Mix Example - MOTION Questions in Gujarati

(A) $(i)$ આલેખ $(a)$ આ કિસ્સાને દર્શાવે છે. દડો પ્રારંભિક વેગ સાથે શરૂ થાય છે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સતત પ્રતિપ્રવેગ અનુભવે છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. ત્યારબાદ,દડો નીચે પડે છે અને તેનો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં વધે છે જ્યાં સુધી તે પાછો હાથમાં ન આવે.
$(ii)$ આલેખ $(d)$ એવા પદાર્થનો કિસ્સો દર્શાવે છે જેનો વેગ ઘટીને અચળ ઝડપ પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ તે પ્રવેગિત થાય છે.

(N/A) આ આલેખ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતા પદાર્થની નિયમિત પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે. સમય $t = 0$ પર,પદાર્થનો વેગ $0 \ m/s$ છે.
$(b)$ આ આલેખ એવી ગતિ દર્શાવે છે જેમાં પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરતો નથી. સમય $t = 0$ પર,પદાર્થ પાસે પહેલેથી જ પ્રારંભિક વેગ હોય છે,જે વેગના અક્ષ પરના અંતઃખંડ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર,જ્યારે સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ પથલંબાઈ (અંતર) અને તે માટે લાગતા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે અને જો પદાર્થનું પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન એક જ હોય (દા.ત. વર્તુળાકાર ગતિમાં),તો સ્થાનાંતર શૂન્ય થઈ શકે છે. તેથી,સરેરાશ વેગ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
અંતર એ અદિશ રાશિ છે જે પદાર્થે કાપેલા કુલ પથની લંબાઈ દર્શાવે છે અને ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે હંમેશા ધન હોય છે. સરેરાશ ઝડપ કુલ અંતર પર આધારિત હોવાથી,ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં.

(N/A) વેગ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જ્યાં $V = \frac{\Delta \text{સ્થાનાંતર}}{\Delta \text{સમય}}$.
$(i)$ વિભાગ $A-B$ માટે: સ્થાનાંતર $2 \ s$ થી $5 \ s$ ના સમયગાળામાં $0 \ m$ થી બદલાઈને $3 \ m$ થાય છે.
$V_{AB} = \frac{3 - 0}{5 - 2} = \frac{3}{3} = 1 \ m \ s^{-1}$.
$(ii)$ વિભાગ $B-C$ માટે: સ્થાનાંતર $5 \ s$ થી $7 \ s$ સુધી $3 \ m$ પર અચળ રહે છે.
$V_{BC} = \frac{3 - 3}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0 \ m \ s^{-1}$.
$(iii)$ વિભાગ $C-D$ માટે: સ્થાનાંતર $7 \ s$ થી $10 \ s$ ના સમયગાળામાં $3 \ m$ થી બદલાઈને $0 \ m$ થાય છે.
$V_{CD} = \frac{0 - 3}{10 - 7} = \frac{-3}{3} = -1 \ m \ s^{-1}$.

(N/A) $(i)$ વિભાગ $OP$ સમાન ઝડપ સૂચવે છે.
ઝડપ $v = \frac{\text{અંતર}}{\text{સમય}} = \frac{75 \ m - 0 \ m}{4 \ s - 0 \ s} = \frac{75}{4} = 18.75 \ m \ s^{-1}$.
(ii) વિભાગ $PQ$ સમયની ધરીને સમાંતર છે,જે સૂચવે છે કે પદાર્થ સ્થિર છે. સમયગાળો $t = 4 \ s$ થી $t = 14 \ s$ સુધીનો છે,તેથી પદાર્થ $14 - 4 = 10 \ s$ માટે સ્થિર હતો.
(iii) વિભાગ $QR$ એવી પરિસ્થિતિ દર્શાવે છે કે જેમાં સમય વધવાની સાથે અંતર ઘટે છે,જે એક પરિમાણમાં ગતિ કરતા પદાર્થ માટે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે. તેથી,આ વાસ્તવિક પરિસ્થિતિ દર્શાવતું નથી.

(N/A) ઝડપ એટલે એકમ સમયમાં કાપેલું અંતર,જ્યારે વેગ એટલે એકમ સમયમાં થયેલું સ્થાનાંતર.
ઝડપ એ અદિશ રાશિ છે,જ્યારે વેગ એ સદિશ રાશિ છે.
ગતિ કરતા પદાર્થ માટે ઝડપ ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકતી નથી,જ્યારે જો સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય તો વેગ શૂન્ય હોઈ શકે છે.
$(b)$ ઝડપ અને વેગ બંનેના $SI$ એકમો સમાન છે,જે $m \ s^{-1}$ છે.

(N/A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એટલે જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેને નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કહેવાય છે.
$(b)$ હા,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ એ પ્રવેગી ગતિ છે. ભલે પદાર્થની ઝડપ અચળ રહેતી હોય,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ તેના વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. પ્રવેગની વ્યાખ્યા મુજબ,વેગમાં થતા ફેરફારના દરને પ્રવેગ કહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ છે (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),તેથી દિશામાં થતો સતત ફેરફાર વેગમાં ફેરફાર લાવે છે,જેના કારણે પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે.

$(a)$ આ એક અંતર-સમયનું કોષ્ટક છે।
$(b)$ બસ સમાન ગતિમાં છે। આ નિષ્કર્ષ એટલા માટે કાઢવામાં આવ્યો છે કારણ કે બસ દરેક $15$ મિનિટના સમાન સમયગાળામાં $10\, km$ જેટલું સમાન અંતર કાપે છે।

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ નીચે પડે છે,ત્યારે તેને મુક્ત પતન કહેવામાં આવે છે.
શૂન્યાવકાશમાં હવાના અવરોધનો અભાવ હોય છે. મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ છે,જે પૃથ્વીની સપાટી પાસે આશરે $9.8\,m/s^2$ હોય છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી,તેથી બંને પદાર્થો સમાન પ્રવેગ અનુભવશે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ મુજબ,જ્યાં $u = 0$ અને $s = h$ લેતા,$h = \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h$ અને $g$ બંને પદાર્થો માટે સમાન હોવાથી,બંનેને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t)$ પણ સમાન હશે. આમ,બંને પદાર્થો એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.

(N/A) પ્રવેગ એટલે પદાર્થના વેગમાં સમયની સાપેક્ષે થતા ફેરફારનો દર. ગાણિતિક રીતે,તેને $a = (v - u) / t$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વેગ $(u)$,અંતિમ વેગ $(v)$,પ્રવેગ $(a)$ અને સમય $(t)$ ને જોડતો સંબંધ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = u + at$.
સમાન પ્રવેગી ગતિનું એક ઉદાહરણ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની ગતિ છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પરથી,સ્થાનો છે: $A = 7 \, m$,$B = -2 \, m$,$C = 3 \, m$.
$(a)$ $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ માટે:
કુલ અંતર $= |(-2) - 7| = 9 \, m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= -2 - 7 = -9 \, m$.
લીધેલ સમય $= 10 \, s$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{9}{10} = 0.9 \, m/s$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{-9}{10} = -0.9 \, m/s$.
$(b)$ $A$ થી $C$ સુધીની ગતિ માટે ($B$ દ્વારા):
કુલ અંતર $= |(-2) - 7| + |3 - (-2)| = 9 + 5 = 14 \, m$.
કુલ સ્થાનાંતર $= 3 - 7 = -4 \, m$.
કુલ સમય $= 10 + 5 = 15 \, s$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{14}{15} \approx 0.933 \, m/s$.
સરેરાશ વેગ $= \frac{-4}{15} \approx -0.267 \, m/s$.

(N/A) વેગ-સમયનો આલેખ સમય સાથે અચળ વેગ દર્શાવે છે,જે નિયમિત ગતિ (uniform motion) સૂચવે છે.
$(b)$ વેગ-સમયના આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. તેથી,લંબચોરસ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
$(c)$ સીધી રેખા $AB$ સમયની ધરીને સમાંતર છે,જે સૂચવે છે કે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે,જે નિયમિત ગતિ દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ મુક્ત પતન કરતો પથ્થર નિયમિત પ્રવેગી ગતિ દર્શાવે છે કારણ કે તે પૃથ્વીના અચળ ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ ની અસર હેઠળ હોય છે.
$(ii)$ જ્યારે પથ્થરને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વી તેના પર નીચેની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે. આ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે,જેના કારણે મંદન (ઋણ પ્રવેગ) ઉત્પન્ન થાય છે,જે વેગમાં સતત ઘટાડો કરે છે.
$(iii)$ આવી ગતિનું ઉદાહરણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો પદાર્થ છે જે તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે છે. સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવાથી સરેરાશ વેગ શૂન્ય થાય છે,પરંતુ કાપેલું કુલ અંતર વર્તુળનો પરિઘ હોવાથી સરેરાશ ઝડપ શૂન્ય હોતી નથી.

(N/A) $(i)$ ધન પ્રવેગ: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે વધે છે. ઉદાહરણ: સીધા રસ્તા પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ વધારતી કાર.
$(ii)$ ઋણ પ્રવેગ (મંદન): આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે ઘટે છે. ઉદાહરણ: ગતિ કરતી કારમાં બ્રેક મારવી,જેનાથી તેની ગતિ ધીમી પડે છે.
$(iii)$ શૂન્ય પ્રવેગ: આ ત્યારે થાય છે જ્યારે પદાર્થ અચળ વેગથી (નિયમિત ગતિ) ગતિ કરે છે,એટલે કે તેની ઝડપ કે દિશામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી. ઉદાહરણ: સીધા અને સપાટ રસ્તા પર $60 \ km/h$ ની અચળ ઝડપે ગતિ કરતી કાર.

(N/A) અંતર-સમયનો આલેખ દોરવા માટે, નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. $x$-અક્ષ પર સમય અને $y$-અક્ષ પર અંતર ($km$ માં) લો.
$2$. આપેલા બિંદુઓ આલેખ પર દર્શાવો: $(06:45, 0)$, $(07:00, 8)$, $(01:30, 8)$, અને $(01:45, 0)$.
$3$. આ બિંદુઓને જોડીને આલેખ પૂર્ણ કરો. આલેખ દર્શાવે છે કે રેનુ શાળાએ પહોંચવા માટે $8 \, km$ મુસાફરી કરે છે, ત્યાં થોડો સમય રોકાય છે અને પછી ઘરે પાછી ફરે છે.
અંતર-સમયનો આલેખ આપેલી આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(N/A) સ્થાનાંતર એ વેગ-સમયના આલેખ નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
સ્થાનાંતર $= \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} + \text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ}$
$= (\frac{1}{2} \times 5 \times 4) + ((12 - 5) \times 4) + (\frac{1}{2} \times (15 - 12) \times 4)$
$= 10 + 28 + 6 = 44 \text{ m}$
$(b)$ જ્યારે સમય સાથે વેગમાં ઘટાડો થાય ત્યારે ટ્રક પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે,જે $12 \text{ s}$ થી $15 \text{ s}$ ની વચ્ચે થાય છે.
$(c)$ સરેરાશ વેગ $= \frac{\text{કુલ સ્થાનાંતર}}{\text{કુલ સમય}}$
$= \frac{44 \text{ m}}{15 \text{ s}} \approx 2.93 \text{ m s}^{-1}$

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગનો અડધો ભાગ પૂર્ણ કરે છે, ત્યારે કાપેલું અંતર એ વર્તુળના પરિઘના અડધા ભાગ જેટલું હોય છે.
અંતર $= \pi R = \frac{22}{7} \times 7 = 22 \, m$.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે, જે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
સ્થાનાંતર $= 2R = 2 \times 7 = 14 \, m$.
પદાર્થ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ ધરાવે છે કારણ કે તે વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે.

(N/A) $(i)$ જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે,તો તે પદાર્થ નિયમિત ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
$(ii)$ જો કોઈ પદાર્થ સમાન સમયગાળામાં અસમાન અંતર કાપે,તો તે પદાર્થ અનિયમિત ગતિમાં છે તેમ કહેવાય.
$(b)$ નિયમિત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે,અંતર-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા હોય છે,જે નીચે મુજબ છે:
[આલેખ: કાર્ટેઝિયન સમતલ પર એક સીધી રેખા જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે,જ્યાં y-અક્ષ 'અંતર' અને x-અક્ષ 'સમય' દર્શાવે છે.]

(N/A) પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર એ ઝડપ-સમયના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
કાર $P$ માટે,આલેખ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેનો પાયો $= 4\, s$ અને ઊંચાઈ $= 6\, m/s$ છે.
અંતર $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4\, s \times 6\, m/s = 12\, m$.
કાર $Q$ માટે,આલેખ એક લંબચોરસ બનાવે છે જેની લંબાઈ $= 4\, s$ અને પહોળાઈ $= 3\, m/s$ છે.
અંતર $= \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = 4\, s \times 3\, m/s = 12\, m$.
બંને કાર દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતરનો તફાવત $12\, m - 12\, m = 0\, m$ છે.
$(b)$ હા,તેઓ તે બિંદુએ સમાન ઝડપે ગતિ કરે છે જ્યાં બંને આલેખ એકબીજાને છેદે છે. આ $t = 2\, s$ સમયે થાય છે,જ્યાં બંને કારની ઝડપ $3\, m/s$ છે.
$(c)$ કાર $P$ સમાન પ્રવેગી ગતિ કરી રહી છે કારણ કે તેનો ઝડપ-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે ઝડપમાં થતા સતત ફેરફારને સૂચવે છે. કાર $Q$ નિયમિત ગતિ (અચળ ઝડપ) કરી રહી છે કારણ કે તેનો ઝડપ-સમયનો આલેખ આડી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે તેની ઝડપ સમય સાથે બદલાતી નથી.

(A) આપેલ છે: સમય $t = 3 \ s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \ m s^{-1}$ (મહત્તમ ઊંચાઈએ),પ્રવેગ $a = g = -9.8 \ m s^{-2}$ (નીચેની તરફ).
પ્રારંભિક વેગ $u$ શોધવા માટે:
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + at$
$0 = u + (-9.8) \times 3$
$u = 29.4 \ m s^{-1}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે:
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = ut + \frac{1}{2}at^2$
$h = (29.4 \times 3) + \frac{1}{2} \times (-9.8) \times (3)^2$
$h = 88.2 - 44.1$
$h = 44.1 \ m$.

(A) ભાગ $1$: પ્રવેગનો તબક્કો
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 36 \, km/h = 10 \, m/s$,સમય $t_1 = 10 \, s$.
પ્રવેગ $a_1 = (v - u) / t_1 = (10 - 0) / 10 = 1 \, m/s^2$.
અંતર $s_1 = ut_1 + 0.5 a_1 t_1^2 = 0 + 0.5 \times 1 \times 10^2 = 50 \, m$.
ભાગ $2$: પ્રતિપ્રવેગનો તબક્કો
પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$,સમય $t_2 = 20 \, s$.
પ્રવેગ $a_2 = (v - u) / t_2 = (0 - 10) / 20 = -0.5 \, m/s^2$.
અંતર $s_2 = ut_2 + 0.5 a_2 t_2^2 = 10 \times 20 + 0.5 \times (-0.5) \times 20^2 = 200 - 100 = 100 \, m$.
કુલ અંતર = $s_1 + s_2 = 50 + 100 = 150 \, m$.

(A) વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કૂદકો મારતા પહેલાનું કુલ વેગમાન અને કૂદકો માર્યા પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
શરૂઆતમાં,હોડી અને છોકરી સાથે ગતિ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગમાન $0$ લેવામાં આવે છે.
ધારો કે છોકરીનું દળ $m_1 = 50\, kg$ અને તેનો વેગ $v_1 = 3\, m s^{-1}$ છે.
ધારો કે હોડીનું દળ $m_2 = 300\, kg$ અને હોડીનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
કિંમતો મૂકતા: $(50 \times 3) + (300 \times v_2) = 0$.
$150 + 300 v_2 = 0$.
$300 v_2 = -150$.
$v_2 = -\frac{150}{300} = -0.5\, m s^{-1}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે હોડી વિરુદ્ધ દિશામાં (પાછળની તરફ) $0.5\, m s^{-1}$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.

(N/A) સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય. સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ હોવાથી,જો પદાર્થ તેના પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફરે,તો કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે,જેના પરિણામે સરેરાશ વેગ $0$ મળે છે.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ પથલંબાઈ (અંતર) ભાગ્યા કુલ સમય. અંતર એ અદિશ રાશિ છે અને તે કુલ કાપેલા માર્ગની લંબાઈ દર્શાવે છે,તેથી ગતિ કરતા પદાર્થ માટે તે ક્યારેય $0$ હોઈ શકે નહીં.
ઉદાહરણ: ધારો કે એક પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે. જો પદાર્થ એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરે,તો કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે,તેથી સરેરાશ વેગ $0$ છે. જોકે,કાપેલું કુલ અંતર વર્તુળના પરિઘ જેટલું એટલે કે $2 \pi r$ થાય છે. આમ,સરેરાશ ઝડપ $\frac{2 \pi r}{t}$ થાય છે,જ્યાં $t$ એ લીધેલો સમય છે.

(N/A) કુલ અંતર અને સ્થાનાંતરની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ગતિને યામ પદ્ધતિ પર દર્શાવીએ છીએ.
$1$. કુલ અંતર:
અંતર એટલે પદયાત્રી દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથની લંબાઈ.
કુલ અંતર $= 700\, m + 300\, m + 400\, m + 600\, m + 1200\, m + 300\, m + 100\, m = 3600\, m$.
$2$. સ્થાનાંતર:
સ્થાનાંતર એટલે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર.
ધારો કે પ્રારંભિક બિંદુ $O$ એ $(0, 0)$ છે.
- $700\, m$ ઉત્તર તરફ: સ્થાન $(0, 700)$.
- $300\, m$ પૂર્વ તરફ: સ્થાન $(300, 700)$.
- $400\, m$ ઉત્તર તરફ: સ્થાન $(300, 1100)$.
- $600\, m$ પશ્ચિમ તરફ: સ્થાન $(300 - 600, 1100) = (-300, 1100)$.
- $1200\, m$ દક્ષિણ તરફ: સ્થાન $(-300, 1100 - 1200) = (-300, -100)$.
- $300\, m$ પૂર્વ તરફ: સ્થાન $(-300 + 300, -100) = (0, -100)$.
- $100\, m$ ઉત્તર તરફ: સ્થાન $(0, -100 + 100) = (0, 0)$.
અંતિમ સ્થાન $(0, 0)$ એ પ્રારંભિક સ્થાન સમાન હોવાથી,સ્થાનાંતર $0\, m$ છે.

(N/A) $(i)$ ઘર $A$ ને ઉગમબિંદુ $(0 \ m)$ તરીકે લેતા,ઘરોનાં સ્થાનો આ મુજબ છે: $A = 0 \ m, B = 10 \ m, C = 20 \ m, D = 30 \ m, E = 40 \ m$.
$(ii)$ ઘર $C$ નું સ્થાન $= 20 \ m$ અને ઘર $E$ નું સ્થાન $= 40 \ m$. ઘર $E$ ની સાપેક્ષમાં $C$ નું સ્થાન $20 \ m - 40 \ m = -20 \ m$ છે. આનો અર્થ એ છે કે ઘર $C$ એ ઘર $E$ ની ડાબી બાજુએ $20 \ m$ અંતરે છે.
$(iii)$ ઘર $B$ ને સંદર્ભ બિંદુ $(0 \ m)$ તરીકે લેતા,ઘર $A$ નું સ્થાન $-10 \ m$ અને ઘર $D$ નું સ્થાન $20 \ m$ છે.

(N/A) $(i)$ વ્યક્તિ $B$ અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો છે કારણ કે તે સમાન સમયના ગાળામાં (દરેક $5\, \text{મિનિટમાં}$) સમાન અંતર $(5\, km)$ કાપે છે。
$(ii)$ વ્યક્તિ $C$ એ સૌથી વધુ અંતર કાપ્યું છે, જે $8.00\, am$ થી $8.05\, am$ વચ્ચે $10\, km$ છે。
$(iii)$ વ્યક્તિ $A$ ની સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{વ્યક્તિ } A \text{ દ્વારા કપાયેલ કુલ અંતર}}{\text{લીધેલ કુલ સમય}}$
$= \frac{25\, km}{20\, min} = \frac{25\, km}{(20/60)\, h} = \frac{25 \times 60}{20}\, km\, h^{-1} = 75\, km\, h^{-1}$.

(N/A) $(i)$ જ્યારે કોઈ કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય અને ચોક્કસ સમયગાળામાં તેનો વેગ સતત વધારતી હોય ત્યારે તેની ગતિ.
$(ii)$ જ્યારે કોઈ ટ્રેન સ્ટેશન પર પહોંચતી વખતે ધીમી પડે ત્યારે તેની ગતિ.
$(iii)$ મુક્ત પતન કરતા દડાની ગતિ.

(N/A) $(i)$ અંતર$-$સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થની ઝડપ દર્શાવે છે.
$(ii)$ વેગ$-$સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ પદાર્થ દ્વારા કાપેલું કુલ સ્થાનાંતર અથવા અંતર દર્શાવે છે.
$(iii)$ વેગ$-$સમયના આલેખનો ઢાળ પદાર્થનો પ્રવેગ દર્શાવે છે.

(N/A) $(i)$ આડી રેખા સૂચવે છે કે સમયની સાથે પદાર્થનું સ્થાન બદલાતું નથી,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે.
$(ii)$ સીધી ત્રાસી રેખા અચળ ઢાળ સૂચવે છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ અચળ વેગ (સમાન ઝડપ) થી ગતિ કરી રહ્યો છે.
$(iii)$ વક્ર રેખા બદલાતો ઢાળ સૂચવે છે,જેનો અર્થ છે કે પદાર્થ અનિયમિત વેગ (અસમાન ઝડપ/પ્રવેગ) થી ગતિ કરી રહ્યો છે.

(N/A) $(i)$ $t = 2 \, s$ સમયે,સ્થાન $x = 0 \, m$ છે. $t = 6 \, s$ સમયે,સ્થાન $x = 5 \, m$ છે. તેથી,કાપેલું અંતર $= 5 \, m - 0 \, m = 5 \, m$ થાય.
(ii) ઝડપ એ સ્થાન-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. $4 \, s$ થી $6 \, s$ ના સમયગાળાની સરખામણીમાં $2 \, s$ થી $4 \, s$ વચ્ચે આલેખનો ઢાળ વધુ છે. તેથી,$2 \, s$ થી $4 \, s$ ના સમયગાળા દરમિયાન ઝડપ વધુ હતી.
(iii) સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ કાપેલું અંતર}}{\text{કુલ લીધેલ સમય}}$.
કુલ અંતર $= 5 \, m$.
કુલ સમય $= 6 \, s - 2 \, s = 4 \, s$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{5 \, m}{4 \, s} = 1.25 \, m/s$.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવેલ વેગ-સમયના આલેખને ધ્યાનમાં લો.
સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરતા પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $S$ એ વેગ-સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે,જે સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABD$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણ $OABD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{(OA + BD) \times OD}{2}$
આલેખ પરથી,આપણી પાસે છે:
$OA = u$ (પ્રારંભિક વેગ)
$BD = v$ (અંતિમ વેગ)
$OD = t$ (લીધેલ સમય)
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{(u + v) t}{2}$ --- (સમીકરણ $1$)
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન પ્રવેગ માટે,$v = u + at$,જેને સમય $t$ શોધવા માટે ફરીથી ગોઠવી શકાય છે:
$at = v - u$
$t = \frac{v - u}{a}$ --- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી $t$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$S = \frac{(u + v)(v - u)}{2a}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{v^2 - u^2}{2a}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને અંતિમ સમીકરણ મળે છે:
$v^2 - u^2 = 2aS$

(N/A) અંતર એ પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ પથલંબાઈ છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
અંતર એ અદિશ રાશિ છે,જ્યારે સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે.
ગતિ કરતા પદાર્થ માટે અંતર ક્યારેય શૂન્ય કે ઋણ હોઈ શકતું નથી,જ્યારે સ્થાનાંતર ધન,ઋણ કે શૂન્ય હોઈ શકે છે.
$(b)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થ સુરેખ પથ પર એક જ દિશામાં ગતિ કરતો હોય અને તેની ગતિની દિશા બદલાતી ન હોય,ત્યારે તેના સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય તેની સરેરાશ ઝડપ જેટલું હોય છે.

(N/A) પ્રવેગ એટલે પદાર્થના વેગમાં સમયની સાપેક્ષે થતા ફેરફારનો દર. ગાણિતિક રીતે,$a = \frac{v - u}{t}$. તેનો $SI$ એકમ $m s^{-2}$ છે.
$(b)$ વેગ-સમયના આલેખ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ નિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે,આલેખ ઉગમબિંદુથી ઉપરની તરફ જતી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે સમય સાથે વેગમાં સમાન દરે વધારો થાય છે.
$(ii)$ નિયમિત પ્રતિપ્રવેગી ગતિ માટે,આલેખ નીચેની તરફ જતી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે સમય સાથે વેગમાં સમાન દરે ઘટાડો થાય છે જ્યાં સુધી તે શૂન્ય ન થાય.

(N/A) પ્રથમ $2 \ s$ માં કાર દ્વારા કપાયેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખમાં $t = 0$ થી $t = 2 \ s$ સુધીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $\Delta ABE$ નું ક્ષેત્રફળ છે.
અંતર $= \Delta ABE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$= \frac{1}{2} \times 2 \ s \times 15 \ m/s = 15 \ m$.
$(ii)$ બ્રેકિંગ બળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $t = 5 \ s$ થી $t = 6 \ s$ સુધીનો પ્રવેગ (મંદન) રેખા $CD$ ના ઢાળનો ઉપયોગ કરીને ગણીશું.
$t = 5 \ s$ પર પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$ છે.
$t = 6 \ s$ પર અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 6 \ s - 5 \ s = 1 \ s$.
પ્રવેગ $a = \frac{v - u}{\Delta t} = \frac{0 - 15 \ m/s}{1 \ s} = -15 \ m/s^2$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$.
$F = 1000 \ kg \times (-15 \ m/s^2) = -15000 \ N$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે આ બળ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતું બ્રેકિંગ બળ છે. આમ,બ્રેકિંગ બળનું મૂલ્ય $15000 \ N$ છે.

(N/A) ઉપરની ગતિ માટે:
$v = u - gt$
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
તેથી,$0 = u - gt_1$,જે આપણને $t_1 = \frac{u}{g}$ આપે છે $....(1)$
નીચેની ગતિ માટે:
પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચે પડે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u' = 0$ છે.
સૂત્ર $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = h$ (મહત્તમ ઊંચાઈ) અને $a = g$:
$h = 0 + \frac{1}{2}gt_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
કારણ કે $h = \frac{u^2}{2g}$,આ કિંમત મૂકતા $t_2 = \sqrt{\frac{2(u^2/2g)}{g}} = \sqrt{\frac{u^2}{g^2}} = \frac{u}{g}$ મળે છે $....(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,$t_1 = t_2$. આમ,ઉપર જવાનો સમય એ નીચે આવવાના સમય જેટલો જ હોય છે.

(N/A) પદાર્થ $h$ જેટલું અંતર ઉપરની તરફ અને $h$ જેટલું અંતર નીચેની તરફ કાપે છે,તેથી કાપેલું કુલ અંતર $h + h = 2h$ થાય.
$(b)$ પદાર્થ પાછો તેના શરૂઆતના બિંદુ પર આવી જતો હોવાથી,તેનું સ્થાનાંતર $0$ થાય છે.
જો પદાર્થ એક જ દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોય,તો સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા અંતર જેટલું થાય છે.

(N/A) જ્યારે પદાર્થ સ્થિર હોય,ત્યારે સમય સાથે ઉગમબિંદુથી તેનું અંતર બદલાતું નથી. આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા મળે છે.
$(b)$ જ્યારે પદાર્થ સમાન ઝડપે ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તે સમયના સમાન ગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે. આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળે છે.
$(c)$ જ્યારે પદાર્થ અસમાન ઝડપે ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તે સમયના સમાન ગાળામાં અસમાન અંતર કાપે છે. આલેખ એક વક્ર રેખા મળે છે.

$(6.67\, m s^{-1})$ કોઈ પદાર્થની સરેરાશ ઝડપ એટલે પદાર્થે કાપેલું કુલ અંતર અને તે માટે લીધેલા કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
પગલું $1$: કુલ કાપેલું અંતર શોધો.
પ્રથમ ભાગ માટે અંતર $= 10\, m s^{-1} \times 5\, s = 50\, m$.
બીજા ભાગ માટે અંતર $= 5\, m s^{-1} \times 10\, s = 50\, m$.
કુલ અંતર $= 50\, m + 50\, m = 100\, m$.
પગલું $2$: કુલ સમય શોધો.
કુલ સમય $= 5\, s + 10\, s = 15\, s$.
પગલું $3$: સરેરાશ ઝડપની ગણતરી કરો.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{100\, m}{15\, s} \approx 6.67\, m s^{-1}$.

(B) ઓટોમોબાઈલનું ઓડોમીટર વાહન દ્વારા કાપેલું અંતર માપે છે.
ઝડપની સરખામણી કરવા માટે,આપણે બંનેને $m \, s^{-1}$ માં ફેરવીએ છીએ:
$(i)$ સ્કૂટરની ઝડપ $= 300 \, m / 60 \, s = 5 \, m \, s^{-1}$.
$(ii)$ કારની ઝડપ $= 36 \, km/h = 36 \times (1000 \, m / 3600 \, s) = 36 \times (5/18) \, m \, s^{-1} = 10 \, m \, s^{-1}$.
અહીં $10 \, m \, s^{-1} > 5 \, m \, s^{-1}$ હોવાથી,કાર સ્કૂટર કરતા વધુ ઝડપથી ગતિ કરી રહી છે.

(N/A) જો વેગ-સમયનો આલેખ સમયની ધરીને સમાંતર એક સીધી રેખા હોય,તો પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે છે અને આ ગતિ નિયમિત ગતિ છે.
$(b)$ વેગ અચળ હોવાથી,વેગમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે. તેથી,પ્રવેગ,જે વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,તે શૂન્ય છે.
$(c)$ નિયમિત ગતિ માટે,અંતર-સમયનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.

(N/A) અચળ પ્રવેગ $a$ અને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ગતિ કરતા પદાર્થ માટે વેગ-સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
પદાર્થ દ્વારા $t$ સમયમાં કપાયેલ અંતર $S$ એ વેગ-સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખની નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ એ લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ અને તેની ઉપર આવેલા ત્રિકોણ $ABC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
લંબચોરસ $OACD$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = t \times u = ut$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$.
કુલ અંતર $S$ એ આ ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો હોવાથી:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (v - u)$ $....(1)$
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $v = u + at$,જેનો અર્થ છે કે $v - u = at$.
સમીકરણ $(1)$ માં $(v - u) = at$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$S = ut + \frac{1}{2} \times t \times (at)$
$S = ut + \frac{1}{2}at^{2}$

(N/A) $(i)$ આલેખનો ભાગ $AB$ પ્રવેગ દર્શાવે છે,કારણ કે વેગ સમય સાથે વધે છે.
$(ii)$ આલેખનો ભાગ $CD$ પ્રતિપ્રવેગ (મંદન) દર્શાવે છે,કારણ કે વેગ સમય સાથે ઘટે છે.
$(iii)$ કપાયેલું અંતર એ $v-t$ આલેખની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રથમ $4 \ s$ માટે,ક્ષેત્રફળ ત્રિકોણ $ABE$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અંતર $S = \Delta ABE$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$S = \frac{1}{2} \times (AE) \times (BE)$
$S = \frac{1}{2} \times 4 \ s \times 4 \ m/s = 8 \ m$.

(N/A) અંતર: પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલા કુલ પથની લંબાઈને અંતર કહેવાય છે.
સ્થાનાંતર: પદાર્થના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરને સ્થાનાંતર કહેવાય છે.
આપેલ છે કે વર્તુળાકાર બગીચાનો પરિઘ $176 \, m$ છે. પદાર્થ $4$ મિનિટમાં એક ચક્ર પૂર્ણ કરે છે.
$6$ મિનિટ પછી પૂર્ણ થયેલા ચક્રોની સંખ્યા $= \frac{6}{4} = 1.5$ ચક્ર.
$1$ ચક્ર પૂર્ણ થતાં પદાર્થ ફરીથી પ્રારંભિક બિંદુ પર આવે છે,તેથી $1.5$ ચક્ર પછી પદાર્થ તેના પ્રારંભિક સ્થાનથી વ્યાસાંતે (diametrically opposite) વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
આપેલ છે $2 \pi r = 176 \, m$,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
$r = \frac{176}{2 \pi} = \frac{176 \times 7}{2 \times 22} = 28 \, m$.
$1.5$ ચક્ર પછીનું સ્થાનાંતર એ વર્તુળાકાર પથનો વ્યાસ છે.
સ્થાનાંતર $= 2r = 2 \times 28 = 56 \, m$.

(N/A) સ્થાનાંતર એ વેગ$-$સમયના આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખ $t = 0$ થી $t = 5$ સેકન્ડ સુધી એક ત્રિકોણ, $t = 5$ થી $t = 12$ સેકન્ડ સુધી એક લંબચોરસ અને $t = 12$ થી $t = 15$ સેકન્ડ સુધી એક ત્રિકોણ ધરાવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= (1/2 \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}) + (\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}) + (1/2 \times \text{પાયો} \times \text{વેધ})$
ક્ષેત્રફળ $= (1/2 \times 5 \times 4) + (7 \times 4) + (1/2 \times 3 \times 4) = 10 + 28 + 6 = 44 \text{ m}$.
$(b)$ જ્યારે વેગ સમય સાથે ઘટે ત્યારે પ્રતિપ્રવેગ થાય છે. આ આલેખના તે ભાગને અનુરૂપ છે જ્યાં ઢાળ ઋણ છે, જે $t = 12$ સેકન્ડ થી $t = 15$ સેકન્ડ સુધીનો સમયગાળો છે.
$(c)$ સરેરાશ વેગ $= \text{કુલ સ્થાનાંતર} / \text{કુલ સમય} = 44 \text{ m} / 15 \text{ s} = 2.93 \text{ m s}^{-1}$.

(N/A) $t=0$ સમયે,ઝડપ $0$ છે અને આલેખનો ઢાળ $0$ છે. તેથી,પ્રારંભિક પ્રવેગ $0 \, m/s^2$ છે.
$(b)$ $t=5 \, s$ અને $t=60 \, s$ ની વચ્ચે,ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ વધી રહ્યો છે. ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ પ્રવેગ દર્શાવે છે,તેથી આ સમયગાળા દરમિયાન રોકેટનો પ્રવેગ વધી રહ્યો છે.
$(c)$ $t=80 \, s$ સમયે,આલેખ એક સીધી રેખા છે. આ રેખાનો ઢાળ અચળ છે. $t=60 \, s$ $(v \approx 480 \, m/s)$ અને $t=100 \, s$ $(v = 1400 \, m/s)$ વચ્ચે ઢાળની ગણતરી કરતા: $a = \frac{1400 - 480}{100 - 60} = \frac{920}{40} = 23 \, m/s^2$. આ પ્રદેશમાં આલેખ રેખીય હોવાથી પ્રવેગ અચળ છે.
$(d)$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = ma$. આપેલ છે કે $m = 1.6 \times 10^{6} \, kg$ અને $a = 23 \, m/s^2$,તેથી પરિણામી બળ $F = 1.6 \times 10^{6} \times 23 = 3.68 \times 10^{7} \, N$. બળ શૂન્ય નથી કારણ કે રોકેટ પ્રવેગિત ગતિ કરી રહ્યું છે.

(N/A) ધારો કે એક વેગ$-$સમયનો આલેખ છે જેમાં પદાર્થ $t=0$ સમયે $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ગતિ શરૂ કરે છે અને $t$ સમયે $v$ જેટલો અંતિમ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે. વેગ$-$સમયના આલેખનો ઢાળ પ્રવેગ $(a)$ દર્શાવે છે.
ઢાળ $= \frac{\text{વેગમાં થતો ફેરફાર}}{\text{લાગતો સમય}} = \frac{v - u}{t}$.
તેથી,$a = \frac{v - u}{t}$,જે આપણને $at = v - u$ અથવા $v = u + at$ આપે છે.
$(b)$ વાહન દ્વારા કાપેલું અંતર માપવા માટે વપરાતા સાધનને ઓડોમીટર કહેવામાં આવે છે.
$(c)$ હા,ગતિમાન પદાર્થનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોઈ શકે છે. જો પદાર્થ તેની ગતિ પૂર્ણ કર્યા પછી તેના મૂળ સ્થાને પાછો ફરે,તો તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે,કારણ કે સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.

$(a)$ પ્રવેગ એ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ છે.
કાર $B$ માટે, $t = 2 \, s$ અને $t = 4 \, s$ ની વચ્ચે, વેગ $20 \, m/s$ થી બદલાઈને $40 \, m/s$ થાય છે।
$a = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{40 - 20}{4 - 2} = \frac{20}{2} = 10 \, m/s^2$.
$(b)$ બંને કારનો વેગ ત્યારે સમાન હોય છે જ્યાં તેમના આલેખ એકબીજાને છેદે છે. આલેખ જોતા, છેદબિંદુ $t = 2 \, s$ (વેગ $= 20 \, m/s$) અને $t = 6 \, s$ (વેગ $= 60 \, m/s$) પર છે.
$(c)$ કાપેલું અંતર એ વેગ-સમયના આલેખની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે.
કાર $A$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ $t = 1$ થી $t = 4$ સુધીનું સમલંબ ચતુષ્કોણ અને $t = 4$ થી $t = 8$ સુધીનું લંબચોરસ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (\frac{1}{2} \times (4 - 1) \times 60) + (60 \times (8 - 4)) = (\frac{1}{2} \times 3 \times 60) + (60 \times 4) = 90 + 240 = 330 \, m$.
કાર $B$ માટે: ક્ષેત્રફળ એ $t = 0$ થી $t = 8$ સુધીનો ત્રિકોણ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 8 \times 80 = 320 \, m$.
$(d)$ $8 \, s$ પછી, કાર $A$ એ $330 \, m$ અંતર કાપ્યું છે અને કાર $B$ એ $320 \, m$ અંતર કાપ્યું છે.
તેથી, કાર $A$ એ $330 - 320 = 10 \, m$ જેટલી આગળ છે.

(N/A) $(i)$ આલેખ જોતા,છોકરી $14$ મિનિટે $50 \ m$ ના અંતરે (મિત્રના ઘરે) પહોંચે છે.
$(ii)$ $0$ થી $2$ મિનિટમાં,અંતર $= 20 \ m$. $2$ થી $4$ મિનિટમાં,અંતર $= 0 \ m$. $4$ થી $6$ મિનિટમાં,અંતર $= 40 - 20 = 20 \ m$. $6$ થી $8$ મિનિટમાં,અંતર $= 0 \ m$. $8$ થી $10$ મિનિટમાં,અંતર $= 40 - 20 = 20 \ m$. $10$ થી $12$ મિનિટમાં,અંતર $= 0 \ m$. કુલ અંતર $= 20 + 0 + 20 + 0 + 20 + 0 = 60 \ m$.
$(iii)$ તે તેના ઘર તરફ ત્યારે ગતિ કરે છે જ્યારે ઘરથી અંતર ઘટે છે. આ $8$ થી $10$ મિનિટ અને $14$ થી $16$ મિનિટના સમયગાળા દરમિયાન થાય છે.
$(iv)$ તે ત્યારે સ્થિર હોય છે જ્યારે અંતર અચળ રહે છે (આડી રેખા). આ $2-4$ મિનિટ ($2$ મિનિટ),$6-8$ મિનિટ ($2$ મિનિટ),અને $10-12$ મિનિટ ($2$ મિનિટ) દરમિયાન થાય છે. સ્થિર રહેવાનો કુલ સમય $= 2 + 2 + 2 = 6$ મિનિટ.
$(v)$ તે $14$ થી $16$ મિનિટ દરમિયાન ઘરે પાછી ફરે છે. કાપેલું અંતર $= 50 \ m$. લીધેલ સમય $= 2$ મિનિટ. ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{50 \ m}{2 \ min} = 25 \ m/min$.

(N/A) $(i)$ $t = 0 \ h$ સમયે,બસ $B$ એ $20 \ km$ પર છે અને બસ $A$ એ $0 \ km$ પર છે. આમ,બસ $B$ એ $20 \ km$ જેટલી આગળ હતી.
$(ii)$ હા,તેઓ તે બિંદુએ મળે છે જ્યાં બંને રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે,જે $t = 9 \ h$ સમયે છે.
$(iii)$ છેદબિંદુ પર $(t = 9 \ h)$,$y$-અક્ષ પરનું અંતર $60 \ km$ છે. આમ,બસ $A$ એ $60 \ km$ અંતર કાપ્યું છે.
$(iv)$ $t = 12 \ h$ સમયે,બસ $A$ એ $80 \ km$ પર છે અને બસ $B$ એ $70 \ km$ પર છે. તફાવત $80 \ km - 70 \ km = 10 \ km$ છે.
$(v)$ બસ $A$ ઝડપથી ગતિ કરી રહી છે કારણ કે તેના અંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ બસ $B$ કરતા વધારે છે,જે વધુ ઝડપ સૂચવે છે.

(N/A) $(ii)$ વેગ-સમયના આલેખ મુજબ:
$2\, s$ પછી પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર એ $t = 0$ થી $t = 2\, s$ સુધીના આલેખ નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= 2\, m s^{-1} \times 2\, s = 4\, m$.
$12\, s$ પછી પદાર્થ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર એ $t = 0$ થી $t = 12\, s$ સુધીના આલેખ નીચેનું કુલ ક્ષેત્રફળ છે.
આ ક્ષેત્રફળમાં પ્રથમ $5\, s$ માટે લંબચોરસ,પછીની $5\, s$ માટે સમલંબ ચતુષ્કોણ અને અંતિમ $2\, s$ ($t = 10\, s$ થી $t = 12\, s$ સુધી) માટે સમલંબ ચતુષ્કોણનો સમાવેશ થાય છે.
કુલ અંતર $= (2\, m s^{-1} \times 5\, s) + \frac{1}{2} \times (2\, m s^{-1} + 10\, m s^{-1}) \times 5\, s + \frac{1}{2} \times (10\, m s^{-1} + 6\, m s^{-1}) \times 2\, s$
$= 10\, m + 30\, m + 16\, m = 56\, m$.