Mix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Gujarati

(A) $1$. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $Area = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે, જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
$2$. આપેલ છે કે $d_1 = 12 \, cm$ અને $d_2 = 16 \, cm$, તેથી સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96 \, cm^2$ થાય.
$3$. વેરીગન પ્રમેય (Varignon's Theorem) મુજબ, કોઈપણ ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતી આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે, અને તેનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે.
$4$. સમબાજુ ચતુષ્કોણ એ એક પ્રકારનો ચતુષ્કોણ હોવાથી, તેના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતી આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times (\text{સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ})$ થાય.
$5$. તેથી, માંગેલ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 96 = 48 \, cm^2$ છે.

(B) ત્રિકોણની મધ્યગા એ શિરોબિંદુને સામેની બાજુના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતો રેખાખંડ છે. ભૂમિતિના પ્રમેય મુજબ,સમાન પાયા પર આવેલા અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે. મધ્યગા ત્રિકોણને બે એવા ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે જે સમાન વેધ ધરાવે છે અને તેમના પાયાની લંબાઈ પણ સમાન હોય છે (કારણ કે મધ્યગા બાજુને દુભાગે છે),તેથી આ બંને ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.

(C) એક જ પાયા પર અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા બહુકોણને ઓળખવા માટે,આપણે બે શરતો તપાસવી પડે:
$1$. તેઓ એક સામાન્ય બાજુ (પાયો) ધરાવતા હોવા જોઈએ.
$2$. સામાન્ય પાયાની સામેના શિરોબિંદુઓ પાયાને સમાંતર રેખા પર આવેલા હોવા જોઈએ.
આકૃતિ $(c)$ માં,આપણી પાસે બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ,$PQRS$ અને $ABQR$ છે. બંને સામાન્ય પાયો $QR$ ધરાવે છે,અને તેમના સામેના શિરોબિંદુઓ ($P, S$ અને $A, B$) એક જ રેખા $PS$ પર આવેલા છે,જે પાયા $QR$ ને સમાંતર છે. આમ,તેઓ એક જ પાયા પર અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા છે.

(D) ધારો કે $ABCD$ એ $AB = 8 \, cm$ અને $BC = 6 \, cm$ બાજુઓ ધરાવતો લંબચોરસ છે.
ધારો કે $E, F, G$ અને $H$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
આ મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી આપણને ચતુષ્કોણ $EFGH$ મળે છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,લંબચોરસની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડવાથી બનતો ચતુષ્કોણ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે.
આ સમબાજુ ચતુષ્કોણ $EFGH$ ના વિકર્ણો લંબચોરસની બાજુઓ જેટલા હોય છે,એટલે કે $EG = BC = 6 \, cm$ અને $HF = AB = 8 \, cm$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{વિકર્ણોનો ગુણાકાર} = \frac{1}{2} \times EG \times HF$ દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 6 \, cm \times 8 \, cm = 24 \, cm^{2}$.
આમ,મળતી આકૃતિ $24 \, cm^{2}$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તેને અનુરૂપ વેધ (ઊંચાઈ) ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે,જો આપણે $AD$ ને પાયો ગણીએ,તો તેને અનુરૂપ વેધ $BM$ છે (કારણ કે $BM \perp AD$).
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ} = AD \times BM$.
વૈકલ્પિક રીતે,જો આપણે $AB$ ને પાયો ગણીએ,તો તેને અનુરૂપ વેધ $DL$ છે (કારણ કે $DL \perp AB$).
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= AB \times DL$.
અહીં $AB = DC$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $DC \times DL$ પણ થાય. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ અને લંબચોરસ $ABEM$ નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે. બંને એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $MC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $=$ પાયો $\times$ વેધ (ઊંચાઈ) હોવાથી,અને ઊંચાઈ એ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર હોવાથી,બંને આકૃતિઓની ઊંચાઈ $AM = BE$ સમાન છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $AMD$ માં,કર્ણ $AD$ એ હંમેશા લંબ બાજુ $AM$ કરતા મોટો હોય છે $(AD > AM)$.
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $BCE$ માં,કર્ણ $BC$ એ બાજુ $BE$ કરતા મોટો હોય છે $(BC > BE)$.
$AM = BE$ હોવાથી,આપણને $AD > AM$ અને $BC > BE$ મળે છે.
લંબચોરસ $ABEM$ ની પરિમિતિ $= 2(AB + AM)$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની પરિમિતિ $= AB + BC + CD + DA = AB + BC + AB + AD = 2AB + BC + AD$.
$BC > BE$ અને $AD > AM$ હોવાથી,$2AB + BC + AD > 2AB + BE + AM = 2AB + 2AM = 2(AB + AM)$ થાય છે.
તેથી,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની પરિમિતિ $>$ લંબચોરસ $ABEM$ ની પરિમિતિ.

(C) ધારો કે $D, E, F$ એ $\triangle ABC$ ની બાજુઓ $AB, BC, CA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$DE \parallel AC$ અને $DE = \frac{1}{2} AC = AF$ થાય.
તે જ રીતે,$EF \parallel AB$ અને $EF = \frac{1}{2} AB = AD$ થાય.
આમ,$ADEF$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ ત્રિકોણને ચાર એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ભાગનું હોય છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle ADE) = \operatorname{ar}(\triangle BDE) = \operatorname{ar}(\triangle EFC) = \operatorname{ar}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ADEF$ એ બે ત્રિકોણો $\triangle ADE$ અને $\triangle AFE$ થી બનેલો છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(ADEF) = \operatorname{ar}(\triangle ADE) + \operatorname{ar}(\triangle AFE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સમાન પાયા પર અને સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.
તેથી,તેમના ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર $1: 1$ થાય છે.

(A) ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. જો આ બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે વિકર્ણ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળને દુભાગે છે.
જોકે એ સાચું છે કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,પરંતુ દરેક ચતુષ્કોણ માટે આ ઉલટું સાચું હોવું જરૂરી નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,પતંગાકાર ચતુષ્કોણ અથવા કોઈપણ સામાન્ય ચતુષ્કોણ જેમાં વિકર્ણ ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે,તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ,સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા લંબચોરસ હોવું જરૂરી નથી.
તેથી,$ABCD$ એ વિકલ્પો $(B), (C)$ અથવા $(D)$ માં દર્શાવેલ કોઈપણ પ્રકારનો હોવો જરૂરી નથી.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો એક ત્રિકોણ અને એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે.
ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $A_p$ છે અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_t$ છે.
પ્રમેય મુજબ,$A_t = \frac{1}{2} \times A_p$.
તેથી,ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_t}{A_p} = \frac{1}{2}$ થાય,જે $1: 2$ છે.

(C) $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે. ધારો કે સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની ઊંચાઈ $H$ છે. $E$ અને $F$ એ અસમાંતર બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,રેખાખંડ $EF$ એ $AB$ અને $DC$ ને સમાંતર છે અને તેની લંબાઈ $EF = \frac{1}{2}(a + b)$ છે.
નાના સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABFE$ અને $EFCD$ ની ઊંચાઈ $h = \frac{H}{2}$ થશે.
સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$.
$\operatorname{ar}(ABFE) = \frac{1}{2} \times (AB + EF) \times h = \frac{1}{2} \times \left(a + \frac{a+b}{2}\right) \times \frac{H}{2} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{3a+b}{2}\right) \times \frac{H}{2} = \frac{H(3a+b)}{8}$.
$\operatorname{ar}(EFCD) = \frac{1}{2} \times (EF + DC) \times h = \frac{1}{2} \times \left(\frac{a+b}{2} + b\right) \times \frac{H}{2} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3b}{2}\right) \times \frac{H}{2} = \frac{H(a+3b)}{8}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\operatorname{ar}(ABFE)}{\operatorname{ar}(EFCD)} = \frac{\frac{H(3a+b)}{8}}{\frac{H(a+3b)}{8}} = \frac{3a+b}{a+3b}$.
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $(3a+b) : (a+3b)$ છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
$1$. $\triangle ABC$ માં,$AD$ મધ્યગા છે,તેથી તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. આમ,$\operatorname{ar}(ABD) = \operatorname{ar}(ACD)$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\triangle PBC$ માં,$PD$ મધ્યગા છે,તેથી $\operatorname{ar}(PBD) = \operatorname{ar}(PCD)$.
$3$. $\triangle ABD$ માંથી $\triangle PBD$ નું ક્ષેત્રફળ અને $\triangle ACD$ માંથી $\triangle PCD$ નું ક્ષેત્રફળ બાદ કરતાં,આપણને $\operatorname{ar}(ABD) - \operatorname{ar}(PBD) = \operatorname{ar}(ACD) - \operatorname{ar}(PCD)$ મળે છે.
$4$. આનું સાદું રૂપ આપતા $\operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(ACP)$ મળે છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
આપેલ છે કે $PQRS$ અને $EFRS$ એ એક જ પાયા $SR$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $PF$ અને $SR$ ની વચ્ચે આવેલા બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(PQRS) = \operatorname{ar}(EFRS)$.
હવે,ત્રિકોણ $MFR$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $EFRS$ ને ધ્યાનમાં લો. તેઓ એક જ પાયા $FR$ પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓ $EF$ અને $SR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
પ્રમેય મુજબ,જો ત્રિકોણ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક જ પાયા પર અને એક જ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(MFR) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(EFRS)$.
ચૂકી $\operatorname{ar}(EFRS) = \operatorname{ar}(PQRS)$ છે,તેથી $\operatorname{ar}(MFR) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$ થાય.

(B) અહીં $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $X$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
હવે,$\text{ar}(ABCD) = \text{ar}(AXCD) + \text{ar}(\triangle XBC) \dots(1)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ $AC$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\text{ar}(ABCD) = 2 \times \text{ar}(\triangle ABC) \dots(2)$
$X$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\triangle ABC$ ની મધ્યગા $CX$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$\text{ar}(\triangle XBC) = \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) \dots(3)$
$(1)$ અને $(3)$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા:
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) = 24 + \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC)$
$2 \times \text{ar}(\triangle ABC) - \frac{1}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\frac{3}{2} \text{ar}(\triangle ABC) = 24$
$\text{ar}(\triangle ABC) = \frac{24 \times 2}{3} = 16 \text{ cm}^2$.
આમ,$16 \text{ cm}^2 \neq 24 \text{ cm}^2$ હોવાથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(B) લંબચોરસ $PQRS$ માં,વિકર્ણ $PR$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે,તેથી $PR = 13 \, cm$.
આપેલ છે કે $PS = 5 \, cm$,કાટકોણ $\triangle PSR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$PR^2 = PS^2 + SR^2$
$13^2 = 5^2 + SR^2$
$169 = 25 + SR^2$
$SR^2 = 144 \implies SR = 12 \, cm$.
$PQRS$ લંબચોરસ હોવાથી,$PQ = SR = 12 \, cm$.
$\triangle PQS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PQ \times PS = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \, cm^2$.
$A$ એ $PQ$ પરનું કોઈપણ બિંદુ હોવાથી,ત્રિકોણ $PAS$ નો પાયો $PA$ અને વેધ $PS = 5 \, cm$ છે.
$\triangle PAS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times PA \times PS$.
$PA < PQ$ હોવાથી ($A$ એ $PQ$ પર છે),$\text{ar}(PAS) < \text{ar}(PQS) = 30 \, cm^2$.
તેથી,આપેલ વિધાન $\text{ar}(PAS) = 30 \, cm^2$ ખોટું છે.

(B) $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ $QS$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\therefore \operatorname{ar}(\triangle QRS) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \times 180 \, cm^{2} = 90 \, cm^{2}$.
અહીં $A$ એ વિકર્ણ $QS$ પરનું કોઈપણ બિંદુ હોવાથી,$\triangle ASR$ એ $\triangle QRS$ નો એક ભાગ છે.
$\triangle ASR$ અને $\triangle QRS$ નો પાયો $SR$ સમાન છે,પરંતુ $SR$ ને અનુરૂપ $\triangle ASR$ ની ઊંચાઈ એ $\triangle QRS$ ની ઊંચાઈ કરતા ઓછી છે (જ્યાં સુધી $A$ એ $Q$ પર ન હોય).
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle ASR) < \operatorname{ar}(\triangle QRS)$.
આમ,$\operatorname{ar}(\triangle ASR) < 90 \, cm^{2}$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $x$ છે.
$ABC$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,તેનું ક્ષેત્રફળ $ar(\triangle ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ થાય.
આપેલ છે કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી સમબાજુ ત્રિકોણ $BDE$ ની બાજુની લંબાઈ $BD = \frac{BC}{2} = \frac{x}{2}$ થાય.
સમબાજુ ત્રિકોણ $BDE$ નું ક્ષેત્રફળ $ar(\triangle BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} x^2\right)$ થાય.
$ riangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળની કિંમત મૂકતા,આપણને $ar(\triangle BDE) = \frac{1}{4} ar(\triangle ABC)$ મળે છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુની લંબાઈ $a$ છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,સમબાજુ ત્રિકોણ $BDE$ ની બાજુની લંબાઈ $\frac{a}{2}$ થશે.
$s$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$.
$\operatorname{ar}(\triangle BDE) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3}}{4} a^2\right)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
આમ,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન:
જેમ કે $\triangle DPC$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ પાયા $DC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
આપેલ છે કે $G$ એ $DC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $EFGD$ નો પાયો $DG = \frac{1}{2} DC$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $EFGD$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ તેમના પાયાના પ્રમાણમાં હોય છે.
$\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{DG}{DC} \times \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
બંને પરિણામોની સરખામણી કરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ અને $\operatorname{ar}(EFGD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle DPC) = \operatorname{ar}(EFGD)$.

$(8 cm^2)$ આપેલ છે કે $PQRS$ એક ચોરસ છે જેની બાજુની લંબાઈ $PQ = 8 \, cm$ છે.
જે હોઈ $T$ અને $U$ અનુક્રમે $PS$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે, તેથી $TU$ એ $PQ$ અને $SR$ ને સમાંતર છે.
$ST = \frac{1}{2} PS = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \, cm$
જે હોઈ $TU$ એ $PQ$ અને $SR$ ને સમાંતર છે, અને $T, U$ મધ્યબિંદુઓ છે, તેથી $TU = PQ = 8 \, cm$
$\triangle OTS$ અને $\triangle QPS$ માં, $TU \parallel PQ$ હોવાથી, સમરૂપ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ $\triangle OTS \sim \triangle QPS$
$T$ એ $PS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, સમરૂપતાનો ગુણોત્તર $\frac{ST}{SP} = \frac{1}{2}$ છે
તેથી, $OT = \frac{1}{2} PQ = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \, cm$
$PQRS$ ચોરસ હોવાથી $\angle TSP = 90^\circ$, તેથી $\angle OTS = 90^\circ$
$\triangle OTS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times ST \times OT$
$\triangle OTS$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \, cm^2$

(A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$AD = CQ$,અને $AQ$ એ $DC$ ને $P$ માં છેદે છે.
પગલું $1$: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ અને $AD = BC$ થાય. આપેલ છે કે $AD = CQ$,તેથી $BC = CQ$ થાય.
પગલું $2$: $\triangle ADQ$ અને $\triangle ADC$ નો વિચાર કરો. $AD \parallel QC$ હોવાથી,$\operatorname{ar}(ADQ) = \operatorname{ar}(ADC)$ થાય કારણ કે તેઓ એક જ પાયા $AD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $QC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
પગલું $3$: બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(ADP)$ બાદ કરતા:
$\operatorname{ar}(ADQ) - \operatorname{ar}(ADP) = \operatorname{ar}(ADC) - \operatorname{ar}(ADP)$
$\operatorname{ar}(DPQ) = \operatorname{ar}(APC) .....(1)$
પગલું $4$: હવે,$\triangle APC$ અને $\triangle BPC$ નો વિચાર કરો. તેઓ એક જ પાયા $PC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે (કારણ કે $AB \parallel DC$).
તેથી,$\operatorname{ar}(APC) = \operatorname{ar}(BPC) .....(2)$
પગલું $5$: $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$.

(A) $PSDA$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. $PS$ પર બિંદુઓ $Q$ અને $R$ એવી રીતે લેવામાં આવ્યા છે કે જેથી $PQ = QR = RS$ અને $PA \parallel QB \parallel RC$ થાય.
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$.
$PSDA$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$PS = AD$ અને $PS \parallel AD$ થાય.
આપેલ છે કે $PQ = QR = RS$,તેથી $PQ = QR = RS = \frac{1}{3} PS$ થાય.
$PA \parallel QB \parallel RC \parallel SD$ હોવાથી,અંતઃખંડના પ્રમેય મુજબ $AB, BC, CD$ પણ સમાન થાય.
તેથી,$AB = BC = CD = \frac{1}{3} AD$ થાય.
આમ,$PQ = CD$ મળે.
હવે,$\triangle PQE$ અને $\triangle CFD$ ને ધ્યાનમાં લો:
$1$. $PQ = CD$ (ઉપર સાબિત કર્યું).
$2$. $\angle QPE = \angle FDC$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $PS \parallel AD$ અને $PD$ છેદિકા છે).
$3$. $\angle PQE = \angle FCD$ (અનુકોણ,કારણ કે $QB \parallel RC$ અને $PS$ છેદિકા છે).
$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PQE \cong \triangle CFD$ થાય.
એકરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$ થાય.

(N/A) આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle LZY) = \operatorname{ar}(MZYX)$.
$\triangle LXZ$ અને $\triangle MXZ$ એક જ પાયા $XZ$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $LM$ અને $XZ$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી:
$\operatorname{ar}(\triangle LXZ) = \operatorname{ar}(\triangle MXZ) \quad \dots(1)$
સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુએ $\operatorname{ar}(\triangle XYZ)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\triangle LXZ) + \operatorname{ar}(\triangle XYZ) = \operatorname{ar}(\triangle MXZ) + \operatorname{ar}(\triangle XYZ)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle LZY) = \operatorname{ar}(MZYX)$.

(N/A) $(i)$ સમાન પાયા પર અને સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે,તેથી:
$ar(ABEF) = ar(ABCD)$
તેથી,$ar(ABEF) = 90 \, cm^{2}$.
$(ii)$ $ar(ABD) = \frac{1}{2} \times ar(ABCD)$
[કારણ કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે]
$ar(ABD) = \frac{1}{2} \times 90 \, cm^{2} = 45 \, cm^{2}$.
$(iii)$ $ar(BEF) = \frac{1}{2} \times ar(ABEF)$
[કારણ કે સમાન પાયા પર અને સમાન સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે]
$ar(BEF) = \frac{1}{2} \times 90 \, cm^{2} = 45 \, cm^{2}$.

(A) $\triangle ABC$ માં $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $P$ એ $BC$ પરનું કોઈ પણ બિંદુ છે. આપેલ છે કે $CQ \parallel PD$ એ $AB$ ને $Q$ માં મળે છે,આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
$CD$ ને જોડો. ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી:
$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad \dots(1)$
એક જ પાયા પર આવેલા અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે,તેથી:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) \quad \dots(2)$
[$\because$ ત્રિકોણ $DPQ$ અને $DPC$ એક જ પાયા $DP$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $DP$ અને $CQ$ ની વચ્ચે આવેલા છે]
સમીકરણ $(2)$ ની બંને બાજુએ $\operatorname{ar}(\triangle DPB)$ ઉમેરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle DPQ) + \operatorname{ar}(\triangle DPB) = \operatorname{ar}(\triangle DPC) + \operatorname{ar}(\triangle DPB)$
$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \operatorname{ar}(\triangle BCD)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle BPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.

(N/A) $ABCD$ એક ચોરસ છે. $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. જો $R$ એ $EF$ નું મધ્યબિંદુ હોય,તો આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle AER) = \operatorname{ar}(\triangle AFR)$.
$\triangle ABE$ અને $\triangle ADF$ માં,આપણી પાસે છે:
$AB = AD$ [ચોરસની બાજુઓ સમાન હોય છે]
$\angle ABE = \angle ADF = 90^{\circ}$
$BE = DF$ [કારણ કે $E$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $F$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,અને $BC = CD$]
તેથી,$\triangle ABE \cong \triangle ADF$ [$SAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
આનો અર્થ એ છે કે $AE = AF$ [$CPCT$] ... $(1)$
હવે,$\triangle AER$ અને $\triangle AFR$ માં,આપણી પાસે છે:
$AE = AF$ [$(1)$ પરથી]
$ER = RF$ [આપેલ છે કે $R$ એ $EF$ નું મધ્યબિંદુ છે]
$AR = AR$ [સામાન્ય બાજુ]
તેથી,$\triangle AER \cong \triangle AFR$ [$SSS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
એકરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle AER) = \operatorname{ar}(\triangle AFR)$.

(N/A) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો $PR$ અને $SQ$ બિંદુ $M$ માં છેદે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે,તેથી $M$ એ $PR$ અને $SQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$SM = MQ$ થાય.
$\triangle PQS$ માં,$PM$ એ મધ્યગા છે કારણ કે $M$ એ $SQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી:
$\operatorname{ar}(\triangle PSM) = \operatorname{ar}(\triangle PQM) \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,$\triangle OQS$ માં,$OM$ એ મધ્યગા છે કારણ કે $M$ એ $SQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle OSM) = \operatorname{ar}(\triangle OQM) \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\triangle PSM) + \operatorname{ar}(\triangle OSM) = \operatorname{ar}(\triangle PQM) + \operatorname{ar}(\triangle OQM)$
$\operatorname{ar}(\triangle PSO) = \operatorname{ar}(\triangle PQO)$
આમ,સાબિત થાય છે.

(D) $\Delta ADF$ અને $\Delta ECF$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle DAF = \angle CEF$ [યુગ્મકોણ]
$AD = CE$ [કારણ કે $AD = BC$ અને $BC = CE$ (આપેલ છે)]
$\angle ADF = \angle ECF$ [યુગ્મકોણ]
તેથી,$\Delta ADF \cong \Delta ECF$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
આમ,$DF = CF$ [$CPCT$].
$\Delta BCD$ માં,$BF$ એ મધ્યગા છે કારણ કે $DF = CF$.
મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\text{ar}(\Delta BDF) = \text{ar}(\Delta BCF) = \frac{1}{2} \text{ar}(\Delta BCD)$.
આપેલ છે કે $\text{ar}(\Delta DFB) = 3 \, \text{cm}^2$,તેથી $\text{ar}(\Delta BCD) = 2 \times 3 = 6 \, \text{cm}^2$.
સમાન પાયા અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતા અડધું હોય છે,તેથી $\text{ar}(\Delta BCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } ABCD)$.
$6 = \frac{1}{2} \text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } ABCD)$.
$\text{ar}(\text{સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ } ABCD) = 12 \, \text{cm}^2$.

(N/A) આપેલ છે: સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB \parallel DC$ અને $L$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $PQ \parallel AD$ રેખા $AB$ ને $P$ માં અને $DC$ ને લંબાવતા $Q$ માં મળે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(APQD)$.
સાબિતી:
$\triangle CLQ$ અને $\triangle BLP$ માં:
$1$. $\angle QCL = \angle LBP$ (યુગ્મકોણ,કારણ કે $AB \parallel DQ$)
$2$. $CL = LB$ (આપેલ છે,$L$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે)
$3$. $\angle CLQ = \angle BLP$ (અભિકોણ)
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle CLQ \cong \triangle BLP$ થાય.
ત્રિકોણો એકરૂપ હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય: $\operatorname{ar}(\triangle CLQ) = \operatorname{ar}(\triangle BLP)$ ... $(1)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુએ $\operatorname{ar}(APLCD)$ ઉમેરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle CLQ) + \operatorname{ar}(APLCD) = \operatorname{ar}(\triangle BLP) + \operatorname{ar}(APLCD)$
આથી મળે છે:
$\operatorname{ar}(APQD) = \operatorname{ar}(ABCD)$
આમ,$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(APQD)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: એક ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં બાજુઓ $AB, BC, CD,$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ અનુક્રમે $P, Q, R,$ અને $S$ છે,જેમને ક્રમમાં જોડતા ચતુષ્કોણ $PQRS$ બને છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\text{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
રચના: $AC$ અને $BD$ ને જોડો.
સાબિતી: $\triangle ABC$ માં,$P$ અને $Q$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$PQ \parallel AC$ અને $PQ = \frac{1}{2} AC$.
તે જ રીતે,$\triangle ADC$ માં,$S$ અને $R$ એ અનુક્રમે $AD$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$SR \parallel AC$ અને $SR = \frac{1}{2} AC$.
ચૂંક $PQ \parallel AC$ અને $SR \parallel AC$,તેથી $PQ \parallel SR$.
વળી,$PQ = SR = \frac{1}{2} AC$. આમ,$PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ચારેય ખૂણા પરના ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો કરતા: $\text{ar}(\triangle APS) + \text{ar}(\triangle BPQ) + \text{ar}(\triangle CRQ) + \text{ar}(\triangle DSR) = \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD)$.
તેથી,$\text{ar}(PQRS) = \text{ar}(ABCD) - \frac{1}{4} \text{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \text{ar}(ABCD)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી $AB$ ને સમાંતર રેખાઓ $PR$ અને $QS$ દોરો. હવે $PQRS$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને તેનો પાયો $PQ = \frac{1}{3} BC$ છે.
$\operatorname{ar}(APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ [સમાન પાયો $BC$ અને $BC \parallel AD$]....$(1)$
$\operatorname{ar}(AQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$....$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે
$\operatorname{ar}(APD) = \operatorname{ar}(AQD)$....$(3)$
બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(AOD)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે
$\operatorname{ar}(APD) - \operatorname{ar}(AOD) = \operatorname{ar}(AQD) - \operatorname{ar}(AOD)$
$\operatorname{ar}(APO) = \operatorname{ar}(OQD)$....$(4)$
$(4)$ માં બંને બાજુ $\operatorname{ar}(OPQ)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે
$\operatorname{ar}(APO) + \operatorname{ar}(OPQ) = \operatorname{ar}(OQD) + \operatorname{ar}(OPQ)$
$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ)$
કારણ કે,$\operatorname{ar}(APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$,તેથી
$\operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS)$
હવે,$\operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD)$
તેથી,$\operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(DPQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(PQRS) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(ABCD)$.

(N/A) આપણને આપેલ છે કે $AD \parallel n$. ત્રિકોણ $\triangle APD$ અને $\triangle AQD$ એક જ પાયા $AD$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $n$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle APD) = \operatorname{ar}(\triangle AQD) \dots(1)$
હવે,સમીકરણ $(1)$ ની બંને બાજુએ $\operatorname{ar}(ABCD)$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\triangle APD) + \operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(\triangle AQD) + \operatorname{ar}(ABCD)$
આકૃતિ પરથી,$\operatorname{ar}(\triangle APD) + \operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABCDP)$ અને $\operatorname{ar}(\triangle AQD) + \operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABCQ)$.
આમ,$\operatorname{ar}(ABCDP) = \operatorname{ar}(ABCQ)$.

(N/A) આપેલ છે: $BD \parallel CA$,$E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CE = \frac{1}{2} CA$.
$BD = \frac{1}{2} CA$ હોવાથી,આપણને $BD = CE$ મળે છે.
વળી,$BD \parallel CE$ (કારણ કે $BD \parallel CA$).
સામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,$BCED$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,$\operatorname{ar}(DBC) = \operatorname{ar}(EBC)$ કારણ કે તેઓ એક જ પાયા $BC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BC$ અને $DE$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\triangle ABC$ માં,$BE$ એ મધ્યગા છે કારણ કે $E$ એ $CA$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(EBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABC)$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(EBC)$.
$\operatorname{ar}(EBC) = \operatorname{ar}(DBC)$ મૂકતા,આપણને $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(DBC)$ મળે છે.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. બાજુ $BC$ પર એક બિંદુ $E$ લેવામાં આવ્યું છે. $AE$ અને $DC$ ને લંબાવતા તે $F$ માં મળે છે.
સાબિતી: કારણ કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને વિકર્ણ $AC$ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) \quad ....(1)$
જેમ કે $DC \parallel AB$,તેથી $CF \parallel AB$.
સમાન પાયા $CF$ પર અને સમાન સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DF$ ની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$\operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle BCF) \quad ....(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\triangle ADC) + \operatorname{ar}(\triangle ACF) = \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle BCF)$
$\Rightarrow \operatorname{ar}(\triangle ADF) = \operatorname{ar}(ABFC)$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. રેખા $PQ$ એ $O$ માંથી પસાર થાય છે જેથી $P$ એ $AD$ પર અને $Q$ એ $BC$ પર છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(quad. APQB) = \operatorname{ar}(quad. PQCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
સાબિતી:
$\triangle AOP$ અને $\triangle COQ$ માં:
$1$. $AO = CO$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે).
$2$. $\angle AOP = \angle COQ$ (અભિકોણો).
$3$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AD \parallel BC$).
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle AOP \cong \triangle COQ$.
આનો અર્થ એ છે કે $\operatorname{ar}(\triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle COQ)$ (એકરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે).
હવે,બંને બાજુ $\operatorname{ar}(quad. OPCD)$ ઉમેરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle AOP) + \operatorname{ar}(quad. OPCD) = \operatorname{ar}(\triangle COQ) + \operatorname{ar}(quad. OPCD)$
$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle COQ) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle ADC)$.
$AC$ વિકર્ણ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
તે જ રીતે,બીજો ભાગ $quad. PQCB$ નું ક્ષેત્રફળ પણ $\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $BE$ અને $CF$ એ $\triangle ABC$ ની મધ્યગાઓ છે જે $G$ માં છેદે છે. આપણે સાબિત કરવું છે કે $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$.
મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી મધ્યગા $CF$ માટે:
$\operatorname{ar}(\triangle BCF) = \operatorname{ar}(\triangle ACF)$
$\operatorname{ar}(\triangle GBF) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE) + \operatorname{ar}(\triangle GCE) \quad \dots(1)$
તે જ રીતે,મધ્યગા $BE$ માટે:
$\operatorname{ar}(\triangle ABE) = \operatorname{ar}(\triangle CBE)$
$\operatorname{ar}(\triangle AFG) + \operatorname{ar}(\triangle BFG) = \operatorname{ar}(\triangle GCE) + \operatorname{ar}(\triangle GBC) \quad \dots(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યકેન્દ્ર $G$ ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(\triangle GCA) = \operatorname{ar}(\triangle GAB) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
$F$ અને $E$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle GAF) = \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(AFGE) = \operatorname{ar}(\triangle GAF) + \operatorname{ar}(\triangle GAE) = \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) + \frac{1}{6} \operatorname{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
આમ,$\operatorname{ar}(\triangle GBC) = \operatorname{ar}(AFGE)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $CD \parallel AE$ અને $CY \parallel BA$.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(\triangle CBX) = \operatorname{ar}(\triangle AXY)$.
સાબિતી:
ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ABY$ એક જ પાયા $AB$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $CY$ અને $BA$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) = \operatorname{ar}(\triangle ABY)$
બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(\triangle ABX)$ બાદ કરતાં:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) - \operatorname{ar}(\triangle ABX) = \operatorname{ar}(\triangle ABY) - \operatorname{ar}(\triangle ABX)$
આકૃતિ પરથી,$\operatorname{ar}(\triangle ABC) - \operatorname{ar}(\triangle ABX) = \operatorname{ar}(\triangle CBX)$ અને $\operatorname{ar}(\triangle ABY) - \operatorname{ar}(\triangle ABX) = \operatorname{ar}(\triangle AXY)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle CBX) = \operatorname{ar}(\triangle AXY)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $\Delta MBY$ અને $\Delta DCY$ માં,આપણી પાસે છે:
$\angle 1 = \angle 2$ [અભિકોણો]
$\angle 3 = \angle 4$ [કારણ કે $AB \parallel DC$ અને યુગ્મકોણો સમાન છે]
$BY = CY$ [કારણ કે $Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે]
તેથી,$\Delta MBY \cong \Delta DCY$ [$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ]
તેથી,$MB = DC = 30 \, cm$ [$CPCT$]
હવે,$AM = AB + BM = 50 \, cm + 30 \, cm = 80 \, cm$
$\Delta ADM$ માં,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$XY = \frac{1}{2} AM = \frac{1}{2} \times 80 \, cm = 40 \, cm$
જેમ કે $AB \parallel XY \parallel DC$ અને $X$ તથા $Y$ એ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,તેથી સમલંબ ચતુષ્કોણ $DCXY$ અને $XYBA$ ની ઊંચાઈ સમાન છે. ધારો કે સમાન ઊંચાઈ $h \, cm$ છે.
$\frac{\operatorname{ar}(DCXY)}{\operatorname{ar}(XYBA)} = \frac{\frac{1}{2}(DC + XY) \times h}{\frac{1}{2}(XY + AB) \times h} = \frac{30 + 40}{40 + 50} = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$
આમ,$\operatorname{ar}(DCXY) = \frac{7}{9} \operatorname{ar}(XYBA)$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ માં $LM \parallel BC,$ જ્યાં $L$ એ $AB$ પર અને $M$ એ $AC$ પર આવેલું છે.
સાબિતી:
ત્રિકોણ $\triangle LBM$ અને $\triangle LCM$ એક જ પાયા $LM$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $LM$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
$\therefore \operatorname{ar}(\triangle LBM) = \operatorname{ar}(\triangle LCM)$
આ ક્ષેત્રફળોને બે નાના ત્રિકોણોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય:
$\operatorname{ar}(\triangle LBM) = \operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle LOB)$
$\operatorname{ar}(\triangle LCM) = \operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle MOC)$
આ કિંમતોને સમાનતામાં મૂકતા:
$\operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle LOB) = \operatorname{ar}(\triangle LOM) + \operatorname{ar}(\triangle MOC)$
બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(\triangle LOM)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(\triangle LOB) = \operatorname{ar}(\triangle MOC)$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $BP \parallel AC$ અને $AD \parallel EQ$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એક જ પાયા પર આવેલા અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે:
$1$. $\triangle ABC$ અને $\triangle APC$ માટે,તેઓ એક જ પાયા $AC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $BP$ અને $AC$ ની વચ્ચે આવેલા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle ABC) = \operatorname{ar}(\triangle APC) \dots(1)$
$2$. $\triangle ADE$ અને $\triangle ADQ$ માટે,તેઓ એક જ પાયા $AD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $EQ$ ની વચ્ચે આવેલા છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle ADE) = \operatorname{ar}(\triangle ADQ) \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle ADE) = \operatorname{ar}(\triangle APC) + \operatorname{ar}(\triangle ADQ)$
બંને બાજુ $\operatorname{ar}(\triangle ACD)$ ઉમેરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle ABC) + \operatorname{ar}(\triangle ADE) + \operatorname{ar}(\triangle ACD) = \operatorname{ar}(\triangle APC) + \operatorname{ar}(\triangle ADQ) + \operatorname{ar}(\triangle ACD)$
આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે ડાબી બાજુ પંચકોણ $ABCDE$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે અને જમણી બાજુ $\triangle APQ$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
આમ,$\operatorname{ar}(ABCDE) = \operatorname{ar}(\triangle APQ)$.

(N/A) આપેલ છે: $\triangle ABC$ ની મધ્યગાઓ $AE, BF$ અને $CD$ બિંદુ $G$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \operatorname{ar}(\triangle AGC) = \operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
રચના: $BP \perp AE$ દોરો.
સાબિતી: $AG = \frac{2}{3} AE$ [કારણ કે મધ્યકેન્દ્ર મધ્યગાનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે].
હવે,$\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \frac{1}{2} \times AG \times BP$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} AE \times BP$
$= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{2} \times AE \times BP)$
$= \frac{2}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABE)$
$= \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ [કારણ કે મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે]
$= \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
તે જ રીતે,$\operatorname{ar}(\triangle AGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$ અને $\operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle AGB) = \operatorname{ar}(\triangle AGC) = \operatorname{ar}(\triangle BGC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(\triangle ABC)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $X$ અને $Y$ અનુક્રમે $AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $QP \parallel BC$.
$1$. $X$ અને $Y$ એ $AC$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$XY \parallel BC$.
$2$. એક જ પાયા $BC$ પર આવેલા અને બે સમાંતર રેખાઓ $XY$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે.
$\therefore \text{ar}(\triangle BYC) = \text{ar}(\triangle BXC)$.
$3$. બંને બાજુથી $\text{ar}(\triangle BOC)$ બાદ કરતા:
$\text{ar}(\triangle BYC) - \text{ar}(\triangle BOC) = \text{ar}(\triangle BXC) - \text{ar}(\triangle BOC)$
$\Rightarrow \text{ar}(\triangle BOY) = \text{ar}(\triangle COX) \dots(1)$
$4$. આ રીતે,સમાંતર રેખાઓ અને પાયાના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે $\text{ar}(ABP) = \text{ar}(ACQ)$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ અને $AEFD$ બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$.
સાબિતી:
$\triangle PEA$ અને $\triangle QFD$ માં:
$1$. $\angle APE = \angle DQF$ (અનુકોણ સમાન છે કારણ કે $AB \parallel CD$ અને $PQ$ છેદિકા છે).
$2$. $\angle AEP = \angle DFQ$ (અનુકોણ સમાન છે કારણ કે $AE \parallel DF$ અને $PQ$ છેદિકા છે).
$3$. $AE = DF$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEFD$ ની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
તેથી,$AAS$ એકરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle PEA \cong \triangle QFD$.
એકરૂપ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle PEA) = \operatorname{ar}(\triangle QFD)$.

(N/A) હા,સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQRS$ અને ત્રિકોણ $\Delta APQ$ એક જ પાયા પર અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા છે.
સામાન્ય પાયો: $PQ$
સમાંતર રેખાઓ: $PQ$ અને $SR$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેમાં $AB \parallel DC$ છે. $E$ એ $BC$ ને લંબાવતા મળતા રેખાખંડ પરનું બિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ar(BDE) = ar(ACED)$.
સાબિતી:
ત્રિકોણ $ADC$ અને ત્રિકોણ $BDC$ એક જ પાયા $DC$ પર આવેલા છે અને બે સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$ar(ADC) = ar(BDC)$.
સમીકરણની બંને બાજુએ $ar(DCE)$ ઉમેરતા:
$ar(ADC) + ar(DCE) = ar(BDC) + ar(DCE)$
આકૃતિ પરથી,$ar(ADC) + ar(DCE) = ar(ACED)$ અને $ar(BDC) + ar(DCE) = ar(BDE)$.
તેથી,$ar(ACED) = ar(BDE)$ અથવા $ar(BDE) = ar(ACED)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તે પાયાને અનુરૂપ વેધના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,ક્ષેત્રફળ પાયા $AB$ અને વેધ $DM$ નો ઉપયોગ કરીને અથવા પાયા $BC$ અને વેધ $DN$ નો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે.
તેથી,$\text{Area}(ABCD) = AB \times DM = BC \times DN$.
અહીં $AB = 12 \, cm$,$DM = 5 \, cm$,અને $DN = 6 \, cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $12 \times 5 = BC \times 6$.
$60 = BC \times 6$.
$BC = \frac{60}{6} = 10 \, cm$.

(N/A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$E, F, G$ અને $H$ એ અનુક્રમે $AB, BC, CD$ અને $DA$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. $GE$ દોરો.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB \parallel CD$ અને $AB = CD$ છે.
$\therefore BE \parallel CG$ અને $BE = (\frac{1}{2} AB) = CG = (\frac{1}{2} CD)$ થાય.
$\therefore$ ચતુષ્કોણ $EBCG$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\therefore GE \parallel BC$ થાય.
હવે,$\Delta EFG$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $EBCG$ એક જ પાયા $GE$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $GE$ અને $BC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore ar(EFG) = \frac{1}{2} ar(EBCG)$ ... $(1)$
તે જ રીતે,$\Delta EHG$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEGD$ એક જ પાયા $GE$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $GE$ અને $AD$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(AEGD)$ ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,
$ar(EFG) + ar(EHG) = \frac{1}{2} ar(EBCG) + \frac{1}{2} ar(AEGD)$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} [ar(EBCG) + ar(AEGD)]$
$\therefore ar(EFGH) = \frac{1}{2} ar(ABCD)$

(N/A) $P$ માંથી પસાર થતી અને $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $BC$ ને $Q$ માં અને $AD$ ને $R$ માં છેદે છે.
હવે,ચતુષ્કોણ $ABQR$ માં,
$AB \parallel QR$ (રચના મુજબ)
$BQ \parallel AR$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$BC \parallel AD$)
$\therefore$ ચતુષ્કોણ $ABQR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેવી જ રીતે,$DCQR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\Delta APB$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABQR$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $QR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore \operatorname{ar}(APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) \quad \dots(1)$
તેવી જ રીતે,$\Delta PCD$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $DCQR$ એક જ પાયા $DC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $DC$ અને $QR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$\therefore \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR) \quad \dots(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,
$\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABQR) + \frac{1}{2} \operatorname{ar}(DCQR)$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ABQR) + \operatorname{ar}(DCQR)]$
$\therefore \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(3)$
હવે,$P$ માંથી પસાર થતી અને $AD$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $AB$ ને $S$ માં અને $CD$ ને $T$ માં છેદે છે.
તો,ઉપર મુજબ સાબિત કરી શકાય કે $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD) \quad \dots(4)$
$(3)$ અને $(4)$ પરથી,
$\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$

(N/A) આપેલ છે: સમલંબ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$AB || CD$ છે અને વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ar(AOD) = ar(BOC)$.
સાબિતી:
$1$. ત્રિકોણ $ADC$ અને $BDC$ એક જ પાયા $CD$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $AB || CD$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$2$. તેથી,$ar(ADC) = ar(BDC)$ (એક જ પાયા અને સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે).
$3$. બંને બાજુથી $ar(DOC)$ બાદ કરતા:
$ar(ADC) - ar(DOC) = ar(BDC) - ar(DOC)$.
$4$. આકૃતિ પરથી,$ar(ADC) - ar(DOC) = ar(AOD)$ અને $ar(BDC) - ar(DOC) = ar(BOC)$.
$5$. આમ,$ar(AOD) = ar(BOC)$.
આમ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: સમલંબ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,$PQ || RS$.
સાબિત કરવાનું છે: $ar(PQS) = ar(QPR)$.
સાબિતી:
$1$. ત્રિકોણ $PQS$ અને $QPR$ એક જ પાયા $PQ$ પર આવેલા છે.
$2$. $PQ || RS$ હોવાથી,સમાંતર રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ વચ્ચેનું અંતર સમાન રહે છે.
$3$. તેથી,ત્રિકોણ $PQS$ (પાયા $PQ$ સાથે) ની ઊંચાઈ અને ત્રિકોણ $QPR$ (પાયા $PQ$ સાથે) ની ઊંચાઈ સમાંતર રેખાઓ $PQ$ અને $RS$ વચ્ચેના અંતર જેટલી જ થાય છે.
$4$. આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ (ઊંચાઈ).
$5$. બંને ત્રિકોણનો પાયો $PQ$ સમાન છે અને તેમની ઊંચાઈ પણ સમાન (સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર) હોવાથી,તેમના ક્ષેત્રફળ સમાન થાય.
$6$. આમ,$ar(PQS) = ar(QPR)$.