Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Hindi

(A) प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा नाभिक की स्थिरता का एक माप है। प्रति न्यूक्लिऑन उच्च बंधन ऊर्जा यह दर्शाती है कि नाभिक अधिक मजबूती से बंधा हुआ है और इसलिए अधिक स्थिर है। स्थिर नाभिक आसानी से क्षय नहीं होते हैं और उनके लंबे समय तक बने रहने की संभावना अधिक होती है,यही कारण है कि वे प्रकृति में प्रचुर मात्रा में पाए जाते हैं।

(C) $A > 100$ वाले नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा घटती है क्योंकि नाभिकीय बल लघु-परास (short-ranged) का होता है,जबकि प्रोटॉन के बीच कूलम्ब प्रतिकर्षण दीर्घ-परास (long-ranged) का होता है।
जैसे-जैसे द्रव्यमान संख्या $A$ बढ़ती है,नाभिक का आकार बढ़ता है। चूंकि नाभिकीय बल केवल निकटतम पड़ोसियों के बीच कार्य करता है,इसलिए कुल नाभिकीय बंधन ऊर्जा लगभग $A$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।
हालाँकि,कूलम्ब प्रतिकर्षण सभी प्रोटॉन युग्मों के बीच कार्य करता है,और युग्मों की संख्या $A^2$ के अनुपात में बढ़ती है। इसके कारण भारी नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन शुद्ध बंधन ऊर्जा कम हो जाती है।
कारण कथन तकनीकी रूप से गलत है क्योंकि नाभिकीय बल स्वयं भारी नाभिकों के लिए 'कमजोर' नहीं होता है; बल्कि इसकी लघु-परास प्रकृति का अर्थ है कि जैसे-जैसे नाभिक बड़ा होता है,यह दीर्घ-परास कूलम्ब प्रतिकर्षण की भरपाई नहीं कर पाता है।

(A) नाभिकीय क्षय प्रक्रिया में, ऊर्जा मुक्त होती है क्योंकि उत्पादों का कुल द्रव्यमान जनक नाभिक के द्रव्यमान से कम होता है। यह द्रव्यमान अंतर, जिसे द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के रूप में जाना जाता है, आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = \Delta m c^2$ के अनुसार ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
चूंकि ऊर्जा मुक्त होती है, इसलिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का पालन करने के लिए उत्पादों की कुल विराम द्रव्यमान ऊर्जा जनक नाभिक की विराम द्रव्यमान ऊर्जा से कम होनी चाहिए।
अतः, कथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण कथन की सही व्याख्या प्रदान करता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु का नाभिक $(_{1}^{1}H)$ केवल एक प्रोटॉन से बना होता है।
नाभिकीय बंधन ऊर्जा को उस ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक नाभिक को उसके घटक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन (न्यूक्लियॉन) में अलग करने के लिए आवश्यक होती है।
चूंकि हाइड्रोजन नाभिक में केवल एक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन) होता है,इसलिए बंधन के लिए कोई अन्य न्यूक्लियॉन नहीं होता है,और इस प्रकार इसे एक साथ रखने के लिए कोई नाभिकीय बल कार्य नहीं करता है।
इसलिए,हाइड्रोजन नाभिक की बंधन ऊर्जा और द्रव्यमान क्षति शून्य होती है।
चूंकि कथन सही है और कारण यह स्पष्ट करता है कि बंधन ऊर्जा शून्य क्यों है (केवल एक न्यूक्लियॉन की उपस्थिति के कारण),इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,द्रव्यमान $m$ के समतुल्य ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = mc^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1\; g = 10^{-3}\; kg$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8}\; m/s$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E = 10^{-3} \times (3 \times 10^{8})^2\; J$
$E = 10^{-3} \times 9 \times 10^{16}\; J$
$E = 9 \times 10^{13}\; J$
अतः,$1\; g$ पदार्थ का ऊर्जा समतुल्य $9 \times 10^{13}\; J$ है।

(N/A) एक परमाणु द्रव्यमान इकाई का द्रव्यमान $1 \, u = 1.6605 \times 10^{-27} \, kg$ है।
इसे ऊर्जा इकाइयों में बदलने के लिए,हम आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ का उपयोग करते हैं:
$E = 1.6605 \times 10^{-27} \, kg \times (2.9979 \times 10^8 \, m/s)^2$
$E = 1.4924 \times 10^{-10} \, J$.
इस ऊर्जा को $MeV$ में बदलने के लिए,हम $1.602 \times 10^{-13} \, J/MeV$ से विभाजित करते हैं:
$E = \frac{1.4924 \times 10^{-10}}{1.602 \times 10^{-13}} \, MeV \approx 931.5 \, MeV$.
अतः,$1 \, u = 931.5 \, MeV/c^2$.
$_{8}^{16} O$ के लिए,द्रव्यमान क्षति $\Delta M = 0.13691 \, u$ है।
इसे $MeV/c^2$ में बदलने पर:
$\Delta M = 0.13691 \times 931.5 \, MeV/c^2 \approx 127.5 \, MeV/c^2$.

(N/A) $^{238}_{92}U$ का अल्फा क्षय समीकरण: $^{238}_{92}U \rightarrow ^{234}_{90}Th + ^{4}_{2}He$ द्वारा दिया जाता है। इस प्रक्रिया में मुक्त ऊर्जा ($Q$-मान) $Q = (M_{U} - M_{Th} - M_{He})c^{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए परमाणु द्रव्यमानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = (238.05079 - 234.04363 - 4.00260) \; u \times c^{2}$
$Q = 0.00456 \; u \times c^{2}$
रूपांतरण कारक $1 \; u = 931.5 \; MeV/c^{2}$ का उपयोग करने पर:
$Q = 0.00456 \times 931.5 \; MeV = 4.25 \; MeV$.
$(b)$ यदि $^{238}_{92}U$ स्वतःस्फूर्त रूप से प्रोटॉन उत्सर्जित करता है,तो क्षय प्रक्रिया होगी: $^{238}_{92}U \rightarrow ^{237}_{91}Pa + ^{1}_{1}H$.
इस प्रक्रिया के लिए $Q$-मान है:
$Q = (M_{U} - M_{Pa} - M_{H})c^{2}$
$Q = (238.05079 - 237.05121 - 1.00783) \; u \times c^{2}$
$Q = -0.00825 \; u \times c^{2}$
$Q = -0.00825 \times 931.5 \; MeV = -7.68 \; MeV$.
चूँकि $Q$-मान ऋणात्मक है,यह प्रक्रिया ऊष्माशोषी है और स्वतःस्फूर्त रूप से नहीं हो सकती। प्रोटॉन उत्सर्जन के लिए $^{238}_{92}U$ नाभिक को $7.68 \; MeV$ की बाहरी ऊर्जा प्रदान करनी होगी।

(N/A) एक रासायनिक समीकरण इस अर्थ में संतुलित होता है कि प्रत्येक तत्व के परमाणुओं की संख्या समीकरण के दोनों ओर समान होती है। एक रासायनिक अभिक्रिया केवल परमाणुओं के संयोजन को बदलती है। नाभिकीय अभिक्रिया में,तत्वों का रूपांतरण हो सकता है,इसलिए प्रत्येक तत्व के परमाणुओं की संख्या का संरक्षित रहना आवश्यक नहीं है। हालाँकि,नाभिकीय अभिक्रिया में प्रोटॉन की कुल संख्या और न्यूट्रॉन की कुल संख्या अलग-अलग संरक्षित रहती है। इस प्रकार,नाभिकीय अभिक्रियाएँ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की कुल संख्या के संदर्भ में संतुलित होती हैं।
$(b)$ नाभिक की बंधन ऊर्जा उसके द्रव्यमान में नकारात्मक योगदान देती है (द्रव्यमान क्षति)। जबकि प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की कुल संख्या संरक्षित रहती है,अभिकारक पक्ष और उत्पाद पक्ष पर नाभिकों की कुल बंधन ऊर्जा भिन्न हो सकती है। बंधन ऊर्जा में यह अंतर मुक्त या अवशोषित ऊर्जा के रूप में प्रकट होता है। चूँकि बंधन ऊर्जा द्रव्यमान में योगदान देती है,इसलिए दोनों ओर के नाभिकों के कुल द्रव्यमान में अंतर ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है या इसके विपरीत।
$(c)$ सिद्धांत रूप में,द्रव्यमान-ऊर्जा अंतःरूपांतरण के दृष्टिकोण से रासायनिक अभिक्रियाएँ नाभिकीय अभिक्रियाओं के समान ही हैं। रासायनिक अभिक्रियाओं में मुक्त या अवशोषित ऊर्जा परमाणुओं और अणुओं की रासायनिक बंधन ऊर्जा में अंतर के कारण होती है। चूँकि रासायनिक बंधन ऊर्जा भी कुल द्रव्यमान में नकारात्मक योगदान (द्रव्यमान क्षति) देती है,इसलिए अभिकारकों और उत्पादों के बीच द्रव्यमान का अंतर ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है। हालाँकि,रासायनिक अभिक्रियाओं में ये द्रव्यमान क्षतियाँ नाभिकीय अभिक्रियाओं की तुलना में लगभग दस लाख गुना कम होती हैं,जिसके कारण यह गलत धारणा बनी है कि रासायनिक अभिक्रियाओं में द्रव्यमान-ऊर्जा अंतःरूपांतरण नहीं होता है।

(B) नाइट्रोजन $\left(^{14}_{7} N \right)$ का परमाणु द्रव्यमान $m = 14.00307 \; u$ है।
$^{14}_{7} N$ के नाभिक में $7$ प्रोटॉन और $7$ न्यूट्रॉन होते हैं।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\Delta m = [Z m_{H} + (A - Z) m_{n}] - m_{nucleus}$
जहाँ $Z = 7$ (प्रोटॉन की संख्या) और $A - Z = 7$ (न्यूट्रॉन की संख्या)।
$\Delta m = 7 \times 1.007825 \; u + 7 \times 1.008665 \; u - 14.00307 \; u$
$\Delta m = 7.054775 \; u + 7.060655 \; u - 14.00307 \; u$
$\Delta m = 14.11543 \; u - 14.00307 \; u = 0.11236 \; u$
चूंकि $1 \; u = 931.5 \; MeV/c^{2}$,इसलिए बंधन ऊर्जा $E_{b}$ होगी:
$E_{b} = \Delta m \times 931.5 \; MeV/u$
$E_{b} = 0.11236 \times 931.5 \; MeV$
$E_{b} \approx 104.66 \; MeV$.
अतः,नाइट्रोजन नाभिक की बंधन ऊर्जा $104.66 \; MeV$ है।

(C) $^{56}_{26} Fe$ के लिए:
प्रोटॉन की संख्या $Z = 26$,न्यूट्रॉन की संख्या $N = 56 - 26 = 30$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = Z m_H + N m_n - m(^{56}_{26} Fe)$.
$m_H = 1.007825 \; u$ और $m_n = 1.008665 \; u$ का उपयोग करने पर:
$\Delta m = 26(1.007825) + 30(1.008665) - 55.934939 = 0.528461 \; u$.
बंधन ऊर्जा $E_{b1} = 0.528461 \times 931.5 \; MeV \approx 492.26 \; MeV$.
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $= 492.26 / 56 \approx 8.79 \; MeV$.
$^{209}_{83} Bi$ के लिए:
प्रोटॉन की संख्या $Z = 83$,न्यूट्रॉन की संख्या $N = 209 - 83 = 126$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m' = 83 m_H + 126 m_n - m(^{209}_{83} Bi)$.
$\Delta m' = 83(1.007825) + 126(1.008665) - 208.980388 = 1.760877 \; u$.
बंधन ऊर्जा $E_{b2} = 1.760877 \times 931.5 \; MeV \approx 1640.26 \; MeV$.
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $= 1640.26 / 209 \approx 7.85 \; MeV$.

(N/A) तांबे के सिक्के का द्रव्यमान, $m' = 3\; g$.
$_{29}^{63} Cu$ परमाणु का परमाणु द्रव्यमान, $m = 62.92960\; u$.
सिक्के में $_{29}^{63} Cu$ परमाणुओं की कुल संख्या $N = \frac{N_A \times m'}{\text{द्रव्यमान संख्या}}$.
जहाँ $N_A = 6.023 \times 10^{23}\; \text{atoms/mol}$ और द्रव्यमान संख्या $= 63\; g/mol$.
$N = \frac{6.023 \times 10^{23} \times 3}{63} = 2.868 \times 10^{22}$ परमाणु।
$_{29}^{63} Cu$ नाभिक में $29$ प्रोटॉन और $(63 - 29) = 34$ न्यूट्रॉन होते हैं।
एक नाभिक के लिए द्रव्यमान क्षति, $\Delta m' = 29 \times m_H + 34 \times m_n - m$.
$m_H = 1.007825\; u$ और $m_n = 1.008665\; u$ का उपयोग करने पर:
$\Delta m' = 29(1.007825) + 34(1.008665) - 62.9296 = 0.591935\; u$.
सभी परमाणुओं के लिए कुल द्रव्यमान क्षति, $\Delta m = 0.591935 \times 2.868 \times 10^{22} = 1.69767 \times 10^{22}\; u$.
$1\; u = 931.5\; MeV/c^2$ का उपयोग करते हुए, बंधन ऊर्जा $E_b = \Delta m \times 931.5\; MeV$.
$E_b = 1.69767 \times 10^{22} \times 931.5 = 1.581 \times 10^{25}\; MeV$.
जूल में बदलने पर $(1\; MeV = 1.602 \times 10^{-13}\; J)$:
$E_b = 1.581 \times 10^{25} \times 1.602 \times 10^{-13} \approx 2.53 \times 10^{12}\; J$.

(N/A) न्यूट्रॉन पृथक्करण ऊर्जा $S_n$ वह ऊर्जा है जो नाभिक से एक न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक होती है,जिसे $S_n = [m(A-1, Z) + m_n - m(A, Z)] \times 931.5 \; MeV/u$ द्वारा दिया जाता है।
$_{20}^{41} Ca$ के लिए:
अभिक्रिया: $_{20}^{41} Ca \rightarrow _{20}^{40} Ca + _{0}^{1} n$
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = m(_{20}^{40} Ca) + m_n - m(_{20}^{41} Ca)$
$\Delta m = 39.962591 + 1.008665 - 40.962278 = 0.008978 \; u$
$S_n = 0.008978 \times 931.5 \; MeV \approx 8.363 \; MeV$.
$_{13}^{27} Al$ के लिए:
अभिक्रिया: $_{13}^{27} Al \rightarrow _{13}^{26} Al + _{0}^{1} n$
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = m(_{13}^{26} Al) + m_n - m(_{13}^{27} Al)$
$\Delta m = 25.986895 + 1.008665 - 26.981541 = 0.014019 \; u$
$S_n = 0.014019 \times 931.5 \; MeV \approx 13.059 \; MeV$.

(N/A) द्रव्यमान और ऊर्जा की तुल्यता: अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रस्तावित किया कि द्रव्यमान और ऊर्जा आपस में परिवर्तनीय हैं,जो समीकरण $E = mc^2$ द्वारा संबंधित हैं,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$m$ द्रव्यमान है,और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है। इसका अर्थ है कि द्रव्यमान की एक छोटी मात्रा को ऊर्जा की बड़ी मात्रा में परिवर्तित किया जा सकता है।
$(b)$ परमाणु ऊर्जा: यह परमाणु प्रतिक्रियाओं के दौरान मुक्त होने वाली ऊर्जा है,जैसे कि परमाणु विखंडन (भारी नाभिक का विभाजन) या परमाणु संलयन (हल्के नाभिकों का संयोजन)। मुक्त ऊर्जा 'द्रव्यमान क्षति' (mass defect) के कारण होती है,जहाँ उत्पादों का द्रव्यमान अभिकारकों के द्रव्यमान से थोड़ा कम होता है,और यह अंतर $E = \Delta mc^2$ के अनुसार ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
$(c)$ ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत: यह सिद्धांत बताता है कि ऊर्जा न तो उत्पन्न की जा सकती है और न ही नष्ट की जा सकती है,इसे केवल एक रूप से दूसरे रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक विलगित निकाय (isolated system) में,कुल ऊर्जा समय के साथ स्थिर रहती है।

(B) रासायनिक ऊर्जा रासायनिक यौगिकों के बंधों में संचित स्थितिज ऊर्जा का एक रूप है।
रासायनिक प्रक्रिया के दौरान,नए पदार्थ बनाने के लिए परमाणुओं को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है।
इस पुनर्व्यवस्था में मौजूदा रासायनिक बंधों का टूटना और नए बंधों का बनना शामिल है।
ऊर्जा में परिवर्तन मुख्य रूप से इलेक्ट्रॉनों और नाभिकों की स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के कारण होता है क्योंकि वे नए विन्यास में चले जाते हैं।
इसलिए,सही कारण परमाणुओं के पुनर्व्यवस्था के कारण इलेक्ट्रॉनों और नाभिकों की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है।

(N/A) अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा प्रस्तावित द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता का सिद्धांत बताता है कि द्रव्यमान और ऊर्जा एक-दूसरे में परिवर्तनीय हैं। इसका समीकरण $E = mc^2$ है,जहाँ $E$ ऊर्जा है,$m$ द्रव्यमान है,और $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \ m/s)$।

(A) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,द्रव्यमान $m$ के समतुल्य ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = mc^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 1 \ kg$ है।
प्रकाश की गति $c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E = 1 \ kg \times (3 \times 10^8 \ m/s)^2$
$E = 1 \times 9 \times 10^{16} \ J$
$E = 9 \times 10^{16} \ J$.
अतः,एक किलोग्राम द्रव्यमान के समतुल्य ऊर्जा $9 \times 10^{16} \ J$ है।

(N/A) जब एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन मिलकर $H$-परमाणु बनाते हैं,तो निकाय अधिकतम स्थिरता प्राप्त करने के लिए कम स्थितिज ऊर्जा वाली अवस्था में चला जाता है। आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत $E = mc^2$ के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में यह कमी निकाय के द्रव्यमान में कमी के अनुरूप होती है। यह द्रव्यमान क्षति परमाणु के निर्माण के दौरान ऊर्जा (बंधन ऊर्जा) के रूप में उत्सर्जित होती है। परिणामस्वरूप,$H$-परमाणु का द्रव्यमान मुक्त अवस्था में उसके घटक कणों के द्रव्यमान के योग से कम होता है।

(N/A) आइंस्टीन के विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,द्रव्यमान को ऊर्जा का एक अन्य रूप माना जाता है।
इस सिद्धांत से पहले,यह माना जाता था कि किसी भी भौतिक प्रतिक्रिया में द्रव्यमान और ऊर्जा का अलग-अलग संरक्षण होता है।
आइंस्टीन ने प्रदर्शित किया कि द्रव्यमान ऊर्जा के बराबर है और इसे ऊर्जा के अन्य रूपों,जैसे गतिज ऊर्जा,में परिवर्तित किया जा सकता है और इसके विपरीत भी।
यह द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता $E = mc^2$ समीकरण द्वारा व्यक्त की जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $c$ निर्वात में प्रकाश का वेग है,जिसका मान लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ है।
इस संबंध का प्रायोगिक सत्यापन न्यूक्लियॉन,नाभिक,इलेक्ट्रॉनों और अन्य उप-परमाणु कणों से जुड़ी परमाणु प्रतिक्रियाओं के अध्ययन के माध्यम से प्राप्त किया गया है।
ऐसी प्रतिक्रियाओं में,ऊर्जा संरक्षण का नियम बताता है कि द्रव्यमान-ऊर्जा रूपांतरण को ध्यान में रखते हुए,कुल प्रारंभिक ऊर्जा और कुल अंतिम ऊर्जा समान होनी चाहिए।
यह अवधारणा परमाणु बंधन ऊर्जा,परमाणु द्रव्यमान और नाभिकों के बीच की अंतःक्रियाओं को समझने के लिए मौलिक है।

(N/A) नाभिक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन से बना होता है। इसलिए, यह उम्मीद की जा सकती है कि नाभिक का द्रव्यमान उसके व्यक्तिगत प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के कुल द्रव्यमान के बराबर हो।
हालाँकि, नाभिकीय द्रव्यमान $M$ हमेशा मुक्त अवस्था में इसके घटकों (न्यूट्रॉन और प्रोटॉन) के द्रव्यमान के योग से कम पाया जाता है।
मान लीजिए कि $_{Z}^{A}X$ नाभिक का द्रव्यमान $M$ है। यदि हम मुक्त अवस्था में प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के द्रव्यमान को क्रमशः $m_{p}$ और $m_{n}$ के रूप में इंगित करें, तो $M < (Z m_{p} + N m_{n})$ होता है, जहाँ $N = A - Z$ न्यूट्रॉन संख्या है। नाभिक के घटकों के कुल द्रव्यमान और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच के अंतर को द्रव्यमान-क्षति $(\Delta M)$ कहा जाता है।
$\therefore \Delta M = [Z m_{p} + (A - Z) m_{n}] - M$ द्रव्यमान-क्षति का सूत्र है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के अनुसार, द्रव्यमान-क्षति के समतुल्य ऊर्जा $E_{b} = \Delta M c^{2}$ है, जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश का वेग है $(c \approx 3 \times 10^{8} \ m/s)$।
इस ऊर्जा $E_{b}$ को नाभिक की बंधन ऊर्जा कहा जाता है। यह वह ऊर्जा है जो $Z$ प्रोटॉन और $N$ न्यूट्रॉन के संयोजन से नाभिक बनने पर मुक्त होती है, या नाभिक को उसके व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन में अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है।
नाभिक की बंधन ऊर्जा को कुल न्यूक्लियॉन संख्या $(A)$ से विभाजित करने पर, प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(E_{bn})$ प्राप्त होती है।
$\therefore E_{bn} = \frac{E_{b}}{A}$
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिक की स्थिरता का माप है।

(N/A) न्युक्लियॉन प्रति बंधन ऊर्जा $(E_{bn})$ बनाम परमाणु द्रव्यमान संख्या $(A)$ का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।
इस आलेख की मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित हैं:
$(i)$ मध्यम द्रव्यमान संख्या $(30 < A < 170)$ वाले नाभिकों के लिए न्युक्लियॉन प्रति बंधन ऊर्जा $(E_{bn})$ व्यावहारिक रूप से स्थिर रहती है और परमाणु द्रव्यमान संख्या पर निर्भर नहीं करती है। $E_{bn}$ का अधिकतम मान लगभग $8.75 \text{ MeV/nucleon}$ है,जो आयरन $(^{56}\text{Fe})$ नाभिक के लिए होता है। यूरेनियम $(^{238}\text{U})$ जैसे भारी नाभिकों के लिए,$E_{bn}$ का मान घटकर लगभग $7.6 \text{ MeV/nucleon}$ हो जाता है।
$(ii)$ हल्के नाभिकों $(A < 30)$ और भारी नाभिकों $(A > 170)$ दोनों के लिए $E_{bn}$ का मान कम होता है,जो यह दर्शाता है कि वे मध्यम द्रव्यमान वाले नाभिकों की तुलना में कम स्थिर होते हैं। ग्राफ से यह स्पष्ट है कि ड्यूटेरॉन $(^{2}_{1}\text{H})$ के लिए न्युक्लियॉन प्रति बंधन ऊर्जा सबसे कम है।
$(iii)$ हल्के नाभिकों के लिए,स्थिरता आमतौर पर तब प्राप्त होती है जब न्यूट्रॉन और प्रोटॉन का अनुपात लगभग $1:1$ होता है। हालाँकि,भारी नाभिकों के लिए,प्रोटॉन के बीच बढ़ते इलेक्ट्रोस्टैटिक प्रतिकर्षण की भरपाई करने के लिए यह अनुपात बढ़कर लगभग $3:2$ हो जाता है।

(N/A) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा वक्र की दो मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित निष्कर्षों की ओर ले जाती हैं:
$(i)$ नाभिकीय बल आकर्षक है और $30 < A < 170$ वाले नाभिकों के लिए लगभग $8 \text{ MeV}$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त मजबूत है। यह इंगित करता है कि नाभिकीय बल लघु-परास का है और संतृप्ति का गुण प्रदर्शित करता है।
$(ii)$ बहुत भारी नाभिकों $(A > 170)$ के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा कम हो जाती है। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि प्रोटॉन के बीच लंबी दूरी का कूलम्ब प्रतिकर्षण महत्वपूर्ण हो जाता है,जिससे स्थिरता कम हो जाती है। परिणामस्वरूप,यदि एक भारी नाभिक $(A = 240)$ दो हल्के नाभिकों $(A = 120)$ में विभाजित होता है,तो न्यूक्लियॉन अधिक मजबूती से बंध जाते हैं और ऊर्जा मुक्त होती है। इस प्रक्रिया को नाभिकीय विखंडन कहा जाता है।
$(iii)$ बहुत हल्के नाभिकों $(A \leq 10)$ के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा कम होती है। जब दो हल्के नाभिक मिलकर एक भारी नाभिक बनाते हैं,तो परिणामी नाभिक अधिक मजबूती से बंधा होता है,जिससे ऊर्जा मुक्त होती है। इस प्रक्रिया को नाभिकीय संलयन कहा जाता है,जो सूर्य और हाइड्रोजन बम का ऊर्जा स्रोत है।

(N/A) आइंस्टीन का सापेक्षता का विशेष सिद्धांत दो मूलभूत अभिधारणाओं पर आधारित है:
$1$. भौतिकी के नियम सभी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में समान रहते हैं।
$2$. निर्वात में प्रकाश की गति सभी प्रेक्षकों के लिए समान रहती है,चाहे प्रकाश का स्रोत या प्रेक्षक गति में हो या न हो।
इस सिद्धांत के परिणामस्वरूप,आइंस्टीन ने द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता का सूत्र दिया,जो बताता है कि द्रव्यमान और ऊर्जा एक-दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। यह सूत्र इस प्रकार है:
$E = mc^2$
जहाँ:
$E$ द्रव्यमान की ऊर्जा तुल्यता है,
$m$ वस्तु का द्रव्यमान है,
$c$ निर्वात में प्रकाश की गति है (लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$)।

(N/A) द्रव्यमान क्षति को नाभिक को बनाने वाले व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह उस द्रव्यमान को दर्शाता है जो नाभिक को एक साथ बांधे रखने के लिए बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\Delta m = [Z m_p + (A - Z) m_n] - M_{nucleus}$
जहाँ:
$Z$ = परमाणु क्रमांक (प्रोटॉन की संख्या)
$A$ = द्रव्यमान संख्या (न्यूक्लियॉन की कुल संख्या)
$m_p$ = प्रोटॉन का द्रव्यमान
$m_n$ = न्यूट्रॉन का द्रव्यमान
$M_{nucleus}$ = नाभिक का वास्तविक द्रव्यमान

(N/A) $1$. नाभिक की बंधन ऊर्जा $(BE)$: नाभिक की बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो नाभिक के न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) को एक-दूसरे से अनंत दूरी तक अलग करने के लिए आवश्यक होती है। यह द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ और प्रकाश की गति के वर्ग $(c^2)$ के गुणनफल के बराबर होती है।
सूत्र: $BE = \Delta m \times c^2 = [Z m_p + (A - Z) m_n - M_{nucleus}] c^2$, जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है, $A$ द्रव्यमान संख्या है, $m_p$ प्रोटॉन का द्रव्यमान है, $m_n$ न्यूट्रॉन का द्रव्यमान है और $M_{nucleus}$ नाभिक का वास्तविक द्रव्यमान है।
$2$. प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$: यह नाभिक से एक न्यूक्लियॉन को हटाने के लिए आवश्यक औसत ऊर्जा है। इसकी गणना नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा को कुल न्यूक्लियॉन की संख्या (द्रव्यमान संख्या $A$) से विभाजित करके की जाती है।
सूत्र: $BE/A = \frac{BE}{A}$.

(A) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा को एक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा को उसके द्रव्यमान संख्या $(A)$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
यह नाभिक की स्थिरता का सीधा माप है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा का उच्च मान यह दर्शाता है कि न्यूक्लियॉन अधिक मजबूती से बंधे हुए हैं,जिससे नाभिक अधिक स्थिर हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिक की स्थिरता का एक माप है।
प्रायोगिक डेटा से पता चलता है कि $A = 50$ से $A = 60$ की द्रव्यमान संख्या सीमा वाले नाभिकों के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिकतम होती है।
विशेष रूप से,निकेल-$62$ $(^{62}Ni)$ समस्थानिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा सबसे अधिक है,जो लगभग $8.79 \ MeV$ से $8.8 \ MeV$ है।
हालाँकि आयरन-$56$ $(^{56}Fe)$ को उसकी उच्च प्रचुरता और स्थिरता के कारण अक्सर पाठ्यपुस्तकों में उद्धृत किया जाता है,लेकिन निकेल-$62$ का मान पूर्णतः अधिकतम है।

(N/A) नाभिकीय प्रक्रिया के दौरान मुक्त होने वाली ऊर्जा को नाभिकीय ऊर्जा कहते हैं।
आकृति में $A=30$ से $A=170$ के क्षेत्र में प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा लगभग स्थिर $(8.0 \text{ MeV})$ रहती है।
$A<30$ और $A>170$ के क्षेत्रों में नाभिकों के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $8.0 \text{ MeV}$ से कम होती है।
बंधन ऊर्जा जितनी अधिक होती है,नाभिक का कुल द्रव्यमान उतना ही कम होता है।
$[\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा} = \frac{E_{bn}}{A}]$
$\therefore$ नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा = (प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा) $\times A$.
यदि कम कुल बंधन ऊर्जा वाले नाभिक अधिक बंधन ऊर्जा वाले नाभिकों में परिवर्तित होते हैं,तो शुद्ध ऊर्जा मुक्त होती है। इस प्रकार,ऊर्जा प्राप्त करने के लिए दो प्रकार की नाभिकीय प्रक्रियाएं हैं:
$1$. नाभिकीय विखंडन (Nuclear Fission): जब एक भारी नाभिक दो या दो से अधिक मध्यम द्रव्यमान वाले टुकड़ों में टूटता है,तो ऊर्जा मुक्त होती है। यह परमाणु बम का सिद्धांत है।
$2$. नाभिकीय संलयन (Nuclear Fusion): जब दो या दो से अधिक हल्के नाभिक जुड़कर एक भारी नाभिक बनाते हैं,तो भी ऊर्जा उत्सर्जित होती है। यह हाइड्रोजन बम का सिद्धांत है।
ऊष्माक्षेपी रासायनिक अभिक्रियाएं कोयले या पेट्रोलियम जैसे पारंपरिक ऊर्जा स्रोतों के अंतर्गत आती हैं। इनसे जुड़ी ऊर्जा $\text{eV}$ की सीमा में होती है।
जबकि नाभिकीय अभिक्रिया में ऊर्जा का उत्सर्जन $\text{MeV}$ की कोटि का होता है।
इस प्रकार,पदार्थ की समान मात्रा के लिए,नाभिकीय स्रोत रासायनिक स्रोत की तुलना में दस लाख $(10^6)$ गुना अधिक ऊर्जा उत्पन्न करते हैं।
उदाहरण के लिए: $1 \text{ kg}$ यूरेनियम $10^{14} \text{ J}$ ऊर्जा उत्पन्न करता है,जबकि $1 \text{ kg}$ कोयले को जलाने पर $10^7 \text{ J}$ ऊर्जा प्राप्त होती है।

(B) नहीं,उनकी बंधन ऊर्जा समान नहीं है।
बंधन ऊर्जा नाभिक में प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संख्या पर निर्भर करती है।
$_{1}H^{3}$ (ट्रिटियम) के लिए,नाभिक में $1$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं।
$_{2}He^{3}$ के लिए,नाभिक में $2$ प्रोटॉन और $1$ न्यूट्रॉन होते हैं।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा नाभिकीय बल से प्रभावित होती है,जो न्यूक्लियॉनों के बीच आकर्षण बल है।
चूंकि $_{1}H^{3}$ का न्यूट्रॉन-प्रोटॉन अनुपात अलग है और इसमें पेयरिंग प्रभाव अलग होते हैं,इसलिए इसकी कुल बंधन ऊर्जा $_{2}He^{3}$ से भिन्न होती है।
सामान्य तौर पर,$_{1}H^{3}$ की बंधन ऊर्जा लगभग $8.48 \text{ MeV}$ है,जबकि $_{2}He^{3}$ की बंधन ऊर्जा लगभग $7.72 \text{ MeV}$ है।
इसलिए,बंधन ऊर्जा समान नहीं है।

(A) दिए गए न्यूक्लाइड $_{11}^{23}Na$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_1 = 11$ और द्रव्यमान संख्या $A = 23$ है। न्यूट्रॉन की संख्या $N_1 = A - Z_1 = 23 - 11 = 12$ है।
मिरर आइसोबार के लिए,नया परमाणु क्रमांक $Z_2 = N_1 = 12$ और न्यूट्रॉन की नई संख्या $N_2 = Z_1 = 11$ होगी। द्रव्यमान संख्या $A = Z_2 + N_2 = 12 + 11 = 23$ रहती है। $12$ परमाणु क्रमांक वाला तत्व मैग्नीशियम $(Mg)$ है। अतः,मिरर आइसोबार $_{12}^{23}Mg$ है।
$(b)$ नाभिक की बंधन ऊर्जा प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की समरूपता से प्रभावित होती है। $_{11}^{23}Na$ में $11$ प्रोटॉन और $12$ न्यूट्रॉन हैं,जबकि $_{12}^{23}Mg$ में $12$ प्रोटॉन और $11$ न्यूट्रॉन हैं। प्रोटॉन की तुलना में अधिक न्यूट्रॉन वाला नाभिक सामान्यतः अधिक मजबूत आकर्षण बल का अनुभव करता है क्योंकि प्रोटॉन के बीच अतिरिक्त कूलम्ब प्रतिकर्षण कम होता है। इसलिए,$_{11}^{23}Na$ की बंधन ऊर्जा $_{12}^{23}Mg$ से अधिक है।

(D) मान लीजिए कि ड्यूटेरॉन नाभिक स्थिर है। जब $E$ ऊर्जा की $\gamma$-किरण इस पर आपतित होती है,तो ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $E = B + K_p + K_n$,जहाँ $K_p$ और $K_n$ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जाएँ हैं।
रैखिक संवेग संरक्षण के अनुसार,फोटॉन का संवेग प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के संवेग के योग के बराबर होना चाहिए: $p_{\gamma} = p_p + p_n$। चूँकि फोटॉन का संवेग $p_{\gamma} = E/c$ है,इसलिए $p_p + p_n = E/c$ प्राप्त होता है।
यदि $E = B$ है,तो $K_p + K_n = 0$ होगा। चूँकि गतिज ऊर्जा ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K_p = 0$ और $K_n = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $p_p = 0$ और $p_n = 0$। हालाँकि,यह संवेग संरक्षण समीकरण $p_p + p_n = E/c$ का खंडन करता है,क्योंकि $E/c \neq 0$। अतः,$E = B$ संभव नहीं है।
इस प्रक्रिया के होने के लिए,$E > B$ होना चाहिए। मान लीजिए $E = B + \Delta E$। गतिज ऊर्जा $K_p = p_p^2 / 2m$ और $K_n = p_n^2 / 2m$ है। आवश्यक ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए,हम मानते हैं कि कण समान वेग से गति करते हैं,इसलिए $p_p = p_n = p/2$। तब $p = E/c$,इसलिए $p_p = p_n = E/2c$।
ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $E - B = (E/2c)^2 / 2m + (E/2c)^2 / 2m = E^2 / 4mc^2$।
चूँकि $E \approx B$,इसलिए $\Delta E \approx B^2 / 4mc^2$ प्राप्त होता है।

(D) $H$-परमाणु की बंधन ऊर्जा का सूत्र:
$E = \frac{m_e e^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} = 13.6 \text{ eV}$ ... $(1)$
अब,ड्यूटेरॉन नाभिक को एक द्वि-निकाय के रूप में मानते हुए,हम $m_e$ को समानीत द्रव्यमान $m'$ से और $e$ को प्रभावी आवेश $e'$ से प्रतिस्थापित करते हैं। ड्यूटेरॉन की बंधन ऊर्जा:
$E' = \frac{m' e'^4}{8 \epsilon_0^2 h^2} = 2.2 \times 10^6 \text{ eV}$ ... $(2)$
समीकरण $(2)$ और $(1)$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{m'}{m_e} \times \left(\frac{e'}{e}\right)^4 = \frac{2.2 \times 10^6}{13.6} \approx 1.617 \times 10^5$ ... $(3)$
ड्यूटेरॉन (प्रोटॉन-न्यूट्रॉन निकाय) के लिए समानीत द्रव्यमान $m'$:
$m' = \frac{m_p m_n}{m_p + m_n} = \frac{m \times m}{2m} = \frac{m}{2}$
चूंकि $m \approx 1836 m_e$,इसलिए $m' = \frac{1836 m_e}{2} = 918 m_e$.
अतः,$\frac{m'}{m_e} = 918$.
इस मान को समीकरण $(3)$ में रखने पर:
$918 \times \left(\frac{e'}{e}\right)^4 = 1.617 \times 10^5$
$\left(\frac{e'}{e}\right)^4 = \frac{1.617 \times 10^5}{918} \approx 176.14$
$\frac{e'}{e} = (176.14)^{1/4} \approx 3.65$.

(N/A) हम जानते हैं कि $1\,u = 1.6605 \times 10^{-27}\,kg$ और $c = 3 \times 10^8\,m/s$ है।
$E = mc^2$ लागू करने पर:
$E = (1.6605 \times 10^{-27}\,kg) \times (3 \times 10^8\,m/s)^2$
$E = 1.6605 \times 9 \times 10^{-11}\,J = 14.9445 \times 10^{-11}\,J$
इसे $MeV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-13}\,J/MeV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{14.9445 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-13}}\,MeV \approx 934\,MeV$ (सटीक $1\,u = 1.660539 \times 10^{-27}\,kg$ का उपयोग करने पर $931.5\,MeV$ प्राप्त होता है)।
$(b)$ संबंध $1\,u = 931.5\,MeV$ विमीय रूप से गलत है क्योंकि द्रव्यमान ऊर्जा के बराबर नहीं हो सकता। सही संबंध $1\,u \times c^2 = 931.5\,MeV$ है।

(A) प्रोटॉन की संख्या $Z = 50$ और न्यूट्रॉन की संख्या $N = A - Z = 120 - 50 = 70$ है।
नाभिक का अपेक्षित द्रव्यमान $M_{expected} = Z m_{p} + N m_{n}$ है।
$M_{expected} = 50(1.00783) + 70(1.00867) = 50.3915 + 70.6069 = 120.9984 \, U$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = M_{expected} - m_{Sn} = 120.9984 - 119.902199 = 1.096201 \, U$.
बंधन ऊर्जा $B.E. = \Delta m \times 931 \, MeV/U = 1.096201 \times 931 \approx 1020.56 \, MeV$.
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $\frac{B.E.}{A} = \frac{1020.56}{120} \approx 8.5 \, MeV$ है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार किसी प्रक्रिया के संभव होने के लिए,अभिकारकों का कुल द्रव्यमान उत्पादों के कुल द्रव्यमान से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
आइए $A$ का मूल्यांकन करें: $n + p \rightarrow d + \gamma$.
अभिकारकों का द्रव्यमान: $m_{n} + m_{p} = 1.0087 + 1.0072 = 2.0159 \ u$.
उत्पाद का द्रव्यमान: $m_{d} = 2.0141 \ u$.
चूंकि $2.0159 \ u > 2.0141 \ u$,द्रव्यमान का अंतर ऊर्जा (फोटॉन $\gamma$) के रूप में मुक्त होता है,जो संरक्षण नियमों का पालन करता है।
$B$ का मूल्यांकन करने पर: $e^{+} + e^{-} \rightarrow \gamma$ संवेग संरक्षण का उल्लंघन करता है (एकल फोटॉन ऊर्जा और संवेग दोनों का संरक्षण नहीं कर सकता)।
$D$ का मूल्यांकन करने पर: $p \rightarrow n + e^{+} + \bar{v}$ एक मुक्त प्रोटॉन के लिए संभव नहीं है क्योंकि $m_{p} < m_{n} + m_{e}$.
अतः,सही प्रक्रिया $A$ है।

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,ऊर्जा $E$ को सूत्र $E = mc^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 0.5\, g = 0.5 \times 10^{-3}\, kg$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8\, m/s$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E = (0.5 \times 10^{-3}\, kg) \times (3 \times 10^8\, m/s)^2$
$E = 0.5 \times 10^{-3} \times 9 \times 10^{16}\, J$
$E = 4.5 \times 10^{13}\, J$.

(B) प्रोटॉन की संख्या $Z = 26$ और न्यूट्रॉन की संख्या $N = 56 - 26 = 30$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ इस प्रकार है:
$\Delta m = [Z m_{p} + N m_{n} - m({^{56}Fe})]$
$\Delta m = [26 \times 1.00727 + 30 \times 1.00866 - 55.936] \ u$
$\Delta m = [26.18902 + 30.2598 - 55.936] \ u = 0.51282 \ u$.
कुल बंधन ऊर्जा $BE$:
$BE = \Delta m \times 931.5 \ MeV/u$
$BE = 0.51282 \times 931.5 \approx 477.7 \ MeV$.
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा:
$BE/A = \frac{477.7}{56} \approx 8.53 \ MeV$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $8.52 \ MeV$ है।

(B) $\gamma$-किरण फोटॉन की ऊर्जा $E_{\gamma} = h\nu$ है।
$\gamma$-किरण फोटॉन का संवेग $p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,नाभिक को समान और विपरीत संवेग $p_N = p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$ के साथ पीछे हटना (recoil) चाहिए।
पीछे हटते हुए नाभिक की गतिज ऊर्जा $K_N = \frac{p_N^2}{2M} = \frac{(h\nu/c)^2}{2M} = \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2}$ है।
नाभिक की आंतरिक ऊर्जा में कुल हानि उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा और पीछे हटते हुए नाभिक की गतिज ऊर्जा का योग है:
$\Delta E = E_{\gamma} + K_N = h\nu + \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2} = h\nu \left[1 + \frac{h\nu}{2Mc^2}\right]$.

(C) द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\Delta m = (Z m_p + (A - Z) m_n) - M_{Al}$.
यहाँ,$Z = 13$ (प्रोटॉन की संख्या) और $A - Z = 14$ (न्यूट्रॉन की संख्या) है।
$\Delta m = (13 \times 1.00726 + 14 \times 1.00866) - 27.18846$.
$\Delta m = 27.21562 - 27.18846 = 0.02716 \, {u}$.
यह दिया गया है कि $1 \, {u}$,$1 \, {J}$ ऊर्जा के अनुरूप है,इसलिए बंधन ऊर्जा $E = 0.02716 \, {J}$ है।
इसे $x \times 10^{-3} \, {J}$ के रूप में व्यक्त करने पर,$E = 27.16 \times 10^{-3} \, {J}$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,उत्तर $27$ प्राप्त होता है।

(D) नाभिकीय विखंडन अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारक की कुल बंधन ऊर्जा के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है।
अभिकारक (नाभिक $A$) की कुल बंधन ऊर्जा:
$BE_A = 220 \times 5.6 \, MeV = 1232 \, MeV$.
उत्पादों (नाभिक $B$ और $C$) की कुल बंधन ऊर्जा:
$BE_{B+C} = (105 \times 6.4) + (115 \times 6.4) \, MeV = (105 + 115) \times 6.4 \, MeV = 220 \times 6.4 \, MeV = 1408 \, MeV$.
मुक्त ऊर्जा $Q$:
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactant}}$
$Q = 1408 \, MeV - 1232 \, MeV = 176 \, MeV$.

(D) मान लीजिए एक नाभिकीय अभिक्रिया $x + p \rightarrow y + b$ है,जहाँ $x$ लक्ष्य नाभिक है,$p$ प्रक्षेप्य है,$y$ उत्पाद नाभिक है और $b$ उत्सर्जित कण है।
नाभिकीय अभिक्रिया का $Q$-मान अंतिम गतिज ऊर्जा और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है,या द्रव्यमान क्षति के कारण मुक्त ऊर्जा के रूप में: $Q = K_{f} + K_{b} - K_{p}$।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $Q + K_{p} = K_{f} + K_{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि उत्पाद कणों की गतिज ऊर्जा ($K_{f}$ और $K_{b}$) ऋणात्मक नहीं हो सकती (अर्थात $K_{f} \geq 0$ और $K_{b} \geq 0$),इसलिए उनका योग शून्य या शून्य से अधिक होना चाहिए।
अतः,अभिक्रिया होने के लिए,उपलब्ध कुल ऊर्जा को $(K_{p} + Q) > 0$ शर्त को पूरा करना होगा।

(A) ${ }_5 B ^{11}$ से न्यूट्रॉन को हटाने की अभिक्रिया इस प्रकार है:
${ }_5 B ^{11} \longrightarrow { }_5 B ^{10} + { }_0 n ^1$
एक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है:
$BE = (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा}) \times (\text{द्रव्यमान संख्या } A)$
${ }_5 B ^{11}$ के लिए:
$BE({ }_5 B ^{11}) = 7.5 \,MeV \times 11 = 82.5 \,MeV$
${ }_5 B ^{10}$ के लिए:
$BE({ }_5 B ^{10}) = 8.0 \,MeV \times 10 = 80.0 \,MeV$
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा बंधन ऊर्जाओं का अंतर है:
$E = BE({ }_5 B ^{11}) - BE({ }_5 B ^{10})$
$E = 82.5 \,MeV - 80.0 \,MeV = 2.5 \,MeV$

(B) ${ }_8 O ^{16}$ से प्रोटॉन को हटाने की अभिक्रिया इस प्रकार है: ${ }_8 O ^{16} + \text{Energy} \longrightarrow { }_7 N ^{15} + { }_1 H ^1$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $\Delta m = (M_{N} + M_{H}) - M_{O}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta m = (15.000108 + 1.007825) - 15.994915 \text{ a.m.u.}$.
$\Delta m = 16.007933 - 15.994915 = 0.013018 \text{ a.m.u.}$.
आवश्यक ऊर्जा $E = \Delta m \times 931.5 \text{ MeV/a.m.u.}$ है।
$E = 0.013018 \times 931.5 \approx 12.126 \text{ MeV}$,जो लगभग $12.13 \text{ MeV}$ है।

(B) प्रोटॉन की संख्या $Z = 6$ और न्यूट्रॉन की संख्या $N = 12 - 6 = 6$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ इस प्रकार दी जाती है:
$\Delta m = [Z \cdot m_H + N \cdot m_n] - M_{nucleus}$
$\Delta m = [6 \times 1.007825 + 6 \times 1.008665] - 12.00000$
$\Delta m = [6.04695 + 6.05199] - 12.00000$
$\Delta m = 12.09894 - 12.00000 = 0.09894 \text{ a.m.u.}$
बंधन ऊर्जा $BE = \Delta m \times 931.5 \text{ MeV/a.m.u.}$
$BE = 0.09894 \times 931.5 \approx 92.162 \text{ MeV}$
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $BE/A = 92.162 / 12 \approx 7.68 \text{ MeV}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $7.675 \text{ MeV}$ है।

(B) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है।
अभिकारक $X$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 200 \times 7.4 \, MeV = 1480 \, MeV$.
उत्पादों $A$ और $B$ की कुल बंधन ऊर्जा $= (110 \times 8.2 \, MeV) + (90 \times 8.2 \, MeV) = (110 + 90) \times 8.2 \, MeV = 200 \times 8.2 \, MeV = 1640 \, MeV$.
मुक्त ऊर्जा $Q = \text{उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा} - \text{अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा}$.
$Q = 1640 \, MeV - 1480 \, MeV = 160 \, MeV$.

(D) अंतिम प्रोटॉन की बंधन ऊर्जा (जिसे प्रोटॉन पृथक्करण ऊर्जा भी कहा जाता है) अभिक्रिया की द्रव्यमान क्षति द्वारा दी जाती है: ${ }_8 O ^{16} \rightarrow { }_7 N ^{15} + { }_1 H ^1$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\Delta m = [M({ }_7 N ^{15}) + m_p] - M({ }_8 O ^{16})$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta m = 15.00011 \ amu + 1.00783 \ amu - 15.99492 \ amu$
$\Delta m = 16.00794 \ amu - 15.99492 \ amu = 0.01302 \ amu$
चूंकि $1 \ amu = 931.5 \ MeV/c^2$,इसलिए बंधन ऊर्जा $E$ है:
$E = 0.01302 \times 931.5 \ MeV \approx 12.13 \ MeV$.

(A) नाभिक की स्थिरता उसके प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
${ }_1^2 H$ के लिए: $BE/A = 2.22 / 2 = 1.11 \text{ MeV/nucleon}$.
${ }_2^4 He$ के लिए: $BE/A = 28.3 / 4 = 7.075 \text{ MeV/nucleon}$.
${ }_{26}^{56} Fe$ के लिए: $BE/A = 492 / 56 \approx 8.79 \text{ MeV/nucleon}$.
${ }_{92}^{235} U$ के लिए: $BE/A = 1786 / 235 \approx 7.60 \text{ MeV/nucleon}$.
चूंकि ${ }_{26}^{56} Fe$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा सबसे अधिक है,इसलिए यह दिए गए विकल्पों में सबसे अधिक स्थिर नाभिक है।

(B) हीलियम नाभिक $(_{2}^{4}He)$ में $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं।
द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ इस प्रकार है: $\Delta m = (2 m_p + 2 m_n) - m_{He}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta m = [2(1.0073) + 2(1.0087)] - 4.0015$.
$\Delta m = [2.0146 + 2.0174] - 4.0015 = 4.0320 - 4.0015 = 0.0305\,u$.
चूंकि $1\,u = 931.5\,MeV/c^2$, इसलिए बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ है:
$B.E. = \Delta m \times 931.5\,MeV$.
$B.E. = 0.0305 \times 931.5 \approx 28.4\,MeV$.

(D) नाभिक $A$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 17$ है। चूँकि प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संख्या समान है, इसलिए न्यूट्रॉन की संख्या $N = 17$ है। अतः, द्रव्यमान संख्या $A_{mass} = Z + N = 17 + 17 = 34$ होगी।
$A$ की कुल बंधन ऊर्जा: $BE_A = (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा}) \times (\text{द्रव्यमान संख्या}) = 1.2 \, MeV \times 34 = 40.8 \, MeV$.
नाभिक $B$ के लिए, द्रव्यमान संख्या $A_{mass} = 26$ है और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $1.8 \, MeV$ है।
$B$ की कुल बंधन ऊर्जा: $BE_B = 1.8 \, MeV \times 26 = 46.8 \, MeV$.
बंधन ऊर्जा का अंतर: $\Delta BE = BE_B - BE_A = 46.8 \, MeV - 40.8 \, MeV = 6 \, MeV$.

(A) अर्ध-अनुभवजन्य द्रव्यमान सूत्र के अनुसार:
$1$. सतह ऊर्जा पद $E_s = -a_s A^{2/3}$ है। प्रति न्यूक्लियॉन सतह ऊर्जा $b_s = E_s/A = -a_s A^{-1/3}$ है। अतः,कथन $A$ गलत है।
$2$. कूलम्ब ऊर्जा पद $E_c = -a_c \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$ है। अतः,कथन $B$ गलत है क्योंकि हर में $A^{1/3}$ है,$A^{4/3}$ नहीं।
$3$. आयतन ऊर्जा पद $E_v = a_v A$ है। प्रति न्यूक्लियॉन आयतन ऊर्जा $b_v = E_v/A = a_v$ है। कथन $C$ सही है क्योंकि आयतन ऊर्जा $A$ के समानुपाती होती है।
$4$. सतह ऊर्जा इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि सतह पर मौजूद न्यूक्लियॉनों के पास आंतरिक भाग की तुलना में कम पड़ोसी होते हैं। सतह पर न्यूक्लियॉनों की संख्या सतह के क्षेत्रफल $(4\pi R^2 \propto A^{2/3})$ के समानुपाती होती है। अतः,बंधन ऊर्जा में कमी सतह के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है। कथन $D$ सही है।
$5$. लिक्विड ड्रॉप मॉडल में,यह माना जाता है कि प्रत्येक न्यूक्लियॉन सीमित संख्या में पड़ोसियों के साथ परस्पर क्रिया करता है (आमतौर पर क्लोज-पैक्ड संरचना में $12$),लेकिन सतह ऊर्जा सुधार सतह पर गायब होने वाली अंतःक्रियाओं के लिए जिम्मेदार है। कथन $E$ इस मॉडल में एक मानक धारणा है।