Mix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Hindi

(N/A) दिया है: $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है और $DE = EC$ है।
सिद्ध करना है: $\operatorname{ar}(ABF) = \operatorname{ar}(BEC)$।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि $ABED$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $AB \parallel DE$ और $AB = DE$ है।
$2$. $\triangle ABF$ और $\triangle BEC$ में,आधार $AB$,आधार $DC$ के समांतर है (क्योंकि $AB \parallel DE$ और $F, E$ रेखा $DC$ पर स्थित हैं)।
$3$. त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. चूंकि $AB \parallel DC$ है,इसलिए $\triangle ABF$ और $\triangle BEC$ दोनों समांतर रेखाओं $AB$ और $DC$ के बीच स्थित हैं,अतः उनकी ऊंचाई $h$ समान है।
$5$. $\operatorname{ar}(ABF) = \frac{1}{2} \times AB \times h$।
$6$. $\operatorname{ar}(BEC) = \frac{1}{2} \times EC \times h$।
$7$. चूंकि $AB = DE$ (समांतर चतुर्भुज $ABED$ की सम्मुख भुजाएं) और $DE = EC$ (दिया है),इसलिए $AB = EC$ होगा।
$8$. क्षेत्रफल के सूत्र में $AB = EC$ रखने पर: $\operatorname{ar}(ABF) = \frac{1}{2} \times EC \times h = \operatorname{ar}(BEC)$।
अतः,$\operatorname{ar}(ABF) = \operatorname{ar}(BEC)$ सिद्ध हुआ।

(N/A) दिया है: $PQM$ एक रेखा है और $SQ || RM$ है।
सिद्ध करना है: $ar(PQR) = ar(PMS)$ है।
उपपत्ति:
$1$. चूंकि $SQ || RM$ है,इसलिए $\triangle SQR$ और $\triangle MQR$ एक ही आधार $QR$ पर और समांतर रेखाओं $SQ$ और $RM$ के बीच स्थित हैं।
$2$. अतः,$ar(SQR) = ar(MQR)$ होगा।
$3$. अब,दोनों पक्षों में $ar(PQR)$ जोड़ने पर:
$ar(SQR) + ar(PQR) = ar(MQR) + ar(PQR)$।
$4$. आकृति से,$ar(SQR) + ar(PQR) = ar(PQS)$ और $ar(MQR) + ar(PQR) = ar(PMS)$ होता है।
$5$. इस प्रकार,$ar(PQR) = ar(PMS)$ सिद्ध होता है।

(N/A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.
आधार $PQ = 15 \, cm$ और शीर्षलंब $SM = 6 \, cm$ के लिए,क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = 15 \times 6 = 90 \, cm^2$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्थिर रहता है,हम लिख सकते हैं: $\text{क्षेत्रफल} = QR \times SN$.
मान रखने पर: $90 = QR \times 10$.
अतः,$QR = \frac{90}{10} = 9 \, cm$.
समांतर चतुर्भुज का परिमाप होता है: $2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग}) = 2 \times (PQ + QR)$.
परिमाप $= 2 \times (15 + 9) = 2 \times 24 = 48 \, cm$.

(A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
आधार $AB = 20 \, cm$ और संगत शीर्षलंब $DX = 12 \, cm$ के लिए,क्षेत्रफल:
$\text{क्षेत्रफल} = AB \times DX = 20 \, cm \times 12 \, cm = 240 \, cm^2$.
चूंकि क्षेत्रफल समान रहता है,आधार $BC$ और संगत शीर्षलंब $AY = 15 \, cm$ के लिए:
$\text{क्षेत्रफल} = BC \times AY = 240 \, cm^2$.
$BC \times 15 \, cm = 240 \, cm^2 \implies BC = \frac{240}{15} \, cm = 16 \, cm$.
समांतर चतुर्भुज का परिमाप $2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग})$ होता है।
$\text{परिमाप} = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (20 \, cm + 16 \, cm) = 2 \times 36 \, cm = 72 \, cm$.

(N/A) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.
आधार $XY = 24 \, cm$ और शीर्षलंब $WP = 6 \, cm$ के लिए,क्षेत्रफल: $\text{क्षेत्रफल} = 24 \times 6 = 144 \, cm^2$.
चूंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्थिर रहता है,हम लिख सकते हैं: $\text{क्षेत्रफल} = YZ \times WQ$.
यहाँ $WQ = 8 \, cm$ दिया गया है,इसलिए: $144 = YZ \times 8$.
अतः,$YZ = 144 / 8 = 18 \, cm$.
समांतर चतुर्भुज का परिमाप: $2 \times (\text{आसन्न भुजाओं का योग})$.
परिमाप $= 2 \times (XY + YZ) = 2 \times (24 + 18) = 2 \times 42 = 84 \, cm$.

(N/A) $P$ और $Q$ भुजा $BC$ के समत्रिभाजक बिंदु हैं।
इसलिए,$BP = PQ = QC$ है।
चूंकि त्रिभुजों $\Delta ABP, \Delta APQ,$ और $\Delta AQC$ के आधार समान हैं $(BP = PQ = QC)$ और वे एक ही शीर्ष $A$ साझा करते हैं,इसलिए इन आधारों के सापेक्ष उनकी ऊँचाई समान है।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
चूंकि आधार समान हैं और ऊँचाई उभयनिष्ठ है,इसलिए इन तीनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हैं।
$\operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(AQC)$।
साथ ही,इन तीनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का योग $\Delta ABC$ के क्षेत्रफल के बराबर है:
$\operatorname{ar}(ABP) + \operatorname{ar}(APQ) + \operatorname{ar}(AQC) = \operatorname{ar}(ABC)$।
समान क्षेत्रफलों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$3 \times \operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(ABC)$।
अतः,$\operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(AQC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABC).$

(N/A) $\Delta ABC$ में,$F$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$FE \parallel BC$ और $FE = \frac{1}{2} BC$ है।
चूंकि $D, BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BD = \frac{1}{2} BC$ है।
अतः,$FE \parallel BD$ और $FE = BD$ है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समांतर है,इसलिए चतुर्भुज $BDEF$ एक समांतर चतुर्भुज है। (परिणाम $i$)
इसी प्रकार,चतुर्भुज $AFDE$ और $FDCE$ भी समांतर चतुर्भुज हैं।
समांतर चतुर्भुज $BDEF$ में,$FD$ एक विकर्ण है,इसलिए $ar(BDF) = ar(DEF)$। $(1)$
समांतर चतुर्भुज $AFDE$ में,$EF$ एक विकर्ण है,इसलिए $ar(AFE) = ar(DEF)$। $(2)$
समांतर चतुर्भुज $FDCE$ में,$ED$ एक विकर्ण है,इसलिए $ar(DCE) = ar(DEF)$। $(3)$
$\Delta ABC$ चार गैर-अतिव्यापी त्रिभुजों से बना है: $\Delta BDF, \Delta AFE, \Delta DCE$ और $\Delta DEF$।
$ar(ABC) = ar(BDF) + ar(AFE) + ar(DCE) + ar(DEF)$
$(1), (2)$ और $(3)$ का उपयोग करने पर:
$ar(ABC) = ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) = 4 ar(DEF)$
अतः,$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$। (परिणाम $ii$)
अब,$ar(BDEF) = ar(BDF) + ar(DEF) = ar(DEF) + ar(DEF) = 2 ar(DEF)$।
$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$ रखने पर:
$ar(BDEF) = 2 \times \frac{1}{4} ar(ABC) = \frac{1}{2} ar(ABC)$। (परिणाम $iii$)

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ में,$AD$ माध्यिका है। चूँकि एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है,इसलिए $ar(ABD) = ar(ACD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. इसी प्रकार,$\Delta GBC$ में,$GD$ माध्यिका है,अतः $ar(GBD) = ar(GCD)$.
$3$. बड़े त्रिभुजों से इन क्षेत्रफलों को घटाने पर: $ar(GAB) = ar(ABD) - ar(GBD)$ और $ar(GAC) = ar(ACD) - ar(GCD)$। चूँकि $ar(ABD) = ar(ACD)$ और $ar(GBD) = ar(GCD)$,इसलिए $ar(GAB) = ar(GAC)$ प्राप्त होता है।
$4$. सममिति द्वारा,$BE$ या $CF$ माध्यिका का उपयोग करके,हम दिखा सकते हैं कि $ar(GAB) = ar(GBC) = ar(GCA)$।
$5$. चूँकि इन तीनों क्षेत्रफलों का योग $ar(ABC)$ है,इसलिए प्रत्येक का मान $\frac{1}{3} ar(ABC)$ होगा।

(N/A) दिया है: $\Delta ABC$ में,$D$,$BC$ पर एक बिंदु है और $E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है।
सिद्ध करना है: $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
उपपत्ति:
$1$. $\Delta ABD$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $BE$,$\Delta ABD$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसलिए,$ar(\Delta EBD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD)$.
$2$. इसी प्रकार,$\Delta ADC$ में,$E$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। चूँकि $CE$,$\Delta ADC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसलिए,$ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$3$. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $ar(\Delta EBD) + ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD) + \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$4$. $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} [ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC)]$.
$5$. चूँकि $ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta ABC)$,हमें प्राप्त होता है $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
इति सिद्धम्।

(N/A) $1$. एक समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,$O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है।
$2$. $\triangle ADC$ पर विचार करें। चूँकि $O$,$AC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $DO$,$\triangle ADC$ की माध्यिका है।
$3$. त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
$4$. इसलिए,$ar(ADO) = ar(CDO)$।

(A) $1$. समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,$O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,जिसका अर्थ है $BO = OD$।
$2$. $\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ पर विचार करें। चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AB = CD$ और $AD = BC$ है। साथ ही,$BD$ एक उभयनिष्ठ विकर्ण है।
$3$. $\triangle ABD$ में,शीर्ष $A$ से $BD$ पर माध्यिका $AO$ है। चूँकि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,$AO$,$\triangle ABD$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $ar(ABO) = ar(ADO)$।
$4$. इसी प्रकार,$\triangle CBD$ में,$CO$,$BD$ पर माध्यिका है,इसलिए $ar(CBO) = ar(CDO)$।
$5$. हालाँकि,प्रश्न में $ar(ABP) = ar(CBP)$ सिद्ध करने के लिए कहा गया है। त्रिभुज $\triangle ABP$ और $\triangle CBP$ पर विचार करें। ये त्रिभुज रेखा $BD$ पर समान आधार $BP$ साझा करते हैं।
$6$. आधार $BP$ के सापेक्ष $\triangle ABP$ की ऊँचाई $A$ से $BD$ तक की लंबवत दूरी है,मान लीजिए यह $h_1$ है। आधार $BP$ के सापेक्ष $\triangle CBP$ की ऊँचाई $C$ से $BD$ तक की लंबवत दूरी है,मान लीजिए यह $h_2$ है।
$7$. समांतर चतुर्भुज में,विपरीत शीर्षों से विकर्ण तक की दूरी समान होती है। अतः,$h_1 = h_2$।
$8$. चूँकि $ar(ABP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_1$ और $ar(CBP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_2$ है,और $h_1 = h_2$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $ar(ABP) = ar(CBP)$।

(N/A) माना $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ $E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $CD$ के मध्य बिंदु हैं।
चूँकि $AB \parallel CD$ और $AB = CD$ है,इसलिए $AE = EB = \frac{1}{2} AB$ और $CF = FD = \frac{1}{2} CD$ होगा।
अतः,$AE = FC$ और $AE \parallel FC$ है,जिसका अर्थ है कि $AEFC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसी प्रकार,$EBFD$ भी एक समांतर चतुर्भुज है क्योंकि $EB = FD$ और $EB \parallel FD$ है।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,भुजाओं $AB$ और $CD$ के बीच की ऊँचाई $h$ स्थिर रहती है।
समांतर चतुर्भुज $AEFC$ का क्षेत्रफल $= AE \times h$ और समांतर चतुर्भुज $EBFD$ का क्षेत्रफल $= EB \times h$ होगा।
चूँकि $AE = EB$ है,इसलिए $\text{Area}(AEFC) = \text{Area}(EBFD)$ सिद्ध होता है।
अतः,रेखाखंड $EF$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ को समान क्षेत्रफल वाले दो समांतर चतुर्भुजों में विभाजित करता है।

(N/A) माना $ABCD$ एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
समचतुर्भुज के गुणों के अनुसार,इसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण $(90^{\circ})$ पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः,$AC \perp BD$ और $AO = OC = \frac{1}{2} AC$,$BO = OD = \frac{1}{2} BD$.
समचतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times BO$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AC \times OD$.
कुल क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BO + \frac{1}{2} \times AC \times OD = \frac{1}{2} \times AC \times (BO + OD)$.
चूँकि $BO + OD = BD$,इसलिए क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times BD$.
अतः,सिद्ध होता है कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।

(N/A) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल विकर्ण $BD$ द्वारा दो त्रिभुजों,$\triangle ABD$ और $\triangle BCD$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(\triangle ABD) + \operatorname{ar}(\triangle BCD)$.
त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ होता है।
$\triangle ABD$ के लिए,आधार $BD$ है और ऊँचाई $AM$ है। अतः,$\operatorname{ar}(\triangle ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AM$.
$\triangle BCD$ के लिए,आधार $BD$ है और ऊँचाई $CN$ है। अतः,$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \times BD \times CN$.
इन मानों को पहले समीकरण में रखने पर:
$\operatorname{ar}(ABCD) = (\frac{1}{2} \times BD \times AM) + (\frac{1}{2} \times BD \times CN)$.
उभयनिष्ठ पद $\frac{1}{2} \times BD$ को कॉमन लेने पर:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times BD \times (AM + CN)$.
इस प्रकार,चतुर्भुज का क्षेत्रफल सिद्ध होता है।

(A) $1$. समकोण $\Delta ABC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. $AB^2 + 8^2 = 17^2 \implies AB^2 + 64 = 289 \implies AB^2 = 225 \implies AB = 15 \, \text{cm}$.
$3$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \, \text{cm}^2$.
$4$. चूंकि $BE$ एक माध्यिका है,यह त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल वाले भागों में विभाजित करती है: $\text{Area}(\Delta BCE) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{60}{2} = 30 \, \text{cm}^2$.
$5$. $\Delta BCE$ में,$M$,$BE$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $CM$,$\Delta BCE$ की माध्यिका है।
$6$. माध्यिका त्रिभुज को दो समान क्षेत्रफल में विभाजित करती है,इसलिए $\text{Area}(\Delta BMC) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta BCE) = \frac{30}{2} = 15 \, \text{cm}^2$.

(B) $1$. दिया गया है कि $AD$,$\Delta ABC$ की एक माध्यिका है,इसलिए यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। अतः,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times Area(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 16 \times 8 = 64\, cm^2$.
$3$. इसलिए,$Area(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 64 = 32\, cm^2$.
$4$. $\Delta EBD$ में,$DA$ एक माध्यिका है क्योंकि $AB = AE$ (दिया गया है),जिसका अर्थ है कि $A$,$BE$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$\Delta ABD$ और $\Delta AED$ का आधार और ऊँचाई समान है।
$5$. चूँकि $AB = AE$ है,इसलिए $\Delta ABD$ और $\Delta AED$ के क्षेत्रफल समान हैं। अतः,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta AED) = 32\, cm^2$.
$6$. $\Delta EBD$ का कुल क्षेत्रफल $= Area(\Delta ABD) + Area(\Delta AED) = 32 + 32 = 64\, cm^2$.

(N/A) $1$. चूंकि $AD$,$\triangle ABC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है। इसलिए,$ar(ABD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. $\triangle ABD$ में,$AE$ एक माध्यिका है क्योंकि $E$,$BD$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(ABE) = \frac{1}{2} ar(ABD)$.
$3$. चरण $1$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(ABE) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} ar(ABC)) = \frac{1}{4} ar(ABC)$.
$4$. $\triangle ABE$ में,$BO$ एक माध्यिका है क्योंकि $O$,$AE$ का मध्य-बिंदु है। अतः,$ar(AOB) = \frac{1}{2} ar(ABE)$.
$5$. चरण $3$ से मान प्रतिस्थापित करने पर: $ar(AOB) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} ar(ABC)) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
$6$. अतः,यह सिद्ध होता है कि $ar(AOB) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.

(N/A) $1$. चूँकि $M$ और $N$ क्रमशः $PQ$ और $PR$ के मध्य-बिंदु हैं,मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,$MN \parallel QR$ और $MN = \frac{1}{2} QR$ है।
$2$. $\Delta MXN$ और $\Delta MNR$ पर विचार करें। दोनों त्रिभुज समान समानांतर रेखाओं $MN$ और $QR$ के बीच स्थित हैं।
$3$. $\Delta MXN$ का आधार $MN$ है और $\Delta MNR$ का आधार भी $MN$ है। समान आधार और समान समानांतर रेखाओं के बीच स्थित होने के कारण,$ar(MXN) = ar(MNR)$ है।
$4$. $\Delta PQR$ में,$MN \parallel QR$ है। $MN$ आधार के सापेक्ष $\Delta MNR$ की ऊँचाई,$QR$ आधार के सापेक्ष $\Delta PQR$ की ऊँचाई की आधी है क्योंकि $M$ और $N$ मध्य-बिंदु हैं।
$5$. $ar(MNR) = \frac{1}{2} \times MN \times h_{MNR} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} QR) \times (\frac{1}{2} h_{PQR}) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times QR \times h_{PQR}) = \frac{1}{4} ar(PQR)$।
$6$. चूँकि $ar(MXN) = ar(MNR)$,अतः यह सिद्ध होता है कि $ar(MXN) = \frac{1}{4} ar(PQR)$।

(N/A) $1$. मान लीजिए कि $\Delta XYZ$ का आधार $YZ$,बिंदुओं $A, B, C, D, E, F,$ और $G$ द्वारा $8$ बराबर भागों में विभाजित है।
$2$. चूंकि $YA = AB = BC = CD = DE = EF = FG = GZ$ है,इसलिए प्रत्येक खंड की लंबाई कुल लंबाई $YZ$ का $\frac{1}{8}$ भाग है।
$3$. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $ar = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
$4$. सभी त्रिभुज $\Delta XYZ, \Delta XBE$ आदि एक ही शीर्ष $X$ साझा करते हैं और एक ही आधार रेखा $YZ$ पर स्थित हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी ऊंचाई $h$ समान है।
$5$. $\Delta XBE$ का आधार $BE$ है। चूंकि $BE = BC + CD + DE$ है और प्रत्येक खंड $\frac{1}{8} YZ$ है,इसलिए $BE = \frac{3}{8} YZ$ होगा।
$6$. अतः,$ar(XBE) = \frac{1}{2} \times BE \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{3}{8} YZ) \times h$।
$7$. इसे सरल करने पर $ar(XBE) = \frac{3}{8} \times (\frac{1}{2} \times YZ \times h) = \frac{3}{8} ar(XYZ)$ प्राप्त होता है।

(A) $(1)$ असत्य। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और संगत शीर्षलंब के गुणनफल के बराबर होता है,न कि उसके आधे के।
$(2)$ असत्य। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है,अर्थात $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$।
$(3)$ सत्य। वर्ग का क्षेत्रफल वास्तव में उसकी भुजा की लंबाई का वर्ग होता है।

(A) $(1)$ सत्य। समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए,$ar(ABCD) = 2 \times ar(ABC) = 2 \times 96 \, cm^2 = 192 \, cm^2$ होगा।
$(2)$ असत्य। समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{समकोण बनाने वाली भुजाओं का गुणनफल}$ होता है।

(D) हम जानते हैं कि यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हों,तो त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इस प्रश्न में,$\triangle PAB$ और समांतर चतुर्भुज $ABCD$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $CD$ के बीच स्थित हैं।
इसलिए,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times ar(ABCD)$।
दिया गया है कि $ar(ABCD) = 56 \, cm^2$ है।
अतः,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \, cm^2$।

(D) समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
समांतर चतुर्भुज $PQRS$ में,$PR$ एक विकर्ण है।
इसलिए,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times ar(PQRS)$।
दिया गया है कि $ar(PQRS) = 80 \, cm^2$।
अतः,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times 80 = 40 \, cm^2$।

(B) समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
दिया गया है: $d_1 = AC = 12 \, cm$ और $d_2 = BD = 15 \, cm$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times 12 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 6 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 90 \, cm^2$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$।
$\Delta ABC$ में,चूंकि $\angle B = 90^{\circ}$ है,इसलिए भुजाएं $AB$ और $BC$ आधार और ऊंचाई के रूप में कार्य करती हैं।
दिया गया है: $AB = 8\, \text{cm}$ (ऊंचाई) और $BC = 15\, \text{cm}$ (आधार)।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8$.
$\text{क्षेत्रफल} = 15 \times 4 = 60\, \text{cm}^2$।

(D) वर्ग का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र $P = 4 \times \text{भुजा}$ है।
यहाँ $P = 16 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $4 \times \text{भुजा} = 16 \, cm$ होगा।
अतः,भुजा की लंबाई $\text{भुजा} = \frac{16}{4} = 4 \, cm$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $ar(ABCD) = \text{भुजा}^2$ है।
इस प्रकार,$ar(ABCD) = 4^2 = 16 \, cm^2$ होगा।

(A) वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण $d$ की लंबाई का उपयोग करके निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d^2$.
यहाँ विकर्ण $AC = 16 \text{ cm}$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times (16)^2$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 256$.
$\text{क्षेत्रफल} = 128 \text{ cm}^2$.
अतः,वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $128 \text{ cm}^2$ है।

(B) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$.
यहाँ,आधार $AB = 15 \text{ cm}$ है और संगत शीर्षलंब $DM$ है।
दिया गया है,$\text{ar}(ABCD) = 360 \text{ cm}^2$।
सूत्र में मान रखने पर: $360 = 15 \times DM$।
$DM$ का मान ज्ञात करने के लिए,$360$ को $15$ से विभाजित करें: $DM = \frac{360}{15} = 24 \text{ cm}$।
अतः,शीर्षलंब $DM$ की लंबाई $24 \text{ cm}$ है।

(C) आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\operatorname{ar}(PQRS) = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
आयत $PQRS$ में,भुजाएँ $PQ$ और $SP$ हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(PQRS) = PQ \times SP$.
दिया गया है कि $\operatorname{ar}(PQRS) = 300 \, cm^2$ और $PQ = 20 \, cm$.
मान रखने पर: $300 = 20 \times SP$.
$SP$ के लिए हल करने पर: $SP = \frac{300}{20} = 15 \, cm$.
इस प्रकार,$SP = 15 \, cm$।

(D) त्रिभुज की एक माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
चूंकि $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,यह $\Delta ABC$ को दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों $\Delta ABD$ और $\Delta ADC$ में विभाजित करती है।
इसलिए,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times ar(\Delta ABC)$।
दिया गया है कि $ar(\Delta ABC) = 50 \, cm^2$ है।
अतः,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times 50 \, cm^2 = 25 \, cm^2$।

(A) $1$. $\Delta PQR$ में,$PM$ एक माध्यिका है,इसलिए यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है: $\text{ar}(PQM) = \text{ar}(PRM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$.
$2$. $\Delta PQM$ में,$QN$ एक माध्यिका है क्योंकि $N, PM$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$\text{ar}(PQN) = \text{ar}(QNM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQM)$.
$3$. दिया गया है कि $\text{ar}(PQN) = 36 \text{ cm}^2$,अतः $\text{ar}(PQM) = 2 \times \text{ar}(PQN) = 2 \times 36 = 72 \text{ cm}^2$.
$4$. चूंकि $\text{ar}(PQM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$,इसलिए $\text{ar}(PQR) = 2 \times \text{ar}(PQM) = 2 \times 72 = 144 \text{ cm}^2$.

(B) माना समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का आधार $b = CD$ है और इसकी ऊँचाई $h$ है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $\operatorname{ar}(ABCD) = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = b \times h$ होता है।
$\triangle PBC$ में,आधार $PC$ है और ऊँचाई $h$ है (जो समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई के समान है)।
चूँकि $P$,$CD$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $PC = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} b$ होगा।
$\triangle PBC$ का क्षेत्रफल $\operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} b) \times h = \frac{1}{4} bh$ होगा।
अब,अनुपात $\operatorname{ar}(ABCD) : \operatorname{ar}(PBC) = (bh) : (\frac{1}{4} bh) = 1 : \frac{1}{4} = 4 : 1$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. चूंकि $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 72 = 36 \, \text{cm}^2$.
$2$. $\Delta ABD$ में,$Q$,$AD$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$BQ$,$\Delta ABD$ की माध्यिका है।
$\operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \, \text{cm}^2$.
$3$. $\Delta ABQ$ में,$P$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$QP$,$\Delta ABQ$ की माध्यिका है।
$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \, \text{cm}^2$.

(D) माना $\Delta ABC$ का आधार $BC$ बिंदुओं $P$ और $Q$ द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित है। अतः,$BP = PQ = QC = \frac{1}{3} BC$ है।
चूंकि तीनों त्रिभुज $\Delta ABP$,$\Delta APQ$ और $\Delta AQC$ का शीर्ष $A$ समान है और उनके आधार बराबर $(BP = PQ = QC)$ हैं,इसलिए इन आधारों के सापेक्ष उनकी ऊंचाइयां समान होंगी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊंचाई समान होने और आधार बराबर होने के कारण,$\operatorname{ar}(\Delta ABP) = \operatorname{ar}(\Delta APQ) = \operatorname{ar}(\Delta AQC)$ होगा।
इसलिए,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABP) + \operatorname{ar}(\Delta APQ) + \operatorname{ar}(\Delta AQC) = 3 \times \operatorname{ar}(\Delta APQ)$।
इसका तात्पर्य है कि $\frac{\operatorname{ar}(\Delta APQ)}{\operatorname{ar}(\Delta ABC)} = \frac{1}{3}$।
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(A) चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसे एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित करके ज्ञात किया जा सकता है।
$ar(ABCD) = ar(\triangle ABC) + ar(\triangle ADC)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
$\triangle ABC$ के लिए,आधार $AC = 18 \, cm$ और ऊंचाई $BM = 10 \, cm$ है।
$ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 10 = 90 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ के लिए,आधार $AC = 18 \, cm$ और ऊंचाई $DN = 6 \, cm$ है।
$ar(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 6 = 54 \, cm^2$.
अतः,$ar(ABCD) = 90 + 54 = 144 \, cm^2$.

(B) $1$. $\Delta ABD$ में,$AM$ एक माध्यिका है क्योंकि $M$,$BD$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$\operatorname{ar}(ADM) = \operatorname{ar}(ABM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$.
$2$. $\Delta ADM$ में,$AN$ एक माध्यिका है क्योंकि $N$,$MD$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$\operatorname{ar}(AND) = \operatorname{ar}(ANM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADM)$.
$3$. दिया गया है $\operatorname{ar}(AND) = 20\, cm^2$,इसलिए $\operatorname{ar}(ADM) = 2 \times 20 = 40\, cm^2$.
$4$. चूंकि $\operatorname{ar}(ADM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$,इसलिए $\operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 40 = 80\, cm^2$.
$5$. $\Delta ABC$ में,$AD$ एक माध्यिका है,इसलिए $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \times \operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 80 = 160\, cm^2$.

(A) $(1)$ एक सरल बंद आकृति द्वारा परिबद्ध समतल के भाग को $\text{समतलीय क्षेत्र}$ (planar region) कहा जाता है।
$(2)$ एक बंद आकृति के संगत समतलीय क्षेत्र के $\text{परिमाण}$ (magnitude or measure) को उसका क्षेत्रफल कहा जाता है।

(A) $(1)$ दो सर्वांगसम आकृतियों के क्षेत्रफल समान होते हैं क्योंकि वे आकार और माप में एक समान होती हैं।
$(2)$ आकृति $A$ के क्षेत्रफल को प्रतीकात्मक रूप से $\operatorname{ar}(A)$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(N/A) $(1)$ आकृति $T$ का क्षेत्रफल दो गैर-अतिव्यापी क्षेत्रों $P$ और $Q$ के क्षेत्रफलों का योग होता है। अतः,$\operatorname{ar}(T) = \operatorname{ar}(P) + \operatorname{ar}(Q)$.
$(2)$ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधार और उस आधार के संगत शीर्षलंब (ऊंचाई) के गुणनफल के बराबर होता है। अतः,$\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$.

(N/A) $(1)$ समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{इसके विकर्णों का गुणनफल}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$(2)$ त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{संगत शीर्षलंब}$ द्वारा प्राप्त होता है।

(A) $(1)$ त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ है।
यहाँ आधार $(BC) = 8 \text{ cm}$ और ऊंचाई $(AD) = 5 \text{ cm}$ दी गई है।
अतः,$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \text{ cm}^2$ होगा।
$(2)$ त्रिभुज की एक माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

(D) आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई}$.
यहाँ $AB = 12 \, cm$ (लंबाई) और $BC = 7 \, cm$ (चौड़ाई) दिया गया है।
अतः,$\text{Area}(ABCD) = 12 \, cm \times 7 \, cm = 84 \, cm^2$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(A) वर्ग एक चतुर्भुज होता है जिसकी सभी भुजाएँ समान होती हैं और प्रत्येक आंतरिक कोण $90^\circ$ का होता है।
यहाँ दिया गया है कि $XYZW$ एक वर्ग है और भुजा की लंबाई $XY = 17 \text{ cm}$ है।
वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र $(\text{भुजा})^2$ होता है।
क्षेत्रफल $= (XY)^2 = 17^2 = 289 \text{ cm}^2$.
अतः,$XYZW$ का क्षेत्रफल $289 \text{ cm}^2$ है।

(B) माना कि वर्ग $ABCD$ की भुजा $a \, cm$ है।
एक वर्ग में,विकर्ण $d$ और भुजा $a$ के बीच का संबंध $d = a\sqrt{2}$ होता है।
दिया गया है कि विकर्ण $AC = 16 \, cm$,इसलिए $a\sqrt{2} = 16$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $2a^2 = 16^2 = 256$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,$a^2 = 128$ प्राप्त होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $a^2$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
अतः,वर्ग $ABCD$ का क्षेत्रफल $= 128 \, cm^2$ है।

(C) समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,जहाँ $d_1$ और $d_2$ विकर्णों की लंबाई हैं।
यहाँ,$d_1 = AC = 16 \, cm$ और $d_2 = BD = 30 \, cm$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 16 \times 30$
$\text{क्षेत्रफल} = 8 \times 30 = 240 \, cm^2$.
अतः,समचतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $240 \, cm^2$ है।

(D) दिया गया है कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle Q = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$PQ^2 + QR^2 = PR^2$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $PQ^2 + 21^2 = 29^2$।
$PQ^2 + 441 = 841$।
$PQ^2 = 841 - 441 = 400$।
$PQ = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
यहाँ,$\text{आधार} = QR = 21 \text{ cm}$ और $\text{ऊंचाई} = PQ = 20 \text{ cm}$ है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 21 \times 20 = 21 \times 10 = 210 \text{ cm}^2$।

(A) समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ चतुर्भुज को दो त्रिभुजों $\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ में विभाजित करता है।
इसलिए,$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADC)$।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इन दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABC) + \operatorname{ar}(ADC)$।
चूंकि $\operatorname{ar}(ABC) = 42 \, \text{cm}^2$ है,इसलिए $\operatorname{ar}(ADC) = 42 \, \text{cm}^2$ होगा।
अतः,$\operatorname{ar}(ABCD) = 42 \, \text{cm}^2 + 42 \, \text{cm}^2 = 84 \, \text{cm}^2$।

(B) त्रिभुज की माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
चूंकि $AD$,$\Delta ABC$ की माध्यिका है,यह त्रिभुज को दो त्रिभुजों $\Delta ADB$ और $\Delta ADC$ में विभाजित करती है,जिससे $\operatorname{ar}(ADB) = \operatorname{ar}(ADC)$ होता है।
दिया गया है कि $\operatorname{ar}(ADB) = 53 \, cm^2$,इसलिए $\operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2$ होगा।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta ADB$ और $\Delta ADC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADB) + \operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2 + 53 \, cm^2 = 106 \, cm^2$.

(C) त्रिभुज की एक माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।
$\Delta PQR$ में,$PM$ भुजा $QR$ पर माध्यिका है।
इसलिए,$\text{ar}(\Delta PMQ) = \text{ar}(\Delta PMR)$ होगा।
दिया गया है कि $\text{ar}(\Delta PMQ) = 36 \text{ cm}^2$ है।
अतः,$\text{ar}(\Delta PMR) = 36 \text{ cm}^2$ होगा।

(D) दिया गया है कि $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle B = 90^{\circ}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $50^2 = 14^2 + BC^2$.
$2500 = 196 + BC^2$.
$BC^2 = 2500 - 196 = 2304$.
$BC = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 14 \times 48$.
$\text{Area} = 7 \times 48 = 336 \, cm^2$.