Mix Example - GRAVITATION Questions in Gujarati

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર પદાર્થનું વજન $W = mg = 20 \, N$ છે.
સપાટીથી $h = 6400 \, km$ ની ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + h = R + R = 2R$ થાય છે.
આ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h$ નું મૂલ્ય $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{GM}{(2R)^2} = \frac{GM}{4R^2} = \frac{1}{4} g$ થાય છે.
તેથી,આ ઊંચાઈએ પદાર્થનું વજન $W_h = m \cdot g_h = m \cdot (\frac{1}{4} g) = \frac{1}{4} (mg)$ થશે.
$W = 20 \, N$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W_h = \frac{1}{4} \times 20 \, N = 5 \, N$ મળે છે.

(N/A) બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ જો એક પદાર્થનું દળ બમણું કરવામાં આવે $(m_1' = 2m_1)$,તો નવું બળ $F' = \frac{G(2m_1)m_2}{r^2} = 2F$ થાય. આમ,બળ બમણું થાય છે.
$(b)$ જો પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે $(r' = 2r)$,તો નવું બળ $F' = \frac{G m_1 m_2}{(2r)^2} = \frac{G m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4}F$ થાય. આમ,બળ મૂળ બળના ચોથા ભાગનું થાય છે.
$(c)$ જો બંને પદાર્થોના દળ બમણા કરવામાં આવે ($m_1' = 2m_1$ અને $m_2' = 2m_2$),તો નવું બળ $F' = \frac{G(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \times \frac{G m_1 m_2}{r^2} = 4F$ થાય. આમ,બળ મૂળ બળ કરતાં ચાર ગણું થાય છે.

(N/A) દળ અને વજન વચ્ચેનો તફાવત નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે:

દળ	વજન
$1.$ તે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો છે।	$1.$ તે ગ્રહ દ્વારા લગાડવામાં આવતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું બળ છે।
$2.$ તે અચળ રાશિ છે અને સ્થાન બદલાતા બદલાતી નથી।	$2.$ તે ચલ રાશિ છે અને સ્થાનના ગુરુત્વપ્રવેગ સાથે બદલાય છે।
$3.$ પદાર્થનું દળ ક્યારેય શૂન્ય હોઈ શકે નહીં।	$3.$ મુક્ત પતન દરમિયાન પદાર્થનું વજન શૂન્ય હોઈ શકે છે।
$4.$ તે ભૌતિક ત્રાજવા વડે માપવામાં આવે છે।	$4.$ તે સ્પ્રિંગ કાંટા વડે માપવામાં આવે છે।
$5.$ તે અદિશ રાશિ છે।	$5.$ તે સદિશ રાશિ છે।
$6.$ તે કિલોગ્રામ $(kg)$ માં માપવામાં આવે છે।	$6.$ તે ન્યૂટન $(N)$ માં માપવામાં આવે છે।

જ્યારે કોઈ પદાર્થને વિષુવવૃત્તથી ધ્રુવો તરફ લઈ જવામાં આવે છે, ત્યારે તેનું વજન વધે છે કારણ કે ધ્રુવો પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોય છે。
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર અથવા જ્યારે પદાર્થ મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય ત્યારે તેનું વજન શૂન્ય થઈ જાય છે।

(N/A) આનું કારણ એ છે કે સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પૃથ્વીને તેની કક્ષીય ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$(b)$ આપેલ છે: દળ $m = 500 \, g = 0.5 \, kg$,ઊંચાઈ $h = 5 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m s^{-2}$,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2gh$
$v^2 - 0 = 2 \times 10 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \, m s^{-1}$
વેગમાન $p = m \times v$
$p = 0.5 \, kg \times 10 \, m s^{-1} = 5 \, kg \, m s^{-1}$.

(N/A) ઉપરની ગતિ માટે:
$u = u, v = 0$
ધારો કે $t_{1}$ એ ઉપર જવાનો સમય છે. ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = u - gt_{1}$
$t_{1} = u/g$
નીચેની ગતિ (ઉતરાણ) માટે:
પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $u = 0$. ધારો કે $t_{2}$ એ નીચે આવવાનો સમય છે. $s = ut + (1/2)at^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $s = h$:
$h = 0 + (1/2)gt_{2}^{2} \implies t_{2} = \sqrt{2h/g}$
કારણ કે $h = u^{2}/(2g)$,આ કિંમત મૂકતા $t_{2} = \sqrt{2(u^{2}/2g)/g} = u/g$ મળે છે.
આમ,$t_{1} = t_{2}$,જે સાબિત કરે છે કે ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાનો સમય સમાન છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ જણાવે છે કે વિશ્વનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$G$ નો $SI$ એકમ $N \, m^2 \, kg^{-2}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક બળ $F_1 = 100 \, N$
અંતિમ બળ $F_2 = 50 \, N$
આપણે જાણીએ છીએ કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $F \propto \frac{1}{r^2}$.
તેથી,$\frac{F_1}{F_2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100}{50} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}$
આમ,બળ $50 \, N$ કરવા માટે પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{2}$ ગણું (મૂળ અંતરના આશરે $1.414$ ગણું) વધારવું જોઈએ.

(N/A) ધારો કે કોઈ વસ્તુનું દળ $m$ છે. ધારો કે ચંદ્ર પર તેનું વજન $W_{m}$ છે અને પૃથ્વી પર તેનું વજન $W_{E}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચંદ્ર પર વસ્તુનું વજન $W_{m} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M_{m}$ એ ચંદ્રનું દળ છે અને $R_{m}$ તેની ત્રિજ્યા છે.
તે જ રીતે,પૃથ્વી પર વસ્તુનું વજન $W_{E} = \frac{GM_{E}m}{R_{E}^{2}}$ છે,જ્યાં $M_{E}$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R_{E}$ તેની ત્રિજ્યા છે.
બંને વજનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{GM_{m}m}{R_{m}^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}m} = \frac{M_{m}}{M_{E}} \times \left( \frac{R_{E}}{R_{m}} \right)^{2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{W_{m}}{W_{E}} = \frac{7.36 \times 10^{22}}{5.98 \times 10^{24}} \times \left( \frac{6.37 \times 10^{6}}{1.74 \times 10^{6}} \right)^{2}$
$\frac{W_{m}}{W_{E}} \approx 0.0123 \times (3.66)^{2} \approx 0.0123 \times 13.4 = 0.165 \approx \frac{1}{6}$
આમ,ચંદ્ર પર વસ્તુનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજન કરતા છઠ્ઠા ભાગનું હોય છે.

(A) ધારો કે પથ્થર $A$ એ $h = 100 \, m$ ઊંચાઈ ધરાવતા ટાવરની ટોચ પરથી નીચે પડે છે. તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$ અને પ્રવેગ $a_1 = +g = 10 \, m s^{-2}$ છે.
બીજો પથ્થર $B$ જમીન પરથી $u_2 = 25 \, m s^{-1}$ ના પ્રારંભિક વેગથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે અને તેનો પ્રવેગ $a_2 = -g = -10 \, m s^{-2}$ છે.
ધારો કે બંને પથ્થરો $t$ સમય પછી ટાવરની ટોચથી $y$ અંતરે નીચે બિંદુ $C$ પર મળે છે. પથ્થર $A$ માટે:
$y = u_1 t + \frac{1}{2} a_1 t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 5t^2$ ... $(1)$
પથ્થર $B$ માટે,જમીનથી કાપેલું અંતર $(100 - y)$ છે:
$100 - y = u_2 t + \frac{1}{2} a_2 t^2 = 25t - \frac{1}{2} \times 10 \times t^2 = 25t - 5t^2$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$y + (100 - y) = 5t^2 + 25t - 5t^2$
$100 = 25t$
$t = 4 \, s$
સમીકરણ $(1)$ માં $t = 4 \, s$ મૂકતા:
$y = 5 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \, m$.
આમ,બંને પથ્થરો $4 \, s$ પછી ટાવરની ટોચથી $80 \, m$ અંતરે (અથવા જમીનથી $20 \, m$ અંતરે) મળશે.

(B) $100 \, m$ ની ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવેલા પથ્થર $A$ માટે:
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v_A^2 = 2 \times 10 \times 100 = 2000$
$v_A = \sqrt{2000} \approx 44.72 \, m s^{-1}$.
$50 \, m$ ની ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવેલા પથ્થર $B$ માટે:
સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$v_B^2 = 2 \times 10 \times 50 = 1000$
$v_B = \sqrt{1000} \approx 31.62 \, m s^{-1}$.
આમ,$v_A \neq v_B$ હોવાથી,જમીન પર પહોંચતી વખતે બંને પથ્થરોનો વેગ સમાન હશે નહીં. પથ્થર $A$ નો વેગ વધારે હશે.

(N/A) ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ જણાવે છે કે વિશ્વનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$m_1$ અને $m_2$ એ બે પદાર્થોના દળ છે,અને $r$ એ તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પદાર્થની દ્રવ્યમાનથી સ્વતંત્ર છે તે દર્શાવવા માટે,પૃથ્વી (દળ $M$,ત્રિજ્યા $R$) તરફ પડતા $m$ દળના પદાર્થને ધ્યાનમાં લો.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M m}{R^2}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = m \times a$. અહીં,$a = g$ હોવાથી,$F = m \times g$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $m \times g = \frac{G M m}{R^2}$.
બંને બાજુથી $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $g = \frac{G M}{R^2}$ મળે છે.
આમ,$g$ માત્ર પૃથ્વીના દળ $(M)$,ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $(G)$ અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પડતા પદાર્થના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) $(i)$ ના,મિત્ર સહમત થશે નહીં. વજન એ બળ છે જેના દ્વારા પૃથ્વી પદાર્થને આકર્ષે છે,જે સૂત્ર $W = m \times g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હોય છે,તેથી તેટલા જ સોનાનું વજન વિષુવવૃત્ત પર ધ્રુવોની સરખામણીમાં ઓછું હશે.
$(ii)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ચંદ્ર પૃથ્વી પર સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે. જો કે,પૃથ્વી ચંદ્ર તરફ ગતિ કરતી નથી કારણ કે પૃથ્વીનું દળ ચંદ્રના દળની સરખામણીમાં ખૂબ જ વધારે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ $(F = m \times a)$ મુજબ,ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a = F / m)$. તેથી,પૃથ્વીનો પ્રવેગ નગણ્ય છે.

(N/A) ગુરુત્વીય પ્રવેગ $(g)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક અચળાંક $(G)$ વચ્ચેના ત્રણ તફાવત નીચે મુજબ છે:
$(i)$ પૃથ્વીની સપાટી પર $g$ નું મૂલ્ય $9.8 \, m/s^2$ છે,જ્યારે $G$ નું મૂલ્ય $6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$ છે.
$(ii)$ $g$ નું મૂલ્ય સ્થળ પ્રમાણે બદલાય છે,જ્યારે $G$ નું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં અચળ રહે છે.
$(iii)$ $g$ એ સદિશ રાશિ છે,જ્યારે $G$ એ અદિશ રાશિ છે.

(N/A) દળ એટલે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો. દળનો $SI$ એકમ $kg$ છે.
વજન એટલે પૃથ્વી કે અન્ય કોઈ અવકાશી પદાર્થ દ્વારા પદાર્થને પોતાના કેન્દ્ર તરફ ખેંચતું બળ. વજનનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે.
દળ એ પદાર્થનો અચળ ગુણધર્મ હોવાથી તે સ્થળ બદલાતા બદલાતું નથી,તેથી ચંદ્ર પર પદાર્થનું દળ $20 \, kg$ જ રહેશે.
ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન શોધવા માટેનું સૂત્ર $W = m \times g$ છે,જ્યાં $m = 20 \, kg$ અને $g = 1.6 \, m s^{-2}$ છે.
$W = 20 \times 1.6 = 32 \, N$.
આમ,ચંદ્ર પર પદાર્થનું દળ $20 \, kg$ અને વજન $32 \, N$ હશે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ એટલે જ્યારે કોઈ પદાર્થને માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરવા દેવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ. ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે:
ગ્રહનું દળ $(M_P)$ = $\frac{M_E}{2}$
ગ્રહની ત્રિજ્યા $(R_P)$ = $\frac{R_E}{2}$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_E)$ = $9.8 \, m/s^2$
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{GM_P / R_P^2}{GM_E / R_E^2} = \frac{M_P}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_P})^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{g_P}{g_E} = \frac{M_E / 2}{M_E} \times (\frac{R_E}{R_E / 2})^2 = \frac{1}{2} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$
તેથી,$g_P = 2 \times g_E = 2 \times 9.8 \, m/s^2 = 19.6 \, m/s^2$.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ પર આધાર રાખે છે. પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી અને તેની ત્રિજ્યા ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત તરફ બદલાતી રહે છે,તેથી $g$ નું મૂલ્ય દરેક જગ્યાએ અચળ રહેતું નથી. આ ઉપરાંત,$g$ ઊંચાઈ અને ઊંડાઈ સાથે પણ બદલાય છે.
$(b)$ મુક્ત પતન કરતી વસ્તુ પર લાગતો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ $g = \frac{GM}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આ સૂત્ર દર્શાવે છે કે $g$ એ પડતી વસ્તુના દળ $(m)$ પર આધાર રાખતું નથી,પરંતુ માત્ર ગ્રહના દળ $(M)$ અને તેના કેન્દ્રથી અંતર $(R)$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,તમામ વસ્તુઓ તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વગર સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે અને શૂન્યાવકાશમાં નિશ્ચિત ઊંચાઈએથી પડવા માટે સમાન સમય લે છે.
$(c)$ '$G$' ને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ સમાન રહે છે અને તે માધ્યમ અથવા સામેલ પદાર્થોના સ્વભાવથી સ્વતંત્ર છે.

(N/A) મુક્ત પતન એટલે પદાર્થનું માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ અચળ પ્રવેગથી નીચે પડવું.
$(b)$ મુક્ત પતન દરમિયાન પદાર્થની ગતિની દિશા બદલાતી નથી (તે હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ હોય છે).
$(c)$ આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,ઊંચાઈ $h = 19.6 \, m$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
$(i)$ ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$19.6 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$19.6 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2 \, s$.
$(ii)$ વેગ શોધવા માટે $v = u + gt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + 9.8 \times 2$
$v = 19.6 \, m/s$.
$(iii)$ પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ અચળ રહે છે અને તે ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$ જેટલો જ હોય છે,તેથી $1 \, s$ પછી પણ પ્રવેગ $9.8 \, m/s^2$ જ રહેશે.

(A) $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે જેનું મૂલ્ય $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ નિશ્ચિત છે. તે બ્રહ્માંડમાં દરેક જગ્યાએ સમાન રહે છે.
$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,જે સ્થાન પ્રમાણે બદલાય છે. તેનો $SI$ એકમ $\text{m s}^{-2}$ છે.
$(b)$ ના,પૃથ્વી પર $g$ નું મૂલ્ય દરેક જગ્યાએ સમાન હોતું નથી. પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે. સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ મુજબ,ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા $R$ વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ઓછી હોય છે. તેથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે અને વિષુવવૃત્ત પર ઓછું હોય છે.
$(c)$ ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$F = \frac{G M m}{r^2}$,તેથી $F \propto \frac{1}{r^2}$.
જો અંતર $r$ ને ત્રણ ગણું $(r' = 3r)$ કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F' = \frac{G M m}{(3r)^2} = \frac{G M m}{9r^2} = \frac{1}{9} F$ થાય.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના મૂળ મૂલ્યના નવમા ભાગનું ($1$/$9$) થઈ જશે.

(B) લાકડાના બ્લોકને ખસેડવા માટે જરૂરી બળ માપવાના પ્રયોગમાં,તે આવશ્યક છે કે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ દ્વારા લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ સમક્ષિતિજ હોય,જેથી ખાતરી કરી શકાય કે સમગ્ર બળ સ્થિર ઘર્ષણને દૂર કરવામાં મદદ કરે છે.
સેટઅપ $A$ માં,દોરીને સમક્ષિતિજ રીતે ખેંચવામાં આવે છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે બળ સદિશ સપાટીને સમાંતર છે.
સેટઅપ $B$ માં,દોરી પણ સમક્ષિતિજ છે,પરંતુ જોડાણ સીધું અને સ્થિર છે.
સેટઅપ $C$ માં,ગૂંચળાદાર સ્પ્રિંગનો ઉપયોગ બળના ઊભી ઘટકો અથવા દોલનો રજૂ કરી શકે છે,જે અચોક્કસતા તરફ દોરી જાય છે.
સેટઅપ $A$ બળનો સૌથી સીધો અને સમક્ષિતિજ ઉપયોગ પૂરો પાડે છે,જે ગોઠવણીને કારણે થતી ભૂલોને ઘટાડે છે,આમ સૌથી સચોટ પરિણામ આપે છે.

(N/A) $(i)$ ગલન દરમિયાન,બરફનું તાપમાન $0^{\circ} C$ પર અચળ રહે છે. બધો જ બરફ પાણીમાં રૂપાંતરિત થઈ જાય પછી જ તાપમાન વધવાનું શરૂ થાય છે.
$(ii)$ $100^{\circ} C$ તાપમાને પાણી ઉકળવાનું શરૂ કરે છે અને પાણીનું વરાળમાં રૂપાંતર થતી વખતે તાપમાન અચળ રહે છે (બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા).

(N/A) ધારો કે બે વસ્તુઓના દળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ છે.
ધારો કે પૃથ્વીનું દળ $M$ છે અને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ છે.
ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બળ $F = \frac{GMm}{d^{2}}$ છે.
બે વસ્તુઓ માટે,$F_{1} = \frac{GMm_{1}}{d^{2}}$ અને $F_{2} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$ થાય.
આપેલ છે કે $F_{1} = F_{2}$,તેથી $\frac{GMm_{1}}{d^{2}} = \frac{GMm_{2}}{d^{2}}$.
બંને બાજુથી સમાન પદો $\frac{GM}{d^{2}}$ ને દૂર કરતા,આપણને $m_{1} = m_{2}$ મળે છે.
$(b)$ પૃથ્વીની સપાટી પર (ત્રિજ્યા $R$) $m$ દળ ધરાવતી વસ્તુ માટે ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^{2}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$(c)$ $G$ ને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં સમાન રહે છે,સ્થાન અથવા આંતરક્રિયા કરતી વસ્તુઓના સ્વભાવને ધ્યાનમાં લીધા વગર.

(A) આપેલ છે:
પદાર્થની ઊંચાઈ,$h = 10 \, m$
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ,$v = 0 \, m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$a = -g = -9.8 \, m/s^2$
$(i)$ ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^2 - u^2 = 2ah$:
$0^2 - u^2 = 2 \times (-9.8) \times 10$
$-u^2 = -196$
$u^2 = 196$
$u = 14 \, m/s$
આમ,પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $14 \, m/s$ છે.
$(ii)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$0 = 14 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 14$
$t = 14 / 9.8 \approx 1.43 \, s$
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય આશરે $1.43 \, s$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{e} = \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગ્રહ માટે,દળ $M_{p} = \frac{M_{e}}{2}$ અને ત્રિજ્યા $R_{p} = \frac{R_{e}}{2}$ છે.
આ કિંમતોને ગ્રહના ગુરુત્વાકર્ષણના સૂત્ર $g_{p} = \frac{GM_{p}}{R_{p}^{2}}$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$g_{p} = \frac{G(M_{e}/2)}{(R_{e}/2)^{2}} = \frac{GM_{e}/2}{R_{e}^{2}/4} = \frac{GM_{e}}{2} \times \frac{4}{R_{e}^{2}} = 2 \times \frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}}$.
કારણ કે $\frac{GM_{e}}{R_{e}^{2}} = g_{e}$,તેથી $g_{p} = 2g_{e}$ થાય છે.

(A) પૃથ્વી પર પદાર્થનું વજન $W = m \times g$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે $(g \approx 10\, m/s^2)$.
પૃથ્વી પર વજન: $W = 50\, kg \times 10\, m/s^2 = 500\, N$.
ચંદ્ર પર,પદાર્થનું દળ અચળ રહે છે કારણ કે તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
જોકે,ચંદ્ર પર વજન બદલાય છે કારણ કે ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પૃથ્વીના પ્રવેગ કરતા આશરે $1/6$ ગણો હોય છે. તેથી,ચંદ્ર પર તેનું વજન $500/6 \approx 83.33\, N$ થશે.

(N/A) ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ સાર્વત્રિક નિયમ કહેવાય છે કારણ કે તે બ્રહ્માંડના તમામ પદાર્થોને લાગુ પડે છે,પછી ભલે તેમનું દળ,કદ,આકાર કે તેમની વચ્ચેનું અંતર ગમે તે હોય. તે બ્રહ્માંડમાં ગમે ત્યાં રહેલા દ્રવ્યના કોઈપણ બે કણો વચ્ચે લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું વર્ણન કરે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટી પરની બે નાની વસ્તુઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અત્યંત નબળું હોય છે કારણ કે તેમનું દળ ખૂબ જ ઓછું હોય છે.
તેની સરખામણીમાં,પૃથ્વીનું દળ ખૂબ જ વિશાળ છે.
આ કારણે,કોઈપણ વસ્તુ અને પૃથ્વી વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,વસ્તુઓ વચ્ચેના પરસ્પર આકર્ષણ કરતા ઘણું વધારે હોય છે.
પરિણામે,બધી વસ્તુઓ એકબીજા તરફ ખેંચાવાને બદલે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ ખેંચાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વપ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ ને કારણે અચળ પ્રવેગ અનુભવે છે.
પતન દરમિયાન પ્રવેગ અચળ રહેતો હોવાથી,પદાર્થનો વેગ સમાન સમયગાળામાં સમાન પ્રમાણમાં વધે છે.
તેથી,આ ગતિનો પ્રકાર એક પરિમાણમાં અચળ પ્રવેગી ગતિ છે.

(B) પદાર્થનું વજન $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વીય પ્રવેગ છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ધ્રુવો પર ઓછી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
જેহেতু $W$ એ $g$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી પદાર્થનું વજન વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હશે.

(C) ના,કોઈ પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણની અસરોથી સુરક્ષિત કરવું શક્ય નથી.
આનું કારણ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ આંતરક્રિયા એ એક મૂળભૂત બળ છે જે દળ ધરાવતી તમામ વસ્તુઓ વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક બળોથી વિપરીત,જેને વીજભારોની વચ્ચે કોઈ પદાર્થ મૂકીને સુરક્ષિત કરી શકાય છે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વચ્ચેના માધ્યમની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કોઈપણ જાણીતા પદાર્થ દ્વારા રોકી કે નિષ્ક્રિય કરી શકાતું નથી.

(C) પૃથ્વી દ્વારા ચંદ્ર પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,ચંદ્રને પૃથ્વીની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ચંદ્રના વેગની દિશાને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે,જે ચંદ્રની ઝડપ બદલ્યા વિના તેની ગતિની દિશાને સતત બદલે છે.
પરિણામે,ચંદ્ર પૃથ્વી તરફ પડવાને બદલે તેની કક્ષામાં સતત પરિભ્રમણ કરતો રહે છે.

(B) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $g \propto M$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ એ ગ્રહના દળના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) ધારો કે $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $m$ દળ ધરાવતી વસ્તુનું વજન $W = mg = \frac{GMm}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો વ્યાસ બમણો થાય,તો ત્રિજ્યા $R$ પણ બમણી થાય,એટલે કે $R' = 2R$.
નવું વજન $W'$ એ $W' = \frac{GMm}{(R')^2} = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$ થશે.
આમ,$W' = \frac{1}{4} W$.
તેથી,વસ્તુનું વજન તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનું થઈ જશે.

(A) ઊંચાઈ વધવાની સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ઘટે છે,કારણ કે નાની ઊંચાઈઓ માટે $g' = g(1 - 2h/R_e)$ થાય છે.
$(b)$ ઊંડાઈ વધવાની સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ઘટે છે,કારણ કે $g' = g(1 - d/R_e)$ થાય છે.
$(c)$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે,કારણ કે $g = GM/R^2$ છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.

(B) ચંદ્રની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતો પ્રવેગ $(g)$ પૃથ્વીની સપાટી કરતા આશરે $1/6$ ગણો હોય છે.
ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઘણું ઓછું હોવાથી,સમાન સ્નાયુબદ્ધ પ્રયત્ન કરવા છતાં વ્યક્તિ પૃથ્વીની સરખામણીમાં ચંદ્ર પર $6$ ગણો વધુ ઊંચો કૂદકો મારી શકે છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ $F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
પ્રથમ પદાર્થનું દળ,$m_1 = 50 \, kg$.
બીજા પદાર્થનું દળ,$m_2 = 120 \, kg$.
પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર,$r = 10 \, m$.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક,$G = 6.673 \times 10^{-11} \, N \, m^2 \, kg^{-2}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 50 \times 120}{10^2}$
$F = \frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6000}{100}$
$F = 6.673 \times 10^{-11} \times 60$
$F = 400.38 \times 10^{-11} \, N$
$F = 4.0038 \times 10^{-9} \, N \approx 4.0 \times 10^{-9} \, N$.

(97.2 N) પૃથ્વી પર વજન $(W) = 450 N$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 10 m s^{-2}$
તેથી,પદાર્થનું દળ $(m) = \frac{W}{g} = \frac{450}{10} = 45 kg$.
હવે,મંગળની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{m})$ ની ગણતરી $g_{m} = \frac{GM_{m}}{R_{m}^{2}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $g_{m} = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{23}}{(4.3 \times 10^{6})^{2}}$.
$g_{m} = \frac{40.02 \times 10^{12}}{18.49 \times 10^{12}} \approx 2.16 m s^{-2}$.
તેથી,મંગળ પર વજન $= m \times g_{m} = 45 \times 2.16 = 97.2 N$.

(D) આપેલ છે:
ગુરુનું દળ,$M_1 = 1.9 \times 10^{27} \, kg$
સૂર્યનું દળ,$M_2 = 1.99 \times 10^{30} \, kg$
ગુરુ અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર,$r = 7.8 \times 10^{11} \, m$
ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2 \cdot kg^{-2}$
ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમના સૂત્ર $F = \frac{G M_1 M_2}{r^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.9 \times 10^{27} \times 1.99 \times 10^{30}}{(7.8 \times 10^{11})^2}$
$F = \frac{6.67 \times 1.9 \times 1.99 \times 10^{46}}{60.84 \times 10^{22}}$
$F \approx 4.146 \times 10^{23} \, N$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $4.4 \times 10^{23} \, N$ મળે છે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ,પદાર્થનું દળ $(m)$ શોધો. આપેલ વજન $W = mg = 63 \, N$. $g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$m = 63 / 10 = 6.3 \, kg$.
$2$. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પદાર્થનું અંતર $(r)$,જ્યારે ઊંચાઈ $h = R/2$ હોય,ત્યારે $r = R + h = R + R/2 = 1.5R$ થાય.
$3$. આપેલ $R = 6.4 \times 10^6 \, m$ હોવાથી,$r = 1.5 \times 6.4 \times 10^6 = 9.6 \times 10^6 \, m$.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 6.3}{(9.6 \times 10^6)^2}$.
$6$. $F = \frac{252.186 \times 10^{13}}{92.16 \times 10^{12}} = \frac{2521.86}{92.16} \approx 27.35 \, N$.

ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માટેનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^{2}}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ અવકાશી પદાર્થનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
દળ $(M)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $M = \frac{g R^{2}}{G}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
$g = 1.67 \, m s^{-2}$
$R = 1.74 \times 10^{6} \, m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \, N m^{2} kg^{-2}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \frac{1.67 \times (1.74 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M = \frac{1.67 \times 3.0276 \times 10^{12}}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M \approx 0.758 \times 10^{23} \, kg = 7.58 \times 10^{22} \, kg$.
આમ,ચંદ્રનું દળ આશરે $7.58 \times 10^{22} \, kg$ છે.

(N/A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ,$u = 0 \, m/s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$(a)$ ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4.9 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$4.9 = 4.9 \times t^2$
$t^2 = 1 \Rightarrow t = 1 \, s$.
તેથી,$4.9 \, m$ પડવા માટે $1 \, s$ સમય લાગે છે.
$(b)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 4.9$
$v^2 = 96.04$
$v = 9.8 \, m/s$.
તેથી,$4.9 \, m$ ના અંતે પથ્થરની ઝડપ $9.8 \, m/s$ હશે.
$(c)$ $v^2 - u^2 = 2aS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 7.9$
$v^2 = 154.84$
$v = \sqrt{154.84} \approx 12.44 \, m/s$.
તેથી,$7.9 \, m$ ના અંતે પથ્થરની ઝડપ $12.44 \, m/s$ હશે.
$(d)$ મુક્ત પતન દરમિયાન,ગુરુત્વપ્રવેગ અચળ રહે છે.
$1 \, s$ પછી પ્રવેગ = $9.8 \, m/s^2$.
$2 \, s$ પછી પ્રવેગ = $9.8 \, m/s^2$.

(12.1 M/S) પ્રથમ પથ્થર માટે,આપેલ છે:
$u = 0\, m\, s^{-1}, h = 49\, m, g = 9.8\, m\, s^{-2}$
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$49 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{98}{9.8} = 10$
$t = \sqrt{10} \approx 3.16\, s$
આમ,પ્રથમ પથ્થરને જમીન પર પહોંચતા $3.16\, s$ લાગે છે.
બીજા પથ્થર માટે,તે $1\, s$ મોડો ફેંકવામાં આવે છે પરંતુ તે જમીન પર એકસાથે પહોંચે છે. તેથી,બીજા પથ્થર દ્વારા લેવાયેલ સમય $t_2 = 3.16 - 1 = 2.16\, s$ છે.
બીજા પથ્થર માટે $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$49 = u \times 2.16 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.16)^2$
$49 = 2.16u + 4.9 \times 4.6656$
$49 = 2.16u + 22.86$
$2.16u = 49 - 22.86 = 26.14$
$u = \frac{26.14}{2.16} \approx 12.10\, m\, s^{-1}$
આમ,બીજો પથ્થર $12.1\, m\, s^{-1}$ ની ઝડપે ફેંકવામાં આવ્યો હતો.

(19.42 M) ધારો કે બારીની ઉપરની ધાર અને છાપરા વચ્ચેનું અંતર $S$ છે. બારી પસાર કરતી વખતે,એટલે કે $B$ થી $C$ સુધીની ગતિ માટે:
ધારો કે $B$ બિંદુએ વેગ $u \, m/s$ છે.
કાપેલું અંતર,$S = 2 \, m$.
લાગતો સમય,$t = 0.1 \, s$.
પ્રવેગ,$a = g = 9.8 \, m/s^2$.
સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 = u(0.1) + \frac{1}{2}(9.8)(0.1)^2$
$2 = 0.1u + 0.049$
$0.1u = 1.951$
$u = 19.51 \, m/s$.
આમ,બારીની ઉપરની ધાર પર પથ્થરનો વેગ $19.51 \, m/s$ છે.
હવે,છાપરાથી બારીની ઉપરની ધાર સુધીના મુક્ત પતન માટે,એટલે કે $A$ થી $B$ સુધીની ગતિ માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u_i = 0 \, m/s$.
અંતિમ વેગ $v = 19.51 \, m/s$.
કાપેલું અંતર $S = ?$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$.
સમીકરણ $v^2 - u_i^2 = 2gS$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(19.51)^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times S$
$S = \frac{(19.51)^2}{19.6} \approx 19.42 \, m$.

(A) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે:
શરૂઆતનો વેગ $= u \text{ m/s}$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $= v = 0 \text{ m/s}$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$ (ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ નીચેની તરફ લાગે છે):
$0 = u - gt \implies t = u/g$ (મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય).
પાછા ફરતી વખતે,દડો મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે $(u_{return} = 0)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડે છે $(a = +g)$:
સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = 0^2 + 2gH$,જ્યાં $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
ઉપરની ગતિ પરથી,$H = u^2 / (2g)$.
પાછા ફરતી ગતિના સમીકરણમાં $H$ ની કિંમત મૂકતા: $v^2 = 2g(u^2 / 2g) = u^2$.
તેથી,$v = u$.
આમ,દડો જે વેગ $u$ થી ફેંકવામાં આવ્યો હતો તે જ વેગ સાથે પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર પાછો ફરે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ધારો કે ઉપર જવાનો સમય $t_{1}$ છે. ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$:
$0 = u - gt_{1}$
$\Rightarrow t_{1} = \frac{u}{g} ......(1)$
પાછા ફરતી વખતે (નીચે આવતી વખતે),પદાર્થ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u' = 0$ છે. જ્યારે તે જમીન પર પહોંચે છે ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ $v' = u$ થાય છે. ધારો કે નીચે આવવાનો સમય $t_{2}$ છે. $v' = u' + gt_{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$u = 0 + gt_{2}$
$\Rightarrow t_{2} = \frac{u}{g} ......(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $t_{1} = t_{2}$ મળે છે.
આમ,ઉપર જવાનો સમય એ નીચે આવવાના સમય જેટલો જ હોય છે.

(78.4 M) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m \, s^{-1}$,સમય $t = 4 \, s$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$.
મુક્ત પતન માટે ગતિનું બીજું સમીકરણ વાપરતા:
$h = ut + \frac{1}{2}gt^2$
કિંમતો મૂકતા:
$h = (0 \times 4) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$
$h = 0 + 0.5 \times 9.8 \times 16$
$h = 4.9 \times 16$
$h = 78.4 \, m$
આમ,ઇમારતની ઊંચાઈ $78.4 \, m$ છે.

(A) આપેલ છે: પૃથ્વી પર વજન $W_{E} = 600\,N$,ચંદ્ર પર વજન $W_{M} = 100\,N$,પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,m s^{-2}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે માણસનું દળ $(m)$ $W = m \times g$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$m = \frac{W_{E}}{g} = \frac{600}{10} = 60\,kg$.
દળ દરેક જગ્યાએ અચળ રહેતું હોવાથી,ચંદ્ર પર માણસનું દળ પણ $60\,kg$ જ રહેશે.
હવે,આપણે ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{m})$ $W_{M} = m \times g_{m}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$g_{m} = \frac{W_{M}}{m} = \frac{100}{60} = 1.67\,m s^{-2}$.

(N/A) આપેલ છે: વજન $(W) = 392 \, N$,ગુરુત્વપ્રવેગ $(g) = 9.8 \, m s^{-2}$.
દળ $(m) = W / g = 392 / 9.8 = 40 \, kg$.
$(b)$ $(i)$ પદાર્થનું દળ કોઈપણ સ્થળે બદલાતું નથી. તેથી,ચંદ્ર પર તેનું દળ $40 \, kg$ જ રહેશે.
$(ii)$ ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજનના $1/6$ ભાગનું હોય છે. તેથી,ચંદ્ર પર વજન $= 392 / 6 \approx 65.33 \, N$.
$(iii)$ ચંદ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_m) = \text{ચંદ્ર પર વજન} / \text{દળ} = 65.33 / 40 \approx 1.63 \, m s^{-2}$.

(N/A) આપેલ છે: દળ $(m) = 30 \ kg$,$g_{earth} = 10 \ m/s^2$.
$(i)$ ચંદ્ર પર વજન $(W_m)$:
$g_{moon} = 1/6 \times g_{earth} = 1/6 \times 10 = 5/3 \ m/s^2$.
$W_m = m \times g_{moon} = 30 \times (5/3) = 50 \ N$.
$(ii)$ ગ્રહ પર વજન $(W_p)$:
$g_{planet} = 3 \times g_{earth} = 3 \times 10 = 30 \ m/s^2$.
$W_p = m \times g_{planet} = 30 \times 30 = 900 \ N$.

(N/A) આપેલ છે: દળ $m = 0.5 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 25 \, m s^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = -10 \, m s^{-2}$.
$(a)$ પ્રારંભિક વેગમાન $p = m \times u = 0.5 \times 25 = 12.5 \, kg \, m s^{-1}$.
$(b)$ મહત્તમ ઊંચાઈના અડધા માર્ગે વેગમાન શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $v^2 - u^2 = 2gH$ નો ઉપયોગ કરીને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ શોધો. મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય.
$0^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times H$
$-625 = -20 \times H$
$H = 625 / 20 = 31.25 \, m$.
અડધી ઊંચાઈ $h = H / 2 = 31.25 / 2 = 15.625 \, m$.
હવે,$v_h^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને ઊંચાઈ $h$ પર વેગ $v_h$ શોધો:
$v_h^2 - (25)^2 = 2 \times (-10) \times 15.625$
$v_h^2 - 625 = -312.5$
$v_h^2 = 312.5$
$v_h = \sqrt{312.5} \approx 17.68 \, m s^{-1}$.
અડધા માર્ગે વેગમાન $p_h = m \times v_h = 0.5 \times 17.68 = 8.84 \, kg \, m s^{-1}$.

(N/A) આપેલ છે: કુલ સમય $T = 6 \, s$,મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \, m s^{-1}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
ચડવાનો સમય અને ઉતરવાનો સમય સમાન હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = T / 2 = 6 / 2 = 3 \, s$ છે.
$(a)$ ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 29.4 \, m s^{-1}$.
આમ,શરૂઆતનો વેગ $29.4 \, m s^{-1}$ છે.
$(b)$ ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (29.4)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-864.36 = -19.6 \times h$
$h = 864.36 / 19.6 = 44.1 \, m$.
આમ,પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $44.1 \, m$ છે.

$(15 M S^{-1})$ પ્રથમ દડા માટે:
$u = 0, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t = ?$
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$20 = 5t^2$
$t^2 = 4$
$t = 2\, s$
બીજા દડા માટે:
બીજો દડો $1\, s$ મોડો ફેંકવામાં આવ્યો હોવાથી અને તે જમીન પર એકસાથે પહોંચતો હોવાથી, તેનો મુસાફરીનો સમય $t' = 2 - 1 = 1\, s$ થશે.
$u = ?, h = 20\, m, g = 10\, m s^{-2}, t' = 1\, s$
$S = ut' + \frac{1}{2}at'^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$20 = u(1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2$
$20 = u + 5$
$u = 20 - 5 = 15\, m s^{-1}$