Magnetic Flux and Gauss law for Magnetism Questions in Gujarati

(C) $Weber$ $(Wb)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સનો $SI$ એકમ છે. તે ચુંબકીય ફ્લક્સનું એવું પ્રમાણ છે કે જે એક આંટાવાળા પરિપથ સાથે સંકળાયેલું હોય,અને જો તેને $1 \ s$ માં સમાન દરે ઘટાડીને શૂન્ય કરવામાં આવે,તો તે $1 \ V$ નું વિદ્યુતચાલક બળ ઉત્પન્ન કરે છે.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્રનો $SI$ એકમ $Newton/Coulomb$ $(N/C)$ અથવા $Volt/meter$ $(V/m)$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સનો $SI$ એકમ $Weber$ $(Wb)$ છે.
પાવરનો $SI$ એકમ $Watt$ $(W)$ છે.
કેપેસીટન્સનો $SI$ એકમ $Farad$ $(F)$ છે.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા,ચુંબકીય ફ્લક્સ $Weber$ સાથે યોગ્ય રીતે જોડાયેલ છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણાકાર છે,એટલે કે $\phi = B \cdot A$.
લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર $F = B I L$ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $B = \frac{F}{I L}$.
બળ $[F] = [M L T^{-2}]$,પ્રવાહ $[I] = [A]$,અને લંબાઈ $[L] = [L]$ ના પરિમાણો મૂકતા,આપણને $B$ ના પરિમાણો $[B] = \frac{[M L T^{-2}]}{[A] [L]} = [M T^{-2} A^{-1}]$ મળે છે.
હવે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ના પરિમાણો $[B] \times [A] = [M T^{-2} A^{-1}] \times [L^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-1}]$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર છે: $\Phi = B \times A$.
આ પરથી,આપણે ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $B = \frac{\Phi}{A}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ નો એકમ $Weber$ $(Wb)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો એકમ $m^2$ હોવાથી,ચુંબકીય પ્રેરણ $B$ નો એકમ $Weber/m^2$ થાય છે.

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સૂત્ર $\phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્રફળ સદિશ (જે સપાટીને લંબ હોય છે) તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશને સમાંતર હોય છે. તેથી,$\theta = 0^\circ$ અને $\cos(0^\circ) = 1$ થાય.
આપેલ છે: $B = 10^3 \ Wb/m^2$ અને $A = 10^{-2} \ m^2$.
ફ્લક્સની ગણતરી: $\phi = (10^3) \times (10^{-2}) \times \cos(0^\circ) = 10^1 = 10 \ Wb$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને તેને લંબ ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\Phi_B = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $SI$ એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે અને ક્ષેત્રફળનો $SI$ એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
આમ,ચુંબકીય ફ્લક્સનો એકમ $Tesla \cdot m^2$ થાય છે,જેને વેબર $(Wb)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) ચુંબકીય ફ્લક્સને $\phi = B \cdot A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ મુજબ,$F = B I l$,તેથી આપણે $B = \frac{F}{I l}$ લખી શકીએ.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}]$ છે,પ્રવાહ $I$ નું $[A]$ છે,અને લંબાઈ $l$ નું $[L]$ છે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M L T^{-2}]}{[A][L]} = [M T^{-2} A^{-1}]$ થાય.
હવે,આ કિંમતને ચુંબકીય ફ્લક્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\phi = [M T^{-2} A^{-1}] \cdot [L^2] = [M L^2 T^{-2} A^{-1}]$.

(A) $N$ આંટા ધરાવતી કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર: $\phi = N B A \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે:
$N = 100$
$B = 0.2 \text{ T}$
$A = 5 \text{ cm}^2 = 5 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$\theta = 60^o$
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = 100 \times 0.2 \times (5 \times 10^{-4}) \times \cos(60^o)$
$\phi = 20 \times 5 \times 10^{-4} \times 0.5$
$\phi = 100 \times 10^{-4} \times 0.5$
$\phi = 0.5 \times 10^{-2} \text{ Wb} = 5 \times 10^{-3} \text{ Wb}$.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સને આપેલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતા કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રના માપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ માટે જે સપાટીના ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ માંથી પસાર થાય છે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશના અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$\Phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A} = BA \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}$ છે.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતો વર્તુળાકાર લૂપ ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ઉત્તર ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળે છે અને દક્ષિણ ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે.
લૂપ $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપમાંથી પસાર થાય છે અને બંધ ગાળાઓ બનાવવા માટે પાછી ફરે છે.
દરેક ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખા જે $x-y$ સમતલમાંથી એક દિશામાં (દા.ત. ઉપરની તરફ) પસાર થાય છે,તેટલી જ સંખ્યામાં ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે $x-y$ સમતલમાંથી વિરુદ્ધ દિશામાં (દા.ત. નીચેની તરફ) પસાર થવી જ જોઈએ.
તેથી,સમગ્ર $x-y$ સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય છે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે સપાટીને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે,ત્રિજ્યા $R = 0.2 \; m$,તેથી ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \; m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{1}{\pi} \; Wb/m^2$.
ડિસ્કની અક્ષ $\vec{B}$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ડિસ્કની અક્ષની દિશામાં હોવાથી,$\vec{B}$ અને $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થશે.
તેથી,$\phi = B A \cos 60^{\circ} = \left(\frac{1}{\pi}\right) \times (0.04\pi) \times \cos 60^{\circ}$.
$\phi = 0.04 \times \frac{1}{2} = 0.02 \; Wb$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપ્સના સમતલને લંબ હોવાથી,$\theta = 0^\circ$ અને $\cos(0^\circ) = 1$,તેથી $\Phi = B \cdot A$ થાય.
કિસ્સા $I$ માં,વાયર ફ્રેમ દ્વારા ઘેરાયેલું કુલ ક્ષેત્રફળ એ બે ચોરસના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે: $A_I = L^2 + l^2$. તેથી,$\Phi_I = (L^2 + l^2)B$.
કિસ્સા $II$ માં,નાનો ચોરસ મોટા ચોરસની અંદર છે. વાયર ફ્રેમ દ્વારા ઘેરાયેલું અસરકારક ક્ષેત્રફળ એ મોટા ચોરસના ક્ષેત્રફળમાંથી નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે: $A_{II} = L^2 - l^2$. તેથી,$\Phi_{II} = (L^2 - l^2)B$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે ગૂંચળું ચુંબકની ઉપરથી કેન્દ્ર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે,કેન્દ્ર પર મહત્તમ થાય છે અને પછી નીચેની તરફ જતી વખતે ઘટે છે. નીચેથી ઉપર પાછા ફરતી વખતે,ફ્લક્સ વિરુદ્ધ દિશામાં બદલાય છે. ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ ને $\int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જેમ ગૂંચળું ચુંબકમાંથી પસાર થાય છે,તેમ ક્ષેત્ર રેખાઓ પહેલા એક દિશામાં અને પછી ગૂંચળાના એરિયા વેક્ટરની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આલેખ $A$ દર્શાવે છે કે ફ્લક્સ ધન મહત્તમ સુધી વધે છે,શૂન્યમાંથી પસાર થાય છે (ચુંબકના કેન્દ્રમાં જ્યાં ક્ષેત્ર રેખાઓ ગૂંચળાના સમતલને સમાંતર હોય છે),અને પછી બીજી બાજુ જતી વખતે ઋણ લઘુત્તમ સુધી પહોંચે છે. આ ગજિયા ચુંબકના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી પસાર થતા ગૂંચળા માટે ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) પ્રવાહ $i$ વહન કરતા લાંબા સીધા તારથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1$ અને $r_2$ વચ્ચે $B-r$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{r_1}^{r_2} B \, dr = \int_{r_1}^{r_2} \frac{\mu_0 i}{2 \pi r} \, dr = \frac{\mu_0 i}{2 \pi} \ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ છે.
$l$ લંબાઈના લંબચોરસ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \int B \, dA_{loop}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તારથી $r$ અંતરે $dr$ પહોળાઈની પટ્ટીને ધ્યાનમાં લેતા,પટ્ટીનું ક્ષેત્રફળ $dA_{loop} = l \, dr$ થાય છે.
આમ,ફ્લક્સ $\phi = \int_{r_1}^{r_2} B \, l \, dr = l \int_{r_1}^{r_2} B \, dr$ છે.
જેથી $A = \int_{r_1}^{r_2} B \, dr$ હોવાથી,આપણે તેને ફ્લક્સના સમીકરણમાં મૂકીએ તો:
$\phi = l \cdot A = Al$.

(B) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે સપાટીને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિ પરથી,સપાટી અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ સપાટીને લંબ હોવાથી,સમક્ષિતિજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^\circ$ થશે.
આપેલ છે: $\phi = 2 \times 10^{-3} \ Wb$,$A = 10 \ cm^2 = 10 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-3} \ m^2$,અને $\theta = 60^\circ$.
$\phi = BA \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$B = \frac{\phi}{A \cos \theta}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{2 \times 10^{-3}}{(10^{-3}) \cos 60^\circ} = \frac{2 \times 10^{-3}}{(10^{-3}) \times (1/2)} = \frac{2}{1/2} = 4 \ Wb/m^2$.

(D) આ લૂપ $xy$-સમતલમાં આવેલી છે જેના ખૂણા $(L, L, 0)$,$(-L, L, 0)$,$(-L, -L, 0)$ અને $(L, -L, 0)$ છે.
ચોરસ લૂપની બાજુની લંબાઈ $2L$ છે.
તેથી,લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (2L) \times (2L) = 4L^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A$ એ $xy$-સમતલને લંબ છે,તેથી $\vec A = 4L^2 \hat k$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B_0(\hat i + \hat k)$ આપેલું છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશના ડોટ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે:
$\phi = \vec B \cdot \vec A$
$\phi = B_0(\hat i + \hat k) \cdot (4L^2 \hat k)$
$\phi = 4B_0L^2 (\hat i \cdot \hat k + \hat k \cdot \hat k)$
કારણ કે $\hat i \cdot \hat k = 0$ અને $\hat k \cdot \hat k = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$\phi = 4B_0L^2 (0 + 1) = 4B_0L^2 \text{ Wb}$.

(D) કોઈલ સાથે સંકળાયેલું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ શોધવાનું સૂત્ર $\phi = NBA \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે કોઈલના સમતલને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં આપેલ છે કે કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને સમાંતર છે,તેથી કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $\phi = NBA \cos(90^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 0$ મળે છે.

(A) $x$ બાજુ ધરાવતા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec A$ જે $x-y$ સમતલમાં છે,તે $\vec A = x^2 \hat k \, m^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B = B_0 (3\hat i + 4\hat j + 5\hat k) \, T$ તરીકે આપેલ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $\phi = \vec B \cdot \vec A$.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = [B_0 (3\hat i + 4\hat j + 5\hat k)] \cdot [x^2 \hat k]$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા $(\hat i \cdot \hat k = 0, \hat j \cdot \hat k = 0, \hat k \cdot \hat k = 1)$:
$\phi = B_0 x^2 (3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1) = 5 B_0 x^2 \, Wb$.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (સપાટીને લંબ) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.2 \, T$ જે ધન $x-$અક્ષની દિશામાં છે.
ઉપરની સપાટી $10 \, cm \times 10 \, cm = 0.1 \, m \times 0.1 \, m = 0.01 \, m^2$ ના પરિમાણ ધરાવતો લંબચોરસ છે.
આકૃતિ મુજબ,સપાટીને લંબ સદિશ $x-$અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$ લેતા:
$\phi = B A \cos 60^{\circ} = 0.2 \times 0.01 \times \cos 60^{\circ} = 0.2 \times 0.01 \times 0.5 = 0.001 \, Wb$.
$m-Wb$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.001 \, Wb = 1 \, m-Wb$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ ગજિયા ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવમાંથી નીકળે છે અને દક્ષિણ ધ્રુવમાં સમાપ્ત થાય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ગજિયા ચુંબકનો દક્ષિણ ધ્રુવ નળાકારના ખુલ્લા છેડાની સામે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દક્ષિણ ધ્રુવ તરફ નિર્દેશિત છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ ખુલ્લા છેડા દ્વારા નળાકારમાં પ્રવેશ કરે છે.
પરંપરા મુજબ,બંધ સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec A$ બહારની તરફ નિર્દેશિત લેવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec B$ સપાટીમાં પ્રવેશી રહ્યું છે અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $d\vec A$ બહારની તરફ નિર્દેશિત હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ ($90^{\circ}$ કરતા વધારે) છે.
પરિણામે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec B \cdot d\vec A = B \, dA \cos \theta$ ઋણ હશે કારણ કે $\theta > 90^{\circ}$ માટે $\cos \theta < 0$ થાય છે.

(B) સમીકરણ $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ એ ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ દર્શાવે છે.
તે જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રકૃતિમાં કોઈ અલગ ચુંબકીય ભાર (ચુંબકીય મોનોપોલ) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા બંધ લૂપ બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક ઉત્તર ધ્રુવની સાથે દક્ષિણ ધ્રુવ હોવો આવશ્યક છે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = B A \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળના સદિશ $\vec{n}$ (સપાટીને લંબ) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં ક્ષેત્રફળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^o$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ક્ષેત્રફળના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^o - 60^o = 30^o$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = 2.0 \times 0.5 \times \cos(30^o)$.
$\phi = 1.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \, Wb$.

(A) પ્રવાહ ધારિત વર્તુળાકાર કોઈલ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈલમાંથી ઉદ્ભવે છે અને બંધ લૂપ બનાવે છે.
ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$.
કોઈલ ધરાવતા અનંત સમતલનો વિચાર કરો. કોઈલના ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi_{0})$ એક દિશામાં (દા.ત. ઉપરની તરફ) હોય છે.
બાકીના અનંત સમતલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi_{i})$ વિરુદ્ધ દિશામાં (નીચેની તરફ) હોવું જોઈએ જેથી સમગ્ર અનંત સમતલમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય થાય.
આમ,$\phi_{0} + \phi_{i} = 0$,જે સૂચવે છે કે $\phi_{i} = -\phi_{0}$.

(D) લૂપ $ABCDEFA$ બે સમતલીય સપાટીઓ ધરાવે છે: $xy$-સમતલમાં લંબચોરસ $ABCD$ અને $yz$-સમતલમાં લંબચોરસ $ADEF$.
$xy$-સમતલમાં રહેલા લંબચોરસ $ABCD$ માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}_{ABCD} = (5 \times 5) \hat{k} = 25 \hat{k} \; \text{m}^2$ છે.
$yz$-સમતલમાં રહેલા લંબચોરસ $ADEF$ માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}_{ADEF} = (5 \times 5) \hat{i} = 25 \hat{i} \; \text{m}^2$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}_{net} = \overrightarrow{A}_{ABCD} + \overrightarrow{A}_{ADEF} = 25 \hat{i} + 25 \hat{k} \; \text{m}^2$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = 3 \hat{i} + 4 \hat{k} \; \text{T}$ આપેલું છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ની ગણતરી ડોટ પ્રોડક્ટ દ્વારા કરવામાં આવે છે: $\phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}_{net}$.
$\phi = (3 \hat{i} + 4 \hat{k}) \cdot (25 \hat{i} + 25 \hat{k})$
$\phi = (3 \times 25) + (4 \times 25) = 75 + 100 = 175 \; \text{Wb}$.
આમ,લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $175 \; \text{Wb}$ છે.

(N/A) ના. ચુંબકીય બળ હંમેશા $B$ ને લંબ હોય છે (યાદ રાખો ચુંબકીય બળ $= q(v \times B)$). ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને બળની રેખાઓ કહેવી તે ભ્રામક છે.
$(b)$ જો ક્ષેત્ર રેખાઓ સીધા સોલેનોઇડના બે છેડાઓ વચ્ચે સંપૂર્ણપણે બંધિત હોત,તો દરેક છેડા પરના આડછેદમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય ન હોત. પરંતુ કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું $B$ ક્ષેત્રનું ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોવું જોઈએ. ટોરોઇડ માટે,આ મુશ્કેલી નથી કારણ કે તેને કોઈ 'છેડા' હોતા નથી.
$(c)$ ચુંબકત્વનો ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું $B$ નું ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે,$\int_{S} B \cdot dS = 0$. જો મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા હોત,તો જમણી બાજુ $S$ દ્વારા ઘેરાયેલા મોનોપોલ (ચુંબકીય વિદ્યુતભાર) $q_m$ જેટલી હોત. સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રના ગૌસના નિયમની જેમ,$\int_{S} B \cdot dS = \mu_0 q_m$,જ્યાં $q_m$ એ $S$ દ્વારા ઘેરાયેલો ચુંબકીય વિદ્યુતભાર છે.
$(d)$ ના. તે તત્વ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રને કારણે તે તત્વ પર કોઈ બળ કે ટોર્ક લાગતું નથી. જો કે,એક જ તારના એક ખંડ પર બીજા ખંડને કારણે બળ (અથવા ટોર્ક) લાગે છે (જોકે સીધા તાર માટે,આ કુલ બળ શૂન્ય હોય છે).
$(e)$ હા. તંત્રમાં કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોઈ શકે છે,છતાં વિવિધ પ્રવાહ લૂપ્સને કારણે ચુંબકીય મોમેન્ટ શૂન્ય ન પણ હોય. આપણે પેરામેગ્નેટિક પદાર્થોમાં આવા ઉદાહરણો જોઈએ છીએ જ્યાં પરમાણુઓનો કુલ ડાયપોલ મોમેન્ટ હોય છે,ભલે તેમનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોય.

(N/A) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકેલા $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સમતલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ તરીકે લખી શકાય છે.
જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. આ સમીકરણને વક્ર સપાટીઓ અને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રો માટે પણ લાગુ પાડી શકાય છે.
જો કોઈ સપાટીના વિવિધ ભાગો પર ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યો અને દિશાઓ અલગ-અલગ હોય,તો સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ નાના ક્ષેત્રફળના ખંડો $d\vec{A}_i$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Phi_{B} = \sum_{i} \vec{B}_{i} \cdot d \vec{A}_{i}$
જ્યારે ક્ષેત્રફળના ખંડો અત્યંત સૂક્ષ્મ હોય,ત્યારે આ સરવાળો સંકલનમાં ફેરવાય છે:
$\Phi_{B} = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{A}$
ચુંબકીય ફ્લક્સ એ અદિશ રાશિ છે. તેનો $SI$ એકમ વેબર $(Wb)$ છે,જે ટેસ્લા મીટર સ્ક્વેર $(T \cdot m^2)$ અથવા વોલ્ટ-સેકન્ડ $(V \cdot s)$ ને સમાન છે. તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2} A^{-1}]$ છે.
$1 \ Wb$ ની વ્યાખ્યા: જો $1 \ m^2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી સપાટીને લંબરૂપે $1 \ T$ નું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ પાડવામાં આવે,તો સપાટી સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $1 \ Wb$ કહેવાય છે. આમ,$1 \ Wb = 1 \ T \cdot m^2$.

(N/A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અને તેને લંબ ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\Phi_B = B \cdot A$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
લોરેન્ટ્ઝ બળના નિયમ $F = qvB$ પરથી,આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રને $B = \frac{F}{qv}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બળ $F$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[I^1 T^1]$ છે.
વેગ $v$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[L^1 T^{-1}]$ છે.
આમ,$B$ ના પરિમાણો $[B] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[I^1 T^1][L^1 T^{-1}]} = [M^1 T^{-2} I^{-1}]$ થશે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot A$ હોવાથી,અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના પરિમાણો $[L^2]$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$[\Phi_B] = [M^1 T^{-2} I^{-1}] \cdot [L^2] = [M^1 L^2 T^{-2} I^{-1}]$.
તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2} I^{-1}]$ છે.

(C) સપાટી સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ નું સૂત્ર $\Phi = B A \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને સપાટીના લંબ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે શીટની સપાટી ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોય,ત્યારે સપાટીનો લંબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $90^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$\theta = 90^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\Phi = B A \cos(90^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$,તેથી ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = 0$ થાય છે.

(B) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B$ સૂત્ર $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ છે,$\vec{A}$ એ એરિયા વેક્ટર છે અને $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય થવા માટે,$\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$ હોય.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને એરિયા વેક્ટર વચ્ચે $90^{\circ}$ નો ખૂણો હોવાનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર એરિયા વેક્ટરને લંબ છે (અથવા સપાટીના સમતલને સમાંતર છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $VS$ એકમ એ વોલ્ટ-સેકન્ડ $(V \cdot s)$ દર્શાવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નું સૂત્ર $e = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ છે,જ્યાં $\Phi_B$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $d\Phi_B = e \cdot dt$ મળે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B)$ નો એકમ વેબર $(Wb)$ છે.
વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ નો એકમ વોલ્ટ $(V)$ અને સમય $(t)$ નો એકમ સેકન્ડ $(s)$ હોવાથી,$1 \ Wb = 1 \ V \cdot s$ થાય છે.
તેથી,$VS$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સનો એકમ છે.

(N/A) ધારો કે એક બંધ પૃષ્ઠ $S$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં મૂકેલું છે. આપણે આ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ નક્કી કરવું છે.
કલ્પના કરો કે પૃષ્ઠ $S$ ને નાના ક્ષેત્રફળના ખંડોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે. આવા એક ખંડ $\Delta \vec{S}$ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ છે. આ ખંડ માટે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Delta \phi_{B}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\Delta \phi_{B} = \vec{B} \cdot \Delta \vec{S}$
બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{B}$ એ તમામ ખંડોમાંથી પસાર થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે:
$\phi_{B} = \sum_{\text{all}} \Delta \phi_{B} = \sum_{\text{all}} \vec{B} \cdot \Delta \vec{S} = 0 \quad \dots (1)$
બંધ પૃષ્ઠમાંથી બહાર નીકળતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તે પૃષ્ઠમાં દાખલ થતી રેખાઓની સંખ્યા જેટલી જ હોવાથી, કોઈપણ બંધ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે:
"કોઈપણ બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે."
જ્યારે $\Delta S \rightarrow 0$ હોય, ત્યારે આ સરવાળો સંકલનમાં ફેરવાય છે:
$\phi_{B} = \oint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$
આ સંકલન સ્વરૂપ એ ચુંબકત્વ માટે ગૌસના નિયમનું ગાણિતિક સ્વરૂપ છે.

(N/A) સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્ર માટે ગૌસનો નિયમ:
$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_{0}}$
જ્યાં $\vec{E}$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે અને $q_{enclosed}$ એ ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$
જ્યાં $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
તેમની વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત એ છે કે સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારના પ્રમાણમાં હોય છે,જે વિદ્યુત મોનોપોલ (એકલ વિદ્યુતભાર) ના અસ્તિત્વને સૂચવે છે. ચુંબકત્વ માટે,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે સ્વતંત્ર ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી; ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સતત બંધ લૂપ બનાવે છે.

(N/A) ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\oint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$
અહીં,$\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $d\vec{A}$ એ બંધ સપાટી $S$ નો ક્ષેત્રફળ સદિશ છે.
આ નિયમ સૂચવે છે કે ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી; ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા બંધ લૂપ બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે દરેક ઉત્તર ધ્રુવ દક્ષિણ ધ્રુવ સાથે જોડાયેલ હોય છે.

(N/A) સ્થિર વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ તે સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$. આ સૂચવે છે કે વિદ્યુતભારો અલગ મોનોપોલ (એકધ્રુવી) તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ચુંબકત્વમાં ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$. આ સૂચવે છે કે ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સતત બંધ લૂપ બનાવે છે.

(N/A) ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ પૃષ્ઠમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0$.
ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ પર $\vec{m} = m \hat{k}$ મોમેન્ટ ધરાવતો ચુંબકીય ડાયપોલ મૂકેલો છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પરના બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ (જ્યાં $OP$ એ $z$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે) નીચે મુજબ છે:
$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta})$.
ગોળાકાર સપાટી પરનું ક્ષેત્રફળ ખંડ $d\vec{S} = R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r}$ છે.
હવે,ફ્લક્સ $\Phi_B = \oint \vec{B} \cdot d\vec{S}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\Phi_B = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{R^3} (2 \cos \theta \hat{r} + \sin \theta \hat{\theta}) \right) \cdot (R^2 \sin \theta d\theta d\phi \hat{r})$.
કારણ કે $\hat{r} \cdot \hat{r} = 1$ અને $\hat{\theta} \cdot \hat{r} = 0$:
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} 2 \cos \theta \sin \theta d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{4\pi R} (2\pi) \int_0^{\pi} \sin(2\theta) d\theta$.
$\Phi_B = \frac{\mu_0 m}{2R} \left[ -\frac{\cos(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\mu_0 m}{4R} [-\cos(2\pi) + \cos(0)] = \frac{\mu_0 m}{4R} [-1 + 1] = 0$.
આમ,ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ ચકાસાય છે.

(N/A) હા,આપણને ચુંબકીય ફ્લક્સ માટે સમાન જવાબ મળશે.
ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે $(\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0)$.
જો આપણે સપાટીઓ $S_1$ અને $S_2$ ના જોડાણ દ્વારા બનેલી બંધ સપાટીને ધ્યાનમાં લઈએ,તો આ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ શૂન્ય છે.
ધારો કે $S_1$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1$ છે અને $S_2$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2$ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ એક સપાટીમાંથી પ્રવેશ કરે છે અને બીજી સપાટીમાંથી બહાર નીકળે છે,તેથી $S_1$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ મૂલ્યમાં $S_2$ માંથી પસાર થતા ફ્લક્સ જેટલું જ હોવું જોઈએ.
તેથી,સમાન લૂપ $C$ દ્વારા બંધાયેલી કોઈપણ સપાટી સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ સમાન હોય છે,કારણ કે તે ફક્ત લૂપમાંથી પસાર થતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = B A \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (સપાટીને લંબ) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધન $X$-અક્ષની દિશામાં છે. ઉપરની સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે નમેલી છે. આ સપાટીને લંબ રેખા $X$-અક્ષ સાથે $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઉપરની સપાટીના પરિમાણો $10 \, cm \times 10 \, cm = 0.1 \, m \times 0.1 \, m = 0.01 \, m^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = (0.2 \, T) \times (0.01 \, m^2) \times \cos(60^{\circ})$
$\phi = 0.002 \times 0.5 = 0.001 \, Wb$
$1 \, Wb = 1000 \, m-Wb$ હોવાથી:
$\phi = 0.001 \times 1000 = 1 \, m-Wb$.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\Phi_B)$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ અને તેમાંથી પસાર થતા ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે $\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનો $SI$ એકમ ટેસ્લા $(T)$ છે અને ક્ષેત્રફળનો એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી, $1 \text{ Tesla} \cdot m^2 = 1 \text{ Weber}$ $(Wb)$.
આમ, ચુંબકીય ફ્લક્સનો $SI$ એકમ વેબર છે.

(A) આપેલ છે:
ચોરસ લૂપની બાજુની લંબાઈ,$l = 1\,m$.
લૂપનું ક્ષેત્રફળ,$A = l^2 = (1\,m)^2 = 1\,m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર,$B = 0.5\,T$.
લૂપનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે,જેનો અર્થ છે કે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\overrightarrow{B}$ અને $\overrightarrow{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\phi = B A \cos\theta$
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = 0.5 \times 1 \times \cos(0^\circ)$
કારણ કે $\cos(0^\circ) = 1$,
$\phi = 0.5 \times 1 \times 1 = 0.5\,Wb$.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
$1$. ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય હોય છે કારણ કે ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી. આનો અર્થ એ છે કે બંધ સપાટીમાં પ્રવેશતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની સંખ્યા તેમાંથી બહાર નીકળતી રેખાઓની સંખ્યા જેટલી જ હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા ચુંબકીય પદાર્થની સપાટીને તે બિંદુઓ પર લંબ હોય છે જ્યાંથી તે શરૂ થાય છે અથવા અંત પામે છે. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.
$3$. ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા વાહકમાંથી પસાર થાય છે (સિવાય કે તે સુપરકન્ડક્ટર હોય જે મીસ્નર અસર દર્શાવે છે). તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.
$4$. માત્ર વિધાન $A$ સાચું હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય છે,$A$ એ કોઈલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1$. ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $(B)$ બદલીને,ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $A$ સાચું છે).
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ બદલીને,ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $B$ સાચું છે).
$3$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા અને કોઈલના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $(\theta)$ બદલીને,ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $C$ સાચું છે).
$4$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાને અચાનક ઉલટાવીને,ખૂણો $\theta$ બદલાય છે (દા.ત. $0^\circ$ થી $180^\circ$),જેનાથી ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. (વિધાન $D$ સાચું છે).
તેથી,ચારેય પદ્ધતિઓ દ્વારા કોઈલમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરી શકાય છે.

(B) ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ તે સપાટી પરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ના પૃષ્ઠ સંકલન દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0$
આ પરિણામ એટલા માટે મળે છે કારણ કે ચુંબકીય મોનોપોલ (એકધ્રુવી) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી; ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા બંધ લૂપ બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે બંધ સપાટીમાં પ્રવેશતી દરેક ક્ષેત્ર રેખા તેમાંથી બહાર પણ નીકળે છે.
તેથી,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા $0$ હોય છે.

(C) વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે, ચુંબકત્વ માટેના ગૌસના નિયમ મુજબ, કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે $( \oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0)$. આ સૂચવે છે કે કોઈ અલગ ચુંબકીય ભાર (મોનોપોલ) અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.
કારણ $(R)$ પણ સાચું છે કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સતત બંધ ગાળાઓ બનાવે છે, જે ચુંબકની બહાર ઉત્તર ધ્રુવથી શરૂ થઈને દક્ષિણ ધ્રુવ પર સમાપ્ત થાય છે અને ચુંબકની અંદર દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ ચાલુ રહે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળાઓ બનાવતી હોવાથી, તેમને કોઈ શરૂઆત કે અંતિમ બિંદુ (સ્ત્રોત કે સિંક) હોતું નથી, જે સીધી રીતે સમજાવે છે કે શા માટે ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવી શકતા નથી. તેથી, $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ નું સૂત્ર $\Phi = B A \cos(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અહીં પટ્ટીનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ક્ષેત્રફળ સદિશ (જે સમતલને લંબ હોય છે) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થશે.
આપેલ કિંમતો: $\Phi = 1 \ mWb = 10^{-3} \ Wb$,$A = 0.02 \ m^2$,અને $\theta = 30^{\circ}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $10^{-3} = B \times 0.02 \times \cos(30^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$,તેથી $10^{-3} = B \times 0.02 \times 0.866$.
$B = \frac{10^{-3}}{0.02 \times 0.866} = \frac{0.001}{0.01732} \approx 0.0577 \ T$.
આ મૂલ્યને રાઉન્ડ ઓફ કરતા $B \approx 0.058 \ T$ મળે છે.

(A) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે,$\vec{B} = B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})$.
ચોરસ $x-y$ સમતલમાં છે,તેથી તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $x-y$ સમતલને લંબ એટલે કે $z$-અક્ષની દિશામાં હશે.
આમ,$\vec{A} = L^2 \hat{k}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\Phi = [B_0(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k})] \cdot [L^2 \hat{k}]$
$\Phi = B_0 L^2 (2 \hat{i} \cdot \hat{k} + 3 \hat{j} \cdot \hat{k} + 4 \hat{k} \cdot \hat{k})$
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,અને $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$\Phi = B_0 L^2 (0 + 0 + 4(1)) = 4 B_0 L^2$.
તેથી,ફ્લક્સનું મૂલ્ય $4 B_0 L^2$ છે.

(B) કોઈ સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\overrightarrow{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ ના ડોટ ગુણાકાર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ $L$ બાજુ ધરાવતો હોવાથી અને તે $x-y$ સમતલમાં હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં હોય છે.
તેથી,$\overrightarrow{A} = L^2 \hat{k}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B} = B_0(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k})$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$\phi = \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{A}$
$\phi = [B_0(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k})] \cdot [L^2 \hat{k}]$
$\phi = B_0 L^2 (2 \hat{i} \cdot \hat{k} + 4 \hat{j} \cdot \hat{k} + 3 \hat{k} \cdot \hat{k})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$,$\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$,અને $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$,તેથી:
$\phi = B_0 L^2 (0 + 0 + 3(1)) = 3 B_0 L^2 \text{ Wb}$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર $\phi = B \times A$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ નો એકમ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ: $B = \frac{\phi}{A}$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નો એકમ વેબર $(Wb)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B$ નો એકમ $\frac{Wb}{m^2}$ (જેને ટેસ્લા તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) થાય છે.

(A) આપેલ છે,$B = 2 \text{ mT} = 2 \times 10^{-3} \text{ T}$.
ત્રિજ્યા $R = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \text{ cm} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2} \text{ m} = \frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}} \text{ m}$.
વર્તુળાકાર આડછેદ $S_3$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi \times \left(\frac{10^{-1}}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \times \frac{10^{-2}}{\pi} = 10^{-2} \text{ m}^2$.
અર્ધગોલક $S_1$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટીમાં દાખલ થાય છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ (બહારની તરફનો લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
ફ્લક્સ $\Phi_{S_1} = B A \cos(180^{\circ}) = (2 \times 10^{-3} \text{ T}) \times (10^{-2} \text{ m}^2) \times (-1) = -2 \times 10^{-5} \text{ Wb} = -20 \times 10^{-6} \text{ Wb} = -20 \mu \text{ Wb}$.
બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોવાથી (ચુંબકત્વ માટેનો ગૌસનો નિયમ),શંકુ $S_2$ માંથી બહાર નીકળતું ફ્લક્સ એ અર્ધગોલક $S_1$ માં દાખલ થતા ફ્લક્સના મૂલ્ય જેટલું જ હશે.
તેથી,$\Phi_{S_1} + \Phi_{S_2} = 0 \implies \Phi_{S_2} = -\Phi_{S_1} = +20 \mu \text{ Wb}$.

(A) $Y-Z$ સમતલમાં રહેલા $2 \ m$ બાજુવાળા ચોરસ લૂપનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે.
$\vec{A} = (2 \times 2) \hat{i} = 4 \hat{i} \ m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \ T$ આપેલ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \vec{B} \cdot \vec{A}$
$\phi = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (5 \times 4) + (3 \times 0) + (-4 \times 0)$
$\phi = 20 \ Wb$.
આમ,ચુંબકીય ફ્લક્સનું મૂલ્ય $20 \ Wb$ છે.