Measurement of Area Questions in Hindi

(C) माना कि मूल समबाहु त्रिभुज की भुजा $x$ है।
मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे समबाहु त्रिभुज की भुजा $\frac{x}{6}$ है।
एक छोटे समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_{small} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\frac{x}{6})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{x^2}{36}$ है।
बनने वाले छोटे त्रिभुजों की संख्या मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल और एक छोटे त्रिभुज के क्षेत्रफल का अनुपात है:
त्रिभुजों की संख्या $= \frac{A}{A_{small}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2}{\frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{x^2}{36}} = 36$.

(C) माना वर्ग की भुजा $= x$ है।
जब वर्ग को उसकी लंबाई के अनुदिश मोड़कर एक बेलन बनाया जाता है,तो भुजा की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है।
अतः,आधार की परिधि $= 2 \pi r = x$ है।
इससे,त्रिज्या $r = \frac{x}{2 \pi}$ प्राप्त होती है।
बेलन की आधार त्रिज्या और वर्ग की भुजा का अभीष्ट अनुपात $\frac{r}{x}$ है।
$r$ का मान रखने पर,हमें $\frac{\frac{x}{2 \pi}}{x} = \frac{1}{2 \pi}$ प्राप्त होता है।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,अनुपात $\frac{1}{2 \times \frac{22}{7}} = \frac{7}{44}$ हो जाता है।
अतः,अनुपात $7: 44$ है।

(A) वृत्त का क्षेत्रफल $= 1386 \, cm^2$ है।
वृत्त के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\pi r^2 = 1386$।
$\frac{22}{7} \times r^2 = 1386 \implies r^2 = \frac{1386 \times 7}{22} = 63 \times 7 = 441$।
अतः,$r = \sqrt{441} = 21 \, cm$।
तार की लंबाई वृत्त की परिधि के बराबर होती है: $C = 2 \pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 132 \, cm$।
जब इस तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है,तो इसका परिमाप $132 \, cm$ ही रहता है।
माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है। तब $3a = 132$,जिससे $a = 44 \, cm$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 44 \times 44 = \sqrt{3} \times 11 \times 44 = 484 \sqrt{3} \, cm^2$।

(D) माना कि गोलाकार कटोरे की त्रिज्या $r \, cm$ है।
अर्धगोलाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल (ढक्कन को छोड़कर) $2 \pi r^2 = 616 \, cm^2$ दिया गया है।
$r^2 = \frac{616 \times 7}{2 \times 22} = \frac{308 \times 7}{22} = 14 \times 7 = 98 \, cm^2$.
$r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \, cm$.
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (7\sqrt{2})^3$.
$V = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 343 \times 2\sqrt{2}$.
$V = \frac{44}{21} \times 686\sqrt{2} = \frac{44 \times 98\sqrt{2}}{3} = \frac{4312\sqrt{2}}{3}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,$V \approx \frac{4312 \times 1.414}{3} \approx 2032.69 \, cm^3$.

(D) अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या $R = \frac{54}{2} = 27 \ cm$ है।
अर्धगोलाकार कटोरे का आयतन $V_{bowl} = \frac{2}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi (27)^3 \ cm^3$ है।
एक बेलनाकार बोतल का आयतन $V_{bottle} = \pi r^2 h = \pi (3)^2 (9) = 81 \pi \ cm^3$ है।
आवश्यक बोतलों की संख्या तरल के कुल आयतन और एक बोतल के आयतन के अनुपात द्वारा ज्ञात की जाती है:
$\text{बोतलों की संख्या} = \frac{V_{bowl}}{V_{bottle}} = \frac{\frac{2}{3} \pi (27)^3}{\pi (3)^2 (9)} = \frac{2}{3} \times \frac{27 \times 27 \times 27}{9 \times 9} = \frac{2}{3} \times \frac{19683}{81} = \frac{2}{3} \times 243 = 2 \times 81 = 162$.
अतः,कटोरे को खाली करने के लिए $162$ बोतलों की आवश्यकता होगी।

(C) दिया गया है कि वर्ग के विकर्ण का आधा भाग $5 \, cm$ है।
अतः,विकर्ण की कुल लंबाई $d = 5 \times 2 = 10 \, cm$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल विकर्ण के सूत्र का उपयोग करके निकाला जा सकता है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d^{2}$।
विकर्ण का मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (10)^{2}$।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 100 = 50 \, cm^{2}$।

(C) माना वर्ग की मूल भुजा $x$ है।
अतः,मूल क्षेत्रफल $= x^2$ होगा।
यदि भुजा में $50 \%$ की वृद्धि की जाती है,तो नई भुजा $= x + 0.5x = 1.5x$ या $\frac{3x}{2}$ होगी।
नया क्षेत्रफल $= (1.5x)^2 = 2.25x^2$ या $\frac{9x^2}{4}$ होगा।
क्षेत्रफल में हुई वृद्धि $= 2.25x^2 - x^2 = 1.25x^2$ होगी।
क्षेत्रफल में प्रतिशत वृद्धि $= \frac{\text{क्षेत्रफल में वृद्धि}}{\text{मूल क्षेत्रफल}} \times 100 = \frac{1.25x^2}{x^2} \times 100 = 125 \%$।

(B) माना कि वर्ग की भुजा $x$ है।
अतः, वर्ग का क्षेत्रफल $= x^2$ होगा।
वर्ग के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = \sqrt{2} \times \text{भुजा} = \sqrt{2}x$ है।
इसके विकर्ण पर खींचे गए वर्ग का क्षेत्रफल $= (\text{विकर्ण})^2 = (\sqrt{2}x)^2 = 2x^2$ होगा।
इसलिए, मूल वर्ग के क्षेत्रफल और विकर्ण पर खींचे गए वर्ग के क्षेत्रफल का अभीष्ट अनुपात $\frac{x^2}{2x^2} = 1:2$ है।

(B) दिया गया है कि वृत्त का व्यास $= 10 \, cm$ है।
चूंकि वृत्त वर्ग को परिबद्ध करता है,इसलिए वृत्त का व्यास वर्ग के विकर्ण के बराबर होता है।
अतः,वर्ग का विकर्ण $= 10 \, cm$ है।
माना वर्ग की भुजा $= x \, cm$ है।
वर्ग के विकर्ण $d$ और भुजा $x$ के बीच का संबंध $d = x \sqrt{2}$ होता है।
विकर्ण का मान रखने पर,हमें $10 = x \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर,$x = \frac{10}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
हर का परिमेयकरण करने पर,$x = \frac{10 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} \, cm$।
अतः,वर्ग की भुजा $5 \sqrt{2} \, cm$ है।

(B) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है।
तब,वृत्त का व्यास $= 2r$ होगा।
चूंकि वर्ग वृत्त के भीतर अंकित है,इसलिए वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होगा।
वर्ग का विकर्ण $= 2r$।
माना वर्ग की भुजा $a$ है।
तब,$a\sqrt{2} = 2r$,जिसका अर्थ है $a = \frac{2r}{\sqrt{2}} = r\sqrt{2}$।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2$।
वर्ग का क्षेत्रफल $= a^2 = (r\sqrt{2})^2 = 2r^2$।
अभीष्ट अनुपात $= \frac{\text{वृत्त का क्षेत्रफल}}{\text{वर्ग का क्षेत्रफल}} = \frac{\pi r^2}{2r^2} = \frac{\pi}{2}$।
अतः,अनुपात $\pi: 2$ है।

(A) $1$. दीवार का कुल आयतन घन सेंटीमीटर $(cm^3)$ में ज्ञात करें:
दीवार की विमाएँ $12\, m \times 5\, m \times 0.25\, m$ हैं।
सेमी में बदलने पर: $1200\, cm \times 500\, cm \times 25\, cm = 15,000,000\, cm^3$।
$2$. ईंटों द्वारा घेरा गया आयतन ज्ञात करें:
रेत और सीमेंट का मिश्रण कुल आयतन का $5\%$ भाग घेरता है,इसलिए ईंटें कुल आयतन का $95\%$ भाग घेरती हैं।
ईंटों का आयतन $= 0.95 \times 15,000,000\, cm^3 = 14,250,000\, cm^3$।
$3$. एक ईंट का आयतन ज्ञात करें:
आयतन $= 25\, cm \times 12.5\, cm \times 7.5\, cm = 2343.75\, cm^3$।
$4$. आवश्यक ईंटों की संख्या ज्ञात करें:
ईंटों की संख्या $= \frac{\text{ईंटों का कुल आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{14,250,000}{2343.75} = 6080$।

(D) एक आदमी द्वारा पानी का औसत विस्थापन $8\, m^3$ है।
$150$ आदमियों द्वारा पानी का कुल विस्थापन $150 \times 8\, m^3 = 1200\, m^3$ है।
मान लीजिए कि जल स्तर में वृद्धि $h$ मीटर है।
विस्थापित पानी का आयतन पूल के क्षेत्रफल और ऊंचाई में वृद्धि के गुणनफल के बराबर होता है: $90\, m \times 40\, m \times h = 1200\, m^3$।
$3600 \times h = 1200$।
$h = \frac{1200}{3600} = \frac{1}{3}\, m$।
ऊंचाई को सेंटीमीटर में बदलने के लिए,$100$ से गुणा करें: $h = \frac{1}{3} \times 100 = 33.33\, cm$।

(C) आंतरिक त्रिज्या,$r = 10 \, cm$.
बाहरी त्रिज्या,$R = 12 \, cm$.
कवच में धातु का आयतन $= \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3)$.
आयतन $= \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (12^3 - 10^3) = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (1728 - 1000) = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times 728 \, cm^3$.
कवच का वजन $= \text{धातु का आयतन} \times \text{धातु का घनत्व}$.
वजन $= (\frac{4}{3} \times 3.1416 \times 728) \times 4.9 = 3049.4432 \times 4.9 = 14942.27168 \, gm \approx 14942.28 \, gm$.

(D) निकाली गई मिट्टी का आयतन $= 10 \text{ m} \times 4.5 \text{ m} \times 3 \text{ m} = 135 \text{ m}^3$.
खेत का कुल क्षेत्रफल $= 20 \text{ m} \times 9 \text{ m} = 180 \text{ m}^2$.
गड्ढे का क्षेत्रफल $= 10 \text{ m} \times 4.5 \text{ m} = 45 \text{ m}^2$.
खेत का शेष क्षेत्रफल $= 180 \text{ m}^2 - 45 \text{ m}^2 = 135 \text{ m}^2$.
माना खेत की ऊँचाई में वृद्धि $h \text{ m}$ है।
चूँकि निकाली गई मिट्टी को शेष क्षेत्र पर फैलाया गया है,इसलिए निकाली गई मिट्टी का आयतन बढ़ी हुई परत के आयतन के बराबर होगा:
$135 \text{ m}^2 \times h \text{ m} = 135 \text{ m}^3$.
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{135}{135} = 1 \text{ m}$.
अतः,खेत की ऊँचाई में $1 \text{ m}$ की वृद्धि होगी।

(A) माना पहले शंकु की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई $r_1$ और $l_1$ है,और दूसरे शंकु के लिए $r_2$ और $l_2$ है।
प्रश्न के अनुसार,पहले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दूसरे शंकु का तीन गुना है: $\pi r_1 l_1 = 3(\pi r_2 l_2)$.
साथ ही,दिया गया है कि दूसरे शंकु की तिर्यक ऊँचाई पहले शंकु की तीन गुनी है: $l_2 = 3l_1$.
पहले समीकरण में $l_2$ का मान रखने पर: $\pi r_1 l_1 = 3(\pi r_2 \cdot 3l_1)$.
सरल करने पर: $r_1 l_1 = 9 r_2 l_1$.
दोनों पक्षों को $l_1$ से विभाजित करने पर: $r_1 = 9r_2$,जिसका अर्थ है $\frac{r_1}{r_2} = 9$.
उनके आधार के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 9^2 = 81$ है।
अतः,अनुपात $81:1$ है।

(C) तीनों वृत्तों के केंद्र एक समबाहु त्रिभुज $\Delta ABC$ बनाते हैं,जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई $a = 1 + 1 = 2\, cm$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (2)^2 = \sqrt{3}\, cm^2$.
समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।
$r$ त्रिज्या और $\theta$ कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$ होता है।
यहाँ,$r = 1\, cm$ और $\theta = 60^{\circ}$ है।
एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi (1)^2 = \frac{1}{6} \pi\, cm^2$.
चूंकि त्रिभुज के अंदर ऐसे तीन त्रिज्यखंड हैं,इसलिए तीनों त्रिज्यखंडों का कुल क्षेत्रफल = $3 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}\, cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल में से तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफल का योग घटाने पर प्राप्त होता है।
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = $\sqrt{3} - \frac{\pi}{2}\, cm^2$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक घन की भुजा $a$ है।
जब तीन समान घनों को एक पंक्ति में सटाकर रखा जाता है,तो वे एक घनाभ बनाते हैं।
इस नए घनाभ की विमाएँ हैं: लंबाई $(l) = 3a$,चौड़ाई $(b) = a$,और ऊँचाई $(h) = a$।
नए घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2(lb + bh + lh)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $2(3a \times a + a \times a + 3a \times a) = 2(3a^2 + a^2 + 3a^2) = 2(7a^2) = 14a^2$।
एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $6a^2$ होता है। अतः,तीनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग $3 \times 6a^2 = 18a^2$ है।
अभीष्ट अनुपात $\frac{14a^2}{18a^2} = \frac{7}{9}$ है,जो $7:9$ के बराबर है।

(D) माना प्रारंभिक त्रिज्या $r = 10$ और ऊँचाई $H$ है।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = \pi r^2 H = \pi (10)^2 H = 100 \pi H$.
चूँकि त्रिज्या में $50 \% $ की वृद्धि होती है,नई त्रिज्या $r' = 10 + (10 \text{ का } 50 \% ) = 10 + 5 = 15$ होगी।
ऊँचाई $H$ स्थिर रहती है।
नया आयतन $V_2 = \pi (r')^2 H = \pi (15)^2 H = 225 \pi H$.
आयतन में वृद्धि $= V_2 - V_1 = 225 \pi H - 100 \pi H = 125 \pi H$.
आयतन में प्रतिशत वृद्धि $= \left( \frac{V_2 - V_1}{V_1} \right) \times 100 = \left( \frac{125 \pi H}{100 \pi H} \right) \times 100 = 125 \%.$

(C) बेलनाकार पाइप की त्रिज्या $r_p = 2.5 \, mm = 0.25 \, cm$ है।
एक मिनट में बहने वाले पानी के स्तंभ की लंबाई $h_p = 10 \, m = 1000 \, cm$ है।
एक मिनट में बाहर निकलने वाले पानी का आयतन $V_p = \pi r_p^2 h_p = \pi (0.25)^2 (1000) = 62.5 \pi \, cm^3$ है।
शंक्वाकार टैंक की त्रिज्या $R = 20 \, cm$ और गहराई $H = 24 \, cm$ है।
शंक्वाकार टैंक का आयतन $V_t = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (20)^2 (24) = 3200 \pi \, cm^3$ है।
टैंक को भरने में लगा समय $T = \frac{V_t}{V_p} = \frac{3200 \pi}{62.5 \pi} = 51.2 \, min$ है।

(A) छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (आयत का क्षेत्रफल) - (चार त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल)।
प्रत्येक त्रिज्यखंड $10\, cm$ त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश है। चारों चतुर्थांश मिलकर $10\, cm$ त्रिज्या का एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
आयत का क्षेत्रफल = $28\, cm \times 26\, cm = 728\, cm^2$।
वृत्त का क्षेत्रफल = $\pi r^2 = 3.1416 \times (10)^2 = 314.16\, cm^2$।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = $728 - 314.16 = 413.84\, cm^2 \approx 414\, cm^2$।
छायांकित भाग का परिमाप = (सीधी किनारों का योग) + (चारों त्रिज्यखंडों की चाप की लंबाई का योग)।
सीधी किनारों की लंबाई: $(28 - 10 - 10) + (28 - 10 - 10) + (26 - 10 - 10) + (26 - 10 - 10) = 8 + 8 + 6 + 6 = 28\, cm$।
चारों चाप मिलकर एक पूर्ण वृत्त की परिधि बनाते हैं: $2\pi r = 2 \times 3.1416 \times 10 = 62.832\, cm$।
कुल परिमाप = $28 + 62.832 = 90.832\, cm \approx 90.8\, cm$।

(A) बेलनाकार पात्र का आयतन $= \pi r^2 h = \pi \times (6)^2 \times 15 = 540\pi \, cm^3$.
यह आइसक्रीम $10$ बच्चों में समान रूप से वितरित की जाती है,इसलिए एक आइसक्रीम इकाई का आयतन $= \frac{540\pi}{10} = 54\pi \, cm^3$.
माना शंकु के आधार का व्यास $D$ है। तो त्रिज्या $r = \frac{D}{2}$ है।
शंक्वाकार भाग की ऊँचाई $h = 2D$ दी गई है।
एक आइसक्रीम इकाई का आयतन (शंकु + अर्धगोला) $= \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$.
$r = \frac{D}{2}$ और $h = 2D$ रखने पर:
आयतन $= \frac{1}{3}\pi (\frac{D}{2})^2 (2D) + \frac{2}{3}\pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{1}{3}\pi (\frac{D^2}{4}) (2D) + \frac{2}{3}\pi (\frac{D^3}{8}) = \frac{\pi D^3}{6} + \frac{\pi D^3}{12} = \frac{2\pi D^3 + \pi D^3}{12} = \frac{3\pi D^3}{12} = \frac{\pi D^3}{4}$.
आयतन की तुलना करने पर: $\frac{\pi D^3}{4} = 54\pi$.
$D^3 = 54 \times 4 = 216$.
$D = \sqrt[3]{216} = 6 \, cm$.

(B) खोदी गई मिट्टी का आयतन $= 4 \times 2.5 \times 6 \, m^3 = 60 \, m^3$.
खेत का शेष भाग जहाँ मिट्टी फैलाई जाएगी $= (\text{खेत का कुल क्षेत्रफल}) - (\text{टैंक का क्षेत्रफल})$.
खेत का कुल क्षेत्रफल $= 10 \times 9 = 90 \, m^2$.
टैंक का क्षेत्रफल $= 4 \times 2.5 = 10 \, m^2$.
शेष भाग का क्षेत्रफल $= 90 - 10 = 80 \, m^2$.
माना खेत के स्तर में वृद्धि $h$ है।
फैलाई गई मिट्टी का आयतन $= \text{शेष भाग का क्षेत्रफल} \times h$.
$60 = 80 \times h$.
$h = \frac{60}{80} = 0.75 \, m$.
चूँकि $1 \, m = 100 \, cm$, इसलिए स्तर में वृद्धि $= 0.75 \times 100 = 75 \, cm$.

(D) आंतरिक आयाम: $L = 86\, cm, B = 46\, cm, H = 38\, cm.$
चूंकि बक्सा ऊपर से खुला है और $2\, cm$ मोटी लकड़ी से बना है:
बाहरी लंबाई $= 86 + 2 + 2 = 90\, cm = 0.9\, m.$
बाहरी चौड़ाई $= 46 + 2 + 2 = 50\, cm = 0.5\, m.$
बाहरी ऊंचाई $= 38 + 2 = 40\, cm = 0.4\, m$ (केवल निचला हिस्सा जोड़ा गया है).
खुले बक्से की बाहरी सतह का क्षेत्रफल $= (2 \times \text{बाहरी ऊंचाई} \times (\text{बाहरी लंबाई} + \text{बाहरी चौड़ाई})) + (\text{बाहरी लंबाई} \times \text{बाहरी चौड़ाई})$.
क्षेत्रफल $= (2 \times 0.4 \times (0.9 + 0.5)) + (0.9 \times 0.5) = (0.8 \times 1.4) + 0.45 = 1.12 + 0.45 = 1.57\, m^2$.
पेंट करने की लागत $= 1.57\, m^2 \times 10\, Rs./m^2 = 15.7\, Rs.$

(D) शीट को उसकी लंबाई के अनुदिश मोड़ा जाता है।
माना बेलन की त्रिज्या $r$ है।
शीट की लंबाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है।
$2 \pi r = 22 \ m$
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 22$
$r = \frac{7}{2} \ m = 3.5 \ m$
शीट की चौड़ाई बेलन की ऊँचाई बन जाती है।
$h = 8 \ m$
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{22}{7} \times (3.5)^2 \times 8$
$V = \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 8$
$V = 11 \times 7 \times 4 = 308 \ m^3$.

(C) छायांकित भाग का क्षेत्रफल,वर्ग के क्षेत्रफल में से वृत्त के क्षेत्रफल को घटाकर प्राप्त किया जाता है।
दिया गया है,वर्ग की भुजा $(a)$ $= 21\,cm$.
वृत्त की त्रिज्या $(r)$ $= 10.5\,cm$.
वर्ग का क्षेत्रफल $= a^2 = 21 \times 21 = 441\,cm^2$.
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 22 \times 1.5 \times 10.5 = 346.5\,cm^2$.
छायांकित भाग का क्षेत्रफल $= 441 - 346.5 = 94.5\,cm^2$.

(B) समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a = 8 \text{ cm}$ है।
समबाहु त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,$r = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{4}{\sqrt{3}} \right)^2 = \pi \times \frac{16}{3} \text{ cm}^2$ है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_t = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (8)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 = 16\sqrt{3} \text{ cm}^2$ है।
त्रिभुज और वृत्त के बीच के भाग का क्षेत्रफल $A = A_t - A_c = 16\sqrt{3} - \frac{16\pi}{3}$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ और $\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$A = 16(1.732) - \frac{16(3.14159)}{3} \approx 27.712 - 16.755 = 10.957 \text{ cm}^2$।
दो दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,क्षेत्रफल लगभग $10.95 \text{ cm}^2$ है।

(C) $12 \, cm$,$18 \, cm$ और $26 \, cm$ भुजाओं वाले त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $(s)$ इस प्रकार है:
$s = \frac{12 + 18 + 26}{2} = \frac{56}{2} = 28 \, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{28(28-12)(28-18)(28-26)}$
क्षेत्रफल $= \sqrt{28 \times 16 \times 10 \times 2} = \sqrt{8960} = 16 \sqrt{35} \, cm^2$.
किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
नए त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 16 \sqrt{35} = 4 \sqrt{35} \, cm^2$.

(D) जमीन की विमाएँ $19.25$ $\text{मीटर}$ और $12.5$ $\text{मीटर}$ हैं (चूंकि $1$ $\text{डेसीमीटर }= 0.1$ $\text{मीटर}$)।
यहाँ दो रास्ते हैं: एक लंबाई के समानांतर और एक चौड़ाई के समानांतर।
लंबाई के समानांतर रास्ते का क्षेत्रफल $19.25 \times 2 = 38.5$ $\text{वर्ग}$ $\text{मीटर}$ है।
चौड़ाई के समानांतर रास्ते का क्षेत्रफल $12.5 \times 2 = 25$ $\text{वर्ग}$ $\text{मीटर}$ है।
इन दोनों रास्तों का प्रतिच्छेदन $2$ $\text{मीटर}$ भुजा वाला एक वर्ग है,जिसे दो बार गिना गया है। इसका क्षेत्रफल $2 \times 2 = 4$ $\text{वर्ग}$ $\text{मीटर}$ है।
रास्तों का कुल क्षेत्रफल $= 38.5 + 25 - 4 = 59.5$ $\text{वर्ग}$ $\text{मीटर}$ है।
पेविंग की लागत $= 59.5 \times 12.32 = Rs. 733.04$.

(A) दिया गया है: $OP = 14 \, cm$ और $PQ = 14 \, cm$। अतः,$OQ = OP + PQ = 14 + 14 = 28 \, cm$।
छायांकित क्षेत्र तीन अर्धवृत्ताकार चापों से घिरा हुआ है:
$1$. $OQ$ व्यास वाले अर्धवृत्त की चाप (लंबाई = $\frac{1}{2} \pi \times 28 = 14\pi \, cm$)।
$2$. $OP$ व्यास वाले अर्धवृत्त की चाप (लंबाई = $\frac{1}{2} \pi \times 14 = 7\pi \, cm$)।
$3$. $PQ$ व्यास वाले अर्धवृत्त की चाप (लंबाई = $\frac{1}{2} \pi \times 14 = 7\pi \, cm$)।
छायांकित क्षेत्र का परिमाप इन तीनों चापों की लंबाइयों का योग है:
परिमाप = $14\pi + 7\pi + 7\pi = 28\pi \, cm$।
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
परिमाप = $28 \times \frac{22}{7} = 4 \times 22 = 88 \, cm$।

(B) वृत्ताकार खेत की परिधि $2 \pi r = 440 \, m$ है।
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 440 \, m \Rightarrow r = 70 \, m$.
रास्ते की चौड़ाई $10 \, m$ है।
बाहरी वृत्त की त्रिज्या $R = r + 10 = 70 + 10 = 80 \, m$ होगी।
रास्ते का क्षेत्रफल $\pi(R^2 - r^2) = \frac{22}{7} \times (80^2 - 70^2) = \frac{22}{7} \times (6400 - 4900) = \frac{22}{7} \times 1500 \, m^2$ है।
बजरी बिछाने की दर $70 \, \text{paise} = 0.70 \, Rs. / m^2$ है।
कुल खर्च $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = \frac{22}{7} \times 1500 \times 0.70 = 22 \times 1500 \times 0.1 = 3300 \, Rs.$

(C) लंबाई और चौड़ाई का अनुपात $11: 5$ है।
माना लंबाई $11x$ है और चौड़ाई $5x$ है।
समतल करने की लागत $50$ पैसे (या $Rs. 0.50$) प्रति वर्ग मीटर की दर से $Rs. 110$ है।
आयताकार खेत का क्षेत्रफल $= \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{110}{0.50} = 220 \text{ m}^2$.
चूंकि क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$, इसलिए $11x \times 5x = 220$.
$55x^2 = 220$.
$x^2 = \frac{220}{55} = 4$.
$x = 2$.
अतः, खेत की लंबाई $= 11x = 11 \times 2 = 22 \text{ m}$.

(B) माना आयताकार भूखंड की चौड़ाई $x\, m$ है।
तब,भूखंड की लंबाई $4x\, m$ है।
दिया गया है कि क्षेत्रफल $4$ हेक्टेयर है। चूंकि $1\, \text{hectare} = 10,000\, m^2$,इसलिए क्षेत्रफल $40,000\, m^2$ है।
क्षेत्रफल $= \text{\text{लंबाई}} \times \text{\text{चौड़ाई}} = 4x \times x = 4x^2$.
अतः,$4x^2 = 40,000$,जिसका अर्थ है $x^2 = 10,000$,इसलिए $x = 100\, m$.
इस प्रकार,चौड़ाई $100\, m$ और लंबाई $400\, m$ है।
आयताकार भूखंड का परिमाप $= 2 \times (\text{\text{लंबाई}} + \text{\text{चौड़ाई}}) = 2 \times (400 + 100) = 2 \times 500 = 1,000\, m = 1\, km$.
कुत्ते की गति $3\, km/hr$ है।
लिया गया समय $= \frac{\text{\text{दूरी}}}{\text{\text{गति}}} = \frac{1\, km}{3\, km/hr} = \frac{1}{3}\, \text{hours}$.
चूंकि $1\, \text{hour} = 60\, \text{minutes}$,इसलिए लिया गया समय $= \frac{1}{3} \times 60 = 20\, \text{minutes}$.

(A) बाहरी आयत की लंबाई $L = 63 \ m$ और चौड़ाई $B = 54 \ m$ है।
बाहरी आयत का क्षेत्रफल $63 \times 54 = 3402 \ m^2$ है।
चूंकि रास्ता अंदर की ओर $3 \ m$ चौड़ा है,इसलिए आंतरिक आयत की लंबाई $l = 63 - (2 \times 3) = 63 - 6 = 57 \ m$ होगी।
आंतरिक आयत की चौड़ाई $b = 54 - (2 \times 3) = 54 - 6 = 48 \ m$ होगी।
आंतरिक आयत का क्षेत्रफल $57 \times 48 = 2736 \ m^2$ है।
रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी और आंतरिक क्षेत्रफल के बीच का अंतर है: $3402 - 2736 = 666 \ m^2$।
रास्ते को पक्का करने की लागत $= \text{क्षेत्रफल} \times \text{दर} = 666 \times \frac{37}{2} = 333 \times 37 = 12321 \ Rs.$

(B) कमरे के आयाम हैं: लंबाई $(l) = 7.5 \text{ m}$,चौड़ाई $(b) = 6.5 \text{ m}$ और ऊँचाई $(h) = 6 \text{ m}$।
चारों दीवारों का क्षेत्रफल $= 2(l + b) \times h = 2(7.5 + 6.5) \times 6 = 2(14) \times 6 = 168 \text{ m}^2$।
कागज द्वारा ढके जाने वाला क्षेत्रफल $=$ दीवारों का कुल क्षेत्रफल $-$ दरवाजों का क्षेत्रफल $= 168 \text{ m}^2 - 8 \text{ m}^2 = 160 \text{ m}^2$।
कागज की चौड़ाई $= 2.5 \text{ dm} = 0.25 \text{ m}$।
कागज की लंबाई $= \frac{\text{ढके जाने वाला क्षेत्रफल}}{\text{कागज की चौड़ाई}} = \frac{160}{0.25} = 640 \text{ m}$।

(B) माना मैदान की लंबाई $L$ और चौड़ाई $B$ है।
दिया गया है कि $B = L / 2$,अर्थात $L = 2B$ है।
आयताकार मैदान का क्षेत्रफल $L \times B = 24200 \ m^2$ है।
$L = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2B) \times B = 24200$ प्राप्त होता है,जो $2B^2 = 24200$ में सरल हो जाता है।
$2$ से भाग देने पर,$B^2 = 12100$ प्राप्त होता है,इसलिए $B = \sqrt{12100} = 110 \ m$ है।
अतः,लंबाई $L = 2 \times 110 = 220 \ m$ है।
विपरीत कोनों के बीच की न्यूनतम दूरी आयत का विकर्ण है,जो $d = \sqrt{L^2 + B^2}$ द्वारा दी जाती है।
$d = \sqrt{220^2 + 110^2} = \sqrt{48400 + 12100} = \sqrt{60500}$ है।
$d = 110 \times \sqrt{5} \approx 110 \times 2.236 = 245.96 \ m$ है।
निकटतम पूर्णांक में,दूरी लगभग $246 \ m$ है।

(C) $9\, cm$ किनारे वाले बड़े घन का आयतन $V_1 = 9^3 = 729\, cm^3$ है।
$3\, cm$ किनारे वाले छोटे घन का आयतन $V_2 = 3^3 = 27\, cm^3$ है।
काटे जा सकने वाले छोटे घनों की संख्या उनके आयतनों के अनुपात द्वारा प्राप्त की जाती है:
घनों की संख्या $= \frac{V_1}{V_2} = \frac{729}{27} = 27$.

(B) विस्थापित पानी का आयतन पानी में डूबे गोले के आयतन के बराबर होता है।
गोले की त्रिज्या $(r_s)$ = $30 \ cm$.
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $(r_c)$ = $\text{व्यास} / 2 = 80 \ cm / 2 = 40 \ cm$.
माना पानी के स्तर में वृद्धि $x \ cm$ है।
बेलन में विस्थापित पानी का आयतन $\pi \times (r_c)^2 \times x$ द्वारा दिया जाता है।
गोले का आयतन $\frac{4}{3} \pi \times (r_s)^3$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों आयतनों को बराबर करने पर: $\pi \times (40)^2 \times x = \frac{4}{3} \pi \times (30)^3$.
$1600 \times x = \frac{4}{3} \times 27000$.
$1600 \times x = 4 \times 9000$.
$1600 \times x = 36000$.
$x = 36000 / 1600 = 360 / 16 = 22.5 \ cm$.
अतः,पानी का स्तर $22.5 \ cm$ बढ़ जाता है।

(B) सड़क की मरम्मत की कुल लागत $Rs. 22176$ है और दर $Rs. 1$ प्रति $sq. m$ है।
अतः,वृत्ताकार सड़क का क्षेत्रफल $\frac{22176}{1} = 22176 \ m^2$ है।
माना आंतरिक त्रिज्या $r = 112 \ m$ और बाहरी त्रिज्या $R$ है।
वृत्ताकार सड़क का क्षेत्रफल $\pi(R^2 - r^2) = 22176$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{22}{7} \times (R^2 - 112^2) = 22176$.
$R^2 - 12544 = 22176 \times \frac{7}{22}$.
$R^2 - 12544 = 1008 \times 7 = 7056$.
$R^2 = 7056 + 12544 = 19600$.
$R = \sqrt{19600} = 140 \ m$.
सड़क की चौड़ाई $R - r = 140 - 112 = 28 \ m$ है।

(C) आयत वृत्त के अंदर स्थित है। आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
आयत का विकर्ण $= \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ cm$.
अतः,वृत्त का व्यास $= 10 \ cm$,और त्रिज्या $r = 10/2 = 5 \ cm$.
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = (22/7) \times 5 \times 5 = 550/7 \approx 78.57 \ cm^2$.
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 8 \times 6 = 48 \ cm^2$.
छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \text{वृत्त का क्षेत्रफल} - \text{आयत का क्षेत्रफल} = 78.57 - 48 = 30.57 \ cm^2$.

(B) वृत्त की परिधि का सूत्र $2 \pi r$ होता है।
यहाँ $r = 28\, cm$ दिया गया है,इसलिए परिधि $2 \times \frac{22}{7} \times 28 = 176\, cm$ होगी।
चूंकि तार को वर्ग में मोड़ा गया है,इसलिए वर्ग का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर होगा।
माना वर्ग की भुजा $a$ है। तब $4a = 176\, cm$,जिससे $a = 44\, cm$ प्राप्त होता है।
वर्ग के विकर्ण की लंबाई का सूत्र $d = a \sqrt{2}$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $d = 44 \sqrt{2}\, cm$ प्राप्त होता है।

(B) पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
माना आधार $b = 36015 \ cm$ और लंब $p = 48020 \ cm$ है।
कर्ण $h = \sqrt{b^2 + p^2}$.
$h = \sqrt{(36015)^2 + (48020)^2}$.
इसे सरल बनाने के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर: $36015 = 12005 \times 3$ और $48020 = 12005 \times 4$।
अतः,$h = \sqrt{(12005 \times 3)^2 + (12005 \times 4)^2} = 12005 \times \sqrt{3^2 + 4^2}$।
$h = 12005 \times \sqrt{9 + 16} = 12005 \times \sqrt{25} = 12005 \times 5$।
$h = 60025 \ cm$।

(A) माना कि समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है।
समबाहु त्रिभुज का परिमाप $= 3a$.
दिया गया है,$3a = 72 \sqrt{3} \text{ cm}$.
अतः,$a = 24 \sqrt{3} \text{ cm}$.
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ होता है।
$a$ का मान रखने पर:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (24 \sqrt{3}) \text{ cm}$.
$h = \frac{3}{2} \times 24 \text{ cm} = 36 \text{ cm}$.
ऊँचाई को मीटर में बदलने के लिए,$100$ से भाग देने पर:
$h = \frac{36}{100} \text{ m} = 0.36 \text{ m}$.

(B) माना कि आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $r$ है और बाहरी वृत्त की त्रिज्या $R$ है।
दिया गया है,आंतरिक परिधि $= 2 \pi r = 440 \, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$2 \times \frac{22}{7} \times r = 440$.
$r = \frac{440 \times 7}{44} = 70 \, cm$.
ट्रैक $14 \, cm$ चौड़ा है,इसलिए बाहरी त्रिज्या $R = r + 14 = 70 + 14 = 84 \, cm$.
बाहरी वृत्त का व्यास $D = 2R = 2 \times 84 = 168 \, cm$ है।

(D) घन का आयतन $216 \, cm^3$ दिया गया है।
यह कहा गया है कि इस घन के 'एक भाग' को पिघलाकर एक बेलन बनाया जाता है।
'एक भाग' शब्द अस्पष्ट है और यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि घन का कितना हिस्सा या कितना आयतन उपयोग किया गया है।
चूंकि बेलन बनाने के लिए उपयोग की गई सामग्री का सटीक आयतन नहीं दिया गया है,इसलिए बेलन का आयतन निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
अतः,आंकड़े अपर्याप्त हैं।

(B) भुजा वाले घन का आयतन $V = a^3$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए तीन घनों का आयतन इस प्रकार है:
$V_1 = (6\, cm)^3 = 216\, cm^3$
$V_2 = (8\, cm)^3 = 512\, cm^3$
$V_3 = (10\, cm)^3 = 1000\, cm^3$
जब इन घनों को एक साथ पिघलाया जाता है,तो नए घन का कुल आयतन $V_{total}$ व्यक्तिगत आयतनों का योग होता है:
$V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 = 216 + 512 + 1000 = 1728\, cm^3$
माना नए घन की भुजा $a$ है। तब:
$a^3 = 1728$
$a = \sqrt[3]{1728}$
$a = 12\, cm$
अतः,परिणामी घन की भुजा $12\, cm$ है।

(A) दिया गया है: त्रिज्या $(r) = 6\, cm$,ऊँचाई $(h) = 8\, cm$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ की गणना $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ सूत्र का उपयोग करके करें।
$l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\, cm$.
अब,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $(CSA) = \pi r l$ ज्ञात करें।
$CSA = \pi \times 6 \times 10 = 60\pi\, cm^2$.
इसके बाद,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA) = \pi r l + \pi r^2$ ज्ञात करें।
$TSA = 60\pi + \pi(6)^2 = 60\pi + 36\pi = 96\pi\, cm^2$.
अतः,वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $60\pi\, cm^2$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $96\pi\, cm^2$ है।

(C) तार की परिधि किसी भी आकार में समान रहती है।
माना कि वर्ग की एक भुजा $= a \, cm$ है।
दिया गया है,वर्ग का क्षेत्रफल $= a^{2} = 484 \, cm^{2}$।
अतः,$a = \sqrt{484} = 22 \, cm$।
वर्ग का परिमाप $= 4a = 4 \times 22 = 88 \, cm$।
चूंकि उसी तार का उपयोग वृत्त बनाने के लिए किया जाता है,इसलिए वृत्त की परिधि वर्ग के परिमाप के बराबर होगी।
माना कि वृत्त की त्रिज्या $= r \, cm$ है।
परिधि $= 2\pi r = 88 \, cm$।
$2 \times \frac{22}{7} \times r = 88$।
$r = \frac{88 \times 7}{44} = 14 \, cm$।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 22 \times 2 \times 14 = 616 \, cm^{2}$।

(D) शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l$ का मान $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $r = 7\, m$ और $h = 24\, m$ दिया गया है,इसलिए $l = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\, m$।
आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल शंकु के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के बराबर होता है,जो $\pi rl$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\, m^2$।
चूंकि कपड़े की चौड़ाई $5\, m$ है,इसलिए आवश्यक कपड़े की लंबाई $= \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{चौड़ाई}} = \frac{550}{5} = 110\, m$ होगी।

(A) जब $s = 5 \, cm$ भुजा वाले $7$ घनों को एक साथ जोड़ा जाता है,तो वे एक घनाभ बनाते हैं।
परिणामी घनाभ की लंबाई $(l)$ $= 7 \times 5 \, cm = 35 \, cm$ है।
घनाभ की चौड़ाई $(b)$ और ऊंचाई $(h)$ घन की भुजा के समान रहती है,इसलिए $b = 5 \, cm$ और $h = 5 \, cm$ है।
घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: $SA = 2(lb + bh + hl)$.
मान रखने पर: $SA = 2(35 \times 5 + 5 \times 5 + 5 \times 35)$.
$SA = 2(175 + 25 + 175)$.
$SA = 2(375) = 750 \, cm^2$.

(B) घनाभ का आयतन $V_{\text{cuboid}} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई} = 24 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} = 1728 \text{ cm}^3$ है।
एक छोटे घन का आयतन $V_{\text{cube}} = \text{भुजा}^3 = 3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} \times 3 \text{ cm} = 27 \text{ cm}^3$ है।
बनाए जा सकने वाले घनों की संख्या घनाभ के कुल आयतन को एक घन के आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
$\text{घनों की संख्या} = \frac{V_{\text{cuboid}}}{V_{\text{cube}}} = \frac{24 \times 9 \times 8}{3 \times 3 \times 3} = \frac{1728}{27} = 64$.