \frac{1}{4a}\right) + \left(-a + \frac{1}{4a}\right) = \frac{2}{4a} = \frac{1}{2a}$.
अतः,मान $2a$ या $\frac{1}{2a}$ है।

(C) हम बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)$ और $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$ का उपयोग करेंगे।
दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{\sin ^{3} A+\cos ^{3} A}{\sin A+\cos A}+\frac{\cos ^{3} A-\sin ^{3} A}{\cos A-\sin A}$
$= \frac{(\sin A + \cos A)(\sin^2 A + \cos^2 A - \sin A \cos A)}{\sin A + \cos A} + \frac{(\cos A - \sin A)(\cos^2 A + \sin^2 A + \sin A \cos A)}{\cos A - \sin A}$
$= (\sin^2 A + \cos^2 A - \sin A \cos A) + (\cos^2 A + \sin^2 A + \sin A \cos A)$
चूंकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$,इसलिए:
$= (1 - \sin A \cos A) + (1 + \sin A \cos A)$
$= 1 - \sin A \cos A + 1 + \sin A \cos A$
$= 2$

(C) दी गई व्यंजक $S = \tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \tan 60^{\circ} + \cdots + \tan 180^{\circ}$ है।
हम जानते हैं कि $\tan(180^{\circ} - \theta) = -\tan \theta$ होता है।
साथ ही,$\tan 180^{\circ} = 0$ होता है।
श्रेणी को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\tan 20^{\circ} + \tan 40^{\circ} + \tan 60^{\circ} + \tan 80^{\circ} + \tan 100^{\circ} + \tan 120^{\circ} + \tan 140^{\circ} + \tan 160^{\circ} + \tan 180^{\circ}$।
पदों का युग्म बनाने पर: $\tan 160^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ}$।
$\tan 140^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 40^{\circ}) = -\tan 40^{\circ}$।
$\tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ}$।
$\tan 100^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 80^{\circ}) = -\tan 80^{\circ}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $S = (\tan 20^{\circ} - \tan 20^{\circ}) + (\tan 40^{\circ} - \tan 40^{\circ}) + (\tan 60^{\circ} - \tan 60^{\circ}) + (\tan 80^{\circ} - \tan 80^{\circ}) + 0$।
$S = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$।

(A) दिया गया है $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$। चूँकि $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में नहीं है और $\cos \theta < 0$ है,इसलिए $\theta$ दूसरे चतुर्थांश $(90^{\circ} < \theta < 180^{\circ})$ में स्थित है।
दूसरे चतुर्थांश में,$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$।
दिया गया है $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$ और $\alpha$ तीसरे चतुर्थांश $(180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ})$ में है।
तीसरे चतुर्थांश में,$\tan \alpha = \frac{3}{4}$ और $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$।
अब,इन मानों को व्यंजक $\frac{2 \tan \alpha + \sqrt{3} \tan \theta}{\cot^2 \theta + \cos \alpha}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
अंश $= 2(\frac{3}{4}) + \sqrt{3}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$।
हर $= (-\sqrt{3})^2 + (-\frac{4}{5}) = 3 - \frac{4}{5} = \frac{15-4}{5} = \frac{11}{5}$।
परिणाम $= \frac{1/2}{11/5} = \frac{1}{2} \times \frac{5}{11} = \frac{5}{22}$।

(A) हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हैं: $\cos(180^{\circ} + \theta) = -\cos \theta$ और $\cos(360^{\circ} - \theta) = \cos \theta$।
दिया गया व्यंजक: $E = \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} + \cos 125^{\circ} + \cos 204^{\circ} + \cos 300^{\circ}$।
$1$. $\cos 125^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 55^{\circ}) = -\cos 55^{\circ}$।
$2$. $\cos 204^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 24^{\circ}) = -\cos 24^{\circ}$।
$3$. $\cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \cos 24^{\circ} + \cos 55^{\circ} - \cos 55^{\circ} - \cos 24^{\circ} + \frac{1}{2}$।
$E = 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\cot \theta - \operatorname{cosec} \theta + 1}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
हम जानते हैं कि $1 = \operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta$.
अंश में यह मान रखने पर:
$= \frac{(\cot \theta - \operatorname{cosec} \theta) + (\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta)}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
$= \frac{(\cot \theta - \operatorname{cosec} \theta) + (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
अंश से $(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)$ कॉमन लेने पर:
$= \frac{-(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) + (\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta)}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
$= \frac{(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta) [(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) - 1]}{\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1}$
चूंकि अंश और हर में $(\cot \theta + \operatorname{cosec} \theta - 1)$ समान है,इसलिए वे कट जाएंगे:
$= \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta$

(A) दिया गया है $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ जहाँ $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$ (द्वितीय चतुर्थांश)।
द्वितीय चतुर्थांश में $\sin \alpha$ धनात्मक और $\cos \alpha$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$।
दिया गया है $\sin \beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ जहाँ $180^{\circ} < \beta < 270^{\circ}$ (तृतीय चतुर्थांश)।
तृतीय चतुर्थांश में $\sin \beta$ ऋणात्मक और $\cos \beta$ ऋणात्मक होता है,इसलिए $\cos \beta = -\sqrt{1 - \sin^2 \beta} = -\sqrt{1 - \frac{3}{4}} = -\frac{1}{2}$।
अतः,$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{4 \sin \alpha - 3 \tan \beta}{\tan \alpha + \sin \beta} = \frac{4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3(\sqrt{3})}{-\sqrt{3} + (-\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{-\sqrt{3}}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{3}$।