logarithm Questions in Hindi

(B) हमें दिया गया है कि $\log _{10} 2986 = 3.4751$ है।
हमें $\log _{10} 0.02986$ का मान ज्ञात करना है।
$\log _{10} 0.02986 = \log _{10} \left( \frac{2986}{10^5} \right)$
लघुगणक के गुणधर्म $\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b$ का उपयोग करने पर:
$= \log _{10} 2986 - \log _{10} 10^5$
$= 3.4751 - 5$
$= -1.5249$
पूर्णांश और भिन्नांश रूप में,$-1.5249 = -2 + 0.4751 = \overline{2}.4751$।

(A) दिया गया समीकरण: $\log (2 a-3 b)=\log a-\log b$
लघुगणक के गुणधर्म $\log x - \log y = \log (x/y)$ का उपयोग करने पर:
$\log (2 a-3 b)=\log (a/b)$
दोनों पक्षों का प्रति-लघुगणक (antilog) लेने पर:
$2 a-3 b = a/b$
दोनों पक्षों को $b$ से गुणा करने पर:
$2 a b - 3 b^{2} = a$
$a$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2 a b - a = 3 b^{2}$
$a(2 b-1) = 3 b^{2}$
अतः,$a = \frac{3 b^{2}}{2 b-1}$

(C) दिया गया समीकरण: $\log (x-y) - \log 5 - \frac{1}{2} \log x - \frac{1}{2} \log y = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\log (x-y) = \log 5 + \frac{1}{2} (\log x + \log y)$
लघुगणक के गुणों $\log a + \log b = \log (ab)$ और $n \log a = \log (a^n)$ का उपयोग करने पर:
$\log (x-y) = \log 5 + \log (xy)^{1/2}$
$\log (x-y) = \log (5 \sqrt{xy})$
दोनों पक्षों का एंटीलॉग लेने पर: $x-y = 5 \sqrt{xy}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-y)^2 = (5 \sqrt{xy})^2$
$x^2 - 2xy + y^2 = 25xy$
$x^2 + y^2 = 27xy$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर: $\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{27xy}{xy}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 27$

(B) दिया गया है कि $\frac{\log x}{3} = \frac{\log y}{4} = \frac{\log z}{5} = k$ है।
इससे,हम लघुगणक को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:
$\log x = 3k$,$\log y = 4k$,और $\log z = 5k$।
हमें $zx$ का मान ज्ञात करना है। लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए:
$\log(zx) = \log z + \log x$।
$k$ के पदों में मान रखने पर:
$\log(zx) = 5k + 3k = 8k$।
चूंकि $\log y = 4k$,हम $8k = 2(4k) = 2 \log y$ लिख सकते हैं।
लघुगणक के घात नियम का उपयोग करते हुए,$2 \log y = \log(y^2)$।
अतः,$\log(zx) = \log(y^2)$,जिसका अर्थ है कि $zx = y^2$।

(A) दिया गया समीकरण: $3+\log _{5} x=2 \log _{25} y$
हम जानते हैं कि $\log _{25} y = \frac{\log _{5} y}{\log _{5} 25} = \frac{\log _{5} y}{2}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $3+\log _{5} x = 2 \cdot \frac{\log _{5} y}{2}$।
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $3+\log _{5} x = \log _{5} y$।
हम $3$ को $\log _{5} 125$ के रूप में लिख सकते हैं,अतः: $\log _{5} 125 + \log _{5} x = \log _{5} y$।
लघुगणक के गुणधर्म $\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर: $\log _{5}(125x) = \log _{5} y$।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर: $125x = y$,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{y}{125}$।

(D) माना कि $\frac{\log _{2} a}{2}=\frac{\log _{3} b}{3}=\frac{\log _{4} c}{4}=k$ है।
इससे हमें $\log _{2} a = 2k \Rightarrow a = 2^{2k}$,$\log _{3} b = 3k \Rightarrow b = 3^{3k}$,और $\log _{4} c = 4k \Rightarrow c = 4^{4k}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दिए गए समीकरण $a^{1/2} \cdot b^{1/3} \cdot c^{1/4} = 24$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2^{2k})^{1/2} \cdot (3^{3k})^{1/3} \cdot (4^{4k})^{1/4} = 24$
$2^k \cdot 3^k \cdot 4^k = 24$
$(2 \cdot 3 \cdot 4)^k = 24$
$24^k = 24^1 \Rightarrow k = 1$.
अब,$k=1$ को $a, b,$ और $c$ के व्यंजकों में रखने पर:
$a = 2^{2(1)} = 4$
$b = 3^{3(1)} = 27$
$c = 4^{4(1)} = 256$.
अतः,सही विकल्प $c=256$ है।

(C) माना कि $\frac{\log _{2} x}{3}=\frac{\log _{2} y}{4}=\frac{\log _{2} z}{5 k} = \lambda$.
तब $\log _{2} x = 3\lambda$,$\log _{2} y = 4\lambda$,और $\log _{2} z = 5k\lambda$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $\frac{z}{x^{3} y^{4}}=1$,दोनों पक्षों में $\log _{2}$ लेने पर:
$\log _{2} z - \log _{2} (x^{3} y^{4}) = \log _{2} 1$
$\log _{2} z - 3 \log _{2} x - 4 \log _{2} y = 0$.
$\log _{2} x, \log _{2} y, \log _{2} z$ के मान रखने पर:
$5k\lambda - 3(3\lambda) - 4(4\lambda) = 0$
$5k\lambda - 9\lambda - 16\lambda = 0$
$5k\lambda - 25\lambda = 0$
चूँकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $5k - 25 = 0$,जिससे $k = 5$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = \frac{3 + \log_{10} 343}{2 + \frac{1}{2} \log_{10} \left(\frac{49}{4}\right) + \frac{1}{3} \log_{10} \left(\frac{1}{125}\right)}$
अंश: $3 + \log_{10} 7^3 = 3 + 3 \log_{10} 7 = 3(1 + \log_{10} 7) = 3(\log_{10} 10 + \log_{10} 7) = 3 \log_{10} 70$.
हर: $2 + \log_{10} \left(\frac{49}{4}\right)^{1/2} + \log_{10} \left(\frac{1}{125}\right)^{1/3} = 2 + \log_{10} \left(\frac{7}{2}\right) + \log_{10} \left(\frac{1}{5}\right)$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ का उपयोग करने पर,हर होगा: $2 + \log_{10} \left(\frac{7}{2} \times \frac{1}{5}\right) = 2 + \log_{10} \left(\frac{7}{10}\right)$.
चूंकि $2 = \log_{10} 100$,हर होगा: $\log_{10} 100 + \log_{10} 0.7 = \log_{10} (100 \times 0.7) = \log_{10} 70$.
अतः,$E = \frac{3 \log_{10} 70}{\log_{10} 70} = 3$.

(C) माना प्रत्येक अनुपात एक स्थिरांक $k$ के बराबर है।
तब,$\log x = k(a^2 + ab + b^2)$,$\log y = k(b^2 + bc + c^2)$,और $\log z = k(c^2 + ca + a^2)$ है।
पहले समीकरण को $(a-b)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(a-b) \log x = k(a-b)(a^2 + ab + b^2) = k(a^3 - b^3)$।
अतः,$\log x^{a-b} = k(a^3 - b^3)$।
इसी प्रकार,$(b-c) \log y = k(b^3 - c^3)$ और $(c-a) \log z = k(c^3 - a^3)$।
अब,माना $E = x^{a-b} \cdot y^{b-c} \cdot z^{c-a}$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log E = \log x^{a-b} + \log y^{b-c} + \log z^{c-a}$
$\log E = k(a^3 - b^3) + k(b^3 - c^3) + k(c^3 - a^3)$
$\log E = k(a^3 - b^3 + b^3 - c^3 + c^3 - a^3) = k(0) = 0$।
चूँकि $\log E = 0$,इसलिए $E = 10^0 = 1$ या $E = e^0 = 1$ है।
अतः,$x^{a-b} \cdot y^{b-c} \cdot z^{c-a} = 1$।

(C) दिया गया है $3^{x-2} = 5$.
दोनों पक्षों में $\log_{10}$ लेने पर:
$(x-2) \log_{10} 3 = \log_{10} 5$
चूंकि $\log_{10} 5 = \log_{10} (10/2) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.30103 = 0.69897$.
अतः,$(x-2) (0.4771) = 0.69897$.
$x-2 = \frac{0.69897}{0.4771} = 1.465038...$
$x = 2 + 1.465038 = 3.465038$.
भिन्न की गणना करने पर: $3 \frac{22187}{47710} = 3 + \frac{22187}{47710} \approx 3 + 0.465038 = 3.465038$.
अतः,$x = 3 \frac{22187}{47710}$.

(D) माना $x = (648)^{5}$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर,$\log x = 5 \log (648)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $648 = 2^3 \times 3^4$,इसलिए $\log x = 5 \log (2^3 \times 3^4)$ है।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,$\log x = 5 (3 \log 2 + 4 \log 3)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\log x = 5 (3 \times 0.30103 + 4 \times 0.4771)$ है।
$\log x = 5 (0.90309 + 1.9084) = 5 (2.81149) = 14.05745$ है।
किसी संख्या $x$ में अंकों की संख्या $\lfloor \log_{10} x \rfloor + 1$ द्वारा ज्ञात की जाती है।
यहाँ,$\lfloor 14.05745 \rfloor + 1 = 14 + 1 = 15$ है।
अतः,$(648)^{5}$ में अंकों की संख्या $15$ है।

(C) माना कि $\frac{\log x}{1} = \frac{\log y}{2} = \frac{\log z}{5} = k$ है।
अतः,$\log x = k$,$\log y = 2k$,और $\log z = 5k$ होगा।
हमें $x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2}$ का मान ज्ञात करना है।
इस व्यंजक का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\log(x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2}) = 4 \log x + 3 \log y - 2 \log z$ प्राप्त होता है।
$\log x, \log y,$ और $\log z$ के मान $k$ के पदों में रखने पर:
$= 4(k) + 3(2k) - 2(5k)$
$= 4k + 6k - 10k$
$= 10k - 10k = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\log(x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2}) = 0$ है,इसलिए $x^{4} \cdot y^{3} \cdot z^{-2} = 10^{0} = 1$ होगा।

(C) दिया गया व्यंजक: $\frac{\log \sqrt{27}+\log \sqrt{1000}+\log 8}{\log 120}$
चरण $1$: अंश के पदों को सरल करें।
$\log \sqrt{27} = \log (3^3)^{1/2} = \frac{3}{2} \log 3$
$\log \sqrt{1000} = \log (10^3)^{1/2} = \frac{3}{2} \log 10$
$\log 8 = \log 2^3 = 3 \log 2 = \frac{3}{2} \log 2^2 = \frac{3}{2} \log 4$
चरण $2$: इन मानों को अंश में प्रतिस्थापित करें।
अंश $= \frac{3}{2} \log 3 + \frac{3}{2} \log 10 + \frac{3}{2} \log 4 = \frac{3}{2} (\log 3 + \log 10 + \log 4)$
चरण $3$: $\log a + \log b + \log c = \log (a \cdot b \cdot c)$ गुणधर्म का उपयोग करें।
अंश $= \frac{3}{2} \log (3 \cdot 10 \cdot 4) = \frac{3}{2} \log 120$
चरण $4$: हर से भाग दें।
$\frac{\frac{3}{2} \log 120}{\log 120} = \frac{3}{2}$

(B) दिया गया समीकरण $y = \frac{10^{\log_{10} x}}{x^2}$ है।
लघुगणक के गुणधर्म $10^{\log_{10} x} = x$ का उपयोग करने पर,समीकरण $y = \frac{x}{x^2}$ में सरल हो जाता है।
यह आगे $y = \frac{1}{x}$ के रूप में सरल होता है,जिसका अर्थ है $x = \frac{1}{y} = y^{-1}$।
चूंकि $x = y^a$ दिया गया है,घातों की तुलना करने पर हमें $a = -1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $x = \log_{4/3}(1/2)$। चूँकि आधार $4/3 > 1$ है और तर्क $1/2 < 1$ है,इसलिए $x$ का मान ऋणात्मक है $(x < 0)$।
दिया गया है $y = \log_{1/2}(1/3)$। लघुगणक के गुणधर्म $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$ का उपयोग करने पर,$y = \log_{2^{-1}} (3^{-1}) = \frac{-1}{-1} \log_2 3 = \log_2 3$ प्राप्त होता है। चूँकि आधार $2 > 1$ है और तर्क $3 > 1$ है,इसलिए $y$ का मान धनात्मक है $(y > 0)$।
अतः,चूँकि $x < 0$ और $y > 0$ है,इसलिए $x < y$ होगा।