Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Hindi

(B) $SI$ प्रणाली में 'मेगा' $(M)$ उपसर्ग $10^6$ के गुणक को दर्शाता है।
इसलिए,$1\,MeV$ का मान $10^6\,eV$ के बराबर होता है।

(C) नाभिक में प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा उस औसत ऊर्जा को दर्शाती है जो एक न्यूक्लियॉन को नाभिक से बाहर निकालने के लिए आवश्यक होती है। प्रायोगिक अवलोकन यह दर्शाते हैं कि अधिकांश स्थिर नाभिकों के लिए यह ऊर्जा सामान्यतः $7$ से $9 \ MeV$ की सीमा में होती है। अतः,एक न्यूक्लियॉन की बंधन ऊर्जा कुछ $MeV$ की कोटि की होती है।

(C) $1 \text{ a.m.u.}$ का द्रव्यमान $1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}$ होता है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र $E = mc^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्रकाश की गति है।
$E = (1.66 \times 10^{-27} \text{ kg}) \times (3 \times 10^8 \text{ m/s})^2$
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \text{ J}$
$E \approx 14.94 \times 10^{-11} \text{ J} \approx 1.5 \times 10^{-10} \text{ J}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ के अनुसार,ऊर्जा और द्रव्यमान परस्पर परिवर्तनीय हैं। जब पानी को ठंडा करके बर्फ बनाई जाती है,तो यह परिवेश में गुप्त ऊष्मा छोड़ता है। चूँकि निकाय ऊर्जा खो देता है,इसलिए इसके कुल द्रव्यमान में भी तदनुसार कमी होनी चाहिए। अतः,जब पानी बर्फ में बदलता है तो उसका द्रव्यमान घट जाता है।

(D) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = mc^2$ है।
यहाँ,$m = 1 \text{ kg}$ और $c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ (प्रकाश की गति) है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E = 1 \times (3 \times 10^8)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16}$
$E = 9 \times 10^{16} \text{ J}$
यह मान लगभग $10^{17} \text{ J}$ के बराबर है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) नाभिकीय बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ वह ऊर्जा है जो एक नाभिक को उसके घटक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन में अलग करने के लिए आवश्यक होती है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार, यह ऊर्जा नाभिक की द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के समतुल्य होती है।
यह संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $B.E. = \Delta m \times c^2$।
परमाणु द्रव्यमान इकाई के संदर्भ में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $B.E. = \Delta m \times 931 \, MeV$।

(A) नाभिक की बंधन ऊर्जा $(BE)$ और द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $BE = \Delta m \times 931.5 \, MeV/a.m.u.$
यहाँ, $BE = 2.23 \, MeV$ दिया गया है।
अतः, $\Delta m = \frac{BE}{931.5} = \frac{2.23}{931.5} \approx 0.00239 \, a.m.u.$
इस मान को राउंड ऑफ करने पर, हमें $\Delta m \approx 0.0024 \, a.m.u.$ प्राप्त होता है।

(A) हीलियम नाभिक ${ }_2^4 \text{He}$ में $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं।
$2$ प्रोटॉन का द्रव्यमान $= 2 \times 1.0073 \; \text{u} = 2.0146 \; \text{u}$.
$2$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान $= 2 \times 1.0087 \; \text{u} = 2.0174 \; \text{u}$.
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान $= 2.0146 + 2.0174 = 4.0320 \; \text{u}$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (\text{न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान}) - (\text{नाभिक का द्रव्यमान}) = 4.0320 \; \text{u} - 4.0015 \; \text{u} = 0.0305 \; \text{u}$.
बंधन ऊर्जा $\text{B.E.} = \Delta m \times 931.5 \; \text{MeV/u} = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4 \; \text{MeV}$.

(B) हीलियम नाभिक के लिए द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ $0.0303 \, a.m.u.$ है।
हम जानते हैं कि $1 \, a.m.u. = 931 \, MeV$ ऊर्जा होती है।
कुल बंधन ऊर्जा $(BE)$ = $\Delta m \times 931 \, MeV = 0.0303 \times 931 \approx 28.21 \, MeV$।
हीलियम नाभिक $(_{2}^{4}He)$ में $4$ न्यूक्लियॉन ($2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन) होते हैं।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा = $\frac{BE}{\text{न्यूक्लियॉन की संख्या}} = \frac{28.21}{4} \approx 7.05 \, MeV$।
अतः, प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग $7 \, MeV$ है।

(C) द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता आइंस्टीन के समीकरण $E = \Delta m c^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ द्रव्यमान $\Delta m = 1 \ \mu g = 10^{-6} \ g = 10^{-9} \ kg$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E = 10^{-9} \ kg \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$
$E = 10^{-9} \times 9 \times 10^{16} \ J$
$E = 9 \times 10^7 \ J$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) किसी नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा को नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा को उसके द्रव्यमान संख्या $(A)$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है,जो कुल न्यूक्लियॉनों की संख्या को दर्शाता है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा बनाम द्रव्यमान संख्या ग्राफ के प्रायोगिक अवलोकन से पता चलता है कि अधिकांश नाभिकों के लिए (बहुत हल्के नाभिकों को छोड़कर),यह मान अपेक्षाकृत स्थिर रहता है।
स्थिर नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन औसत बंधन ऊर्जा लगभग $8 \, MeV$ प्रति न्यूक्लियॉन होती है।

(C) एक नाभिक की बंधन ऊर्जा को द्रव्यमान क्षति के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है।
जब न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) एक स्थिर नाभिक बनाने के लिए एक साथ आते हैं, तो नाभिक का द्रव्यमान घटक न्यूक्लियॉन के व्यक्तिगत द्रव्यमान के योग से कम पाया जाता है।
द्रव्यमान में इस अंतर को, जिसे द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है, नाभिक के निर्माण के दौरान ऊर्जा के रूप में मुक्त किया जाता है।
इसलिए, बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो नाभिक के निर्माण के दौरान नाभिक से मुक्त होती है, जो नाभिक को उसके घटक न्यूक्लियॉन में अलग करने के लिए आवश्यक कार्य के बराबर होती है।
अतः, विकल्प $(C)$ सही विवरण है।

(C) नाभिक से एक न्यूक्लियॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा नाभिकीय बंधन ऊर्जा से संबंधित है,जो प्रबल नाभिकीय बल द्वारा नियंत्रित होती है।
परमाणु से एक इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा आयनन ऊर्जा से संबंधित है,जो विद्युत चुम्बकीय (कूलम्ब) बल द्वारा नियंत्रित होती है।
चूंकि प्रबल नाभिकीय बल विद्युत चुम्बकीय बल की तुलना में काफी अधिक शक्तिशाली होता है,इसलिए न्यूक्लियॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $({E_n})$ इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $({E_e})$ से बहुत अधिक होती है।
अतः,${E_n} > {E_e}$।

(C) $1 \, a.m.u. = 1.66 \times 10^{-27} \, kg$ होता है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$E = mc^2$,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$।
मान रखने पर:
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times (3 \times 10^8)^2 \, J$
$E = 1.66 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 14.94 \times 10^{-11} \, J$।
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19} \, J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{14.94 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-19}} \, eV$
$E \approx 9.3375 \times 10^8 \, eV \approx 931 \times 10^6 \, eV$।
चूंकि $10^6 \, eV = 1 \, MeV$ होता है,इसलिए समतुल्य ऊर्जा $931 \, MeV$ है।

(B) द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच का अंतर है。
पैकिंग फ्रैक्शन $(f)$ को नाभिक की द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ और उसके द्रव्यमान संख्या $(A)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है。
गणितीय रूप से, $f = \frac{\Delta m}{A}$ होता है。
इसलिए, प्रति न्यूक्लियॉन द्रव्यमान क्षति को पैकिंग फ्रैक्शन के रूप में जाना जाता है。

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(B.E./A)$ नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
बंधन ऊर्जा वक्र के अनुसार,हल्के नाभिकों के लिए $B.E./A$ का मान द्रव्यमान संख्या $A$ के साथ बढ़ता है,आयरन $(_{26}^{56}Fe)$ के लिए लगभग $8.8 \text{ MeV}$ का अधिकतम मान प्राप्त करता है,और उसके बाद भारी नाभिकों के लिए धीरे-धीरे घटता है।
इसलिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $_{26}^{56}Fe$ के लिए अधिकतम होती है।

(A) $\alpha$-कण का द्रव्यमान उसके घटक कणों (दो प्रोटॉन और दो न्यूट्रॉन) के द्रव्यमानों के योग से कम होता है।
द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है।
यह द्रव्यमान क्षति बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जो $\alpha$-कण के नाभिक के भीतर न्यूक्लियॉन को एक साथ बांधे रखने के लिए आवश्यक होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) नाभिक की बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $B.E. = (\text{न्यूक्लियॉन की संख्या}) \times (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा})$.
$Li^7$ के लिए, $B.E. = 7 \times 5.60 \ MeV = 39.20 \ MeV$.
$He^4$ के लिए, $B.E. = 4 \times 7.06 \ MeV = 28.24 \ MeV$.
अभिक्रिया $Li^7 + p \to 2He^4$ है।
प्रोटॉन $(p)$ की बंधन ऊर्जा $0 \ MeV$ है क्योंकि यह एक एकल न्यूक्लियॉन है।
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा $39.20 \ MeV + 0 \ MeV = 39.20 \ MeV$ है।
उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा $2 \times 28.24 \ MeV = 56.48 \ MeV$ है।
अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा ($Q$-मान) उत्पादों और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है: $Q = 56.48 \ MeV - 39.20 \ MeV = 17.28 \ MeV$.
एक दशमलव स्थान तक पूर्णांकित करने पर, हमें $17.3 \ MeV$ प्राप्त होता है।

(A) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा $E$ को $E = mc^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,द्रव्यमान $m = 1 \, g = 1 \times 10^{-3} \, kg$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E = (1 \times 10^{-3} \, kg) \times (3 \times 10^8 \, m/s)^2$
$E = 10^{-3} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 9.0 \times 10^{13} \, J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) नाभिक का वास्तविक द्रव्यमान $(M)$ हमेशा उसके घटक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के व्यक्तिगत द्रव्यमानों के योग से कम होता है।
द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है, जो आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $(E = \Delta m c^2)$ के अनुसार बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
इसलिए, नाभिक का द्रव्यमान $M$, $N$ न्यूट्रॉन और $Z$ प्रोटॉन के द्रव्यमानों के योग से इस प्रकार संबंधित है:
$M < (N M_n + Z M_p)$.

(B) $H_2$ नाभिक (ड्यूटेरॉन) का द्रव्यमान लगभग $2.014 \, amu$ होता है।
हालाँकि,न्यूक्लियॉन की ऊर्जा समतुल्यता से संबंधित मानक भौतिकी समस्याओं के संदर्भ में,एक एकल न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) का द्रव्यमान लगभग $1 \, amu$ होता है।
चूंकि $1 \, amu$ ऊर्जा के $931 \, MeV$ के बराबर है,और एक ड्यूटेरॉन $2$ न्यूक्लियॉन से बना होता है,इसलिए ऊर्जा लगभग $2 \times 931 \, MeV = 1862 \, MeV$ होगी।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,प्रश्न संभवतः $1 \, amu$ (एक प्रोटॉन का द्रव्यमान) की ऊर्जा समतुल्यता के बारे में है,जो $931 \, MeV$ है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) $1\, amu$ को कार्बन-$12$ के एक मुक्त तटस्थ परमाणु के द्रव्यमान के बारहवें भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$ मोल $C$ परमाणुओं का द्रव्यमान $= 12\, g = 0.012\, kg$.
$1\, amu = \frac{0.012\, kg}{6.023 \times 10^{23}} \approx 1.66 \times 10^{-27}\, kg$.
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र $E = mc^2$ का उपयोग करते हुए:
$E = (1.66 \times 10^{-27}\, kg) \times (3 \times 10^8\, m/s)^2 = 1.494 \times 10^{-10}\, J$.
जूल को $MeV$ में बदलने पर $(1\, eV = 1.602 \times 10^{-19}\, J)$:
$E = \frac{1.494 \times 10^{-10}}{1.602 \times 10^{-13}}\, MeV \approx 931.5\, MeV \approx 930\, MeV$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) किसी नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके व्यक्तिगत घटक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के द्रव्यमानों के योग से कम होता है। द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है,जो आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $(E = \Delta mc^2)$ के अनुसार बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
यह दिया गया है कि $_Z{X^A}$ नाभिक में $Z$ प्रोटॉन और $(A - Z)$ न्यूट्रॉन होते हैं,इसलिए व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमानों का योग $(A - Z)m_n + Zm_p$ है।
चूंकि द्रव्यमान क्षति के कारण नाभिक का द्रव्यमान $m$ उसके घटकों के द्रव्यमानों के योग से कम होता है,इसलिए हमारे पास है:
$m < (A - Z)m_n + Zm_p$.

(B) परमाणु विस्फोट में मुक्त ऊर्जा आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध द्वारा दी जाती है: $E = \Delta m C^2$।
मान लीजिए कि प्रकाश की मूल गति $C$ है और प्रकाश की नई गति $C' = \frac{2}{3} C$ है।
मुक्त होने वाली नई ऊर्जा $E'$ इस प्रकार है: $E' = \Delta m (C')^2$।
$C'$ का मान रखने पर: $E' = \Delta m \left(\frac{2}{3} C\right)^2 = \Delta m \left(\frac{4}{9} C^2\right) = \frac{4}{9} E$।
ऊर्जा में कमी का भिन्न इस प्रकार है: $\text{भिन्न} = \frac{E - E'}{E}$।
$E' = \frac{4}{9} E$ रखने पर: $\text{भिन्न} = \frac{E - \frac{4}{9} E}{E} = \frac{\frac{5}{9} E}{E} = \frac{5}{9}$।

(D) नाभिकीय अभिक्रियाओं में,कुल ऊर्जा (द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सहित),रैखिक संवेग,कोणीय संवेग और आवेश का संरक्षण होता है। द्रव्यमान-ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय की कुल द्रव्यमान-ऊर्जा स्थिर रहती है। चूंकि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है,इसलिए कुल रैखिक संवेग भी संरक्षित रहता है। अतः,द्रव्यमान (द्रव्यमान-ऊर्जा के संदर्भ में),ऊर्जा और संवेग तीनों का संरक्षण होता है।

(B) नाभिकीय विखंडन प्रक्रिया में,एक भारी नाभिक दो हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है।
प्रक्रिया के ऊर्जावान रूप से अनुकूल होने और ऊर्जा मुक्त करने के लिए,उत्पाद नाभिकों की कुल बंधन ऊर्जा मूल नाभिक की बंधन ऊर्जा से अधिक होनी चाहिए।
ऐसा इसलिए है क्योंकि जैसे-जैसे हम भारी नाभिक से आवर्त सारणी के मध्य (लोहे के पास) की ओर बढ़ते हैं,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा बढ़ती है।
इसलिए,पुत्री नाभिकों $B$ और $C$ की बंधन ऊर्जाओं का योग मूल नाभिक $A$ की बंधन ऊर्जा से अधिक होता है।
अतः,${E_b} + {E_c} > {E_a}$।

(A) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ के अनुसार,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$m$ द्रव्यमान है और $c$ प्रकाश की गति $(c = 3 \times 10^8\,m/s)$ है।
द्रव्यमान $m$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $m = \frac{E}{c^2}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है $E = 931\, MeV = 931 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19}\,J \approx 931 \times 1.6 \times 10^{-13}\,J$.
मान रखने पर: $m = \frac{931 \times 1.6 \times 10^{-13}}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{1489.6 \times 10^{-13}}{9 \times 10^{16}} \approx 1.66 \times 10^{-27}\,kg$.

(D) युग्म उत्पादन की प्रक्रिया में एक उच्च-ऊर्जा फोटॉन का इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन युग्म में रूपांतरण शामिल है।
इलेक्ट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा $m_e c^2 \approx 0.511 \, MeV$ होती है।
पॉज़िट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जा भी $m_p c^2 \approx 0.511 \, MeV$ होती है।
इस युग्म को बनाने के लिए,$\gamma$-किरण फोटॉन की कुल ऊर्जा इलेक्ट्रॉन और पॉज़िट्रॉन की विराम द्रव्यमान ऊर्जाओं के योग के बराबर होनी चाहिए।
अतः,आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $E_{min} = 0.511 \, MeV + 0.511 \, MeV = 1.02 \, MeV$ है।

(C) किसी भी नाभिकीय अभिक्रिया में,कई मूलभूत राशियाँ संरक्षित रहती हैं। इनमें शामिल हैं:
$1$. द्रव्यमान संख्या $(A)$ का संरक्षण: न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन + न्यूट्रॉन) की कुल संख्या स्थिर रहती है।
$2$. परमाणु क्रमांक $(Z)$ का संरक्षण: निकाय का कुल आवेश स्थिर रहता है।
$3$. ऊर्जा का संरक्षण: कुल ऊर्जा,जिसमें विराम द्रव्यमान ऊर्जा $(E = mc^2)$ शामिल है,संरक्षित रहती है।
$4$. रैखिक संवेग और कोणीय संवेग का संरक्षण।
अतः,नाभिकीय अभिक्रिया में परमाणु क्रमांक,द्रव्यमान संख्या और ऊर्जा तीनों संरक्षित रहते हैं। सही विकल्प $C$ है।

(B) जब एक प्रोटॉन और एक एंटी-प्रोटॉन का विनाश होता है, तो उनका कुल द्रव्यमान आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ के अनुसार ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
प्रोटॉन का द्रव्यमान लगभग $1.67 \times 10^{-27} \; kg$ होता है, जो $1 \; amu$ के बराबर है।
एंटी-प्रोटॉन का द्रव्यमान प्रोटॉन के समान ही यानी $1 \; amu$ होता है।
विनाशित कुल द्रव्यमान = $1 \; amu + 1 \; amu = 2 \; amu$।
हम जानते हैं कि $1 \; amu$, $931.5 \; MeV$ के बराबर होता है।
अतः, मुक्त कुल ऊर्जा = $2 \times 931.5 \; MeV = 1863 \; MeV$।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने पर:
$E = 1863 \times 10^6 \times 1.602 \times 10^{-19} \; J \approx 2.98 \times 10^{-10} \; J$।
इस मान को पूर्णांकित करने पर, हमें लगभग $3 \times 10^{-10} \; J$ प्राप्त होता है।

(B) इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e)$ $9.1 \times 10^{-31} \ kg$ है।
चूंकि पॉज़िट्रॉन का द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के बराबर होता है,इसलिए विनाश में शामिल कुल द्रव्यमान $2m_e$ होगा।
मुक्त ऊर्जा $(E)$ आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र $E = (2m_e)c^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = 2 \times (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$.
$E = 18.2 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \ J$.
$E = 163.8 \times 10^{-15} \ J = 1.638 \times 10^{-13} \ J$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,मुक्त ऊर्जा लगभग $1.6 \times 10^{-13} \ J$ है।

(D) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिक के स्थायित्व का सीधा माप है। प्रति न्यूक्लियॉन उच्च बंधन ऊर्जा यह दर्शाती है कि न्यूक्लियॉन अधिक मजबूती से बंधे हुए हैं,जिससे नाभिक अधिक स्थिर हो जाता है। इसलिए,बंधन ऊर्जा नाभिकीय स्थायित्व का एक माप है।

(D) पैकिंग अंश $(f)$ को वास्तविक परमाणु द्रव्यमान $(M)$ और द्रव्यमान संख्या $(A)$ के अंतर को द्रव्यमान संख्या $(A)$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$f = \frac{M - A}{A}$
यह राशि नाभिक की स्थिरता का एक माप प्रदान करती है।

(C) नाभिक की बंधन ऊर्जा $B$ को द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (Z M_p + N M_n) - M(N, Z)$ द्वारा दी जाती है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध के अनुसार,$B = \Delta m c^2$।
$\Delta m$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B = [Z M_p + N M_n - M(N, Z)] c^2$ प्राप्त होता है।
$M(N, Z)$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$B / c^2 = Z M_p + N M_n - M(N, Z)$
$M(N, Z) = Z M_p + N M_n - B / c^2$।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(B.E./A)$ नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
$B.E./A$ का उच्च मान यह दर्शाता है कि न्यूक्लियॉन एक-दूसरे से अधिक मजबूती से बंधे हैं,जिससे नाभिक अधिक स्थिर हो जाता है।
द्रव्यमान संख्या $(A)$ बनाम $B.E./A$ का वक्र हीलियम नाभिक $(^4_2He)$ के लिए एक तीव्र शिखर दिखाता है,जो यह दर्शाता है कि अपने पड़ोसियों की तुलना में इसकी प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा बहुत अधिक है।
इसलिए,हीलियम नाभिक अत्यधिक स्थिर है।

(D) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$E = \Delta m c^2$.
यहाँ,$\Delta m = 1\, kg$ और $c = 3 \times 10^8\, m/s$ दिया गया है।
$E = 1 \times (3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{16}\, J$.
ऊर्जा को जूल $(J)$ से इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-19}\, J/eV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{9 \times 10^{16}}{1.6 \times 10^{-19}} = 5.625 \times 10^{35}\, eV$.
चूंकि $1\, MeV = 10^6\, eV$,इसलिए:
$E = \frac{5.625 \times 10^{35}}{10^6} = 5.625 \times 10^{29}\, MeV$.

(B) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है।
दी गई अभिक्रिया में: $_1^2H + _1^3H \to _2^4He + _0^1n$ है।
न्यूट्रॉन $_0^1n$ की बंधन ऊर्जा $0 \ MeV$ होती है।
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा $a + b$ है।
उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा $c + 0 = c$ है।
अतः, मुक्त ऊर्जा $Q = (\text{उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा}) - (\text{अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा})$ है।
$Q = c - (a + b) = c - a - b \ MeV$।

(D) पृथ्वी की सतह पर सौर विकिरण की तीव्रता $I = 1.4 \; kW/m^2 = 1.4 \times 10^3 \; J/(s \cdot m^2)$ है।
सूर्य द्वारा उत्सर्जित कुल शक्ति $P = I \times A$ है, जहाँ $A$ त्रिज्या $r = 1.5 \times 10^{11} \; m$ वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$A = 4 \pi r^2 = 4 \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{11})^2 \approx 2.827 \times 10^{23} \; m^2$.
प्रति दिन उत्सर्जित कुल ऊर्जा $(E)$ $P \times t$ है, जहाँ $t = 86400 \; s$ है।
$E = (1.4 \times 10^3 \; J/s \cdot m^2) \times (2.827 \times 10^{23} \; m^2) \times (86400 \; s) \approx 3.42 \times 10^{31} \; J$.
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार, $E = mc^2$, जहाँ $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ है:
$m = \frac{E}{c^2} = \frac{3.42 \times 10^{31}}{(3 \times 10^8)^2} = \frac{3.42 \times 10^{31}}{9 \times 10^{16}} \approx 3.8 \times 10^{14} \; kg$.

(C) ${O^{17}}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${O^{17}} \to {O^{16}} + {n^1}$।
एक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $B.E. = (\text{न्यूक्लियॉन की संख्या}) \times (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा})$।
${O^{17}}$ की कुल $B.E. = 17 \times 7.75 \,MeV = 131.75 \,MeV$।
${O^{16}}$ की कुल $B.E. = 16 \times 7.97 \,MeV = 127.52 \,MeV$।
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा जनक और संतति नाभिकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\text{आवश्यक ऊर्जा} = B.E.({O^{17}}) - B.E.({O^{16}})$
$\text{आवश्यक ऊर्जा} = 131.75 \,MeV - 127.52 \,MeV = 4.23 \,MeV$।

(D) द्रव्यमान क्षति के कारण नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके घटक न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग से कम होता है,जो नाभिक की बंधन ऊर्जा के लिए जिम्मेदार है।
$_{10}^{20}Ne$ नाभिक के लिए,जिसमें $10$ प्रोटॉन और $10$ न्यूट्रॉन होते हैं,द्रव्यमान ${M_1}$ का मान ${M_1} < 10({m_p} + {m_n})$ होता है। यह विकल्प $(a)$ की पुष्टि करता है।
$_{20}^{40}Ca$ नाभिक के लिए,जिसमें $20$ प्रोटॉन और $20$ न्यूट्रॉन होते हैं,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $_{10}^{20}Ne$ की तुलना में अधिक होती है। चूंकि हल्के नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा द्रव्यमान संख्या के साथ बढ़ती है,इसलिए $_{20}^{40}Ca$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन द्रव्यमान क्षति $_{10}^{20}Ne$ से अधिक होती है।
इसलिए,$_{20}^{40}Ca$ नाभिक का द्रव्यमान ${M_2}$,$_{10}^{20}Ne$ नाभिक के द्रव्यमान ${M_1}$ के दोगुने से कम होता है,अर्थात ${M_2} < 2{M_1}$। यह विकल्प $(c)$ की पुष्टि करता है।
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(A) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(B_N)$ एक नाभिक की स्थिरता का माप है।
प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि हल्के नाभिकों के लिए $B_N$ तेजी से बढ़ता है और आयरन $(Fe^{56})$ के लिए लगभग $8.8 \text{ MeV}$ का अधिकतम मान प्राप्त करता है,जो $A = 56$ द्रव्यमान संख्या के अनुरूप है।
$A > 56$ वाले नाभिकों के लिए,जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा धीरे-धीरे कम होती जाती है।
इसलिए,जो ग्राफ इस निर्भरता को सही ढंग से दर्शाता है,उसमें $A = 56$ पर एक शिखर (peak) होता है।

(C) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$ नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
हल्के नाभिकों के लिए,$BE/A$ द्रव्यमान संख्या $(A)$ के साथ तेजी से बढ़ता है।
यह $30$ से $170$ के बीच द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों (जैसे $^{56}Fe$) के लिए लगभग $8.8 \text{ MeV}$ का अधिकतम मान प्राप्त करता है।
भारी नाभिकों के लिए,प्रोटॉन के बीच बढ़ते कूलम्ब प्रतिकर्षण के कारण द्रव्यमान संख्या बढ़ने पर $BE/A$ धीरे-धीरे कम हो जाता है।
वक्र $C$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है,जो प्रारंभिक वृद्धि,एक व्यापक अधिकतम मान और उसके बाद धीरे-धीरे कमी को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) किसी नाभिकीय प्रक्रिया में ऊर्जा तब मुक्त होती है जब उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक होती है।
ग्राफ से, हम प्रत्येक नाभिक के लिए द्रव्यमान संख्या $(A)$ और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(B.E./A)$ की पहचान कर सकते हैं:
$W$ के लिए: $A = 120, B.E./A = 7.5 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 120 \times 7.5 = 900 \, MeV$
$X$ के लिए: $A = 90, B.E./A = 8.0 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 90 \times 8.0 = 720 \, MeV$
$Y$ के लिए: $A = 60, B.E./A = 8.5 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 60 \times 8.5 = 510 \, MeV$
$Z$ के लिए: $A = 30, B.E./A = 5.0 \, MeV \implies \text{कुल } B.E. = 30 \times 5.0 = 150 \, MeV$
अब, विकल्प $(c)$ की जाँच करते हैं: $W \to 2Y$
अभिकारकों की कुल $B.E. = 900 \, MeV$
उत्पादों की कुल $B.E. = 2 \times (510) = 1020 \, MeV$
चूंकि उत्पादों की कुल $B.E.$ $(1020 \, MeV)$, अभिकारकों की कुल $B.E.$ $(900 \, MeV)$ से अधिक है, इसलिए इस प्रक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) परमाणु द्रव्यमान इकाई $(\text{a.m.u.})$ को कार्बन-$12$ परमाणु के द्रव्यमान के $1/12$ भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।
द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ का उपयोग करते हुए, $1 \, \text{a.m.u.}$ की ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है:
$1 \, \text{a.m.u.} = 1.660539 \times 10^{-27} \, \text{kg}$.
$E = (1.660539 \times 10^{-27} \, \text{kg}) \times (2.9979 \times 10^8 \, \text{m/s})^2$.
$E \approx 1.4924 \times 10^{-10} \, \text{J}$.
जूल को $MeV$ में बदलने पर $(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J})$:
$E \approx (1.4924 \times 10^{-10}) / (1.602 \times 10^{-13} \, \text{J/MeV}) \approx 931.5 \, \text{MeV}$.
अतः, $1 \, \text{a.m.u.} \approx 931 \, \text{MeV}/c^2$ होता है।

(D) नाभिकीय क्षय की प्रक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है क्योंकि निकाय अधिक स्थिर अवस्था की ओर बढ़ता है।
स्थायित्व सीधे प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा से संबंधित है।
जिस नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिक होती है,वह अधिक स्थिर होता है।
चूंकि जनक नाभिक संतति नाभिकों में क्षयित होता है,इसलिए संतति नाभिक जनक नाभिक की तुलना में अधिक स्थिर होने चाहिए।
अतः,संतति नाभिकों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(E_2)$ जनक नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(E_1)$ से अधिक होनी चाहिए।
इस प्रकार,$E_2 > E_1$।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$ द्रव्यमान संख्या $(A)$ का एकसमान फलन नहीं है।
हल्के नाभिकों $(A < 30)$ के लिए, $BE/A$ सामान्यतः $A$ के साथ बढ़ता है।
मध्यवर्ती नाभिकों $(30 < A < 170)$ के लिए, $BE/A$ लगभग स्थिर ($8 \text{ MeV}$ के आसपास) रहता है।
भारी नाभिकों $(A > 170)$ के लिए, जैसे-जैसे $A$ बढ़ता है, $BE/A$ घटता है।
चूंकि प्रश्न पूरी श्रृंखला में द्रव्यमान संख्या बढ़ने के साथ सामान्य प्रवृत्ति के बारे में पूछता है, इसलिए भारी नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती है।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$ का वक्र दर्शाता है कि हल्के नाभिकों $(A < 30)$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा कम होती है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है,$BE/A$ तेजी से बढ़ता है और $50$ से $80$ के बीच द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए लगभग $8.8 \text{ MeV}$ का अधिकतम मान प्राप्त करता है।
विशेष रूप से,आयरन $(^{56}_{26}Fe)$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिकतम होती है।
अतः,द्रव्यमान संख्या की वह सीमा जहाँ प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिकतम होती है,वह $50$ और $100$ के बीच है।

(D) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का वक्र दर्शाता है कि $A > 56$ द्रव्यमान संख्या के लिए,जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या बढ़ती है,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा धीरे-धीरे कम होती जाती है।
चूंकि भारी नाभिक (उच्च द्रव्यमान संख्या) मध्यम द्रव्यमान वाले नाभिकों की तुलना में कम प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा रखते हैं,इसलिए वे छोटे टुकड़ों में विभाजित होकर अधिक स्थिर हो जाते हैं,जो कि नाभिकीय विखंडन की प्रक्रिया है।

(A) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन-ऊर्जा नाभिक की स्थिरता का एक माप है। अधिकांश स्थिर नाभिकों के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन-ऊर्जा लगभग $8 \, MeV$ पाई जाती है। $30$ से $170$ के बीच द्रव्यमान संख्या वाले नाभिकों के लिए यह मान अपेक्षाकृत स्थिर रहता है।