Measurement of Area Questions in Hindi

(B) आयताकार भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
यहाँ,$\text{क्षेत्रफल} = 180 \, m^2$ और $\text{लंबाई} = 18 \, m$ दिया गया है।
अतः,$\text{चौड़ाई} = \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{लंबाई}} = \frac{180}{18} = 10 \, m$.
आयताकार भूखंड का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{परिमाप} = 2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$.
मान रखने पर: $\text{परिमाप} = 2 \times (18 + 10) = 2 \times 28 = 56 \, m$.

(C) माना पहले वर्ग की भुजा $x\, cm$ है।
तब,दूसरे वर्ग की भुजा $(x + 4)\, cm$ होगी।
प्रश्न के अनुसार,उनके क्षेत्रफलों का योग $400\, cm^2$ है:
$x^2 + (x + 4)^2 = 400$
$x^2 + x^2 + 8x + 16 = 400$
$2x^2 + 8x - 384 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$x^2 + 4x - 192 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 + 16x - 12x - 192 = 0$
$x(x + 16) - 12(x + 16) = 0$
$(x - 12)(x + 16) = 0$
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $x = 12$।
अतः,पहले वर्ग की भुजा $12\, cm$ और दूसरे वर्ग की भुजा $12 + 4 = 16\, cm$ है।

(C) फर्श का क्षेत्रफल $= 960\, m^{2}$ है।
एक कालीन का क्षेत्रफल $= 6\, m \times 4\, m = 24\, m^{2}$ है।
इसलिए,आवश्यक कालीनों की संख्या $= \frac{\text{फर्श का क्षेत्रफल}}{\text{एक कालीन का क्षेत्रफल}}$ है।
कालीनों की संख्या $= \frac{960}{24} = 40$ है।

(B) बाहरी आयत की लंबाई $= 60 \ m$.
बाहरी आयत की चौड़ाई $= 40 \ m$.
बाहरी आयत का क्षेत्रफल $= 60 \ m \times 40 \ m = 2400 \ m^2$.
रास्ते की चौड़ाई $= 1 \ m$.
चूंकि रास्ता लॉन के अंदर है,इसलिए आंतरिक आयत की लंबाई $= 60 \ m - (1 \ m + 1 \ m) = 58 \ m$.
आंतरिक आयत की चौड़ाई $= 40 \ m - (1 \ m + 1 \ m) = 38 \ m$.
आंतरिक आयत का क्षेत्रफल $= 58 \ m \times 38 \ m = 2204 \ m^2$.
रास्ते का क्षेत्रफल $= \text{बाहरी आयत का क्षेत्रफल} - \text{आंतरिक आयत का क्षेत्रफल}$.
रास्ते का क्षेत्रफल $= 2400 \ m^2 - 2204 \ m^2 = 196 \ m^2$.

(A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
दी गई आकृति में,आधार $CD = 3 \text{ cm}$ है और संगत ऊंचाई $BD = 4 \text{ cm}$ है।
अतः,$\text{क्षेत्रफल} = 3 \text{ cm} \times 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$.
वैकल्पिक रूप से,समांतर चतुर्भुज दो सर्वांगसम त्रिभुजों,$\Delta ABD$ और $\Delta BDC$ से बना है।
$\Delta BDC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2$.
$\text{कुल क्षेत्रफल} = 2 \times 6 \text{ cm}^2 = 12 \text{ cm}^2$.

(B) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 9\, cm$,$b = 12\, cm$ और $c = 15\, cm$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 12 + 15}{2} = \frac{36}{2} = 18\, cm$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{18(18 - 9)(18 - 12)(18 - 15)}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{18 \times 9 \times 6 \times 3}$.
क्षेत्रफल $= \sqrt{2916} = 54\, cm^2$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54\, cm^2$.

(C) समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$ है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है कि $\text{Area} = 4 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.
अतः,$\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = 4 \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{a^2}{4} = 4$ प्राप्त होता है।
$a^2 = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4 \text{ cm}$.
समबाहु त्रिभुज का परिमाप $3 \times a$ होता है।
परिमाप $= 3 \times 4 = 12 \text{ cm}$.

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r\, m$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = 24.64\, m^{2}$,इसलिए $\frac{22}{7} \times r^{2} = 24.64$.
$r^{2}$ के लिए हल करने पर: $r^{2} = \frac{24.64 \times 7}{22} = 1.12 \times 7 = 7.84$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \sqrt{7.84} = 2.8\, m$.
वृत्त की परिधि $C = 2 \pi r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$r$ का मान रखने पर: $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.8 = 2 \times 22 \times 0.4 = 17.6\, m$.

(C) माना वृत्त की प्रारंभिक त्रिज्या $r$ है।
$20 \%$ की कमी के बाद नई त्रिज्या $r$ का $80 \%$ होगी,जो $r \times \frac{80}{100} = \frac{4r}{5}$ है।
वृत्त का प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2$ है।
वृत्त का नया क्षेत्रफल $A_2 = \pi \left(\frac{4r}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल में हुई कमी $A_1 - A_2 = \pi r^2 - \frac{16}{25} \pi r^2 = \frac{9}{25} \pi r^2$ है।
क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी = $\frac{\text{क्षेत्रफल में कमी}}{\text{प्रारंभिक क्षेत्रफल}} \times 100 = \frac{\frac{9}{25} \pi r^2}{\pi r^2} \times 100$ है।
इसकी गणना करने पर $\frac{9}{25} \times 100 = 9 \times 4 = 36 \%$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि अर्धवृत्ताकार चांदे की त्रिज्या $r \, cm$ है।
अर्धवृत्त का परिमाप चाप की लंबाई $(\pi r)$ और व्यास $(2r)$ का योग होता है।
परिमाप $= \pi r + 2r = r(\pi + 2) = 36 \, cm$.
$\pi = \frac{22}{7}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $r(\frac{22}{7} + 2) = 36$.
$r(\frac{22 + 14}{7}) = 36 \Rightarrow r(\frac{36}{7}) = 36$.
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = 7 \, cm$ प्राप्त होता है।
चांदे का व्यास $2r = 2 \times 7 = 14 \, cm$ है।

(C) माना कि वर्ग की भुजा $x$ है।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $(r)$ वर्ग की भुजा की आधी होती है: $r = \frac{x}{2}$।
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r^2 = \pi (\frac{x}{2})^2 = \frac{\pi x^2}{4}$ है।
वर्ग का विकर्ण $\sqrt{2}x$ है। परिवृत्त की त्रिज्या $(R)$ विकर्ण की आधी होती है: $R = \frac{\sqrt{2}x}{2} = \frac{x}{\sqrt{2}}$।
परिवृत्त का क्षेत्रफल $A_2 = \pi R^2 = \pi (\frac{x}{\sqrt{2}})^2 = \frac{\pi x^2}{2}$ है।
अंतःवृत्त और परिवृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi x^2 / 4}{\pi x^2 / 2} = \frac{2}{4} = 1:2$ है।

(A) वर्ग के विकर्ण का सूत्र $d = a\sqrt{2}$ होता है,जहाँ $a$ वर्ग की भुजा की लंबाई है।
यहाँ $d = 50 \, m$ दिया गया है।
अतः,$a\sqrt{2} = 50$,जिसका अर्थ है $a = \frac{50}{\sqrt{2}} \, m$.
वर्ग का क्षेत्रफल $Area = a^2$ होता है।
$Area = \left(\frac{50}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{2500}{2} = 1250 \, m^2$.

(A) दिया गया है,परिधि $(C) = 2 \pi r = 176\, m$.
$r = \frac{176}{2 \times \pi} = \frac{176 \times 7}{2 \times 22} = \frac{88 \times 7}{22} = 4 \times 7 = 28\, m$.
वृत्त का क्षेत्रफल $(A) = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 28 \times 28$.
$A = 22 \times 4 \times 28 = 88 \times 28 = 2464\, m^2$.

(A) चाप की लंबाई का सूत्र $L = 2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$ होता है।
यहाँ त्रिज्या $r = 42\, cm$ और केंद्रीय कोण $\theta = 72^{\circ}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$L = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 \times \frac{72}{360}$.
$L = 2 \times 22 \times 6 \times \frac{1}{5}$.
$L = 44 \times 6 \times 0.2$.
$L = 264 \times 0.2 = 52.8\, cm$.

(D) माना कि समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की दो समान भुजाएँ $a$ हैं।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,आधार और ऊँचाई समान हैं,इसलिए $\text{Area} = \frac{1}{2} a^2$ होगा।
दिया गया है कि $\text{Area} = 200 \, cm^2$,इसलिए:
$200 = \frac{1}{2} a^2$
$a^2 = 400$
$a = 20 \, cm$.
समकोण त्रिभुज का कर्ण $h$,$h = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$a$ का मान रखने पर:
$h = 20 \sqrt{2} \, cm$.

(C) वर्गाकार स्लैब की न्यूनतम संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे बड़ी संभव वर्गाकार टाइल की भुजा ज्ञात करनी होगी जो कमरे के आयामों में पूरी तरह फिट हो सके।
$1$. सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा कमरे की लंबाई $(10.5 \text{ m})$ और चौड़ाई $(3 \text{ m})$ का महत्तम समापवर्तक $(HCF)$ होती है।
$2$. $10.5$ और $3$ को भिन्न में बदलने पर: $10.5 = \frac{21}{2}$ और $3 = \frac{6}{2}$.
$3$. $\frac{21}{2}$ और $\frac{6}{2}$ का $HCF$ = $\frac{\text{HCF}(21, 6)}{\text{LCM}(2, 2)} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ m}$.
$4$. कमरे का क्षेत्रफल = $10.5 \times 3 = 31.5 \text{ m}^2$.
$5$. एक वर्गाकार टाइल का क्षेत्रफल = $1.5 \times 1.5 = 2.25 \text{ m}^2$.
$6$. आवश्यक टाइलों की संख्या = $\frac{\text{कमरे का क्षेत्रफल}}{\text{एक टाइल का क्षेत्रफल}} = \frac{31.5}{2.25} = 14$.

(C) माना कि आयत की चौड़ाई $x \, cm$ है।
तब,आयत की लंबाई $(x + 2) \, cm$ होगी।
आयत का परिमाप $P = 2 \times (\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P = 48 \, cm$,अतः $2(x + x + 2) = 48$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $2x + 2 = 24$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,$2x = 22$,जिससे $x = 11 \, cm$ प्राप्त होता है।
अतः,चौड़ाई $11 \, cm$ है और लंबाई $11 + 2 = 13 \, cm$ है।
आयत का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 13 \, cm \times 11 \, cm = 143 \, cm^2$ है।

(C) समतल करने का कुल खर्च,क्षेत्रफल और प्रति वर्ग मीटर की दर के गुणनफल के बराबर होता है।
कुल खर्च = क्षेत्रफल $\times$ दर
$900 = \text{क्षेत्रफल} \times 1.25$
क्षेत्रफल = $\frac{900}{1.25} = 720 \ m^2$
चूंकि मैदान आयताकार है,इसलिए क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
$720 = 30 \times \text{चौड़ाई}$
चौड़ाई = $\frac{720}{30} = 24 \ m$.

(C) माना आयत की चौड़ाई $x\, cm$ है। अतः,लंबाई $2x\, cm$ होगी।
आयत का प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (2x)(x) = 2x^2\, cm^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,नई लंबाई $(2x - 5)\, cm$ और नई चौड़ाई $(x + 5)\, cm$ है।
नया क्षेत्रफल $A_2 = (2x - 5)(x + 5) = 2x^2 + 10x - 5x - 25 = 2x^2 + 5x - 25$ होगा।
यह दिया गया है कि क्षेत्रफल में $75\, cm^2$ की वृद्धि होती है,इसलिए $A_2 = A_1 + 75$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $2x^2 + 5x - 25 = 2x^2 + 75$।
दोनों पक्षों से $2x^2$ घटाने पर: $5x - 25 = 75$।
$5x = 100 \Rightarrow x = 20\, cm$।
आयत की लंबाई $2x = 2 \times 20 = 40\, cm$ है।

(C) फर्श का क्षेत्रफल $= 4\, m \times 3\, m = 12\, m^2$ है।
चूँकि $1\, m = 100\, cm$,इसलिए $1\, m^2 = 10,000\, cm^2$ होता है।
अतः,वर्ग सेंटीमीटर में फर्श का क्षेत्रफल $= 12 \times 10,000 = 120,000\, cm^2$ है।
एक आयताकार टाइल का क्षेत्रफल $= 8\, cm \times 6\, cm = 48\, cm^2$ है।
आवश्यक टाइलों की संख्या फर्श के कुल क्षेत्रफल को एक टाइल के क्षेत्रफल से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।
टाइलों की संख्या $= \frac{120,000}{48} = 2,500$.

(A) चरण $1$: वर्गाकार कमरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
कमरे की भुजा $= 3\, m = 300\, cm$।
कमरे का क्षेत्रफल $= 300\, cm \times 300\, cm = 90,000\, cm^2$।
चरण $2$: एक संगमरमर स्लैब का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
एक स्लैब का क्षेत्रफल $= 20\, cm \times 30\, cm = 600\, cm^2$।
चरण $3$: आवश्यक स्लैब की संख्या ज्ञात कीजिए।
स्लैब की संख्या $= \frac{\text{कमरे का कुल क्षेत्रफल}}{\text{एक स्लैब का क्षेत्रफल}} = \frac{90,000}{600} = 150$।
अतः,$150$ संगमरमर की स्लैब की आवश्यकता होगी।

(B) दिया गया है,आयत का परिमाप $= 200\, m$ है।
आयत के परिमाप का सूत्र $P = 2(l + b)$ होता है,जहाँ $l$ लंबाई है और $b$ चौड़ाई है।
$2(l + 40) = 200$
$l + 40 = 100$
$l = 100 - 40 = 60\, m$।
आयत का क्षेत्रफल $A = l \times b$ द्वारा प्राप्त होता है।
$A = 60\, m \times 40\, m = 2400\, m^2$।

(A) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ है।
सबसे पहले,आधार को मीटर से सेंटीमीटर में बदलें: $1.5\, m = 1.5 \times 100\, cm = 150\, cm$.
अब,सूत्र में मान रखें:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 150\, cm \times 75\, cm$.
$\text{Area} = 75\, cm \times 75\, cm = 5625\, cm^2$.

(C) यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ समान $(8 \text{ cm})$ हैं।
समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{भुजा}^2$ होता है।
भुजा की लंबाई $a = 8 \text{ cm}$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64$
$\text{Area} = 16 \sqrt{3} \text{ cm}^2$.

(D) माना कि समान भुजाएँ $5x$ हैं और आधार $4x$ है।
चूंकि यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए दो समान भुजाएँ $5x$ और $5x$ होंगी।
परिमाप सभी भुजाओं का योग होता है: $5x + 5x + 4x = 14x$।
दिया गया परिमाप $14 \ cm$ है,इसलिए $14x = 14$,जिससे $x = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिभुज की भुजाएँ $5 \ cm, 5 \ cm$ और $4 \ cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{5+5+4}{2} = 7 \ cm$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{7(7-5)(7-5)(7-4)} = \sqrt{7 \times 2 \times 2 \times 3}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{7 \times 4 \times 3} = 2 \sqrt{21} \ cm^2$।

(C) समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $(h)$ और भुजा $(a)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
यहाँ ऊँचाई $h = 6 \, cm$ दी गई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$6 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$
$a = \frac{6 \times 2}{\sqrt{3}}$
$a = \frac{12}{\sqrt{3}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$a = \frac{12 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{12 \sqrt{3}}{3} = 4 \sqrt{3} \, cm$
अतः,समबाहु त्रिभुज की भुजा $4 \sqrt{3} \, cm$ है।

(A) समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई $(h)$ का सूत्र $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$ होता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
यहाँ $h = 9 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $9 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a$।
अतः,$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \ cm$।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $(A)$ का सूत्र $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$ होता है।
$a$ का मान रखने पर: $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (36 \times 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 108 = 27\sqrt{3} \ cm^2$।

(A) वर्ग के लिए,विकर्ण $d = a \sqrt{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ भुजा की लंबाई है।
दिया गया है $d = 12 \sqrt{2} \text{ cm}$,इसलिए $a = 12 \text{ cm}$।
वर्ग का परिमाप $P = 4a = 4 \times 12 = 48 \text{ cm}$ है।
चूंकि समबाहु त्रिभुज का परिमाप वर्ग के परिमाप के बराबर है,इसलिए त्रिभुज का परिमाप $48 \text{ cm}$ है।
मान लीजिए समबाहु त्रिभुज की भुजा $s$ है। तब $3s = 48 \text{ cm}$,जिससे $s = 16 \text{ cm}$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (16)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256 = 64 \sqrt{3} \text{ cm}^2$।

(D) माना कि आयताकार लॉन की चौड़ाई $w$ मीटर है।
तब,लंबाई $l = 2w$ मीटर होगी।
लॉन का क्षेत्रफल $\frac{2}{3}$ हेक्टेयर दिया गया है।
चूंकि $1 \text{ हेक्टेयर} = 10,000 \, m^2$,इसलिए क्षेत्रफल $= \frac{2}{3} \times 10,000 = \frac{20,000}{3} \, m^2$ होगा।
आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = l \times w$ होता है।
मान रखने पर: $(2w) \times w = \frac{20,000}{3}$.
$2w^2 = \frac{20,000}{3} \Rightarrow w^2 = \frac{10,000}{3}$.
$w = \sqrt{\frac{10,000}{3}} = \frac{100}{\sqrt{3}} \, m$.
लंबाई $l = 2w = 2 \times \frac{100}{\sqrt{3}} = \frac{200}{\sqrt{3}} \, m$ होगी।

(D) $X$ और $Z$ के बीच का सबसे छोटा रास्ता समकोण त्रिभुज $\triangle XYZ$ का कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$XZ^2 = XY^2 + YZ^2$ है।
यहाँ $XY = 15 \ m$ और $YZ = 20 \ m$ दिया गया है।
$XZ = \sqrt{15^2 + 20^2} \ m$ है।
$XZ = \sqrt{225 + 400} \ m$ है।
$XZ = \sqrt{625} \ m$ है।
$XZ = 25 \ m$ है।

(A) खेत का क्षेत्रफल $= \frac{\text{कुल लागत}}{\text{दर}} = \frac{675}{50} = 13.5 \text{ हेक्टेयर}$.
चूँकि $1 \text{ हेक्टेयर} = 10,000 \, m^2$,इसलिए क्षेत्रफल $= 13.5 \times 10,000 = 135,000 \, m^2$ है।
माना ऊँचाई $x \, m$ है। तब आधार $3x \, m$ होगा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
अतः,$\frac{1}{2} \times 3x \times x = 135,000$.
$\frac{3x^2}{2} = 135,000$.
$3x^2 = 270,000$.
$x^2 = 90,000$.
$x = 300 \, m$ (ऊँचाई)।
आधार $= 3x = 3 \times 300 = 900 \, m$।

(A) माना समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। कर्ण $5 \, cm$ है।
परिमाप $= a + b + 5 = 12 \, cm \implies a + b = 7 \, cm$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$.
हम जानते हैं कि $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$.
मान रखने पर: $(7)^2 = 25 + 2ab$.
$49 = 25 + 2ab \implies 2ab = 24 \implies ab = 12$.
अब,$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = (7)^2 - 4(12) = 49 - 48 = 1$.
अतः,$a - b = 1$ (मान लीजिए $a > b$).
$a + b = 7$ और $a - b = 1$ को हल करने पर,हमें $2a = 8 \implies a = 4 \, cm$ और $b = 3 \, cm$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, cm^2$.

(B) बाहरी वृत्त की त्रिज्या $(R) = 20 \, cm$
आंतरिक वृत्त की त्रिज्या $(r) = 15 \, cm$
$\therefore$ वलय का क्षेत्रफल $= (\text{बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल} - \text{आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल})$
$= \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \frac{22}{7}(20^2 - 15^2)$
$= \frac{22}{7}(20 + 15)(20 - 15) = \frac{22}{7}(35)(5) = 22 \times 5 \times 5 = 550 \, cm^2$

(A) घड़ी की मिनट की सुई $60 \, min$ में एक पूरा चक्कर $(360^{\circ})$ लगाती है।
इसलिए,$30 \, min$ में मिनट की सुई द्वारा बनाया गया कोण $\theta = \frac{360^{\circ}}{60} \times 30 = 180^{\circ}$ है।
मिनट की सुई की लंबाई वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $r = 14 \, cm$ है।
मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल $\theta$ कोण द्वारा बने त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^2$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 22 \times 2 \times 14$
$\text{क्षेत्रफल} = 11 \times 28 = 308 \, cm^2$.

(D) माना कि छोटे वृत्त की त्रिज्या $r$ है और बड़े वृत्त की त्रिज्या $R$ है।
दिया गया है कि उनके क्षेत्रफलों का योग $116 \, \pi \, cm^2$ है,इसलिए $\pi R^2 + \pi r^2 = 116 \, \pi$,जो सरल होकर $R^2 + r^2 = 116$ हो जाता है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी $R - r = 6 \, cm$ है।
हम जानते हैं कि $(R + r)^2 + (R - r)^2 = 2(R^2 + r^2)$ होता है।
मान रखने पर: $(R + r)^2 + (6)^2 = 2(116)$.
$(R + r)^2 + 36 = 232$.
$(R + r)^2 = 232 - 36 = 196$.
वर्गमूल लेने पर,$R + r = 14$.
अब हमारे पास दो समीकरण हैं: $R + r = 14$ और $R - r = 6$.
दोनों को जोड़ने पर: $2R = 20 \Rightarrow R = 10 \, cm$.
दोनों को घटाने पर: $2r = 8 \Rightarrow r = 4 \, cm$.
अतः,वृत्तों की त्रिज्याएँ $10 \, cm$ और $4 \, cm$ हैं।

(D) वर्ग की भुजा $a = 21 \, m$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= a^{2} = 21 \times 21 = 441 \, m^{2}$.
वर्ग की चारों भुजाओं पर चार अर्धवृत्त हैं। प्रत्येक अर्धवृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर यानी $21 \, m$ है।
इसलिए,प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{21}{2} = 10.5 \, m$ है।
चार अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल $= 4 \times (\frac{1}{2} \times \pi \times r^{2}) = 2 \times \pi \times r^{2}$.
क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{22}{7} \times 10.5 \times 10.5 = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} = 22 \times 3 \times 10.5 = 693 \, m^{2}$.
क्यारी का कुल क्षेत्रफल $= 441 + 693 = 1134 \, m^{2}$.
दिया गया है कि प्रत्येक गुलाब के पौधे को $6 \, m^{2}$ स्थान की आवश्यकता है।
पौधों की संख्या $= \frac{\text{कुल क्षेत्रफल}}{\text{प्रति पौधा क्षेत्रफल}} = \frac{1134}{6} = 189$.

(D) एक समबाहु त्रिभुज में,माध्यिका और शीर्षलंब एक ही होते हैं।
माना समबाहु त्रिभुज की भुजा '$a$' है।
शीर्षलंब (माध्यिका) '$x$' का सूत्र है: $x = \frac{\sqrt{3}}{2} a$।
इससे,हम भुजा '$a$' को '$x$' के पदों में लिख सकते हैं: $a = \frac{2x}{\sqrt{3}}$।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$।
'$a$' का मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{2x}{\sqrt{3}} \right)^2$।
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4x^2}{3}$।
$\text{Area} = \frac{\sqrt{3} x^2}{3} = \frac{x^2}{\sqrt{3}}$।

(B) वृत्त की परिधि का सूत्र $C = 2 \pi r$ होता है।
यहाँ $r = 42 \ cm$ दिया गया है,इसलिए परिधि $C = 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 2 \times 22 \times 6 = 264 \ cm$ होगी।
चूंकि तार को मोड़कर एक वर्ग बनाया गया है,इसलिए वर्ग का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर होगा।
वर्ग का परिमाप $= 4 \times \text{भुजा} = 264 \ cm$।
अतः,वर्ग की भुजा $\frac{264}{4} = 66 \ cm$ होगी।

(A) पहिये की परिधि $C = \pi \times d$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ व्यास है।
दिया गया है $d = 105\, cm$,इसलिए परिधि $C = \frac{22}{7} \times 105 = 22 \times 15 = 330\, cm$ है।
इसका अर्थ है कि पहिया एक पूर्ण चक्कर में $330\, cm$ की दूरी तय करता है।
तय की जाने वाली कुल दूरी $330\, m$ है। इसे सेंटीमीटर में बदलने पर,हमें $330\, m = 330 \times 100 = 33000\, cm$ प्राप्त होता है।
चक्करों की संख्या कुल दूरी को पहिये की परिधि से विभाजित करके ज्ञात की जाती है:
$\text{चक्करों की संख्या} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{परिधि}} = \frac{33000\, cm}{330\, cm} = 100$.
अतः,पहिया $100$ बार घूमेगा।

(A) मान लीजिए कि मूल लंबाई $L$ है और मूल चौड़ाई $W$ है। मूल क्षेत्रफल $A = L \times W$ है।
नई लंबाई $L' = L + 0.60L = 1.6L = \frac{8}{5}L$ है।
मान लीजिए कि नई चौड़ाई $W'$ है। क्षेत्रफल को समान रखने के लिए,$L' \times W' = L \times W$ होना चाहिए।
$L'$ का मान रखने पर,$\frac{8}{5}L \times W' = L \times W$,जिसे सरल करने पर $W' = \frac{5}{8}W$ प्राप्त होता है।
चौड़ाई में कमी $W - W' = W - \frac{5}{8}W = \frac{3}{8}W$ है।
प्रतिशत कमी $\frac{\text{कमी}}{\text{मूल चौड़ाई}} \times 100 = \frac{\frac{3}{8}W}{W} \times 100 = \frac{3}{8} \times 100 = 37.5 \% = 37 \frac{1}{2} \%$ है।

(C) माना कि मूल लंबाई $x$ है और मूल चौड़ाई $y$ है।
मूल क्षेत्रफल $= x \times y = xy$.
नई लंबाई $= x + 50\% \text{ of } x = x + 0.5x = 1.5x = \frac{3x}{2}$.
नई चौड़ाई $= y + 20\% \text{ of } y = y + 0.2y = 1.2y = \frac{6y}{5}$.
नया क्षेत्रफल $= \text{नई लंबाई} \times \text{नई चौड़ाई} = \frac{3x}{2} \times \frac{6y}{5} = \frac{18xy}{10} = \frac{9}{5}xy$.
अतः,नया क्षेत्रफल मूल क्षेत्रफल का $\frac{9}{5}$ गुना है।

(B) $10 \, cm$ भुजा वाले दो घनों को एक-दूसरे से जोड़ने पर एक घनाभ बनता है।
परिणामी घनाभ की लंबाई $(l) = 10 \, cm + 10 \, cm = 20 \, cm$.
परिणामी घनाभ की चौड़ाई $(b) = 10 \, cm$.
परिणामी घनाभ की ऊँचाई $(h) = 10 \, cm$.
घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र है: $2(lb + bh + hl)$.
मान रखने पर: $2(20 \times 10 + 10 \times 10 + 10 \times 20) \, cm^2$.
$= 2(200 + 100 + 200) \, cm^2$.
$= 2(500) \, cm^2 = 1000 \, cm^2$.

(B) माना घनाभ की विमाएँ $l, b,$ और $h$ हैं।
घनाभ का आयतन $V = l \times b \times h$ द्वारा दिया जाता है।
तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल इस प्रकार हैं:
$x = l \times b$
$y = b \times h$
$z = h \times l$
इन तीनों क्षेत्रफलों का गुणा करने पर:
$x \times y \times z = (l \times b) \times (b \times h) \times (h \times l)$
$xyz = l^{2} \times b^{2} \times h^{2}$
$xyz = (l \times b \times h)^{2}$
चूँकि $V = l \times b \times h$,समीकरण में $V$ का मान रखने पर:
$xyz = V^{2}$
अतः,$V^{2} = xyz$ सत्य है।

(B) दिया गया है: बेलन का आयतन $V = 448 \pi \, cm^3$ और ऊँचाई $h = 7 \, cm$ है।
माना त्रिज्या $r$ है।
आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है।
मान रखने पर: $448 \pi = \pi r^2 (7)$.
$r^2 = \frac{448}{7} = 64$,अतः $r = 8 \, cm$.
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $(LSA)$ $= 2 \pi r h = 2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times 7 = 352 \, cm^2$.
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(TSA)$ $= 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi r (h + r)$.
$TSA$ $= 2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times (7 + 8) = 2 \times \frac{22}{7} \times 8 \times 15 = \frac{5280}{7} \approx 754.286 \, cm^2$.

(D) दिया गया है: त्रिज्या $(r) = 5 \text{ cm}$,ऊँचाई $(h) = 12 \text{ cm}$.
सबसे पहले,तिर्यक ऊँचाई $(l)$ की गणना सूत्र $l = \sqrt{h^2 + r^2}$ का उपयोग करके करें।
$l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$.
शंकु का पार्श्व (वक्र) पृष्ठीय क्षेत्रफल सूत्र $A = \pi r l$ द्वारा दिया जाता है।
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर:
$A = \frac{22}{7} \times 5 \times 13 = \frac{1430}{7} \approx 204.285 \text{ cm}^2$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर,हमें $204.3 \text{ cm}^2$ प्राप्त होता है।

(A) गोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ होता है।
दिया गया है $V = 38808 \, cm^{3}$।
$\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times r^{3} = 38808$।
$r^{3} = 38808 \times \frac{3 \times 7}{4 \times 22} = 9261$।
घनमूल लेने पर,$r = \sqrt[3]{9261} = 21 \, cm$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^{2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$A = 4 \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 4 \times 22 \times 3 \times 21 = 5544 \, cm^{2}$।
अतः,त्रिज्या $21 \, cm$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल $5544 \, cm^{2}$ है।

(A) माना कि दो अर्धगोलों का आयतन $V_1$ और $V_2$ है,और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
अर्धगोले के आयतन का सूत्र $V = \frac{2}{3} \pi r^3$ होता है।
आयतन का दिया गया अनुपात: $V_1 : V_2 = 8 : 27$.
सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{2}{3} \pi r_1^3}{\frac{2}{3} \pi r_2^3} = \frac{8}{27}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{8}{27}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$.
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $2:3$ है।

(A) जब एक गोले को तार में बदला जाता है तो पदार्थ का आयतन स्थिर रहता है।
गोले की त्रिज्या $R = \frac{18}{2} = 9\, cm$ है।
तार का व्यास $= 40\, mm = 4\, cm$,इसलिए तार की त्रिज्या $r = \frac{4}{2} = 2\, cm$ है।
मान लीजिए तार की लंबाई $h\, cm$ है।
गोले का आयतन $= \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (9)^3 = \frac{4}{3} \pi (729) = 972\pi\, cm^3$ है।
बेलनाकार तार का आयतन $= \pi r^2 h = \pi (2)^2 h = 4\pi h\, cm^3$ है।
आयतन को बराबर करने पर: $972\pi = 4\pi h$।
$h = \frac{972}{4} = 243\, cm$।
अतः,तार की लंबाई $243\, cm$ है।

(A) माना घन का प्रारंभिक किनारा $x \text{ cm}$ है।
घन का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_1 = 6x^2$ है।
$50 \%$ की वृद्धि के बाद नया किनारा $x + 0.5x = 1.5x = \frac{3x}{2} \text{ cm}$ है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $S_2 = 6 \left( \frac{3x}{2} \right)^2 = 6 \left( \frac{9x^2}{4} \right) = \frac{54x^2}{4} = 13.5x^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $S_2 - S_1 = 13.5x^2 - 6x^2 = 7.5x^2$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\left( \frac{\text{वृद्धि}}{\text{प्रारंभिक क्षेत्रफल}} \right) \times 100 = \left( \frac{7.5x^2}{6x^2} \right) \times 100 = 1.25 \times 100 = 125 \%$ है।

(C) सबसे पहले,सभी मापों को मीटर $(m)$ में बदलें:
दीवार की विमाएँ: $10\, m$,$4\, dm = 0.4\, m$,$5\, m$.
दीवार का कुल आयतन $= 10\, m \times 0.4\, m \times 5\, m = 20\, m^3$.
मसाले (मोर्टार) द्वारा घेरा गया आयतन $= \frac{1}{10} \times 20\, m^3 = 2\, m^3$.
ईंटों द्वारा घेरा जाने वाला आयतन $= 20\, m^3 - 2\, m^3 = 18\, m^3$.
एक ईंट का आयतन $= 0.25\, m \times 0.15\, m \times 0.08\, m = 0.003\, m^3 = \frac{3}{1000}\, m^3$.
आवश्यक ईंटों की संख्या $= \frac{\text{ईंटों का कुल आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}} = \frac{18}{3/1000} = \frac{18 \times 1000}{3} = 6000$.