Mix Examples - Areas of Parallelograms and Triangles Questions in Gujarati

(N/A) આપેલ છે: $ABED$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $DE = EC$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $\operatorname{ar}(ABF) = \operatorname{ar}(BEC)$.
સાબિતી:
$1$. $ABED$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB \parallel DE$ અને $AB = DE$ થાય.
$2$. $\triangle ABF$ અને $\triangle BEC$ માં,પાયો $AB$ એ પાયા $DC$ ને સમાંતર છે (કારણ કે $AB \parallel DE$ અને $F, E$ એ $DC$ પર આવેલા છે).
$3$. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
$4$. $AB \parallel DC$ હોવાથી,$\triangle ABF$ અને $\triangle BEC$ બંને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $DC$ ની વચ્ચે આવેલા છે,તેથી તેમની ઊંચાઈ $h$ સમાન છે.
$5$. $\operatorname{ar}(ABF) = \frac{1}{2} \times AB \times h$.
$6$. $\operatorname{ar}(BEC) = \frac{1}{2} \times EC \times h$.
$7$. $AB = DE$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABED$ ની સામસામેની બાજુઓ) અને $DE = EC$ (આપેલ છે),તેથી $AB = EC$ થાય.
$8$. ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $AB = EC$ મૂકતા: $\operatorname{ar}(ABF) = \frac{1}{2} \times EC \times h = \operatorname{ar}(BEC)$.
આમ,$\operatorname{ar}(ABF) = \operatorname{ar}(BEC)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે: $PQM$ એક રેખા છે અને $SQ || RM$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ar(PQR) = ar(PMS)$.
સાબિતી:
$1$. $SQ || RM$ હોવાથી,$\triangle SQR$ અને $\triangle MQR$ એક જ પાયા $QR$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $SQ$ અને $RM$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$2$. તેથી,$ar(SQR) = ar(MQR)$ થાય.
$3$. હવે,બંને બાજુ $ar(PQR)$ ઉમેરતા:
$ar(SQR) + ar(PQR) = ar(MQR) + ar(PQR)$.
$4$. આકૃતિ પરથી,$ar(SQR) + ar(PQR) = ar(PQS)$ અને $ar(MQR) + ar(PQR) = ar(PMS)$ થાય છે.
$5$. આમ,$ar(PQR) = ar(PMS)$ સાબિત થાય છે.

(N/A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.
પાયા $PQ = 15 \, cm$ અને વેધ $SM = 6 \, cm$ માટે,ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = 15 \times 6 = 90 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = QR \times SN$.
કિંમતો મૂકતા: $90 = QR \times 10$.
તેથી,$QR = \frac{90}{10} = 9 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિનું સૂત્ર: $2 \times (\text{પાસપાસેની બાજુઓનો સરવાળો}) = 2 \times (PQ + QR)$.
પરિમિતિ $= 2 \times (15 + 9) = 2 \times 24 = 48 \, cm$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$ છે.
પાયા $AB = 20 \, cm$ અને તેને અનુરૂપ વેધ $DX = 12 \, cm$ માટે,ક્ષેત્રફળ:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = AB \times DX = 20 \, cm \times 12 \, cm = 240 \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,પાયા $BC$ અને તેને અનુરૂપ વેધ $AY = 15 \, cm$ માટે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = BC \times AY = 240 \, cm^2$.
$BC \times 15 \, cm = 240 \, cm^2 \implies BC = \frac{240}{15} \, cm = 16 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ $2 \times (\text{પાસેની બાજુઓનો સરવાળો})$ છે.
$\text{પરિમિતિ} = 2 \times (AB + BC) = 2 \times (20 \, cm + 16 \, cm) = 2 \times 36 \, cm = 72 \, cm$.

(N/A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.
પાયા $XY = 24 \, cm$ અને વેધ $WP = 6 \, cm$ માટે,ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = 24 \times 6 = 144 \, cm^2$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $\text{ક્ષેત્રફળ} = YZ \times WQ$.
અહીં $WQ = 8 \, cm$ આપેલ છે,તેથી: $144 = YZ \times 8$.
તેથી,$YZ = 144 / 8 = 18 \, cm$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિનું સૂત્ર: $2 \times (\text{પાસેની બાજુઓનો સરવાળો})$.
પરિમિતિ $= 2 \times (XY + YZ) = 2 \times (24 + 18) = 2 \times 42 = 84 \, cm$.

(N/A) $P$ અને $Q$ એ $BC$ ના ત્રિ-ભાગ બિંદુઓ છે.
તેથી,$BP = PQ = QC$.
ત્રિકોણ $\Delta ABP, \Delta APQ,$ અને $\Delta AQC$ ના પાયા સમાન છે $(BP = PQ = QC)$ અને તેઓ એક જ શિરોબિંદુ $A$ ધરાવે છે,તેથી આ પાયાઓને અનુરૂપ તેમની ઊંચાઈ સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ થાય છે.
પાયા સમાન હોવાથી અને વેધ સામાન્ય હોવાથી,આ ત્રણેય ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ સમાન છે.
$\operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(AQC)$.
વળી,આ ત્રણેય ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો $\Delta ABC$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલો થાય છે:
$\operatorname{ar}(ABP) + \operatorname{ar}(APQ) + \operatorname{ar}(AQC) = \operatorname{ar}(ABC)$.
સમાન ક્ષેત્રફળો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3 \times \operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(ABC)$.
તેથી,$\operatorname{ar}(ABP) = \operatorname{ar}(APQ) = \operatorname{ar}(AQC) = \frac{1}{3} \operatorname{ar}(ABC).$

(N/A) $\Delta ABC$ માં,$F$ અને $E$ અનુક્રમે $AB$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$FE \parallel BC$ અને $FE = \frac{1}{2} BC$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BD = \frac{1}{2} BC$.
તેથી,$FE \parallel BD$ અને $FE = BD$.
ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર હોવાથી,ચતુષ્કોણ $BDEF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. (પરિણામ $i$)
તે જ રીતે,ચતુષ્કોણ $AFDE$ અને $FDCE$ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $BDEF$ માં,$FD$ એ વિકર્ણ છે,તેથી $ar(BDF) = ar(DEF)$. $(1)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AFDE$ માં,$EF$ એ વિકર્ણ છે,તેથી $ar(AFE) = ar(DEF)$. $(2)$
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $FDCE$ માં,$ED$ એ વિકર્ણ છે,તેથી $ar(DCE) = ar(DEF)$. $(3)$
$\Delta ABC$ એ ચાર એકબીજા પર ન આવતા ત્રિકોણોનો બનેલો છે: $\Delta BDF, \Delta AFE, \Delta DCE$ અને $\Delta DEF$.
$ar(ABC) = ar(BDF) + ar(AFE) + ar(DCE) + ar(DEF)$
$(1), (2)$ અને $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$ar(ABC) = ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) + ar(DEF) = 4 ar(DEF)$
તેથી,$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$. (પરિણામ $ii$)
હવે,$ar(BDEF) = ar(BDF) + ar(DEF) = ar(DEF) + ar(DEF) = 2 ar(DEF)$.
$ar(DEF) = \frac{1}{4} ar(ABC)$ મૂકતા:
$ar(BDEF) = 2 \times \frac{1}{4} ar(ABC) = \frac{1}{2} ar(ABC)$. (પરિણામ $iii$)

(N/A) $1$. $\Delta ABC$ માં,$AD$ મધ્યગા છે. મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $ar(ABD) = ar(ACD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta GBC$ માં,$GD$ મધ્યગા છે,તેથી $ar(GBD) = ar(GCD)$.
$3$. મોટા ત્રિકોણમાંથી આ ક્ષેત્રફળો બાદ કરતા: $ar(GAB) = ar(ABD) - ar(GBD)$ અને $ar(GAC) = ar(ACD) - ar(GCD)$. $ar(ABD) = ar(ACD)$ અને $ar(GBD) = ar(GCD)$ હોવાથી,$ar(GAB) = ar(GAC)$ મળે છે.
$4$. સંમિતિ દ્વારા,$BE$ અથવા $CF$ મધ્યગાનો ઉપયોગ કરીને,આપણે દર્શાવી શકીએ કે $ar(GAB) = ar(GBC) = ar(GCA)$.
$5$. આ ત્રણેય ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો $ar(ABC)$ હોવાથી,દરેકનું મૂલ્ય $\frac{1}{3} ar(ABC)$ થાય.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta ABC$ માં,$D$ એ $BC$ પરનું બિંદુ છે અને $E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
સાબિતી:
$1$. $\Delta ABD$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $BE$ એ $\Delta ABD$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(\Delta EBD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD)$.
$2$. તેવી જ રીતે,$\Delta ADC$ માં,$E$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. $CE$ એ $\Delta ADC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$3$. બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $ar(\Delta EBD) + ar(\Delta ECD) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABD) + \frac{1}{2} ar(\Delta ADC)$.
$4$. $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} [ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC)]$.
$5$. કારણ કે $ar(\Delta ABD) + ar(\Delta ADC) = ar(\Delta ABC)$,તેથી આપણને મળે છે $ar(\Delta EBC) = \frac{1}{2} ar(\Delta ABC)$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) $1$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,$O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$2$. $\triangle ADC$ નો વિચાર કરો. $O$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$DO$ એ $\triangle ADC$ ની મધ્યગા છે.
$3$. ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
$4$. તેથી,$ar(ADO) = ar(CDO)$.

(A) $1$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,$O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે,જેનો અર્થ છે કે $BO = OD$.
$2$. $\triangle ABD$ અને $\triangle CBD$ નો વિચાર કરો. $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$AB = CD$ અને $AD = BC$ છે. વળી,$BD$ સામાન્ય વિકર્ણ છે.
$3$. $\triangle ABD$ માં,શિરોબિંદુ $A$ માંથી $BD$ પરની મધ્યગા $AO$ છે. $O$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AO$ એ $\triangle ABD$ ને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $ar(ABO) = ar(ADO)$.
$4$. તેવી જ રીતે,$\triangle CBD$ માં,$CO$ એ $BD$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $ar(CBO) = ar(CDO)$.
$5$. જોકે,પ્રશ્નમાં $ar(ABP) = ar(CBP)$ સાબિત કરવાનું કહ્યું છે. ત્રિકોણ $\triangle ABP$ અને $\triangle CBP$ નો વિચાર કરીએ. આ ત્રિકોણો રેખા $BD$ પર સમાન પાયો $BP$ ધરાવે છે.
$6$. પાયા $BP$ ના સંદર્ભમાં $\triangle ABP$ ની ઊંચાઈ એ $A$ થી $BD$ સુધીનું લંબ અંતર છે,ધારો કે તે $h_1$ છે. પાયા $BP$ ના સંદર્ભમાં $\triangle CBP$ ની ઊંચાઈ એ $C$ થી $BD$ સુધીનું લંબ અંતર છે,ધારો કે તે $h_2$ છે.
$7$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના શિરોબિંદુઓથી વિકર્ણ સુધીનું અંતર સમાન હોય છે. તેથી,$h_1 = h_2$.
$8$. $ar(ABP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_1$ અને $ar(CBP) = \frac{1}{2} \times BP \times h_2$ હોવાથી,અને $h_1 = h_2$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $ar(ABP) = ar(CBP)$.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જ્યાં $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
ચૂંક $AB \parallel CD$ અને $AB = CD$ હોવાથી,$AE = EB = \frac{1}{2} AB$ અને $CF = FD = \frac{1}{2} CD$ થાય.
આમ,$AE = FC$ અને $AE \parallel FC$ હોવાથી,$AEFC$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બને છે.
તે જ રીતે,$EBFD$ પણ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે $EB = FD$ અને $EB \parallel FD$.
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,બાજુઓ $AB$ અને $CD$ વચ્ચેની ઊંચાઈ $h$ સમાન રહે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $AEFC$ નું ક્ષેત્રફળ $= AE \times h$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $EBFD$ નું ક્ષેત્રફળ $= EB \times h$ થાય.
$AE = EB$ હોવાથી,$\text{Area}(AEFC) = \text{Area}(EBFD)$ સાબિત થાય છે.
આમ,રેખાખંડ $EF$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં વિભાજિત કરે છે.

(N/A) ધારો કે $ABCD$ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે જેના વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ પર છેદે છે.
સમબાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો મુજબ,તેના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે $(90^{\circ})$ દુભાગે છે.
તેથી,$AC \perp BD$ અને $AO = OC = \frac{1}{2} AC$,$BO = OD = \frac{1}{2} BD$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times BO$.
$\triangle ADC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times OD$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BO + \frac{1}{2} \times AC \times OD = \frac{1}{2} \times AC \times (BO + OD)$.
કારણ કે $BO + OD = BD$,તેથી ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AC \times BD$.
આમ,સાબિત થાય છે કે સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણોના ગુણાકારથી અડધું હોય છે.

(N/A) ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ વિકર્ણ $BD$ દ્વારા બે ત્રિકોણો,$\triangle ABD$ અને $\triangle BCD$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(\triangle ABD) + \operatorname{ar}(\triangle BCD)$.
ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$\triangle ABD$ માટે,પાયો $BD$ છે અને વેધ $AM$ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle ABD) = \frac{1}{2} \times BD \times AM$.
$\triangle BCD$ માટે,પાયો $BD$ છે અને વેધ $CN$ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(\triangle BCD) = \frac{1}{2} \times BD \times CN$.
આ કિંમતોને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\operatorname{ar}(ABCD) = (\frac{1}{2} \times BD \times AM) + (\frac{1}{2} \times BD \times CN)$.
સામાન્ય પદ $\frac{1}{2} \times BD$ ને સામાન્ય લેતા:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times BD \times (AM + CN)$.
આમ,ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ સાબિત થાય છે.

(A) $1$. કાટકોણ $\Delta ABC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AB^2 + BC^2 = AC^2$.
$2$. $AB^2 + 8^2 = 17^2 \implies AB^2 + 64 = 289 \implies AB^2 = 225 \implies AB = 15 \, \text{cm}$.
$3$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8 = 60 \, \text{cm}^2$.
$4$. $BE$ મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને બે સમાન ક્ષેત્રફળવાળા ભાગમાં વહેંચે છે: $\text{Area}(\Delta BCE) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta ABC) = \frac{60}{2} = 30 \, \text{cm}^2$.
$5$. $\Delta BCE$ માં,$M$ એ $BE$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $CM$ એ $\Delta BCE$ ની મધ્યગા છે.
$6$. મધ્યગા ત્રિકોણને બે સમાન ક્ષેત્રફળમાં વહેંચે છે,તેથી $\text{Area}(\Delta BMC) = \frac{1}{2} \times \text{Area}(\Delta BCE) = \frac{30}{2} = 15 \, \text{cm}^2$.

(B) $1$. આપેલ છે કે $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા છે,તેથી તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. આમ,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times Area(\Delta ABC)$.
$2$. $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 16 \times 8 = 64\, cm^2$.
$3$. તેથી,$Area(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 64 = 32\, cm^2$.
$4$. $\Delta EBD$ માં,$DA$ મધ્યગા છે કારણ કે $AB = AE$ (આપેલ છે),જે સૂચવે છે કે $A$ એ $BE$ નું મધ્યબિંદુ છે. આમ,$\Delta ABD$ અને $\Delta AED$ સમાન પાયા અને સમાન ઊંચાઈ ધરાવે છે.
$5$. $AB = AE$ હોવાથી,$\Delta ABD$ અને $\Delta AED$ ના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી,$Area(\Delta ABD) = Area(\Delta AED) = 32\, cm^2$.
$6$. $\Delta EBD$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $= Area(\Delta ABD) + Area(\Delta AED) = 32 + 32 = 64\, cm^2$.

(N/A) $1$. $AD$ એ $\triangle ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(ABD) = \frac{1}{2} ar(ABC)$.
$2$. $\triangle ABD$ માં,$AE$ મધ્યગા છે કારણ કે $E$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$ar(ABE) = \frac{1}{2} ar(ABD)$.
$3$. સ્ટેપ $1$ ની કિંમત મૂકતા: $ar(ABE) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} ar(ABC)) = \frac{1}{4} ar(ABC)$.
$4$. $\triangle ABE$ માં,$BO$ મધ્યગા છે કારણ કે $O$ એ $AE$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$ar(AOB) = \frac{1}{2} ar(ABE)$.
$5$. સ્ટેપ $3$ ની કિંમત મૂકતા: $ar(AOB) = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{4} ar(ABC)) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.
$6$. આમ,સાબિત થાય છે કે $ar(AOB) = \frac{1}{8} ar(ABC)$.

(N/A) $1$. $M$ અને $N$ એ અનુક્રમે $PQ$ અને $PR$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$MN \parallel QR$ અને $MN = \frac{1}{2} QR$ થાય.
$2$. $\Delta MXN$ અને $\Delta MNR$ ને ધ્યાનમાં લો. બંને ત્રિકોણો સમાંતર રેખાઓ $MN$ અને $QR$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
$3$. $\Delta MXN$ નો પાયો $MN$ છે અને $\Delta MNR$ નો પાયો પણ $MN$ છે. સમાન પાયા અને સમાન સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે આવેલા હોવાથી,$ar(MXN) = ar(MNR)$ થાય.
$4$. $\Delta PQR$ માં,$MN \parallel QR$ છે. $MN$ પાયાને સાપેક્ષ $\Delta MNR$ ની ઊંચાઈ એ $QR$ પાયાને સાપેક્ષ $\Delta PQR$ ની ઊંચાઈ કરતા અડધી છે,કારણ કે $M$ અને $N$ મધ્યબિંદુઓ છે.
$5$. $ar(MNR) = \frac{1}{2} \times MN \times h_{MNR} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} QR) \times (\frac{1}{2} h_{PQR}) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times QR \times h_{PQR}) = \frac{1}{4} ar(PQR)$.
$6$. $ar(MXN) = ar(MNR)$ હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $ar(MXN) = \frac{1}{4} ar(PQR)$.

(N/A) $1$. ધારો કે $\Delta XYZ$ નો પાયો $YZ$ એ બિંદુઓ $A, B, C, D, E, F,$ અને $G$ દ્વારા $8$ સમાન ભાગોમાં વહેંચાયેલ છે.
$2$. $YA = AB = BC = CD = DE = EF = FG = GZ$ હોવાથી,દરેક રેખાખંડની લંબાઈ કુલ લંબાઈ $YZ$ ના $\frac{1}{8}$ ભાગ જેટલી છે.
$3$. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $ar = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$4$. તમામ ત્રિકોણો $\Delta XYZ, \Delta XBE$ વગેરે એક જ શિરોબિંદુ $X$ ધરાવે છે અને એક જ પાયા $YZ$ પર આવેલા છે,તેથી તેમની ઊંચાઈ $h$ સમાન છે.
$5$. $\Delta XBE$ નો પાયો $BE$ છે. $BE = BC + CD + DE$ હોવાથી અને દરેક ભાગ $\frac{1}{8} YZ$ હોવાથી,$BE = \frac{3}{8} YZ$ થાય.
$6$. તેથી,$ar(XBE) = \frac{1}{2} \times BE \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{3}{8} YZ) \times h$.
$7$. આનું સાદુરૂપ આપતા $ar(XBE) = \frac{3}{8} \times (\frac{1}{2} \times YZ \times h) = \frac{3}{8} ar(XYZ)$ મળે છે.

(A) $(1)$ ખોટું. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને અનુરૂપ વેધના ગુણાકાર જેટલું હોય છે,તેના અડધા જેટલું નહીં.
$(2)$ ખોટું. સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણોના ગુણાકારના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$.
$(3)$ સાચું. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુના માપના વર્ગ જેટલું જ હોય છે.

(A) $(1)$ સાચું. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$ar(ABCD) = 2 \times ar(ABC) = 2 \times 96 \, cm^2 = 192 \, cm^2$ થાય.
$(2)$ ખોટું. કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{કાટખૂણો બનાવતી બાજુઓનો ગુણાકાર}$ દ્વારા મળે છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે જો ત્રિકોણ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એક જ પાયા પર આવેલા હોય અને બે સમાંતર રેખાઓની વચ્ચે આવેલા હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું હોય છે.
આ પ્રશ્નમાં,$\triangle PAB$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ એક જ પાયા $AB$ પર અને સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ની વચ્ચે આવેલા છે.
તેથી,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times ar(ABCD)$.
આપેલ છે કે $ar(ABCD) = 56 \, cm^2$.
તેથી,$ar(PAB) = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \, cm^2$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $PQRS$ માં,$PR$ એ વિકર્ણ છે.
તેથી,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times ar(PQRS)$.
આપેલ છે કે $ar(PQRS) = 80 \, cm^2$.
તેથી,$ar(PSR) = \frac{1}{2} \times 80 = 40 \, cm^2$.

(B) સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$ છે,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $d_1 = AC = 12 \, cm$ અને $d_2 = BD = 15 \, cm$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \frac{1}{2} \times 12 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 6 \times 15$
$\operatorname{ar}(ABCD) = 90 \, cm^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$\Delta ABC$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ હોવાથી,બાજુઓ $AB$ અને $BC$ એ પાયો અને વેધ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આપેલ છે: $AB = 8\, \text{cm}$ (વેધ) અને $BC = 15\, \text{cm}$ (પાયો).
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 15 \times 8$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 15 \times 4 = 60\, \text{cm}^2$.

(D) ચોરસની પરિમિતિનું સૂત્ર $P = 4 \times \text{બાજુ}$ છે.
અહીં $P = 16 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $4 \times \text{બાજુ} = 16 \, cm$.
તેથી,બાજુની લંબાઈ $\text{બાજુ} = \frac{16}{4} = 4 \, cm$ થાય.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $ar(ABCD) = \text{બાજુ}^2$ છે.
આમ,$ar(ABCD) = 4^2 = 16 \, cm^2$ થાય.

(A) ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેના વિકર્ણ $d$ ની લંબાઈનો ઉપયોગ કરીને નીચેના સૂત્ર દ્વારા શોધી શકાય છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d^2$.
અહીં વિકર્ણ $AC = 16 \text{ cm}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times (16)^2$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 256$.
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 128 \text{ cm}^2$.
આમ,ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $128 \text{ cm}^2$ છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{વેધ}$.
અહીં,પાયો $AB = 15 \text{ cm}$ છે અને તેને અનુરૂપ વેધ $DM$ છે.
આપેલ છે કે,$\text{ar}(ABCD) = 360 \text{ cm}^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $360 = 15 \times DM$.
$DM$ શોધવા માટે,$360$ ને $15$ વડે ભાગતા: $DM = \frac{360}{15} = 24 \text{ cm}$.
તેથી,વેધ $DM$ ની લંબાઈ $24 \text{ cm}$ છે.

(C) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\operatorname{ar}(PQRS) = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
લંબચોરસ $PQRS$ માં,બાજુઓ $PQ$ અને $SP$ છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(PQRS) = PQ \times SP$.
આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(PQRS) = 300 \, cm^2$ અને $PQ = 20 \, cm$.
કિંમતો મૂકતા: $300 = 20 \times SP$.
$SP$ માટે ઉકેલતા: $SP = \frac{300}{20} = 15 \, cm$.
આમ,$SP = 15 \, cm$.

(D) ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
અહીં $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે $\Delta ABC$ ને બે સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ત્રિકોણો $\Delta ABD$ અને $\Delta ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times ar(\Delta ABC)$.
આપેલ છે કે $ar(\Delta ABC) = 50 \, cm^2$.
આમ,$ar(\Delta ADC) = \frac{1}{2} \times 50 \, cm^2 = 25 \, cm^2$.

(A) $1$. $\Delta PQR$ માં,$PM$ મધ્યગા છે,તેથી તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે: $\text{ar}(PQM) = \text{ar}(PRM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$.
$2$. $\Delta PQM$ માં,$QN$ મધ્યગા છે કારણ કે $N$ એ $PM$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\text{ar}(PQN) = \text{ar}(QNM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQM)$.
$3$. આપેલ છે કે $\text{ar}(PQN) = 36 \text{ cm}^2$,તેથી $\text{ar}(PQM) = 2 \times \text{ar}(PQN) = 2 \times 36 = 72 \text{ cm}^2$.
$4$. કારણ કે $\text{ar}(PQM) = \frac{1}{2} \text{ar}(PQR)$,તેથી $\text{ar}(PQR) = 2 \times \text{ar}(PQM) = 2 \times 72 = 144 \text{ cm}^2$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નો પાયો $b = CD$ અને તેની ઊંચાઈ $h$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $\operatorname{ar}(ABCD) = \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = b \times h$ થાય.
$\triangle PBC$ માં,પાયો $PC$ છે અને ઊંચાઈ $h$ છે (જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની ઊંચાઈ જેટલી જ છે).
$P$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$PC = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} b$ થાય.
$\triangle PBC$ નું ક્ષેત્રફળ $\operatorname{ar}(PBC) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} b) \times h = \frac{1}{4} bh$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર $\operatorname{ar}(ABCD) : \operatorname{ar}(PBC) = (bh) : (\frac{1}{4} bh) = 1 : \frac{1}{4} = 4 : 1$ મળે.

(C) $1$. $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
$\operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 72 = 36 \, \text{cm}^2$.
$2$. $\Delta ABD$ માં,$Q$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$BQ$ એ $\Delta ABD$ ની મધ્યગા છે.
$\operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABD) = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \, \text{cm}^2$.
$3$. $\Delta ABQ$ માં,$P$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QP$ એ $\Delta ABQ$ ની મધ્યગા છે.
$\operatorname{ar}(\Delta APQ) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(\Delta ABQ) = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \, \text{cm}^2$.

(D) ધારો કે $\Delta ABC$ નો પાયો $BC$ એ બિંદુઓ $P$ અને $Q$ દ્વારા ત્રણ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે. તેથી,$BP = PQ = QC = \frac{1}{3} BC$ થાય.
ત્રણેય ત્રિકોણો $\Delta ABP$,$\Delta APQ$ અને $\Delta AQC$ એક જ શિરોબિંદુ $A$ ધરાવે છે અને તેમના પાયા સમાન $(BP = PQ = QC)$ હોવાથી,આ પાયાને અનુરૂપ તેમની ઊંચાઈ સમાન રહેશે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઊંચાઈ સમાન હોવાથી અને પાયા સમાન હોવાથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABP) = \operatorname{ar}(\Delta APQ) = \operatorname{ar}(\Delta AQC)$ થશે.
તેથી,$\operatorname{ar}(\Delta ABC) = \operatorname{ar}(\Delta ABP) + \operatorname{ar}(\Delta APQ) + \operatorname{ar}(\Delta AQC) = 3 \times \operatorname{ar}(\Delta APQ)$.
આના પરથી $\frac{\operatorname{ar}(\Delta APQ)}{\operatorname{ar}(\Delta ABC)} = \frac{1}{3}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(A) ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેને વિકર્ણ દ્વારા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરીને શોધી શકાય છે.
$ar(ABCD) = ar(\triangle ABC) + ar(\triangle ADC)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
$\triangle ABC$ માટે,પાયો $AC = 18 \, cm$ અને વેધ $BM = 10 \, cm$ છે.
$ar(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 10 = 90 \, cm^2$.
$\triangle ADC$ માટે,પાયો $AC = 18 \, cm$ અને વેધ $DN = 6 \, cm$ છે.
$ar(\triangle ADC) = \frac{1}{2} \times 18 \times 6 = 54 \, cm^2$.
તેથી,$ar(ABCD) = 90 + 54 = 144 \, cm^2$.

(B) $1$. $\Delta ABD$ માં,$AM$ મધ્યગા છે કારણ કે $M$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(ADM) = \operatorname{ar}(ABM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$.
$2$. $\Delta ADM$ માં,$AN$ મધ્યગા છે કારણ કે $N$ એ $MD$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$\operatorname{ar}(AND) = \operatorname{ar}(ANM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADM)$.
$3$. આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(AND) = 20\, cm^2$,તેથી $\operatorname{ar}(ADM) = 2 \times 20 = 40\, cm^2$.
$4$. કારણ કે $\operatorname{ar}(ADM) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABD)$,તેથી $\operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 40 = 80\, cm^2$.
$5$. $\Delta ABC$ માં,$AD$ મધ્યગા છે,તેથી $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \times \operatorname{ar}(ABD) = 2 \times 80 = 160\, cm^2$.

(A) $(1)$ સાદી બંધ આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા સમતલના ભાગને $\text{સમતલીય પ્રદેશ}$ (planar region) કહેવામાં આવે છે.
$(2)$ બંધ આકૃતિને અનુરૂપ સમતલીય પ્રદેશના $\text{માપ}$ (magnitude or measure) ને તેનું ક્ષેત્રફળ કહેવામાં આવે છે.

(A) $(1)$ બે એકરૂપ આકૃતિઓના ક્ષેત્રફળ સમાન હોય છે કારણ કે તેઓ આકાર અને માપમાં સમાન હોય છે.
$(2)$ આકૃતિ $A$ ના ક્ષેત્રફળને સંકેતમાં $\operatorname{ar}(A)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) $(1)$ આકૃતિ $T$ નું ક્ષેત્રફળ એ બે અતિવ્યાપ્ત ન થતા પ્રદેશો $P$ અને $Q$ ના ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે. તેથી,$\operatorname{ar}(T) = \operatorname{ar}(P) + \operatorname{ar}(Q)$.
$(2)$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેના પાયા અને તે પાયાને અનુરૂપ વેધ (ઊંચાઈ) ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે. તેથી,$\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$.

(N/A) $(1)$ સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{તેના વિકર્ણોનો ગુણાકાર}$ દ્વારા મળે છે.
$(2)$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{અનુરૂપ વેધ}$ દ્વારા મળે છે.

(A) $(1)$ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ છે.
અહીં પાયો $(BC) = 8 \text{ cm}$ અને વેધ $(AD) = 5 \text{ cm}$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 5 = 20 \text{ cm}^2$.
$(2)$ ત્રિકોણની મધ્યગા ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળવાળા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

(D) લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$.
અહીં $AB = 12 \, cm$ (લંબાઈ) અને $BC = 7 \, cm$ (પહોળાઈ) આપેલ છે.
તેથી,$\text{Area}(ABCD) = 12 \, cm \times 7 \, cm = 84 \, cm^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ચોરસ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બધી બાજુઓ સમાન હોય છે અને દરેક ખૂણો $90^\circ$ નો હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે $XYZW$ એક ચોરસ છે અને તેની બાજુની લંબાઈ $XY = 17 \text{ cm}$ છે.
ચોરસના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર $(\text{બાજુ})^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (XY)^2 = 17^2 = 289 \text{ cm}^2$.
તેથી,$XYZW$ નું ક્ષેત્રફળ $289 \text{ cm}^2$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ની બાજુ $a \, cm$ છે.
ચોરસમાં,વિકર્ણ $d$ અને બાજુ $a$ વચ્ચેનો સંબંધ $d = a\sqrt{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણ $AC = 16 \, cm$,તેથી $a\sqrt{2} = 16$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2a^2 = 16^2 = 256$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,$a^2 = 128$ મળે છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $a^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
તેથી,ચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= 128 \, cm^2$ થાય.

(C) સમબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર છે: $\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$,જ્યાં $d_1$ અને $d_2$ એ વિકર્ણોની લંબાઈ છે.
અહીં,$d_1 = AC = 16 \, cm$ અને $d_2 = BD = 30 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times 16 \times 30$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = 8 \times 30 = 240 \, cm^2$.
આમ,સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $240 \, cm^2$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\Delta PQR$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle Q = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$PQ^2 + QR^2 = PR^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $PQ^2 + 21^2 = 29^2$.
$PQ^2 + 441 = 841$.
$PQ^2 = 841 - 441 = 400$.
$PQ = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\text{પાયો} = QR = 21 \text{ cm}$ અને $\text{વેધ} = PQ = 20 \text{ cm}$ છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 21 \times 20 = 21 \times 10 = 210 \text{ cm}^2$.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણ $AC$ ચતુષ્કોણને બે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ માં વિભાજિત કરે છે.
તેથી,$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADC)$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ આ બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\operatorname{ar}(ABCD) = \operatorname{ar}(ABC) + \operatorname{ar}(ADC)$.
અહીં $\operatorname{ar}(ABC) = 42 \, \text{cm}^2$ આપેલ છે,તેથી $\operatorname{ar}(ADC) = 42 \, \text{cm}^2$ થશે.
આમ,$\operatorname{ar}(ABCD) = 42 \, \text{cm}^2 + 42 \, \text{cm}^2 = 84 \, \text{cm}^2$.

(B) ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
અહીં $AD$ એ $\Delta ABC$ ની મધ્યગા હોવાથી,તે ત્રિકોણને બે ત્રિકોણો $\Delta ADB$ અને $\Delta ADC$ માં વિભાજિત કરે છે,જેથી $\operatorname{ar}(ADB) = \operatorname{ar}(ADC)$ થાય.
આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(ADB) = 53 \, cm^2$,તેથી $\operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2$ થાય.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\Delta ADB$ અને $\Delta ADC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\operatorname{ar}(ABC) = \operatorname{ar}(ADB) + \operatorname{ar}(ADC) = 53 \, cm^2 + 53 \, cm^2 = 106 \, cm^2$.

(C) ત્રિકોણની મધ્યગા તેને સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.
$\Delta PQR$ માં,$PM$ એ બાજુ $QR$ પરની મધ્યગા છે.
તેથી,$\text{ar}(\Delta PMQ) = \text{ar}(\Delta PMR)$.
આપેલ છે કે $\text{ar}(\Delta PMQ) = 36 \text{ cm}^2$.
આમ,$\text{ar}(\Delta PMR) = 36 \text{ cm}^2$.

(D) આપેલ છે કે $\Delta ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $50^2 = 14^2 + BC^2$.
$2500 = 196 + BC^2$.
$BC^2 = 2500 - 196 = 2304$.
$BC = \sqrt{2304} = 48 \, cm$.
કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 14 \times 48$.
$\text{Area} = 7 \times 48 = 336 \, cm^2$.