Mass-Energy, Nuclear Binding Energy, Nuclear Stability Questions in Hindi

(C) प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा को एक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा को उसकी द्रव्यमान संख्या $(A)$ से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
अधिकांश स्थिर नाभिकों के लिए,प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $7 \,MeV$ से $9 \,MeV$ की सीमा में होती है।
विशेष रूप से,मध्यम द्रव्यमान वाले नाभिकों के लिए,यह लगभग $8 \,MeV$ होती है।
दिए गए विकल्पों में से,$7.6 \,MeV$ प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा के लिए सही परिमाण का क्रम है।

(C) यदि उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है,तो नाभिकीय अभिक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है।
माना $BE_N$ प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा है। कुल बंधन ऊर्जा $BE = A \times BE_N$ है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
विकल्प $C$ के लिए: $W \rightarrow 2Y$
अभिकारक $W$: $A = 120, BE_N = 7.5 \text{ MeV}$. कुल $BE = 120 \times 7.5 = 900 \text{ MeV}$.
उत्पाद $2Y$: $A = 60, BE_N = 8.5 \text{ MeV}$. कुल $BE = 2 \times (60 \times 8.5) = 1020 \text{ MeV}$.
चूंकि $1020 \text{ MeV} > 900 \text{ MeV}$ है,इसलिए ऊर्जा मुक्त होती है।
विकल्प $A$ के लिए: $Y \rightarrow 2Z$
अभिकारक $Y$: $A = 60, BE_N = 8.5 \text{ MeV}$. कुल $BE = 510 \text{ MeV}$.
उत्पाद $2Z$: $A = 30, BE_N = 5.0 \text{ MeV}$. कुल $BE = 2 \times (30 \times 5.0) = 300 \text{ MeV}$.
चूंकि $300 \text{ MeV} < 510 \text{ MeV}$ है,इसलिए ऊर्जा अवशोषित होती है।
अतः,प्रक्रिया $W \rightarrow 2Y$ में ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) नाभिक का द्रव्यमान $M$ हमेशा उसके घटक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के द्रव्यमान के योग से कम होता है,क्योंकि द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ बंधन ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
परमाणु क्रमांक $Z$ और द्रव्यमान संख्या $A$ वाले नाभिक के लिए,प्रोटॉन की संख्या $Z$ है और न्यूट्रॉन की संख्या $(A - Z)$ है।
व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान का योग $Z M_p + (A - Z) M_n$ है।
चूंकि बंधन ऊर्जा धनात्मक होती है,इसलिए नाभिक का द्रव्यमान उसके घटकों के द्रव्यमान के योग से कम होना चाहिए।
अतः,$M < Z M_p + (A - Z) M_n$।

(C) नाभिकीय अभिक्रिया में, उत्पादों का कुल द्रव्यमान अभिकारकों के कुल द्रव्यमान से कम होता है। द्रव्यमान में इस अंतर को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ कहा जाता है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार, $E = \Delta m c^2$, जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
अतः, नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त होने वाली ऊर्जा द्रव्यमान क्षति के समतुल्य ऊर्जा होती है।

(B) परमाणु से इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा को आयनन ऊर्जा कहा जाता है,जो आमतौर पर $eV$ (इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) की सीमा में होती है।
नाभिक से न्यूक्लियॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा को प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा कहा जाता है,जो आमतौर पर $MeV$ (मेगा इलेक्ट्रॉन-वोल्ट) की सीमा में होती है।
चूंकि $1 \ MeV = 10^6 \ eV$ होता है,इसलिए न्यूक्लियॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा,इलेक्ट्रॉन को बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा से काफी अधिक होती है।
अतः,$E_e < E_n$।

(A) नाभिक की स्थिरता उसके प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
$1$. $_1H^2$ के लिए: $BE/A = 2.22 / 2 = 1.11 \ MeV/nucleon$.
$2$. $_2He^4$ के लिए: $BE/A = 28.3 / 4 = 7.075 \ MeV/nucleon$.
$3$. $_{26}Fe^{56}$ के लिए: $BE/A = 492 / 56 \approx 8.79 \ MeV/nucleon$.
$4$. $_{92}U^{235}$ के लिए: $BE/A = 1786 / 235 \approx 7.60 \ MeV/nucleon$.
चूंकि $_{26}Fe^{56}$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे स्थिर नाभिक है।

(A) $\alpha$-कण एक हीलियम नाभिक $(_{2}^{4}He^{2+})$ है,जिसमें $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं।
द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,किसी नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके व्यक्तिगत घटकों (न्यूक्लियॉन) के द्रव्यमान के योग से कम होता है,क्योंकि द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ बंधन ऊर्जा $(E = \Delta m c^2)$ में परिवर्तित हो जाती है।
इसलिए,$\alpha$-कण का द्रव्यमान $2$ मुक्त प्रोटॉन और $2$ मुक्त न्यूट्रॉन के संयुक्त द्रव्यमान से थोड़ा कम होता है।

(B) किसी नाभिक की बंधन ऊर्जा $(BE)$ और उसकी द्रव्यमान क्षति $(\Delta M)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $BE = \Delta M \times 931 \, MeV/amu$.
यहाँ $BE = 2.23 \, MeV$ दिया गया है।
मान रखने पर: $2.23 = \Delta M \times 931$.
अतः, $\Delta M = \frac{2.23}{931} \, amu$.
$\Delta M \approx 0.002395 \, amu \approx 0.0024 \, amu$.

(C) यदि उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है,तो नाभिकीय प्रक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है। इसका अर्थ है कि उत्पाद अभिकारकों की तुलना में अधिक स्थिर हैं।
$(i) \, A + B \rightarrow C + \varepsilon$: यहाँ,हल्के नाभिक $A$ और $B$ जुड़कर एक भारी नाभिक $C$ बनाते हैं। चूँकि $C$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $A$ और $B$ से अधिक है,कुल बंधन ऊर्जा बढ़ जाती है और ऊर्जा मुक्त होती है $(\varepsilon > 0)$।
$(ii) \, C \rightarrow A + B + \varepsilon$: यह प्रक्रिया $(i)$ के विपरीत है। चूँकि उत्पाद नाभिक कम स्थिर हैं,इसलिए ऊर्जा का अवशोषण होता है $(\varepsilon < 0)$।
$(iii) \, D + E \rightarrow F + \varepsilon$: यहाँ,$D$ और $E$ अपेक्षाकृत भारी नाभिक हैं। उन्हें जोड़कर $F$ (जो और भी भारी और कम स्थिर है) बनाने के लिए ऊर्जा इनपुट की आवश्यकता होगी $(\varepsilon < 0)$।
$(iv) \, F \rightarrow D + E + \varepsilon$: यह नाभिकीय विखंडन को दर्शाता है जहाँ एक भारी,अस्थिर नाभिक $F$ अधिक स्थिर,हल्के नाभिक $D$ और $E$ में विभाजित हो जाता है। कुल बंधन ऊर्जा बढ़ जाती है,इसलिए ऊर्जा मुक्त होती है $(\varepsilon > 0)$।
अतः,प्रक्रिया $(i)$ और $(iv)$ में ऊर्जा मुक्त होती है।

(B) प्रोटॉन का द्रव्यमान लगभग $1.007276 \ u$ होता है।
द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ का उपयोग करते हुए।
चूंकि $1 \ u$,$931.5 \ MeV/c^2$ के बराबर है,इसलिए प्रोटॉन के द्रव्यमान के समतुल्य ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E = 1.007276 \ u \times 931.5 \ MeV/u \approx 938.27 \ MeV$।
हालाँकि,कई पाठ्यपुस्तकों में सरल गणना के लिए प्रोटॉन के द्रव्यमान को $1 \ u$ (परमाणु द्रव्यमान इकाई) माना जाता है,जिससे प्राप्त होता है:
$E = 1 \ u \times 931.49 \ MeV/u = 931.49 \ MeV$।
अतः,उत्पन्न ऊर्जा $931.49 \ MeV$ है।

(A) अभिक्रिया: $_1H^2 + _1H^2 \rightarrow {_2}{He}^4 + Q$ है।
अभिकारकों में न्यूक्लियॉन की कुल संख्या $2 + 2 = 4$ है।
ड्यूटेरॉन के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $x_1$ है, इसलिए अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा $4x_1$ है।
उत्पाद में न्यूक्लियॉन की कुल संख्या $4$ है।
$\alpha$-कण के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $x_2$ है, इसलिए उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा $4x_2$ है।
मुक्त ऊर्जा $Q$ कुल बंधन ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है: $Q = (\text{उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा}) - (\text{अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा})$.
अतः, $Q = 4x_2 - 4x_1 = 4(x_2 - x_1)$.

(C) बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ की गणना द्रव्यमान क्षति सूत्र का उपयोग करके की जाती है: $B.E. = [Z m_p + (A - Z) m_n - M_{nucleus}] c^2$.
यहाँ,$Z = 2$ (प्रोटॉन की संख्या),$A = 4$ (द्रव्यमान संख्या),$m_p = 1.0073 \, u$,$m_n = 1.0087 \, u$,और $M_{nucleus} = 4.0015 \, u$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = [2(1.0073) + 2(1.0087) - 4.0015] \, u$.
$\Delta m = [2.0146 + 2.0174 - 4.0015] \, u = [4.0320 - 4.0015] \, u = 0.0305 \, u$.
चूंकि $1 \, u = 931.5 \, MeV/c^2$,इसलिए बंधन ऊर्जा $B.E. = 0.0305 \times 931.5 \, MeV \approx 28.4 \, MeV$ है।

(C) नाभिक की बंधन-ऊर्जा $(BE)$ का सूत्र है: $BE = [Z M_p + (A - Z) M_n - M_{nucleus}] c^2$।
ऑक्सीजन समस्थानिक $_8O^{17}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 8$ और द्रव्यमान संख्या $A = 17$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $N = A - Z = 17 - 8 = 9$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$BE = [8 M_p + 9 M_n - M_0] c^2$।

(C) $_8O^{17}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने की अभिक्रिया है: $_8O^{17} \rightarrow _8O^{16} + _0n^1$.
किसी नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा $BE = A \times (BE/A)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है।
$_8O^{17}$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 17 \times 7.75 \, MeV = 131.75 \, MeV$.
$_8O^{16}$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 16 \times 7.97 \, MeV = 127.52 \, MeV$.
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा कुल बंधन ऊर्जाओं का अंतर है:
$E = BE(O^{17}) - BE(O^{16}) = 131.75 \, MeV - 127.52 \, MeV = 4.23 \, MeV$.

(B) $\,_3^7\,Li\,\,$ नाभिक की बंधन ऊर्जा $= 7 \times 5.60 = 39.2 \,MeV$.
$\,_2^4\,He\,\,$ नाभिक की बंधन ऊर्जा $= 4 \times 7.06 = 28.24 \,MeV$.
अभिक्रिया $p + \,_3^7\,Li \to 2\,_2^4\,He$ है।
अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा ($Q$-मान) उत्पादों और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है।
$Q = [2 \times (\,_2^4\,He\,\, \text{की बंधन ऊर्जा})] - [(\,_3^7\,Li\,\, \text{की बंधन ऊर्जा}) + (p \text{ की बंधन ऊर्जा})]$.
चूंकि एक मुक्त प्रोटॉन की बंधन ऊर्जा $0$ होती है, इसलिए:
$Q = (2 \times 28.24) - 39.2 = 56.48 - 39.2 = 17.28 \,MeV$.

(B) $_3^7Li$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान क्षति $\Delta m = 0.042 \, u$ है।
यह दिया गया है कि $1 \, u \approx 931.5 \, MeV/c^2$,इसलिए कुल बंधन ऊर्जा $E_b$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E_b = \Delta m \times 931.5 \, MeV = 0.042 \times 931.5 \, MeV \approx 39.123 \, MeV$.
$_3^7Li$ के लिए द्रव्यमान संख्या $A = 7$ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $E_{bn}$ इस प्रकार प्राप्त होती है:
$E_{bn} = \frac{E_b}{A} = \frac{39.123 \, MeV}{7} \approx 5.589 \, MeV$.
निकटतम मान लेने पर,हमें $5.6 \, MeV$ प्राप्त होता है।

(B) एक इलेक्ट्रॉन (या पॉजिट्रॉन) की विराम द्रव्यमान ऊर्जा $E_0 = m_0 c^2 = 0.511 \, \text{MeV}$ होती है।
इसे जूल में बदलने पर: $E_0 = 0.511 \times 10^6 \, \text{eV} \times 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} \approx 8.186 \times 10^{-14} \, \text{J}$ प्राप्त होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन-पॉजिट्रॉन युग्म की कुल ऊर्जा $(2 \times 0.511 \, \text{MeV})$ दो फोटॉनों के बीच समान रूप से विभाजित होती है,इसलिए प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा एक कण की विराम द्रव्यमान ऊर्जा के बराबर होती है।
अतः,प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा $E = 8.2 \times 10^{-14} \, \text{J}$ है।

(D) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया है: $_3{Li}^7 + _1H^1 \rightarrow 2 \, _2{He}^4$।
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा:
$BE_{reactants} = (7 \times 5.60) + (0) = 39.2 \, MeV$ (चूंकि एक प्रोटॉन की बंधन ऊर्जा $0$ होती है)।
उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा:
$BE_{products} = 2 \times (4 \times 7.06) = 2 \times 28.24 = 56.48 \, MeV$।
मुक्त ऊर्जा $(Q)$ उत्पादों और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा का अंतर है:
$Q = BE_{products} - BE_{reactants}$
$Q = 56.48 \, MeV - 39.2 \, MeV = 17.28 \, MeV \approx 17.3 \, MeV$।

(A) नाभिक की बंधन ऊर्जा $(BE)$ को द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
द्रव्यमान क्षति, व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच का अंतर है।
प्रोटॉन की संख्या = $Z$.
न्यूट्रॉन की संख्या = $A - Z$.
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान = $ZM_p + (A - Z)M_n$.
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = [ZM_p + (A - Z)M_n - M(A, Z)]$.
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ का उपयोग करते हुए, बंधन ऊर्जा $BE = \Delta m c^2$ होती है।
अतः, $BE = [ZM_p + (A - Z)M_n - M(A, Z)]c^2$.

(B) इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m_e)$ पॉज़िट्रॉन के द्रव्यमान $(m_p)$ के बराबर होता है,जो $9.1 \times 10^{-31} \, kg$ है।
जब एक इलेक्ट्रॉन और एक पॉज़िट्रॉन विलीन होते हैं,तो उनका कुल द्रव्यमान ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
कुल द्रव्यमान $M = m_e + m_p = 2 \times 9.1 \times 10^{-31} \, kg = 18.2 \times 10^{-31} \, kg$ है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र $E = Mc^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है:
$E = (18.2 \times 10^{-31} \, kg) \times (3 \times 10^8 \, m/s)^2$
$E = 18.2 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16} \, J$
$E = 163.8 \times 10^{-15} \, J = 1.638 \times 10^{-13} \, J$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,मुक्त होने वाली ऊर्जा लगभग $1.6 \times 10^{-13} \, J$ है।

(B) नाभिकीय प्रक्रिया $n \to p + e^- + \bar{\nu}$ है।
अभिकारक का द्रव्यमान (न्यूट्रॉन) $m_n = 1.6747 \times 10^{-27} \ kg$ है।
उत्पादों का द्रव्यमान (प्रोटॉन + इलेक्ट्रॉन) $m_p + m_e = (1.6725 \times 10^{-27} + 9 \times 10^{-31}) \ kg$ है।
$m_p + m_e = (1.6725 + 0.0009) \times 10^{-27} \ kg = 1.6734 \times 10^{-27} \ kg$ है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = m_n - (m_p + m_e) = (1.6747 - 1.6734) \times 10^{-27} \ kg = 0.0013 \times 10^{-27} \ kg = 1.3 \times 10^{-30} \ kg$ है।
मुक्त ऊर्जा $E = \Delta m c^2 = (1.3 \times 10^{-30}) \times (3 \times 10^8)^2 \ J$ है।
$E = 1.3 \times 10^{-30} \times 9 \times 10^{16} \ J = 11.7 \times 10^{-14} \ J$ है।
ऊर्जा को $MeV$ में बदलने के लिए,$1.6 \times 10^{-13} \ J/MeV$ से विभाजित करें:
$E = \frac{11.7 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-13}} \ MeV = \frac{1.17}{1.6} \ MeV \approx 0.73 \ MeV$।

(D) $1\, amu$ को कार्बन-$12$ परमाणु के द्रव्यमान के $1/12$ भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता संबंध $E = mc^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m = 1.660539 \times 10^{-27}\, kg$ और $c = 2.99792458 \times 10^8\, m/s$ है:
$E = (1.660539 \times 10^{-27}\, kg) \times (2.99792458 \times 10^8\, m/s)^2$
$E \approx 1.4924 \times 10^{-10}\, J$
इस ऊर्जा को $MeV$ में बदलने के लिए,हम इसे $1.60218 \times 10^{-13}\, J/MeV$ से विभाजित करते हैं:
$E = \frac{1.4924 \times 10^{-10}}{1.60218 \times 10^{-13}}\, MeV \approx 931.5\, MeV$.
अतः,$1\, amu$ लगभग $931.5\, MeV$ ऊर्जा के समतुल्य है।

(B) द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ प्रारंभिक द्रव्यमान और अंतिम द्रव्यमान के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है।
$\Delta m = 1 \,g - 0.993 \,g = 0.007 \,g = 0.007 \times 10^{-3} \,kg = 7 \times 10^{-6} \,kg$.
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$E = \Delta m c^2$,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \,m/s$ प्रकाश की गति है।
$E = (7 \times 10^{-6} \,kg) \times (3 \times 10^8 \,m/s)^2$.
$E = 7 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^{16} \,J$.
$E = 63 \times 10^{10} \,J$.

(C) ${O^{17}}$ से एक न्यूट्रॉन को हटाने की नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: ${O^{17}} \to {O^{16}} + {n^1}$.
नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा की गणना इस प्रकार की जाती है: $BE = (\text{न्यूक्लियॉन की संख्या}) \times (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा})$.
${O^{17}}$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 17 \times 7.75 \, MeV = 131.75 \, MeV$.
${O^{16}}$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 16 \times 7.97 \, MeV = 127.52 \, MeV$.
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा कुल बंधन ऊर्जाओं का अंतर है: $\Delta E = BE({O^{17}}) - BE({O^{16}})$.
$\Delta E = 131.75 \, MeV - 127.52 \, MeV = 4.23 \, MeV$.

(C) यदि उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है,तो नाभिकीय अभिक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है।
आइए विकल्प $C$ का मूल्यांकन करें: $W \rightarrow 2Y$।
अभिकारक $W$ के लिए $(A=120, B_N=7.5 \, MeV)$: कुल बंधन ऊर्जा $= 120 \times 7.5 = 900 \, MeV$।
उत्पाद $2Y$ के लिए $(A=60, B_N=8.5 \, MeV)$: कुल बंधन ऊर्जा $= 2 \times (60 \times 8.5) = 1020 \, MeV$।
चूंकि $1020 \, MeV > 900 \, MeV$ है,इसलिए इस प्रक्रिया में ऊर्जा मुक्त होगी।

(A) नाभिक की बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के समतुल्य ऊर्जा है।
द्रव्यमान क्षति को व्यक्तिगत न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के द्रव्यमान के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।
प्रोटॉन की संख्या = $Z$
न्यूट्रॉन की संख्या = $A - Z$
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = [Z M_p + (A - Z) M_n - M(A, Z)]$
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार, $B.E. = \Delta m c^2$ होता है।
अतः, $B.E. = [Z M_p + (A - Z) M_n - M(A, Z)] c^2$।

(A) बंधन ऊर्जा $(BE)$ द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के समतुल्य ऊर्जा है,जो नाभिक के घटक न्यूक्लियॉन के कुल द्रव्यमान और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच का अंतर है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = [ZM_p + (A-Z)M_n] - M(A, Z)$ द्वारा दी जाती है।
आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा समतुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$BE = \Delta m \times c^2$ होता है।
$\Delta m$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $BE = [ZM_p + (A-Z)M_n - M(A, Z)] \times c^2$ प्राप्त होता है।
$c^2$ से विभाजित करने पर,हमें $BE/c^2 = ZM_p + (A-Z)M_n - M(A, Z)$ प्राप्त होता है।
$M(A, Z)$ के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $M(A, Z) = ZM_p + (A-Z)M_n - BE/c^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $M(A, Z) = ZM_p + (A-Z)M_n - BE/c^2$ है।

(B) ${}_{3}^{7}Li$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान क्षति $\Delta M = 0.042 \, u$ दी गई है।
हम जानते हैं कि $1 \, u = 931.5 \, MeV/c^2$ होता है।
अतः,कुल बंधन ऊर्जा $E_b$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E_b = \Delta M \times 931.5 \, MeV/u = 0.042 \times 931.5 \, MeV \approx 39.123 \, MeV$.
${}_{3}^{7}Li$ में न्यूक्लियॉनों की संख्या $A = 7$ है।
प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $E_{bn} = \frac{E_b}{A}$ द्वारा दी जाती है।
$E_{bn} = \frac{39.123 \, MeV}{7} \approx 5.589 \, MeV \approx 5.6 \, MeV$.

(D) नाभिक की बंधन ऊर्जा $BE = (\text{न्यूक्लियॉन की संख्या}) \times (\text{प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा})$ द्वारा दी जाती है।
${}_3^7Li$ के लिए: $BE_1 = 7 \times 5.60\,MeV = 39.2\,MeV$.
${}_1^1H$ के लिए: इसकी बंधन ऊर्जा $0\,MeV$ है क्योंकि यह एक प्रोटॉन है।
$2{}_2^4He$ के लिए: $BE_2 = 2 \times (4 \times 7.06\,MeV) = 2 \times 28.24\,MeV = 56.48\,MeV$.
मुक्त ऊर्जा $Q$ उत्पादों और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactants}}$
$Q = 56.48\,MeV - (39.2\,MeV + 0\,MeV)$
$Q = 17.28\,MeV \approx 17.3\,MeV$.

(B) नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त हुई ऊर्जा उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है।
अभिकारक $X$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 200 \times 7.4 \, MeV = 1480 \, MeV$.
उत्पादों $A$ और $B$ की कुल बंधन ऊर्जा $= (110 \times 8.2 \, MeV) + (90 \times 8.2 \, MeV) = (110 + 90) \times 8.2 \, MeV = 200 \times 8.2 \, MeV = 1640 \, MeV$.
मुक्त हुई ऊर्जा $Q = (\text{उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा}) - (\text{अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा})$.
$Q = 1640 \, MeV - 1480 \, MeV = 160 \, MeV$.

(A) $C^{13}$ से न्यूट्रॉन को हटाने की नाभिकीय अभिक्रिया इस प्रकार है: $C^{13} + \text{Energy} \rightarrow C^{12} + n$.
एक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा को न्यूक्लियॉन की संख्या $(A)$ और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(BE/A)$ के गुणनफल के रूप में गणना की जाती है।
$C^{13}$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 13 \times 7.5 \text{ MeV} = 97.5 \text{ MeV}$.
$C^{12}$ की कुल बंधन ऊर्जा $= 12 \times 7.68 \text{ MeV} = 92.16 \text{ MeV}$.
न्यूट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $C^{13}$ और $C^{12}$ की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$\text{Energy} = (13 \times 7.5) - (12 \times 7.68) \text{ MeV}$.
$\text{Energy} = 97.5 - 92.16 = 5.34 \text{ MeV}$.

(D) ड्यूटेरॉन की द्रव्यमान-ऊर्जा $E_d = 1876 \, MeV$ है।
प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संयुक्त द्रव्यमान-ऊर्जा $E_p + E_n = 939 \, MeV + 940 \, MeV = 1879 \, MeV$ है।
ड्यूटेरॉन को प्रोटॉन और न्यूट्रॉन में विघटित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = (E_p + E_n) - E_d = 1879 \, MeV - 1876 \, MeV = 3 \, MeV$ है।
चूंकि ड्यूटेरॉन अपने घटकों के योग की तुलना में कम ऊर्जा अवस्था में है,इसलिए इसे विघटित होने के लिए बाहरी स्रोत से ऊर्जा अवशोषित करनी होगी।
अतः,विघटन के लिए आवश्यक बंधन ऊर्जा प्रदान करने के लिए ड्यूटेरॉन को $3 \, MeV$ ऊर्जा का $\gamma$-किरण फोटॉन अवशोषित करना होगा।

(D) हल्के नाभिकों के लिए,प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संख्या लगभग समान होती है,इसलिए न्यूट्रॉन-प्रोटॉन अनुपात लगभग $1$ होता है। जैसे-जैसे परमाणु संख्या $A$ बढ़ती है,प्रोटॉन के बीच कूलम्ब प्रतिकर्षण बढ़ता है,जिससे स्थिरता बनाए रखने के लिए अतिरिक्त परमाणु बल प्रदान करने हेतु अधिक न्यूट्रॉन की आवश्यकता होती है,जिससे अनुपात $1$ से अधिक हो जाता है।
बंधन ऊर्जा के संबंध में,हल्के नाभिकों के लिए,द्रव्यमान संख्या बढ़ने के साथ प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा बढ़ती है,जो $Fe$ $(A \approx 56)$ जैसे नाभिकों के लिए अधिकतम होती है। भारी नाभिकों के लिए,प्रोटॉन के बीच बढ़ते कूलम्ब प्रतिकर्षण के कारण प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा कम हो जाती है।
अतः,कथन $(A)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) नाभिक का द्रव्यमान हमेशा उसके घटक न्यूक्लियॉनों के द्रव्यमान के योग से कम होता है,जो द्रव्यमान क्षति $(\Delta m)$ के कारण होता है,जो बंधन ऊर्जा $(B.E.)$ में परिवर्तित हो जाती है।
${}_{10}^{20}Ne$ के लिए,$M_1 < 10(m_p + m_n)$।
${}_{20}^{40}Ca$ के लिए,$M_2 < 20(m_p + m_n)$।
चूंकि ${}_{20}^{40}Ca$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा ${}_{10}^{20}Ne$ की तुलना में अधिक है,इसलिए ${}_{20}^{40}Ca$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन द्रव्यमान क्षति अधिक है।
अतः,${}_{20}^{40}Ca$ नाभिक का द्रव्यमान ${}_{10}^{20}Ne$ नाभिक के द्रव्यमान के दोगुने से थोड़ा कम है,अर्थात $M_2 < 2M_1$।

(C) किसी नाभिक की बंधन ऊर्जा,न्यूक्लियॉनों की संख्या और प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
$_3^7Li$ के लिए,कुल बंधन ऊर्जा $7 \times 5.60 \, MeV = 39.20 \, MeV$ है।
$_2^4He$ के लिए,एक नाभिक की कुल बंधन ऊर्जा $4 \times 7.06 \, MeV = 28.24 \, MeV$ है।
अभिक्रिया $p + {}_3^7Li \to 2 {}_2^4He$ में,कुल ऊर्जा संरक्षित रहनी चाहिए।
प्रोटॉन की ऊर्जा $(E_p)$ और अभिकारक नाभिक की बंधन ऊर्जा का योग,उत्पाद नाभिकों की कुल बंधन ऊर्जा के बराबर होना चाहिए।
$E_p + 39.20 \, MeV = 2 \times (28.24 \, MeV)$.
$E_p + 39.20 = 56.48$.
$E_p = 56.48 - 39.20 = 17.28 \, MeV$.

(C) किसी नाभिक की नाभिकीय बंधन ऊर्जा को द्रव्यमान क्षति के ऊर्जा समतुल्य के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है:
$B.E. = \Delta m c^2 = (\text{न्यूक्लियॉन का द्रव्यमान} - \text{नाभिक का द्रव्यमान}) c^2$
जहाँ $\Delta m$ द्रव्यमान क्षति है।
ऑक्सीजन समस्थानिक $_8O^{17}$ के लिए:
प्रोटॉन की संख्या $(p)$ = $8$
न्यूट्रॉन की संख्या $(n)$ = $17 - 8 = 9$
न्यूक्लियॉन का कुल द्रव्यमान = $8 M_p + 9 M_n$
नाभिक का द्रव्यमान = $M_o$
अतः,बंधन ऊर्जा:
$B.E. = (8 M_p + 9 M_n - M_o) c^2$

(A) यदि किसी नाभिकीय अभिक्रिया में उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक है, तो ऊर्जा मुक्त होती है $(\varepsilon > 0)$।
$1$. अभिक्रिया $(i)$, $A + B \to C + \varepsilon$ के लिए: नाभिक $C$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $A$ और $B$ से अधिक है। अतः, उत्पाद $C$ की कुल बंधन ऊर्जा $A$ और $B$ की बंधन ऊर्जा के योग से अधिक है। इसलिए, $\varepsilon > 0$ है।
$2$. अभिक्रिया $(iv)$, $F \to D + E + \varepsilon$ के लिए: नाभिक $D$ और $E$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $F$ से अधिक है। अतः, उत्पादों $D$ और $E$ की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारक $F$ की बंधन ऊर्जा से अधिक है। इसलिए, $\varepsilon > 0$ है।
अतः, अभिक्रिया $(i)$ और $(iv)$ में $\varepsilon$ धनात्मक है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,क्षय से पहले की कुल ऊर्जा क्षय के बाद की कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
प्रारंभिक ऊर्जा विराम द्रव्यमान ऊर्जा है: $E_i = (M + \Delta m)c^2$.
अंतिम ऊर्जा दो संतति नाभिकों की विराम द्रव्यमान ऊर्जा और उनकी गतिज ऊर्जा का योग है: $E_f = 2 \times (\frac{M}{2})c^2 + 2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{M}{2} \times v^2)$.
$E_i = E_f$ को बराबर रखने पर:
$(M + \Delta m)c^2 = Mc^2 + \frac{M}{2}v^2$.
दोनों पक्षों से $Mc^2$ घटाने पर:
$\Delta m c^2 = \frac{M}{2}v^2$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{2 \Delta m c^2}{M} \Rightarrow v = c \sqrt{\frac{2 \Delta m}{M}}$.

(D) नाभिकीय क्षय या विखंडन प्रक्रिया में,निकाय अधिक स्थिर अवस्था की ओर बढ़ता है।
स्थिरता का निर्धारण प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा द्वारा किया जाता है।
जिस नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा अधिक होती है,वह अधिक स्थिर होता है।
चूंकि जनक नाभिक दो संतति नाभिकों में क्षयित होता है,इसलिए ऊर्जा उत्सर्जन की शर्त को पूरा करने के लिए संतति नाभिकों को जनक नाभिक की तुलना में अधिक स्थिर होना चाहिए।
अतः,संतति नाभिकों की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $(E_2)$ जनक नाभिक की बंधन ऊर्जा $(E_1)$ से अधिक होनी चाहिए।
इस प्रकार,$E_2 > E_1$।

(D) एक नाभिक अधिक स्थिर अवस्था प्राप्त करने के लिए क्षयित होता है। रेडियोधर्मी क्षय तब होता है जब जनक नाभिक की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा उसके उत्पादों की तुलना में कम होती है,जिससे जनक नाभिक अस्थिर हो जाता है। इसलिए,यह कथन कि 'नाभिक की बंधन ऊर्जा उसके उत्पादों से अधिक है' गलत है,क्योंकि इसका अर्थ यह होगा कि नाभिक पहले से ही अपने संभावित क्षय उत्पादों की तुलना में अधिक स्थिर अवस्था में है।

(A) $^{11}_{6}C$ के लिए $\beta^+$-क्षय का समीकरण है:
$^{11}_{6}C \longrightarrow ^{11}_{5}B + ^{0}_{+1}e + \nu + Q$
$Q$-मान की गणना करने के लिए,हम परमाणु द्रव्यमान का उपयोग करते हैं। $^{A}_{Z}X$ नाभिक का $^{A}_{Z-1}Y$ में $\beta^+$ उत्सर्जन द्वारा क्षय इस प्रकार है:
$Q = [m(^{A}_{Z}X) - m(^{A}_{Z-1}Y) - 2m_e]c^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$Q = [11.011434 \ u - 11.009305 \ u - 2(0.000548 \ u)] \times 931.5 \ MeV/u$
$Q = [11.011434 - 11.009305 - 0.001096] \times 931.5 \ MeV$
$Q = [0.001033] \times 931.5 \ MeV$
$Q \approx 0.962 \ MeV$

(C) किसी नाभिकीय प्रक्रिया के स्वतःस्फूर्त होने के लिए,उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि $Q$-मान धनात्मक होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि अंतिम उत्पाद प्रारंभिक अभिकारकों की तुलना में अधिक स्थिर (प्रति न्यूक्लियॉन अधिक बंधन ऊर्जा) होने चाहिए।
मान लीजिए $BE_A, BE_B, BE_C, BE_D$ क्रमशः नाभिक $A, B, C, D$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा हैं।
ग्राफ से:
$BE_A = 8.1 \text{ MeV}$,$BE_B = 8.7 \text{ MeV}$,$BE_C = 8.4 \text{ MeV}$,$BE_D = 8.0 \text{ MeV}$.
$(A)$ $C \to 2B$: प्रारंभिक $BE = 120 \times 8.4 = 1008 \text{ MeV}$. अंतिम $BE = 2 \times (60 \times 8.7) = 1044 \text{ MeV}$. चूंकि $1044 > 1008$,यह स्वतःस्फूर्त है।
$(B)$ $D \to B+C$: प्रारंभिक $BE = 180 \times 8.0 = 1440 \text{ MeV}$. अंतिम $BE = (60 \times 8.7) + (120 \times 8.4) = 522 + 1008 = 1530 \text{ MeV}$. चूंकि $1530 > 1440$,यह स्वतःस्फूर्त है।
$(C)$ $B \to 2A$: प्रारंभिक $BE = 60 \times 8.7 = 522 \text{ MeV}$. अंतिम $BE = 2 \times (30 \times 8.1) = 486 \text{ MeV}$. चूंकि $486 < 522$,यह प्रक्रिया स्वतःस्फूर्त नहीं है।
अतः,प्रक्रिया $B \to 2A$ स्वतःस्फूर्त रूप से आगे नहीं बढ़ेगी।

(B) निकाय की प्रारंभिक ऊर्जा नाभिक $X^A$ की द्रव्यमान ऊर्जा और न्यूट्रॉन की गतिज ऊर्जा का योग है।
माना $X^A$ की बंधन ऊर्जा $BE_X$ है,अतः $BE_X = 8A \ MeV$ है।
अभिक्रिया से पहले कुल ऊर्जा $E_i = (M_X + m_n)c^2 + K_n = (M_X c^2 + m_n c^2) + 2 \ MeV$ है।
चूंकि $BE = Z m_p c^2 + N m_n c^2 - M c^2$ होता है,इसलिए $M_X c^2 = Z m_p c^2 + (A-Z) m_n c^2 - 8A$ है।
अभिक्रिया के बाद कुल ऊर्जा $E_f = M_Y c^2 + E_{\gamma 1} + E_{\gamma 2} = M_Y c^2 + 1 + 4 = M_Y c^2 + 5 \ MeV$ है।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$(M_X c^2 + m_n c^2) + 2 = M_Y c^2 + 5$
$M_Y c^2 = M_X c^2 + m_n c^2 - 3$.
बंधन ऊर्जा के पदों में द्रव्यमान समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(A+1) BE_Y = 8A + 3$.
अतः,$Y$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $BE_Y = \frac{8A + 3}{A + 1} \ MeV$ है।

(B) नाभिकीय अभिक्रिया का $Q$-मान उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$Q = (BE_{\text{products}}) - (BE_{\text{reactants}})$
यहाँ,अभिकारक दो ड्यूटेरॉन $(1H^2)$ हैं और उत्पाद एक न्यूट्रॉन $(0n^1)$ और एक हीलियम-$3$ नाभिक $(2He^3)$ हैं।
न्यूट्रॉन की बंधन ऊर्जा $0 \ MeV$ होती है।
अतः,$Q = (BE(2He^3) + BE(0n^1)) - (2 \times BE(1H^2))$.
दिया गया है $Q = 3.27 \ MeV$,$BE(1H^2) = 2.23 \ MeV$,और $BE(0n^1) = 0 \ MeV$.
$3.27 = BE(2He^3) + 0 - (2 \times 2.23)$.
$3.27 = BE(2He^3) - 4.46$.
$BE(2He^3) = 3.27 + 4.46 = 7.73 \ MeV$.

(B) फोटॉन का संवेग $p = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E = 7 \, MeV = 7 \times 10^6 \, eV$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,नाभिक का प्रतिक्षेप संवेग $p_N$ फोटॉन के संवेग $p_{Ph}$ के बराबर होना चाहिए।
$p_N = p_{Ph} = \frac{E}{c}$.
नाभिक की प्रतिक्षेप गतिज ऊर्जा $K = \frac{p_N^2}{2M}$ है।
$p_N = \frac{E}{c}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{E^2}{2Mc^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $M = 24 \, amu$। चूंकि $1 \, amu \approx 931.5 \, MeV/c^2$,इसलिए $Mc^2 = 24 \times 931.5 \, MeV = 22356 \, MeV$ है।
अब,$K = \frac{(7 \, MeV)^2}{2 \times 22356 \, MeV} = \frac{49}{44712} \, MeV$.
$K \approx 0.0010959 \, MeV$.
$1000$ से गुणा करके $keV$ में बदलने पर: $K \approx 1.0959 \, keV \approx 1.1 \, keV$.

(A) नाभिकीय क्षय में मुक्त ऊर्जा प्रणाली की बंधन ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है।
$X$ की प्रारंभिक बंधन ऊर्जा $= 6A \ MeV$ है।
$Y$ की अंतिम बंधन ऊर्जा $= BE_Y$ (जहाँ $BE_Y$ नाभिक $Y$ की कुल बंधन ऊर्जा है)।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो की बंधन ऊर्जा नगण्य होती है, इसलिए उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा $BE_Y$ होगी।
मुक्त ऊर्जा ($Q$-मान) बंधन ऊर्जा के अंतर द्वारा दी जाती है: $Q = BE_{\text{अंतिम}} - BE_{\text{प्रारंभिक}}$।
यहाँ $Q = 3 \ MeV$ दिया गया है, इसलिए:
$3 = BE_Y - 6A$
$BE_Y = 6A + 3$।
अतः, $Y$ की प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $\frac{BE_Y}{A} = \frac{6A + 3}{A}$ होगी।

(C) यदि किसी परमाणु प्रतिक्रिया में उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा से अधिक हो,तो ऊर्जा मुक्त होती है $(\varepsilon > 0)$। यह एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें प्रणाली प्रति न्यूक्लियॉन उच्च बंधन ऊर्जा $(E_b/A)$ वाली स्थिति की ओर बढ़ती है।
$1$. प्रतिक्रिया $(i)$,$A + B \to C$ में,उत्पाद $C$ की $E_b/A$,अभिकारकों $A$ और $B$ से अधिक है। अतः,ऊर्जा मुक्त होती है $(\varepsilon > 0)$।
$2$. प्रतिक्रिया $(iv)$,$F \to D + E$ में,उत्पादों $D$ और $E$ की $E_b/A$,अभिकारक $F$ से अधिक है। अतः,ऊर्जा मुक्त होती है $(\varepsilon > 0)$।
इसलिए,प्रतिक्रिया $(i)$ और $(iv)$ में $\varepsilon$ धनात्मक है।

(C) आइंस्टीन के द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सिद्धांत के अनुसार,$E = mc^2$ है।
यहाँ द्रव्यमान $m = 1\,mg = 1 \times 10^{-6}\,kg$ दिया गया है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8\,m/s$ है।
$E = (1 \times 10^{-6}\,kg) \times (3 \times 10^8\,m/s)^2 = 9 \times 10^{10}\,J$ है।
जूल को $eV$ में बदलने के लिए $1.6 \times 10^{-19}\,J/eV$ से विभाजित करने पर:
$E = \frac{9 \times 10^{10}}{1.6 \times 10^{-19}}\,eV = 5.625 \times 10^{29}\,eV$ प्राप्त होता है।
चूँकि $1\,MeV = 10^6\,eV$ होता है,इसलिए:
$E = \frac{5.625 \times 10^{29}}{10^6}\,MeV = 5.625 \times 10^{23}\,MeV$।

(D) दी गई नाभिकीय अभिक्रिया: $_{1}^{2}H + {}_{1}^{2}H \to {}_{2}^{4}He + Q$ है।
$_{1}^{2}H$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $x_1$ है। चूँकि ड्यूटेरॉन में $2$ न्यूक्लियॉन होते हैं,इसलिए एक ड्यूटेरॉन की कुल बंधन ऊर्जा $2x_1$ है।
$_{2}^{4}He$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा $x_2$ है। चूँकि $\alpha -$ कण में $4$ न्यूक्लियॉन होते हैं,इसलिए एक $\alpha -$ कण की कुल बंधन ऊर्जा $4x_2$ है।
नाभिकीय अभिक्रिया में मुक्त ऊर्जा $(Q)$,उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के अंतर के बराबर होती है।
$Q = (\text{उत्पादों की कुल बंधन ऊर्जा}) - (\text{अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा})$
$Q = (4x_2) - (2x_1 + 2x_1)$
$Q = 4x_2 - 4x_1 = 4(x_2 - x_1)$.

(C) नाभिक की द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ उसके घटक न्यूक्लियॉन के द्रव्यमानों के योग और नाभिक के वास्तविक द्रव्यमान के बीच के अंतर द्वारा दी जाती है: $\Delta m = [ZM_p + (A - Z)M_n] - M(A, Z)$.
बंधन ऊर्जा $BE$ द्रव्यमान क्षति से $BE = \Delta m \cdot c^2$ समीकरण द्वारा संबंधित है,जिसका अर्थ है $\Delta m = BE/c^2$.
इसे द्रव्यमान क्षति समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $BE/c^2 = [ZM_p + (A - Z)M_n] - M(A, Z)$.
नाभिकीय द्रव्यमान $M(A, Z)$ के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $M(A, Z) = [ZM_p + (A - Z)M_n] - BE/c^2$.