यदि एक वृत्त की दो प्रतिच्छेदी जीवाएँ अपने प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर जाने वाले व्यास के साथ समान कोण बनाती हैं,तो सिद्ध कीजिए कि जीवाएँ समान हैं।

(N/A) मान लीजिए कि $AB$ और $CD$ केंद्र $O$ वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं,जो बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $PQ$ एक व्यास है जो $E$ से होकर गुजरता है,इस प्रकार कि $\angle AEQ = \angle DEQ$ है। हमें सिद्ध करना है कि $AB = CD$ है।
जीवाओं $AB$ और $CD$ पर क्रमशः लंब $OL$ और $OM$ खींचिए।
$\Delta OLE$ में,$\angle OLE = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle LOE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle LEO = 90^{\circ} - \angle LEO$ है।
चूँकि $\angle LEO = \angle AEQ$ (शीर्षाभिमुख कोण),इसलिए $\angle LOE = 90^{\circ} - \angle AEQ$ है।
इसी प्रकार,$\Delta OME$ में,$\angle OME = 90^{\circ}$ है। अतः,$\angle MOE = 90^{\circ} - \angle MEO = 90^{\circ} - \angle DEQ$ है।
चूँकि यह दिया गया है कि $\angle AEQ = \angle DEQ$,इसलिए $\angle LOE = \angle MOE$ है।
अब,त्रिभुज $OLE$ और $OME$ में:
$1$. $\angle LEO = \angle MEO$ (दिया है $\angle AEQ = \angle DEQ$ और शीर्षाभिमुख कोण)
$2$. $\angle LOE = \angle MOE$ (ऊपर सिद्ध किया गया)
$3$. $EO = EO$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$ASA$ सर्वांगसमता कसौटी द्वारा,$\Delta OLE \cong \Delta OME$ है।
$CPCT$ द्वारा,$OL = OM$ है।
चूँकि वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं,इसलिए $AB = CD$ सिद्ध होता है।