Thin film Interference, fresnel biprism, lloyd's mirror Questions in Gujarati

(A) સામાન્ય ન્યૂટનના વલયોના પ્રયોગમાં,લેન્સ $(n_l)$ અને કાચની પ્લેટ $(n_g)$ વચ્ચે હવા હોય છે,જ્યાં $n_l > n_{air}$ અને $n_g > n_{air}$ હોય છે. હવાના સ્તરની નીચેની સપાટી પરનું પરાવર્તન કાચ-હવા આંતરપૃષ્ઠ (ઘટ્ટ થી પાતળું) પર થાય છે,જ્યારે ઉપરની સપાટી પરનું પરાવર્તન હવા-કાચ આંતરપૃષ્ઠ (પાતળું થી ઘટ્ટ) પર થાય છે. આ એક કિરણ માટે $\pi$ નો કળા તફાવત લાવે છે,જેના પરિણામે કેન્દ્રિય બિંદુ અંધારિયું (dark) મળે છે.
જ્યારે આ જગ્યામાં $n_{liq} > n_g$ હોય તેવું પ્રવાહી ભરવામાં આવે,ત્યારે નીચેની સપાટી પરનું પરાવર્તન કાચ-પ્રવાહી આંતરપૃષ્ઠ (પાતળું થી ઘટ્ટ) પર થાય છે અને ઉપરની સપાટી પરનું પરાવર્તન પ્રવાહી-કાચ આંતરપૃષ્ઠ (ઘટ્ટ થી પાતળું) પર થાય છે.
હવે બંને પરાવર્તનો સમાન પરિસ્થિતિમાં થતા હોવાથી (બંનેમાં કળા ફેરફાર થાય છે અથવા બંનેમાં નથી થતો),કેન્દ્ર પર પથ તફાવત શૂન્ય થાય છે,જે સહાયક વ્યતિકરણ તરફ દોરી જાય છે. આમ,કેન્દ્રિય બિંદુ પ્રકાશિત બને છે. વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ સમજાવે છે કે શા માટે કળા ફેરફારની પરિસ્થિતિઓ કેન્દ્રને પ્રકાશિત બનાવે છે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે જ્યારે સફેદ પ્રકાશ દ્વારા પ્રકાશિત કરવામાં આવે ત્યારે પાતળી ફિલ્મો વ્યતિકરણની ભાત દર્શાવે છે,જેના પરિણામે રંગો જોવા મળે છે.
જોકે,કારણ અધૂરું છે અને તેથી ખોટું છે. પાતળી ફિલ્મોમાં વ્યતિકરણની ઘટના માત્ર ઉપરની સપાટી પરથી જ નહીં,પરંતુ પાતળી ફિલ્મના ઉપરની સપાટી અને નીચેની સપાટી બંને પરથી પરાવર્તિત પ્રકાશના તરંગોના સંપાતીકરણને કારણે થાય છે. આ બે પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત વિવિધ તરંગલંબાઇઓ માટે સહાયક અથવા વિનાશક વ્યતિકરણ તરફ દોરી જાય છે,જે અવલોકન કરેલા રંગો બનાવે છે.

(C) વિધાન સાચું છે. મોર્ફો પતંગિયાની પાંખનો રંગ કોઈ રંગદ્રવ્યોને કારણે નથી,પરંતુ પાંખની સપાટી પરના સૂક્ષ્મ ભીંગડાઓમાંથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના વ્યતિકરણ (interference) ને કારણે ઉદ્ભવતા માળખાકીય રંગને કારણે છે.
જ્યારે પવન પાંખને હલાવે છે,ત્યારે આપાતકોણ અને ભીંગડાના વિવિધ સ્તરોમાંથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત બદલાય છે. આનાથી વ્યતિકરણની ભાતમાં ફેરફાર થાય છે,જેના પરિણામે અવલોકન કરેલા રંગમાં ફેરફાર થાય છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે રંગ રંગદ્રવ્યોને કારણે નહીં,પરંતુ પાંખની સપાટીના ભૌતિક માળખા (પાતળા પડનું વ્યતિકરણ) ને કારણે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(N/A) મહત્તમ પારગમ્યતા માટે,પરાવર્તિત કિરણોનું વિનાશક વ્યતિકરણ થવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે બે પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\frac{\lambda}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોય.
લંબ આપાતકાણ $(i = 0)$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = 2nd$ છે.
બંને પરાવર્તન પાતળા માધ્યમથી ઘટ્ટ માધ્યમની સપાટી પર થતા હોવાથી,પરાવર્તનને કારણે કોઈ વધારાનો કળા તફાવત ઉદ્ભવતો નથી.
આમ,વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ પરાવર્તન,મહત્તમ પારગમ્યતા) માટેની શરત $2nd = (m + \frac{1}{2}) \lambda$ છે,જ્યાં $m = 0, 1, 2, \dots$.
ન્યૂનતમ જાડાઈ માટે,આપણે $m = 0$ લઈએ છીએ,તેથી $2nd = \frac{\lambda}{2}$.
$d = \frac{\lambda}{4n} = \frac{5500 \times 10^{-10} \, \text{m}}{4 \times 1.38} \approx 996.4 \times 10^{-10} \, \text{m} \approx 996.4 \, \mathring{A}$.

(A) પાતળા સ્તરોમાં રંગોની ઘટના પ્રકાશના તરંગોના વ્યતિકરણને કારણે થાય છે, જે સ્તરની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે.
દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં સહાયક વ્યતિકરણ થવા માટે, પથ તફાવત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ સાથે સંબંધિત હોવો જોઈએ.
$t$ જાડાઈના પાતળા સ્તરમાં વ્યતિકરણ માટેની શરત આશરે $2\mu t \approx n\lambda$ છે.
દ્રશ્યમાન પ્રકાશની તરંગલંબાઇ આશરે $400\,nm$ થી $700\,nm$ (એટલે કે $4 \times 10^{-7}\,m$ થી $7 \times 10^{-7}\,m$) ની વચ્ચે હોવાથી, તેલના સ્તરની જાડાઈ $t$ એ દ્રશ્યમાન પ્રકાશની તરંગલંબાઇના ક્રમની હોવી જોઈએ.
તેથી, જાડાઈનો ક્રમ $10^{-7}\,m$ થી $10^{-6}\,m$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $10^{-6}\,m$ એ સૌથી યોગ્ય ક્રમ છે.

(D) પાતળી ફિલ્મમાંથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2 \mu t \cos r = n \lambda$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
આપેલ છે: $\mu = 1.4$,$t = 10^{-4} \,cm = 10^6 \, \mathring{A}$.
લંબ આપાતકોણ માટે,$r = 0^{\circ}$,તેથી $\cos r = 1$.
શરત મુજબ: $2 \times 1.4 \times 10^{-4} \,cm = n \lambda$.
$2.8 \times 10^{-4} \,cm = n \lambda$.
એંગસ્ટ્રોમમાં રૂપાંતર કરતા: $2.8 \times 10^{-4} \times 10^8 \, \mathring{A} = n \lambda$.
$28000 \, \mathring{A} = n \lambda$.
તેથી,$\lambda = \frac{28000}{n} \, \mathring{A}$.
$n = 4$ માટે,$\lambda = 7000 \, \mathring{A}$.
$n = 5$ માટે,$\lambda = 5600 \, \mathring{A}$.
$n = 7$ માટે,$\lambda = 4000 \, \mathring{A}$.
આમ,આપેલા તમામ વિકલ્પો વિનાશક વ્યતિકરણની શરતનું પાલન કરે છે,તેથી તે પરાવર્તિત પ્રકાશમાં જોવા મળશે નહીં.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
ફ્રેનલનું બાયપ્રિઝમ એ વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરવા માટે વપરાતું એક ઓપ્ટિકલ સાધન છે.
તેનો ઉપયોગ ખાસ કરીને ઓપ્ટિકલ પરીક્ષણમાં લેન્સની સપાટીની અનિયમિતતાઓ અને ખામીઓને શોધવા માટે થાય છે,જે આ સાધન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી વ્યતિકરણની ભાતમાં થતા વિક્ષેપને અવલોકન કરીને કરવામાં આવે છે.

(A) પાતળી સાબુની ફિલ્મ પર રંગો જોવાની ઘટના પ્રકાશના વ્યતિકરણને કારણે થાય છે.
જ્યારે સફેદ પ્રકાશ પાતળી સાબુની ફિલ્મ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પ્રકાશના તરંગો ફિલ્મની બહારની અને અંદરની બંને સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થાય છે.
આ પરાવર્તિત તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે,જેના પરિણામે પથ તફાવત અને પ્રકાશની તરંગલંબાઇના આધારે સહાયક અથવા વિનાશક વ્યતિકરણ રચાય છે.
ફિલ્મની જાડાઈ અલગ-અલગ હોવાથી અને પથ તફાવત આપાતકોણ પર આધારિત હોવાથી,અલગ-અલગ તરંગલંબાઇઓ (રંગો) અલગ-અલગ બિંદુઓ પર સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે,જેના પરિણામે રંગીન ભાત જોવા મળે છે.

(D) વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે ગતિશીલ વિમાનમાંથી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું પરાવર્તન વ્યતિકરણ (interference) ઉત્પન્ન કરે છે,જે ભૂતિયા (ghost) પ્રતિબિંબો તરફ દોરી જાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે સોલર સેલમાં પરાવર્તન ઘટાડવા માટે પાતળા ફિલ્મ વ્યતિકરણનો ઉપયોગ થાય છે,જે પ્રકાશનું શોષણ વધારે છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે બિન-પરાવર્તિત કોટિંગ્સ (જેમ કે $MgF_2$) ઓપ્ટિકલ લેન્સમાં અનિચ્છનીય પરાવર્તનને દૂર કરવા માટે વિનાશક વ્યતિકરણનો ઉપયોગ કરે છે.
આ તમામ વિધાનો વૈજ્ઞાનિક રીતે સચોટ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
પતંગિયા અને ફૂદાની પાંખો રંગહીન પારદર્શક પટલની બનેલી હોય છે જે ભીંગડાના સ્તરથી ઢંકાયેલી હોય છે. દરેક ભીંગડું એક કોષની ચપટી વૃદ્ધિ છે અને તે આશરે $100 \,\mu m$ લાંબુ અને $50 \,\mu m$ પહોળું હોય છે.
આ ભીંગડા છતની ટાઇલ્સની જેમ એકબીજા પર ગોઠવાયેલા હોય છે અને પટલને સંપૂર્ણપણે ઢાંકે છે,જે નરી આંખે ધૂળ જેવા દેખાય છે.
પાંખોમાં જોવા મળતી મેઘધનુષી ચમક પાતળા પડના વ્યતિકરણ (thin-film interference) ને કારણે થાય છે. ભીંગડાની રચનામાં સૂક્ષ્મ સ્તરો હોય છે જે પ્રકાશને પરાવર્તિત કરે છે. જ્યારે સૂર્યપ્રકાશ આ સ્તરો પર પડે છે,ત્યારે આ પાતળી રચનાઓની ઉપરની અને નીચેની સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગો એકબીજા સાથે વ્યતિકરણ અનુભવે છે.
આ સ્તરોની જાડાઈ અને જોવાની દિશાના આધારે,પ્રકાશની અમુક તરંગલંબાઇઓ સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે જ્યારે અન્ય વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે. ચોક્કસ રંગોના આ પસંદગીયુક્ત પ્રબલનને કારણે પાંખો પર સુંદર મેઘધનુષી રંગો જોવા મળે છે.

(C) જ્યારે ચલણી નોટોને નમાવવામાં આવે ત્યારે તેનો રંગ બદલાવા માટે જવાબદાર ઘટના પ્રકાશનું $\text{વ્યતિકરણ}$ (Interference) છે。
ચલણી નોટોમાં ઘણીવાર પાતળા સ્તર (thin-film) ધરાવતી ખાસ શાહીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. જ્યારે પ્રકાશ આ સ્તરો પર પડે છે, ત્યારે તે પાતળા સ્તરની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામે છે。
ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતા પ્રકાશના તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત એ આપાતકોણ (જે તમે નોટ નમાવો તેમ બદલાય છે) અને સ્તરની જાડાઈ પર આધાર રાખે છે。
આ પથ તફાવતને કારણે, પ્રકાશની ચોક્કસ તરંગલંબાઇ માટે સહાયક અથવા વિનાશક વ્યતિકરણ થાય છે, જેના કારણે જોવાનો ખૂણો બદલાતા અવલોકિત રંગમાં ફેરફાર થાય છે。

(C) પાતળા પડમાં સહાયક વ્યતિકરણ (પરાવર્તિત પ્રકાશ) માટેની શરત $2 \mu t \cos r = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
અહીં $\mu = 4/3$,$t = 3100 \,\mathring{A}$ અને લંબ આપાતકોણ ($r = 0$,તેથી $\cos r = 1$) આપેલ છે.
સૂત્ર $\lambda = \frac{4 \mu t}{2n - 1}$ બને છે.
$n = 1$ માટે: $\lambda = 4 \times (4/3) \times 3100 = 16533 \,\mathring{A}$ (ઇન્ફ્રારેડ).
$n = 2$ માટે: $\lambda = \frac{4 \times (4/3) \times 3100}{3} = \frac{16533}{3} = 5511 \,\mathring{A}$.
આ તરંગલંબાઇ $(5511 \,\mathring{A})$ દ્રશ્યમાન વર્ણપટના પીળા રંગના વિસ્તારને અનુરૂપ છે.
તેથી,પડ પીળા રંગનું દેખાશે.

(C) આ ગોઠવણીમાં,બિંદુવત ઉદ્ગમ $P$ અને સમતલ અરીસા દ્વારા રચાતું તેનું આભાસી પ્રતિબિંબ $P'$ બે સુસંબદ્ધ બિંદુવત ઉદ્ગમો તરીકે કાર્ય કરે છે. બે સુસંબદ્ધ બિંદુવત ઉદ્ગમો દ્વારા તેમને જોડતી રેખાને લંબ રૂપે રહેલા પડદા પર રચાતી વ્યતિકરણ ભાત સમકેન્દ્રી વર્તુળોની બનેલી હોય છે. તેથી,પડદા પર રચાતી વ્યતિકરણ શલાકાઓ વર્તુળાકાર હોય છે.

(B) પાતળા પડમાં વ્યતિકરણની ઘટના ત્યારે જોવા મળે છે જ્યારે પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેનો પથ તફાવત દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇની સરખામણીમાં હોય。
દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇનો વિસ્તાર આશરે $400\,nm$ થી $700\,nm$ છે, જે $4 \times 10^{-7}\,m$ થી $7 \times 10^{-7}\,m$ જેટલો થાય છે。
આને મિલીમીટરમાં ફેરવતા, આપણને $4 \times 10^{-4}\,mm$ થી $7 \times 10^{-4}\,mm$ મળે છે。
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $10^{-3}\,mm$ (જે $10^{-6}\,m$ અથવા $1\,\mu m$ છે) એ એકમાત્ર મૂલ્ય છે જે દ્રશ્ય પ્રકાશની તરંગલંબાઇના ક્રમનું છે。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે。

(C) માઈકાની શીટ મૂકવાથી મધ્યસ્થ શલાકામાં થતું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta x = \frac{(\mu - 1) t D}{d}$.
અહીં મધ્યસ્થ શલાકા $n$ મી પ્રકાશિત શલાકાના સ્થાને ખસે છે, તેથી સ્થાનાંતર $n \beta$ જેટલું થાય, જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
બંનેને સરખાવતા: $(\mu - 1) t \frac{D}{d} = n \frac{\lambda D}{d}$.
આથી: $\lambda = \frac{(\mu - 1) t}{n}$.
આપેલ કિંમતો: $\mu = 1.6$, $t = 7 \ \mu m = 7 \times 10^{-6} \ m$, અને $n = 7$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{(1.6 - 1) \times 7 \times 10^{-6}}{7}$.
$\lambda = 0.6 \times 10^{-6} \ m = 6 \times 10^{-7} \ m$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 6000 \ \mathring{A}$.

(C) પ્રકાશના મહત્તમ પ્રસરણ માટે, પરાવર્તિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) થવું જોઈએ।
અહીં ફિલ્મનો વક્રીભવનાંક $(\mu_f = 2.0)$ એ હવા $(\mu_a = 1.0)$ અને કાચની સ્લેબ $(\mu_g = 1.45)$ બંને કરતા વધારે છે, તેથી ફિલ્મની ઉપરની અને નીચેની બંને સપાટીઓ પર $\pi$ જેટલો કળા તફાવત ઉદભવે છે।
પરાવર્તિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2 \mu_f t = n \lambda$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$
લઘુત્તમ જાડાઈ માટે, આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$2 \mu_f t = \lambda$
$t = \frac{\lambda}{2 \mu_f}$
આપેલ કિંમતો $\lambda = 550 \ \text{nm}$ અને $\mu_f = 2.0$ મૂકતા:
$t = \frac{550 \ \text{nm}}{2 \times 2.0} = \frac{550}{4} \ \text{nm} = 137.5 \ \text{nm}$.

(A) પાતળી ફિલ્મ માટે, પ્રસારિત પ્રકાશમાં વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટેની શરત $2 \mu t = n \lambda$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
અહીં, $\mu = 1.4$ અને $\lambda = 560 \times 10^{-9} \ m$.
ક્રમિક ન્યૂનતમ માટે જાડાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta t = \frac{\lambda}{2 \mu}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta t = \frac{560 \times 10^{-9}}{2 \times 1.4} = \frac{560 \times 10^{-9}}{2.8} = 200 \times 10^{-9} \ m = 2 \times 10^{-7} \ m$.
ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (1.8 \times 10^{-2} \ m)^2 = \pi \times 3.24 \times 10^{-4} \ m^2$.
બાષ્પીભવનનો દર $R = \frac{A \times \Delta t}{\Delta T}$ છે, જ્યાં $\Delta T = 12 \ s$.
$R = \frac{\pi \times 3.24 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{-7}}{12} = \frac{\pi \times 6.48 \times 10^{-11}}{12} = 0.54 \times 10^{-11} \ m^3/s = 54 \times 10^{-13} \ m^3/s$.
આમ, બાષ્પીભવનનો દર $54 \pi \times 10^{-13} \ m^3/s$ છે.

(A) જ્યારે પાણીની સપાટી પર તેલનું પાતળું પડ ફેલાયેલું હોય અને તેને દિવસના પ્રકાશમાં જોવામાં આવે,ત્યારે તેજસ્વી રંગો જોવા મળે છે.
આ રંગો તેલના પાતળા પડની ઉપરની અને નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થતા સૂર્યપ્રકાશના વ્યતિકરણને કારણે ઉદ્ભવે છે.
અવરોધોની કિનારીઓ પર પ્રકાશના કિરણોનું વળવું તેને વિવર્તન કહેવાય છે.
વિક્ષેપન એટલે સફેદ પ્રકાશનું તેના ઘટક રંગોમાં વિભાજન થવું.
ધ્રુવીભવન એટલે લંબગત તરંગમાં થતા કંપનોને એક જ સમતલમાં મર્યાદિત કરવા.

(D) ધારો કે પ્લેટની જાડાઈ $t$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ $t$ જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતી પ્લેટમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $\mu t$ થાય છે.
તેટલી જ અંતર $t$ માટે હવામાં ઓપ્ટિકલ પથ લંબાઈ $t$ છે.
ઓપ્ટિકલ પથમાં થતો ફેરફાર (ઓપ્ટિકલ પથ તફાવત) $\Delta = \mu t - t = (\mu - 1)t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ઓપ્ટિકલ પથમાં થતો આ ફેરફાર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલો છે,એટલે કે $\Delta = \frac{\lambda}{2}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $(\mu - 1)t = \frac{\lambda}{2}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{\lambda}{2(\mu - 1)}$ મળે છે.

(B) બાયપ્રિઝમના પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d$ અચળ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d}$ અચળ રહે છે.
તેથી,$\frac{W}{D} = \frac{\lambda}{d} = \text{અચળ}$.
આમ,$\frac{W_1}{D_1} = \frac{W_2}{D_2} = \frac{W_3}{D_3} = \frac{W_4}{D_4}$ થાય.

(C) $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda_1 D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y'_m = \frac{(2m - 1) \lambda_2 D}{2d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $5^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકા એ $6^{\text{મી}}$ અપ્રકાશિત શલાકા સાથે સંપાત થાય છે,તેથી $n = 5$ અને $m = 6$ લેતા:
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{(2 \times 6 - 1) \lambda_2 D}{2d}$
$\frac{5 \lambda_1 D}{d} = \frac{11 \lambda_2 D}{2d}$
બંને બાજુથી $D$ અને $d$ ને દૂર કરતા:
$5 \lambda_1 = \frac{11 \lambda_2}{2}$
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{11}{5 \times 2} = \frac{11}{10}$

(C) $n^{th}$ પ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $x_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ ફ્રિન્જની પહોળાઈ છે.
$8^{th}$ પ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે $(n=8)$: $x_8 = 8 \beta = 8 \times 0.6 \ mm = 4.8 \ mm$.
$n^{th}$ અપ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $x'_n = (n - 0.5) \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6^{th}$ અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે $(n=6)$: $x'_6 = (6 - 0.5) \beta = 5.5 \beta = 5.5 \times 0.6 \ mm = 3.3 \ mm$.
$8^{th}$ પ્રકાશિત ફ્રિન્જ અને $6^{th}$ અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = x_8 - x'_6 = 4.8 \ mm - 3.3 \ mm = 1.5 \ mm$ થાય.

(B) $n^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઈ માટે $6^{\text{th}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_6 = \frac{6 \lambda_1 D}{d}$ છે.
$m^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_m = \frac{(m - 0.5) \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઈ માટે $7^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_7 = \frac{(7 - 0.5) \lambda_2 D}{d} = \frac{6.5 \lambda_2 D}{d}$ છે.
બંને શલાકાઓ સંપાત થતી હોવાથી,આપણે તેમના સ્થાનોને સરખાવીએ:
$\frac{6 \lambda_1 D}{d} = \frac{6.5 \lambda_2 D}{d}$.
સામાન્ય પદો $\frac{D}{d}$ ને દૂર કરતા,આપણને $6 \lambda_1 = 6.5 \lambda_2$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{6.5}{6} = \frac{13}{12}$ થાય છે.

(A) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં (અથવા યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(z)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને આઈપીસ (પડદા) વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d$ અચળ રાખવામાં આવે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$z \propto D$
આનો અર્થ એ છે કે ગુણોત્તર $\frac{z}{D}$ અચળ છે.
તેથી,$\frac{z_{1}}{D_{1}} = \frac{z_{2}}{D_{2}} = \frac{z_{3}}{D_{3}} = \frac{z_{4}}{D_{4}}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) ધારો કે આપાત તીવ્રતા $I$ છે.
બિંદુ $A$ પર,$I$ ના $25\%$ કિરણ $AB$ તરીકે પરાવર્તિત થાય છે. તેથી,$I_1 = 0.25I = I/4$.
વક્રીભૂત કિરણની તીવ્રતા $0.75I$ છે.
બિંદુ $C$ પર,આ કિરણ પરાવર્તિત થાય છે. આપાત ઊર્જા $(0.75I)$ ના $25\%$ પરાવર્તિત થાય છે. તેથી,$A^1$ સુધી પહોંચતા કિરણની તીવ્રતા $0.25 \times 0.75I = 0.1875I = (3/16)I$ છે.
બિંદુ $A^1$ પર,આ કિરણ $A^1B^1$ તરીકે વક્રીભૂત થાય છે. $A^1$ પર $25\%$ પરાવર્તિત થતું હોવાથી,આપાત ઊર્જાના $75\%$ પારગમિત થાય છે.
તેથી,$I_2 = 0.75 \times (3/16)I = (3/4) \times (3/16)I = (9/64)I$.
કંપવિસ્તાર $a_1 = \sqrt{I_1} = \sqrt{I/4} = (1/2)\sqrt{I}$ અને $a_2 = \sqrt{I_2} = \sqrt{9I/64} = (3/8)\sqrt{I}$ છે.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $a_1/a_2 = (1/2) / (3/8) = 4/3$ છે.
$I_{\text{max}} / I_{\text{min}} = (a_1 + a_2)^2 / (a_1 - a_2)^2 = ((4+3)/ (4-3))^2 = (7/1)^2 = 49/1$.

(B) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $Z = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
અહીં તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d$ અચળ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda}{d}$ એ અચળ મૂલ્ય છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{Z}{D} = \frac{\lambda}{d} = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $D$ અને $Z$ ના વિવિધ મૂલ્યો માટે,આ ગુણોત્તર સમાન રહે છે:
$\frac{Z_1}{D_1} = \frac{Z_2}{D_2} = \frac{Z_3}{D_3} = \frac{Z_4}{D_4}$.

(A) વિસ્તારની પહોળાઈ $L$ અચળ રહે છે અને તે શલાકાઓની સંખ્યા $n$ અને શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
$L = n_1 \beta_1 = n_2 \beta_2$
શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$n_1 \frac{\lambda_1 D}{d} = n_2 \frac{\lambda_2 D}{d}$
$n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$
અહીં $n_1 = 21$,$\lambda_1 = 4800 \text{ Å}$,અને $\lambda_2 = 5600 \text{ Å}$ આપેલ છે:
$21 \times 4800 = n_2 \times 5600$
$n_2 = \frac{21 \times 4800}{5600} = \frac{21 \times 48}{56} = \frac{21 \times 6}{7} = 3 \times 6 = 18$
આમ,જોવા મળતી શલાકાઓની સંખ્યા $18$ છે.

(A) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5 \times 10^{-7} \,m$,ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta \beta = \beta_{2} - \beta_{1} = 12.5 \times 10^{-5} \,m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta D = D_{2} - D_{1}$ એ પડદાના સ્થાનમાં થયેલું સ્થાનાંતર છે.
$\Delta D$ માટે સૂત્ર: $\Delta D = \frac{d \cdot \Delta \beta}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta D = \frac{10^{-3} \times 12.5 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-7}}$.
$\Delta D = \frac{12.5 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-7}} = 2.5 \times 10^{-1} \,m = 0.25 \,m = 25 \,cm$.
તેથી,પડદાને સ્લિટથી દૂર અથવા નજીક $25 \,cm$ ખસેડવો જોઈએ.

(D) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્ત્રોત અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે આભાસી સ્ત્રોતો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $D$ અને $d$ અચળ રહેતા હોવાથી,શલાકાની પહોળાઈ તરંગલંબાઇના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\beta \propto \lambda$.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 5000 \ Å$ અને $\lambda_2 = 6400 \ Å$.
નવી શલાકાની પહોળાઈ $\beta_2$ અને પ્રારંભિક શલાકાની પહોળાઈ $\beta_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{\beta_2}{\beta_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{6400}{5000} = 1.28$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\beta_2 = 1.28 \beta_1$.
શલાકાની પહોળાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\beta_2 - \beta_1}{\beta_1} \times 100\% = (1.28 - 1) \times 100\% = 0.28 \times 100\% = 28\%$ છે.
તેથી,શલાકાની પહોળાઈમાં $28\%$ નો વધારો થશે.

(A) મધ્યસ્થ શલાકાથી $n$-મી અપ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = (n - 1/2) \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\beta$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
બીજી અપ્રકાશિત શલાકા માટે $(n = 2)$:
$y_2 = (2 - 1/2) \beta = 1.5 \beta = 3 \ mm$.
તેથી,$\beta = 3 / 1.5 = 2 \ mm$.
મધ્યસ્થ શલાકાથી $n$-મી પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = n \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છઠ્ઠી પ્રકાશિત શલાકા માટે $(n = 6)$:
$y_6 = 6 \times \beta = 6 \times 2 \ mm = 12 \ mm$.

(A) આપેલ છે કે આપાત પ્રકાશની કુલ તીવ્રતાના $25 \%$ ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ હોય,તો પ્રથમ પરાવર્તિત કિરણની તીવ્રતા $I_1 = 0.25 I_0 = \frac{I_0}{4}$ થશે.
પ્લેટની નીચેની સપાટી પર પહોંચતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0 - 0.25 I_0 = 0.75 I_0 = \frac{3}{4} I_0$ છે.
કારણ કે આ તીવ્રતાના $50 \%$ નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થાય છે,તેથી બીજા પરાવર્તિત કિરણની તીવ્રતા $I_2 = 0.50 \times \frac{3}{4} I_0 = \frac{3}{8} I_0$ થશે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}\right)^2}{\left(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}\right)^2}$
$I_1$ અને $I_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}+\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2}{\left(\sqrt{\frac{I_0}{4}}-\sqrt{\frac{3 I_0}{8}}\right)^2} = \left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} + \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}{\frac{1}{2} \sqrt{I_0} - \sqrt{\frac{3}{8}} \sqrt{I_0}}\right)^2 = \left(\frac{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3}{8}}}{\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{3}{8}}}\right)^2$

(A) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $W$ નું સૂત્ર $W = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
બંને સેટઅપ માટે શલાકાની પહોળાઈ $W$ અને તરંગલંબાઇ $\lambda$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે $W = \frac{\lambda D_1}{d_1} = \frac{\lambda D_2}{d_2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{D_1}{d_1} = \frac{D_2}{d_2}$,અથવા $\frac{D_1}{D_2} = \frac{d_1}{d_2}$.
સ્લિટના અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{2}{3}$ આપેલ હોવાથી,અંતરનો ગુણોત્તર $\frac{D_1}{D_2} = \frac{2}{3}$ થશે.

(D) શલાકાની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $d$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્રથમ સ્થિતિ માટે: $W_1 = \frac{\lambda D_1}{d}$
બીજી સ્થિતિ માટે: $W_2 = \frac{\lambda D_2}{d}$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $W_1 - W_2 = \frac{\lambda}{d}(D_1 - D_2)$
$d$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $d = \frac{\lambda(D_1 - D_2)}{(W_1 - W_2)}$

(D) ખ્યાલ: બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં,$n^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $y_n = (2n - 1) \frac{\lambda D}{2d}$.
અહીં આપેલ છે કે $4^{\text{th}}$ અપ્રકાશિત શલાકા એક સ્લિટની સામે રચાય છે,તેથી મધ્યસ્થ અક્ષથી સ્લિટનું અંતર $y = \frac{d}{2}$ થાય.
$n = 4$ માટે,સ્થાન $y_4 = (2(4) - 1) \frac{\lambda D}{2d} = \frac{7 \lambda D}{2d}$ થશે.
$y_4$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{7 \lambda D}{2d} = \frac{d}{2}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા: $7 \lambda D = d^2 \implies \lambda = \frac{d^2}{7D}$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,$\beta = \frac{\lambda D}{d}$.
નવી પરિસ્થિતિમાં,ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d' = 2d$ થાય છે અને સ્લિટ તથા આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $D' = 2D$ થાય છે.
નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ એ $\beta' = \frac{\lambda D'}{d'} = \frac{\lambda (2D)}{(2d)} = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\beta' = \beta$,જેનો અર્થ છે કે ફ્રિન્જની પહોળાઈ અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $D = 1.2 \ m$ એ ઉદગમ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d = 0.84 \ mm = 0.84 \times 10^{-3} \ m$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આઈપીસને $y = 2.799 \ cm = 2.799 \times 10^{-2} \ m$ જેટલા અંતરે ત્રાંસી રીતે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થાનાંતરિત થતી શલાકાઓની સંખ્યા $n = 30$ છે.
સંબંધ $y = n \beta = n \frac{\lambda D}{d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2.799 \times 10^{-2} = 30 \times \frac{\lambda \times 1.2}{0.84 \times 10^{-3}}$.
$\lambda = \frac{2.799 \times 10^{-2} \times 0.84 \times 10^{-3}}{30 \times 1.2}$.
$\lambda = \frac{2.35116 \times 10^{-5}}{36} = 0.06531 \times 10^{-5} \ m = 6531 \times 10^{-10} \ m$.
તેથી,$\lambda = 6531 \ \mathring{A}$.

(A) પાતળા ફિલ્મમાંથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં રચનાત્મક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2 \mu t = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ છે, જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$ અને $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે, $t$ એ જાડાઈ છે, અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે।
લઘુત્તમ જાડાઈ માટે, આપણે $n = 0$ લઈએ છીએ।
કિંમતો મૂકતા: $2 \mu t = \frac{\lambda}{2}$.
$t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $t = \frac{\lambda}{4 \mu}$.
આપેલ છે $\lambda = 600 \, nm$ અને $\mu = 1.5$, તેથી $t = \frac{600}{4 \times 1.5} = \frac{600}{6} = 100 \, nm$.

(C) પાતળા પડ માટે,પરાવર્તિત પ્રકાશમાં સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટેની શરત $2 \mu t \cos r = (n + 1/2) \lambda_1$ છે,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટેની શરત $2 \mu t \cos r = m \lambda_2$ છે,જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.
અહીં $\lambda_1 = 600 \ nm$ અને $\lambda_2 = 450 \ nm$ આપેલ છે. લંબ આપાતકોણ $(\cos r = 1)$ ધારતા:
$2 \mu t = (n + 1/2) \lambda_1 = (2n + 1) \frac{\lambda_1}{2} = (2n + 1) \times 300 \ nm$
$2 \mu t = m \lambda_2 = m \times 450 \ nm$
બંનેને સરખાવતા: $(2n + 1) \times 300 = m \times 450 \implies (2n + 1) \times 2 = 3m \implies 4n + 2 = 3m$.
વચ્ચે કોઈ ન્યૂનતમ ન હોય તેવી સૌથી નાની જાડાઈ માટે,$n=1$ લેતા: $4(1) + 2 = 6 = 3m \implies m = 2$.
મહત્તમની શરતમાં $n=1$ મૂકતા:
$2 \times 1.5 \times t = (1 + 0.5) \times 600 \ nm$
$3t = 1.5 \times 600 \ nm = 900 \ nm$
$t = 300 \ nm = 3 \times 10^{-7} \ m$.
આમ,પડની જાડાઈ $3$ એકમ છે.

(D) પાતળી ફિલ્મમાં પરાવર્તિત પ્રકાશ માટે સહાયક વ્યતિકરણની શરત $2 \mu d \cos r = n \lambda$ છે.
અહીં ફિલ્મની જાડાઈ $d = 2.9 \times 10^{-4} \ mm = 2.9 \times 10^{-7} \ m$ છે.
લંબ આપાતકોણ માટે,$\cos r = 1$ અને હવા માટે વક્રીભવનાંક $\mu = 1$ છે.
પથ તફાવત $\Delta = 2d = 2 \times 2.9 \times 10^{-7} \ m = 5.8 \times 10^{-7} \ m = 580 \ nm$ થાય.
સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2d = n \lambda$ છે.
જો $n = 1$ લઈએ,તો $\lambda = 580 \ nm$ મળે છે.
પીળા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $580 \ nm$ હોવાથી,તે સહાયક વ્યતિકરણ અનુભવે છે અને પ્રબળ રીતે પરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,પરાવર્તિત પ્રકાશનો રંગ પીળો દેખાય છે.

(B) સાબુના પરપોટામાં જોવા મળતા રંગો વ્યતિકરણની ઘટનાને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
જ્યારે પ્રકાશ સાબુના પરપોટાની પાતળી ફિલ્મ પર પડે છે,ત્યારે તે બહારની અને અંદરની બંને સપાટીઓ પરથી પરાવર્તિત થાય છે.
આ પરાવર્તિત તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે,જેના કારણે ફિલ્મની જાડાઈ અને પ્રકાશની તરંગલંબાઇના આધારે સહાયક અથવા વિનાશક વ્યતિકરણ રચાય છે.
આ વ્યતિકરણની ભાતને કારણે વિવિધ રંગો દેખાય છે.

(A) ધારો કે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
ઉપરની સપાટી પરથી પરાવર્તિત તીવ્રતા,$I_1 = 25 \% \text{ of } I_0 = \frac{I_0}{4}$.
કાચની પ્લેટમાં પ્રવેશતી તીવ્રતા = $I_0 - \frac{I_0}{4} = \frac{3I_0}{4}$.
નીચેની સપાટી પરથી પરાવર્તિત તીવ્રતા,$I_2 = 50 \% \text{ of } \frac{3I_0}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{3I_0}{4} = \frac{3I_0}{8}$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = \left( \frac{\sqrt{\frac{I_0}{4}} + \sqrt{\frac{3I_0}{8}}}{\sqrt{\frac{I_0}{4}} - \sqrt{\frac{3I_0}{8}}} \right)^2 = \left( \frac{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{3}{8}}}{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{3}{8}}} \right)^2$.

(B) પાતળા પડમાંથી પરાવર્તિત પ્રકાશમાં સહાયક વ્યતિકરણ માટેની શરત $2nt = (m + 1/2)\lambda$ છે, જ્યાં $m = 0, 1, 2, \dots$ અને $n$ એ પડનો વક્રીભવનાંક છે.
ન્યૂનતમ જાડાઈ શોધવા માટે, આપણે $m = 0$ લઈએ છીએ.
આમ, $2nt = \lambda/2$.
જાડાઈ $t$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $t = \lambda / (4n)$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 532 \,nm$ અને $n = 1.33$.
$t = 532 / (4 \times 1.33) = 532 / 5.32 = 100 \,nm$.
તેથી, ન્યૂનતમ જાડાઈ $100 \,nm$ છે.

(D) પરાવર્તિત પ્રકાશ માટે,વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) ની શરત નીચે મુજબ છે:
$2 \mu t \cos r = n \lambda$
જ્યાં $\mu$ એ વક્રીભવનાંક છે,$t$ એ જાડાઈ છે,$r$ એ વક્રીભવન કોણ છે,અને $n$ એ પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 2, 3, ...)$.
લઘુત્તમ જાડાઈ માટે,આપણે $n = 1$ લઈએ છીએ:
$2 \mu t \cos r = \lambda$
આપેલ કિંમતો:
$\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$
$\mu = 1.5$
$r = 60^{\circ} \Rightarrow \cos 60^{\circ} = 0.5$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 \times 1.5 \times t \times 0.5 = 6 \times 10^{-7}$
$1.5 \times t = 6 \times 10^{-7}$
$t = \frac{6 \times 10^{-7}}{1.5} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$