સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો એક બિંદુ $O$ માં છેદે છે. $O$ માંથી એક રેખા દોરવામાં આવે છે જે $AD$ ને $P$ માં અને $BC$ ને $Q$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $PQ$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) આપેલ છે: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ જેમાં વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં છેદે છે. રેખા $PQ$ એ $O$ માંથી પસાર થાય છે જેથી $P$ એ $AD$ પર અને $Q$ એ $BC$ પર છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(quad. APQB) = \operatorname{ar}(quad. PQCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
સાબિતી:
$\triangle AOP$ અને $\triangle COQ$ માં:
$1$. $AO = CO$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે).
$2$. $\angle AOP = \angle COQ$ (અભિકોણો).
$3$. $\angle OAP = \angle OCQ$ (યુગ્મકોણો,કારણ કે $AD \parallel BC$).
તેથી,$ASA$ એકરૂપતાની શરત મુજબ $\triangle AOP \cong \triangle COQ$.
આનો અર્થ એ છે કે $\operatorname{ar}(\triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle COQ)$ (એકરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે).
હવે,બંને બાજુ $\operatorname{ar}(quad. OPCD)$ ઉમેરતા:
$\operatorname{ar}(\triangle AOP) + \operatorname{ar}(quad. OPCD) = \operatorname{ar}(\triangle COQ) + \operatorname{ar}(quad. OPCD)$
$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle COQ) = \operatorname{ar}(\triangle OCD + \triangle AOP) = \operatorname{ar}(\triangle ADC)$.
$AC$ વિકર્ણ હોવાથી,$\operatorname{ar}(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(quad. APQD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$.
તે જ રીતે,બીજો ભાગ $quad. PQCB$ નું ક્ષેત્રફળ પણ $\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\|gm ABCD)$ થાય છે.