$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ अंकों का उपयोग करके $5000$ और $10,000$ के बीच कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि प्रत्येक संख्या में कोई भी अंक एक से अधिक बार न आए?

एक समूह में $12$ सदस्य हैं। $6$ सदस्यों की एक टीम को कितनी तरह से चुना जा सकता है कि एक विशेष सदस्य हमेशा शामिल रहे?

दो पात्र (urns) हैं। पात्र $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं और पात्र $B$ में $9$ अलग-अलग नीली गेंदें हैं। प्रत्येक पात्र से यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं और फिर दूसरे पात्र में स्थानांतरित कर दी जाती हैं। यह प्रक्रिया कितने तरीकों से की जा सकती है?

एक समतल में $n$ बिंदु हैं जिनमें से $p$ बिंदु संरेख हैं। इन बिंदुओं से कितनी रेखाएँ बनाई जा सकती हैं?

दी गई आकृति में,$6$ '$A$' को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$A$' हो। ऐसा करने के तरीकों की संख्या है:

एक छात्रवृत्ति के लिए,$2n+1$ उम्मीदवारों में से अधिकतम $n$ उम्मीदवारों का चयन किया जा सकता है। यदि छात्रवृत्ति के लिए कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के विभिन्न तरीकों की संख्या $63$ है,तो छात्रवृत्ति के लिए चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या क्या है?