Mix Example - MOTION Questions in Gujarati

(A) એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $t = 1 \text{ કલાક } 30 \text{ મિનિટ} = 90 \text{ મિનિટ}$ છે.
આ સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $t = 90 \times 60 = 5400 \text{ s}$.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta = 2\pi \text{ રેડિયન}$ છે.
કોણીય ઝડપનું સૂત્ર $\omega = \frac{\theta}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{2\pi}{5400} = \frac{\pi}{2700} \text{ rad/s}$.
આંકડાકીય કિંમતની ગણતરી કરતા: $\omega \approx \frac{3.14159}{2700} \approx 1.1635 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$.
આમ,કોણીય ઝડપ આશરે $1.16 \times 10^{-3} \text{ rad/s}$ છે.

(N/A) સરેરાશ ઝડપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V_{av} = \frac{\text{કુલ કાપેલું અંતર}}{\text{લીધેલ કુલ સમય}}$
વાહન દ્વારા કાપેલું અંતર:
$1096 \text{ km} - 1048 \text{ km} = 48 \text{ km} = 48000 \text{ m}$
લીધેલ સમય:
$40 \text{ મિનિટ} = 40 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 2400 \text{ સેકન્ડ}$
તેથી,સરેરાશ ઝડપ:
$V_{av} = \frac{48000 \text{ m}}{2400 \text{ s}} = 20 \text{ m/s}$
સ્પીડોમીટર કોઈપણ સમયે વાહનની તત્કાલીન ઝડપ માપે છે,સમયના ગાળા દરમિયાનની સરેરાશ ઝડપ નહીં. તેથી,સ્પીડોમીટર આ ગણતરી કરેલ સરેરાશ ઝડપ દર્શાવશે નહીં.

(N/A) આપેલ છે: બસની ઝડપ $= 60 \, km/h = 60 \times (5/18) \, m/s = 16.67 \, m/s$.
$(i)$ સામાન્ય રિએક્શન ટાઈમ $1/15 \, s$ માટે:
અંતર $=$ ઝડપ $\times$ સમય $= 16.67 \times (1/15) = 1.11 \, m$.
$(ii)$ દારૂના પ્રભાવ હેઠળ $1/2 \, s$ ના રિએક્શન ટાઈમ માટે:
અંતર $=$ ઝડપ $\times$ સમય $= 16.67 \times 0.5 = 8.335 \, m$ (આશરે $8.34 \, m$).

(A) આપેલ છે: પ્રવેગ $a = -6 \, m s^{-2}$ (ઋણ કારણ કે તે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં છે),સમય $t = 2 \, s$,અને અંતિમ વેગ $v = 0 \, m s^{-1}$ (કારણ કે કાર અટકી જાય છે).
$(i)$ પ્રથમ,ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રારંભિક વેગ $u$ શોધો: $v = u + at$.
$0 = u + (-6) \times 2$
$u = 12 \, m s^{-1}$.
$(ii)$ હવે,ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને અંતર $S$ ની ગણતરી કરો: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$S = (12 \times 2) + \frac{1}{2} \times (-6) \times (2)^2$
$S = 24 - 12 = 12 \, m$.
આમ,કાર અટકતા પહેલા $12 \, m$ અંતર કાપે છે.

(A) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 42,250 \, km = 42,250,000 \, m$
સમયગાળો $T = 24 \, \text{કલાક} = 24 \times 60 \times 60 \, s = 86,400 \, s$
વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થનો રેખીય વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{2 \pi r}{T}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{2 \times 3.14159 \times 42,250 \, km}{86,400 \, s}$
$v \approx \frac{265,464}{86,400} \, km/s$
$v \approx 3.07 \, km/s$
આમ, ઉપગ્રહનો રેખીય વેગ આશરે $3.07 \, km/s$ છે.

(N/A) સાયકલ સવાર દ્વારા કાપેલું અંતર $=$ માર્ગ $AB$ ની લંબાઈ (અર્ધવર્તુળ) $=$ વર્તુળના પરિઘનું અડધું.
$S = \frac{314}{2} = 157 \ m$.
$(b)$ સાયકલ સવારનું સ્થાનાંતર એ વર્તુળના વ્યાસ $AB$ જેટલું હોય છે.
પરિઘ $= 2 \pi r = 314 \ m$ હોવાથી,
$r = \frac{\text{પરિઘ}}{2 \pi} = \frac{314}{2 \times 3.14} = 50 \ m$.
તેથી,સાયકલ સવારનું સ્થાનાંતર $= 2 \times r = 2 \times 50 = 100 \ m$ દક્ષિણ દિશામાં.
$(c)$ સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
પહેલા,સમય શોધો: $\text{સમય} = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{157 \ m}{15.7 \ m s^{-1}} = 10 \ s$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{100 \ m}{10 \ s} = 10 \ m s^{-1}$ દક્ષિણ દિશામાં.

(B) પ્રારંભિક વેગ $u = 80 \, km \, h^{-1} = 80 \times \frac{5}{18} = \frac{200}{9} \, m \, s^{-1} \approx 22.22 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 50 \, km \, h^{-1} = 50 \times \frac{5}{18} = \frac{125}{9} \, m \, s^{-1} \approx 13.89 \, m \, s^{-1}$.
સમય $t = 4 \, s$.
પ્રવેગના સૂત્ર $a = \frac{v - u}{t}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a = \frac{\frac{125}{9} - \frac{200}{9}}{4} = \frac{-75}{9 \times 4} = \frac{-75}{36} = -2.083 \, m \, s^{-2}$.
ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ (મંદન) સૂચવે છે.

(A) આપેલ વેગ $v = 120 \, km \, h^{-1}$.
સમય $t = 30 \, s$.
પ્રથમ,સમયને કલાકમાં ફેરવો: $t = 30 \, s = 30 / 3600 \, h = 1 / 120 \, h$.
અંતર માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $S = v \times t$.
$S = 120 \, km \, h^{-1} \times (1 / 120) \, h = 1 \, km$.
તેથી,ટ્રેન $30 \, s$ માં $1 \, km$ જેટલું અંતર કાપશે.

(N/A) ટ્રેન $A$ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u_A = 54\, km\, h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} = 15\, m\, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v_A = 0\, m\, s^{-1}$.
લીધેલ સમય $t_A = 5\, s$.
ટ્રેન $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ $AB$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે:
અંતર $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5\, s \times 15\, m\, s^{-1} = 37.5\, m$.
ટ્રેન $B$ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u_B = 36\, km\, h^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} = 10\, m\, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v_B = 0\, m\, s^{-1}$.
લીધેલ સમય $t_B = 10\, s$.
ટ્રેન $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ $CD$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે:
અંતર $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 10\, s \times 10\, m\, s^{-1} = 50\, m$.

(66 S) ટ્રેનની લંબાઈ $= 100 \, m = 0.1 \, km$.
પુલની લંબાઈ $= 1 \, km$.
પુલ પસાર કરવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $= \text{ટ્રેનની લંબાઈ} + \text{પુલની લંબાઈ} = 0.1 \, km + 1 \, km = 1.1 \, km$.
ટ્રેનનો વેગ $= 60 \, km/h$.
લાગતો સમય $(t) = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{વેગ}} = \frac{1.1 \, km}{60 \, km/h} = \frac{1.1}{60} \, h$.
સમયને સેકન્ડમાં ફેરવવા માટે, $3600 \, s/h$ વડે ગુણો:
$t = \frac{1.1}{60} \times 3600 \, s = 1.1 \times 60 \, s = 66 \, s$.

(DISTANCE = 231 M, DISPLACEMENT = 49 M) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 49 \,m$,એક આંટા માટેનો સમય $T = 20 \,s$,કુલ સમય $t = 30 \,s$.
પ્રથમ,$30 \,s$ માં પૂર્ણ થયેલા આંટાની સંખ્યા શોધો:
$n = \frac{t}{T} = \frac{30}{20} = 1.5 \, \text{આંટા}$.
કાપેલું અંતર એ કુલ પથ લંબાઈ છે:
$S = n \times (2 \pi r) = n \times (\pi d) = 1.5 \times \frac{22}{7} \times 49 = 1.5 \times 22 \times 7 = 231 \,m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે:
$1.5$ આંટા પૂર્ણ કર્યા પછી,એથ્લેટ શરૂઆતના બિંદુથી વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
તેથી,સ્થાનાંતર એ વર્તુળાકાર ટ્રેકના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $49 \,m$ થશે.

(A) ધારો કે અલીના ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
શાળાએ જતી વખતે:
અંતર $= x$,ઝડપ $= 20 \, km \, h^{-1}$.
લાગતો સમય $t_1 = \frac{x}{20} \, h$.
પરત ફરતી વખતે:
અંતર $= x$,ઝડપ $= 30 \, km \, h^{-1}$.
લાગતો સમય $t_2 = \frac{x}{30} \, h$.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય:
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{x + x}{t_1 + t_2} = \frac{2x}{\frac{x}{20} + \frac{x}{30}}$.
છેદની ગણતરી કરતા:
$\frac{x}{20} + \frac{x}{30} = \frac{3x + 2x}{60} = \frac{5x}{60} = \frac{x}{12}$.
તેથી,સરેરાશ ઝડપ $= \frac{2x}{x/12} = 2x \times \frac{12}{x} = 24 \, km \, h^{-1}$.

(N/A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 5\, m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 30\, m s^{-1}$,સમય $t = 5\, s$.
$(i)$ પ્રવેગ $(a)$ ની ગણતરી કરવા માટે: ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$.
$30 = 5 + a \times 5$
$30 - 5 = 5a$
$25 = 5a$
$a = 5\, m s^{-2}$.
$(ii)$ કાપેલું અંતર $(S)$ ની ગણતરી કરવા માટે: ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2aS$.
$(30)^2 - (5)^2 = 2 \times 5 \times S$
$900 - 25 = 10S$
$875 = 10S$
$S = 87.5\, m$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \, km \, h^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$ (સાયકલ ઉભી રહે છે તેથી).
સમય $t = 2 \, s$.
$(i)$ પ્રતિપ્રવેગની ગણતરી:
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 10 + a \times 2$
$2a = -10$
$a = -5 \, m \, s^{-2}$.
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $= -(-5 \, m \, s^{-2}) = 5 \, m \, s^{-2}$.
$(ii)$ કાપેલું અંતર $(S)$ ની ગણતરી:
ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (10)^2 = 2 \times (-5) \times S$
$-100 = -10 \times S$
$S = \frac{-100}{-10} = 10 \, m$.

(N/A) ઝડપ-સમયનો આલેખ $(0, 5)$ થી $(50, 30)$ સુધીની એક સીધી રેખા છે。
$(i)$ પ્રવેગ એ ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે。
ઢાળ $= \frac{\text{ઝડપમાં ફેરફાર}}{\text{સમયમાં ફેરફાર}} = \frac{30 - 5}{50 - 0} = \frac{25}{50} = 0.5 \ m s^{-2}$.
$(ii)$ કાપેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે。
આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવે છે જેની સમાંતર બાજુઓ $5 \ m s^{-1}$ અને $30 \ m s^{-1}$ છે, અને ઊંચાઈ (સમય) $50 \ s$ છે。
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (5 + 30) \times 50 = \frac{1}{2} \times 35 \times 50 = 35 \times 25 = 875 \ m$.

(N/A) $(i)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,અંતર $S = 64 \, m$,સમય $t = 4 \, s$.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$64 = 0(4) + \frac{1}{2} \times a \times (4)^2$
$64 = 8a$
$a = 8 \, m/s^2$.
$v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + 8 \times 4 = 32 \, m/s$.
$(ii)$ કુલ અંતરનું અડધું અંતર $S' = \frac{64}{2} = 32 \, m$ થાય.
$S' = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$32 = 0(t) + \frac{1}{2} \times 8 \times t^2$
$32 = 4t^2$
$t^2 = 8$
$t = \sqrt{8} \approx 2.83 \, s$.

(A) ડાયનેમિક્સ (ગતિવિજ્ઞાન) એ મિકેનિક્સની એવી શાખા છે જે પદાર્થોની ગતિ અને તે ગતિ માટે જવાબદાર બળોનો અભ્યાસ કરે છે.
કાઈનેમેટિક્સ (શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાન) એ મિકેનિક્સની એવી શાખા છે જે ગતિના કારણોને ધ્યાનમાં લીધા વગર માત્ર પદાર્થોની ગતિનું વર્ણન કરે છે.
સ્ટેટિક્સ (સ્થિતિવિજ્ઞાન) એ મિકેનિક્સની એવી શાખા છે જે બળોની અસર હેઠળ સ્થિર અથવા સંતુલિત અવસ્થામાં રહેલા પદાર્થોનો અભ્યાસ કરે છે.
તેથી,ગતિના કારણને ધ્યાનમાં લેતી સાચી શાખા ડાયનેમિક્સ છે.

(C) સમાન પ્રવેગને સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા સતત ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(a = \frac{dv}{dt} = \text{અચળ})$.
$Mr. Y$ નું વિધાન,"તમે જેટલો લાંબો સમય મુસાફરી કરો, તેટલા ઝડપી બનો," તે સમયગાળા $(t)$ ને દર્શાવે છે। $v = u + at$ સૂત્ર મુજબ, જેમ સમય $(t)$ વધે છે, તેમ વેગ $(v)$ રેખીય રીતે વધે છે, જે સમાન પ્રવેગનું સાચું વર્ણન છે。
$Mr. X$ નું વિધાન,"તમે જેટલા દૂર જાઓ, તેટલા ઝડપી બનો," તે સ્થાનાંતર $(s)$ ને દર્શાવે છે। $v^2 = u^2 + 2as$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જેમ સ્થાનાંતર $(s)$ વધે છે, તેમ વેગ $(v)$ પણ વધે છે। તેથી, બંને વિધાનો સમાન પ્રવેગનું ભૌતિક રીતે સાચું વર્ણન કરે છે।

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂ કરીને અને અચળ પ્રવેગ $(a)$ સાથે ઢળતી સપાટી પર ગતિ કરતા પદાર્થ માટે, $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $(s)$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં $u = 0$ હોવાથી, સમીકરણ $s = \frac{1}{2}at^2$ બને છે, જેનો અર્થ છે કે $s \propto t^2$.
ધારો કે કુલ અંતર $S$ છે અને કુલ સમય $T = 4$ સેકન્ડ છે.
આપણે અંતરનો ચોથો ભાગ, એટલે કે $s' = \frac{S}{4}$ કાપવા માટે લાગતો સમય $(t')$ શોધવાનો છે.
પ્રમાણસરતા $s \propto t^2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{s'}{S} = \frac{(t')^2}{T^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{S/4}{S} = \frac{(t')^2}{4^2}$.
$\frac{1}{4} = \frac{(t')^2}{16}$.
$(t')^2 = \frac{16}{4} = 4$.
$t' = \sqrt{4} = 2$ સેકન્ડ.
તેથી, પદાર્થ $2$ સેકન્ડમાં અંતરનો ચોથો ભાગ કાપશે.

(D) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
સ્થાનાંતર એ એક સદિશ રાશિ છે જે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર દર્શાવે છે.
આ પ્રશ્નમાં,કાર એક બિંદુથી શરૂ કરીને $100\, km$ પૂર્વમાં,$100\, km$ દક્ષિણમાં મુસાફરી કરે છે અને અંતે તે જ પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછી ફરે છે.
કારણ કે અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન સમાન છે,તેથી કુલ સ્થાનાંતર $0\, km$ થાય છે.
તેથી,સરેરાશ વેગ = $\frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{0\, km}{3.3\, h} = 0\, km\, h^{-1}$.

(A) આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $s$ એ સમય $t$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ $s = kt^3$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $s$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^3) = 3kt^2$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3kt^2) = 6kt$.
આમ,$a = 6kt$ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ના સીધા સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,પ્રવેગનું મૂલ્ય સમય સાથે વધે છે.

(B) ધારો કે પ્રવેગ માટે લાગતો સમય $t_1$ છે અને પ્રતિપ્રવેગ માટે લાગતો સમય $t_2$ છે.
આપેલ છે કે,કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = 4\, s$.
આ ગતિ માટે વેગ-સમયનો આલેખ એક ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $T = 4\, s$ અને ઊંચાઈ $v_{max} = 8\, m s^{-1}$ છે.
કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4\, s \times 8\, m s^{-1} = 16\, m$.
આમ,કાપેલું કુલ અંતર $16\, m$ છે.

(C) $1$. અંતર એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથ લંબાઈ છે. વર્તુળના ત્રણ-ચતુર્થાંશ ભાગ માટે, અંતર એ પરિઘ $(2\pi r)$ ના $\frac{3}{4}$ ભાગ જેટલું હોય છે.
અંતર $= \frac{3}{4} \times 2\pi r = \frac{3\pi r}{2}$.
$2$. સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું સીધું અંતર છે. જો પદાર્થ બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને વર્તુળના ત્રણ-ચતુર્થાંશ ભાગ જેટલી ગતિ કરીને બિંદુ $B$ પર પહોંચે, તો કેન્દ્ર આગળ બનતો ખૂણો $270^{\circ}$ (અથવા $-90^{\circ}$) થાય છે.
$3$. પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $(r, 0)$ છે અને અંતિમ સ્થાન સદિશ $(0, -r)$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય એ $r$ અને $r$ બાજુઓ ધરાવતા કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ જેટલું થાય છે.
સ્થાનાંતર $= \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2r^2} = \sqrt{2}r$.

(B) કોઈપણ ગતિ માટે,કાપેલું અંતર હંમેશા સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતા વધારે અથવા તેના જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\text{અંતર} \geq |\text{સ્થાનાંતર}|$.
તેથી,સ્થાનાંતરના મૂલ્ય અને કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{|\text{સ્થાનાંતર}|}{\text{અંતર}} \leq 1$ થાય છે.
સીધી રેખાના પથ પર,જો ગતિ એકદિશીય હોય (પાછા વળ્યા વગર),તો અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય જેટલું હોય છે,તેથી ગુણોત્તર $1$ મળે છે.
જો ગતિમાં દિશા બદલાતી હોય,તો અંતર એ સ્થાનાંતરના મૂલ્ય કરતા વધારે હોય છે,જેનાથી ગુણોત્તર $1$ કરતા ઓછો થાય છે.
આમ,આ ગુણોત્તર હંમેશા $1$ અથવા તેનાથી ઓછો હોય છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ પર વેગ $v_A = 20 \, m/s$ છે અને બિંદુ $B$ પર વેગ $v_B = 30 \, m/s$ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $s$ છે. મધ્યબિંદુ $M$ પર વેગ $v_M$ શોધવા માટે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
વિભાગ $AM$ માટે,$v_M^2 = v_A^2 + 2a(s/2) = v_A^2 + as$.
વિભાગ $MB$ માટે,$v_B^2 = v_M^2 + 2a(s/2) = v_M^2 + as$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$as = v_M^2 - v_A^2$. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_B^2 = v_M^2 + (v_M^2 - v_A^2) = 2v_M^2 - v_A^2$.
$v_M$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$2v_M^2 = v_A^2 + v_B^2 \implies v_M = \sqrt{\frac{v_A^2 + v_B^2}{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_M = \sqrt{\frac{20^2 + 30^2}{2}} = \sqrt{\frac{400 + 900}{2}} = \sqrt{\frac{1300}{2}} = \sqrt{650} \approx 25.5 \, m/s$.

(D) આપેલ છે કે અંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે લખી શકીએ: $s \propto t^2$ અથવા $s = kt^2$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે અંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(kt^2) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $k$ અચળ હોવાથી,$2k$ પણ અચળ છે.
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ છે.

(C) વેગ$-$સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થ દ્વારા થયેલું સ્થાનાંતર અથવા કુલ કાપેલું અંતર દર્શાવે છે.
ગાણિતિક રીતે,વેગ $v$ અને સમય $t$ માટે,ક્ષેત્રફળની ગણતરી $\int v \, dt$ તરીકે કરવામાં આવે છે,જે આપેલ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થના સ્થાનાંતરને અનુરૂપ છે.

(D) સદિશ રાશિ એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જે મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે.
સ્થાનાંતર,વેગ અને પ્રવેગ એ તમામ સદિશ રાશિઓ છે કારણ કે તેને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે મૂલ્ય અને દિશા બંનેની જરૂર હોય છે.
ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે કારણ કે તે ફક્ત સ્થાનમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય (એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર) દર્શાવે છે અને તેની સાથે કોઈ ચોક્કસ દિશા જોડાયેલી હોતી નથી.
તેથી,ઝડપ એ સદિશ નથી.

(A) કોઈ પદાર્થનો સરેરાશ વેગ $(v_{avg})$ તેના પ્રારંભિક વેગ $(u)$ અને અંતિમ વેગ $(v)$ ના સરેરાશ જેટલો ત્યારે જ હોય જ્યારે તેનો પ્રવેગ $(a)$ અચળ હોય.
ગાણિતિક રીતે,$v_{avg} = \frac{u + v}{2}$.
આ સૂત્ર અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણો પરથી તારવવામાં આવે છે,ખાસ કરીને $v = u + at$.
સરેરાશ વેગના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{avg} = \frac{u + (u + at)}{2} = \frac{2u + at}{2} = u + \frac{1}{2}at$.
આ સંબંધ અચળ પ્રવેગી ગતિ માટે સાચો હોવાથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ (Uniform) હોવો જોઈએ.

(B) ઝડપ-સમયના આલેખમાં,$y$-ધરી ઝડપ દર્શાવે છે અને $x$-ધરી સમય દર્શાવે છે.
જો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થની ઝડપ દરેક સમયે સમાન રહે છે.
અચળ ઝડપ એ સૂચવે છે કે પદાર્થ અચળ ઝડપથી ગતિ કરી રહ્યો છે.
કારણ કે સમય સાથે ઝડપમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(C) વેગ$-$સમયના આલેખમાં,આલેખનો ઢાળ પદાર્થના પ્રવેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
જો ઢાળ ઋણ હોય,તો તે સૂચવે છે કે સમયની સાથે પદાર્થનો વેગ ઘટી રહ્યો છે.
જો ઢાળ અચળ અને ઋણ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે વેગ ઘટવાનો દર સમાન (અચળ) છે.
આ ઘટનાને અચળ પ્રતિપ્રવેગ (uniform retardation) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) અંતર$-$સમયના આલેખમાં,$y$-ધરી અંતર દર્શાવે છે અને $x$-ધરી સમય દર્શાવે છે.
જો આલેખ સમયની ધરી ($x$-ધરી) ને સમાંતર હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે જેમ જેમ સમય વધે છે,તેમ પદાર્થે કાપેલું અંતર અચળ રહે છે.
અચળ અંતર સૂચવે છે કે પદાર્થ સમયની સાપેક્ષમાં તેનું સ્થાન બદલતો નથી.
તેથી,પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે.

(A) અંતર-સમયના આલેખમાં,રેખાનો ઢાળ પદાર્થની ઝડપ દર્શાવે છે.
જો આલેખ સમયની ધરી સાથે નમેલી એક સીધી રેખા હોય,તો તે સૂચવે છે કે પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે.
આ અચળ ઢાળ અચળ ઝડપ સૂચવે છે.
તેથી,પદાર્થ અચળ ગતિમાં છે.

(B) વેગ$-$સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થના સ્થાનાંતરને દર્શાવે છે.
વેગને સ્થાનાંતરના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $(v = \frac{ds}{dt})$.
તેથી,સ્થાનાંતર $(s)$ ની ગણતરી વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીને કરી શકાય છે: $s = \int v \, dt$.
ભૌમિતિક રીતે,આ સંકલન વેગ$-$સમયના વક્ર અને સમયની ધરી વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળને અનુરૂપ છે.
જો ગતિ દિશા બદલ્યા વિના સીધી રેખામાં હોય,તો સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય એ કાપેલા અંતર જેટલું જ હોય છે. જોકે,સામાન્ય રીતે,વેગ$-$સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(C) ઝડપ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ અંતરને દર્શાવે છે.
ઝડપ એ અદિશ રાશિ (અંતર/સમય) હોવાથી,ઝડપ અને સમયનો ગુણાકાર કરવાથી મળતું ક્ષેત્રફળ કુલ કાપેલું અંતર આપે છે.
તેનાથી વિપરીત,વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
તેથી,ઝડપ-સમયના આલેખ માટે,સાચો જવાબ પદાર્થે કાપેલું અંતર છે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે દરેક બિંદુએ તેની દિશા બદલાવાને કારણે તેનો વેગ સતત બદલાતો રહે છે.
વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રથમ વિધાન $False$ (ખોટું) છે. પ્રચલન (locomotion) એ ખાસ કરીને સજીવની એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ જવાની ક્ષમતા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યારે ગતિ એ સ્થાનમાં થતા કોઈપણ ફેરફાર માટેનો સામાન્ય શબ્દ છે. પ્રાણીઓમાં થતી તમામ ગતિ પ્રચલન નથી (દા.ત.,આંતરિક અંગોની હલનચલન).
બીજું વિધાન $False$ (ખોટું) છે. મિકેનિક્સ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનની એક શાખા છે જે બળોની અસર હેઠળ સજીવ અને નિર્જીવ બંને વસ્તુઓની ગતિ સાથે કામ કરે છે. તેથી,એકંદરે જવાબ $False$ છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
કાઈનેમેટિક્સ એ મિકેનિક્સની એક શાખા છે જે પદાર્થો (બિંદુઓ,પદાર્થો અને પદાર્થોની સિસ્ટમ) ની ગતિનું વર્ણન કરે છે,જેમાં ગતિ ઉત્પન્ન કરતા બળોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી. તે સ્થાન,વેગ,પ્રવેગ અને સમય જેવા પરિમાણો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
સુરેખ ગતિ (Rectilinear motion) એટલે પદાર્થની સીધી રેખામાં થતી ગતિ.
વક્ર રેખા પર થતી ગતિને વક્રરેખીય ગતિ (Curvilinear motion) કહેવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતરીય ગતિ (Translatory motion) એટલે એવી ગતિ જેમાં પદાર્થના તમામ ભાગો એક જ સમયે એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે. આ ગતિ સીધી કે વક્ર રેખા પર હોઈ શકે છે,પરંતુ તે સુરેખ ગતિનો પર્યાય નથી.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
વ્યાખ્યા: જો કોઈ પદાર્થનું સ્થાન સમયની સાથે કોઈ નિશ્ચિત સંદર્ભ બિંદુ (અથવા નિર્દેશ ફ્રેમ) ની સાપેક્ષમાં બદલાતું ન હોય,તો તે પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે તેમ કહેવાય છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
સમજૂતી:
$1$. જે ભૌતિક રાશિને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે માત્ર તેના મૂલ્યની જરૂર પડે છે,તેને અદિશ રાશિ કહેવામાં આવે છે (દા.ત.,અંતર,ઝડપ,દળ).
$2$. સદિશ રાશિને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે મૂલ્ય અને દિશા બંનેની જરૂર પડે છે (દા.ત.,સ્થાનાંતર,વેગ,બળ).
$3$. અહીં આપેલ વિધાનમાં અદિશ રાશિની વ્યાખ્યાને સદિશ રાશિ તરીકે દર્શાવવામાં આવી છે,તેથી તે ખોટું છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
જે ભૌતિક રાશિને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે મૂલ્ય અને દિશા બંનેની જરૂર પડે છે,તેને સદિશ રાશિ કહેવામાં આવે છે.
અદિશ રાશિ એ એવી ભૌતિક રાશિ છે જેને માત્ર તેના મૂલ્ય દ્વારા જ દર્શાવી શકાય છે,જેમ કે અંતર,ઝડપ અથવા દળ.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર,જ્યારે વેગ એટલે એકમ સમયમાં થયેલું સ્થાનાંતર.
ઝડપ અને વેગ બંને એક જ $SI$ એકમમાં માપવામાં આવે છે,જે મીટર પ્રતિ સેકન્ડ $(m/s)$ છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
એક-પરિમાણીય ગતિમાં જ્યારે પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોય,ત્યારે સરેરાશ વેગ અને તાત્ક્ષણિક વેગ સમાન હોય છે.
અનિયમિત ગતિમાં પણ,કોઈ ચોક્કસ સમયગાળા દરમિયાન સરેરાશ વેગ તે સમયગાળાના કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે તાત્ક્ષણિક વેગ જેટલો હોઈ શકે છે,તેથી તે હંમેશા અસમાન હોય છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(A) આ વિધાન $True$ (ખરું) છે.
નિયમિત ગતિની વ્યાખ્યા એવી ગતિ તરીકે કરવામાં આવે છે જેમાં પદાર્થ સુરેખ પથ પર સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે. સ્થાનાંતર એ ચોક્કસ દિશામાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર હોવાથી,સમાન સમયગાળામાં સમાન સ્થાનાંતર કરવું એ નિયમિત ગતિની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે.

(B) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
નિયમિત ગતિમાં,પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ અચળ રહે છે.
નિયમિત ગતિ માટે,સ્થાન $x$ અને સમય $t$ વચ્ચેનો સંબંધ સુરેખ સમીકરણ $x = vt + x_0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $x \propto t$.
જો $x \propto t^{2}$ હોય,તો તે ગતિ અચળ પ્રવેગી ગતિ (અનિયમિત ગતિ) દર્શાવે છે,કારણ કે વેગ $v = dx/dt$ એ સમય $t$ ના પ્રમાણમાં હોય છે $(v \propto t)$.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
પ્રવેગ એટલે સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતો ફેરફાર. ગાણિતિક રીતે,તેને $a = \frac{v - u}{t}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $t$ એ લાગતો સમય છે.