Torque , Potential Energy and Work Done in Mangetic Field Questions in Hindi

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली द्वारा अनुभव किया गया टॉर्क $\tau = MB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ चुंबकीय क्षेत्र और कुंडली के तल के अभिलंब के बीच का कोण है।
अधिकतम टॉर्क $\tau_{\max} = MB$ (जब $\theta = 90^{\circ}$)।
दिया गया है कि $\tau = 80 \%$ of $\tau_{\max} = 0.8 \tau_{\max} = \frac{4}{5} MB$।
दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $MB \sin \theta = \frac{4}{5} MB$।
यह $\sin \theta = \frac{4}{5}$ में सरल हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \theta = \frac{4/5}{\sqrt{1 - (4/5)^2}} = \frac{4/5}{\sqrt{9/25}} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = N i A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिया गया है:
$N = 30$
$r = 8 \,cm = 0.08 \,m$
$i = 6 \,A$
$B = 1.0 \,T$
$\theta = 20^{\circ}$
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.08)^2 = 0.020096 \,m^2$
टॉर्क की गणना:
$\tau = 30 \times 6 \times 0.020096 \times 1.0 \times \sin(20^{\circ})$
$\tau = 180 \times 0.020096 \times 0.342$
$\tau \approx 1.236 \,Nm$
नोट: दिए गए विकल्पों और मानक पाठ्यपुस्तक के प्रश्नों के अनुसार, जहाँ $\theta$ आमतौर पर $30^{\circ}$ होता है, यदि $\theta = 30^{\circ}$ लिया जाए तो $\tau = 30 \times 6 \times 3.14 \times (0.08)^2 \times 1.0 \times 0.5 = 1.808 \,Nm$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए, अपेक्षित कोण $30^{\circ}$ होना चाहिए।

(A) कुंडली का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = N A I$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए मानों को रखने पर: $M = 10 \times (2 \times 10^{-4} \ m^2) \times 0.5 \ A = 10^{-3} \ A \ m^2$.
एक लंबी परिनालिका के अंदर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I_s$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर: $B = (4 \pi \times 10^{-7} \ T \ m/A) \times (10^3 \ m^{-1}) \times (3 \ A) = 12 \pi \times 10^{-4} \ T$.
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau = M B \sin(\theta)$ होता है। चूंकि कुंडली की अक्ष परिनालिका की अक्ष के लंबवत है,इसलिए चुंबकीय आघूर्ण सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है,अतः $\sin(90^\circ) = 1$.
इसलिए,$\tau = (10^{-3} \ A \ m^2) \times (12 \pi \times 10^{-4} \ T) \times 1 = 12 \pi \times 10^{-7} \ N \ m$.

(C) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखी धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tau = n I A B \sin \alpha$
जहाँ $\alpha$ कुंडली के तल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
प्रश्न में,कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $\theta$ कोण बनाता है। इसलिए,कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\alpha = 90^{\circ} - \theta$ है।
इसे टॉर्क के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\tau = n I A B \sin(90^{\circ} - \theta) = n I A B \cos \theta$
हालाँकि,प्रश्न विशेष रूप से उस स्थिति के बारे में पूछता है जहाँ चुंबकीय क्षेत्र का तल क्षैतिज है और कुंडली का तल ऊर्ध्वाधर है। इस विन्यास में,कुंडली का अभिलंब चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है,जिसका अर्थ है $\alpha = 90^{\circ}$।
अतः,टॉर्क होगा:
$\tau = n I A B \sin 90^{\circ} = n I A B$

(B) दिया गया है: कुंडली की त्रिज्या $R = 10 \,cm = 0.1 \,m$,फेरों की संख्या $N = 100$,धारा $I = 0.5 \,A$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \,T$ है।
कुंडली का चुंबकीय आघूर्ण $M = N I A$ होता है,जहाँ $A = \pi R^2$ है।
$A = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \,m^2$ है।
$M = 100 \times 0.5 \times 0.01 \pi = 0.5 \pi \,A \cdot m^2$ है।
चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय द्विध्रुव को $\theta_1$ से $\theta_2$ कोण तक घुमाने में किया गया कार्य $W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ होता है।
यहाँ,$\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 180^{\circ}$ है।
$W = (0.5 \pi) \times 2 \times (\cos 0^{\circ} - \cos 180^{\circ})$ है।
$W = \pi \times (1 - (-1)) = \pi \times 2 = 2 \pi \,J$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। छोटे दोलनों के लिए, $\sin \theta \approx \theta$, इसलिए $\tau = - (N I A B) \theta$। इसे सरल आवर्त गति के समीकरण $\tau = -k \theta$ के साथ तुलना करने पर, हमें प्रत्यानयन बल आघूर्ण नियतांक $k = N I A B$ प्राप्त होता है। दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{k}}$ है, जहाँ $I_{moment}$ जड़त्व आघूर्ण है। दिया गया है $T = \frac{1}{3} \, s$, $I_{moment} = 9 \times 10^{-5} \, kg \cdot m^2$, $B = \pi \times 10^{-2} \, T$, $I = 2 \, A$, और $r = 9 \, cm = 0.09 \, m$। क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.09)^2 = 81 \pi \times 10^{-4} \, m^2$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3} = 2 \pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 2 \times 81 \pi \times 10^{-4} \times \pi \times 10^{-2}}}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = 4 \pi^2 \frac{9 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}}$। सरल करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{36 \pi^2 \times 10^{-5}}{N \times 162 \pi^2 \times 10^{-6}} = \frac{360}{162 N}$। अतः, $N = \frac{360 \times 9}{162} = 20$। इसलिए, फेरों की संख्या $20$ है।

(C) $a = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ द्वारा दिया जाता है।
$a$ का मान रखने पर, $A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 \times 10^{-2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 \times 10^{-4} = \sqrt{3} \times 10^{-4} \,m^2$.
चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = I A B \sin \theta$ होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के समानांतर है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है, अतः $\sin 90^\circ = 1$.
इस प्रकार, $\tau = I A B$.
दिया गया है $\tau = 2 \sqrt{3} \times 10^{-5} \,Nm$ और $B = 100 \times 10^{-3} \,T = 10^{-1} \,T$.
मान रखने पर: $2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times (\sqrt{3} \times 10^{-4}) \times 10^{-1}$.
$2 \sqrt{3} \times 10^{-5} = I \times \sqrt{3} \times 10^{-5}$.
$I$ के लिए हल करने पर, हमें $I = 2 \,A$ प्राप्त होता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau = N I A B \sin(\theta)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ कुंडली के तल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
दिया गया है: भुजा की लंबाई $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$,क्षेत्रफल $A = a^2 = (0.1)^2 = 0.01 \ m^2$,फेरों की संख्या $N = 200$,चुंबकीय क्षेत्र $B = 2 \ T$,धारा $I = 3 \ mA = 3 \times 10^{-3} \ A$.
कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर है,जिसका अर्थ है कि कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
अतः,$\sin(90^\circ) = 1$.
मान रखने पर: $\tau = 200 \times (3 \times 10^{-3}) \times 0.01 \times 2 \times 1$.
$\tau = 200 \times 3 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 2 = 1200 \times 10^{-5} = 12 \times 10^{-3} \ Nm$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र में स्थित धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = N i A B \sin \alpha$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
यहाँ दिया गया है कि कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।
वैकल्पिक रूप से,$\tau = N i A B \cos \theta$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta$ कुंडली के तल और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है,यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $N = 400$,$i = 0.5 \ A$,$A = 10^{-2} \ m^2$,$B = 1 \ T$,और $\theta = 60^{\circ}$।
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times \cos 60^{\circ}$
$\tau = 400 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 1 \times 0.5$
$\tau = 200 \times 10^{-2} = 2 \times 0.5 = 1 \ Nm$.

(D) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला बल आघूर्ण $\tau$ का सूत्र $\tau = |\vec{m} \times \vec{B}| = N I A B \sin \theta$ है, जहाँ $\theta$ क्षेत्रफल सदिश (कुंडली के तल के लंबवत) और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है。
यहाँ दिया गया है कि चुंबकीय क्षेत्र कुंडली के तल के लंबवत है, इसलिए क्षेत्रफल सदिश (जो कुंडली के तल के लंबवत होता है) चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर होगा。
अतः, क्षेत्रफल सदिश और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ होगा。
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ है, इसलिए बल आघूर्ण $\tau = N I A B \sin(0^\circ) = 0$ होगा।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में चुंबकीय द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -m \cdot B = -mB \cos \theta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\theta$ चुंबकीय आघूर्ण सदिश $m$ (जो $\hat{n}$ की दिशा में है) और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच का कोण है।
$(i)$ अभिविन्यास $I$ के लिए, कोण $\theta = 180^{\circ}$ है। अतः, $U_I = -mB \cos 180^{\circ} = mB$.
(ii) अभिविन्यास $II$ के लिए, कोण $\theta = 90^{\circ}$ है। अतः, $U_{II} = -mB \cos 90^{\circ} = 0$.
(iii) अभिविन्यास $III$ के लिए, कोण $\theta$, $0^{\circ}$ और $90^{\circ}$ के बीच है (न्यून कोण)। अतः, $U_{III} = -mB \cos \theta$, जो ऋणात्मक है ($-mB$ और $0$ के बीच)।
(iv) अभिविन्यास $IV$ के लिए, कोण $\theta$, $90^{\circ}$ और $180^{\circ}$ के बीच है (अधिक कोण)। अतः, $U_{IV} = -mB \cos \theta$, जो धनात्मक है ($0$ और $mB$ के बीच)।
मानों की तुलना करने पर: $U_I = mB$, $U_{IV} > 0$, $U_{II} = 0$, और $U_{III} < 0$.
अतः, स्थितिज ऊर्जा का घटता क्रम $I > IV > II > III$ है।

(A) दिया गया है: चुंबकीय क्षेत्र $B = 200 \ G = 200 \times 10^{-4} \ T = 0.02 \ T$.
कोण $\theta = 30^{\circ}$.
बल आघूर्ण $\tau = 0.012 \ Nm$.
चुंबकीय सुई पर कार्य करने वाले बल आघूर्ण का सूत्र $\tau = mB \sin \theta$ है।
मान रखने पर: $0.012 = m \times 0.02 \times \sin 30^{\circ}$.
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $0.012 = m \times 0.02 \times 0.5$.
$0.012 = m \times 0.01$.
$m = \frac{0.012}{0.01} = 1.2 \ Am^2$.

(A) बाह्य चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I_{moment}}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_{moment}$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूंकि चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $M = NIA$ होता है,इसलिए $M \propto I$ है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I}}$.
दिया गया है कि $I_1 = 2.5 \ A$ और $I_2 = 10 \ A$,इसलिए:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$.

(A) बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली के दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है,और $B$ चुंबकीय क्षेत्र है।
चूंकि $M = NIA$ होता है,इसलिए $M \propto I_{curr}$ है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}} \propto \frac{1}{\sqrt{I_{curr}}}$।
दिया गया है कि $I_{curr1} = 2.5 \ A$ और $I_{curr2} = 10 \ A$,इसलिए $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_{curr1}}{I_{curr2}}} = \sqrt{\frac{2.5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$T_2 = \frac{T_1}{2} = \frac{T}{2}$ होगा।

(B) धारा लूप पर टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{m} = I \vec{A}$ है।
यहाँ $r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ है,इसलिए क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4 \times 10^{-4} \pi \text{ m}^2$.
चुंबकीय आघूर्ण सदिश $\vec{m} = I A \hat{n} = (100\sqrt{2}) \times (4 \times 10^{-4} \pi) \times \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = 4\pi \times 10^{-2} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ A}\cdot\text{m}^2$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = 4 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 2\hat{k}) = (12 \times 10^{-3} \hat{i} + 8 \times 10^{-3} \hat{k}) \text{ T}$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{\tau} = \vec{m} \times \vec{B}$ की गणना करने पर:
$\vec{\tau} = [4\pi \times 10^{-2} (\hat{i} + \hat{j})] \times [4 \times 10^{-3} (3\hat{i} + 2\hat{k})]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [(\hat{i} + \hat{j}) \times (3\hat{i} + 2\hat{k})]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [\hat{i} \times 3\hat{i} + \hat{i} \times 2\hat{k} + \hat{j} \times 3\hat{i} + \hat{j} \times 2\hat{k}]$
$\vec{\tau} = 16\pi \times 10^{-5} [0 - 2\hat{j} - 3\hat{k} + 2\hat{i}] = 16\pi \times 10^{-5} (2\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k})$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $B$ है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau = NIAB \sin \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ फेरों की संख्या है,$I$ धारा है,$A$ कुंडली का क्षेत्रफल है,$B$ चुंबकीय क्षेत्र है,और $\theta$ कुंडली के अभिलंब (अक्ष) और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
दिया गया है: $N = 125$,$I = 1 \text{ A}$,$r = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$,$B = 0.4 \text{ T}$,और $\theta = 30^{\circ}$.
सबसे पहले,क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$ की गणना करें।
अब,टॉर्क के सूत्र में मान रखने पर:
$\tau = 125 \times 1 \times (4\pi \times 10^{-4}) \times 0.4 \times \sin(30^{\circ})$
$\tau = 125 \times 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 0.4 \times 0.5$
$\tau = 500 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 0.2$
$\tau = 100 \times 3.14 \times 10^{-4} = 314 \times 10^{-4} \text{ N.m}$.
इसे $\alpha \times 10^{-4} \text{ N.m}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 314$ प्राप्त होता है।