Textbook - GRAVITATION Questions in Gujarati

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ જણાવે છે કે વિશ્વમાં દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળથી આકર્ષે છે જેને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કહેવામાં આવે છે.
બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું આ બળ તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ હોય,તો તેમની વચ્ચે લાગતું આકર્ષણ બળ $(F)$ ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$
જ્યાં,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને તેનું મૂલ્ય $6.67 \times 10^{-11} \text{ Nm}^2 \text{ kg}^{-2}$ છે.

(N/A) ધારો કે $M_E$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $m$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલી વસ્તુનું દળ છે. જો $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા હોય,તો ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ અનુસાર,પૃથ્વી અને વસ્તુ વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F)$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$F = \frac{G M_E m}{R^2}$
જ્યાં:
$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,
$M_E$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,
$m$ એ વસ્તુનું દળ છે,
$R$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્ર અને વસ્તુ વચ્ચેનું અંતર છે (જે પૃથ્વીની ત્રિજ્યા જેટલું છે).

(N/A) પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દરેક પદાર્થને તેના કેન્દ્ર તરફ આકર્ષે છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થને ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પૃથ્વીની સપાટી તરફ નીચે પડે છે. પદાર્થની આ ગતિને મુક્ત પતન કહેવામાં આવે છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ ઊંચાઈ પરથી જમીન તરફ પડે છે,ત્યારે તેના વેગમાં ફેરફાર થાય છે. વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે પદાર્થમાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. આ પ્રવેગને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ કહેવામાં આવે છે. પૃથ્વીની સપાટી પર તેનું પ્રમાણિત મૂલ્ય આશરે $9.8 \, m/s^2$ છે.

(N/A)

$S.No.$	દળ અને વજન વચ્ચેનો તફાવત
$I.$	દળ એટલે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો; વજન એટલે પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ.
$II.$	દળ એ પદાર્થની જડત્વનું માપ છે; વજન એ ગુરુત્વાકર્ષણનું માપ છે.
$III.$	દળ એક અચળ રાશિ છે; વજન અચળ નથી અને તે અલગ-અલગ સ્થાનો પર બદલાય છે.
$IV.$	દળ એ અદિશ રાશિ છે (માત્ર મૂલ્ય); વજન એ સદિશ રાશિ છે (મૂલ્ય અને દિશા બંને).
$V.$	દળનો $SI$ એકમ કિલોગ્રામ $(kg)$ છે; વજનનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે.

(N/A) ધારો કે $M_E$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $m$ એ પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલી વસ્તુનું દળ છે. ધારો કે $R_E$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,પૃથ્વીની સપાટી પર વસ્તુનું વજન $W_E$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W_E = \frac{G M_E m}{R_E^2}$
ધારો કે $M_M$ અને $R_M$ એ ચંદ્રનું દળ અને ત્રિજ્યા છે. તો,ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,ચંદ્રની સપાટી પર વસ્તુનું વજન $W_M$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W_M = \frac{G M_M m}{R_M^2}$
હવે,બંને વજનનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{W_M}{W_E} = \frac{M_M R_E^2}{M_E R_M^2}$
આપેલ મૂલ્યો:
$M_E = 5.98 \times 10^{24} \text{ kg}$
$M_M = 7.36 \times 10^{22} \text{ kg}$
$R_E = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$
$R_M = 1.74 \times 10^6 \text{ m}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{W_M}{W_E} = \frac{7.36 \times 10^{22} \times (6.4 \times 10^6)^2}{5.98 \times 10^{24} \times (1.74 \times 10^6)^2} \approx 0.165 \approx \frac{1}{6}$
તેથી,ચંદ્ર પર કોઈ વસ્તુનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજનના $\frac{1}{6}$ ભાગનું હોય છે.

(B) પાતળી પટ્ટીવાળી સ્કૂલ બેગ પકડવી મુશ્કેલ છે કારણ કે ખભા પર લાગતું દબાણ ખૂબ વધારે હોય છે.
દબાણની વ્યાખ્યા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે કરવામાં આવે છે,જેનું સૂત્ર $P = F/A$ છે.
દબાણ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,જેના પર બળ $(F)$ લાગે છે,તેથી નાનું ક્ષેત્રફળ વધુ દબાણ ઉત્પન્ન કરે છે.
પાતળી પટ્ટીના કિસ્સામાં,સંપર્ક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ખૂબ જ ઓછું હોય છે,જે ખભા પર ઘણું વધારે દબાણ લાવે છે,જેનાથી પીડા અને અગવડતા થાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી દ્વારા તે પદાર્થ પર ઉપરની દિશામાં લાગતા બળને પ્લવકતા (buoyancy) કહે છે.
જ્યારે તમે કોઈ પદાર્થને પાણીમાં ડૂબાડવાનો પ્રયત્ન કરો છો,ત્યારે તમે અનુભવી શકો છો કે પદાર્થ પર એક ઉર્ધ્વગામી બળ લાગે છે.
આ બળને ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) અથવા ઉર્ધ્વધક્કો (upthrust) કહેવામાં આવે છે.
જેમ જેમ પદાર્થને પાણીમાં વધુ ઊંડે ધકેલવામાં આવે છે,તેમ તેમ વિસ્થાપિત થયેલા પ્રવાહીનું કદ વધે છે,જેના પરિણામે ઉત્પ્લાવક બળમાં વધારો થાય છે.

(C) કોઈ વસ્તુ તરશે કે ડૂબી જશે તેનો આધાર તે વસ્તુની પ્રવાહીની સાપેક્ષ ઘનતા પર રહેલો છે.
જો વસ્તુની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા વધારે હોય,તો વસ્તુનું વજન (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) ઉત્પ્લાવક બળ કરતા વધી જાય છે,જેના કારણે તે ડૂબી જાય છે.
તેનાથી વિપરીત,જો વસ્તુની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા ઓછી હોય,તો વસ્તુ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતા વધારે હોય છે,જેના કારણે તે સપાટી પર તરે છે.

(A) જ્યારે તમે વજન કાંટા પર ઊભા રહો છો,ત્યારે કાંટો તમારા શરીર દ્વારા તેના પર લાગતા લંબબળ (normal force) ને માપે છે.
હવાની હાજરીને કારણે,તમારા શરીર પર ઉપરની દિશામાં ઉત્પ્લાવક બળ (buoyant force) લાગે છે.
આ ઉત્પ્લાવક બળ વજન કાંટા પર તમારા શરીર દ્વારા લાગતા કુલ અધોગામી બળને ઘટાડે છે.
તેથી,વજન કાંટા દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલ રીડિંગ તમારા વાસ્તવિક દળ કરતા થોડું ઓછું હોય છે.
આમ,તમારું વાસ્તવિક દળ $42\, kg$ કરતા વધારે છે.

(A) રૂની થેલી લોખંડના સળિયા કરતા ભારે હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે રૂની થેલીનું કદ લોખંડના સળિયા કરતા ઘણું વધારે હોય છે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે કોઈ પદાર્થને તરલમાં (હવામાં) ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલા તરલના વજન જેટલું હોય છે.
રૂની થેલી વધુ જગ્યા રોકતી હોવાથી,તે વધુ હવાને વિસ્થાપિત કરે છે,જેના પરિણામે લોખંડના સળિયાની સરખામણીમાં તેના પર વધુ ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે.
આ ઉત્પ્લાવક બળ વજન કાંટા પર રૂની થેલીનું આભાસી વજન ઘટાડે છે.
તેથી,વજન કાંટો બંને માટે $100\, kg$ દર્શાવે તે માટે,રૂની થેલીનું વાસ્તવિક દળ લોખંડના સળિયા કરતા વધારે હોવું જોઈએ જેથી વધુ ઉત્પ્લાવક બળની ભરપાઈ થઈ શકે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,બે પદાર્થો વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F)$ તેમની વચ્ચેના અંતર $(r)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે:
$F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}$
જો અંતર $r$ ને ઘટાડીને $r/2$ કરવામાં આવે,તો નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F')$ નીચે મુજબ થશે:
$F' = G \frac{m_{1} m_{2}}{(r/2)^{2}}$
$F' = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}/4}$
$F' = 4 \times (G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}})$
$F' = 4F$
આમ,જો અંતર અડધું કરવામાં આવે,તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણું થઈ જાય છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$. પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{Mm}{r^2}$ છે. આ બંનેને સરખાવતા,$ma = G \frac{Mm}{r^2}$,જેનું સાદું રૂપ $a = G \frac{M}{r^2}$ થાય છે. અહીં,$a$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે. કારણ કે $g$ માત્ર પૃથ્વીના દળ અને તેના કેન્દ્રથી અંતર પર આધાર રાખે છે,તે પડતા પદાર્થના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,હવાનો અવરોધ ન હોય ત્યારે,તમામ પદાર્થો સમાન પ્રવેગ સાથે નીચે પડે છે અને ભારે પદાર્થો હલકા પદાર્થો કરતા ઝડપથી નીચે પડતા નથી.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ અનુસાર,$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{G M m}{r^2}$
જ્યાં:
પૃથ્વીનું દળ,$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
પદાર્થનું દળ,$m = 1 \,kg$
સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા,$r = R = 6.4 \times 10^6 \,m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 1}{(6.4 \times 10^6)^2}$
$F = \frac{40.02 \times 10^{13}}{40.96 \times 10^{12}}$
$F \approx 9.8 \,N$
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળનું મૂલ્ય આશરે $9.8 \,N$ છે.

(C) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર,બ્રહ્માંડમાં દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. આ બળ પરસ્પર હોય છે. તેથી,પૃથ્વી ચંદ્રને જે બળથી આકર્ષે છે તે બળ,ચંદ્ર પૃથ્વીને જે બળથી આકર્ષે છે તે બળ જેટલું જ હોય છે. આ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ છે,જે જણાવે છે કે દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.

(N/A) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પૃથ્વી અને ચંદ્ર એકબીજા પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
જોકે,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ તેના દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(a = F/m)$.
પૃથ્વીનું દળ ચંદ્રના દળ કરતા ઘણું વધારે છે.
દળમાં રહેલા આ મોટા તફાવતને કારણે,પૃથ્વીમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રવેગ ચંદ્રમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રવેગની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે.
તેથી,પૃથ્વી ચંદ્ર તરફ કોઈ નોંધપાત્ર ગતિ દર્શાવતી નથી.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M m}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ $F$ એ પદાર્થોના દળના સમપ્રમાણમાં છે. જો એક પદાર્થનું દળ બમણું કરવામાં આવે,તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પણ બમણું થશે.
$(ii)$ $F$ એ પદાર્થો વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. જો અંતર બમણું કરવામાં આવે,તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનું $(1/4)$ થાય છે. તેવી જ રીતે,જો અંતર ત્રણ ગણું કરવામાં આવે,તો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના મૂળ મૂલ્યના નવમા ભાગનું $(1/9)$ થાય છે.
$(iii)$ $F$ એ પદાર્થોના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં છે. જો બંને પદાર્થોના દળ બમણા કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F' = \frac{G(2M)(2m)}{r^{2}} = 4 \times \frac{G M m}{r^{2}} = 4F$ થાય. આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂળ મૂલ્ય કરતાં ચાર ગણું થાય છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ નીચે મુજબ મહત્વનો છે:
$1$. તે આપણને પૃથ્વી સાથે જકડી રાખે છે.
$2$. તે પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રની ગતિ માટે જવાબદાર છે.
$3$. તે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની ગતિ માટે જવાબદાર છે.
$4$. તે ચંદ્ર અને સૂર્યને કારણે સમુદ્રમાં આવતી ભરતી માટે જવાબદાર છે.

(A) જ્યારે પદાર્થો માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પૃથ્વી તરફ પડે છે,ત્યારે તેઓ મુક્ત પતન કરે છે તેમ કહેવાય છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રવેગને ગુરુત્વપ્રવેગ અથવા મુક્ત પતનનો પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે.
તેનું મૂલ્ય આશરે $9.8\, ms^{-2}$ છે,જે પદાર્થના દળને ધ્યાનમાં લીધા વગર તમામ પદાર્થો માટે અચળ રહે છે.

(B) પૃથ્વી દ્વારા કોઈ પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને તે પદાર્થનું વજન કહેવામાં આવે છે.
તેની ગણતરી $W = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.

(B) પૃથ્વી પર પદાર્થનું વજન $W = mg$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં:
$m$ = પદાર્થનું દળ.
$g$ = ગુરુત્વીય પ્રવેગ.
પૃથ્વી ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
$W = mg$ હોવાથી,સમાન દળના સોનાનું વજન ધ્રુવો પર વધારે અને વિષુવવૃત્ત પર ઓછું હશે.
તેથી,અમિતનો મિત્ર ખરીદેલા સોનાના વજન સાથે સહમત થશે નહીં કારણ કે જ્યારે સોનાને ધ્રુવોથી વિષુવવૃત્ત પર લઈ જવામાં આવે છે ત્યારે તેનું વજન ઘટે છે.

(B) જ્યારે કાગળની શીટને દડાના આકારમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તેની હવામાં ખુલ્લી રહેતી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટી જાય છે.
હવાનો અવરોધ એ પદાર્થની ગતિ કરતી સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે,તેથી દડાના આકારમાં વાળેલો કાગળ સપાટ કાગળની સરખામણીમાં ખૂબ જ ઓછો હવાનો અવરોધ અનુભવે છે.
પરિણામે,દડાના આકારમાં વાળેલો કાગળ સપાટ કાગળ કરતા ઝડપથી નીચે પડે છે.

(C) પૃથ્વી પર પદાર્થનું વજન આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $W_e = m \times g$,જ્યાં $m = 10\, kg$ અને $g = 9.8\, m/s^2$ છે.
તેથી,$W_e = 10\, kg \times 9.8\, m/s^2 = 98\, N$.
ચંદ્ર પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતાં $\frac{1}{6}$ ગણું છે.
તેથી,ચંદ્ર પર પદાર્થનું વજન: $W_m = \frac{1}{6} \times W_e$.
$W_m = \frac{1}{6} \times 98\, N \approx 16.3\, N$.
આમ,ચંદ્ર પર વજન $16.3\, N$ અને પૃથ્વી પર વજન $98\, N$ છે.

(D) આપેલ છે:
શરૂઆતનો વેગ $u = 49\, m/s$
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = -9.8\, m/s^2$ (નીચેની તરફ)
$(i)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $(h)$ શોધવા માટે:
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2gh$
$0^2 - (49)^2 = 2 \times (-9.8) \times h$
$-2401 = -19.6 \times h$
$h = 2401 / 19.6 = 122.5\, m$
$(ii)$ કુલ ઉડ્ડયન સમય $(T)$ શોધવા માટે:
ઉપર જતી વખતે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u + gt$
$0 = 49 + (-9.8) \times t$
$9.8t = 49$
$t = 5\, s$
ચઢાણનો સમય અને ઉતરાણનો સમય સમાન હોવાથી,કુલ સમય $T = 2 \times t = 2 \times 5 = 10\, s$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gs$ મુજબ.
જ્યાં,
$u = \text{પથ્થરનો પ્રારંભિક વેગ} = 0\, ms^{-1}$.
$v = \text{પથ્થરનો અંતિમ વેગ}$.
$s = \text{ટાવરની ઊંચાઈ} = 19.6\, m$.
$g = \text{ગુરુત્વપ્રવેગ} = 9.8\, ms^{-2}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$.
$v^2 = 19.6 \times 19.6 = (19.6)^2$.
$v = 19.6\, ms^{-1}$.
આમ,જમીનને સ્પર્શતા પહેલા પથ્થરનો વેગ $19.6\, ms^{-1}$ છે.

(B) ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં ઉપરની ગતિ માટે $a = -g$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 40 \, m/s$
મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$
પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
$v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (40)^2 - 2(10)h$
$20h = 1600$
$h = 80 \, m$ (મહત્તમ ઊંચાઈ).
કાપેલું કુલ અંતર = ઉપર તરફનું અંતર + નીચે તરફનું અંતર = $80 \, m + 80 \, m = 160 \, m$.
ચોખ્ખું સ્થાનાંતર = અંતિમ સ્થાન - પ્રારંભિક સ્થાન = $0 \, m$ (કારણ કે પથ્થર શરૂઆતના બિંદુએ પાછો ફરે છે).

(C) ગુરુત્વાકર્ષણના સાર્વત્રિક નિયમ મુજબ,પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G \times M_{\text{Sun}} \times M_{\text{Earth}}}{R^2}$
જ્યાં:
$M_{\text{Sun}} = 2 \times 10^{30} \, kg$
$M_{\text{Earth}} = 6 \times 10^{24} \, kg$
$R = 1.5 \times 10^{11} \, m$
$G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^2 \, kg^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 2 \times 10^{30} \times 6 \times 10^{24}}{(1.5 \times 10^{11})^2}$
$F = \frac{80.4 \times 10^{43}}{2.25 \times 10^{22}}$
$F = 35.73 \times 10^{21} \, N = 3.57 \times 10^{22} \, N$
આમ,પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $3.57 \times 10^{22} \, N$ છે.

(D) ધારો કે બંને પથ્થરો $t$ સમય પછી મળે છે.
ટાવર પરથી નીચે પડતા પથ્થર માટે:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 0\, m/s$.
ધારો કે $t$ સમયમાં ટાવરની ટોચથી પથ્થરનું સ્થાનાંતર $s$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 9.8\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$s = 4.9t^2$ ............. $(1)$
ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પથ્થર માટે:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 25\, m/s$.
ધારો કે $t$ સમયમાં જમીનથી પથ્થરનું સ્થાનાંતર $s'$ છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = -9.8\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s' = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s' = 25t - \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$s' = 25t - 4.9t^2$ ............. $(2)$
મળવાના બિંદુએ બંને પથ્થરોના સ્થાનાંતરનો સરવાળો ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $100\, m$ જેટલો થાય છે:
$s + s' = 100$
$4.9t^2 + 25t - 4.9t^2 = 100$
$25t = 100$
$t = 4\, s$
$4\, s$ માં,ઉપરથી નીચે પડતા પથ્થરે કાપેલું અંતર:
$s = 4.9 \times (4)^2 = 4.9 \times 16 = 78.4\, m$.
તેથી,પથ્થરો $4\, s$ પછી જમીનથી $(100 - 78.4) = 20.6\, m$ ની ઊંચાઈએ મળશે.

(A) ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાનો સમય સમાન હોય છે. દડો તેની ઉપર અને નીચેની મુસાફરી માટે કુલ $6\, s$ લે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે તેણે $3\, s$ લીધા છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર દડાનો અંતિમ વેગ,$v = 0\, m/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = -9.8\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = u + (-9.8 \times 3)$
$u = 9.8 \times 3 = 29.4\, m/s$.
આમ,દડાને $29.4\, m/s$ ના વેગથી ઉપર ફેંકવામાં આવ્યો હતો.
$(b)$ ધારો કે દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે.
ઉપરની મુસાફરી દરમિયાન પ્રારંભિક વેગ,$u = 29.4\, m/s$.
અંતિમ વેગ,$v = 0\, m/s$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = -9.8\, m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = 29.4 \times 3 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3^2 = 88.2 - 44.1 = 44.1\, m$.
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈ $44.1\, m$ છે.
$(c)$ દડો $3\, s$ પછી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. આ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કર્યા પછી,તે નીચે પડવાનું શરૂ કરશે.
આ કિસ્સામાં,પ્રારંભિક વેગ,$u = 0\, m/s$.
ફેંક્યાના $4\, s$ પછી દડાનું સ્થાન તેના નીચેના પ્રવાસ દરમિયાન $4\, s - 3\, s = 1\, s$ માં કાપેલા અંતર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 1^2 = 4.9\, m$.
હવે,કુલ ઊંચાઈ $44.1\, m$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $4\, s$ પછી દડો જમીનથી $39.2\, m$ $(44.1\, m - 4.9\, m)$ ઊંચાઈ પર છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થની ઉપરની અને નીચેની સપાટી વચ્ચેના દબાણના તફાવતને કારણે પ્રવાહી પદાર્થ પર ઉપરની દિશામાં બળ લગાડે છે. આ ઉપરની તરફ લાગતા બળને પ્લાવક બળ (buoyant force) અથવા ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) કહેવામાં આવે છે.

(B) પાણીમાં ડૂબેલા પદાર્થ પર બે બળો કાર્ય કરે છે.
એક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે પદાર્થને નીચેની તરફ ખેંચે છે.
બીજું ઉત્પ્લાવક બળ છે,જે પદાર્થને ઉપરની તરફ ધકેલે છે.
જો ઉપરની તરફ લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતા વધારે હોય,તો પદાર્થ સપાટી પર આવી જાય છે.
પ્લાસ્ટિકની ઘનતા પાણીની ઘનતા કરતા ઓછી હોવાથી,પાણી દ્વારા પ્લાસ્ટિકના બ્લોક પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,પાણીની અંદર મુક્ત કરવામાં આવેલ પ્લાસ્ટિકનો બ્લોક સપાટી પર આવી જાય છે.

(B) જો કોઈ પદાર્થની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા વધારે હોય,તો તે પ્રવાહીમાં ડૂબી જાય છે. બીજી તરફ,જો પદાર્થની ઘનતા પ્રવાહીની ઘનતા કરતા ઓછી હોય,તો તે પ્રવાહીની સપાટી પર તરે છે.
અહીં,પદાર્થની ઘનતા $= \frac{\text{પદાર્થનું દળ}}{\text{પદાર્થનું કદ}} = \frac{50}{20} = 2.5\, g\, cm^{-3}$.
પદાર્થની ઘનતા $(2.5\, g\, cm^{-3})$ એ પાણીની ઘનતા $(1\, g\, cm^{-3})$ કરતા વધારે છે. તેથી,પદાર્થ પાણીમાં ડૂબી જશે.

(N/A) પેકેટની ઘનતા = $\frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{500\, g}{350\, cm^3} \approx 1.43\, g/cm^3$ છે.
પેકેટની ઘનતા $(1.43\, g/cm^3)$ એ પાણીની ઘનતા $(1\, g/cm^3)$ કરતા વધારે હોવાથી,પેકેટ પાણીમાં ડૂબી જશે.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,સંપૂર્ણ ડૂબેલા પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ તે પદાર્થના કદ જેટલું હોય છે.
વિસ્થાપિત પાણીનું દળ = $\text{પેકેટનું કદ} \times \text{પાણીની ઘનતા} = 350\, cm^3 \times 1\, g/cm^3 = 350\, g$.