समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु $P$ रेखाखंड $BO$ पर स्थित है। सिद्ध कीजिए कि,$ar(ABP) = ar(CBP)$।

(A) $1$. समांतर चतुर्भुज में,विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,$O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,जिसका अर्थ है $BO = OD$।
$2$. $\triangle ABD$ और $\triangle CBD$ पर विचार करें। चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,$AB = CD$ और $AD = BC$ है। साथ ही,$BD$ एक उभयनिष्ठ विकर्ण है।
$3$. $\triangle ABD$ में,शीर्ष $A$ से $BD$ पर माध्यिका $AO$ है। चूँकि $O$,$BD$ का मध्य-बिंदु है,$AO$,$\triangle ABD$ को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करता है: $ar(ABO) = ar(ADO)$।
$4$. इसी प्रकार,$\triangle CBD$ में,$CO$,$BD$ पर माध्यिका है,इसलिए $ar(CBO) = ar(CDO)$।
$5$. हालाँकि,प्रश्न में $ar(ABP) = ar(CBP)$ सिद्ध करने के लिए कहा गया है। त्रिभुज $\triangle ABP$ और $\triangle CBP$ पर विचार करें। ये त्रिभुज रेखा $BD$ पर समान आधार $BP$ साझा करते हैं।
$6$. आधार $BP$ के सापेक्ष $\triangle ABP$ की ऊँचाई $A$ से $BD$ तक की लंबवत दूरी है,मान लीजिए यह $h_1$ है। आधार $BP$ के सापेक्ष $\triangle CBP$ की ऊँचाई $C$ से $BD$ तक की लंबवत दूरी है,मान लीजिए यह $h_2$ है।
$7$. समांतर चतुर्भुज में,विपरीत शीर्षों से विकर्ण तक की दूरी समान होती है। अतः,$h_1 = h_2$।
$8$. चूँकि $ar(ABP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_1$ और $ar(CBP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_2$ है,और $h_1 = h_2$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $ar(ABP) = ar(CBP)$।