sum_{0 le i

Question

(D) माना $S = \sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$.योग के क्रम को बदलकर हम लिख सकते हैं:$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$.आंतरि

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$n(n - 1) 2^{n-3}$

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(D) माना $S = \sum_{0 \le i योग के क्रम को बदलकर हम लिख सकते हैं:$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \sum_{i=0}^{j-1} i$.आंतरिक योग प्रथम $(j-1)$ पूर्णांकों का योग है: $\sum_{i=0}^{j-1} i = \frac{(j-1)j}{2}$.अतः,$S = \sum_{j=1}^{n} \binom{n}{j} \frac{j(j-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} \frac{n!}{j!(n-j)!} j(j-1)$.सर्वसमिका $j(j-1) \binom{n}{j} = n(n-1) \binom{n-2}{j-2}$ का उपयोग करने पर:$S = \frac{1}{2} \sum_{j=2}^{n} n(n-1) \binom{n-2}{j-2} = \frac{n(n-1)}{2} \sum_{j=2}^{n} \binom{n-2}{j-2}$.माना $k = j-2$,तब योग $\sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-2}{k} = 2^{n-2}$ हो जाता है।इसलिए,$S = \frac{n(n-1)}{2} \cdot 2^{n-2} = n(n-1) 2^{n-3}$.

$\sum_{0 \le i < j \le n} i \binom{n}{j}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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