Mix Example - GRAVITATION Questions in Gujarati

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોય,ત્યારે તેનો પ્રવેગ માત્ર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે અને પદાર્થના દળનો તેમાં કોઈ ફાળો હોતો નથી.
ચંદ્રની સપાટીની નજીક બંને પદાર્થો મુક્ત પતન કરતા હોવાથી,તેઓ સમાન ગુરુત્વપ્રવેગ $(g_{moon})$ અનુભવશે.
જો તેઓ સમાન ઊંચાઈએથી અને સમાન સમયે છોડવામાં આવે,તો કોઈપણ ક્ષણે તેમનો વેગ સમાન હશે.
તેથી,તેઓ કોઈપણ ક્ષણે સમાન વેગ ધરાવશે.

(B) પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી છે.
પરિણામે,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી સપાટી સુધીનું અંતર ધ્રુવો કરતા વિષુવવૃત્ત પર વધારે હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $g$ એ ત્રિજ્યા $(R)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
વિષુવવૃત્ત પર ત્રિજ્યા $R$ સૌથી વધુ હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર સૌથી ઓછું હોય છે.

(C) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા અને $r$ અંતરે રહેલા બે પદાર્થો વચ્ચેનું બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બંને પદાર્થોના દળ અડધા કરવામાં આવે,ત્યારે નવા દળ $m_1' = \frac{m_1}{2}$ અને $m_2' = \frac{m_2}{2}$ થાય છે.
નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F'$ એ $F' = G \frac{(\frac{m_1}{2})(\frac{m_2}{2})}{r^2} = G \frac{m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4} F$ થાય છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F/4$ થઈ જશે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર ગતિમાં હોય છે,ત્યારે તે કેન્દ્રગામી બળ અનુભવે છે જે તેને વર્તુળાકાર માર્ગ પર જાળવી રાખે છે.
કોઈપણ ક્ષણે,પદાર્થનો વેગ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે દોરી તૂટી જાય છે,ત્યારે પથ્થર પર કેન્દ્રગામી બળ લાગતું બંધ થઈ જાય છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,પદાર્થ તે ક્ષણે તેના વેગની દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
તેથી,પથ્થર જે બિંદુએ દોરી તૂટી હતી ત્યાં વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરશે.

$(A)$ પ્લવનના નિયમ મુજબ, પદાર્થનું વજન તે પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે।
ધારો કે પદાર્થનું કુલ કદ $V$ છે અને પદાર્થની ઘનતા $d$ છે।
પદાર્થનું વજન = $V \cdot d \cdot g$.
જો પદાર્થના કદનો $f$ જેટલો ભાગ પ્રવાહીની બહાર હોય, તો પ્રવાહીની અંદર રહેલું કદ $V_{in} = V(1 - f)$ થાય।
વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન = $V(1 - f) \cdot d_{liquid} \cdot g$.
બંનેને સરખાવતા: $V \cdot d \cdot g = V(1 - f) \cdot d_{liquid} \cdot g$, જેનું સાદું રૂપ $d = (1 - f) \cdot d_{liquid}$ અથવા $d_{liquid} = \frac{d}{1 - f}$ થાય છે।
$d_1$ માટે, $f_1 = \frac{1}{9}$, તેથી $d_1 = \frac{d}{1 - 1/9} = \frac{d}{8/9} = 1.125d$.
$d_2$ માટે, $f_2 = \frac{2}{11}$, તેથી $d_2 = \frac{d}{1 - 2/11} = \frac{d}{9/11} = 1.222d$.
$d_3$ માટે, $f_3 = \frac{3}{7}$, તેથી $d_3 = \frac{d}{1 - 3/7} = \frac{d}{4/7} = 1.75d$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા, આપણને $1.125d < 1.222d < 1.75d$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $d_1 < d_2 < d_3$.

(B) સંબંધ $F = G \frac{Mm}{d^2}$ એ ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમને દર્શાવે છે.
આ સૂત્રમાં,$G$ ને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેને 'સાર્વત્રિક' કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેનું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં અચળ રહે છે,પછી ભલે તે સ્થાન,દળની પ્રકૃતિ અથવા તેમની વચ્ચેના માધ્યમ ગમે તે હોય.
તેનું મૂલ્ય દરેક જગ્યાએ આશરે $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચું વિધાન છે.

(C) ન્યૂટનનો સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ જણાવે છે કે વિશ્વનો દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક બળથી આકર્ષે છે,જે તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$m_1$ અને $m_2$ એ બે પદાર્થોના દળ છે અને $r$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
આ નિયમ દળ ધરાવતા તમામ પદાર્થોને લાગુ પડતો હોવાથી,તે વિશ્વમાં દળ ધરાવતા કોઈપણ બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દર્શાવે છે.

(D) $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સાર્વત્રિક અચળાંકનું મૂલ્ય સમગ્ર બ્રહ્માંડમાં સમાન રહે છે,પછી ભલે તે કોઈ પણ સ્થાન હોય,પદાર્થોનું દળ ગમે તે હોય અથવા તેમની વચ્ચેનું અંતર ગમે તે હોય.
તેથી,$G$ નું મૂલ્ય પૃથ્વીના દળ અને ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર છે.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ અનુસાર,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો દરેક કણનું દળ બમણું કરવામાં આવે,તો નવા દળ $m_1' = 2m_1$ અને $m_2' = 2m_2$ થાય છે.
નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = G \frac{(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \times (G \frac{m_1 m_2}{r^2}) = 4F$.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ મૂળ મૂલ્ય કરતા $4$ ગણું થઈ જશે.

(B) વાતાવરણ એ પૃથ્વીની આસપાસ આવેલું વાયુઓનું એક પડ છે.
આ વાયુના અણુઓ દળ ધરાવે છે અને પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને આધીન છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ એ બળ તરીકે કાર્ય કરે છે જે આ વાયુઓને પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રાખે છે અને તેમને અવકાશમાં જતા અટકાવે છે.
તેથી,વાતાવરણ પૃથ્વી સાથે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા જકડાયેલું છે.

(C) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે બિંદુવત પદાર્થો વચ્ચે લાગતું બળ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
જો $m_1 = 1 \text{ એકમ}$,$m_2 = 1 \text{ એકમ}$,અને $r = 1 \text{ એકમ}$ હોય,તો $F = G \frac{1 \times 1}{1^2} = G$ થાય.
તેથી,એકમ અંતરે રહેલા બે એકમ બિંદુવત દળ વચ્ચેના આકર્ષણ બળને સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G$ કહેવામાં આવે છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ શૂન્ય હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વજન $(W)$ એ દળ $(m)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નો ગુણાકાર છે,જેનું સૂત્ર $W = m \times g$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગ $0$ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર પદાર્થનું વજન $m \times 0 = 0$ થશે.

(A) કોઈ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલ પ્રવાહીનું વજન એ પદાર્થને પ્રવાહીમાં ડૂબાડતી વખતે તેના વજનમાં થયેલા ઘટાડા જેટલું હોય છે.
વજનમાં ઘટાડો = હવામાં વજન - પાણીમાં વજન.
વજનમાં ઘટાડો = $10 \, N - 8 \, N = 2 \, N$.
આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ એ પદાર્થ દ્વારા વિસ્થાપિત થયેલ પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે,જે વજનમાં થયેલા આભાસી ઘટાડાની બરાબર છે.

(B) દબાણ $(P)$ એ બળ $(F)$ અને તેના પર લાગતા ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $P = F/A$ છે.
બોક્સનું વજન (બળ) ત્રણેય કિસ્સાઓમાં સમાન રહેતું હોવાથી,દબાણ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto 1/A)$.
મહત્તમ દબાણ મેળવવા માટે,પાયાનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
ત્રણ સંભવિત પાયાના ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$1$. લંબાઈ $\times$ પહોળાઈ = $60 \,cm \times 40 \,cm = 2400 \,cm^2$
$2$. પહોળાઈ $\times$ ઊંચાઈ = $40 \,cm \times 20 \,cm = 800 \,cm^2$
$3$. ઊંચાઈ $\times$ લંબાઈ = $20 \,cm \times 60 \,cm = 1200 \,cm^2$
આની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $800 \,cm^2$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે પહોળાઈ અને ઊંચાઈ પાયો બનાવે છે.
તેથી,જ્યારે પહોળાઈ અને ઊંચાઈ પાયો બનાવે ત્યારે દબાણ મહત્તમ હોય છે.

(C) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બે પદાર્થો વચ્ચેની પરસ્પર આંતરક્રિયા હોવાથી,પૃથ્વી દ્વારા સફરજન પર લાગતું બળ $(F_1)$ અને સફરજન દ્વારા પૃથ્વી પર લાગતું બળ $(F_2)$ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે.
તેથી,$F_1 = F_2$.

(N/A) ગ્રહને સૂર્યની આસપાસ ફરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળનો સ્ત્રોત સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,આ બળ $F$ નું સૂત્ર $F = G \frac{M \times m}{r^2}$ છે,જ્યાં $M$ એ સૂર્યનું દળ છે,$m$ એ ગ્રહનું દળ છે,$r$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે અને $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે.
તેથી,આ બળ ગ્રહ અને સૂર્યના દળના ગુણાકાર $(M \times m)$ પર આધાર રાખે છે અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગ $(r^2)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(NONE) બંને પથ્થરો એક જ સમયે જમીન પર પહોંચશે. આનું કારણ એ છે કે બંને પથ્થરોની ઉર્ધ્વ ગતિ સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ દ્વારા સંચાલિત થાય છે અને તેઓ સમાન ઊંચાઈ $(h)$ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ પથ્થરને આપવામાં આવેલો સમક્ષિતિજ વેગ તેની ઉર્ધ્વ ગતિ અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ નીચે પડવા માટે લાગતા સમયને અસર કરતું નથી,જે ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા સમજાવી શકાય છે,જ્યાં $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.

(B) ચંદ્ર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા કેન્દ્રગામી બળને કારણે પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે.
જો પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચાનક શૂન્ય થઈ જાય,તો કેન્દ્રગામી બળ પણ શૂન્ય થઈ જશે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,ગતિમાન પદાર્થ જ્યાં સુધી તેના પર કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી તે સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
તેથી,જે ક્ષણે ગુરુત્વાકર્ષણ શૂન્ય થાય છે,તે ક્ષણે ચંદ્ર તેની વર્તુળાકાર કક્ષાના સ્પર્શકની દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું શરૂ કરશે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,જેને $g$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે પૃથ્વીની સપાટી પર સમાન નથી.
પૃથ્વીના પરિભ્રમણ અને તેના વિષુવવૃત્તીય ઉપસેલા ભાગને કારણે,પૃથ્વીની ત્રિજ્યા ધ્રુવો કરતા વિષુવવૃત્ત પર વધારે છે.
સૂત્ર $g = GM/R^2$ મુજબ,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે,$g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત પર ઓછું અને ધ્રુવો પર વધારે હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $h = (1/2)gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t = \sqrt{2h/g}$ મળે છે.
વિષુવવૃત્ત પર $g$ નું મૂલ્ય ઓછું હોવાથી,સપાટી પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ ધ્રુવોની સરખામણીમાં વિષુવવૃત્ત પર વધારે હશે.
તેથી,પેકેટોને સમાન સમય લાગશે નહીં; વિષુવવૃત્ત પર ફેંકવામાં આવેલ પેકેટને સપાટી પર પહોંચતા વધુ સમય લાગશે.

(D) ચંદ્ર પર કોઈપણ પદાર્થનું વજન પૃથ્વી પરના તેના વજનના $1/6$ ગણું હોય છે કારણ કે ચંદ્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_m)$ એ પૃથ્વી પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_e)$ ના $1/6$ ગણો છે.
વ્યક્તિ દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ સમાન રહેતું હોવાથી,દળ $(m)$ અને બળ $(F)$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = m \times g$ છે.
પૃથ્વી પર: $F = 15\, kg \times g_e$.
ચંદ્ર પર: $F = m_{moon} \times g_m = m_{moon} \times (g_e / 6)$.
બળોને સરખાવતા: $15 \times g_e = m_{moon} \times (g_e / 6)$.
$m_{moon}$ માટે ઉકેલતા: $m_{moon} = 15 \times 6 = 90\, kg$.
તેથી,તે વ્યક્તિ ચંદ્ર પર મહત્તમ $90\, kg$ દળ ઉઠાવી શકે છે.

(A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $g = \frac{GM}{R^2}$,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ તેની ત્રિજ્યા છે.
આના પરથી,આપણે દળ $M$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $M = \frac{g R^2}{G}$.
પૃથ્વીની ઘનતા $D$ ને એકમ કદ દીઠ દળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $D = \frac{M}{V}$.
પૃથ્વીને ગોળાકાર ધારતા,તેનું કદ $V$ નીચે મુજબ મળે છે: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
ઘનતાના સૂત્રમાં $M$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$D = \frac{g R^2 / G}{4/3 \pi R^3} = \frac{g R^2}{G} \times \frac{3}{4 \pi R^3}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $D = \frac{3g}{4 \pi G R}$.

(C) સૂર્યનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પૃથ્વીને તેની કક્ષામાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
આ બળ પૃથ્વીના વેગને લંબ રૂપે કાર્ય કરે છે,જે વર્તુળાકાર માર્ગ જાળવી રાખવા માટે તેની દિશા સતત બદલે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિની જરૂરિયાતો સાથે બરાબર સંતુલિત હોવાથી,પૃથ્વી ન તો સૂર્યમાં પડે છે કે ન તો અવકાશમાં દૂર ફેંકાઈ જાય છે.

(N/A) પદાર્થનું વજન પૃથ્વીના દળ $(M)$ ના સમપ્રમાણમાં અને પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
પદાર્થનું વજન $\propto \frac{M}{R^2}$.
મૂળ વજન $W_0 = mg = G \frac{Mm}{R^2}$ છે.
કાલ્પનિક કિસ્સામાં,નવું દળ $M' = 4M$ અને નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ છે (વ્યાસ અડધો થવાથી ત્રિજ્યા પણ અડધી થાય છે).
નવું વજન $W_n$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W_n = G \frac{M'm}{(R')^2} = G \frac{(4M)m}{(\frac{R}{2})^2} = G \frac{4Mm}{\frac{R^2}{4}} = 16 \times (G \frac{Mm}{R^2}) = 16 W_0$.
તેથી,પદાર્થનું વજન તેના મૂળ મૂલ્ય કરતા $16$ ગણું થઈ જશે.

(N/A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,બે પદાર્થો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $(F)$ તેમના દળ ($m_{1}$ અને $m_{2}$) ના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતર $(d)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $F \propto m_{1} m_{2}$ અને $F \propto \frac{1}{d^{2}}$.
આ ધારણા ખોટી છે. મુક્ત પતન (free-fall) દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ એકસાથે બાંધેલી બે ઈંટો એક જ ઈંટ જેટલી જ ઝડપે નીચે પડશે. આનું કારણ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ એ પડતા પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે. બંને પદાર્થો સમાન પ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^{2})$ અનુભવતા હોવાથી,તેઓ એક જ સમયે જમીન પર પહોંચશે.

(N/A) $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરેલા પદાર્થ માટે,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ એ ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $h_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$.
બીજા પદાર્થ માટે: $h_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ છે.
$(i)$ જો એક પદાર્થ પોલો અને બીજો નક્કર હોય,તો ગુણોત્તર સમાન રહે છે કારણ કે ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ એ પદાર્થના દળ અને ઘનતા પર આધારિત નથી.
(ii) જો બંને પોલા હોય,તો પણ સમાન કારણસર ગુણોત્તર સમાન જ રહે છે. મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થનો પ્રવેગ તેના દળ,આકાર કે કદ પર આધાર રાખતો નથી.

(N/A) $(i)$ સમઘન સંતૃપ્ત ક્ષારના દ્રાવણમાં વધુ ઉત્પ્લાવક બળ અનુભવશે કારણ કે ઉત્પ્લાવક બળ પ્રવાહીની ઘનતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F_b = \rho V g)$. ક્ષારના દ્રાવણની ઘનતા પાણી કરતા વધારે હોવાથી,ક્ષારના દ્રાવણમાં ઉત્પ્લાવક બળ વધારે હોય છે.
$(ii)$ નાનો સમઘન ($4\, cm$ બાજુ) ઓછું ઉત્પ્લાવક બળ અનુભવશે કારણ કે ઉત્પ્લાવક બળ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના કદના સમપ્રમાણમાં હોય છે. નાના સમઘનનું કદ શરૂઆતના સમઘન કરતા ઓછું હોવાથી,વિસ્થાપિત પાણીનું કદ ઓછું હશે,પરિણામે ઉત્પ્લાવક બળ ઓછું લાગશે.
$(b)$ દડાનું કદ $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{4\, kg}{4000\, kg\, m^{-3}} = 10^{-3}\, m^3$.
ઉત્પ્લાવક બળ $(F_b)$ = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન = $\text{પાણીની ઘનતા} \times \text{દડાનું કદ} \times g$.
$F_b = 1000\, kg\, m^{-3} \times 10^{-3}\, m^3 \times 10\, m\, s^{-2} = 10\, N$.

(N/A) મુક્ત પતન એટલે જ્યારે કોઈ પદાર્થ માત્ર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ નીચે પડતો હોય. આ સ્થિતિમાં પદાર્થ પર હવાના અવરોધ જેવું અન્ય કોઈ બળ કાર્ય કરતું નથી. મુક્ત પતન દરમિયાન પદાર્થ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ જેટલો પ્રવેગ અનુભવે છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પૃથ્વીની સપાટી તરફ મુક્ત પતન કરતો પદાર્થ તેનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે. ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ દડાને ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે પૃથ્વી દ્વારા પદાર્થ પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે તે પૃથ્વી તરફ પ્રવેગિત થાય છે.

(N/A) પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પાસે થોડી ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પાસે ઉપસેલી છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા $R$ ઓછી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ જણાવે છે કે વિશ્વમાં દરેક પદાર્થ બીજા દરેક પદાર્થને એક એવા બળથી આકર્ષે છે જે તેમના દળના ગુણાકાર $(M_1 \times M_2)$ ના સમપ્રમાણમાં અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર $(r^2)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે, આને $F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં $F$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે, $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે, $M_1$ અને $M_2$ એ બે પદાર્થોના દળ છે અને $r$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ ધ્રુવો પરથી ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પરથી ઉપસેલી હોવાથી,વિષુવવૃત્તની સરખામણીમાં ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા $R$ ઓછી હોય છે.
$g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(g \propto \frac{1}{R^2})$,ધ્રુવો પર ઓછી ત્રિજ્યા હોવાને કારણે $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે.
તેનાથી ઉલટું,વિષુવવૃત્ત પર ત્રિજ્યા વધારે હોવાથી $g$ નું મૂલ્ય ઓછું મળે છે.

(C) મુક્ત પતન દરમિયાન,પદાર્થ પર માત્ર પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પદાર્થમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર હોય છે. આ પ્રવેગને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જે પૃથ્વીની સપાટીની નજીક આશરે $9.8 \ m/s^2$ હોય છે. તેથી,મુક્ત પતન કરતા તમામ પદાર્થો માટે,પછી ભલે તે મોટા હોય કે નાના,પ્રવેગ અચળ રહે છે.

(C) દળ એટલે પદાર્થમાં રહેલા દ્રવ્યનો જથ્થો.
તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે સ્થાન,ઊંચાઈ કે ઊંડાઈ સાથે બદલાતો નથી.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર પદાર્થનું દળ પૃથ્વી પરના અન્ય કોઈપણ સ્થાન જેટલું જ રહે છે.

(A) હા,ગુરુત્વાકર્ષણ બળો ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરે છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક આઘાત (action) માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રત્યાઘાત (reaction) હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણના કિસ્સામાં,જો પદાર્થ $A$ એ પદાર્થ $B$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે,તો પદાર્થ $B$ પણ તે જ સમયે પદાર્થ $A$ પર એટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લગાડે છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળ માત્ર પદાર્થોના દળ અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $G$ એ એક સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે પદાર્થો વચ્ચેના માધ્યમ પર આધાર રાખતો નથી.
તેથી,પદાર્થો હવામાં હોય કે અન્ય કોઈ માધ્યમમાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સમાન રહે છે.
આમ,હવામાં લાગતા બળ અને અન્ય કોઈ માધ્યમમાં લાગતા બળનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$g = \frac{GM}{R^2}$
જ્યાં:
$G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.
$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.

(C) ના,કોઈ પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રથી સુરક્ષિત (shield) કરવું શક્ય નથી.
આનું કારણ એ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ એક મૂળભૂત આંતરક્રિયા છે જે બ્રહ્માંડના તમામ દ્રવ્યમાન ધરાવતા પદાર્થો વચ્ચે કાર્ય કરે છે.
વિદ્યુત અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્રોથી વિપરીત,જેને અમુક પદાર્થો દ્વારા રોકી શકાય છે (જેમ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર માટે ફેરાડે કેજ),ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બે પદાર્થો વચ્ચેના માધ્યમની પ્રકૃતિથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કોઈ પણ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ સામે કવચ (shield) તરીકે કામ કરી શકતો નથી.

(C) ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ નું સૂત્ર $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $G$,$\pi$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$g \propto \rho$ થાય.
જો ઘનતા $\rho$ બમણી કરવામાં આવે,તો નવો ગુરુત્વાકર્ષણીય પ્રવેગ $g'$ એ $g' = \frac{4}{3} \pi G (2\rho) R = 2g$ થશે.
તેથી,ગ્રહ પર $g$ નું મૂલ્ય બમણું થઈ જાય છે.

(B) પૃથ્વી તરફ પડતા પદાર્થનો ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આ સૂત્રમાં પડતા પદાર્થનું દળ $(m)$ આવતું ન હોવાથી,પ્રવેગ પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,હવાનો અવરોધ ન હોય ત્યારે તમામ પદાર્થો તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન પ્રવેગથી નીચે પડે છે.

(C) જડત્વનું દળ (inertial mass) એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે જે બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે પ્રવેગ સામેના તેના અવરોધને માપે છે. ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં સમાનતાના સિદ્ધાંત (principle of equivalence) મુજબ,જડત્વનું દળ એ ગુરુત્વાકર્ષણીય દળને સમાન હોય છે,પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણ પોતે પદાર્થના જડત્વના દળના મૂલ્યને બદલતું કે પ્રભાવિત કરતું નથી. તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણની જડત્વના દળ પર કોઈ અસર થતી નથી.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પૃથ્વીનો આકાર: પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી; તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી છે. આ કારણે,ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્ત કરતા ઓછી હોવાથી,ધ્રુવો પર $g$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે.
$2$. પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ: પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ કેન્દ્રત્યાગી બળ ઉત્પન્ન કરે છે જે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણને ઘટાડે છે,ખાસ કરીને વિષુવવૃત્ત પર.
$3$. અક્ષાંશ: પૃથ્વીની ત્રિજ્યા અક્ષાંશ સાથે બદલાતી હોવાથી,$g$ નું મૂલ્ય પણ તે મુજબ બદલાય છે.
$4$. ઊંચાઈ: જેમ આપણે પૃથ્વીની સપાટીથી દૂર જઈએ છીએ (ઊંચાઈ વધે છે),તેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
$5$. ઊંડાઈ: જેમ આપણે પૃથ્વીની અંદર જઈએ છીએ (ઊંડાઈ વધે છે),તેમ $g$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
આમ,$g$ નું મૂલ્ય પૃથ્વીના આકાર,પરિભ્રમણ,અક્ષાંશ,ઊંચાઈ અને ઊંડાઈ પર આધાર રાખે છે.

(B) ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g = \frac{GM}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ તે ધ્રુવો પર થોડી ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ઉપસેલી હોવાથી,ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા $R$ એ વિષુવવૃત્ત પરની ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઓછી હોય છે.
$g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(g \propto \frac{1}{R^2})$,ધ્રુવો પર ત્રિજ્યા ઓછી હોવાને કારણે ત્યાં $g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે મળે છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ એ $g = GM/R^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી પરંતુ ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી હોવાથી,ધ્રુવો પરની ત્રિજ્યા $(R_p)$ એ વિષુવવૃત્તની ત્રિજ્યા $(R_e)$ કરતા ઓછી હોય છે.
$g$ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી $(g \propto 1/R^2)$,ધ્રુવો પર ઓછી ત્રિજ્યા હોવાને કારણે $g$ નું મૂલ્ય વધારે મળે છે $(g_p > g_e)$.
વજનની વ્યાખ્યા $W = mg$ છે. પદાર્થનું દળ $(m)$ અચળ રહેતું હોવાથી અને $g_p > g_e$ હોવાથી,$mg_p > mg_e$ સાબિત થાય છે.
તેથી,વિષુવવૃત્ત કરતા ધ્રુવો પર પદાર્થનું વજન વધારે હોય છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_h = g(1 - 2h/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g_d = g(1 - d/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન અંતર $h = d = 1 \, km$ માટે,આપણે ગુરુત્વપ્રવેગમાં થતા ઘટાડાની સરખામણી કરીએ છીએ.
ઊંચાઈ $h$ પર,ઘટાડો $2h/R$ છે,જ્યારે ઊંડાઈ $d$ પર,ઘટાડો $d/R$ છે.
જેથી $2h/R > d/R$ હોવાથી,ઊંચાઈ $h$ પર $g$ નું મૂલ્ય ઊંડાઈ $d$ કરતા વધારે ઘટે છે.
તેથી,પદાર્થનું વજન પૃથ્વીની સપાટીથી $1 \, km$ નીચે વધારે હશે.

(C) પદાર્થનું વજન પૃથ્વી દ્વારા તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(W = mg)$ દ્વારા નક્કી થાય છે. સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ એ એક કક્ષીય ગતિ છે,જે પૃથ્વીની સપાટી પર રહેલી વસ્તુઓ પર પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર કરતી નથી. તેથી,પૃથ્વીના પરિભ્રમણની પદાર્થના વજન પર કોઈ અસર થતી નથી.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ નું મૂલ્ય અચળ નથી.
પૃથ્વી સંપૂર્ણ ગોળાકાર નથી (તે ધ્રુવો પર ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પર ફૂલેલી છે),તેથી પૃથ્વીના કેન્દ્રથી સપાટી સુધીનું અંતર ધ્રુવો પર ઓછું અને વિષુવવૃત્ત પર વધારે હોય છે.
સૂત્ર $g = GM/R^2$ મુજબ,$g$ નું મૂલ્ય ત્રિજ્યા $(R)$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$g$ નું મૂલ્ય ધ્રુવો પર મહત્તમ અને વિષુવવૃત્ત પર ન્યૂનતમ હોય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(u_x = u \cos \theta)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(u_y)$ બદલાય છે.
$(i)$ પ્રક્ષિપ્ત બિંદુએ ઝડપ મહત્તમ હોય છે કારણ કે અહીં શિરોલંબ ઘટક તેનું મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવે છે.
$(ii)$ ગતિપથના સૌથી ઊંચા બિંદુએ ઝડપ ન્યૂનતમ હોય છે કારણ કે ત્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,અને માત્ર અચળ સમક્ષિતિજ ઘટક $(u \cos \theta)$ બાકી રહે છે.

(B) હવામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા અનુસરવામાં આવતા માર્ગને,જે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રવેગને આધીન હોય છે,તેને $Trajectory$ (પ્રક્ષેપ પથ) કહેવામાં આવે છે. આ માર્ગ સામાન્ય રીતે પરવલયાકાર (parabolic) હોય છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ એ એક એવી વસ્તુ છે જેને હવામાં ફેંકવામાં આવે છે,જેના પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ કાર્ય કરે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થને સમક્ષિતિજ સાથે અમુક ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ઉર્ધ્વ સમતલમાં ગતિ કરે છે.
સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે (હવાનો અવરોધ અવગણતા),જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉર્ધ્વ વેગ બદલાય છે.
આ બંને ગતિઓના સંયોજનને કારણે જે વક્ર માર્ગ રચાય છે તેને $Parabola$ (પરવલય) કહેવામાં આવે છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $(r)$ અંતરે ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ નું સૂત્ર $g' = g(1 - d/R)$ છે,જ્યાં $(d)$ એ સપાટીથી ઊંડાઈ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર,ઊંડાઈ $(d)$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(R)$ જેટલી હોય છે.
સૂત્રમાં $d = R$ મૂકતા,આપણને $g' = g(1 - R/R) = g(1 - 1) = 0$ મળે છે.
તેથી,પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $0 \ m/s^2$ હોય છે.