एक त्रिभुज $ABC$ के कोणों $A, B$ और $C$ के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज $DEF$ के कोण $90^{\circ} - \frac{1}{2}A, 90^{\circ} - \frac{1}{2}B$ और $90^{\circ} - \frac{1}{2}C$ हैं।

(N/A) मान लीजिए कि एक त्रिभुज $ABC$ एक वृत्त के भीतर स्थित है,जहाँ $\angle A, \angle B$ और $\angle C$ के कोण समद्विभाजक परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$DE, EF$ और $FD$ को मिलाइए।
चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं:
$\angle FDA = \angle FCA = \frac{1}{2} \angle C$ (क्योंकि $CF, \angle C$ का समद्विभाजक है)
$\angle EDA = \angle EBA = \frac{1}{2} \angle B$ (क्योंकि $BE, \angle B$ का समद्विभाजक है)
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\angle FDE = \angle FDA + \angle EDA = \frac{1}{2} \angle C + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2}(\angle B + \angle C)$
हम जानते हैं कि $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$,इसलिए $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - \angle A$.
अतः,$\angle FDE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle A) = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle A$.
इसी प्रकार,$\angle FED = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B$ और $\angle EFD = 90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle C$.
इस प्रकार,$\Delta DEF$ के कोण $90^{\circ} - \frac{A}{2}, 90^{\circ} - \frac{B}{2}$ और $90^{\circ} - \frac{C}{2}$ हैं।