$ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $BC$ ને બિંદુ $Q$ સુધી એવી રીતે લંબાવવામાં આવે છે કે જેથી $AD = CQ$ થાય. જો $AQ$ એ $DC$ ને $P$ માં છેદતું હોય,તો સાબિત કરો કે $\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$.

(A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$AD = CQ$,અને $AQ$ એ $DC$ ને $P$ માં છેદે છે.
પગલું $1$: $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AD \parallel BC$ અને $AD = BC$ થાય. આપેલ છે કે $AD = CQ$,તેથી $BC = CQ$ થાય.
પગલું $2$: $\triangle ADQ$ અને $\triangle ADC$ નો વિચાર કરો. $AD \parallel QC$ હોવાથી,$\operatorname{ar}(ADQ) = \operatorname{ar}(ADC)$ થાય કારણ કે તેઓ એક જ પાયા $AD$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AD$ અને $QC$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
પગલું $3$: બંને બાજુથી $\operatorname{ar}(ADP)$ બાદ કરતા:
$\operatorname{ar}(ADQ) - \operatorname{ar}(ADP) = \operatorname{ar}(ADC) - \operatorname{ar}(ADP)$
$\operatorname{ar}(DPQ) = \operatorname{ar}(APC) .....(1)$
પગલું $4$: હવે,$\triangle APC$ અને $\triangle BPC$ નો વિચાર કરો. તેઓ એક જ પાયા $PC$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે (કારણ કે $AB \parallel DC$).
તેથી,$\operatorname{ar}(APC) = \operatorname{ar}(BPC) .....(2)$
પગલું $5$: $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\operatorname{ar}(BPC) = \operatorname{ar}(DPQ)$.