Trigonometry Questions in Hindi

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$a \cos \theta + b \sin \theta = p$ ....$(1)$
$a \sin \theta - b \cos \theta = q$ ....$(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^{2} = p^{2}$
$a^{2} \cos^{2} \theta + b^{2} \sin^{2} \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta = p^{2}$ ....$(3)$
$(a \sin \theta - b \cos \theta)^{2} = q^{2}$
$a^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = q^{2}$ ....$(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$(a^{2} \cos^{2} \theta + a^{2} \sin^{2} \theta) + (b^{2} \sin^{2} \theta + b^{2} \cos^{2} \theta) + (2ab \sin \theta \cos \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta) = p^{2} + q^{2}$
$a^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + b^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = p^{2} + q^{2}$
चूंकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए:
$a^{2} + b^{2} = p^{2} + q^{2}$

(C) आयत $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ आयत को दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करता है।
माना $\angle CAD = \theta$ है। चूंकि $AD \parallel BC$,इसलिए $\angle CAD = \angle ACB = \theta$ होगा।
साथ ही,$\angle BAC = 90^{\circ} - \theta$ होगा।
सर्वसमिका $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$(\tan^2 \angle CAD + 1) \sin^2 \angle BAC = \sec^2 \angle CAD \cdot \sin^2 \angle BAC$
$= \frac{1}{\cos^2 \angle CAD} \cdot \sin^2 (90^{\circ} - \angle CAD)$
$= \frac{1}{\cos^2 \angle CAD} \cdot \cos^2 \angle CAD = 1$.

(B) दिया गया समीकरण: $\tan x = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ} + \sin 30^{\circ}$
मानक त्रिकोणमितीय मान रखने पर:
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$
$\tan x = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{2}$
$\tan x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$
$\tan x = 1$
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,इसलिए $\tan x = \tan 45^{\circ}$
अतः,$x = 45^{\circ}$.

(C) हम व्यंजक $\sqrt{\frac{\sec \theta - 1}{\sec \theta + 1}}$ से शुरुआत करते हैं।
$\sec \theta$ को $\frac{1}{\cos \theta}$ में बदलने पर,हमें $\sqrt{\frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{1}{\cos \theta} + 1}} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ प्राप्त होता है।
अंश और हर को $(1 - \cos \theta)$ से गुणा करने पर,हमें $\sqrt{\frac{(1 - \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta}}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\sqrt{\frac{(1 - \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta}} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ हो जाता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दो कोण $A$ और $B$ हैं,जहाँ $A > B$ है।
दिया गया है कि कोणों का योग $\pi$ रेडियन है।
$\pi$ रेडियन को डिग्री में बदलने पर: $\pi \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 180^{\circ}$।
अतः,$A + B = 180^{\circ}$।
दिया गया है कि कोणों का अंतर $\frac{\pi}{12}$ रेडियन है।
$\frac{\pi}{12}$ रेडियन को डिग्री में बदलने पर: $\frac{\pi}{12} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = 15^{\circ}$।
अतः,$A - B = 15^{\circ}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(A + B) + (A - B) = 180^{\circ} + 15^{\circ}$।
$2A = 195^{\circ} \Rightarrow A = 97.5^{\circ}$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(A + B) - (A - B) = 180^{\circ} - 15^{\circ}$।
$2B = 165^{\circ} \Rightarrow B = 82.5^{\circ}$।
नोट: विकल्प $B$ के अनुसार,यदि योग $135^{\circ}$ है,तो $A = 75^{\circ}$ और $B = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $\angle B = \frac{\pi}{3}$,$\angle C = \frac{\pi}{4}$ और $\frac{BD}{DC} = \frac{1}{3}$.
$\Delta ABD$ में,ज्या (Sine) नियम के अनुसार:
$\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin \angle B}$
$\Rightarrow \frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{AD}{\sin(\pi/3)} = \frac{AD}{\sqrt{3}/2}$
$\Rightarrow AD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{BD}{\sin \angle BAD}$ .... $(1)$
$\Delta ADC$ में,ज्या (Sine) नियम के अनुसार:
$\frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AD}{\sin \angle C}$
$\Rightarrow \frac{DC}{\sin \angle CAD} = \frac{AD}{\sin(\pi/4)} = \frac{AD}{1/\sqrt{2}}$
$\Rightarrow AD = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{DC}{\sin \angle CAD}$ .... $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{DC}{\sin \angle CAD}$
$\Rightarrow \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} \cdot \frac{BD}{DC}$
$\Rightarrow \frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(A) दिया गया है: $\sin 3A = \cos (A - 26^{\circ})$
हम जानते हैं कि $\sin \theta = \cos (90^{\circ} - \theta)$.
अतः,$\cos (90^{\circ} - 3A) = \cos (A - 26^{\circ})$.
कोणों की तुलना करने पर: $90^{\circ} - 3A = A - 26^{\circ}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $90^{\circ} + 26^{\circ} = 3A + A$.
$116^{\circ} = 4A$.
$A = \frac{116^{\circ}}{4} = 29^{\circ}$.

(A) दिया गया व्यंजक: $\sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta - 2 \sin ^{4} \theta}{2 \cos ^{4} \theta - \cos ^{2} \theta}$
अंश से $\sin^2 \theta$ और हर से $\cos^2 \theta$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta (1 - 2 \sin ^{2} \theta)}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
अंश में सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta [1 - 2(1 - \cos ^{2} \theta)]}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta (1 - 2 + 2 \cos ^{2} \theta)}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
$= \sec ^{2} \theta - \frac{\sin ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}{\cos ^{2} \theta (2 \cos ^{2} \theta - 1)}$
उभयनिष्ठ पद $(2 \cos^2 \theta - 1)$ को काटने पर:
$= \sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta$
सर्वसमिका $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,अंतिम मान $1$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $x=a(\sin \theta+\cos \theta)$ और $y=b(\sin \theta-\cos \theta)$।
क्रमशः $a$ और $b$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x}{a}=\sin \theta+\cos \theta$ और $\frac{y}{b}=\sin \theta-\cos \theta$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\sin \theta+\cos \theta)^{2}+(\sin \theta-\cos \theta)^{2}$ प्राप्त होता है।
$(A+B)^2 = A^2+B^2+2AB$ और $(A-B)^2 = A^2+B^2-2AB$ का उपयोग करके वर्गों का विस्तार करने पर:
$(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta)$।
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए व्यंजक सरल होकर $1 + 2\sin \theta \cos \theta + 1 - 2\sin \theta \cos \theta$ हो जाता है।
अतः,परिणाम $1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sin 5 \theta = \cos 20^{\circ}$ है।
हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\cos A = \sin(90^{\circ} - A)$।
दाहिनी ओर इस सर्वसमिका को लागू करने पर: $\cos 20^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 20^{\circ}) = \sin 70^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अब,समीकरण इस प्रकार है: $\sin 5 \theta = \sin 70^{\circ}$।
कोणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5 \theta = 70^{\circ}$।
$\theta$ के लिए हल करने पर: $\theta = \frac{70^{\circ}}{5} = 14^{\circ}$।
अतः,$\theta$ का मान $14^{\circ}$ है।

(C) हमें व्यंजक दिया गया है: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$।
सर्वसमिका $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ का उपयोग करके,हम पदों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ} = \frac{1}{\tan 1^{\circ}}$।
$\tan 88^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 2^{\circ}) = \cot 2^{\circ} = \frac{1}{\tan 2^{\circ}}$।
यह क्रम $\tan 46^{\circ} = \cot 44^{\circ} = \frac{1}{\tan 44^{\circ}}$ तक जारी रहता है।
मध्य पद $\tan 45^{\circ} = 1$ है।
इन मानों को गुणनफल में रखने पर:
$(\tan 1^{\circ} \cdot \cot 1^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \cot 2^{\circ}) \cdots (\tan 44^{\circ} \cdot \cot 44^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$।
चूंकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$,इसलिए गुणनफल $1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot 1 = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $(\sin \alpha + \operatorname{cosec} \alpha)^{2} + (\cos \alpha + \sec \alpha)^{2}$
$(a+b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= (\sin^{2} \alpha + \operatorname{cosec}^{2} \alpha + 2 \sin \alpha \operatorname{cosec} \alpha) + (\cos^{2} \alpha + \sec^{2} \alpha + 2 \cos \alpha \sec \alpha)$
चूंकि $\sin \alpha \operatorname{cosec} \alpha = 1$ और $\cos \alpha \sec \alpha = 1$:
$= \sin^{2} \alpha + \operatorname{cosec}^{2} \alpha + 2 + \cos^{2} \alpha + \sec^{2} \alpha + 2$
$= (\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha) + \operatorname{cosec}^{2} \alpha + \sec^{2} \alpha + 4$
सर्वसमिका $\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$,$\operatorname{cosec}^{2} \alpha = 1 + \cot^{2} \alpha$,और $\sec^{2} \alpha = 1 + \tan^{2} \alpha$ का उपयोग करने पर:
$= 1 + (1 + \cot^{2} \alpha) + (1 + \tan^{2} \alpha) + 4$
$= 7 + \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$
इसकी तुलना $K + \tan^{2} \alpha + \cot^{2} \alpha$ से करने पर,हमें $K = 7$ प्राप्त होता है।

(B) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार तथा बिंदु $P$ के बीच की दूरी $d$ है।
बिंदु $P$ से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $60^{\circ}$ है,अतः $\tan 60^{\circ} = h / d$,जिसका अर्थ है $d = h / \sqrt{3}$।
बिंदु $Q$,$P$ से $10\, m$ ऊर्ध्वाधर ऊपर है। मीनार के पाद का अवनमन कोण $30^{\circ}$ है। यह $10\, m$ ऊँचाई और $d$ आधार वाला एक समकोण त्रिभुज बनाता है,अतः $\tan 30^{\circ} = 10 / d$,जिसका अर्थ है $d = 10 / \tan 30^{\circ} = 10\sqrt{3}$।
$d$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $h / \sqrt{3} = 10\sqrt{3}$।
अतः,$h = 10\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30\, m$।

(A) दिया गया है कि $\sin 21^{\circ} = \frac{x}{y}.$
चूंकि $\cos 21^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^{2} 21^{\circ}},$ इसलिए $\cos 21^{\circ} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{y^{2}}} = \frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}.$
अब,$\sec 21^{\circ} = \frac{1}{\cos 21^{\circ}} = \frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}.$
साथ ही,$\sin 69^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 21^{\circ}) = \cos 21^{\circ} = \frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}.$
अतः,$\sec 21^{\circ} - \sin 69^{\circ} = \frac{y}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}} - \frac{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}{y}.$
लघुत्तम समापवर्त्य $y\sqrt{y^{2}-x^{2}}$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{y^{2} - (y^{2}-x^{2})}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}} = \frac{x^{2}}{y\sqrt{y^{2}-x^{2}}}.$

(C) हम जानते हैं कि सर्वसमिका $\sec^{2} \alpha - \tan^{2} \alpha = 1$ होती है।
इसे गुणनखंडित करने पर $(\sec \alpha + \tan \alpha)(\sec \alpha - \tan \alpha) = 1$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\sec \alpha + \tan \alpha = 2,$ अतः इस मान को रखने पर:
$2(\sec \alpha - \tan \alpha) = 1 \implies \sec \alpha - \tan \alpha = 0.5.$
अब,दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(\sec \alpha + \tan \alpha) + (\sec \alpha - \tan \alpha) = 2 + 0.5 = 2.5.$
$2 \sec \alpha = 2.5 \implies \sec \alpha = 1.25 = 5/4.$
चूंकि $\cos \alpha = 1 / \sec \alpha,$ इसलिए $\cos \alpha = 4/5 = 0.8.$
$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$\sin^{2} \alpha = 1 - (4/5)^{2} = 1 - 16/25 = 9/25.$
चूंकि $0 < \alpha < 90^{\circ}$ है,इसलिए $\sin \alpha$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $\sin \alpha = \sqrt{9/25} = 3/5 = 0.6.$

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3 \sin \theta + 5 \cos \theta = 5$ ..... $(1)$
$5 \sin \theta - 3 \cos \theta = x$ ..... $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके उन्हें जोड़ने पर:
$(3 \sin \theta + 5 \cos \theta)^2 + (5 \sin \theta - 3 \cos \theta)^2 = 5^2 + x^2$
$(9 \sin^2 \theta + 25 \cos^2 \theta + 30 \sin \theta \cos \theta) + (25 \sin^2 \theta + 9 \cos^2 \theta - 30 \sin \theta \cos \theta) = 25 + x^2$
$(9 + 25) \sin^2 \theta + (25 + 9) \cos^2 \theta = 25 + x^2$
$34(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25 + x^2$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$34 = 25 + x^2$
$x^2 = 34 - 25 = 9$
$x = \pm 3$

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,हम समीकरण को $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $x = \tan \theta$ है। तब $x + \frac{1}{x} = 2$,जिसे सरल करने पर $x^2 - 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $(x - 1)^2 = 0$ है,जिसका अर्थ है कि $x = 1$ है।
अतः,$\tan \theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 45^{\circ}$ (क्योंकि $\theta$ एक न्यून कोण है)।
अब,हमें $\tan^{5} \theta + \cot^{5} \theta$ का मान ज्ञात करना है।
$\tan \theta = 1$ और $\cot \theta = 1$ रखने पर:
$1^{5} + 1^{5} = 1 + 1 = 2$.

(A) हम जानते हैं कि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ होता है।
जब $\theta = 45^{\circ}$ हो, तो $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है।
अतः, $\sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$ और $\operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\sec 45^{\circ} + \operatorname{cosec} 45^{\circ} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$।

(A) हम जानते हैं कि $1 + \tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta$,जिसका अर्थ है कि $\tan^{2} \theta = \sec^{2} \theta - 1$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\tan^{2} \theta}{\sec \theta + 1} - \sec \theta = \frac{\sec^{2} \theta - 1}{\sec \theta + 1} - \sec \theta$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हुए,हम $\sec^{2} \theta - 1$ को $(\sec \theta - 1)(\sec \theta + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं:
$= \frac{(\sec \theta - 1)(\sec \theta + 1)}{\sec \theta + 1} - \sec \theta$
समान पद $(\sec \theta + 1)$ को काटने पर:
$= (\sec \theta - 1) - \sec \theta$
$= \sec \theta - 1 - \sec \theta = -1$.

(C) हम जानते हैं कि $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$.
मान लीजिए $a = \sin^2 \theta$ और $b = \cos^2 \theta$ है।
अतः,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta)^3 + (\cos^2 \theta)^3$.
सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^3 - 3(\sin^2 \theta)(\cos^2 \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = (1)^3 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta (1)$.
अतः,$\sin^6 \theta + \cos^6 \theta = 1 - 3 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.

(D) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \cot \theta = 2$.
चूँकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,हम लिख सकते हैं: $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$.
माना $x = \tan \theta$. तब $x + \frac{1}{x} = 2$.
$x$ से गुणा करने पर,हमें $x^2 + 1 = 2x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^2 - 2x + 1 = 0$ मिलता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(x - 1)^2 = 0$.
अतः,$x = 1$,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 1$.
चूँकि $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ है,$\tan \theta = 1$ का अर्थ है $\theta = 45^{\circ}$।

(A) हम जानते हैं कि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$\sec 60^{\circ} = 2$,और $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} - \frac{3}{2} \times 2 \times \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2} + \frac{4}{5} \times \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} \times (\sqrt{3})^{2} = 0$
$x \left( \frac{3}{4} \right) - 3 \times \left( \frac{1}{3} \right) + \frac{4}{5} \times \left( \frac{1}{2} \right) \times 3 = 0$
$\frac{3x}{4} - 1 + \frac{6}{5} = 0$
$\frac{3x}{4} = 1 - \frac{6}{5}$
$\frac{3x}{4} = -\frac{1}{5}$
$x = -\frac{1}{5} \times \frac{4}{3} = -\frac{4}{15}$.

(C) समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में,भुजा $AB$ कोण $\angle C = 30^{\circ}$ के सम्मुख (सामने) है और $AC$ कर्ण (hypotenuse) है।
त्रिकोणमितीय अनुपात $\sin$ का उपयोग करने पर:
$\sin C = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{AB}{AC}$
यहाँ $\angle C = 30^{\circ}$ और $AB = 6$ इकाई दिया गया है:
$\sin 30^{\circ} = \frac{6}{AC}$
चूँकि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$\frac{1}{2} = \frac{6}{AC}$
$AC = 6 \times 2 = 12$ इकाई।

(B) दिया गया समीकरण $7 \sin a = 24 \cos a$ है।
दोनों पक्षों को $\cos a$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{\sin a}{\cos a} = \tan a = \frac{24}{7}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2 a = 1 + \tan^2 a$ का उपयोग करने पर,$\sec^2 a = 1 + (\frac{24}{7})^2 = 1 + \frac{576}{49} = \frac{49 + 576}{49} = \frac{625}{49}$ प्राप्त होता है।
वर्गमूल लेने पर,$\sec a = \frac{25}{7}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos a = \frac{1}{\sec a}$,इसलिए $\cos a = \frac{7}{25}$ होगा।
अब,इन मानों को व्यंजक $14 \tan a - 75 \cos a - 7 \sec a$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 14(\frac{24}{7}) - 75(\frac{7}{25}) - 7(\frac{25}{7})$
$= 2(24) - 3(7) - 25$
$= 48 - 21 - 25$
$= 48 - 46 = 2$.

(D) हम जानते हैं कि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\operatorname{cosec} 30^{\circ} = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{1/2} = 2$,और $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(2)^{2} + x(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} - \frac{3}{4}(\frac{1}{\sqrt{3}})^{2} = 10$
$2(4) + x(\frac{3}{4}) - \frac{3}{4}(\frac{1}{3}) = 10$
$8 + \frac{3x}{4} - \frac{1}{4} = 10$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$32 + 3x - 1 = 40$
$31 + 3x = 40$
$3x = 40 - 31$
$3x = 9$
$x = 3$

(D) हम मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिका जानते हैं: $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1.$
इस सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan^2 \theta - \sec^2 \theta = -1.$
चूंकि व्यंजक $(\tan^2 \theta - \sec^2 \theta)$ का मान $\theta$ के मान पर निर्भर नहीं करता है (बशर्ते $\theta$ फलनों के डोमेन में हो),इसलिए दिया गया समीकरण $2 \sin \theta + \cos \theta = \frac{7}{3}$ अंतिम परिणाम के लिए अप्रासंगिक है।
अतः,इसका मान $-1$ है।

(D) दिया गया है,$29 \tan \theta = 31 \implies \tan \theta = \frac{31}{29}$.
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,इसलिए $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{31}{29}$ है।
अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = \frac{31 + 29}{31 - 29} = \frac{60}{2} = 30$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta}{1-2 \sin \theta \cos \theta}$ पर विचार करें।
हम जानते हैं कि $1 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{(\sin \theta + \cos \theta)^2}{(\sin \theta - \cos \theta)^2}$.
पहले प्राप्त मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \left( \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} \right)^2 = (30)^2 = 900$.

(B) दिया गया है: $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ .... $(1)$
माना $x = \cos \theta - \sin \theta$ .... $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\sqrt{2} \cos \theta)^2 \Rightarrow \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cos^2 \theta$
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cos^2 \theta$ .... $(3)$
$x^2 = (\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$
$x^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$ .... $(4)$
समीकरण $(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$1 + 2 \sin \theta \cos \theta + x^2 = 2 \cos^2 \theta + 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$
$1 + x^2 = 2 \cos^2 \theta + 1$
$x^2 = 2 \cos^2 \theta$ (नोट: यहाँ सर्वसमिका $(\sin \theta + \cos \theta)^2 + (\cos \theta - \sin \theta)^2 = 2$ का उपयोग करने पर)
$x^2 = 2 - (\sqrt{2} \cos \theta)^2 = 2 - 2 \cos^2 \theta = 2(1 - \cos^2 \theta) = 2 \sin^2 \theta$
अतः,$x = \sqrt{2} \sin \theta$.

(A) दिया गया समीकरण: $x \sin 45^{\circ} = y \operatorname{cosec} 30^{\circ}$.
त्रिकोणमितीय मान रखने पर: $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
अतः,$x \times \frac{1}{\sqrt{2}} = y \times 2$.
अनुपात $\frac{x}{y}$ ज्ञात करने पर: $\frac{x}{y} = 2 \sqrt{2}$.
अब,$\frac{x^{4}}{y^{4}}$ की गणना करने पर: $\left(\frac{x}{y}\right)^{4} = (2 \sqrt{2})^{4}$.
$(2 \sqrt{2})^{4} = 2^{4} \times (\sqrt{2})^{4} = 16 \times 4 = 64$.
चूंकि $64 = 4^{3}$,इसलिए सही उत्तर $4^{3}$ है।

(A) दिया गया है कि $\tan \theta + \cot \theta = 2$ है।
चूंकि $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ होता है,इसलिए समीकरण को $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों को $\tan \theta$ से गुणा करने पर,हमें $\tan^2 \theta + 1 = 2 \tan \theta$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\tan^2 \theta - 2 \tan \theta + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक पूर्ण वर्ग है: $(\tan \theta - 1)^2 = 0$।
अतः,$\tan \theta = 1$ है।
यदि $\tan \theta = 1$ है,तो $\cot \theta = \frac{1}{1} = 1$ होगा।
अब,इन मानों को $\tan^{100} \theta + \cot^{100} \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1^{100} + 1^{100} = 1 + 1 = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$ है।
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\tan \theta}{1-\frac{1}{\tan \theta}} + \frac{\frac{1}{\tan \theta}}{1-\tan \theta} = \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta - 1} + \frac{1}{\tan \theta(1-\tan \theta)}$.
दूसरे पद को समान हर $(\tan \theta - 1)$ में बदलने पर:
$= \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta - 1} - \frac{1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$.
भिन्नों को संयोजित करने पर:
$= \frac{\tan^3 \theta - 1}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \tan \theta$ और $b = 1$:
$= \frac{(\tan \theta - 1)(\tan^2 \theta + \tan \theta + 1)}{\tan \theta(\tan \theta - 1)}$.
समान पद $(\tan \theta - 1)$ को काटने पर:
$= \frac{\tan^2 \theta + \tan \theta + 1}{\tan \theta} = \frac{\tan^2 \theta}{\tan \theta} + \frac{\tan \theta}{\tan \theta} + \frac{1}{\tan \theta}$.
$= \tan \theta + 1 + \cot \theta = 1 + \tan \theta + \cot \theta$.

(B) दिया गया है $\sec \theta = x + \frac{1}{4x} = \frac{4x^2 + 1}{4x}$.
हम जानते हैं कि $\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$.
$\tan \theta = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\left(x + \frac{1}{4x}\right)^2 - 1}$.
$\tan \theta = \sqrt{x^2 + 2(x)(\frac{1}{4x}) + \frac{1}{16x^2} - 1} = \sqrt{x^2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2} - 1} = \sqrt{x^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^2}}$.
इसे $\sqrt{\left(x - \frac{1}{4x}\right)^2} = x - \frac{1}{4x}$ के रूप में लिखा जा सकता है (चूंकि $0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$,इसलिए $\tan \theta > 0$).
अब,$\sec \theta + \tan \theta = \left(x + \frac{1}{4x}\right) + \left(x - \frac{1}{4x}\right) = 2x$.

(C) त्रिभुज के सभी कोणों का योग $\pi$ रेडियन होता है।
दिया गया एक कोण $\frac{5 \pi}{9}$ है।
शेष दो कोणों का योग $\pi - \frac{5 \pi}{9} = \frac{4 \pi}{9}$ है।
चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,इसलिए दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $1$: यदि दिया गया कोण शीर्ष कोण है,तो आधार के दोनों कोण समान होंगे। प्रत्येक आधार कोण $= \frac{1}{2} \times \frac{4 \pi}{9} = \frac{2 \pi}{9}$ होगा।
स्थिति $2$: यदि दिया गया कोण आधार का एक कोण है,तो दूसरा आधार कोण भी $\frac{5 \pi}{9}$ होगा। लेकिन,दो कोणों का योग $\frac{5 \pi}{9} + \frac{5 \pi}{9} = \frac{10 \pi}{9}$ होगा,जो $\pi$ से अधिक है। त्रिभुज के लिए यह संभव नहीं है।
इसलिए,अन्य कोण $\frac{2 \pi}{9}$ होने चाहिए।

(A) दिया गया है:
$x = r \cos \theta \cos \phi$
$y = r \cos \theta \sin \phi$
$z = r \sin \theta$
इन मानों को $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (r \cos \theta \cos \phi)^{2} + (r \cos \theta \sin \phi)^{2} + (r \sin \theta)^{2}$
$= r^{2} \cos^{2} \theta \cos^{2} \phi + r^{2} \cos^{2} \theta \sin^{2} \phi + r^{2} \sin^{2} \theta$
पहले दो पदों से $r^{2} \cos^{2} \theta$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$= r^{2} \cos^{2} \theta (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) + r^{2} \sin^{2} \theta$
चूंकि $\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$:
$= r^{2} \cos^{2} \theta (1) + r^{2} \sin^{2} \theta$
$= r^{2} (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta)$
चूंकि $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$:
$= r^{2} (1) = r^{2}$

(C) दिया गया समीकरण: $5 \cos \theta + 12 \sin \theta = 13$
दोनों पक्षों को $13$ से विभाजित करने पर:
$\frac{5}{13} \cos \theta + \frac{12}{13} \sin \theta = 1$
माना $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ और $\sin \alpha = \frac{12}{13}$ है। तब $\tan \alpha = \frac{12}{5}$ होगा।
समीकरण इस प्रकार हो जाता है: $\cos \alpha \cos \theta + \sin \alpha \sin \theta = 1$
$\cos(\theta - \alpha) = 1$
इसका अर्थ है कि $\theta - \alpha = 0$,अतः $\theta = \alpha$ है।
इसलिए,$\tan \theta = \tan \alpha = \frac{12}{5}$।

(B) दिया गया व्यंजक: $\sec ^{2} 12^{\circ}-\frac{1}{\tan ^{2} 78^{\circ}}$
चूंकि $\frac{1}{\tan \theta} = \cot \theta$,व्यंजक $\sec ^{2} 12^{\circ}-\cot ^{2} 78^{\circ}$ हो जाता है।
पूरक कोण सर्वसमिका $\cot(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cot 78^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 12^{\circ}) = \tan 12^{\circ}$ है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $\sec ^{2} 12^{\circ}-\tan ^{2} 12^{\circ}$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec ^{2} \theta - \tan ^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,मान $1$ है।

(D) दिया गया है: $\tan \theta \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
हम जानते हैं कि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ होता है।
यह मान रखने पर: $\tan \theta \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ होता है,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।
अब,हमें $\sin (\theta - 15^{\circ})$ का मान ज्ञात करना है।
$\theta = 60^{\circ}$ रखने पर: $\sin (60^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin 45^{\circ}$।
चूंकि $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होता है,इसलिए अंतिम उत्तर $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(C) दिया गया समीकरण $\tan 2\theta \cdot \tan 3\theta = 1$ है।
इसे $\tan 3\theta = \frac{1}{\tan 2\theta} = \cot 2\theta$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $\cot A = \tan(90^{\circ} - A)$ का उपयोग करने पर,$\tan 3\theta = \tan(90^{\circ} - 2\theta)$ प्राप्त होता है।
कोणों की तुलना करने पर,$3\theta = 90^{\circ} - 2\theta$,जिससे $5\theta = 90^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $\theta = 18^{\circ}$।
अब,हमें $(2 \cos^2 \frac{5\theta}{2} - 1)$ का मान ज्ञात करना है।
$\theta = 18^{\circ}$ रखने पर,$\frac{5\theta}{2} = \frac{5 \times 18^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $2 \cos^2 45^{\circ} - 1$ बन जाता है।
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$।
अतः,$2 \times (\frac{1}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0$।

(B) दिया गया है कि $\sin 17^{\circ} = \frac{x}{y}.$
सर्वसमिका $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\cos 17^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^{2} 17^{\circ}}.$
$\cos 17^{\circ} = \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{y^{2}}} = \sqrt{\frac{y^{2} - x^{2}}{y^{2}}} = \frac{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}{y}.$
अतः,$\sec 17^{\circ} = \frac{1}{\cos 17^{\circ}} = \frac{y}{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}.$
पूरक कोण सर्वसमिका $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin 73^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 17^{\circ}) = \cos 17^{\circ} = \frac{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}{y}.$
अब,$(\sec 17^{\circ} - \sin 73^{\circ}) = \frac{y}{\sqrt{y^{2} - x^{2}}} - \frac{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}{y}$ की गणना करने पर.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर: $\frac{y^{2} - (\sqrt{y^{2} - x^{2}})^{2}}{y \sqrt{y^{2} - x^{2}}} = \frac{y^{2} - (y^{2} - x^{2})}{y \sqrt{y^{2} - x^{2}}} = \frac{x^{2}}{y \sqrt{y^{2} - x^{2}}}.$

(B) दिया गया है: $XZ - YZ = 2$ और $XY = 2\sqrt{6}$।
समकोण त्रिभुज $XYZ$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$XY^2 + YZ^2 = XZ^2$
$(2\sqrt{6})^2 = XZ^2 - YZ^2$
$24 = (XZ - YZ)(XZ + YZ)$
चूंकि $XZ - YZ = 2$,इसलिए:
$24 = 2(XZ + YZ)$
$XZ + YZ = 12$
अब,हमारे पास दो रैखिक समीकरण हैं:
$1$) $XZ - YZ = 2$
$2$) $XZ + YZ = 12$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2XZ = 14 \Rightarrow XZ = 7$
समीकरण $(1)$ में $XZ = 7$ रखने पर:
$7 - YZ = 2 \Rightarrow YZ = 5$
अब,कोण $X$ के लिए:
$\sec X = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{XZ}{XY} = \frac{7}{2\sqrt{6}}$
$\tan X = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{YZ}{XY} = \frac{5}{2\sqrt{6}}$
अतः,$\sec X + \tan X = \frac{7}{2\sqrt{6}} + \frac{5}{2\sqrt{6}} = \frac{12}{2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$।

(B) माना $Z = \sin \theta + \cos \theta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Z^{2} = (\sin \theta + \cos \theta)^{2} = \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta + 2 \sin \theta \cos \theta$.
चूँकि $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,इसलिए $Z^{2} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$ है।
$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के लिए,$\sin \theta$ और $\cos \theta$ दोनों धनात्मक होते हैं,इसलिए $2 \sin \theta \cos \theta > 0$ है।
अतः,$Z^{2} = 1 + (\text{एक धनात्मक मान}) > 1$ है।
वर्गमूल लेने पर,$Z > 1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$ के लिए $\sin \theta + \cos \theta$ का मान हमेशा $1$ से अधिक होता है।

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\tan 57^{\circ}+\cot 37^{\circ}}{\tan 33^{\circ}+\cot 53^{\circ}}$
पूरक कोण सर्वसमिकाओं $\tan(90^{\circ}-\theta) = \cot \theta$ और $\cot(90^{\circ}-\theta) = \tan \theta$ का उपयोग करने पर:
$\tan 57^{\circ} = \tan(90^{\circ}-33^{\circ}) = \cot 33^{\circ}$
$\cot 37^{\circ} = \cot(90^{\circ}-53^{\circ}) = \tan 53^{\circ}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\cot 33^{\circ} + \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ} + \cot 53^{\circ}}$
$= \frac{\frac{1}{\tan 33^{\circ}} + \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ} + \frac{1}{\tan 53^{\circ}}}$
$= \frac{\frac{1 + \tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ}}}{\frac{\tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ} + 1}{\tan 53^{\circ}}}$
$= \frac{1 + \tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ}} \times \frac{\tan 53^{\circ}}{1 + \tan 33^{\circ} \tan 53^{\circ}}$
$= \frac{\tan 53^{\circ}}{\tan 33^{\circ}} = \tan 53^{\circ} \cot 33^{\circ}$
चूंकि $\tan 53^{\circ} = \cot 37^{\circ}$ और $\cot 33^{\circ} = \tan 57^{\circ}$,इसलिए व्यंजक का मान $\tan 57^{\circ} \cot 37^{\circ}$ के बराबर है।

(D) माना व्यंजक $E = \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta + \sec^{2} \theta + \operatorname{cosec}^{2} \theta + \tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta$ है।
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $E = 1 + \sec^{2} \theta + \operatorname{cosec}^{2} \theta + \tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta$.
$\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$ और $\operatorname{cosec}^{2} \theta = 1 + \cot^{2} \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = 1 + (1 + \tan^{2} \theta) + (1 + \cot^{2} \theta) + \tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta$.
$E = 3 + 2(\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta)$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका के अनुसार,$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta \ge 2 \sqrt{\tan^{2} \theta \cdot \cot^{2} \theta} = 2(1) = 2$.
अतः,$E$ का न्यूनतम मान $3 + 2(2) = 3 + 4 = 7$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$.
चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$,इसलिए समीकरण $2(1) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ हो जाता है,जिसे सरल करने पर $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$ प्राप्त होता है।
हम सर्वसमिका $(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ जानते हैं।
इस सर्वसमिका में $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2$ का मान रखने पर,हमें $(x - \frac{1}{x})^{2} = 2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x - \frac{1}{x} = 0$ है।

(C) दिया गया है कि $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=2$ है।
चूंकि $\sin ^{2} \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए समीकरण $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta=2$ तभी संभव है जब $\sin ^{2} \alpha=1$ और $\sin ^{2} \beta=1$ हो।
इसका अर्थ है कि $\sin \alpha = \pm 1$ और $\sin \beta = \pm 1$ है।
$\sin ^{2} \alpha=1$ के लिए,$\alpha = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ और $\sin ^{2} \beta=1$ के लिए,$\beta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \dots$ प्राप्त होता है।
मुख्य मान लेने पर,$\alpha = \frac{\pi}{2}$ और $\beta = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \cos \left(\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}}{2}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$।

(D) दी गई व्यंजक: $\cot \frac{\pi}{20} \cdot \cot \frac{3 \pi}{20} \cdot \cot \frac{5 \pi}{20} \cdot \cot \frac{7 \pi}{20} \cdot \cot \frac{9 \pi}{20}$
चूँकि $\pi = 180^{\circ}$,इसलिए:
$= \cot 9^{\circ} \cdot \cot 27^{\circ} \cdot \cot 45^{\circ} \cdot \cot 63^{\circ} \cdot \cot 81^{\circ}$
सर्वसमिका $\cot(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta$ का उपयोग करने पर:
$= \cot 9^{\circ} \cdot \cot 27^{\circ} \cdot \cot 45^{\circ} \cdot \cot(90^{\circ} - 27^{\circ}) \cdot \cot(90^{\circ} - 9^{\circ})$
$= \cot 9^{\circ} \cdot \cot 27^{\circ} \cdot \cot 45^{\circ} \cdot \tan 27^{\circ} \cdot \tan 9^{\circ}$
चूँकि $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$:
$= (\cot 9^{\circ} \cdot \tan 9^{\circ}) \cdot (\cot 27^{\circ} \cdot \tan 27^{\circ}) \cdot \cot 45^{\circ}$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

(D) दिया गया है: $\sin \theta + \cos \theta = \frac{17}{13}$ ..... $(1)$
माना $\sin \theta - \cos \theta = x$ ..... $(2)$
दोनों समीकरणों का वर्ग करने पर:
$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{17}{13})^2 \Rightarrow \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{289}{169}$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{289}{169} \Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{289}{169} - 1 = \frac{120}{169}$ ..... $(3)$
अब,$x^2 = (\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta$
$x^2 = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$
समीकरण $(3)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 = 1 - \frac{120}{169} = \frac{169 - 120}{169} = \frac{49}{169}$
$x = \pm \sqrt{\frac{49}{169}} = \pm \frac{7}{13}$
चूंकि $0 < \theta < 90^{\circ}$ है,इसलिए सही मान $\frac{7}{13}$ है।

(C) दिया गया है कि $\tan \theta \cdot \tan 2 \theta = 1.$
इसका अर्थ है कि $\tan \theta = \frac{1}{\tan 2 \theta} = \cot 2 \theta.$
हम $\cot 2 \theta$ को $\tan(90^{\circ} - 2 \theta)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\tan \theta = \tan(90^{\circ} - 2 \theta).$
कोणों की तुलना करने पर,$\theta = 90^{\circ} - 2 \theta \Rightarrow 3 \theta = 90^{\circ} \Rightarrow \theta = 30^{\circ}.$
अब,$\theta = 30^{\circ}$ का मान $\sin ^{2} 2 \theta + \tan ^{2} 2 \theta$ में रखने पर।
यह पद $\sin ^{2} 60^{\circ} + \tan ^{2} 60^{\circ}$ बन जाता है।
चूंकि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3},$
इसलिए हमें $(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + (\sqrt{3})^{2} = \frac{3}{4} + 3 = 3 \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।