Torque , Potential Energy and Work Done in Mangetic Field Questions in Hindi

(A) बड़ी रिंग द्वारा उसके केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ है।
छोटी रिंग के लिए,जिसमें $N$ फेरे,$i$ धारा और $r$ त्रिज्या है,चुंबकीय आघूर्ण $M = N i A = N i (\pi r^2)$ है।
बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = M B \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
चूंकि दोनों रिंगों के तल एक-दूसरे के लंबवत हैं,इसलिए छोटी रिंग का चुंबकीय आघूर्ण (जो इसके तल के लंबवत होता है) बड़ी रिंग द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होगा। अतः,$\theta = 90^{\circ}$ है।
मान रखने पर,$\tau = (N i \pi r^2) \times \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) \times \sin 90^{\circ}$।
चूंकि $\sin 90^{\circ} = 1$,इसलिए टॉर्क $\tau = Ni\pi r^2 \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right)$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिया गया है:
फेरों की संख्या $N = 30$
त्रिज्या $r = 8.0\, cm = 0.08\, m$
धारा $I = 6.0\, A$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.0\, T$
कोण $\theta = 60^o$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.08)^2 = 3.14 \times 0.0064 = 0.020096\, m^2$
मान रखने पर:
$\tau = 30 \times 6.0 \times 0.020096 \times 1.0 \times \sin 60^o$
$\tau = 180 \times 0.020096 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tau = 90 \times 0.020096 \times 1.732$
$\tau \approx 3.133\, Nm$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,प्रति-आघूर्ण का परिमाण $3.1\, Nm$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में चुंबकीय द्विध्रुव (धारावाही कुंडली) की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M}$ (जो क्षेत्रफल सदिश $\hat{n}$ की दिशा में है) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ दाईं ओर निर्देशित है:
स्थिति $I$ में,$\hat{n}$ बाईं ओर है,इसलिए $\theta = 180^\circ$,$U = -MB \cos(180^\circ) = +MB$ (अधिकतम)।
स्थिति $II$ में,$\hat{n}$ नीचे की ओर है,इसलिए $\theta = 90^\circ$,$U = -MB \cos(90^\circ) = 0$।
स्थिति $III$ में,$\hat{n}$ अधिक कोण पर है,इसलिए $\cos \theta$ ऋणात्मक है,जिससे $U$ धनात्मक हो जाता है।
स्थिति $IV$ में,$\hat{n}$ न्यून कोण पर है,इसलिए $\cos \theta$ धनात्मक है,जिससे $U$ ऋणात्मक हो जाता है (न्यूनतम)।
कोणों की तुलना करने पर: $\theta_I = 180^\circ$,$\theta_{III} > 90^\circ$,$\theta_{II} = 90^\circ$,$\theta_{IV} < 90^\circ$।
अतः,स्थितिज ऊर्जा का क्रम $U_I > U_{III} > U_{II} > U_{IV}$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B = 3000\,G = 3000 \times 10^{-4}\,T = 0.3\,T$ धनात्मक $z-$ दिशा में दिया गया है।
$xy-$ तल में रखे गए लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ तल के लंबवत,अर्थात $z-$ अक्ष की दिशा में होता है।
चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = I\vec{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि धारा लूप $xy-$ तल में है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $z-$ अक्ष की दिशा में है।
चुंबकीय क्षेत्र में धारा लूप पर लगने वाला बलाघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ दोनों $z-$ अक्ष की दिशा में हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,बलाघूर्ण का परिमाण $\tau = MB \sin(0^\circ) = 0$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m}$ चुंबकीय आघूर्ण है और $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है।
कुंडली पर टॉर्क शून्य होता है जब चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर होता है।
चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{m}$ हमेशा कुंडली के तल के लंबवत होता है।
$\vec{m}$ को $\vec{B}$ के समानांतर होने के लिए,कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लंबवत होना चाहिए।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $C = NiAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत धारा $i$,चुंबकीय क्षेत्र $B$ और कोण $\theta$ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए बल आघूर्ण फेरों की संख्या $N$ और कुंडली के क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के समानुपाती होता है: $C \propto N \cdot A$.
मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। कुंडली $A$ के लिए $N_A = 1$ फेरा है,इसलिए $L = 2 \pi r_A$,जिसका अर्थ है $r_A = L / (2 \pi)$। क्षेत्रफल $A_A = \pi r_A^2 = \pi (L / 2 \pi)^2 = L^2 / (4 \pi)$।
कुंडली $B$ के लिए $N_B = 2$ फेरे हैं,इसलिए $L = 2 \times (2 \pi r_B)$,जिसका अर्थ है $r_B = L / (4 \pi)$। क्षेत्रफल $A_B = \pi r_B^2 = \pi (L / 4 \pi)^2 = L^2 / (16 \pi)$।
अब,बल आघूर्ण का अनुपात:
$\frac{C_A}{C_B} = \frac{N_A A_A}{N_B A_B} = \frac{1 \times (L^2 / 4 \pi)}{2 \times (L^2 / 16 \pi)} = \frac{1/4}{2/16} = 2$.
अतः,$C_A = 2 C_B$,जिसका अर्थ है कि कुंडली $A$ पर बल आघूर्ण,कुंडली $B$ से अधिक है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,$A$ लूप का क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $\theta$ लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दी गई परिधि (तार की लंबाई $L = 2.0\,m$) के लिए,एक वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल $A$ अधिकतम होता है।
चूंकि टॉर्क $\tau$ क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक है $(\tau \propto A)$,इसलिए टॉर्क उस लूप के लिए अधिकतम होगा जिसका क्षेत्रफल सबसे अधिक है।
दिए गए आकृतियों में,वृत्ताकार लूप $S$ एक निश्चित परिधि के लिए अधिकतम क्षेत्रफल घेरता है।
इसलिए,लूप $S$ पर टॉर्क अधिकतम होगा।

(B) लूप पर लगने वाला चुंबकीय बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए,बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = MB \sin \theta \approx MB \theta$ होता है।
प्रत्यानयन बल आघूर्ण $\tau = -MB \theta$ है।
घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\tau = I_{moment} \alpha$,जहाँ $I_{moment}$ वृत्ताकार लूप का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$I_{moment} = \frac{ma^2}{2}$।
अतः,$\frac{ma^2}{2} \alpha = - (I \pi a^2) B \theta$।
$\alpha = - \frac{2 I \pi B}{m} \theta$।
इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $\alpha = - \omega^2 \theta$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{2 I \pi B}{m}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\omega = \sqrt{\frac{2 I \pi B}{m}}$।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{2 I \pi B}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 m}{2 I \pi B}} = \sqrt{\frac{2 \pi m}{IB}}$।

(N/A) नहीं,क्योंकि इसके लिए टॉर्क $\tau$ को ऊर्ध्वाधर दिशा में होना आवश्यक होगा। चूंकि क्षैतिज लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ ऊर्ध्वाधर दिशा में है,इसलिए टॉर्क $\vec{\tau} = I(\vec{A} \times \vec{B})$ किसी भी एक समान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के लिए हमेशा लूप के क्षैतिज तल में ही रहेगा। अतः,यह ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर नहीं घूम सकता है।
$(b)$ स्थिर संतुलन की स्थिति वह है जहाँ लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर होता है। इस स्थिति में,लूप द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र बाहरी क्षेत्र की दिशा में ही होता है,और दोनों लूप के तल के लंबवत होते हैं। यह संरेखण लूप से गुजरने वाले कुल चुंबकीय फ्लक्स को अधिकतम करता है।
$(c)$ चुंबकीय क्षेत्र में स्थित एक लचीला धारावाही लूप न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा प्राप्त करने के लिए उससे गुजरने वाले चुंबकीय फ्लक्स को अधिकतम करने की प्रवृत्ति रखता है। एक निश्चित परिधि के लिए,वृत्ताकार आकार सबसे अधिक क्षेत्रफल घेरता है। इसलिए,कुल फ्लक्स को अधिकतम करने के लिए लूप अपने तल को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखकर वृत्ताकार आकार धारण कर लेता है।

(B) वर्गाकार कुंडली की भुजा की लंबाई $l = 10 \; cm = 0.1 \; m$ है।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = l^2 = (0.1 \; m)^2 = 0.01 \; m^2$ है।
फेरों की संख्या $n = 20$ है और धारा $I = 12 \; A$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $B = 0.80 \; T$ है।
कुंडली के तल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
कुंडली द्वारा अनुभव किए गए चुंबकीय टॉर्क $\tau$ का परिमाण सूत्र $\tau = n I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tau = 20 \times 12 \times 0.01 \times 0.80 \times \sin 30^{\circ}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $\tau = 20 \times 12 \times 0.01 \times 0.80 \times 0.5$.
$\tau = 0.96 \; N \; m$.

(A) कुंडली में फेरों की संख्या,$n=30$.
कुंडली की त्रिज्या,$r=8.0 \; cm = 0.08 \; m$.
कुंडली का क्षेत्रफल,$A = \pi r^2 = \pi(0.08)^2 \approx 0.0201 \; m^2$.
कुंडली में प्रवाहित धारा,$I=6.0 \; A$.
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 1.0 \; T$.
क्षेत्र रेखाओं और कुंडली की सतह के अभिलंब के बीच का कोण,$\theta = 60^{\circ}$.
कुंडली चुंबकीय क्षेत्र में एक टॉर्क का अनुभव करती है,इसलिए वह घूमती है। कुंडली को घूमने से रोकने के लिए लगाया जाने वाला प्रति-आघूर्ण $\tau = n I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$\tau = 30 \times 6.0 \times 0.0201 \times 1.0 \times \sin 60^{\circ}$.
$\tau = 30 \times 6.0 \times 0.0201 \times 1.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3.133 \; Nm$.
$(b)$ चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m} = n I \vec{A}$ है। चूंकि टॉर्क का परिमाण केवल क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर करता है,न कि कुंडली के विशिष्ट आकार पर,इसलिए यदि वृत्ताकार कुंडली को समान क्षेत्रफल वाली किसी अनियमित आकार की कुंडली से बदल दिया जाए,तो उत्तर नहीं बदलेगा।

(E) चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 3000 \; G = 0.3 \; T$.
आयताकार लूप की लंबाई,$l = 0.1 \; m$.
आयताकार लूप की चौड़ाई,$b = 0.05 \; m$.
लूप का क्षेत्रफल,$A = 50 \times 10^{-4} \; m^2$.
लूप में धारा,$I = 12 \; A$.
चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m} = I \vec{A}$ है। टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ है।
एक समान चुंबकीय क्षेत्र में,धारा लूप पर कुल बल हमेशा शून्य होता है।
$(a)$ $\vec{A}$,$x-$अक्ष की दिशा में है। $\vec{\tau} = -1.8 \times 10^{-2} \hat{j} \; Nm$.
$(b)$ $(a)$ के समान,$\vec{\tau} = -1.8 \times 10^{-2} \hat{j} \; Nm$.
$(c)$ $\vec{A}$,$y-$अक्ष की दिशा में है। $\vec{\tau} = 1.8 \times 10^{-2} \hat{i} \; Nm$.
$(d)$ $\vec{m}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। $|\vec{\tau}| \approx 1.56 \times 10^{-2} \; Nm$.
$(e)$ $\vec{m}$,$z-$अक्ष की दिशा में है। $\vec{\tau} = 0$। यह स्थिर संतुलन है क्योंकि $\vec{m} \parallel \vec{B}$ है।
$(f)$ $\vec{m}$,$-z-$अक्ष की दिशा में है। $\vec{\tau} = 0$। यह अस्थिर संतुलन है क्योंकि $\vec{m}$,$\vec{B}$ के विपरीत दिशा में है।

(A) दिया गया है:
फेरों की संख्या,$n = 20$
त्रिज्या,$r = 10 \; cm = 0.1 \; m$
चुंबकीय क्षेत्र,$B = 0.10 \; T$
धारा,$I = 5.0 \; A$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 10^{-5} \; m^2$
इलेक्ट्रॉन घनत्व,$n_e = 10^{29} \; m^{-3}$
इलेक्ट्रॉन का आवेश,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$
$(a)$ धारा लूप पर टॉर्क $\tau = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है। अतः,$\tau = N I A B \sin(0^\circ) = 0$.
$(b)$ एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में एक बंद धारा लूप पर कुल बल हमेशा शून्य होता है,क्योंकि विपरीत खंडों पर लगने वाले बल एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$(c)$ इलेक्ट्रॉन पर चुंबकीय बल $F = B e v_d$ है,जहाँ $v_d$ अनुगमन वेग (drift velocity) है। अनुगमन वेग $v_d = \frac{I}{n_e e A}$ द्वारा दिया जाता है। इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = B e \left( \frac{I}{n_e e A} \right) = \frac{B I}{n_e A}$
$F = \frac{0.10 \times 5.0}{10^{29} \times 10^{-5}} = \frac{0.5}{10^{24}} = 5 \times 10^{-25} \; N$.
अतः,प्रत्येक इलेक्ट्रॉन पर औसत बल $5 \times 10^{-25} \; N$ है।

(A) परिनालिका का चुंबकीय आघूर्ण $M$,$M = N I A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
$M = 800 \times 3.0 \times 2.5 \times 10^{-4} = 0.6 \;A \cdot m^{2}$।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau$,$\tau = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश (परिनालिका की अक्ष) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ और $B = 0.25 \;T$ दिया गया है।
$\tau = 0.6 \times 0.25 \times \sin 30^{\circ}$।
$\tau = 0.6 \times 0.25 \times 0.5 = 0.075 \;N \cdot m$।
$\tau = 7.5 \times 10^{-2} \;N \cdot m$।

(A) परिनालिका में फेरों की संख्या,$n = 2000$.
परिनालिका का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 1.6 \times 10^{-4} \;m^{2}$.
परिनालिका में प्रवाहित धारा,$I = 4.0 \;A$.
$(a)$ परिनालिका से संबद्ध चुंबकीय आघूर्ण $M$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $M = nIA$.
मान रखने पर: $M = 2000 \times 4.0 \times 1.6 \times 10^{-4} = 1.28 \;A \cdot m^{2}$.
$(b)$ चुंबकीय क्षेत्र,$B = 7.5 \times 10^{-2} \;T$.
चुंबकीय क्षेत्र और परिनालिका की अक्ष के बीच का कोण,$\theta = 30^{\circ}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है,इसलिए परिनालिका पर लगने वाला कुल बल शून्य है।
परिनालिका पर लगने वाला बल-आघूर्ण $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tau = 1.28 \times 7.5 \times 10^{-2} \times \sin 30^{\circ} = 1.28 \times 7.5 \times 10^{-2} \times 0.5 = 4.8 \times 10^{-2} \;N \cdot m$.

(D) वृत्ताकार कुंडली में फेरों की संख्या,$N = 16$.
कुंडली की त्रिज्या,$r = 10 \;cm = 0.1 \;m$.
कुंडली का क्षेत्रफल,$A = \pi r^2 = \pi \times (0.1)^2 = 0.01\pi \;m^2$.
कुंडली में धारा,$I = 0.75 \;A$.
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता,$B = 5.0 \times 10^{-2} \;T$.
दोलनों की आवृत्ति,$\nu = 2.0 \;s^{-1}$.
चुंबकीय आघूर्ण,$M = N I A = 16 \times 0.75 \times 0.01\pi = 0.12\pi \;A \;m^2 \approx 0.377 \;J \;T^{-1}$.
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव के दोलन की आवृत्ति का सूत्र $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I_{rot}}}$ है,जहाँ $I_{rot}$ जड़त्व आघूर्ण है।
$I_{rot}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $I_{rot} = \frac{MB}{4\pi^2 \nu^2}$.
मान रखने पर: $I_{rot} = \frac{0.377 \times 5.0 \times 10^{-2}}{4 \times \pi^2 \times (2.0)^2}$.
$I_{rot} = \frac{0.01885}{157.91} \approx 1.19 \times 10^{-4} \;kg \;m^2$.

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,समतल $ABCD$ चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में नहीं है,बल्कि उसके साथ एक कोण बनाता है।
हम कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच के कोण को $\theta$ मानते हैं।
भुजाओं $BC$ और $DA$ पर लगने वाले बल समान,विपरीत और कुंडली की अक्ष के अनुदिश कार्य करते हैं,जो $BC$ और $DA$ के द्रव्यमान केंद्रों को जोड़ती है। अक्ष के अनुदिश संरेखीय होने के कारण,वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप कोई नेट बल या टॉर्क नहीं लगता है।
भुजाओं $AB$ और $CD$ पर लगने वाले बल क्रमशः $\overrightarrow{F}_{1}$ और $\overrightarrow{F}_{2}$ हैं।
वे भी समान और विपरीत हैं,जिनका परिमाण $F_{1} = F_{2} = I b B$ है।
चित्र में $AD$ की ओर से व्यवस्था का दृश्य दिखाया गया है,जो यह दर्शाता है कि ये दो बल एक बल-युग्म (couple) बनाते हैं। लूप पर लगने वाले टॉर्क का परिमाण है,
$\tau = \tau_{1} + \tau_{2}$
$\tau = F_{1} \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right) + F_{2} \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right)$
$[\because \tau = (\text{बल का परिमाण}) \times (\text{संदर्भ बिंदुओं से लंबवत दूरी})]$
$\tau = (I b B) \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right) + (I b B) \left( \frac{a}{2} \sin \theta \right)$
$\tau = I (a b) B \sin \theta$
$\tau = I A B \sin \theta$

(N/A) जब $A$ क्षेत्रफल और $I$ धारा वाले एक धारावाही लूप को एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखा जाता है,तो यह एक टॉर्क $\tau$ का अनुभव करता है। टॉर्क के लिए व्यंजक इस प्रकार है:
$\tau = \vec{m} \times \vec{B}$
जहाँ:
- $\vec{m}$ लूप का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,जिसे $\vec{m} = I\vec{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
- $\vec{B}$ बाहरी एकसमान चुंबकीय क्षेत्र है।
- टॉर्क का परिमाण $\tau = mB \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (लूप के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।

(N/A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में रखे गए धारावाही लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau}$,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{m}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
गणितीय रूप से,$\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$।
यदि $\theta$,चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\vec{m}$ (जो लूप के तल के लंबवत होता है) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है,तो टॉर्क का परिमाण $\tau = mB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
यदि $\theta$ को लूप के तल और चुंबकीय क्षेत्र के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है,तो टॉर्क $\tau = mB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में विद्युत द्विध्रुव $\vec{p}$ पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau}_e = \vec{p} \times \vec{E}$ है,जिसका परिमाण $\tau_e = pE \sin \theta$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में चुंबकीय द्विध्रुव $\vec{M}$ पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau}_m = \vec{M} \times \vec{B}$ है,जिसका परिमाण $\tau_m = MB \sin \theta$ है।
यदि गतियां समान हैं,तो समान कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए टॉर्क समान होना चाहिए,अर्थात $\tau_e = \tau_m$।
अतः,$pE \sin \theta = MB \sin \theta$,जो सरल होकर $pE = MB$ हो जाता है।
विद्युतचुंबकीय तरंगों में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के बीच संबंध $E = cB$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
$E = cB$ को समीकरण $pE = MB$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p(cB) = MB$ प्राप्त होता है।
अतः,समान गति के लिए शर्त $p = \frac{M}{c}$ है और क्षेत्रों के बीच संबंध $E = cB$ होना चाहिए।

(N/A) माना मोटे तार का प्रतिरोध $R$ है और पतले तार का प्रतिरोध $2R$ है। दोनों तार वोल्टेज स्रोत $V_{0}$ के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं।
मोटे तार में धारा $I_{1} = \frac{V_{0}}{R}$ है और पतले तार में धारा $I_{2} = \frac{V_{0}}{2R}$ है।
प्रत्येक तार पर चुंबकीय बल $\vec{F} = I(\vec{l} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि तार लूप के तल में चुंबकीय क्षेत्र के घटक के लंबवत हैं,इसलिए बल का परिमाण $F = IlB \sin(90^{\circ}) = IlB$ है।
दोनों तारों पर बल $F_{1} = I_{1}lB = \frac{V_{0}lB}{R}$ और $F_{2} = I_{2}lB = \frac{V_{0}lB}{2R}$ हैं।
घूर्णन की अक्ष $d$ लंबाई की छड़ों के केंद्रों से गुजरती है। इस अक्ष से प्रत्येक तार की लंबवत दूरी $r_{\perp} = \frac{d}{2} \cos(45^{\circ}) = \frac{d}{2\sqrt{2}}$ है।
प्रत्येक बल द्वारा लगाया गया टॉर्क $\tau = F \cdot r_{\perp}$ है। दोनों बल अक्ष के परितः एक ही दिशा में टॉर्क उत्पन्न करते हैं।
$\tau_{net} = F_{1} \left( \frac{d}{2\sqrt{2}} \right) + F_{2} \left( \frac{d}{2\sqrt{2}} \right) = (F_{1} + F_{2}) \frac{d}{2\sqrt{2}}$.
मान रखने पर: $\tau_{net} = \left( \frac{V_{0}lB}{R} + \frac{V_{0}lB}{2R} \right) \frac{d}{2\sqrt{2}} = \left( \frac{3V_{0}lB}{2R} \right) \frac{d}{2\sqrt{2}} = \frac{3V_{0}ldB}{4\sqrt{2}R}$.

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = N I A B \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर रखा जाता है,इसलिए कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है,अतः $\sin(90^{\circ}) = 1$ होगा।
दिया गया है: $N = 500$,$A = 3 \times 10^{-4} \ m^{2}$,$I = 0.5 \ A$,और $\tau = 1.5 \ Nm$.
सूत्र में मान रखने पर: $1.5 = 500 \times 0.5 \times (3 \times 10^{-4}) \times B$.
$1.5 = 250 \times 3 \times 10^{-4} \times B$.
$1.5 = 750 \times 10^{-4} \times B$.
$1.5 = 0.075 \times B$.
$B = \frac{1.5}{0.075} = \frac{1500}{75} = 20 \ T$.

(D) दिया गया है: जड़त्व आघूर्ण $I = 0.8 \, kg \cdot m^2$,चुंबकीय आघूर्ण $M = 20 \, A \cdot m^2$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 4 \, T$.
प्रारंभ में,कुंडली ऊर्ध्वाधर स्थिति में है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश (कुंडली के तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र (ऊर्ध्वाधर) के बीच का कोण $\theta_i = 90^{\circ}$ है।
$60^{\circ}$ घूमने के बाद,नया कोण $\theta_f = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $U_i + K_i = U_f + K_f$.
स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$.
$K_i = 0$ (विराम अवस्था से शुरू होती है)।
$U_i = -MB \cos 90^{\circ} = 0$.
$U_f = -MB \cos 30^{\circ} = -20 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -40\sqrt{3} \, J$.
$K_f = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} (0.8) \omega^2 = 0.4 \omega^2$.
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $0 + 0 = -40\sqrt{3} + 0.4 \omega^2$.
$0.4 \omega^2 = 40\sqrt{3} \implies \omega^2 = 100\sqrt{3}$.
$\omega = 10(3)^{1/4} \, rad \cdot s^{-1}$.

(A) लंबे तार द्वारा लूप के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi b}$ है।
वर्गाकार लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times \text{Area} = I \times (2a)^2 = 4a^2 I$ है।
लूप पर लगने वाला टॉर्क $\tau = M \times B \times \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि चुंबकीय आघूर्ण सदिश $y$-अक्ष के अनुदिश है और चुंबकीय क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
अतः,$\tau = (4a^2 I) \times (\frac{\mu_{0} I}{2 \pi b}) \times \sin(90^{\circ}) = \frac{2 \mu_{0} I^{2} a^{2}}{\pi b}$.

(A) लंबे तार द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$ द्वारा दिया जाता है।
लूप की $z$-अक्ष के समानांतर दो भुजाओं के लिए,तार से दूरी $r = \sqrt{b^2 + a^2}$ है।
इनमें से प्रत्येक भुजा पर लगने वाला बल $F = B I (2a) = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi \sqrt{b^2 + a^2}} \cdot I \cdot 2a = \frac{\mu_{0} I^2 a}{\pi \sqrt{b^2 + a^2}}$ है।
$z$-अक्ष के परितः टॉर्क $\tau$ इन बलों के लंबवत घटकों द्वारा उत्पन्न होता है। लीवर आर्म के लंबवत बल का घटक $F \cos \theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{b}{\sqrt{b^2 + a^2}}$ है।
कुल टॉर्क $\tau = 2 \cdot (F \cos \theta) \cdot a = 2 \cdot \left( \frac{\mu_{0} I^2 a}{\pi \sqrt{b^2 + a^2}} \right) \cdot \left( \frac{b}{\sqrt{b^2 + a^2}} \right) \cdot a$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $\tau = \frac{2 \mu_{0} I^2 a^2 b}{\pi (a^2 + b^2)}$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
कुंडली $y-z$ तल में है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में है। हालाँकि,प्रश्न में कहा गया है कि कुंडली $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। इसका अर्थ है कि कुंडली के अभिलंब (क्षेत्रफल सदिश) और चुंबकीय क्षेत्र (जो $x$-अक्ष की दिशा में है) के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
दिए गए मान: $N=100$,$I=1 \text{ A}$,$R=2 \text{ m}$,$B=\frac{1}{\pi} \text{ T}$.
क्षेत्रफल $A = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \text{ m}^2$.
टॉर्क के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\tau = N I A B \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 1 \times (4\pi) \times \frac{1}{\pi} \times \sin 30^{\circ}$
$\tau = 100 \times 4 \times \frac{1}{2}$
$\tau = 200 \text{ N} \cdot \text{m}$.

(A) $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (0.1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0.01 \, m^2$ है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = 0.2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 0.01 = 0.05 \times \sqrt{3} \times 0.01 = 5 \sqrt{3} \times 10^{-4} \, Am^2$ है।
कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = M B \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है। जब कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होता है,तो कुंडली का अभिलंब चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^{\circ}$ है।
अतः,$\tau = M B \sin 90^{\circ} = M B = (5 \sqrt{3} \times 10^{-4}) \times (20 \times 10^{-3} \, T) = 100 \sqrt{3} \times 10^{-7} = \sqrt{3} \times 10^{-5} \, Nm$ है।
इसकी तुलना $\sqrt{x} \times 10^{-5} \, Nm$ से करने पर,हमें $\sqrt{x} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x = 3$ है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau$ का सूत्र $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ है,जहाँ $\vec{M}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चुंबकीय आघूर्ण का परिमाण $M = i A$ है,जहाँ $A = l^2$ वर्गाकार लूप का क्षेत्रफल है। अतः,$M = i l^2$ है।
क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (जो लूप के तल के लंबवत होता है) और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta = 90^\circ - \alpha$ है,जहाँ $\alpha$ लूप के तल और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = M B \sin \theta$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\tau = (i l^2) B \sin(90^\circ - \alpha)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$ होता है,इसलिए बल आघूर्ण $\tau = B i l^2 \cos \alpha$ होगा।

(B) $Y-Z$ तल में स्थित लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,जब ऋणात्मक $X$-अक्ष से देखने पर धारा वामावर्त दिशा में हो,तो यह ऋणात्मक $X$-दिशा में होता है: $\vec{A} = (0.2 \ m \times 0.1 \ m)(-\hat{i}) = 0.02(-\hat{i}) \ m^2$.
चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = i\vec{A} = 5 \ A \times 0.02(-\hat{i}) \ m^2 = 0.1(-\hat{i}) \ A-m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 2 \times 10^{-3} \hat{j} \ T$ है।
टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{\tau} = [0.1(-\hat{i})] \times [2 \times 10^{-3} \hat{j}] = 0.1 \times 2 \times 10^{-3} \times (-\hat{i} \times \hat{j}) = 2 \times 10^{-4} \times (-\hat{k}) \ N-m$.
अतः,टॉर्क का परिमाण $2 \times 10^{-4} \ N-m$ है और इसकी दिशा ऋणात्मक $Z$-दिशा में है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है:
$W = U_f - U_i$
स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$
प्रारंभिक स्थिति: $\vec{M}$,$\vec{B}$ की दिशा में है,इसलिए $\theta_i = 0^{\circ}$।
$U_i = -MB \cos 0^{\circ} = -MB$
अंतिम स्थिति: $\vec{M}$,$\vec{B}$ के लंबवत है,इसलिए $\theta_f = 90^{\circ}$।
$U_f = -MB \cos 90^{\circ} = 0$
किया गया कार्य $W = 0 - (-MB) = MB$
दिया गया है: $N = 200$,$I = 100 \mu\text{A} = 100 \times 10^{-6} \text{ A}$,$A = 2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,$B = 1 \text{ T}$।
चुंबकीय आघूर्ण $M = NIA = 200 \times (100 \times 10^{-6}) \times (2.5 \times 10^{-4}) = 5 \times 10^{-6} \text{ A m}^2$।
कार्य $W = MB = (5 \times 10^{-6}) \times 1 = 5 \times 10^{-6} \text{ J} = 5 \mu\text{J}$।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W = U_f - U_i = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}_f - (-\vec{\mu} \cdot \vec{B}_i)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में, कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$, $\vec{B}$ के समानांतर है। अतः, कोण $\theta_i = 0^{\circ}$ है।
$90^{\circ}$ घुमाने के बाद, कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर हो जाता है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$, $\vec{B}$ के लंबवत है। अतः, $\theta_f = 90^{\circ}$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $\mu = N I A = 100 \times 1 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4} \, A \cdot m^2$ है।
किया गया कार्य $W = -\mu B \cos(90^{\circ}) - (-\mu B \cos(0^{\circ})) = 0 + \mu B = \mu B$ है।
$W = (5 \times 10^{-4}) \times 0.20 = 1 \times 10^{-4} \, J$ है।
चूंकि $1 \, J = 10^6 \, \mu J$, इसलिए $W = 10^{-4} \times 10^6 \, \mu J = 100 \, \mu J$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau$,$\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{M}$ कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण है।
टॉर्क का परिमाण $\tau = M B_0 \sin(\theta)$ है। चूंकि कुंडली का तल ऊर्ध्वाधर है और चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ क्षैतिज है और कुंडली के तल के समानांतर है,इसलिए क्षेत्रफल सदिश (तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है। अतः,$\sin(90^\circ) = 1$ है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = N i A = N i (\pi R^2)$ है।
इसलिए,टॉर्क $\tau = N i \pi R^2 B_0$ है।
कोणीय आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,कोणीय संवेग $L$ में परिवर्तन $\Delta L = \int \tau dt$ द्वारा दिया जाता है।
टॉर्क के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta L = \int (N i \pi R^2 B_0) dt = N \pi R^2 B_0 \int i dt$।
चूंकि कुंडली के माध्यम से डिस्चार्ज हुआ कुल आवेश $Q = \int i dt$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$L = N \pi R^2 B_0 Q$।

(A) मान लीजिए कि लूप ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
साम्यावस्था में,$PQ$ अक्ष के परितः कुल टॉर्क शून्य है।
चुंबकीय टॉर्क $\tau_m = M B_0 \sin(90^\circ - \theta) = M B_0 \cos \theta$ है,जहाँ $M = I A = I (\pi r^2)$ चुंबकीय आघूर्ण है।
अतः,$\tau_m = I \pi r^2 B_0 \cos \theta$.
गुरुत्वीय टॉर्क $\tau_g = mg \cdot r \sin \theta$ है,जहाँ $r \sin \theta$ अक्ष $PQ$ से द्रव्यमान केंद्र की क्षैतिज दूरी है।
साम्यावस्था के लिए,$\tau_m = \tau_g$.
$I \pi r^2 B_0 \cos \theta = mg r \sin \theta$.
दोनों पक्षों को $mg r \cos \theta$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{\pi r I B_0}{mg}$ प्राप्त होता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारा लूप पर लगने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m}$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है। संतुलन तब होता है जब $\vec{\tau} = 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $\vec{m}$,$\vec{B}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है।
स्थिर संतुलन तब होता है जब स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{m} \cdot \vec{B}$ न्यूनतम होती है,जो तब होती है जब $\vec{m}$,$\vec{B}$ के समानांतर हो (अर्थात कोण $\theta = 0^{\circ}$)।
मामले $(e)$ में,धारा इस प्रकार बहती है कि क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ (और इस प्रकार $\vec{m}$) धनात्मक $z-$दिशा में,$\vec{B}$ के समानांतर इंगित करता है। यह स्थिर संतुलन की स्थिति है।
मामले $(f)$ में,धारा इस प्रकार बहती है कि $\vec{m}$ ऋणात्मक $z-$दिशा में,$\vec{B}$ के प्रति-समानांतर इंगित करता है। यह अस्थिर संतुलन की स्थिति है।
इसलिए,केवल मामला $(e)$ स्थिर संतुलन के अनुरूप है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,चुंबकीय आघूर्ण $\vec{M} = N I A \hat{n}$ है,जहाँ $A = \pi R^2$ है।
चूंकि कुंडली $z-x$ तल में है,इसका क्षेत्रफल सदिश $\hat{n}$,$y$-अक्ष की दिशा में है,इसलिए $\vec{M} = N I (\pi R^2) \hat{j}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = B \hat{k}$ है।
इसलिए,$\vec{\tau} = (N I \pi R^2 \hat{j}) \times (B \hat{k})$।
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों का उपयोग करते हुए $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,हमें $\vec{\tau} = N I \pi R^2 B \hat{i}$ प्राप्त होता है।
अतः,बल आघूर्ण का परिमाण $N I \pi R^2 B$ है।

(A) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। वर्गाकार लूप के लिए, परिधि $4a = L$ है, इसलिए भुजा की लंबाई $a = L/4$ है। क्षेत्रफल $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$ है।
वृत्ताकार लूप के लिए, परिधि $2\pi r = L$ है, इसलिए त्रिज्या $r = L/(2\pi)$ है। क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$ है।
चूंकि $\pi \approx 3.14$ है, इसलिए $4\pi \approx 12.56$ है, जो $16$ से कम है। अतः, $A_c > A_s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $N$, $I$, $B$ और $\theta$ दोनों लूप के लिए समान हैं, इसलिए टॉर्क सीधे क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होता है।
चूंकि $A_c > A_s$ है, इसलिए वृत्ताकार लूप द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क अधिक होगा।

(A) तार की लंबाई $L$ वृत्ताकार कुंडली की परिधि बनाती है,इसलिए $L = 2 \pi r$,जहाँ $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
अतः,$r = \frac{L}{2 \pi}$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi}$ है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I \left( \frac{L^2}{4 \pi} \right)$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में धारावाही कुंडली पर लगने वाला अधिकतम टॉर्क $\tau = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$ होता है।
इसलिए,$\tau_{max} = M B = \left( \frac{I L^2}{4 \pi} \right) B = \frac{L^2 IB}{4 \pi}$।

(D) माना प्रत्येक तार की लंबाई $L$ है।
वर्गाकार लूप के लिए, परिधि $4a = L$, इसलिए $a = L/4$। क्षेत्रफल $A_s = a^2 = (L/4)^2 = L^2/16$।
वृत्ताकार लूप के लिए, परिधि $2\pi r = L$, इसलिए $r = L/(2\pi)$। क्षेत्रफल $A_c = \pi r^2 = \pi (L/(2\pi))^2 = L^2/(4\pi)$।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $N$, $I$, $B$ और $\theta$ दोनों लूप के लिए समान हैं, इसलिए टॉर्क सीधे क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती है।
चूंकि $A_c > A_s$, इसलिए वृत्ताकार लूप द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क वर्गाकार लूप की तुलना में अधिक है।

(A) तार की लंबाई $L$ है। जब इसे एक एकल मोड़ वाली वर्गाकार कुंडली में बदला जाता है,तो वर्ग का परिमाप $L$ होता है।
मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। तब $4a = L$,जिसका अर्थ है $a = \frac{L}{4}$।
वर्गाकार कुंडली का क्षेत्रफल $A = a^2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$।
चूंकि $N = 1$ दिया गया है,अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = IAB = I \times (\frac{L^2}{16}) \times B = \frac{IBL^2}{16}$ होगा।

(C) एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I_s$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $n = \frac{N_s}{L}$ है।
दिया गया है: $N_s = 500$, $L = 0.4 \ m$, $I_s = 3 \ A$.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times (500 / 0.4) \times 3 = 4\pi \times 10^{-7} \times 1250 \times 3 = 15000\pi \times 10^{-7} = 1.5\pi \times 10^{-3} \ T$.
चुंबकीय क्षेत्र में कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = N_c I_c A B \sin \theta$ होता है।
दिया गया है: $N_c = 10$, $I_c = 0.4 \ A$, $r = 0.1 \ m$, $\theta = 90^{\circ}$।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01\pi \ m^2$.
$\tau = 10 \times 0.4 \times (0.01\pi) \times (1.5\pi \times 10^{-3}) \times \sin 90^{\circ}$.
$\tau = 4 \times 0.01 \times 1.5 \times \pi^2 \times 10^{-3} \times 1$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$\tau = 0.06 \times 10 \times 10^{-3} = 0.6 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-4} \ Nm$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही लूप पर लगने वाला टॉर्क $\tau = N i A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,$A$ क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है और $\theta$ लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
$L$ लंबाई के तार से $N$ फेरों और $r$ त्रिज्या वाली वृत्ताकार कुंडली बनाने पर,परिधि $L = N(2 \pi r)$ होती है,इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi N}$।
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{L}{2 \pi N} \right)^2 = \frac{L^2}{4 \pi N^2}$ है।
टॉर्क समीकरण में $A$ का मान रखने पर: $\tau = N i \left( \frac{L^2}{4 \pi N^2} \right) B \sin \theta = \frac{i L^2 B \sin \theta}{4 \pi N}$।
टॉर्क को अधिकतम करने के लिए,हम $\sin \theta = 1$ लेते हैं और फेरों की न्यूनतम संख्या $N = 1$ चुनते हैं।
अतः,अधिकतम टॉर्क $\tau_{\max} = \frac{i L^2 B}{4 \pi}$ होगा।

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही लूप पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\tau = N i A B \sin \theta$.
यहाँ,$N$ फेरों की संख्या है,$i$ धारा है,$A$ लूप का क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,और $\theta$ लूप के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि बल आघूर्ण $N, i, A, B,$ और $\theta$ पर निर्भर करता है।
यह लूप के आकार पर निर्भर नहीं करता है,जब तक कि क्षेत्रफल $A$ स्थिर रहता है।

(A) तार की लंबाई $L$ है। जब इसे $n$ फेरों वाली एक वृत्ताकार कुंडली में मोड़ा जाता है,तो एक फेरे की परिधि $2\pi r = L/n$ होती है,जहाँ $r$ कुंडली की त्रिज्या है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{L}{2\pi n}$ है।
एक फेरे का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi n}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4\pi^2 n^2} = \frac{L^2}{4\pi n^2}$ है।
$n$ फेरों वाली कुंडली का कुल चुंबकीय आघूर्ण $M = nIA = nI \left(\frac{L^2}{4\pi n^2}\right) = \frac{IL^2}{4\pi n}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में कुंडली पर कार्य करने वाला अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = MB$ द्वारा दिया जाता है।
$M$ का मान रखने पर,हमें $\tau_{max} = \left(\frac{IL^2}{4\pi n}\right)B = \frac{BIL^2}{4\pi n}$ प्राप्त होता है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -mB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में, कुंडली का अक्ष क्षेत्र की दिशा में है, इसलिए $\theta_i = 0^{\circ}$।
$U_i = -mB \cos 0^{\circ} = -mB$।
$90^{\circ}$ के कोण से घूमने के बाद, अंतिम कोण $\theta_f = 90^{\circ}$ है।
$U_f = -mB \cos 90^{\circ} = 0$।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = 0 - (-mB) = mB$ है।
स्थितिज ऊर्जा में यह परिवर्तन घूर्णी गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है: $\Delta U = K_f - K_i$।
चूंकि कुंडली स्थिर अवस्था से शुरू होती है, $K_i = 0$, इसलिए $mB = \frac{1}{2} I \omega^2$।
$\omega$ के लिए सूत्र: $\omega = \sqrt{\frac{2mB}{I}}$।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 10 \text{ A m}^2$, $B = 2 \text{ T}$, $I = 0.1 \text{ kg m}^2$।
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10 \times 2}{0.1}} = \sqrt{\frac{40}{0.1}} = \sqrt{400} = 20 \text{ rad/s}$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 0.3 \hat{k} \text{ T}$ द्वारा दिया गया है।
$xy$-तल में रखे गए लूप का क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$ तल के लंबवत होता है,इसलिए $\vec{A} = (10 \times 10^{-2} \text{ m} \times 5 \times 10^{-2} \text{ m}) \hat{k} = 50 \times 10^{-4} \hat{k} \text{ m}^2 = 5 \times 10^{-3} \hat{k} \text{ m}^2$ है।
चुंबकीय आघूर्ण $\vec{m} = I \vec{A} = 12 \times 5 \times 10^{-3} \hat{k} = 60 \times 10^{-3} \hat{k} = 0.06 \hat{k} \text{ A m}^2$ है।
लूप पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\vec{\tau} = (0.06 \hat{k}) \times (0.3 \hat{k})$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी सदिश का स्वयं के साथ क्रॉस प्रोडक्ट शून्य होता है $(\hat{k} \times \hat{k} = 0)$,इसलिए टॉर्क $\vec{\tau} = 0$ है।

(B) कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = N I A$ है।
दिया गया है: $N = 10$, $I = \frac{21}{44} \,A$, $A = 1 \,mm^{2} = 10^{-6} \,m^{2}$.
$M = 10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6} \,A-m^{2}$.
सोलेनोइड के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_{0} n I_{s}$ है।
दिया गया है: $n = 10^{3} \,turns/m$, $I_{s} = 2.5 \,A$, $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \,T-m/A$.
$B = (4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7}) \times 10^{3} \times 2.5 \,T$.
कुंडली को चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत रखने के लिए आवश्यक टॉर्क $\tau = M B \sin(90^{\circ}) = M B$ है।
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7} \times 10^{3} \times 2.5)$.
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (4 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 10^{-4})$.
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (22 \times 10^{-4}) = 1.5 \times 10^{-8} \,N-m$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का मान $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
जब लूप को उसके तल के लंबवत अक्ष के परितः घुमाया जाता है,तो चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{M}$ (जो हमेशा लूप के तल के लंबवत होता है) की दिशा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के सापेक्ष अपरिवर्तित रहती है।
चूंकि $\vec{M}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ नहीं बदलता है,इसलिए लूप की स्थितिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
अतः,किया गया कार्य $W = \Delta U = 0$ है।

(A) $1$. लूप की परिधि $L = 2 \pi r$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{L}{2 \pi}$ है।
$2$. लूप $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है,जिससे तुल्य धारा $I = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ उत्पन्न होती है।
$3$. लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I A = I (\pi r^2) = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) \pi \left( \frac{L}{2 \pi} \right)^2 = \frac{q \omega L^2}{8 \pi^2}$ है।
$4$. चुंबकीय टॉर्क $\tau = |\vec{M} \times \vec{B}| = M B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ लूप के तल के समानांतर है,चुंबकीय आघूर्ण सदिश (तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
$5$. अतः,$\tau = M B \sin 90^\circ = M B = \frac{q \omega L^2 B}{8 \pi^2}$।

(B) तार की लंबाई $L = 10 \ m$ है। जब इसे $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार लूप में मोड़ा जाता है,तो परिधि $2 \pi r = L = 10 \ m$ होती है।
अतः,$r = \frac{10}{2 \pi} \ m$।
लूप का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{10}{2 \pi} \right)^2 = \pi \left( \frac{100}{4 \pi^2} \right) = \frac{25}{\pi} \ m^2$ है।
लूप का चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A = 1 \times \frac{25}{\pi} = \frac{25}{\pi} \ A \ m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लूप पर कार्य करने वाला अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = M \times B$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tau_{max} = \left( \frac{25}{\pi} \right) \times (2 \pi \times 10^{-4}) = 50 \times 10^{-4} \ N \ m$ प्राप्त होता है।