અ Gujarati
Textbook - Circles Questions in Gujarati
Class 9 Mathematics · Circles · Textbook - Circles
42+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 42 of 42 questions in Gujarati
1
Easy
ખાલી જગ્યા પૂરો:
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
$(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(ii)$ જે બિંદુનું વર્તુળના કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તે બિંદુ વર્તુળના . . . . . . માં આવેલું છે. (બહારના ભાગમાં / અંદરના ભાગમાં)
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ વર્તુળનો . . . . . . છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને . . . . . . કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને . . . . . . વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે . . . . . . ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.
Solution
(N/A) $(i)$ વર્તુળનું કેન્દ્ર હંમેશા વર્તુળના અંદરના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
$(ii)$ જો કોઈ બિંદુનું કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ તેનો વ્યાસ છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને અર્ધવર્તુળ કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને જીવા વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: અંદરનો ભાગ,વર્તુળ પોતે અને બહારનો ભાગ.
$(ii)$ જો કોઈ બિંદુનું કેન્દ્રથી અંતર તેની ત્રિજ્યા કરતાં વધારે હોય,તો તે બિંદુ વર્તુળના બહારના ભાગમાં આવેલું હોય છે.
$(iii)$ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા એ તેનો વ્યાસ છે.
$(iv)$ જ્યારે ચાપના અંત્યબિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય,ત્યારે તે ચાપને અર્ધવર્તુળ કહે છે.
$(v)$ વર્તુળનો વૃતખંડ એ ચાપ અને જીવા વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ જે સમતલ પર આવેલું છે,તેને તે ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરે છે: અંદરનો ભાગ,વર્તુળ પોતે અને બહારનો ભાગ.
0 likes
View Solution2
Easy
નીચેના વિધાનો સાચા છે કે ખોટા તે જણાવો. તમારા ઉત્તર માટે કારણો આપો.
$(i)$ વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$(ii)$ વર્તુળમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં જ સમાન જીવાઓ હોય છે.
$(iii)$ જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,તો દરેક ચાપ ગુરુચાપ છે.
$(iv)$ વર્તુળની જે જીવાની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય,તે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$(v)$ વૃતાંશ એ જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ એ સમતલીય આકૃતિ છે.
$(i)$ વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$(ii)$ વર્તુળમાં માત્ર મર્યાદિત સંખ્યામાં જ સમાન જીવાઓ હોય છે.
$(iii)$ જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,તો દરેક ચાપ ગુરુચાપ છે.
$(iv)$ વર્તુળની જે જીવાની લંબાઈ તેની ત્રિજ્યા કરતાં બમણી હોય,તે વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$(v)$ વૃતાંશ એ જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ વર્તુળ એ સમતલીય આકૃતિ છે.
Solution
(A-D) $(i)$ સાચું. વર્તુળના કેન્દ્રને વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતા રેખાખંડને ત્રિજ્યા કહેવાય છે.
$(ii)$ ખોટું. વર્તુળમાં અસંખ્ય સમાન લંબાઈની જીવાઓ હોઈ શકે છે.
$(iii)$ ખોટું. જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વહેંચવામાં આવે,તો દરેક ચાપનું માપ $120^{\circ}$ થાય,જે અર્ધવર્તુળ $(180^{\circ})$ કરતા નાનું હોવાથી તે લઘુચાપ છે.
$(iv)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ $2 \times \text{ત્રિજ્યા}$ જેટલી હોય છે.
$(v)$ ખોટું. જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃતખંડ કહેવાય છે,જ્યારે વૃતાંશ એ ચાપ અને કેન્દ્રને જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ સાચું. વર્તુળ એ સમતલ પરના એવા બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) થી સમાન અંતરે આવેલા હોય છે.
$(ii)$ ખોટું. વર્તુળમાં અસંખ્ય સમાન લંબાઈની જીવાઓ હોઈ શકે છે.
$(iii)$ ખોટું. જો વર્તુળને ત્રણ સમાન ચાપમાં વહેંચવામાં આવે,તો દરેક ચાપનું માપ $120^{\circ}$ થાય,જે અર્ધવર્તુળ $(180^{\circ})$ કરતા નાનું હોવાથી તે લઘુચાપ છે.
$(iv)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,વ્યાસ એ વર્તુળની સૌથી મોટી જીવા છે અને તેની લંબાઈ $2 \times \text{ત્રિજ્યા}$ જેટલી હોય છે.
$(v)$ ખોટું. જીવા અને તેને અનુરૂપ ચાપ વચ્ચેના પ્રદેશને વૃતખંડ કહેવાય છે,જ્યારે વૃતાંશ એ ચાપ અને કેન્દ્રને જોડતી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે.
$(vi)$ સાચું. વર્તુળ એ સમતલ પરના એવા બિંદુઓનો સમૂહ છે જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર) થી સમાન અંતરે આવેલા હોય છે.
0 likes
View Solution3
Medium
યાદ કરો કે જો બે વર્તુળોની ત્રિજ્યા સમાન હોય તો તે એકરૂપ વર્તુળો કહેવાય છે. સાબિત કરો કે એકરૂપ વર્તુળોની સમાન જીવાઓ તેમના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
Solution
(N/A) $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ આ વર્તુળોની સમાન જીવાઓ છે,એટલે કે $AB = CD$.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં:
$AO = CO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે)
$BO = DO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે)
$AB = CD$ (આપેલ છે)
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$.
એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\angle AOB = \angle CO'D$.
આમ,એકરૂપ વર્તુળોની સમાન જીવાઓ તેમના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle AOB = \angle CO'D$.
$\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં:
$AO = CO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે)
$BO = DO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોય છે)
$AB = CD$ (આપેલ છે)
$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$.
એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ ભાગો સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\angle AOB = \angle CO'D$.
આમ,એકરૂપ વર્તુળોની સમાન જીવાઓ તેમના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
0 likes
View Solution4
Medium
સાબિત કરો કે જો એકરૂપ વર્તુળોની જીવાઓ તેમના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે,તો તે જીવાઓ સમાન હોય છે.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $O$ અને $O'$ કેન્દ્રવાળા બે એકરૂપ વર્તુળો છે. ધારો કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળની જીવા છે અને $CD$ એ બીજા વર્તુળની જીવા છે,જેથી $\angle AOB = \angle CO'D$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = CD$.
સાબિતી:
$\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં:
$AO = CO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$BO = DO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$\angle AOB = \angle CO'D$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AB = CD$.
સાબિત કરવાનું છે: $AB = CD$.
સાબિતી:
$\Delta AOB$ અને $\Delta CO'D$ માં:
$AO = CO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$BO = DO'$ (એકરૂપ વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ)
$\angle AOB = \angle CO'D$ (આપેલ છે)
તેથી,$SAS$ (બાજુ-ખૂણો-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta AOB \cong \Delta CO'D$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$AB = CD$.
0 likes
View Solution5
Medium
વર્તુળનો એક ચાપ આપેલ છે,તો તે વર્તુળ પૂર્ણ કરો.
Solution
(N/A) ધારો કે વર્તુળનો ચાપ $PQ$ આપેલ છે. આપણે વર્તુળ પૂર્ણ કરવાનું છે,જેનો અર્થ છે કે આપણે તેનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા શોધવી પડશે.
$1$. ચાપ $PQ$ પર એક બિંદુ $R$ લો.
$2$. $PR$ અને $RQ$ ને જોડીને બે જીવાઓ $PR$ અને $RQ$ બનાવો.
$3$. જીવા $PR$ અને $RQ$ ના લંબદ્વિભાજકો દોરો.
$4$. જે બિંદુએ આ બંને લંબદ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે,તે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે.
$5$. $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $OP$ (અથવા $OQ$ અથવા $OR$) ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે વર્તુળ દોરો.
$1$. ચાપ $PQ$ પર એક બિંદુ $R$ લો.
$2$. $PR$ અને $RQ$ ને જોડીને બે જીવાઓ $PR$ અને $RQ$ બનાવો.
$3$. જીવા $PR$ અને $RQ$ ના લંબદ્વિભાજકો દોરો.
$4$. જે બિંદુએ આ બંને લંબદ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે,તે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે.
$5$. $O$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $OP$ (અથવા $OQ$ અથવા $OR$) ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને,વર્તુળ પૂર્ણ કરવા માટે વર્તુળ દોરો.
0 likes
View Solution6
Medium
વર્તુળોની વિવિધ જોડીઓ દોરો. દરેક જોડીમાં કેટલા બિંદુઓ સામાન્ય છે? સામાન્ય બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી છે?
Solution
(N/A) ચાલો નીચે દર્શાવ્યા મુજબ વર્તુળોની વિવિધ જોડીઓ દોરીએ:
આમ,બે વર્તુળોમાં વધુમાં વધુ $2$ બિંદુઓ સામાન્ય હોઈ શકે છે.
| આકૃતિમાં | સામાન્ય બિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા |
| $(i)$ | $0$ |
| $(ii)$ | $1$ |
| $(iii)$ | $2$ |
આમ,બે વર્તુળોમાં વધુમાં વધુ $2$ બિંદુઓ સામાન્ય હોઈ શકે છે.
0 likes
View Solution7
Medium
ધારો કે તમને એક વર્તુળ આપવામાં આવ્યું છે. તેનું કેન્દ્ર શોધવા માટેની રચના આપો.
Solution
(N/A) રચનાના પગલાં:
$I.$ આપેલા વર્તુળ પર કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ લો. ધારો કે આ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે.
$II.$ $AB$ અને $BC$ ને જોડો.
$III.$ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $PQ$ દોરો.
$IV.$ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $RS$ એવી રીતે દોરો કે તે $PQ$ ને $O$ બિંદુમાં છેદે.
આમ,$O$ એ આપેલા વર્તુળનું જરૂરી કેન્દ્ર છે.
$I.$ આપેલા વર્તુળ પર કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ લો. ધારો કે આ બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે.
$II.$ $AB$ અને $BC$ ને જોડો.
$III.$ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક $PQ$ દોરો.
$IV.$ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક $RS$ એવી રીતે દોરો કે તે $PQ$ ને $O$ બિંદુમાં છેદે.
આમ,$O$ એ આપેલા વર્તુળનું જરૂરી કેન્દ્ર છે.
0 likes
View Solution8
Difficult
જો બે વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદતા હોય,તો સાબિત કરો કે તેમના કેન્દ્રો સામાન્ય જીવાના લંબદ્વિભાજક પર આવેલા છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા બે વર્તુળો છે જે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$AB$ એ બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે અને $OO^{\prime}$ એ કેન્દ્રોને જોડતો રેખાખંડ છે. ધારો કે $OO^{\prime}$ અને $AB$ એકબીજાને $M$ બિંદુમાં છેદે છે.
$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે $OA, OB, O^{\prime}A$ અને $O^{\prime}B$ ને જોડીએ છીએ.
$\Delta OAO^{\prime}$ અને $\Delta OBO^{\prime}$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime}A = O^{\prime}B$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OAO^{\prime} \cong \Delta OBO^{\prime}$.
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ દ્વારા).
હવે,$\Delta AOM$ અને $\Delta BOM$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OM = OM$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle 1 = \angle 2$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOM \cong \Delta BOM$.
તેથી,$AM = BM$ ($CPCT$ દ્વારા) અને $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ દ્વારા).
$AB$ એ રેખાખંડ હોવાથી,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આમ,$2 \angle 3 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$.
$\angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ}$ અને $AM = BM$ હોવાથી,$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$AB$ એ બે વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે અને $OO^{\prime}$ એ કેન્દ્રોને જોડતો રેખાખંડ છે. ધારો કે $OO^{\prime}$ અને $AB$ એકબીજાને $M$ બિંદુમાં છેદે છે.
$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે $OA, OB, O^{\prime}A$ અને $O^{\prime}B$ ને જોડીએ છીએ.
$\Delta OAO^{\prime}$ અને $\Delta OBO^{\prime}$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime}A = O^{\prime}B$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OAO^{\prime} \cong \Delta OBO^{\prime}$.
તેથી,$\angle 1 = \angle 2$ ($CPCT$ દ્વારા).
હવે,$\Delta AOM$ અને $\Delta BOM$ માં:
$OA = OB$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OM = OM$ (સામાન્ય બાજુ)
$\angle 1 = \angle 2$ (ઉપર સાબિત કર્યા મુજબ)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOM \cong \Delta BOM$.
તેથી,$AM = BM$ ($CPCT$ દ્વારા) અને $\angle 3 = \angle 4$ ($CPCT$ દ્વારા).
$AB$ એ રેખાખંડ હોવાથી,$\angle 3 + \angle 4 = 180^{\circ}$ (રૈખિક જોડના ખૂણા).
આમ,$2 \angle 3 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 = 90^{\circ}$.
$\angle 3 = \angle 4 = 90^{\circ}$ અને $AM = BM$ હોવાથી,$OO^{\prime}$ એ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
0 likes
View Solution9
Medium
જો વર્તુળની બે છેદતી જીવાઓ તેમના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વ્યાસ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે,તો સાબિત કરો કે તે જીવાઓ સમાન છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બે જીવાઓ છે,જે $E$ બિંદુમાં છેદે છે. $PQ$ એ $E$ માંથી પસાર થતો વ્યાસ છે,જેથી $\angle AEQ = \angle DEQ$ થાય. આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $AB = CD$.
જીવા $AB$ અને $CD$ પર અનુક્રમે લંબ $OL$ અને $OM$ દોરો.
$\Delta OLE$ માં,$\angle OLE = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO$.
$\angle LEO = \angle AEQ$ હોવાથી (અભિકોણો),આપણને મળે છે $\angle LOE = 90^{\circ} - \angle AEQ$.
તે જ રીતે,$\Delta OME$ માં,$\angle OME = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle MOE = 90^{\circ} - \angle MEO = 90^{\circ} - \angle DEQ$.
આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$,તેથી $\angle LOE = \angle MOE$ થાય છે.
હવે,ત્રિકોણ $OLE$ અને $OME$ માં:
$1$. $\angle LEO = \angle MEO$ (આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$ અને અભિકોણો)
$2$. $\angle LOE = \angle MOE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$3$. $EO = EO$ (સામાન્ય બાજુ)
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OLE \cong \Delta OME$.
$CPCT$ મુજબ,$OL = OM$.
વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી જીવાઓ સમાન લંબાઈની હોય છે,તેથી $AB = CD$ સાબિત થાય છે.
જીવા $AB$ અને $CD$ પર અનુક્રમે લંબ $OL$ અને $OM$ દોરો.
$\Delta OLE$ માં,$\angle OLE = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO$.
$\angle LEO = \angle AEQ$ હોવાથી (અભિકોણો),આપણને મળે છે $\angle LOE = 90^{\circ} - \angle AEQ$.
તે જ રીતે,$\Delta OME$ માં,$\angle OME = 90^{\circ}$. તેથી,$\angle MOE = 90^{\circ} - \angle MEO = 90^{\circ} - \angle DEQ$.
આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$,તેથી $\angle LOE = \angle MOE$ થાય છે.
હવે,ત્રિકોણ $OLE$ અને $OME$ માં:
$1$. $\angle LEO = \angle MEO$ (આપેલ છે કે $\angle AEQ = \angle DEQ$ અને અભિકોણો)
$2$. $\angle LOE = \angle MOE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$3$. $EO = EO$ (સામાન્ય બાજુ)
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OLE \cong \Delta OME$.
$CPCT$ મુજબ,$OL = OM$.
વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલી જીવાઓ સમાન લંબાઈની હોય છે,તેથી $AB = CD$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution10
DifficultMCQ
$5\, cm$ અને $3\, cm$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે અને તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $4\, cm$ છે. સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો. ($, cm$ માં)
A
$8$
B
$6$
C
$10$
D
$12$
Solution
(B) ધારો કે બે વર્તુળોના કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ છે,જેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1 = 5\, cm$ અને $r_2 = 3\, cm$ છે. કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $OO' = 4\, cm$ છે.
ધારો કે $PQ$ એ સામાન્ય જીવા છે જે $OO'$ ને $L$ બિંદુએ છેદે છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા એ સામાન્ય જીવાનો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$\angle OLP = 90^{\circ}$ અને $PL = LQ$ થાય.
ધારો કે $O'L = x$,તો $OL = 4 - x$ થાય.
કાટકોણ $\Delta OLP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PL^2 + OL^2 = OP^2$
$PL^2 + (4 - x)^2 = 5^2$
$PL^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 9 + 8x - x^2 \quad \dots(1)$
કાટકોણ $\Delta O'LP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PL^2 + O'L^2 = O'P^2$
$PL^2 + x^2 = 3^2$
$PL^2 = 9 - x^2 \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$9 + 8x - x^2 = 9 - x^2$
$8x = 0 \Rightarrow x = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $L$ એ $O'$ પર સંપાતી થાય છે. આમ,$PQ$ એ નાના વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$PL^2 = 9 - 0^2 = 9 \Rightarrow PL = 3\, cm$.
તેથી $PQ = 2 \times PL = 2 \times 3 = 6\, cm$.
આમ,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $6\, cm$ છે.
ધારો કે $PQ$ એ સામાન્ય જીવા છે જે $OO'$ ને $L$ બિંદુએ છેદે છે.
કેન્દ્રોને જોડતી રેખા એ સામાન્ય જીવાનો લંબદ્વિભાજક હોવાથી,$\angle OLP = 90^{\circ}$ અને $PL = LQ$ થાય.
ધારો કે $O'L = x$,તો $OL = 4 - x$ થાય.
કાટકોણ $\Delta OLP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PL^2 + OL^2 = OP^2$
$PL^2 + (4 - x)^2 = 5^2$
$PL^2 = 25 - (16 - 8x + x^2) = 9 + 8x - x^2 \quad \dots(1)$
કાટકોણ $\Delta O'LP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PL^2 + O'L^2 = O'P^2$
$PL^2 + x^2 = 3^2$
$PL^2 = 9 - x^2 \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$9 + 8x - x^2 = 9 - x^2$
$8x = 0 \Rightarrow x = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $L$ એ $O'$ પર સંપાતી થાય છે. આમ,$PQ$ એ નાના વર્તુળનો વ્યાસ છે.
$PL^2 = 9 - 0^2 = 9 \Rightarrow PL = 3\, cm$.
તેથી $PQ = 2 \times PL = 2 \times 3 = 6\, cm$.
આમ,સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $6\, cm$ છે.
0 likes
View Solution11
Difficult
જો વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ વર્તુળની અંદર એકબીજાને છેદે,તો સાબિત કરો કે એક જીવાના બે ભાગ બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $O$ કેન્દ્રિત એક વર્તુળ છે. $AB$ અને $CD$ બે સમાન જીવાઓ છે જે વર્તુળની અંદર બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AE = DE$ અને $CE = BE$.
રચના: $OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$ દોરો. $OE$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $AB = CD$ (આપેલ છે),તેથી જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે. તેથી,$OM = ON$.
$2$. $\Delta OME$ અને $\Delta ONE$ માં:
- $OM = ON$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
- $OE = OE$ (સામાન્ય બાજુ)
- $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (રચના મુજબ)
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$3$. $CPCT$ દ્વારા,$ME = NE$ (સમીકરણ $1$).
$4$. $OM \perp AB$ હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.
$5$. $ON \perp CD$ હોવાથી,$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.
$6$. $AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,જેનો અર્થ છે $AM = ND$ (સમીકરણ $2$).
$7$. સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $AM + ME = ND + NE$,જે આપણને $AE = DE$ આપે છે.
$8$. $AB = CD$ માંથી $AE = DE$ બાદ કરતા,$AB - AE = CD - DE$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $BE = CE$.
આમ,એક જીવાના ભાગો બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન છે.
સાબિત કરવાનું છે: $AE = DE$ અને $CE = BE$.
રચના: $OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$ દોરો. $OE$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. $AB = CD$ (આપેલ છે),તેથી જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે છે. તેથી,$OM = ON$.
$2$. $\Delta OME$ અને $\Delta ONE$ માં:
- $OM = ON$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
- $OE = OE$ (સામાન્ય બાજુ)
- $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (રચના મુજબ)
$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$3$. $CPCT$ દ્વારા,$ME = NE$ (સમીકરણ $1$).
$4$. $OM \perp AB$ હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AM = MB = \frac{1}{2} AB$.
$5$. $ON \perp CD$ હોવાથી,$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CN = ND = \frac{1}{2} CD$.
$6$. $AB = CD$ હોવાથી,$\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD$,જેનો અર્થ છે $AM = ND$ (સમીકરણ $2$).
$7$. સમીકરણ $1$ અને $2$ નો સરવાળો કરતા: $AM + ME = ND + NE$,જે આપણને $AE = DE$ આપે છે.
$8$. $AB = CD$ માંથી $AE = DE$ બાદ કરતા,$AB - AE = CD - DE$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $BE = CE$.
આમ,એક જીવાના ભાગો બીજી જીવાના અનુરૂપ ભાગોને સમાન છે.
0 likes
View Solution12
Medium
જો વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ વર્તુળની અંદર છેદતી હોય,તો સાબિત કરો કે છેદબિંદુને કેન્દ્ર સાથે જોડતી રેખા જીવાઓ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $AB$ અને $CD$ એ કેન્દ્ર $O$ વાળા વર્તુળની બે સમાન જીવાઓ છે,જે વર્તુળની અંદર બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle OEA = \angle OED$.
$OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$ દોરો.
$\Delta OME$ અને $\Delta ONE$ માં:
$1$. $OM = ON$ (સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે).
$2$. $OE = OE$ (સામાન્ય બાજુ).
$3$. $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (રચના મુજબ).
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$CPCT$ દ્વારા,$\angle OEM = \angle OEN$.
જેથી,$\angle OEA = \angle OED$ સાબિત થાય છે.
આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle OEA = \angle OED$.
$OM \perp AB$ અને $ON \perp CD$ દોરો.
$\Delta OME$ અને $\Delta ONE$ માં:
$1$. $OM = ON$ (સમાન જીવાઓ કેન્દ્રથી સમાન અંતરે હોય છે).
$2$. $OE = OE$ (સામાન્ય બાજુ).
$3$. $\angle OME = \angle ONE = 90^\circ$ (રચના મુજબ).
તેથી,$RHS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta OME \cong \Delta ONE$.
$CPCT$ દ્વારા,$\angle OEM = \angle OEN$.
જેથી,$\angle OEA = \angle OED$ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution13
Medium
જો એક રેખા બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો (એક જ કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળો) ને,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે,તેને $A, B, C$ અને $D$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે $AB = CD$.
Solution
(N/A) અમારી પાસે સામાન્ય કેન્દ્ર $O$ વાળા બે વર્તુળો છે.
એક રેખા $\ell$ બહારના વર્તુળને $A$ અને $D$ માં અને અંદરના વર્તુળને $B$ અને $C$ માં છેદે છે. $AB = CD$ સાબિત કરવા માટે,ચાલો આપણે $OM \perp \ell$ દોરીએ.
બહારના વર્તુળ માટે,
$\because OM \perp \ell$,અને કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,
$\therefore AM = MD$ --- $(1)$
અંદરના વર્તુળ માટે,
$\because OM \perp \ell$,
$\therefore BM = MC$ --- $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AM - BM = MD - MC$
$AB = CD$
આમ,સાબિત થાય છે.
એક રેખા $\ell$ બહારના વર્તુળને $A$ અને $D$ માં અને અંદરના વર્તુળને $B$ અને $C$ માં છેદે છે. $AB = CD$ સાબિત કરવા માટે,ચાલો આપણે $OM \perp \ell$ દોરીએ.
બહારના વર્તુળ માટે,
$\because OM \perp \ell$,અને કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે,
$\therefore AM = MD$ --- $(1)$
અંદરના વર્તુળ માટે,
$\because OM \perp \ell$,
$\therefore BM = MC$ --- $(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AM - BM = MD - MC$
$AB = CD$
આમ,સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution14
DifficultMCQ
ત્રણ છોકરીઓ રેશ્મા,સલમા અને મંદિપ એક બગીચામાં દોરેલા $5 \, m$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર ઊભા રહીને રમત રમી રહી છે. રેશ્મા સલમાને દડો ફેંકે છે,સલમા મંદિપને અને મંદિપ રેશ્માને દડો ફેંકે છે. જો રેશ્મા અને સલમા વચ્ચેનું અંતર અને સલમા અને મંદિપ વચ્ચેનું અંતર દરેક $6 \, m$ હોય,તો રેશ્મા અને મંદિપ વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે ($, m$ માં)?
A
$10.6$
B
$9.6$
C
$11.6$
D
$13.6$
Solution
(B) ધારો કે રેશ્મા,સલમા અને મંદિપના સ્થાન $R, S$ અને $M$ છે,જે $5 \, m$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર છે,જેનું કેન્દ્ર $O$ છે.
આપેલ છે કે $RS = SM = 6 \, m$.
સમાન જીવાઓ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે,તેથી $\angle ROS = \angle SOM$.
ધારો કે $OP$ એ $O$ માંથી $RM$ પરનો લંબ છે,જે $RM$ ને $P$ માં અને $OS$ ને $K$ માં છેદે છે.
$RS = SM$ હોવાથી,$OS$ એ $RM$ નો લંબદ્વિભાજક છે. તેથી,$RM \perp OS$ અને $RP = PM$.
ધારો કે $OK = x$. તો $KS = 5 - x$.
$\Delta ORK$ માં,$RK^2 = OR^2 - OK^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
$\Delta RSK$ માં,$RK^2 = RS^2 - KS^2 = 6^2 - (5 - x)^2 = 36 - (25 - 10x + x^2) = 11 + 10x - x^2$.
$RK^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$.
$10x = 14 \Rightarrow x = 1.4 \, m$.
હવે,$RK^2 = 25 - (1.4)^2 = 25 - 1.96 = 23.04$.
$RK = \sqrt{23.04} = 4.8 \, m$.
$RM = 2 \times RK$ હોવાથી,$RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$.
આપેલ છે કે $RS = SM = 6 \, m$.
સમાન જીવાઓ વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે,તેથી $\angle ROS = \angle SOM$.
ધારો કે $OP$ એ $O$ માંથી $RM$ પરનો લંબ છે,જે $RM$ ને $P$ માં અને $OS$ ને $K$ માં છેદે છે.
$RS = SM$ હોવાથી,$OS$ એ $RM$ નો લંબદ્વિભાજક છે. તેથી,$RM \perp OS$ અને $RP = PM$.
ધારો કે $OK = x$. તો $KS = 5 - x$.
$\Delta ORK$ માં,$RK^2 = OR^2 - OK^2 = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$.
$\Delta RSK$ માં,$RK^2 = RS^2 - KS^2 = 6^2 - (5 - x)^2 = 36 - (25 - 10x + x^2) = 11 + 10x - x^2$.
$RK^2$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $25 - x^2 = 11 + 10x - x^2$.
$10x = 14 \Rightarrow x = 1.4 \, m$.
હવે,$RK^2 = 25 - (1.4)^2 = 25 - 1.96 = 23.04$.
$RK = \sqrt{23.04} = 4.8 \, m$.
$RM = 2 \times RK$ હોવાથી,$RM = 2 \times 4.8 = 9.6 \, m$.
0 likes
View Solution15
DifficultMCQ
એક કોલોનીમાં $20 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતો એક વર્તુળાકાર બગીચો છે. ત્રણ છોકરાઓ અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડ તેની સીમા પર સમાન અંતરે બેઠા છે,અને દરેકના હાથમાં એકબીજા સાથે વાત કરવા માટે રમકડાનો ટેલિફોન છે. દરેક ફોનની દોરીની લંબાઈ શોધો.
A
$30 \sqrt{3} \, m$
B
$10 \sqrt{3} \, m$
C
$20 \sqrt{3} \, m$
D
$23 \sqrt{3} \, m$
Solution
(C) ધારો કે અંકુર,સૈયદ અને ડેવિડના સ્થાન વર્તુળ પર $A, S$ અને $D$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O$ અને ત્રિજ્યા $20 \, m$ છે.
તેઓ સમાન અંતરે બેઠા હોવાથી,$\Delta ASD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $R = 20 \, m$ આપેલ છે,તેથી $20 = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
આથી,$a = 20 \sqrt{3} \, m$.
દરેક ફોનની દોરીની લંબાઈ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ જેટલી થાય,જે $20 \sqrt{3} \, m$ છે.
તેઓ સમાન અંતરે બેઠા હોવાથી,$\Delta ASD$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,પરિત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $R = 20 \, m$ આપેલ છે,તેથી $20 = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
આથી,$a = 20 \sqrt{3} \, m$.
દરેક ફોનની દોરીની લંબાઈ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ જેટલી થાય,જે $20 \sqrt{3} \, m$ છે.
0 likes
View Solution16
Medium
આકૃતિમાં,$AB$ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે અને $CD$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી લંબાઈની જીવા છે. $AC$ અને $BD$ ને લંબાવતા તે બિંદુ $E$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $\angle AEB = 60^{\circ}$.
Solution
(N/A) $OC$,$OD$ અને $BC$ ને જોડો.
ચૂક્યું $CD$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે $(OC = OD = CD)$,તેથી ત્રિકોણ $ODC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle COD = 60^{\circ}$.
હવે,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
આમ,$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે,તેથી $\angle ACB = 90^{\circ}$.
$ACE$ એ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle BCE = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\triangle BCE$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle CEB + \angle BCE + \angle CBE = 180^{\circ}$.
$\angle CEB + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CEB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle AEB = 60^{\circ}$.
ચૂક્યું $CD$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે $(OC = OD = CD)$,તેથી ત્રિકોણ $ODC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
તેથી,$\angle COD = 60^{\circ}$.
હવે,વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા બનતો ખૂણો,વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
આમ,$\angle CBD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
$AB$ એ વ્યાસ હોવાથી,અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે,તેથી $\angle ACB = 90^{\circ}$.
$ACE$ એ એક સીધી રેખા હોવાથી,$\angle BCE = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
$\triangle BCE$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle CEB + \angle BCE + \angle CBE = 180^{\circ}$.
$\angle CEB + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$.
$\angle CEB = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,$\angle AEB = 60^{\circ}$.
0 likes
View Solution17
MediumMCQ
આકૃતિમાં,$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AC$ અને $BD$ તેના વિકર્ણો છે. જો $\angle DBC = 55^{\circ}$ અને $\angle BAC = 45^{\circ}$ હોય,તો $\angle BCD$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)
A
$80$
B
$60$
C
$40$
D
$30$
Solution
(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle CAD = \angle DBC = 55^{\circ}$.
હવે,કુલ ખૂણો $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC$.
કિંમતો મૂકતા,$\angle DAB = 55^{\circ} + 45^{\circ} = 100^{\circ}$.
$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$\angle DAB$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $100^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
તેથી,$\angle CAD = \angle DBC = 55^{\circ}$.
હવે,કુલ ખૂણો $\angle DAB = \angle CAD + \angle BAC$.
કિંમતો મૂકતા,$\angle DAB = 55^{\circ} + 45^{\circ} = 100^{\circ}$.
$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$.
$\angle DAB$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $100^{\circ} + \angle BCD = 180^{\circ}$.
તેથી,$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
0 likes
View Solution18
Medium
બે વર્તુળો બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. $AD$ અને $AC$ એ બે વર્તુળોના વ્યાસ છે (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે $B$ એ રેખાખંડ $DC$ પર આવેલું છે.
Solution
(N/A) $AB$ ને જોડો.
$\angle ABD = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
$\angle ABC = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle ABD + \angle ABC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$
ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,બિંદુઓ $D, B,$ અને $C$ એક સીધી રેખા બનાવે છે. તેથી,$B$ એ રેખાખંડ $DC$ પર આવેલું છે.
$\angle ABD = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
$\angle ABC = 90^\circ$ (અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle ABD + \angle ABC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$
ખૂણાઓનો સરવાળો $180^\circ$ હોવાથી,બિંદુઓ $D, B,$ અને $C$ એક સીધી રેખા બનાવે છે. તેથી,$B$ એ રેખાખંડ $DC$ પર આવેલું છે.
0 likes
View Solution19
Medium
સાબિત કરો કે કોઈપણ ચતુષ્કોણના આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો દ્વારા બનતો ચતુષ્કોણ (જો શક્ય હોય તો) ચક્રીય હોય છે.
Solution
(N/A) આકૃતિમાં,$ABCD$ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં આંતરિક ખૂણાઓ $A, B, C$ અને $D$ ના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદીને ચતુષ્કોણ $EFGH$ બનાવે છે.
હવે,$\triangle AEB$ માં,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
તે જ રીતે,$\triangle CGD$ માં,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તે એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\triangle AEB$ માં,$\angle FEH = \angle AEB = 180^{\circ} - (\angle EAB + \angle EBA)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B)$
તે જ રીતે,$\triangle CGD$ માં,$\angle FGH = \angle CGD = 180^{\circ} - (\angle GCD + \angle GDC)$
$= 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FEH + \angle FGH = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle C + \angle D)$
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D)$
ચતુષ્કોણના ખૂણાઓનો સરવાળો $360^{\circ}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$= 360^{\circ} - \frac{1}{2}(360^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,તે એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
0 likes
View Solution20
MediumMCQ
આકૃતિમાં,$A, B$ અને $C$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળ પરના ત્રણ બિંદુઓ છે,જેથી $\angle BOC = 30^{\circ}$ અને $\angle AOB = 60^{\circ}$ થાય. જો $D$ એ ચાપ $ABC$ સિવાયના વર્તુળ પરનું કોઈ બિંદુ હોય,તો $\angle ADC$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)
A
$30$
B
$55$
C
$50$
D
$45$
Solution
(D) આપેલ છે કે,$O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળમાં $\angle AOB = 60^{\circ}$ અને $\angle BOC = 30^{\circ}$ છે.
કારણ કે $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$,તેથી $\angle AOC = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
ચાપ $ABC$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર પર $\angle AOC = 90^{\circ}$ ખૂણો આંતરે છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC$.
$\angle ADC = \frac{1}{2} (90^{\circ}) = 45^{\circ}$.
કારણ કે $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$,તેથી $\angle AOC = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$ થાય.
ચાપ $ABC$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર પર $\angle AOC = 90^{\circ}$ ખૂણો આંતરે છે.
પ્રમેય મુજબ,વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈ પણ બિંદુ આગળ આંતરેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$\angle ADC = \frac{1}{2} \angle AOC$.
$\angle ADC = \frac{1}{2} (90^{\circ}) = 45^{\circ}$.
0 likes
View Solution21
Medium
વર્તુળની એક જીવા વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે. આ જીવા દ્વારા લઘુચાપ પરના બિંદુએ અને ગુરુચાપ પરના બિંદુએ આંતરાતા ખૂણાઓ શોધો.
Solution
(A) ધારો કે જીવા $AB$ છે અને વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. જીવા $AB$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી હોવાથી,$OA = OB = AB$ થાય.
તેથી,$\Delta AOB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,$\angle AOB = 60^{\circ}$ મળે.
જીવા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો વિપરીત ખૂણો $\text{reflex } \angle AOB = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ થાય.
લઘુચાપ પરના બિંદુ $C$ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા વિપરીત ખૂણાના અડધા માપનો હોય છે: $\angle ACB = \frac{1}{2} \times 300^{\circ} = 150^{\circ}$.
ગુરુચાપ પરના બિંદુ $D$ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા ખૂણાના અડધા માપનો હોય છે: $\angle ADB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,લઘુચાપ પર આંતરાતો ખૂણો $150^{\circ}$ અને ગુરુચાપ પર આંતરાતો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
તેથી,$\Delta AOB$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનો દરેક ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,$\angle AOB = 60^{\circ}$ મળે.
જીવા દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાતો વિપરીત ખૂણો $\text{reflex } \angle AOB = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ}$ થાય.
લઘુચાપ પરના બિંદુ $C$ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા વિપરીત ખૂણાના અડધા માપનો હોય છે: $\angle ACB = \frac{1}{2} \times 300^{\circ} = 150^{\circ}$.
ગુરુચાપ પરના બિંદુ $D$ આગળ જીવા દ્વારા આંતરાતો ખૂણો એ કેન્દ્ર આગળ આંતરાતા ખૂણાના અડધા માપનો હોય છે: $\angle ADB = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
આમ,લઘુચાપ પર આંતરાતો ખૂણો $150^{\circ}$ અને ગુરુચાપ પર આંતરાતો ખૂણો $30^{\circ}$ છે.
0 likes
View Solution22
DifficultMCQ
આકૃતિમાં,$\angle PQR = 100^{\circ}$ છે,જ્યાં $P, Q$ અને $R$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળ પરના બિંદુઓ છે. $\angle OPR$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)
A
$20$
B
$10$
C
$30$
D
$40$
Solution
(B) વર્તુળના ચાપ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરાયેલો ખૂણો,તે જ ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે.
તેથી,વિપરીત $\angle POR = 2 \times \angle PQR$.
આપેલ છે કે $\angle PQR = 100^{\circ}$.
તેથી,વિપરીત $\angle POR = 2 \times 100^{\circ} = 200^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle POR + \text{વિપરીત } \angle POR = 360^{\circ}$,તેથી $\angle POR + 200^{\circ} = 360^{\circ}$.
આમ,$\angle POR = 360^{\circ} - 200^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\Delta POR$ માં,$OP = OR$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OPR = \angle ORP$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
$\Delta POR$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle OPR + \angle ORP + \angle POR = 180^{\circ}$.
$\angle ORP = \angle OPR$ મૂકતા,આપણને મળે છે $2 \angle OPR + 160^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle OPR = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$.
$\angle OPR = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.
તેથી,વિપરીત $\angle POR = 2 \times \angle PQR$.
આપેલ છે કે $\angle PQR = 100^{\circ}$.
તેથી,વિપરીત $\angle POR = 2 \times 100^{\circ} = 200^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle POR + \text{વિપરીત } \angle POR = 360^{\circ}$,તેથી $\angle POR + 200^{\circ} = 360^{\circ}$.
આમ,$\angle POR = 360^{\circ} - 200^{\circ} = 160^{\circ}$.
$\Delta POR$ માં,$OP = OR$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ).
તેથી,$\angle OPR = \angle ORP$ (સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે).
$\Delta POR$ માં,ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે,તેથી $\angle OPR + \angle ORP + \angle POR = 180^{\circ}$.
$\angle ORP = \angle OPR$ મૂકતા,આપણને મળે છે $2 \angle OPR + 160^{\circ} = 180^{\circ}$.
$2 \angle OPR = 180^{\circ} - 160^{\circ} = 20^{\circ}$.
$\angle OPR = \frac{20^{\circ}}{2} = 10^{\circ}$.
0 likes
View Solution23
MediumMCQ
આકૃતિમાં,$\angle ABC = 69^{\circ}$ અને $\angle ACB = 31^{\circ}$ આપેલ છે. $\angle BDC$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)
A
$70$
B
$45$
C
$80$
D
$40$
Solution
(C) $\Delta ABC$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle ABC = 69^{\circ}$ અને $\angle ACB = 31^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$69^{\circ} + 31^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$100^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$\angle BAC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle BDC = \angle BAC$ થાય.
તેથી,$\angle BDC = 80^{\circ}$.
$\angle ABC = 69^{\circ}$ અને $\angle ACB = 31^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$69^{\circ} + 31^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$100^{\circ} + \angle BAC = 180^{\circ}$.
$\angle BAC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle BDC = \angle BAC$ થાય.
તેથી,$\angle BDC = 80^{\circ}$.
0 likes
View Solution24
MediumMCQ
આકૃતિમાં,$A, B, C$ અને $D$ વર્તુળ પરના ચાર બિંદુઓ છે. $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $E$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $\angle BEC = 130^{\circ}$ અને $\angle ECD = 20^{\circ}$ થાય. $\angle BAC$ શોધો. ($^{\circ}$ માં)
A
$112$
B
$115$
C
$156$
D
$110$
Solution
(D) $\Delta CDE$ માં,બહિષ્કોણ $\angle BEC$ એ તેના અંતઃસન્મુખ ખૂણાઓના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$\angle BEC = \angle EDC + \angle ECD$
અહીં $\angle BEC = 130^{\circ}$ અને $\angle ECD = 20^{\circ}$ આપેલ છે.
$130^{\circ} = \angle EDC + 20^{\circ}$
$\angle EDC = 130^{\circ} - 20^{\circ} = 110^{\circ}$
$\angle EDC$ અને $\angle BDC$ એક જ ખૂણો દર્શાવે છે,તેથી $\angle BDC = 110^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle BDC$.
$\angle BAC = 110^{\circ}$.
$\angle BEC = \angle EDC + \angle ECD$
અહીં $\angle BEC = 130^{\circ}$ અને $\angle ECD = 20^{\circ}$ આપેલ છે.
$130^{\circ} = \angle EDC + 20^{\circ}$
$\angle EDC = 130^{\circ} - 20^{\circ} = 110^{\circ}$
$\angle EDC$ અને $\angle BDC$ એક જ ખૂણો દર્શાવે છે,તેથી $\angle BDC = 110^{\circ}$.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle BAC = \angle BDC$.
$\angle BAC = 110^{\circ}$.
0 likes
View Solution25
MediumMCQ
$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો બિંદુ $E$ માં છેદે છે. જો $\angle DBC = 70^{\circ}$ અને $\angle BAC = 30^{\circ}$ હોય,તો $\angle BCD$ શોધો. વધુમાં,જો $AB = BC$ હોય,તો $\angle ECD$ શોધો.
A
$80^{\circ}; 50^{\circ}$
B
$20^{\circ}; 40^{\circ}$
C
$10^{\circ}; 60^{\circ}$
D
$90^{\circ}; 55^{\circ}$
Solution
(A) વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી,$\angle BAC = \angle BDC$ થાય.
આપેલ છે કે $\angle BAC = 30^{\circ}$,તેથી $\angle BDC = 30^{\circ}$.
$\Delta BCD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^{\circ}$
$\angle BCD + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
હવે,$\Delta ABC$ માં,$AB = BC$ હોવાથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle BCA = \angle BAC = 30^{\circ}$.
$\angle BCD = \angle BCA + \angle ECD$ હોવાથી:
$80^{\circ} = 30^{\circ} + \angle ECD$
$\angle ECD = 80^{\circ} - 30^{\circ} = 50^{\circ}$.
આપેલ છે કે $\angle BAC = 30^{\circ}$,તેથી $\angle BDC = 30^{\circ}$.
$\Delta BCD$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^{\circ}$
$\angle BCD + 70^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle BCD = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$.
હવે,$\Delta ABC$ માં,$AB = BC$ હોવાથી,સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle BCA = \angle BAC = 30^{\circ}$.
$\angle BCD = \angle BCA + \angle ECD$ હોવાથી:
$80^{\circ} = 30^{\circ} + \angle ECD$
$\angle ECD = 80^{\circ} - 30^{\circ} = 50^{\circ}$.
0 likes
View Solution26
Difficult
જો ચક્રીય ચતુષ્કોણના વિકર્ણો તે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના વ્યાસ હોય,તો સાબિત કરો કે તે લંબચોરસ છે.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે જેમાં વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ વર્તુળના વ્યાસ છે.
$AC$ અને $BD$ વ્યાસ હોવાથી,તેઓ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈમાં સમાન છે $(AC = BD)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
$AC$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ થાય.
$BD$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle BAD = 90^{\circ}$ અને $\angle BCD = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના તમામ અંતઃકોણ $90^{\circ}$ છે.
જે ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય તેને લંબચોરસ કહેવાય છે.
તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
$AC$ અને $BD$ વ્યાસ હોવાથી,તેઓ કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થાય છે અને લંબાઈમાં સમાન છે $(AC = BD)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે.
$AC$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ થાય.
$BD$ વ્યાસ હોવાથી,$\angle BAD = 90^{\circ}$ અને $\angle BCD = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના તમામ અંતઃકોણ $90^{\circ}$ છે.
જે ચતુષ્કોણના બધા ખૂણા $90^{\circ}$ હોય તેને લંબચોરસ કહેવાય છે.
તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
0 likes
View Solution27
Medium
જો સમલંબ ચતુષ્કોણની સમાંતર ન હોય તેવી બાજુઓ સમાન હોય,તો સાબિત કરો કે તે ચક્રીય છે.
Solution
(N/A) ધારો કે આપણી પાસે એક સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ છે જેમાં $AB || CD$ અને $AD = BC$ છે.
ચાલો આપણે $BE || AD$ દોરીએ જેથી $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
અને $AD = BE$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ] ...... $(2)$
પરંતુ $AD = BC$ [આપેલ છે] ......... $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે]
હવે,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [રેખિક જોડના ખૂણા]
કારણ કે $\angle BED = \angle BAD$ અને $\angle BEC = \angle BCE$,તેથી
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$. $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle ECD = \angle BAD$. આમ,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
ચાલો આપણે $BE || AD$ દોરીએ જેથી $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી,
$\angle BAD = \angle BED$ ..... $(1)$
અને $AD = BE$ [સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ] ...... $(2)$
પરંતુ $AD = BC$ [આપેલ છે] ......... $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને મળે છે
$BE = BC$
$\Rightarrow \angle BEC = \angle BCE$ [સમાન બાજુઓની સામેના ખૂણા સમાન હોય છે]
હવે,$\angle BED + \angle BEC = 180^{\circ}$ [રેખિક જોડના ખૂણા]
કારણ કે $\angle BED = \angle BAD$ અને $\angle BEC = \angle BCE$,તેથી
$\angle BAD + \angle BCE = 180^{\circ}$
ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$\angle BAD + \angle BCD = \angle BAD + (\angle BCE + \angle ECD)$. $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\angle ECD = \angle BAD$. આમ,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$ABCD$ એક ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે.
0 likes
View Solution28
Medium
બે વર્તુળો બે બિંદુઓ $B$ અને $C$ માં છેદે છે. $B$ માંથી બે રેખાખંડો $ABD$ અને $PBQ$ દોરવામાં આવે છે જે વર્તુળોને અનુક્રમે $A, D$ અને $P, Q$ માં છેદે છે (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે $\angle ACP = \angle QCD$.
Solution
(N/A) વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:
$1$. ડાબી બાજુના વર્તુળમાં,$\angle ACP = \angle ABP$ (એક જ ચાપ $AP$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણાઓ).
$2$. જમણી બાજુના વર્તુળમાં,$\angle QCD = \angle QBD$ (એક જ ચાપ $QD$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણાઓ).
$3$. $ABD$ અને $PBQ$ એ $B$ માં છેદતી સીધી રેખાઓ હોવાથી,$\angle ABP$ અને $\angle QBD$ અભિકોણો છે.
$4$. તેથી,$\angle ABP = \angle QBD$.
$5$. પગલાં $1$,$2$ અને $4$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $\angle ACP = \angle QCD$.
$1$. ડાબી બાજુના વર્તુળમાં,$\angle ACP = \angle ABP$ (એક જ ચાપ $AP$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણાઓ).
$2$. જમણી બાજુના વર્તુળમાં,$\angle QCD = \angle QBD$ (એક જ ચાપ $QD$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણાઓ).
$3$. $ABD$ અને $PBQ$ એ $B$ માં છેદતી સીધી રેખાઓ હોવાથી,$\angle ABP$ અને $\angle QBD$ અભિકોણો છે.
$4$. તેથી,$\angle ABP = \angle QBD$.
$5$. પગલાં $1$,$2$ અને $4$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $\angle ACP = \angle QCD$.
0 likes
View Solution29
Medium
જો ત્રિકોણની બે બાજુઓને વ્યાસ તરીકે લઈને વર્તુળો દોરવામાં આવે,તો સાબિત કરો કે આ વર્તુળોનું છેદબિંદુ ત્રીજી બાજુ પર આવેલું છે.
Solution
(N/A) ધારો કે એક $\Delta ABC$ છે. $AB$ અને $AC$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને બે વર્તુળો દોરવામાં આવ્યા છે. ધારો કે આ વર્તુળો બિંદુ $A$ અને બીજા બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$A$ અને $D$ ને જોડો.
કારણ કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી પરિઘ પર તેના દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ADB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
તે જ રીતે,$AC$ એ બીજા વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,પરિઘ પર તેના દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ADC = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
આ બંને ખૂણાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle ADB + \angle ADC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $B, D,$ અને $C$ એક સીધી રેખા બનાવે છે.
આમ,છેદબિંદુ $D$ એ ત્રીજી બાજુ $BC$ પર આવેલું છે.
$A$ અને $D$ ને જોડો.
કારણ કે $AB$ એ પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી પરિઘ પર તેના દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ADB = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
તે જ રીતે,$AC$ એ બીજા વર્તુળનો વ્યાસ હોવાથી,પરિઘ પર તેના દ્વારા બનતો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle ADC = 90^{\circ}$ (અર્ધવર્તુળમાં બનેલો ખૂણો).
આ બંને ખૂણાઓનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle ADB + \angle ADC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.
ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $B, D,$ અને $C$ એક સીધી રેખા બનાવે છે.
આમ,છેદબિંદુ $D$ એ ત્રીજી બાજુ $BC$ પર આવેલું છે.
0 likes
View Solution30
Medium
$ABC$ અને $ADC$ એ સામાન્ય કર્ણ $AC$ ધરાવતા બે કાટકોણ ત્રિકોણ છે. સાબિત કરો કે $\angle CAD = \angle CBD$.
Solution
(N/A) અહીં આપણને બે કાટકોણ ત્રિકોણ,$\Delta ABC$ અને $\Delta ADC$ આપેલા છે,જે સામાન્ય કર્ણ $AC$ ધરાવે છે.
$\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બંને ત્રિકોણ અનુક્રમે $B$ અને $D$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
$AC$ ને વ્યાસ ગણીને એક વર્તુળની કલ્પના કરો. $\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $B$ અને $D$ આ વર્તુળ પર આવેલા હશે (કારણ કે અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
આમ,$A, B, C$ અને $D$ એ એક જ વર્તુળ પર આવેલા બિંદુઓ (concyclic) છે.
હવે,જીવા $CD$ નો વિચાર કરો. ખૂણા $\angle CAD$ અને $\angle CBD$ એ વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં એક જ જીવા $CD$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણા છે.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણા સમાન હોય છે તે પ્રમેય મુજબ:
$\angle CAD = \angle CBD$.
આમ,સાબિત થાય છે.
$\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બંને ત્રિકોણ અનુક્રમે $B$ અને $D$ આગળ કાટખૂણો ધરાવે છે.
$AC$ ને વ્યાસ ગણીને એક વર્તુળની કલ્પના કરો. $\angle ABC = 90^{\circ}$ અને $\angle ADC = 90^{\circ}$ હોવાથી,બિંદુઓ $B$ અને $D$ આ વર્તુળ પર આવેલા હશે (કારણ કે અર્ધવર્તુળમાં બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે).
આમ,$A, B, C$ અને $D$ એ એક જ વર્તુળ પર આવેલા બિંદુઓ (concyclic) છે.
હવે,જીવા $CD$ નો વિચાર કરો. ખૂણા $\angle CAD$ અને $\angle CBD$ એ વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં એક જ જીવા $CD$ દ્વારા અંતરાયેલા ખૂણા છે.
વર્તુળના એક જ વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણા સમાન હોય છે તે પ્રમેય મુજબ:
$\angle CAD = \angle CBD$.
આમ,સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution31
Medium
સાબિત કરો કે ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એ લંબચોરસ છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક ચક્રીય સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ .... $(1)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ .... $(2)$
$(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
કારણ કે $\angle A = \angle C$,તેથી $\angle C = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,બીજા સામસામેના ખૂણાઓની જોડી માટે,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B = \angle D$,જેનો અર્થ છે કે $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ હોવાથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
ચક્રીય ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોય છે.
તેથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ .... $(1)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓ સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ .... $(2)$
$(2)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\angle A + \angle A = 180^{\circ}$
$2\angle A = 180^{\circ}$
$\angle A = 90^{\circ}$
કારણ કે $\angle A = \angle C$,તેથી $\angle C = 90^{\circ}$.
તે જ રીતે,બીજા સામસામેના ખૂણાઓની જોડી માટે,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ અને $\angle B = \angle D$,જેનો અર્થ છે કે $\angle B = \angle D = 90^{\circ}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના બધા ખૂણાઓ $90^{\circ}$ હોવાથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
0 likes
View Solution32
Medium
સાબિત કરો કે બે છેદતા વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા,છેદબિંદુઓ આગળ સમાન ખૂણા આંતરે છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $O$ અને $O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા બે વર્તુળો છે,જે એકબીજાને $P$ અને $Q$ બિંદુઓમાં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$.
$OP, O^{\prime}P, OQ, O^{\prime}Q$ અને $OO^{\prime}$ ને જોડો.
$\Delta OPO^{\prime}$ અને $\Delta OQO^{\prime}$ માં:
$OP = OQ$ ($O$ કેન્દ્રવાળા એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime}P = O^{\prime}Q$ ($O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta OPO^{\prime} \cong \Delta OQO^{\prime}$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$.
$OP, O^{\prime}P, OQ, O^{\prime}Q$ અને $OO^{\prime}$ ને જોડો.
$\Delta OPO^{\prime}$ અને $\Delta OQO^{\prime}$ માં:
$OP = OQ$ ($O$ કેન્દ્રવાળા એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$O^{\prime}P = O^{\prime}Q$ ($O^{\prime}$ કેન્દ્રવાળા એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ)
$OO^{\prime} = OO^{\prime}$ (સામાન્ય બાજુ)
તેથી,$SSS$ (બાજુ-બાજુ-બાજુ) એકરૂપતાની શરત મુજબ:
$\Delta OPO^{\prime} \cong \Delta OQO^{\prime}$
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ અંગો સમાન હોય છે $(CPCT)$.
આમ,$\angle OPO^{\prime} = \angle OQO^{\prime}$.
0 likes
View Solution33
DifficultMCQ
એક વર્તુળની $5\, cm$ અને $11\, cm$ લંબાઈની બે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ એકબીજાને સમાંતર છે અને કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલી છે. જો $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનું અંતર $6\, cm$ હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.
A
$\frac{1 \sqrt{6}}{2}\, cm$
B
$\frac{5 \sqrt{5}}{2}\, cm$
C
$\frac{8 \sqrt{5}}{2}\, cm$
D
$\frac{3 \sqrt{5}}{2}\, cm$
Solution
(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. જીવાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $6\, cm$ છે. આપેલ છે કે $AB = 5\, cm$ અને $CD = 11\, cm$.
ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$OP \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો. જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,$P, O, Q$ એક રેખસ્થ છે અને $PQ = 6\, cm$.
ધારો કે $OQ = x\, cm$. તેથી $OP = (6 - x)\, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{5}{2}\, cm$ અને $CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{11}{2}\, cm$.
કાટકોણ $\Delta CQO$ માં,$r^2 = CQ^2 + OQ^2 = (\frac{11}{2})^2 + x^2 = \frac{121}{4} + x^2$ --- $(1)$
કાટકોણ $\Delta APO$ માં,$r^2 = AP^2 + OP^2 = (\frac{5}{2})^2 + (6 - x)^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{121}{4} + x^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$
$\frac{121}{4} - \frac{25}{4} - 36 = -12x$
$\frac{96}{4} - 36 = -12x \Rightarrow 24 - 36 = -12x \Rightarrow -12 = -12x \Rightarrow x = 1\, cm$.
$x = 1$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$r^2 = \frac{121}{4} + 1^2 = \frac{121 + 4}{4} = \frac{125}{4}$.
$r = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\, cm$.
ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
$OP \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો. જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુએ હોવાથી,$P, O, Q$ એક રેખસ્થ છે અને $PQ = 6\, cm$.
ધારો કે $OQ = x\, cm$. તેથી $OP = (6 - x)\, cm$.
વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે.
તેથી,$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{5}{2}\, cm$ અને $CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{11}{2}\, cm$.
કાટકોણ $\Delta CQO$ માં,$r^2 = CQ^2 + OQ^2 = (\frac{11}{2})^2 + x^2 = \frac{121}{4} + x^2$ --- $(1)$
કાટકોણ $\Delta APO$ માં,$r^2 = AP^2 + OP^2 = (\frac{5}{2})^2 + (6 - x)^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$ --- $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{121}{4} + x^2 = \frac{25}{4} + 36 - 12x + x^2$
$\frac{121}{4} - \frac{25}{4} - 36 = -12x$
$\frac{96}{4} - 36 = -12x \Rightarrow 24 - 36 = -12x \Rightarrow -12 = -12x \Rightarrow x = 1\, cm$.
$x = 1$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$r^2 = \frac{121}{4} + 1^2 = \frac{121 + 4}{4} = \frac{125}{4}$.
$r = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}\, cm$.
0 likes
View Solution34
DifficultMCQ
એક વર્તુળની બે સમાંતર જીવાઓની લંબાઈ $6\, cm$ અને $8\, cm$ છે. જો નાની જીવા કેન્દ્રથી $4\, cm$ ના અંતરે હોય,તો બીજી જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર કેટલું હશે ($, cm$ માં)?
A
$8$
B
$4$
C
$3$
D
$6$
Solution
(C) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O$ છે. સમાંતર જીવાઓ $AB = 6\, cm$ અને $CD = 8\, cm$ છે.
$OP \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે:
$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}(6\, cm) = 3\, cm$
$CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}(8\, cm) = 4\, cm$
આપેલ છે કે નાની જીવા કેન્દ્રથી $4\, cm$ ના અંતરે છે,તેથી $OP = 4\, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$r = 5\, cm$ (જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OQC$ માં:
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$r^2 = OQ^2 + 4^2$
$5^2 = OQ^2 + 16$
$25 = OQ^2 + 16$
$OQ^2 = 25 - 16 = 9$
$OQ = 3\, cm$.
આમ,બીજી જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર $3\, cm$ છે.
$OP \perp AB$ અને $OQ \perp CD$ દોરો.
કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે:
$AP = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}(6\, cm) = 3\, cm$
$CQ = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}(8\, cm) = 4\, cm$
આપેલ છે કે નાની જીવા કેન્દ્રથી $4\, cm$ ના અંતરે છે,તેથી $OP = 4\, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPA$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$OA^2 = OP^2 + AP^2$
$r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$r = 5\, cm$ (જ્યાં $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે).
હવે,કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OQC$ માં:
$OC^2 = OQ^2 + CQ^2$
$r^2 = OQ^2 + 4^2$
$5^2 = OQ^2 + 16$
$25 = OQ^2 + 16$
$OQ^2 = 25 - 16 = 9$
$OQ = 3\, cm$.
આમ,બીજી જીવાનું કેન્દ્રથી અંતર $3\, cm$ છે.
0 likes
View Solution35
Difficult
ધારો કે એક ખૂણા $\angle ABC$ નો શિરોબિંદુ વર્તુળની બહાર આવેલો છે અને ખૂણાની બાજુઓ વર્તુળ સાથે સમાન જીવાઓ $AD$ અને $CE$ બનાવે છે. સાબિત કરો કે $\angle ABC$ એ જીવાઓ $DE$ અને $AC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણાઓના તફાવતથી અડધો છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $\angle ABC$ નો શિરોબિંદુ $B$ છે. બાજુઓ $BA$ અને $BC$ વર્તુળને અનુક્રમે $A, D$ અને $C, E$ બિંદુઓમાં છેદે છે જેથી જીવા $AD = CE$ થાય. ધારો કે $O$ એ વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. $OA, OC, OD, OE, AC$ અને $DE$ ને જોડો.
$\Delta BAE$ માં,બહિષ્કોણ $\angle DAE = \angle ABC + \angle AEC$ ... $(1)$
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE$ ... $(2)$
તે જ રીતે,$\angle AEC$ એ ચાપ $AC$ દ્વારા પરિઘ પર આંતરેલો ખૂણો છે,તેથી $\angle AEC = \frac{1}{2} \angle AOC$ ... $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle DOE = \angle ABC + \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOE - \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} [\angle DOE - \angle AOC]$
આમ,$\angle ABC$ એ જીવાઓ $DE$ અને $AC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણાઓના તફાવતથી અડધો છે.
$\Delta BAE$ માં,બહિષ્કોણ $\angle DAE = \angle ABC + \angle AEC$ ... $(1)$
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો એ વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુએ આંતરેલા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે:
$\angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE$ ... $(2)$
તે જ રીતે,$\angle AEC$ એ ચાપ $AC$ દ્વારા પરિઘ પર આંતરેલો ખૂણો છે,તેથી $\angle AEC = \frac{1}{2} \angle AOC$ ... $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{2} \angle DOE = \angle ABC + \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOE - \frac{1}{2} \angle AOC$
$\angle ABC = \frac{1}{2} [\angle DOE - \angle AOC]$
આમ,$\angle ABC$ એ જીવાઓ $DE$ અને $AC$ દ્વારા કેન્દ્ર આગળ આંતરેલા ખૂણાઓના તફાવતથી અડધો છે.
0 likes
View Solution36
Difficult
સાબિત કરો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણની કોઈપણ બાજુને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરવામાં આવેલ વર્તુળ તેના વિકર્ણોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે, તેથી $\angle AOB = 90^\circ$ થાય.
બાજુ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલું વર્તુળ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $Q$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $QA = QB = \text{ત્રિજ્યા}$ થાય.
$\triangle AOB$ માં, $\angle AOB = 90^\circ$ છે. કારણ કે $Q$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ ના કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે, તેથી કર્ણના મધ્યબિંદુથી શિરોબિંદુઓનું અંતર એ કર્ણની લંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે.
તેથી, $QO = QA = QB$ થાય.
કેન્દ્ર $Q$ થી બિંદુ $O$ નું અંતર ત્રિજ્યા ($QA$ અથવા $QB$) જેટલું હોવાથી, બિંદુ $O$ એ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
આમ, સમબાજુ ચતુષ્કોણની કોઈપણ બાજુને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરવામાં આવેલ વર્તુળ તેના વિકર્ણોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
બાજુ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલું વર્તુળ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $Q$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $QA = QB = \text{ત્રિજ્યા}$ થાય.
$\triangle AOB$ માં, $\angle AOB = 90^\circ$ છે. કારણ કે $Q$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle AOB$ ના કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે, તેથી કર્ણના મધ્યબિંદુથી શિરોબિંદુઓનું અંતર એ કર્ણની લંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે.
તેથી, $QO = QA = QB$ થાય.
કેન્દ્ર $Q$ થી બિંદુ $O$ નું અંતર ત્રિજ્યા ($QA$ અથવા $QB$) જેટલું હોવાથી, બિંદુ $O$ એ $AB$ ને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરેલા વર્તુળ પર આવેલું હોવું જોઈએ.
આમ, સમબાજુ ચતુષ્કોણની કોઈપણ બાજુને વ્યાસ તરીકે લઈને દોરવામાં આવેલ વર્તુળ તેના વિકર્ણોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
0 likes
View Solution37
Difficult
$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ $CD$ ને (જરૂર પડે તો લંબાવતા) $E$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AE = AD$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $A, B$ અને $C$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ $CD$ ને $E$ માં છેદે છે.
પગલું $1$: $ABCE$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle AEC + \angle B = 180^{\circ}$ --- $(1)$
પગલું $2$: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle D = \angle B$ --- $(2)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle AEC + \angle D = 180^{\circ}$ --- $(3)$
પગલું $4$: $D, E, C$ એક જ રેખા પર હોવાથી,$\angle AEC$ અને $\angle AED$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ --- $(4)$
પગલું $5$: સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ની સરખામણી કરતા:
$\angle D = \angle AED$
પગલું $6$: $\Delta ADE$ માં,પાયાના ખૂણા $\angle D$ અને $\angle AED$ સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ પણ સમાન હોય.
તેથી,$AE = AD$. આમ સાબિત થાય છે.
પગલું $1$: $ABCE$ ચક્રીય ચતુષ્કોણ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\angle AEC + \angle B = 180^{\circ}$ --- $(1)$
પગલું $2$: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે.
તેથી,$\angle D = \angle B$ --- $(2)$
પગલું $3$: સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\angle AEC + \angle D = 180^{\circ}$ --- $(3)$
પગલું $4$: $D, E, C$ એક જ રેખા પર હોવાથી,$\angle AEC$ અને $\angle AED$ રૈખિક જોડના ખૂણા બનાવે છે.
તેથી,$\angle AEC + \angle AED = 180^{\circ}$ --- $(4)$
પગલું $5$: સમીકરણ $(3)$ અને $(4)$ ની સરખામણી કરતા:
$\angle D = \angle AED$
પગલું $6$: $\Delta ADE$ માં,પાયાના ખૂણા $\angle D$ અને $\angle AED$ સમાન હોવાથી,તેમની સામેની બાજુઓ પણ સમાન હોય.
તેથી,$AE = AD$. આમ સાબિત થાય છે.
0 likes
View Solution38
Difficult
$AC$ અને $BD$ એક વર્તુળની જીવાઓ છે જે એકબીજાને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે $AC$ અને $BD$ વ્યાસ છે.
Solution
(N/A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર કોઈ બિંદુ $P$ પર છે. જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે જીવાઓ $AC$ અને $BD$ એકબીજાને બિંદુ $O$ પર દુભાગે છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$BO = OD$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta COD$.
તેથી,$AB = CD$ (એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ અંગો).
$AB = CD$ હોવાથી,આ જીવાઓને અનુરૂપ ચાપ સમાન છે: $\text{ચાપ } AB = \text{ચાપ } CD$.
તે જ રીતે,$SAS$ એકરૂપતા દ્વારા $\Delta AOD \cong \Delta COB$,જે સૂચવે છે કે $AD = CB$,તેથી $\text{ચાપ } AD = \text{ચાપ } BC$.
હવે,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને ધ્યાનમાં લો. વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે ($\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$). ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $2\angle A = 180^{\circ}$,તેથી $\angle A = 90^{\circ}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,જીવા $BD$ પરિઘ પર કાટખૂણો આંતરે છે,જેનો અર્થ છે કે $BD$ વ્યાસ હોવો જોઈએ. તેવી જ રીતે,$AC$ પણ વ્યાસ છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$BO = OD$ (આપેલ છે,કારણ કે $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો)
$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta AOB \cong \Delta COD$.
તેથી,$AB = CD$ (એકરૂપ ત્રિકોણોના અનુરૂપ અંગો).
$AB = CD$ હોવાથી,આ જીવાઓને અનુરૂપ ચાપ સમાન છે: $\text{ચાપ } AB = \text{ચાપ } CD$.
તે જ રીતે,$SAS$ એકરૂપતા દ્વારા $\Delta AOD \cong \Delta COB$,જે સૂચવે છે કે $AD = CB$,તેથી $\text{ચાપ } AD = \text{ચાપ } BC$.
હવે,ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને ધ્યાનમાં લો. વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે ($\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$). ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ હોવાથી,$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $2\angle A = 180^{\circ}$,તેથી $\angle A = 90^{\circ}$.
$\angle A = 90^{\circ}$ હોવાથી,જીવા $BD$ પરિઘ પર કાટખૂણો આંતરે છે,જેનો અર્થ છે કે $BD$ વ્યાસ હોવો જોઈએ. તેવી જ રીતે,$AC$ પણ વ્યાસ છે.
0 likes
View Solution39
Difficult
$AC$ અને $BD$ એ વર્તુળની જીવાઓ છે જે એકબીજાને દુભાગે છે. સાબિત કરો કે $ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
Solution
(A) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $O'$ છે. ધારો કે જીવાઓ $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
જીવાઓ એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AO = OC$ અને $BO = OD$ છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે),
$BO = OD$ (આપેલ છે),
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta AOB \cong \Delta COD$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AB = CD$ અને $\angle OAB = \angle OCD$. આ યુગ્મકોણો હોવાથી,$AB \parallel CD$ થાય.
જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે (કારણ કે તેના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર છે),તેથી તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$.
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2\angle A = 180^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે લંબચોરસ છે. તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
જીવાઓ એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી $AO = OC$ અને $BO = OD$ છે.
$\Delta AOB$ અને $\Delta COD$ માં:
$AO = OC$ (આપેલ છે),
$BO = OD$ (આપેલ છે),
$\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
તેથી,$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\Delta AOB \cong \Delta COD$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $AB = CD$ અને $\angle OAB = \angle OCD$. આ યુગ્મકોણો હોવાથી,$AB \parallel CD$ થાય.
જે ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોય તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. આમ,$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$ABCD$ એ ચક્રીય ચતુષ્કોણ છે (કારણ કે તેના શિરોબિંદુઓ વર્તુળ પર છે),તેથી તેના સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે,તેથી $\angle A = \angle C$ અને $\angle B = \angle D$.
$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$2\angle A = 180^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\angle A = 90^{\circ}$.
જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો $90^{\circ}$ હોય તે લંબચોરસ છે. તેથી,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
0 likes
View Solution40
Difficult
ત્રિકોણ $ABC$ ના ખૂણા $A, B$ અને $C$ ના દ્વિભાજકો તેના પરિવૃતને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે ત્રિકોણ $DEF$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ} - \frac{1}{2}A, 90^{\circ} - \frac{1}{2}B$ અને $90^{\circ} - \frac{1}{2}C$ છે.
Solution
(N/A) ધારો કે એક ત્રિકોણ $ABC$ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત છે,જ્યાં $\angle A, \angle B$ અને $\angle C$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકો પરિવૃતને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે.
$DE, EF$ અને $FD$ ને જોડો.
સમાન વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:
$\angle FDA = \angle FCA = \frac{1}{2} \angle C$ (કારણ કે $CF$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે)
$\angle EDA = \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$ (કારણ કે $BE$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક છે)
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA = \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$.
તેથી,$\angle FDE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
તે જ રીતે,$\angle FED = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ અને $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
આમ,$\Delta DEF$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ} - \frac{A}{2}, 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ અને $90^{\circ} - \frac{C}{2}$ છે.
$DE, EF$ અને $FD$ ને જોડો.
સમાન વૃત્તખંડમાં આવેલા ખૂણાઓ સમાન હોવાથી:
$\angle FDA = \angle FCA = \frac{1}{2} \angle C$ (કારણ કે $CF$ એ $\angle C$ નો દ્વિભાજક છે)
$\angle EDA = \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$ (કારણ કે $BE$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક છે)
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA = \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,તેથી $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$.
તેથી,$\angle FDE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
તે જ રીતે,$\angle FED = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ અને $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
આમ,$\Delta DEF$ ના ખૂણાઓ $90^{\circ} - \frac{A}{2}, 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ અને $90^{\circ} - \frac{C}{2}$ છે.
0 likes
View Solution41
Medium
બે એકરૂપ વર્તુળો એકબીજાને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. $A$ માંથી પસાર થતો કોઈ રેખાખંડ $PAQ$ એવી રીતે દોરવામાં આવે છે કે જેથી $P$ અને $Q$ બંને વર્તુળો પર હોય. સાબિત કરો કે $BP = BQ$.
Solution
(N/A) આપેલ છે: બે એકરૂપ વર્તુળો $A$ અને $B$ માં છેદે છે. એક રેખાખંડ $PAQ$ એ $A$ માંથી પસાર થાય છે,જ્યાં $P$ પ્રથમ વર્તુળ પર અને $Q$ બીજા વર્તુળ પર છે.
રચના: $AB$,$BP$ અને $BQ$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. બે એકરૂપ વર્તુળો ધ્યાનમાં લો. જીવા $AB$ બંને વર્તુળો માટે સામાન્ય છે.
$2$. એકરૂપ વર્તુળોમાં,સમાન જીવાઓ પરિઘ પર સમાન ખૂણા આંતરે છે.
$3$. $AB$ એ બંને એકરૂપ વર્તુળોની જીવા હોવાથી,તે વર્તુળોના પરિઘ પર આંતરેલા ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ.
$4$. તેથી,$\angle APB = \angle AQB$.
$5$. $\Delta PBQ$ માં,આપણી પાસે $\angle APB = \angle AQB$ છે (જે $\angle BPQ = \angle BQP$ છે).
$6$. જો ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન હોય,તો તેમની સામેની બાજુઓ પણ સમાન હોય છે.
$7$. તેથી,$BP = BQ$.
રચના: $AB$,$BP$ અને $BQ$ ને જોડો.
સાબિતી:
$1$. બે એકરૂપ વર્તુળો ધ્યાનમાં લો. જીવા $AB$ બંને વર્તુળો માટે સામાન્ય છે.
$2$. એકરૂપ વર્તુળોમાં,સમાન જીવાઓ પરિઘ પર સમાન ખૂણા આંતરે છે.
$3$. $AB$ એ બંને એકરૂપ વર્તુળોની જીવા હોવાથી,તે વર્તુળોના પરિઘ પર આંતરેલા ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ.
$4$. તેથી,$\angle APB = \angle AQB$.
$5$. $\Delta PBQ$ માં,આપણી પાસે $\angle APB = \angle AQB$ છે (જે $\angle BPQ = \angle BQP$ છે).
$6$. જો ત્રિકોણના બે ખૂણા સમાન હોય,તો તેમની સામેની બાજુઓ પણ સમાન હોય છે.
$7$. તેથી,$BP = BQ$.
0 likes
View Solution42
Difficult
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માં,જો $\angle A$ નો ખૂણા દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક એકબીજાને છેદે,તો સાબિત કરો કે તેઓ ત્રિકોણ $ABC$ ના પરિવર્તુળ પર છેદે છે.
Solution
(N/A) ધારો કે $\Delta ABC$ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત છે જેનું કેન્દ્ર $O$ છે.
ધારો કે $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક પરિવર્તુળને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $E$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
કારણ કે $AE$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle BAE = \angle CAE$.
સમાન ખૂણાઓ પરિઘ પર સમાન ચાપ આંતરે છે,તેથી $\text{ચાપ } BE = \text{ચાપ } EC$.
પરિણામે,આ ચાપને અનુરૂપ જીવાઓ સમાન થાય,એટલે કે જીવા $BE = \text{જીવા } CE$.
ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\Delta BDE$ અને $\Delta CDE$ માં:
$BE = CE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$BD = CD$ ($D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$DE = DE$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta BDE \cong \Delta CDE$.
તેથી,$\angle BDE = \angle CDE$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો).
કારણ કે $BC$ એક સીધી રેખા છે,$\angle BDE + \angle CDE = 180^{\circ}$.
આમ,$\angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $DE \perp BC$.
કારણ કે $DE$ એ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ માંથી પસાર થાય છે અને $BC$ ને લંબ છે,તેથી $DE$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે. આમ,$\angle A$ નો ખૂણા દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક પરિવર્તુળ પરના બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
ધારો કે $\angle A$ નો આંતરિક દ્વિભાજક પરિવર્તુળને બિંદુ $E$ પર છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $E$ એ $BC$ ના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
કારણ કે $AE$ એ $\angle BAC$ નો દ્વિભાજક છે,તેથી $\angle BAE = \angle CAE$.
સમાન ખૂણાઓ પરિઘ પર સમાન ચાપ આંતરે છે,તેથી $\text{ચાપ } BE = \text{ચાપ } EC$.
પરિણામે,આ ચાપને અનુરૂપ જીવાઓ સમાન થાય,એટલે કે જીવા $BE = \text{જીવા } CE$.
ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $\Delta BDE$ અને $\Delta CDE$ માં:
$BE = CE$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$BD = CD$ ($D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$DE = DE$ (સામાન્ય બાજુ)
$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta BDE \cong \Delta CDE$.
તેથી,$\angle BDE = \angle CDE$ (એકરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ભાગો).
કારણ કે $BC$ એક સીધી રેખા છે,$\angle BDE + \angle CDE = 180^{\circ}$.
આમ,$\angle BDE = \angle CDE = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $DE \perp BC$.
કારણ કે $DE$ એ $BC$ ના મધ્યબિંદુ $D$ માંથી પસાર થાય છે અને $BC$ ને લંબ છે,તેથી $DE$ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે. આમ,$\angle A$ નો ખૂણા દ્વિભાજક અને $BC$ નો લંબદ્વિભાજક પરિવર્તુળ પરના બિંદુ $E$ પર છેદે છે.
0 likes
View SolutionCircles — Textbook - Circles · Frequently Asked Questions
1Are these Circles questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Circles Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.