यदि दो वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लंब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।

(N/A) मान लीजिए $O$ और $O^{\prime}$ केंद्र वाले दो वृत्त हैं जो $A$ और $B$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$AB$ दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है और $OO^{\prime}$ केंद्रों को जोड़ने वाला रेखाखंड है। मान लीजिए $OO^{\prime}$ और $AB$ एक-दूसरे को $M$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
यह सिद्ध करने के लिए कि $OO^{\prime}$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है,हम $OA, OB, O^{\prime}A$ और $O^{\prime}B$ को मिलाते हैं।
$\Delta OAO^{\prime}$ और $\Delta OBO^{\prime}$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$O^{\prime}A = O^{\prime}B$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OAO^{\prime} \cong \Delta OBO^{\prime}$।
अतः,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ द्वारा)।
अब,$\Delta AOM$ और $\Delta BOM$ में:
$OA = OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$OM = OM$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$\angle 1 = \angle 2$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$SAS$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta AOM \cong \Delta BOM$।
अतः,$AM = BM$ ($CPCT$ द्वारा) और $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ द्वारा)।
चूंकि $AB$ एक रेखाखंड है,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)।
इस प्रकार,$2 \angle 3 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$।
चूंकि $\angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ}$ और $AM = BM$,इसलिए $OO^{\prime}$,$AB$ का लंब समद्विभाजक है।