एक वृत्त का चाप दिया गया है,वृत्त को पूरा कीजिए।

दो सर्वांगसम वृत्त एक-दूसरे को बिंदुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A$ से होकर एक रेखाखंड $PAQ$ इस प्रकार खींचा गया है कि $P$ और $Q$ दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि $BP = BQ$ है।

यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के भीतर प्रतिच्छेद करती हैं,तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ केंद्र को वृत्त पर किसी भी बिंदु से मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त की त्रिज्या होती है।
$(ii)$ एक वृत्त में केवल सीमित संख्या में ही समान जीवाएँ हो सकती हैं।
$(iii)$ यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में विभाजित किया जाए,तो प्रत्येक एक दीर्घ चाप है।
$(iv)$ वृत्त की एक जीवा,जिसकी लंबाई उसकी त्रिज्या से दोगुनी है,वृत्त का व्यास है।
$(v)$ त्रिज्यखंड,जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र है।
$(vi)$ वृत्त एक समतल आकृति है।

सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेदी वृत्तों के केंद्रों को मिलाने वाली रेखा प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर समान कोण अंतरित करती है।

आकृति में,$\angle ABC = 69^{\circ}$ और $\angle ACB = 31^{\circ}$ है। $\angle BDC$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)