Mix Example - MOTION Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ કોઈપણ વિભાગમાં કાપેલું અંતર તે વિભાગ માટે વેગ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે.
$(ii)$ વિભાગ $AB$ માં અંતર = ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times t \times V_{0} = \frac{1}{2} V_{0}t$.
વિભાગ $BC$ માં અંતર = $BC$ હેઠળના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = (2t - t) \times V_{0} = t \times V_{0} = V_{0}t$.
બંનેની સરખામણી કરતા,વિભાગ $BC$ માં કાપેલું અંતર એ વિભાગ $AB$ માં કાપેલા અંતર કરતા બમણું છે (ગુણોત્તર $2:1$).
$(iii)$ વિભાગ $BC$ માં,વેગ અચળ છે,તેથી કારનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.
$(iv)$ પ્રવેગનું મૂલ્ય પ્રતિપ્રવેગ કરતા ઓછું છે.
કારણ: પ્રવેગનું મૂલ્ય = $AB$ નો ઢાળ = $\frac{V_{0}}{t}$.
પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય = $CD$ નો ઢાળ = $\frac{V_{0}}{0.5t} = 2\frac{V_{0}}{t}$. આમ,પ્રતિપ્રવેગ વધારે છે.

(N/A) $(i)$ આ આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક આડી રેખા દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે. આ પદાર્થની નિયમિત વેગ સાથેની ગતિ દર્શાવે છે.
$(ii)$ આ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. આ પદાર્થની નિયમિત પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.
$(iii)$ આ આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટીને શૂન્ય થાય છે. આ પદાર્થની નિયમિત પ્રતિપ્રવેગી ગતિ (મંદન) દર્શાવે છે.
$(iv)$ આ આલેખ દર્શાવે છે કે વેગ રેખીય રીતે ઘટીને શૂન્ય થાય છે (નિયમિત મંદન),ત્યારબાદ થોડા સમય માટે શૂન્ય પર રહે છે (સ્થિર અવસ્થા),અને પછી રેખીય રીતે વધે છે (નિયમિત પ્રવેગ).

(C) $(i)$ આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક આડી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે સમય સાથે સ્થાનાંતરમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી; તેથી,કણ સ્થિર છે.
$(ii)$ આલેખ સમયની ધરી સાથે નમેલી એક સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે સ્થાનાંતર અચળ દરે બદલાય છે; તેથી,કણ નિયમિત વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે.
$(iii)$ આલેખ અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા અને ત્યારબાદ આડી રેખા દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે કણ નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે અને પછી અચાનક સ્થિર થઈ જાય છે.
$(iv)$ આલેખ ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા અને ત્યારબાદ શૂન્ય સ્થાનાંતર ધરી પર પાછા ફરતી ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે કણ નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે અને પછી તે જ વેગ સાથે પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે.

(N/A) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તે $t$ સમય માટે સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે. અંતિમ વેગ $v$ અને કાપેલું અંતર $S$ છે.
$(i)$ પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતો ફેરફાર અને તે માટે લાગતો સમય:
$a = \frac{v - u}{t}$
$at = v - u$
$v = u + at$
$(ii)$ સમાન પ્રવેગી ગતિ માટે સરેરાશ વેગ:
$\bar{v} = \frac{u + v}{2} \quad \dots(1)$
વળી, સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા સમય:
$\bar{v} = \frac{S}{t} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{u + v}{2} = \frac{S}{t} \implies S = \left( \frac{u + v}{2} \right) t \quad \dots(3)$
સમીકરણ $(3)$ માં $v = u + at$ મૂકતા:
$S = \left( \frac{u + (u + at)}{2} \right) t$
$S = \left( \frac{2u + at}{2} \right) t$
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$(iii)$ સમીકરણ $(3)$ પરથી, $S = \left( \frac{u + v}{2} \right) t$. $v = u + at$ પરથી, $t = \frac{v - u}{a}$ મળે છે.
સમીકરણ $(3)$ માં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$S = \left( \frac{u + v}{2} \right) \left( \frac{v - u}{a} \right)$
$S = \frac{v^2 - u^2}{2a}$
$v^2 - u^2 = 2aS$

(N/A) સ્થાનાંતર-સમય આલેખમાં,સમયને $x$-અક્ષ પર અને પદાર્થના સ્થાનાંતરને $y$-અક્ષ પર લેવામાં આવે છે.
કારણ કે $\text{વેગ} = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}}$,તેથી સ્થાનાંતર-સમય આલેખનો ઢાળ વેગ આપે છે.
એક છોકરી જે સમાન ઝડપ સાથે સીધા માર્ગે શાળાએ જાય છે,તેના માટે સ્થાનાંતર-સમય આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
છોકરીનો વેગ સીધી રેખા $OP$ નો ઢાળ શોધીને મેળવી શકાય છે.
આલેખ પરના બિંદુઓ $A$ અને $B$ નો ઉપયોગ કરીને:
$\text{વેગ} (v) = \frac{\text{સ્થાનાંતરમાં ફેરફાર}}{\text{સમયમાં ફેરફાર}} = \frac{BC}{AC} = \frac{40 \text{ m} - 20 \text{ m}}{4 \text{ s} - 2 \text{ s}} = \frac{20 \text{ m}}{2 \text{ s}} = 10 \text{ m s}^{-1}$.

(N/A) વેગ-સમયના આલેખમાં,સમયને $x$-અક્ષ પર અને વેગને $y$-અક્ષ પર લેવામાં આવે છે.
$(i)$ પ્રવેગ $=$ વેગમાં ફેરફાર $/$ સમય હોવાથી,વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ (slope) પ્રવેગ આપે છે. જો ઢાળ ધન હોય,તો તે પ્રવેગી ગતિ છે અને જો ઢાળ ઋણ હોય,તો તે પ્રતિપ્રવેગી ગતિ છે.
$(ii)$ વેગ $\times$ સમય $=$ સ્થાનાંતર હોવાથી,આલેખ અને સમયની અક્ષ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. સમયની અક્ષની ઉપરનું ક્ષેત્રફળ ધન સ્થાનાંતર અને નીચેનું ક્ષેત્રફળ ઋણ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. કુલ સ્થાનાંતર આ ક્ષેત્રફળોના બૈજિક સરવાળા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.
$(iii)$ પદાર્થ દ્વારા કાપેલું કુલ અંતર એ વેગ-સમયના આલેખ અને સમયની અક્ષ વચ્ચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળોના મૂલ્યોનો અંકગણિતીય સરવાળો (ચિહ્ન ધ્યાનમાં લીધા વગર) છે.

(N/A) $(i)$ $0$ થી $8\, s$ વચ્ચે કાર $A$ નો પ્રવેગ એ રેખાનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{80 - 0}{8 - 0} = 10\, m/s^2$.
$(ii)$ $2$ થી $4\, s$ વચ્ચે કાર $B$ નો પ્રવેગ એ રેખાનો ઢાળ છે:
$a = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{60 - 20}{4 - 2} = \frac{40}{2} = 20\, m/s^2$.
$(iii)$ બંને કારનો વેગ ત્યારે સમાન હોય છે જ્યાં બંને રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે,જે $t = 2\, s$ અને $t = 6\, s$ સમયે થાય છે.
$(iv)$ કાપેલું અંતર એ $v-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ છે.
$8\, s$ માં કાર $A$ દ્વારા કપાયેલું અંતર = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (પાયો $8\, s$ અને વેધ $80\, m/s$) = $\frac{1}{2} \times 8 \times 80 = 320\, m$.
$8\, s$ માં કાર $B$ દ્વારા કપાયેલું અંતર = ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ($t=1$ થી $2$) + સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ($t=2$ થી $4$) + લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ($t=4$ થી $8$).
ક્ષેત્રફળ = $(\frac{1}{2} \times 1 \times 20) + (\frac{20+60}{2} \times 2) + (4 \times 60) = 10 + 80 + 240 = 330\, m$.
$330\, m > 320\, m$ હોવાથી,કાર $B$ એ $330 - 320 = 10\, m$ જેટલી આગળ છે.

(N/A) $(i)$ રેખા $OA$ દ્વારા દર્શાવેલ ગતિ એ સમાન પ્રવેગી ગતિ છે અને રેખા $BC$ દ્વારા દર્શાવેલ ગતિ એ સમાન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ (મંદન) છે.
$(ii)$ લિફ્ટનો પ્રવેગ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$(a)$ પ્રથમ બે સેકન્ડ દરમિયાન ($OA$ પરથી):
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 4.6 \ m/s$,સમય $t = 2 \ s$.
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{4.6 - 0}{2} = 2.3 \ m/s^2$.
$(b)$ $3^{rd}$ અને $10^{th}$ સેકન્ડની વચ્ચે,આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા છે,જે અચળ વેગ સૂચવે છે. તેથી,પ્રવેગ $0 \ m/s^2$ છે.
$(c)$ છેલ્લી બે સેકન્ડ દરમિયાન ($BC$ પરથી):
પ્રારંભિક વેગ $u = 4.6 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,સમય $t = 12 - 10 = 2 \ s$.
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{0 - 4.6}{2} = -2.3 \ m/s^2$.

(N/A) મોટરસાયકલ $A$ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 36 \, km \, h^{-1} = \frac{36 \times 5}{18} = 10 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$.
સમય $t = 10 \, s$.
મોટરસાયકલ $B$ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 18 \, km \, h^{-1} = \frac{18 \times 5}{18} = 5 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \, m \, s^{-1}$.
સમય $t = 20 \, s$.
કાપેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અટકતા પહેલા $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર = ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 10 \, s \times 10 \, m \, s^{-1} = 50 \, m$.
અટકતા પહેલા $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર = ત્રિકોણ $OMN$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 20 \, s \times 5 \, m \, s^{-1} = 50 \, m$.
નિષ્કર્ષ: બંને મોટરસાયકલ અટકતા પહેલા સમાન અંતર કાપે છે.

(N/A) $(i)$ વેગ-સમયના આલેખનું અવલોકન કરતા, $t = 2.5 \ s$ સમયે, વેગ $7 \ m s^{-1}$ છે।
$(ii)$ પ્રવેગ $(a)$ એ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે।
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{14 - 2}{6 - 0} = \frac{12}{6} = 2 \ m s^{-2}$.
$(iii)$ છેલ્લા $4 \ s$ માં ($t = 2 \ s$ થી $t = 6 \ s$ સુધી) કપાયેલું અંતર એ આ સમયગાળા દરમિયાન વેગ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આ ક્ષેત્રફળ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ બનાવે છે, જ્યાં સમાંતર બાજુઓ $t = 2 \ s$ $(6 \ m s^{-1})$ અને $t = 6 \ s$ $(14 \ m s^{-1})$ પરના વેગ છે, અને ઊંચાઈ એ સમયગાળો $(6 - 2 = 4 \ s)$ છે।
$S = \text{Area of trapezium } ABCD = \frac{1}{2} \times (\text{sum of parallel sides}) \times (\text{height})$
$S = \frac{1}{2} \times (6 + 14) \times 4 = \frac{1}{2} \times 20 \times 4 = 40 \ m$.

$(a)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય, ત્યારે તે પદાર્થ વર્તુળાકાર ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
$(b)$ અચળ વર્તુળાકાર ગતિને પ્રવેગી ગતિ માનવામાં આવે છે કારણ કે માર્ગના દરેક બિંદુએ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે, ભલે વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રહેતું હોય. પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર હોવાથી, દિશામાં થતો ફેરફાર પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.
$(c)$ એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર એ વર્તુળાકાર કક્ષાનો પરિઘ છે, જે $2 \pi r$ દ્વારા મળે છે.
અંતર $= 2 \times 3.14 \times 42250 \, km = 265330 \, km$.
લાગતો સમય $(t) = 24 \, h$.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{265330 \, km}{24 \, h} \approx 11055.42 \, km/h$.

(C) પ્રવેગ એટલે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર,જ્યારે વેગ એટલે સ્થાનાંતરમાં થતા ફેરફારનો દર.
$(b)$ હા. નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રહે છે,પરંતુ દિશા સતત બદલાતી રહે છે. પ્રવેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં થતા આ ફેરફારને કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉદ્ભવે છે.
$(c)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = 3 \, m s^{-2}$,સમય $t = 8 \, s$.
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$
$S = (0 \times 8) + \frac{1}{2} \times 3 \times (8)^2$
$S = 0 + \frac{1}{2} \times 3 \times 64$
$S = 3 \times 32 = 96 \, m$.
આ સમય દરમિયાન બોટ $96 \, m$ અંતર કાપશે.

(N/A) ઝડપ અને વેગ વચ્ચેના તફાવત:
$1$. ઝડપ એ એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર છે,જ્યારે વેગ એ એકમ સમયમાં થયેલું સ્થાનાંતર છે.
$2$. ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે (માત્ર મૂલ્ય ધરાવે છે),જ્યારે વેગ એ સદિશ રાશિ છે (મૂલ્ય અને દિશા બંને ધરાવે છે).
$(a)$ જો કોઈ પદાર્થ નિશ્ચિત દિશામાં સમાન સમયગાળામાં સમાન સ્થાનાંતર કરે,તો તે પદાર્થ સમાન વેગ ધરાવે છે તેમ કહેવાય.
$(b)$ જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં અસમાન સ્થાનાંતર કરે અથવા તેની ગતિની દિશા બદલાતી હોય,તો તે પદાર્થ અસમાન વેગ ધરાવે છે તેમ કહેવાય.
જ્યારે પદાર્થનો વેગ અનિયમિત દરે બદલાતો હોય,ત્યારે સરેરાશ વેગની ગણતરી પ્રારંભિક વેગ $(u)$ અને અંતિમ વેગ $(v)$ ના સરેરાશ દ્વારા કરવામાં આવે છે:
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{u + v}{2}$

(N/A) ઝડપ-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$(i)$ $0-100\, s$ ના સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગ એ આલેખના ઢાળ જેટલો હોય છે:
$a = \frac{\text{ઝડપમાં ફેરફાર}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{10\, m s^{-1} - 0\, m s^{-1}}{100\, s} = 0.1\, m s^{-2}$.
$(ii)$ $350-400\, s$ ના સમયગાળા દરમિયાન પ્રતિપ્રવેગ એ આલેખના ઋણ ઢાળના મૂલ્ય જેટલો હોય છે:
$a = \frac{0\, m s^{-1} - 10\, m s^{-1}}{50\, s} = -0.2\, m s^{-2}$.
આમ,પ્રતિપ્રવેગ $0.2\, m s^{-2}$ છે.
$(iii)$ કાપેલું કુલ અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ (સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ) જેટલું હોય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times BF$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (400\, s + 250\, s) \times 10\, m s^{-1} = \frac{1}{2} \times 650\, s \times 10\, m s^{-1} = 3250\, m$.

(N/A) નિયમિત સુરેખ ગતિમાં,પદાર્થ અચળ ઝડપ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે. જ્યારે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
$(b)$ $(i)$ ફરતા પૈડાની કિનારી પરના બિંદુની ગતિ.
$(ii)$ ગ્રહની આસપાસ ઉપગ્રહની ગતિ.
$(iii)$ પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રની ગતિ.
$(iv)$ ઘડિયાળના સેકન્ડ કાંટાના છેડાની ગતિ.
$(c)$ હા,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ પ્રવેગી ગતિ છે. જોકે ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (ઝડપ અને દિશા),દિશામાં થતો ફેરફાર એ વેગમાં ફેરફાર સૂચવે છે,જે પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે.

(N/A) એકમ સમયમાં પદાર્થે કાપેલા અંતરને ઝડપ કહે છે,જ્યારે એકમ સમયમાં થયેલા સ્થાનાંતરને વેગ કહે છે. ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે અને તે હંમેશા ધન હોય છે,જ્યારે વેગ એ સદિશ રાશિ છે અને તે શૂન્ય,ધન કે ઋણ હોઈ શકે છે.
$(b)$ જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન સ્થાનાંતર કરતો હોય,તો તે પદાર્થનો વેગ નિયમિત છે તેમ કહેવાય.
$(c)$ પદાર્થનું સ્થાન કોઈ નિશ્ચિત સંદર્ભ બિંદુ (ઉગમબિંદુ) ની સાપેક્ષમાં વર્ણવી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,ઉડતા પક્ષીનું સ્થાન પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ ચોક્કસ વૃક્ષ કે સ્થળની સાપેક્ષમાં દર્શાવી શકાય છે.

(N/A) વેગ$-$સમય આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર (અથવા જો ગતિ સુરેખ હોય તો અંતર) દર્શાવે છે.
$(b)$ ઉદાહરણ તરીકે,વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતો ઉપગ્રહ અથવા નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ,જેમાં પ્રવેગ કેન્દ્ર તરફ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) હોય છે જ્યારે વેગ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$(c)$ જ્યારે પદાર્થ પોતાની દિશા બદલ્યા વગર સુરેખ માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય,ત્યારે સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય સરેરાશ ઝડપ જેટલું હોય છે.
$(d)$ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની ગતિ એ નિયમિત પ્રવેગી ગતિનું ઉદાહરણ છે.
$(e)$ $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગ માટે,અડધા પરિભ્રમણ પછી કાપેલું અંતર પરિઘનું અડધું એટલે કે $\pi r$ થાય છે. સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે,જે વર્તુળનો વ્યાસ એટલે કે $2r$ થાય છે.

(N/A) સમાન ગતિમાં રહેલા પદાર્થનો પથ સીધી રેખા હોય છે.
$(b)$ અસમાન ગતિનું એક ઉદાહરણ ભીડવાળા રસ્તા પર ચાલતી કાર છે,જ્યાં તેની ઝડપ વારંવાર બદલાતી રહે છે.
$(c)$ વેગ એ $x-t$ આલેખના ઢાળ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. વધુ ઢાળ એટલે વધુ વેગ. રેખા $A$ નો ઢાળ રેખા $B$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,કાર $A$ નો વેગ વધારે છે.
$(d)$ વેગ-સમય આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થના સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
$(e)$ સમાન ગતિમાં,પદાર્થનો વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી. તેથી,જો પદાર્થ $10 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરતો હોય,તો $10 \, s$ પછી પણ તેનો વેગ $10 \, m/s$ જ રહેશે.

(N/A) $(i)$ $OA$ એ નિયમિત પ્રવેગ દર્શાવે છે. $AB$ એ નિયમિત ગતિ (શૂન્ય પ્રવેગ,અચળ વેગ સાથે ગતિ) દર્શાવે છે અને $BC$ એ ઋણ પ્રવેગ (મંદન) દર્શાવે છે.
(ii) પ્રવેગ એ આલેખનો ઢાળ છે:
ધન પ્રવેગ $(OA)$ = $\frac{6 - 0}{4 - 0} = 1.5 \text{ m s}^{-2}$.
ઋણ પ્રવેગ $(BC)$ = $\frac{0 - 6}{16 - 10} = \frac{-6}{6} = -1 \text{ m s}^{-2}$.
(iii) કાપેલું અંતર એ $A$ અને $B$ વચ્ચેના આલેખની નીચેનો વિસ્તાર છે:
અંતર = $\text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 6 \text{ m/s} \times (10 - 4) \text{ s} = 6 \times 6 = 36 \text{ m}$.

(A) વેગ-સમયના આલેખની નીચેનો વિસ્તાર પદાર્થ દ્વારા કપાયેલું અંતર દર્શાવે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આ વિસ્તાર એ લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ અને ત્રિકોણ $ABC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = OC \times OA = t \times u = ut$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $v = u + at$,તેથી $(v - u) = at$. આ કિંમત ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળમાં મૂકતા:
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times t \times (at) = \frac{1}{2}at^2$.
તેથી,કુલ અંતર $S = \text{લંબચોરસ } OACD \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણ } ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$(b)$ આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 18 \text{ km h}^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 5 \text{ m s}^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 36 \text{ km h}^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 10 \text{ m s}^{-1}$.
સમય $t = 5 \text{ s}$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{t} = \frac{10 - 5}{5} = \frac{5}{5} = 1 \text{ m s}^{-2}$.
અંતર $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = (5 \times 5) + \frac{1}{2} \times 1 \times (5)^2 = 25 + 12.5 = 37.5 \text{ m}$.

(N/A) વિભાગ $OA$ સમાન પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે,કારણ કે ઝડપ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
$(b)$ પ્રવેગ એ ઝડપ-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિભાગ $BC$ માટે,$B$ પર પ્રારંભિક ઝડપ $60 \ m/s$ છે ($t = 60 \ s$ પર) અને $C$ પર અંતિમ ઝડપ $0 \ m/s$ છે ($t = 80 \ s$ પર).
$a = \frac{v - u}{t_2 - t_1} = \frac{0 - 60}{80 - 60} = \frac{-60}{20} = -3 \ m/s^2$.
આમ,પ્રવેગ $-3 \ m/s^2$ (મંદન) છે.
$(c)$ કાપેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે. વિભાગ $AB$ માટે,ગતિ $t = 20 \ s$ થી $t = 60 \ s$ સુધી $60 \ m/s$ ની અચળ ઝડપે થાય છે.
અંતર = $\text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 60 \ m/s \times (60 - 20) \ s = 60 \times 40 = 2400 \ m$.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતું હોય,ત્યારે તે પદાર્થ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
$(b)$ આપેલ છે:
સમય $(t) = 4 \text{ મિનિટ} = 4 \times 60 = 240 \text{ સેકન્ડ}$
વ્યાસ $(d) = 420 \text{ મીટર}$
ત્રિજ્યા $(r) = d / 2 = 420 / 2 = 210 \text{ મીટર}$
એક આંટામાં કાપેલું કુલ અંતર $(S) = 2 \pi r = 2 \times (22 / 7) \times 210 = 1320 \text{ મીટર}$
ઝડપ $(v) = \text{અંતર} / \text{સમય} = 1320 / 240 = 5.5 \text{ મીટર/સેકન્ડ}$
$(c)$ સુરેખ પથ પર નિયમિત ગતિ માટે વેગ$-$સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા મળે છે. વેગ$-$સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પદાર્થે કાપેલું અંતર દર્શાવે છે.

(N/A) સમાન પ્રવેગ માટે વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરી સાથે નમેલી એક સીધી રેખા છે. વેગ-સમયના આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ કાપેલું અંતર દર્શાવે છે. સમલંબ ચતુષ્કોણ (અથવા લંબચોરસ + ત્રિકોણ) ના ક્ષેત્રફળનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ગતિનું સમીકરણ તારવી શકીએ છીએ: $S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
$(b)$ આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.7 \, m$. પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = 2$.
અંતર એ કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ છે: $\text{અંતર} = n \times (2\pi r) = 2 \times 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 8.8 \, m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે. પથ્થર બે પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરતું હોવાથી,તે ફરીથી શરૂઆતના બિંદુ પર પાછું આવે છે. તેથી,$\text{સ્થાનાંતર} = 0 \, m$.

(N/A) વેગ-સમય આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$(b)$ વેગ-સમય આલેખનો ઢાળ ગતિનો પ્રવેગ આપે છે.
ઢાળ $= \frac{\text{વેગમાં ફેરફાર}}{\text{લીધેલ સમય}} = \frac{v - u}{t - 0} = \frac{v - u}{t}$
પ્રવેગ $a = \text{ઢાળ}$ હોવાથી,આપણી પાસે $a = \frac{v - u}{t}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $at = v - u$,અથવા $v = u + at$ મળે છે.
$(c)$ આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \, m s^{-1}$
અંતિમ વેગ $v = 10 \, m s^{-1}$
સમય $t = 5 \, s$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 = 2 + a(5)$
$10 - 2 = 5a$
$8 = 5a$
$a = \frac{8}{5} = 1.6 \, m s^{-2}$
આમ,પ્રવેગ $1.6 \, m s^{-2}$ છે.

(N/A) કિસ્સો $1$: આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક આડી સીધી રેખા છે. આ દર્શાવે છે કે પદાર્થની ઝડપ સમય સાથે $20 \text{ m s}^{-1}$ પર અચળ રહે છે.
કિસ્સો $2$: આલેખ દર્શાવે છે કે ઝડપ સમય સાથે સતત બદલાતી રહે છે. $0$ થી $2 \text{ s}$ ની વચ્ચે ઝડપ $0$ થી વધીને $20 \text{ m s}^{-1}$ થાય છે,ત્યારબાદ $3.5 \text{ s}$ પર ઘટીને $10 \text{ m s}^{-1}$ થાય છે,અને અંતે ફરીથી વધે છે. આમ,પદાર્થ અનિયમિત (ચલિત) ઝડપ સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે.

(N/A) $(i)$ $t = 0$ સમયે,ટ્રેન $A$,$0 \ km$ પર છે અને ટ્રેન $B$,$100 \ km$ પર છે. આમ,$B$,$A$ થી $100 \ km$ આગળ છે.
$(ii)$ $B$ ની ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{150 \ km - 100 \ km}{2 \ h - 0 \ h} = \frac{50 \ km}{2 \ h} = 25 \ km/h$.
$(iii)$ $A$,$B$ ને છેદબિંદુ $Q$ પર પકડશે,જે $2 \ h$ અને $150 \ km$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,$A$,$B$ ને $2 \ h$ પછી $150 \ km$ ના અંતરે પકડશે.
$(iv)$ $A$ ની ઝડપ $= \frac{150 \ km - 0 \ km}{2 \ h - 0 \ h} = 75 \ km/h$. $B$ ની ઝડપ $= 25 \ km/h$. તફાવત $75 \ km/h - 25 \ km/h = 50 \ km/h$ છે.
$(v)$ બંને ટ્રેનની ઝડપ નિયમિત છે કારણ કે તેમના અંતર-સમયના આલેખ સીધી રેખાઓ છે,જે દર્શાવે છે કે સમયની સાપેક્ષમાં અંતરમાં થતો ફેરફાર અચળ છે.

(N/A) $(i)$ જો અંતર-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનું ઉગમબિંદુથી અંતર સમય સાથે બદલાતું નથી. તેથી,પદાર્થ સ્થિર છે.
$(ii)$ જો અંતર-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોય,તો તે દર્શાવે છે કે પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે. તેથી,પદાર્થ નિયમિત ગતિમાં છે.

(N/A) $(i)$ ઝડપ એ અંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ છે. પ્રથમ $4 \ s$ માટે,કાપેલું અંતર $75 \ m$ છે.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{75 \ m}{4 \ s} = 18.75 \ m \ s^{-1}$.
(ii) જ્યારે અંતર સમય સાથે બદલાતું નથી ત્યારે પદાર્થ સ્થિર હોય છે. આ આલેખમાં આડી રેખા $PQ$ દ્વારા દર્શાવેલ છે. પદાર્થ $t = 4 \ s$ થી $t = 14 \ s$ સુધી સ્થિર છે.
સમયગાળો $= 14 \ s - 4 \ s = 10 \ s$.
(iii) ના,આ આલેખ વાસ્તવિક પરિસ્થિતિ દર્શાવતો નથી. વાસ્તવિક જીવનમાં,પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર સમય સાથે ઘટી શકતું નથી. રેખાખંડ $RQ$ દર્શાવે છે કે પદાર્થ $10 \ s$ અને $14 \ s$ ની વચ્ચે $0 \ m$ થી $75 \ m$ સુધી ગતિ કરે છે,પરંતુ આલેખ સૂચવે છે કે પદાર્થ $t=4 \ s$ પર $75 \ m$ પર હતો અને પછી અચાનક $t=10 \ s$ પર $0 \ m$ પર આવી જાય છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.

(N/A) $(i)$ ઝડપ-સમયનો આલેખ $x$-અક્ષ પર સમય અને $y$-અક્ષ પર ઝડપ લઈને દોરવામાં આવે છે. આપેલા બિંદુઓ $(0, 5), (10, 10), (20, 15), (30, 20), (40, 25), (50, 30)$ ને આલેખપત્ર પર દર્શાવતા, આપણને એક સીધી રેખા મળે છે જે સમાન પ્રવેગ સૂચવે છે.
$(ii)$ કારનો પ્રવેગ $(a)$ એ ઝડપ-સમયના આલેખના ઢાળ જેટલો હોય છે.
$a = \text{ઢાળ} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$
બે બિંદુઓ $(10, 10)$ અને $(20, 15)$ લેતા:
$a = \frac{15 - 10}{20 - 10} = \frac{5}{10} = 0.5 \ m s^{-2}$
આમ, કારનો પ્રવેગ $0.5 \ m s^{-2}$ છે.

(N/A) $(i)$ નિયમિત ગતિ: વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા છે,જે સૂચવે છે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
$(ii)$ નિયમિત પ્રવેગી ગતિ: વેગ-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી (અથવા ધન ઢાળ ધરાવતી) સીધી રેખા છે,જે સૂચવે છે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે સમાન દરે વધે છે.
$(iii)$ નિયમિત પ્રતિપ્રવેગી ગતિ: વેગ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે સૂચવે છે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે સમાન દરે ઘટે છે.

(NONE) આ આલેખ દર્શાવે છે કે સમય વધવાની સાથે અંતર પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે. જોકે,અંતર એ અદિશ રાશિ છે અને ગતિ કરતા કણ માટે સમય સાથે ક્યારેય ઘટી શકતું નથી,તેથી આ આલેખ શક્ય નથી.
$(B)$ આ આલેખ દર્શાવે છે કે ચોક્કસ સમય $t_{1}$ પર,પદાર્થ એકસાથે બે અલગ-અલગ સ્થાનો પર હાજર છે. કારણ કે એક કણ એક જ સમયે બે જગ્યાએ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ આલેખ શક્ય નથી.
$(C)$ આ આલેખ દર્શાવે છે કે સમયના અમુક અંતરાલ માટે ઝડપ ઋણ છે. ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે અને તે હંમેશા અન-ઋણ (non-negative) હોય છે,તેથી આ આલેખ શક્ય નથી.
$(D)$ આ આલેખ દર્શાવે છે કે સમયની કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે,કણ પાસે બે અલગ-અલગ વેગ છે. વધુમાં,તે દર્શાવે છે કે અમુક સમયે,તેનો પ્રવેગ અનંત છે (જ્યાં આલેખ વેગ અક્ષને સમાંતર છે). આ બંને પરિસ્થિતિઓ વ્યવહારમાં પ્રાપ્ત કરી શકાતી નથી; તેથી,આ આલેખ પણ શક્ય નથી.
નિષ્કર્ષ: આપેલા આલેખોમાંથી કોઈ પણ પ્રકૃતિમાં અવલોકન કરેલ કણની ગતિનું નિરૂપણ કરતું નથી.

(N/A) $(i)$ વેગ-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. તેથી,તે સમાન પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.
$(ii)$ વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે. તે નિયમિત ગતિ (શૂન્ય પ્રવેગ) દર્શાવે છે.
$(iii)$ વેગ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે. તે સમાન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ (નિયમિત પ્રતિપ્રવેગ) દર્શાવે છે.
$(iv)$ વેગ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતો વક્ર છે,જે દર્શાવે છે કે વેગ ઘટવાનો દર અચળ નથી. તે અસમાન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ $O$ થી $A$ સુધી ઝડપ-સમયનો આલેખ સમયની ધરી સાથે નમેલી સીધી રેખા છે. આ સમાન પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.
(ii) $A$ થી $B$ સુધી ઝડપ-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર સીધી રેખા છે. આ અચળ ગતિ (સમાન ઝડપ) દર્શાવે છે.
(iii) $B$ થી $C$ સુધી ઝડપ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે. આ સમાન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.
(iv) ઝડપમાં ફેરફાર $= 40 - 0 = 40 \ m \ s^{-1}$.
સમયમાં ફેરફાર $= 10 - 0 = 10 \ s$.
પ્રવેગ $a = \frac{\text{ઝડપમાં ફેરફાર}}{\text{સમયમાં ફેરફાર}} = \frac{40}{10} = 4 \ m \ s^{-2}$.
$(v)$ ગતિ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a = 0 \ m \ s^{-2}$ છે.
(vi) ઝડપમાં ફેરફાર $= 0 - 40 = -40 \ m \ s^{-1}$.
સમયમાં ફેરફાર $= 50 - 30 = 20 \ s$.
પ્રતિપ્રવેગ $= -(\text{પ્રવેગ}) = -(\frac{0 - 40}{50 - 30}) = -(\frac{-40}{20}) = -(-2) = 2 \ m \ s^{-2}$.

(N/A) જ્યારે રસ્તા પર કારની ઝડપ વધે છે,ત્યારે કારનો પ્રવેગ ગતિની દિશામાં હોય છે.
$(b)$ જ્યારે ગતિમાન કારમાં બ્રેક લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઝડપ ઘટે છે. કારમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
$(c)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ અચળ $g = 9.8 \ m \ s^{-2}$ હોય છે.
$(d)$ જ્યારે કોઈ કાર શહેરના ટ્રાફિકમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે ટ્રાફિકના પ્રમાણને આધારે તેનો પ્રવેગ અથવા પ્રતિપ્રવેગ અસમાન હોય છે.

(N/A) સ્થાનાંતર$-$સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે.
સ્થાનાંતર$-$સમયના આલેખમાં,ઢાળ એ પદાર્થના વેગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
સીધી રેખાનો ઢાળ અચળ હોવાથી,પદાર્થનો વેગ અચળ રહે છે.
તેથી,પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરી રહ્યો છે.

(C) સ્થાનાંતર$-$સમયના આલેખમાં,આલેખનો ઢાળ પદાર્થના વેગનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
સીધી રેખાવાળા આલેખ માટે,ઢાળ અચળ હોય છે,જે સમાન વેગ સૂચવે છે.
જો કે,આપેલ આલેખમાં,વક્ર રેખા સૂચવે છે કે દરેક બિંદુએ ઢાળ બદલાય છે.
બદલાતો ઢાળ એટલે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે બદલાય છે.
તેથી,સ્થાનાંતર$-$સમયનો વક્ર આલેખ અસમાન ગતિ અથવા પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે.

(C) વેગ-સમયનો આલેખ એક વક્ર રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે અનિયમિત રીતે બદલાય છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનો દર (પ્રવેગ) અચળ ન હોવાથી,પદાર્થ અનિયમિત પ્રવેગી ગતિ (જેને ચલિત પ્રવેગ પણ કહેવાય છે) કરી રહ્યો છે.

(N/A) $(i)$ આલેખ $(a)$ દર્શાવે છે કે પદાર્થની ઝડપ સમય સાથે ઘટે છે,શૂન્ય થાય છે અને પછી ફરીથી વધવાનું શરૂ કરે છે. તેથી,આ આલેખ શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા અને પછી ફેંકનાર દ્વારા પકડાયેલા દડાના કિસ્સાને રજૂ કરે છે. શરૂઆતમાં,દડાને અમુક ઝડપ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. જેમ જેમ દડો ઉપર જાય છે તેમ તેની ઝડપ અચળ દરે ઘટે છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ શૂન્ય થઈ જાય છે. ત્યારબાદ દડો સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે જ્યાં સુધી તેની ઝડપ પ્રક્ષેપણની ઝડપ જેટલી ન થાય.
(ii) આલેખ $(c)$ પદાર્થની પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરીને અમુક અચળ ઝડપ પ્રાપ્ત કરવી અને ત્યારબાદ અમુક સમય પછી પ્રવેગી ગતિ કરવાનું દર્શાવે છે.

(N/A) આલેખ $(a)$ એ ઝડપ-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે જ્યાં ઝડપ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે. આ અચળ પ્રતિપ્રવેગ (ઋણ પ્રવેગ) સૂચવે છે.
આલેખ $(b)$ એ ઝડપ-સમયનો આલેખ દર્શાવે છે જ્યાં ઝડપ અરેખીય રીતે ઘટે છે અને પછી વધે છે. આ અનિયમિત પ્રતિપ્રવેગ અને ત્યારબાદ અનિયમિત પ્રવેગ સૂચવે છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = 4\, m s^{-2}$,અને સમય $t = 20\, s$.
કાપેલું અંતર $S$ શોધવા માટે,આપણે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરીશું:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$S = (0 \times 20) + \frac{1}{2} \times 4 \times (20)^2$
$S = 0 + 2 \times 400$
$S = 800\, m$
તેથી,કાર $20\, s$ માં $800\, m$ જેટલું અંતર કાપશે.

(A) વર્તુળાકાર પથનો વ્યાસ $D = 105 \, m$ છે. તેથી, ત્રિજ્યા $R = \frac{105}{2} = 52.5 \, m$ થશે.
એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $t = 5 \, \text{મિનિટ} = 5 \times 60 \, s = 300 \, s$ છે.
એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર એ વર્તુળના પરિઘ જેટલું હોય છે, જે $2 \pi R$ છે.
અંતર $= 2 \times 3.14 \times 52.5 = 329.7 \, m$.
ઝડપ $= \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{329.7}{300} = 1.099 \, m/s \approx 1.1 \, m/s$.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 90\, km\, h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25\, m\, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0\, m\, s^{-1}$ (કારણ કે ટ્રેન સ્થિર થાય છે).
પ્રવેગ $a = -0.5\, m\, s^{-2}$ (ઋણ નિશાની પ્રતિપ્રવેગ સૂચવે છે).
આપણે અંતર $S$ શોધવાનું છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^{2} - u^{2} = 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $0^{2} - (25)^{2} = 2 \times (-0.5) \times S$.
$-625 = -1 \times S$.
$S = 625\, m$.
આમ,ટ્રેન સ્થિર થાય તે પહેલાં $625\, m$ અંતર કાપશે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 40 \, m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = -2 \, m s^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^{2} = u^{2} + 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $0^{2} = (40)^{2} + 2(-2)S$.
$0 = 1600 - 4S$.
$4S = 1600$.
$S = 400 \, m$.
ગણતરી કરેલ અંતર $400 \, m$ છે અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈ પણ $400 \, m$ હોવાથી,ટ્રેન બરાબર પ્લેટફોર્મના અંતે ઉભી રહેશે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,પ્રવેગ $a = 2.5 \, m s^{-2}$,અને સમય $t = 4 \, s$.
કાપેલું અંતર $(S)$ શોધવા માટે,આપણે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરીશું:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
આપેલ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 2.5 \times (4)^2$
$S = 0 + 0.5 \times 2.5 \times 16$
$S = 1.25 \times 16 = 20 \, m$
તેથી,છોકરી આ સમયગાળામાં $20 \, m$ અંતર કાપશે.

(N/A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 5\, m s^{-1}$,અંતિમ વેગ $v = 10\, m s^{-1}$,અંતર $S = 50\, m$.
$(i)$ પ્રવેગ $(a)$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ગતિનું ત્રીજું સમીકરણ વાપરીએ છીએ: $v^{2} - u^{2} = 2aS$.
કિંમતો મૂકતા: $(10)^{2} - (5)^{2} = 2 \times a \times 50$.
$100 - 25 = 100a$.
$75 = 100a$.
$a = \frac{75}{100} = 0.75\, m s^{-2}$.
$(ii)$ સમય $(t)$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ગતિનું પ્રથમ સમીકરણ વાપરીએ છીએ: $v = u + at$.
કિંમતો મૂકતા: $10 = 5 + 0.75 \times t$.
$10 - 5 = 0.75t$.
$5 = 0.75t$.
$t = \frac{5}{0.75} = 6.67\, s$.

(N/A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 216 \ km \ h^{-1} = 216 \times \frac{5}{18} \ m \ s^{-1} = 60 \ m \ s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \ m \ s^{-1}$ (કારણ કે તે સ્થિર થાય છે).
કાપેલું અંતર $S = 2 \ km = 2000 \ m$.
$(i)$ પ્રવેગ $(a)$ શોધવા માટે,આપણે $v^{2} - u^{2} = 2aS$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(0)^{2} - (60)^{2} = 2 \times a \times 2000$
$-3600 = 4000 \times a$
$a = -\frac{3600}{4000} = -0.9 \ m \ s^{-2}$.
$(ii)$ સમય $(t)$ શોધવા માટે,આપણે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$0 = 60 + (-0.9) \times t$
$0.9t = 60$
$t = \frac{60}{0.9} \approx 66.67 \ s$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 90 \text{ km h}^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} \text{ m s}^{-1} = 25 \text{ m s}^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 0 \text{ m s}^{-1}$ (કારણ કે ટ્રક સ્થિર થાય છે).
અંતર $S = 25 \text{ m}$.
$(i)$ પ્રતિપ્રવેગ $(a)$ શોધવા માટે: ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^{2} - u^{2} = 2aS$.
$(0)^{2} - (25)^{2} = 2 \times a \times 25$.
$-625 = 50a$.
$a = -\frac{625}{50} = -12.5 \text{ m s}^{-2}$.
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ = $12.5 \text{ m s}^{-2}$.
(ii) સમય $(t)$ શોધવા માટે: ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$.
$0 = 25 + (-12.5) \times t$.
$12.5t = 25$.
$t = \frac{25}{12.5} = 2 \text{ s}$.

(N/A) પ્રારંભિક વેગ $u = 90\, km h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25\, m s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 18\, km h^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m s^{-1}$.
સમય $t = 2.5\, s$.
$(i)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 = 25 + a \times 2.5$
$5 - 25 = 2.5a$
$-20 = 2.5a$
$a = \frac{-20}{2.5} = -8\, m s^{-2}$.
આમ,પ્રવેગ $-8\, m s^{-2}$ છે (જે મંદન દર્શાવે છે).
$(ii)$ ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(5)^2 - (25)^2 = 2 \times (-8) \times S$
$25 - 625 = -16S$
$-600 = -16S$
$S = \frac{600}{16} = 37.5\, m$.
આમ,કાપેલું અંતર $37.5\, m$ છે.

(N/A) કિસ્સો $1$: પ્રારંભિક વેગ $u = 90 \, km \, h^{-1} = 90 \times \frac{5}{18} = 25 \, m \, s^{-1}$.
અંતિમ વેગ $v = 54 \, km \, h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} = 15 \, m \, s^{-1}$.
અંતર $S = 40 \, m$.
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(15)^2 - (25)^2 = 2 \times a \times 40$
$225 - 625 = 80a$
$-400 = 80a \implies a = -5 \, m \, s^{-2}$.
કિસ્સો $2$: બાઈક $90 \, km \, h^{-1}$ $(u = 25 \, m \, s^{-1})$ થી સ્થિર થાય છે,તેથી $v = 0$.
$(i)$ કુલ સમય $t$ શોધવા માટે,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરો:
$0 = 25 + (-5)t$
$5t = 25 \implies t = 5 \, s$.
$(ii)$ કુલ અંતર $S$ શોધવા માટે,$v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરો:
$0^2 - (25)^2 = 2 \times (-5) \times S$
$-625 = -10S \implies S = 62.5 \, m$.

(N/A) કિસ્સો $1$: પ્રારંભિક વેગ $u = 72 \ km \ h^{-1} = 20 \ m \ s^{-1}$; અંતિમ વેગ $v = 36 \ km \ h^{-1} = 10 \ m \ s^{-1}$; અંતર $S = 25 \ m$.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} - u^{2} = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(10)^{2} - (20)^{2} = 2 \times a \times 25$
$100 - 400 = 50a$
$-300 = 50a$
$a = -6 \ m \ s^{-2}$.
કિસ્સો $2$: કાર $u = 72 \ km \ h^{-1} = 20 \ m \ s^{-1}$ થી શરૂ થાય છે અને સમાન પ્રતિપ્રવેગ $a = -6 \ m \ s^{-2}$ સાથે સ્થિર $(v = 0)$ થાય છે.
$(i)$ કુલ સમય $t$ શોધવા માટે,$v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 20 + (-6)t$
$6t = 20$
$t = 3.33 \ s$.
$(ii)$ કુલ અંતર $S$ શોધવા માટે,$v^{2} - u^{2} = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^{2} - (20)^{2} = 2 \times (-6) \times S$
$-400 = -12S$
$S = 400 / 12 = 33.33 \ m$.