Mix Example - GRAVITATION Questions in Hindi

(A) जब कोई वस्तु मुक्त रूप से गिरती है,तो उसका त्वरण केवल गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है और वस्तु के द्रव्यमान की इसमें कोई भूमिका नहीं होती है।
चूंकि दोनों वस्तुएं चंद्रमा की सतह के निकट मुक्त रूप से गिर रही हैं,इसलिए वे समान गुरुत्वीय त्वरण $(g_{moon})$ का अनुभव करेंगी।
यदि उन्हें समान ऊंचाई से और एक ही समय पर गिराया जाता है,तो किसी भी क्षण उनका वेग समान होगा।
अतः,वे किसी भी क्षण समान वेग रखेंगी।

(B) पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है।
परिणामस्वरूप,पृथ्वी के केंद्र से सतह की दूरी ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर अधिक होती है।
गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $g$ त्रिज्या $(R)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
चूंकि भूमध्य रेखा पर त्रिज्या $R$ सबसे अधिक होती है,इसलिए $g$ का मान भूमध्य रेखा पर सबसे कम होता है।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच,जो $r$ दूरी पर स्थित हैं,बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब दोनों वस्तुओं के द्रव्यमान को आधा कर दिया जाता है,तो नए द्रव्यमान $m_1' = \frac{m_1}{2}$ और $m_2' = \frac{m_2}{2}$ हो जाते हैं।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = G \frac{(\frac{m_1}{2})(\frac{m_2}{2})}{r^2} = G \frac{m_1 m_2}{4r^2} = \frac{1}{4} F$।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल $F/4$ हो जाएगा।

(D) जब कोई वस्तु वृत्ताकार गति में होती है,तो वह अभिकेंद्र बल का अनुभव करती है जो उसे वृत्ताकार पथ पर बनाए रखता है।
किसी भी क्षण,वस्तु का वेग वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
जब धागा टूट जाता है,तो पत्थर पर अभिकेंद्र बल कार्य करना बंद कर देता है।
न्यूटन के गति के प्रथम नियम के अनुसार,वस्तु उस क्षण अपने वेग की दिशा में गति करना जारी रखेगी।
इसलिए,पत्थर उस बिंदु पर जहाँ धागा टूटा था,वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय एक सीधी रेखा में गति करेगा।

$(A)$ प्लवन के नियम के अनुसार, वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए वस्तु का कुल आयतन $V$ है और वस्तु का घनत्व $d$ है।
वस्तु का भार = $V \cdot d \cdot g$.
यदि आयतन का $f$ भाग द्रव के बाहर है, तो द्रव के अंदर का आयतन $V_{in} = V(1 - f)$ होगा।
विस्थापित द्रव का भार = $V(1 - f) \cdot d_{liquid} \cdot g$.
दोनों को बराबर करने पर: $V \cdot d \cdot g = V(1 - f) \cdot d_{liquid} \cdot g$, जिसे सरल करने पर $d = (1 - f) \cdot d_{liquid}$ या $d_{liquid} = \frac{d}{1 - f}$ प्राप्त होता है।
$d_1$ के लिए, $f_1 = \frac{1}{9}$, अतः $d_1 = \frac{d}{1 - 1/9} = \frac{d}{8/9} = 1.125d$.
$d_2$ के लिए, $f_2 = \frac{2}{11}$, अतः $d_2 = \frac{d}{1 - 2/11} = \frac{d}{9/11} = 1.222d$.
$d_3$ के लिए, $f_3 = \frac{3}{7}$, अतः $d_3 = \frac{d}{1 - 3/7} = \frac{d}{4/7} = 1.75d$.
इन मानों की तुलना करने पर, हमें $1.125d < 1.222d < 1.75d$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $d_1 < d_2 < d_3$।

(B) संबंध $F = G \frac{Mm}{d^2}$ न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को दर्शाता है।
इस सूत्र में,$G$ को सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक के रूप में जाना जाता है।
इसे 'सार्वत्रिक' इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसका मान पूरे ब्रह्मांड में स्थिर रहता है,चाहे स्थान,द्रव्यमान की प्रकृति या उनके बीच का माध्यम कुछ भी हो।
इसका मान हर जगह लगभग $6.673 \times 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ होता है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही कथन है।

(C) न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम बताता है कि ब्रह्मांड का प्रत्येक कण दूसरे कण को एक ऐसे बल से आकर्षित करता है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है,$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$m_1$ और $m_2$ दो पिंडों के द्रव्यमान हैं,और $r$ उनके बीच की दूरी है।
चूंकि यह नियम द्रव्यमान वाले सभी वस्तुओं पर लागू होता है,इसलिए यह ब्रह्मांड में द्रव्यमान रखने वाले किन्हीं भी दो पिंडों के बीच के गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन करता है।

(D) $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक को दर्शाता है।
परिभाषा के अनुसार,एक सार्वत्रिक नियतांक का मान पूरे ब्रह्मांड में समान रहता है,चाहे स्थान कोई भी हो,वस्तुओं का द्रव्यमान कुछ भी हो या उनके बीच की दूरी कुछ भी हो।
इसलिए,$G$ का मान पृथ्वी के द्रव्यमान और त्रिज्या से स्वतंत्र है।

(A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं के बीच का बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि प्रत्येक कण का द्रव्यमान दोगुना कर दिया जाए,तो नए द्रव्यमान $m_1' = 2m_1$ और $m_2' = 2m_2$ हो जाते हैं।
नया गुरुत्वाकर्षण बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' = G \frac{(2m_1)(2m_2)}{r^2} = 4 \times (G \frac{m_1 m_2}{r^2}) = 4F$.
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल मूल मान का $4$ गुना हो जाएगा।

(B) वायुमंडल पृथ्वी के चारों ओर गैसों की एक परत है।
इन गैस के अणुओं में द्रव्यमान होता है और ये पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के अधीन होते हैं।
गुरुत्वाकर्षण उस बल के रूप में कार्य करता है जो इन गैसों को पृथ्वी की सतह के करीब रखता है,जिससे उन्हें बाहरी अंतरिक्ष में जाने से रोका जा सके।
इसलिए,वायुमंडल पृथ्वी से गुरुत्वाकर्षण द्वारा जुड़ा हुआ है।

(C) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो बिंदु द्रव्यमानों के बीच बल $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
यदि $m_1 = 1 \text{ इकाई}$,$m_2 = 1 \text{ इकाई}$,और $r = 1 \text{ इकाई}$ है,तो $F = G \frac{1 \times 1}{1^2} = G$ होगा।
अतः,इकाई दूरी से अलग दो इकाई बिंदु द्रव्यमानों के बीच आकर्षण बल संख्यात्मक रूप से सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के बराबर होता है।

(D) पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ शून्य होता है।
हम जानते हैं कि भार $(W)$,द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का गुणनफल होता है,जिसे सूत्र $W = m \times g$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण $0$ है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र पर वस्तु का भार $m \times 0 = 0$ होगा।

(A) किसी वस्तु द्वारा विस्थापित द्रव का भार,द्रव में डुबोने पर वस्तु के भार में हुई कमी के बराबर होता है।
भार में कमी = हवा में भार - पानी में भार।
भार में कमी = $10 \, N - 8 \, N = 2 \, N$.
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,वस्तु पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल वस्तु द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है,जो भार में हुई आभासी कमी के बराबर है।

(B) दबाव $(P)$ को बल $(F)$ और उस पर कार्य करने वाले क्षेत्रफल $(A)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $P = F/A$ है।
चूंकि बॉक्स का वजन (बल) तीनों स्थितियों में समान रहता है,इसलिए दबाव सतह के क्षेत्रफल के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto 1/A)$।
अधिकतम दबाव प्राप्त करने के लिए,आधार का क्षेत्रफल न्यूनतम होना चाहिए।
तीन संभावित आधार क्षेत्रफल इस प्रकार हैं:
$1$. लंबाई $\times$ चौड़ाई = $60 \,cm \times 40 \,cm = 2400 \,cm^2$
$2$. चौड़ाई $\times$ ऊंचाई = $40 \,cm \times 20 \,cm = 800 \,cm^2$
$3$. ऊंचाई $\times$ लंबाई = $20 \,cm \times 60 \,cm = 1200 \,cm^2$
इनकी तुलना करने पर,न्यूनतम क्षेत्रफल $800 \,cm^2$ है,जो तब होता है जब चौड़ाई और ऊंचाई आधार बनाती हैं।
अतः,जब चौड़ाई और ऊंचाई आधार बनाती हैं,तो दबाव अधिकतम होता है।

(C) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल दो पिंडों के बीच एक पारस्परिक क्रिया है,इसलिए पृथ्वी द्वारा सेब पर लगाया गया बल $(F_1)$ और सेब द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया बल $(F_2)$ परिमाण में समान होते हैं।
अतः,$F_1 = F_2$।

(N/A) किसी ग्रह को सूर्य के चारों ओर घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल का स्रोत सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है।
न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,यह बल $F$ सूत्र $F = G \frac{M \times m}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M$ सूर्य का द्रव्यमान है,$m$ ग्रह का द्रव्यमान है,$r$ उनके बीच की दूरी है और $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
अतः,यह बल ग्रह और सूर्य के द्रव्यमानों के गुणनफल $(M \times m)$ पर निर्भर करता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग $(r^2)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(NONE) दोनों पत्थर एक ही समय में जमीन पर पहुंचेंगे। इसका कारण यह है कि दोनों पत्थरों की ऊर्ध्वाधर गति समान गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ द्वारा नियंत्रित होती है और उन्हें समान ऊंचाई $(h)$ से छोड़ा जाता है। पहले पत्थर को दिया गया क्षैतिज वेग उसकी ऊर्ध्वाधर गति या गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने में लगने वाले समय को प्रभावित नहीं करता है,जैसा कि गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा वर्णित है,जहाँ $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।

(B) $Moon$,$Earth$ के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव द्वारा प्रदान किए गए अभिकेंद्री बल (centripetal force) के कारण $Earth$ के चारों ओर घूमता है।
यदि $Earth$ का गुरुत्वाकर्षण बल अचानक शून्य हो जाता है,तो अभिकेंद्री बल भी शून्य हो जाएगा।
$Newton$ के गति के पहले नियम के अनुसार,गतिमान वस्तु तब तक सीधी रेखा में चलती रहेगी जब तक कि उस पर कोई बाहरी बल न लगे।
इसलिए,जिस क्षण गुरुत्वाकर्षण शून्य हो जाता है,उस क्षण $Moon$ अपनी वृत्ताकार कक्षा के स्पर्शरेखा की दिशा में एक सीधी रेखा में चलना शुरू कर देगा।

(B) गुरुत्वीय त्वरण,जिसे $g$ द्वारा दर्शाया जाता है,पृथ्वी की सतह पर एक समान नहीं होता है।
पृथ्वी के घूर्णन और उसके भूमध्यरेखीय उभार के कारण,पृथ्वी की त्रिज्या ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर अधिक होती है।
सूत्र $g = GM/R^2$ के अनुसार,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,$g$ का मान भूमध्य रेखा पर कम और ध्रुवों पर अधिक होता है।
गति के समीकरण $h = (1/2)gt^2$ का उपयोग करने पर,हमें $t = \sqrt{2h/g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि भूमध्य रेखा पर $g$ का मान कम है,इसलिए सतह तक पहुँचने में लगने वाला समय $t$ ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर अधिक होगा।
अतः,पैकेटों को समान समय नहीं लगेगा; भूमध्य रेखा पर गिराए गए पैकेट को सतह तक पहुँचने में अधिक समय लगेगा।

(D) चंद्रमा पर किसी वस्तु का भार पृथ्वी पर उसके भार का $1/6$ होता है क्योंकि चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_m)$ पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g_e)$ का $1/6$ है।
चूंकि व्यक्ति द्वारा लगाया गया बल समान रहता है,इसलिए द्रव्यमान $(m)$ और बल $(F)$ के बीच का संबंध $F = m \times g$ है।
पृथ्वी पर: $F = 15\, kg \times g_e$.
चंद्रमा पर: $F = m_{moon} \times g_m = m_{moon} \times (g_e / 6)$.
बलों की तुलना करने पर: $15 \times g_e = m_{moon} \times (g_e / 6)$.
$m_{moon}$ के लिए हल करने पर: $m_{moon} = 15 \times 6 = 90\, kg$.
अतः,वह व्यक्ति चंद्रमा पर अधिकतम $90\, kg$ द्रव्यमान उठा सकता है।

(A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र इस प्रकार है: $g = \frac{GM}{R^2}$,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
इससे,हम द्रव्यमान $M$ को इस प्रकार लिख सकते हैं: $M = \frac{g R^2}{G}$.
पृथ्वी का घनत्व $D$ प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान के रूप में परिभाषित है: $D = \frac{M}{V}$.
पृथ्वी को एक गोला मानते हुए,इसका आयतन $V$ है: $V = \frac{4}{3} \pi R^3$.
घनत्व के सूत्र में $M$ और $V$ के मान रखने पर:
$D = \frac{g R^2 / G}{4/3 \pi R^3} = \frac{g R^2}{G} \times \frac{3}{4 \pi R^3}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $D = \frac{3g}{4 \pi G R}$.

(C) सूर्य का गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी को उसकी कक्षा में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
यह बल पृथ्वी के वेग के लंबवत कार्य करता है,जो वृत्ताकार पथ को बनाए रखने के लिए इसकी दिशा को लगातार बदलता रहता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण खिंचाव वृत्ताकार गति की आवश्यकताओं द्वारा पूरी तरह से संतुलित होता है,इसलिए पृथ्वी न तो सूर्य में गिरती है और न ही अंतरिक्ष में दूर जाती है।

(N/A) किसी वस्तु का भार पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$ के सीधे आनुपातिक और पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
वस्तु का भार $\propto \frac{M}{R^2}$.
मूल भार $W_0 = mg = G \frac{Mm}{R^2}$ है।
काल्पनिक स्थिति में,नया द्रव्यमान $M' = 4M$ और नई त्रिज्या $R' = \frac{R}{2}$ है (चूंकि व्यास आधा हो गया है,इसलिए त्रिज्या भी आधी हो जाएगी)।
नया भार $W_n$ इस प्रकार होगा:
$W_n = G \frac{M'm}{(R')^2} = G \frac{(4M)m}{(\frac{R}{2})^2} = G \frac{4Mm}{\frac{R^2}{4}} = 16 \times (G \frac{Mm}{R^2}) = 16 W_0$.
अतः,वस्तु का भार उसके मूल मान का $16$ गुना हो जाएगा।

(N/A) न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार,दो पिंडों के बीच आकर्षण बल $(F)$ उनके द्रव्यमान ($m_{1}$ और $m_{2}$) के गुणनफल के सीधे आनुपातिक और उनके बीच की दूरी $(d)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $F \propto m_{1} m_{2}$ और $F \propto \frac{1}{d^{2}}$.
यह परिकल्पना गलत है। मुक्त पतन (free-fall) की स्थिति में,गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में एक साथ बंधी हुई दो ईंटें एक अकेली ईंट की तरह ही समान गति से नीचे गिरेंगी। इसका कारण यह है कि गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ गिरने वाली वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है। चूंकि दोनों वस्तुएं समान त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^{2})$ का अनुभव करती हैं,इसलिए वे एक ही समय में जमीन पर पहुंचेंगी।

(N/A) $h$ ऊंचाई से गिराई गई वस्तु के लिए,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ गति के समीकरण $h = \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पहली वस्तु के लिए: $h_1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$.
दूसरी वस्तु के लिए: $h_2 = \frac{1}{2} g t_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
लिए गए समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ है।
$(i)$ यदि एक वस्तु खोखली और दूसरी ठोस है,तो अनुपात समान रहता है क्योंकि गुरुत्वीय त्वरण $g$ वस्तु के द्रव्यमान और घनत्व पर निर्भर नहीं करता है।
(ii) यदि दोनों खोखली हैं,तो भी समान कारण से अनुपात वही रहता है। मुक्त पतन (free-fall) में,किसी वस्तु का त्वरण उसके द्रव्यमान,आकार या माप पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) $(i)$ घन संतृप्त नमक के घोल में अधिक उत्प्लावन बल का अनुभव करेगा क्योंकि उत्प्लावन बल द्रव के घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है $(F_b = \rho V g)$। चूंकि नमक के घोल का घनत्व पानी से अधिक होता है,इसलिए नमक के घोल में उत्प्लावन बल अधिक होता है।
$(ii)$ छोटा घन ($4\, cm$ भुजा) कम उत्प्लावन बल का अनुभव करेगा क्योंकि उत्प्लावन बल विस्थापित द्रव के आयतन के सीधे आनुपातिक होता है। चूंकि छोटे घन का आयतन प्रारंभिक घन से कम है,इसलिए विस्थापित पानी का आयतन कम होगा,जिसके परिणामस्वरूप उत्प्लावन बल कम होगा।
$(b)$ गेंद का आयतन $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{4\, kg}{4000\, kg\, m^{-3}} = 10^{-3}\, m^3$.
उत्प्लावन बल $(F_b)$ = विस्थापित द्रव का भार = $\text{पानी का घनत्व} \times \text{गेंद का आयतन} \times g$.
$F_b = 1000\, kg\, m^{-3} \times 10^{-3}\, m^3 \times 10\, m\, s^{-2} = 10\, N$.

(N/A) मुक्त पतन को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कोई वस्तु केवल गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में नीचे गिरती है,और उस पर हवा के प्रतिरोध जैसे अन्य कोई बल कार्य नहीं करते हैं। इस स्थिति में,वस्तु गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के बराबर त्वरण का अनुभव करती है।

(B) गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में पृथ्वी की सतह की ओर मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण है। उदाहरण के लिए,जब किसी गेंद को ऊंचाई से गिराया जाता है,तो पृथ्वी द्वारा वस्तु पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण वह पृथ्वी की ओर त्वरित होती है।

(N/A) पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है; यह ध्रुवों पर थोड़ी चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है। चूँकि भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ कम होती है,और $g$ का मान त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक होता है।

(N/A) गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम यह बताता है कि ब्रह्मांड में प्रत्येक वस्तु दूसरी वस्तु को एक ऐसे बल से आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमानों के गुणनफल $(M_1 \times M_2)$ के समानुपाती और उनके केंद्रों के बीच की दूरी $(r^2)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से, इसे $F = G \frac{M_1 M_2}{r^2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $F$ गुरुत्वाकर्षण बल है, $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, $M_1$ और $M_2$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान हैं, और $r$ उनके बीच की दूरी है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
चूंकि पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ कम होती है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$,इसलिए ध्रुवों पर कम त्रिज्या होने के कारण $g$ का मान अधिक होता है।
इसके विपरीत,भूमध्य रेखा पर त्रिज्या अधिक होने के कारण $g$ का मान कम होता है।

(C) मुक्त पतन के दौरान,वस्तु पर केवल पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,गुरुत्वाकर्षण के कारण किसी वस्तु में उत्पन्न त्वरण वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है। इस त्वरण को गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ कहा जाता है,जो पृथ्वी की सतह के निकट लगभग $9.8 \ m/s^2$ होता है। इसलिए,मुक्त पतन करने वाली सभी वस्तुओं के लिए,चाहे वे बड़ी हों या छोटी,त्वरण स्थिर रहता है।

(C) द्रव्यमान को किसी पिंड में निहित पदार्थ की मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह किसी वस्तु का आंतरिक गुण है और यह स्थान,ऊंचाई या गहराई के साथ नहीं बदलता है।
इसलिए,पृथ्वी के केंद्र पर किसी पिंड का द्रव्यमान उतना ही रहता है जितना कि पृथ्वी पर किसी अन्य स्थान पर होता है।

(A) हाँ,गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गति के तीसरे नियम का पालन करते हैं।
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
गुरुत्वाकर्षण के मामले में,यदि वस्तु $A$ वस्तु $B$ पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है,तो वस्तु $B$ भी उसी समय वस्तु $A$ पर उतना ही और विपरीत दिशा में गुरुत्वाकर्षण बल लगाती है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान वाले दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह बल केवल वस्तुओं के द्रव्यमान और उनके बीच की दूरी पर निर्भर करता है।
गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ एक सार्वत्रिक नियतांक है और यह पिंडों के बीच के माध्यम पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,गुरुत्वाकर्षण बल समान रहता है चाहे वस्तुएं हवा में हों या किसी अन्य माध्यम में।
अतः,हवा में बल और किसी अन्य माध्यम में बल का अनुपात $1: 1$ है।

(N/A) पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का व्यंजक निम्नलिखित है:
$g = \frac{GM}{R^2}$
जहाँ:
$G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है।
$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है।
$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।

(C) नहीं,किसी पिंड को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से सुरक्षित (shield) करना संभव नहीं है।
इसका कारण यह है कि गुरुत्वाकर्षण बल एक मौलिक अंतःक्रिया है जो ब्रह्मांड के सभी द्रव्यमानों के बीच कार्य करती है।
विद्युत या चुंबकीय क्षेत्रों के विपरीत,जिन्हें कुछ सामग्रियों द्वारा अवरुद्ध किया जा सकता है (जैसे विद्युत क्षेत्र के लिए फैराडे केज),गुरुत्वाकर्षण बल दो पिंडों के बीच मौजूद माध्यम की प्रकृति से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,कोई भी पदार्थ गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध कवच (shield) के रूप में कार्य नहीं कर सकता है।

(C) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ का सूत्र $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ होता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
चूँकि $G$,$\pi$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $g \propto \rho$ होता है।
यदि घनत्व $\rho$ को दोगुना कर दिया जाए,तो नया गुरुत्वीय त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{4}{3} \pi G (2\rho) R = 2g$ होगा।
अतः,ग्रह पर $g$ का मान दोगुना हो जाता है।

(B) पृथ्वी की ओर गिरते हुए किसी पिंड द्वारा अनुभव किया जाने वाला गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ सूत्र $g = \frac{GM}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि इस सूत्र में गिरते हुए पिंड का द्रव्यमान $(m)$ शामिल नहीं है,इसलिए त्वरण पिंड के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।
अतः,वायु प्रतिरोध की अनुपस्थिति में सभी वस्तुएं अपने द्रव्यमान की परवाह किए बिना समान त्वरण के साथ नीचे गिरती हैं।

(C) जड़त्वीय द्रव्यमान (inertial mass) किसी वस्तु का एक आंतरिक गुण है जो बल लगाए जाने पर त्वरण के प्रति उसके प्रतिरोध को मापता है। भौतिकी में तुल्यता के सिद्धांत (principle of equivalence) के अनुसार,जड़त्वीय द्रव्यमान गुरुत्वीय द्रव्यमान के बराबर होता है,लेकिन गुरुत्वाकर्षण स्वयं किसी वस्तु के जड़त्वीय द्रव्यमान के मान को न तो बदलता है और न ही प्रभावित करता है। इसलिए,गुरुत्वाकर्षण का जड़त्वीय द्रव्यमान पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

(D) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पृथ्वी का आकार: पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है; यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है। इस कारण,ध्रुवों पर त्रिज्या भूमध्य रेखा की तुलना में कम होती है,जिससे ध्रुवों पर $g$ का मान अधिक होता है।
$2$. पृथ्वी का घूर्णन: पृथ्वी का घूर्णन एक अपकेंद्री बल उत्पन्न करता है जो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण को कम करता है,विशेष रूप से भूमध्य रेखा पर।
$3$. अक्षांश: चूंकि पृथ्वी की त्रिज्या अक्षांश के साथ बदलती है,इसलिए $g$ का मान भी उसी के अनुसार बदलता है।
$4$. ऊँचाई: जैसे-जैसे हम पृथ्वी की सतह से दूर जाते हैं (ऊँचाई बढ़ती है),$g$ का मान घटता जाता है।
$5$. गहराई: जैसे-जैसे हम पृथ्वी के अंदर जाते हैं (गहराई बढ़ती है),$g$ का मान घटता जाता है।
अतः,$g$ का मान पृथ्वी के आकार,घूर्णन,अक्षांश,ऊँचाई और गहराई पर निर्भर करता है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण का मान $g = \frac{GM}{R^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी के केंद्र से दूरी है।
चूंकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए ध्रुवों पर त्रिज्या $R$ का मान भूमध्य रेखा की त्रिज्या $R$ से कम होता है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto \frac{1}{R^2})$,इसलिए ध्रुवों पर कम त्रिज्या होने के कारण वहाँ $g$ का मान भूमध्य रेखा की तुलना में अधिक होता है।

(N/A) गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान सूत्र $g = GM/R^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
चूंकि पृथ्वी पूर्णतः गोलाकार नहीं है,बल्कि ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है,इसलिए ध्रुवों पर त्रिज्या $(R_p)$ भूमध्य रेखा की त्रिज्या $(R_e)$ से कम होती है।
चूंकि $g$ त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(g \propto 1/R^2)$,इसलिए ध्रुवों पर कम त्रिज्या होने के कारण $g$ का मान अधिक होता है $(g_p > g_e)$।
भार को $W = mg$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि वस्तु का द्रव्यमान $(m)$ स्थिर रहता है और $g_p > g_e$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $mg_p > mg_e$।
अतः,भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर किसी वस्तु का भार अधिक होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_h = g(1 - 2h/R)$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से $d$ गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण $g_d = g(1 - d/R)$ द्वारा दिया जाता है।
समान दूरी $h = d = 1 \, km$ के लिए,हम गुरुत्वीय त्वरण में कमी की तुलना करते हैं।
ऊँचाई $h$ पर,कमी $2h/R$ है,जबकि गहराई $d$ पर,कमी $d/R$ है।
चूँकि $2h/R > d/R$,ऊँचाई $h$ पर $g$ का मान गहराई $d$ की तुलना में अधिक घटता है।
इसलिए,वस्तु का भार पृथ्वी की सतह से $1 \, km$ नीचे अधिक होगा।

(C) किसी वस्तु का भार पृथ्वी द्वारा उस पर लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल $(W = mg)$ द्वारा निर्धारित होता है। सूर्य के चारों ओर पृथ्वी का परिक्रमण एक कक्षीय गति है जो पृथ्वी की सतह पर स्थित वस्तुओं पर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को नहीं बदलती है। अतः,पृथ्वी के परिक्रमण का किसी वस्तु के भार पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

(B) यह कथन असत्य है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का मान स्थिर नहीं होता है।
चूँकि पृथ्वी एक पूर्ण गोला नहीं है (यह ध्रुवों पर चपटी और भूमध्य रेखा पर उभरी हुई है),इसलिए पृथ्वी के केंद्र से सतह की दूरी ध्रुवों पर कम और भूमध्य रेखा पर अधिक होती है।
सूत्र $g = GM/R^2$ के अनुसार,$g$ का मान त्रिज्या $(R)$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,$g$ का मान ध्रुवों पर अधिकतम और भूमध्य रेखा पर न्यूनतम होता है।

(A) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक $(u_x = u \cos \theta)$ पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।
हालाँकि,गुरुत्वाकर्षण के कारण वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(u_y)$ बदलता रहता है।
$(i)$ प्रक्षेपण बिंदु पर गति अधिकतम होती है क्योंकि यहाँ ऊर्ध्वाधर घटक का मान अधिकतम होता है।
$(ii)$ प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर गति न्यूनतम होती है क्योंकि वहाँ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जिससे केवल स्थिर क्षैतिज घटक $(u \cos \theta)$ ही शेष रहता है।

(B) हवा में फेंकी गई वस्तु द्वारा अनुसरण किए जाने वाले पथ को,जो केवल गुरुत्वाकर्षण के त्वरण के अधीन होता है,$Trajectory$ (प्रक्षेप पथ) कहा जाता है। यह पथ आमतौर पर परवलयाकार (parabolic) होता है।

(C) प्रक्षेप्य एक ऐसी वस्तु है जिसे हवा में फेंका जाता है,जिस पर केवल गुरुत्वाकर्षण का त्वरण कार्य करता है।
जब किसी वस्तु को क्षैतिज के साथ किसी कोण पर फेंका जाता है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में एक ऊर्ध्वाधर तल में गति करती है।
क्षैतिज वेग स्थिर रहता है (हवा के प्रतिरोध को नजरअंदाज करते हुए),जबकि गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर वेग बदलता रहता है।
इन दोनों गतियों के संयोजन के परिणामस्वरूप जो वक्र पथ बनता है,उसे $Parabola$ (परवलय) कहा जाता है।

(A) पृथ्वी के केंद्र से $(r)$ दूरी पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ का सूत्र $g' = g(1 - d/R)$ है,जहाँ $(d)$ सतह से गहराई है।
पृथ्वी के केंद्र पर,गहराई $(d)$ पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ के बराबर होती है।
सूत्र में $d = R$ रखने पर,हमें $g' = g(1 - R/R) = g(1 - 1) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,पृथ्वी के केंद्र पर गुरुत्वीय त्वरण का मान $0 \ m/s^2$ होता है।