Intensity in Young's Double Slit Experiment Questions in Gujarati

(N/A) જ્યારે પોલરાઇઝર હાજર ન હોય, ત્યારે મુખ્ય મહત્તમની તીવ્રતા $I_0 = 4I$ છે, જ્યાં $I$ એ દરેક સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે।
જ્યારે એક માર્ગમાં (ધારો કે માર્ગ $2$) પોલરાઇઝર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેમાંથી પસાર થતો પ્રકાશ રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત બને છે। ધારો કે દરેક સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશનો કંપવિસ્તાર $a$ છે। તીવ્રતા $I = a^2$।
પોલરાઇઝર વગરની સ્લિટ માટે, પ્રકાશ અધ્રુવીભૂત રહે છે। પોલરાઇઝર વાળી સ્લિટ માટે, પ્રકાશ ધ્રુવીભૂત બને છે।
જ્યારે આ બે કિરણો સંપાત થાય છે, ત્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશને પરસ્પર લંબ દિશાઓમાં કંપન કરતા $I/2$ તીવ્રતાના બે અસંગત ઘટકો તરીકે ગણી શકાય।
બીજી સ્લિટમાંથી આવતા ધ્રુવીભૂત પ્રકાશની તીવ્રતા $I' = I/2$ (પોલરાઇઝરમાંથી પસાર થયા પછી) છે।
મુખ્ય મહત્તમ પર, બંને કિરણો સમાન કળામાં હોય છે। અધ્રુવીભૂત કિરણની તીવ્રતા $I$ અને ધ્રુવીભૂત કિરણની તીવ્રતા $I/2$ છે। પરિણામી તીવ્રતા $I_{max} = I + I/2 + 2\sqrt{I \cdot I/2} \cdot \cos(0) = I + I/2 + \sqrt{2}I = I(1.5 + 1.414) \approx 2.914I$। કારણ કે $I_0 = 4I$, તેથી $I = I_0/4$। આમ, $I_{max} = (2.914/4)I_0 = 0.7285I_0$।
પ્રથમ ન્યૂનતમ પર, કળા તફાવત $\pi$ છે। તીવ્રતા $I_{min} = I + I/2 - 2\sqrt{I \cdot I/2} = I(1.5 - 1.414) = 0.086I = 0.086(I_0/4) = 0.0215I_0$।

(B) $(i)$ $R_1$ પર,$A$ અને $B$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\lambda/2$ છે,જે વિનાશક વ્યતિકરણ તરફ દોરી જાય છે $(y_A + y_B = 0)$. તેવી જ રીતે,$C$ અને $D$ માંથી આવતા તરંગો $R_1$ પર વિનાશક વ્યતિકરણ અનુભવે છે. આમ,$R_1$ પર ચોખ્ખો સિગ્નલ શૂન્ય છે. $R_2$ પર,પથ તફાવતો અલગ છે,જે સહાયક વ્યતિકરણ તરફ દોરી જાય છે. તેથી,$R_2$ મોટો સિગ્નલ મેળવે છે.
$(ii)$ જો $B$ બંધ કરવામાં આવે,તો $R_1$ પરનું વિનાશક વ્યતિકરણ દૂર થાય છે,જેના પરિણામે શૂન્ય સિવાયનો સિગ્નલ મળે છે. $R_2$ માં પણ ફેરફાર થાય છે,પરંતુ $R_1$ હવે તેની અગાઉની શૂન્ય સ્થિતિની તુલનામાં મજબૂત પરિણામી સિગ્નલ મેળવે છે. તેથી,$R_1$ મોટો સિગ્નલ મેળવે છે.
$(iii)$ જો $D$ બંધ કરવામાં આવે,તો $R_1$ પરનું વિનાશક વ્યતિકરણ દૂર થાય છે,જેના પરિણામે શૂન્ય સિવાયનો સિગ્નલ મળે છે. $R_1$ મોટો સિગ્નલ મેળવે છે.
$(iv)$ $R_1$ અને $R_2$ ના સંદર્ભમાં $B$ અને $D$ માટે પથ તફાવતો અલગ હોવાથી,રિસીવર પર સિગ્નલની તીવ્રતામાં થતો ફેરફાર દરેક ઉદગમ બંધ થવા માટે અનન્ય હશે. આમ,બંને રિસીવર પારખી શકે છે કે કયો ઉદગમ બંધ થયો છે.

(D) આપેલ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $I_1 : I_2 = 9 : 4$ છે.
ધારો કે $I_1 = 9k$ અને $I_2 = 4k$.
કંપવિસ્તાર એ તીવ્રતાના વર્ગમૂળના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $a_1 = \sqrt{I_1} = 3\sqrt{k}$ અને $a_2 = \sqrt{I_2} = 2\sqrt{k}$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{3\sqrt{k} + 2\sqrt{k}}{3\sqrt{k} - 2\sqrt{k}} \right)^2 = \left( \frac{5\sqrt{k}}{1\sqrt{k}} \right)^2 = 5^2 = 25$.
આમ,ગુણોત્તર $25 : 1$ છે.

(D) ધારો કે દરેક સ્લિટને કારણે પડદા પર પ્રકાશની તીવ્રતા $I_0$ છે.
પડદાના કેન્દ્ર પર મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = 4I_0$ છે.
જ્યાં કળા તફાવત $\phi$ હોય તે બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \phi = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે તીવ્રતા મહત્તમ તીવ્રતા કરતા અડધી થાય છે,તેથી $I = \frac{I_{max}}{2} = 2I_0$.
આમ,$2I_0 = 4I_0 \cos^2(\phi/2) \implies \cos^2(\phi/2) = 1/2 \implies \cos(\phi/2) = 1/\sqrt{2}$.
આનાથી $\phi/2 = \pi/4$ મળે છે,તેથી કળા તફાવત $\phi = \pi/2$.
કળા તફાવત એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
તેથી,$\frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{\pi}{2} \implies \Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
નાના ખૂણાઓ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d(y/D)$.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $d(y/D) = \lambda/4 \implies y = \frac{\lambda D}{4d}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5 \times 10^{-7} \ m$,$d = 1.0 \ mm = 10^{-3} \ m$,અને $D = 1.0 \ m$.
$y = \frac{5 \times 10^{-7} \times 1}{4 \times 10^{-3}} = 1.25 \times 10^{-4} \ m = 125 \times 10^{-6} \ m$.
તેથી,અંતર $125$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{I_{max}}{4}$,તેથી $\frac{I_{max}}{4} = I_{max} \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{4}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{\Delta \phi}{2} = \frac{\pi}{3}$,જે કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{3}$ આપે છે.
કળા તફાવત અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે. કારણ કે $\Delta x = \frac{yd}{D}$,તેથી $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{yd}{D}\right)$.
$\Delta \phi$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\pi}{\lambda} \left(\frac{yd}{D}\right) = \frac{2\pi}{3}$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{\lambda D}{3d}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $y = \frac{600 \times 10^{-9} \ m \times 1.0 \ m}{3 \times 1.0 \times 10^{-3} \ m} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3 \times 10^{-3}} \ m = 200 \times 10^{-6} \ m$.
કારણ કે $1 \ \mu m = 10^{-6} \ m$,તેથી અંતર $y = 200 \ \mu m$ થાય.

(B) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે તીવ્રતા મહત્તમ તીવ્રતાની અડધી છે,તેથી $I = \frac{I_{max}}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{I_{max}}{2} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
આથી $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\frac{\phi}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$,જે સૂચવે છે કે $\phi = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots$.
સામાન્ય રીતે,$\phi = (2n+1) \frac{\pi}{2}$.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \phi$ હોવાથી,$\phi$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta x = \frac{\lambda}{2\pi} \times (2n+1) \frac{\pi}{2} = (2n+1) \frac{\lambda}{4}$.

(B) ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $b = \frac{I_1}{I_2}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
જરૂરી ગુણોત્તર $R = \frac{I_{\text{max}} + I_{\text{min}}}{I_{\text{max}} - I_{\text{min}}}$ છે.
$I_{\text{max}}$ અને $I_{\text{min}}$ ના પદો મૂકતા:
$R = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$R = \frac{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})}{(I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) - (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2})} = \frac{2(I_1 + I_2)}{4\sqrt{I_1I_2}} = \frac{I_1 + I_2}{2\sqrt{I_1I_2}}$.
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$R = \frac{\frac{I_1}{I_2} + 1}{2\sqrt{\frac{I_1}{I_2}}} = \frac{b + 1}{2\sqrt{b}}$.

(B) મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max }}{I_{\min }}=\frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
આપેલ છે કે $\frac{I_{\max }}{I_{\min }} = \frac{9}{1}$,તેથી:
$\frac{9}{1} = \frac{(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2})^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{3}{1} = \frac{\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$3(\sqrt{I_1}-\sqrt{I_2}) = 1(\sqrt{I_1}+\sqrt{I_2})$
$3\sqrt{I_1} - 3\sqrt{I_2} = \sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}$
$2\sqrt{I_1} = 4\sqrt{I_2}$
$\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \frac{4}{2} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$
આમ,પ્રકાશના ઉદગમોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કિસ્સો $1$: પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$.
આપેલ તીવ્રતા $I = x$,તેથી $x = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$.
આમ,$4I_0 = x$.
કિસ્સો $2$: પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi'}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
કારણ કે $4I_0 = x$,તેથી $2I_0 = \frac{x}{2}$.
તેથી,તીવ્રતા $\frac{x}{2}$ થશે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times (\text{પથ તફાવત} \Delta x)$.
બિંદુ $P$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_P = 0$,તેથી $\phi_P = 0$. તીવ્રતા $I_P = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$.
બિંદુ $Q$ માટે,પથ તફાવત $\Delta x_Q = \frac{\lambda}{4}$,તેથી $\phi_Q = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
તીવ્રતા $I_Q = I_{max} \cos^2(\frac{90^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(45^{\circ}) = I_{max} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_P}{I_Q} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2: 1$ થાય છે.

(B) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ ઉત્પન્ન કરે છે.
ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $I_1 = 2I_2$,આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{2I_2} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{2I_2} - \sqrt{I_2})^2} = \frac{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} + 1))^2}{(\sqrt{I_2}(\sqrt{2} - 1))^2} = \frac{(\sqrt{2} + 1)^2}{(\sqrt{2} - 1)^2}$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{2 + 1 + 2\sqrt{2}}{2 + 1 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(3 + 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9 + 8 + 12\sqrt{2}}{9 - 8} = 17 + 12\sqrt{2} \approx 33.97 \approx 34$.
આમ,ગુણોત્તર $34:1$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ હોય ત્યારે તીવ્રતા $K$ છે. કારણ કે $\Delta x = \lambda$ એ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ જેટલા કળા તફાવતને અનુરૂપ છે,તેથી $I = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max} = K$ મળે છે.
હવે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3}$ થાય છે.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = K \cos^2 \left( \frac{\pi/3}{2} \right) = K \cos^2 \left( \frac{\pi}{6} \right)$ થશે.
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા,આપણને $I = K \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = K \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3K}{4}$ મળે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $\lambda$ પથ તફાવત માટે તીવ્રતા $\beta$ છે. $\lambda$ પથ તફાવત માટે કળા તફાવત $\phi = (2\pi/\lambda) \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તેથી,$\beta = I_{max} \cos^2(2\pi/2) = I_{max} \cos^2(\pi) = I_{max}(1)^2 = I_{max}$.
હવે,$\Delta x = \lambda/3$ પથ તફાવત માટે,કળા તફાવત $\phi = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/3) = 2\pi/3$ થાય.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2) = \beta \cos^2((2\pi/3)/2) = \beta \cos^2(\pi/3)$ થશે.
કારણ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,તેથી $I = \beta (1/2)^2 = \beta/4$ મળે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$ થાય છે.
આપેલ તીવ્રતા $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$ છે.
હવે,પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
નવી તીવ્રતા $K'$ એ $K' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $K' = 4I_0 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$ મળે છે.
કારણ કે $K = 4I_0$,તેથી $2I_0 = \frac{K}{2}$ થાય.
તેથી,તીવ્રતા $\frac{K}{2}$ હશે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક તરંગની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ થાય છે.
આપેલ તીવ્રતા $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I' = 4I_0 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$.
કારણ કે $K = 4I_0$,તેથી $2I_0 = \frac{K}{2}$ થાય.
તેથી,તીવ્રતા $\frac{K}{2}$ હશે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પરિણામી તીવ્રતા $I_R = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $\Delta x = \lambda$,ત્યારે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$. તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(-1)^2 = 4I_0$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,ત્યારે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
નવી તીવ્રતા $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
કારણ કે $I = 4I_0$,તેથી $I_0 = \frac{I}{4}$.
$I'$ ના સમીકરણમાં $I_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I' = 2(\frac{I}{4}) = \frac{I}{2}$ મળે છે.

(A) $I_1$ અને $I_2$ તીવ્રતા ધરાવતા અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા કિરણો માટે પરિણામી તીવ્રતા $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_1 = I$ અને $I_2 = 4I$ આપેલ છે.
બિંદુ $A$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_A = \pi / 2$ છે. તેથી,$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi / 2) = 5I + 4I(0) = 5I$.
બિંદુ $B$ આગળ,કળા તફાવત $\phi_B = \pi$ છે. તેથી,$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 4I(-1) = 5I - 4I = I$.
$A$ અને $B$ આગળ પરિણામી તીવ્રતાનો તફાવત $I_A - I_B = 5I - I = 4I$ થાય છે.

(D) કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$.
આપેલ પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{6}$ માટે,કળા તફાવત: $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I$ નું સૂત્ર $I = I_{0} \cos^{2}\left(\frac{\phi}{2}\right)$ છે,જ્યાં $I_{0}$ એ મહત્તમ તીવ્રતા છે.
$\phi$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{I}{I_{0}} = \cos^{2}\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right) = \cos^{2}(30^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{I}{I_{0}} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = \frac{3}{4} = 0.75$.

(C) બે સુસંબદ્ધ સ્ત્રોતોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 2x$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ અને $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
ગણતરી કરવા માટેનું પદ $V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ છે.
$I_{\max}$ અને $I_{\min}$ ના પદો મૂકતા:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ અને $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
અંશ અને છેદને $I_2$ વડે ભાગતા:
$V = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1}$.
$\frac{I_1}{I_2} = 2x$ મૂકતા:
$V = \frac{2\sqrt{2x}}{2x + 1}$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે。
આપેલ છે કે મધ્યસ્થ શલાકાની તીવ્રતા $I_0$ છે, તેથી $I_{max} = I_0$.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta p$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta p$ તરીકે સંબંધિત છે。
મધ્યસ્થ શલાકાથી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે, પથ તફાવત $\Delta p = d \sin \theta \approx d \tan \theta = d \left( \frac{x}{D} \right)$ છે。
આમ, $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \frac{dx}{D} \right)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $\frac{d}{\lambda D} = \frac{1}{\beta}$.
આ કિંમતને કળા તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $\phi = 2\pi \left( \frac{x}{\beta} \right)$ મળે છે。
હવે, $\phi$ ને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = I_0 \cos^2 \left( \frac{2\pi x / \beta}{2} \right) = I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi x}{\beta} \right)$.

(D) ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે。
આપણને આપેલ છે કે $I = 0.5 I_{max}$, તેથી $0.5 I_{max} = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos^2(\frac{\phi}{2}) = 0.5$, અથવા $\cos(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ, $\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{4}$, જે $\phi = \frac{\pi}{2}$ આપે છે。
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે。
$\phi = \frac{\pi}{2}$ મૂકતા, આપણને $\frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $y$ અંતરે આવેલા બિંદુ માટે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ છે。
બંનેને સરખાવતા, $\frac{yd}{D} = \frac{\lambda}{4}$, તેથી $y = \frac{\lambda D}{4d}$.
આપેલ છે કે $\lambda = 6600 \, Å = 6.6 \times 10^{-7} \, m$, $D = 4 \, m$, અને $d = 0.6 \, mm = 6 \times 10^{-4} \, m$.
$y = \frac{(6.6 \times 10^{-7} \, m) \times (4 \, m)}{4 \times (6 \times 10^{-4} \, m)} = \frac{6.6 \times 10^{-7}}{6 \times 10^{-4}} \, m = 1.1 \times 10^{-3} \, m = 1.1 \, mm$.

(B) આપેલ છે: એકવર્ણી પ્રકાશના બે કિરણોની તીવ્રતા $I_1 = 64 \ mW$ અને $I_2 = 4 \ mW$ છે.
બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોની પરિણામી તીવ્રતાનું સૂત્ર $I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ છે.
જ્યારે તીવ્રતા ઘટીને $84 \ mW$ થાય છે,ત્યારે આપણે સમીકરણમાં જાણીતી કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$84 = 64 + 4 + 2 \sqrt{64 \times 4} \cos \phi$
$84 = 68 + 2 \times 8 \times 2 \cos \phi$
$84 - 68 = 32 \cos \phi$
$16 = 32 \cos \phi$
$\cos \phi = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\phi = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = 60^\circ$.

(D) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I_p = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
અહીં $I_{max} = I$ (મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની તીવ્રતા) આપેલ છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$,તેથી $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
આ કિંમતને તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_p = I \cos^2(\frac{2\pi/3}{2}) = I \cos^2(\frac{\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,તેથી $I_p = I (\frac{1}{2})^2 = \frac{I}{4}$.

(A) ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\pi \Delta x}{\lambda})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ પથ તફાવત છે.
પ્રથમ બિંદુ માટે,$\Delta x_1 = 2000 \ Å$ અને $\lambda = 6000 \ Å$.
કળા તફાવત $\phi_1 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_1 = \frac{2\pi}{6000} \times 2000 = \frac{2\pi}{3} = 120^{\circ}$.
તીવ્રતા $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{120^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(60^{\circ}) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$.
બીજા બિંદુ માટે,$\Delta x_2 = 1000 \ Å$.
કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x_2 = \frac{2\pi}{6000} \times 1000 = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$.
તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{60^{\circ}}{2}) = I_{max} \cos^2(30^{\circ}) = I_{max} (\sqrt{3}/2)^2 = 3I_{max}/4$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}/4}{3I_{max}/4} = \frac{1}{3}$.
આમ,$I_1: I_2 = 1: 3$.

(C) કોઈપણ બિંદુએ પરિણામી તીવ્રતા $I_R$ નું સૂત્ર $I_R = I_{\max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I_R = 75 \% \text{ of } I_{\max} = 0.75 I_{\max} = \frac{3}{4} I_{\max}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{3}{4} I_{\max} = I_{\max} \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$
$\cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{3}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\cos \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\frac{\phi}{2} = \frac{\pi}{6}$
$\phi = \frac{\pi}{3}$

(C) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto w$.
આપેલ છે કે પ્રથમ સ્લિટની પહોળાઈ $w_1 = 4w_2$ છે,તેથી તીવ્રતાઓનો સંબંધ $I_1 = 4I_2$ થશે.
ધારો કે $I_2 = I$,તો $I_1 = 4I$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{4I} + \sqrt{I})^2}{(\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2} = \frac{(2\sqrt{I} + \sqrt{I})^2}{(2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I})^2} = \frac{9I}{I} = \frac{9}{1}$
આમ,ગુણોત્તર $9: 1$ છે.

(B) ધારો કે બે સ્લિટમાંથી આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I_1$ અને $I_2$ છે. આપેલ છે કે $I_1 = 1.5 I_2$,તેથી ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$ છે.
વ્યતિકરણ ભાતમાં મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{I_2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1/I_2} + 1}{\sqrt{I_1/I_2} - 1} \right)^2$.
$\frac{I_1}{I_2} = 1.5$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\sqrt{1.5} + 1}{\sqrt{1.5} - 1} \right)^2 \approx \left( \frac{1.225 + 1}{1.225 - 1} \right)^2 = \left( \frac{2.225}{0.225} \right)^2 \approx (9.88)^2 \approx 97.7 \approx 98$.

(B) કેન્દ્રથી $y$ જેટલા ઊર્ધ્વ અંતરે રહેલા પડદા પરના બિંદુ માટે પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta \approx dy/D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સ્લિટની બરાબર સામેના બિંદુ માટે,ઊર્ધ્વ અંતર $y = d/2$ થાય છે.
આ કિંમત પથ તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\Delta x = d(d/2) / D = d^2 / (2D)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $D = 10d$,તેથી પથ તફાવત $\Delta x = d^2 / (20d) = d/20$ થાય છે.
આપેલ છે કે $d = 5\lambda$,તેથી $\Delta x = 5\lambda / 20 = \lambda/4$ મળે છે.
કળા તફાવત $\phi$ ની ગણતરી $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/4) = \pi/2$ મુજબ થાય છે.
આ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\phi = \pi/2$ મૂકતા,આપણને $I = I_0 \cos^2(\pi/4) = I_0 (1/\sqrt{2})^2 = I_0/2$ મળે છે.