Faraday's and Lenz's Law Questions in Gujarati

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (B_0 e^{-t})(\pi r^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ $E = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$E = -\frac{d}{dt} (B_0 \pi r^2 e^{-t}) = -\pi r^2 B_0 \frac{d}{dt}(e^{-t}) = \pi r^2 B_0 e^{-t}$.
જે ક્ષણે કી $(K)$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે $t = 0$ હોય છે.
તેથી,$t = 0$ સમયે પ્રેરિત $emf$ $E_0 = \pi r^2 B_0 e^0 = \pi r^2 B_0$ થાય.
અવરોધ $R$ માં ઉત્પન્ન થતો વિદ્યુત પાવર $P = \frac{E_0^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$E_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P = \frac{(\pi r^2 B_0)^2}{R} = \frac{B_0^2 \pi^2 r^4}{R}$ મળે છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(Emf)$ $E = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = 5t - 10t^2$.
$E = -\frac{d}{dt}(5t - 10t^2) = -(5 - 20t)$.
$t = 0.25\, s = \frac{1}{4}\, s$ સમયે,$Emf$:
$E = -(5 - 20 \times 0.25) = -(5 - 5) = 0\, V$.
તેથી,પ્રેરિત $Emf$ $0\, V$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{E}{R} = 0\, A$ થશે.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,રીંગ $B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હશે કે તે તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે.
$1$. જો વિદ્યુતચુંબક $A$ માં પ્રવાહ $I$ વધે,તો રીંગ $B$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,રીંગ $B$ માં એવો પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થશે જે $A$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો વિરોધ કરતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે. આના પરિણામે $A$ અને $B$ વચ્ચે અપાકર્ષણ બળ લાગે છે.
$2$. જો વિદ્યુતચુંબક $A$ માં પ્રવાહ $I$ ઘટે,તો રીંગ $B$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,રીંગ $B$ માં એવો પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થશે જે $A$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રને ટેકો આપે. આના પરિણામે $A$ અને $B$ વચ્ચે આકર્ષણ બળ લાગે છે.
તેથી,જો $I$ વધે,તો $A$ એ $B$ ને અપાકર્ષશે.

(B) જ્યારે પ્રાથમિક સર્કિટમાં સ્વીચ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રાથમિક સર્કિટમાં પ્રવાહ $0$ થી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી વધે છે.
આ પ્રવાહમાં વધારો ગૌણ સર્કિટમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો કરે છે.
ફેરાડેના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,ગૌણ સર્કિટમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ પ્રાથમિક સર્કિટના ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં વધી રહ્યું હોવાથી,ગૌણ સર્કિટ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે વિરુદ્ધ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવવા માટે પ્રવાહ પ્રેરિત કરશે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,આપેલ ગોઠવણી માટે,ગૌણ સર્કિટમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $Anticlockwise$ દિશામાં વહેશે.

(A) $1$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,પ્રવાહ ધારિત તાર દ્વારા લૂપના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
$2$. જેમ લૂપને તારથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે,તેમ તારથી અંતર વધે છે,જેના કારણે લૂપ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા ઘટે છે.
$3$. પરિણામે,લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો થાય છે.
$4$. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ઘટાડાનો વિરોધ કરે.
$5$. અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતા ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે વધારાનું અંદરની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું પડે.
$6$. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,અંદરની તરફનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$7$. તેથી,વર્તુળાકાર લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (Clockwise) હશે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ચુંબક અને કોઈલ વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v$ છે. તેથી,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર $\left(\frac{d\phi}{dt}\right)_1 = k \cdot v$ છે,જ્યાં $k$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઢાળ અને કોઈલની ભૂમિતિ પર આધારિત અચળાંક છે. તેથી,$e = k \cdot v$.
બીજા કિસ્સામાં,ચુંબક અને કોઈલ બંને $v$ ઝડપથી એકબીજાથી દૂર જાય છે. તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v + v = 2v$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર સાપેક્ષ વેગના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $\left(\frac{d\phi}{dt}\right)_2 = k \cdot (2v) = 2(k \cdot v) = 2e$.
તેથી,બીજા કિસ્સામાં પ્રેરિત $emf$ $2e$ હશે.

(A) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 1000$.
ક્ષેત્રફળ $A = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર $\Delta B = 10^{-2} \, Wb \, m^{-2}$.
સમયગાળો $\Delta t = 0.01 \, s = 10^{-2} \, s$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ ઉદ્ભવતું $e.m.f.$: $e = N \frac{\Delta \phi}{\Delta t} = N A \frac{\Delta B}{\Delta t} \cos \theta$.
અક્ષ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 0^\circ$ થશે,તેથી $\cos 0^\circ = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $e = 1000 \times (4 \times 10^{-4} \, m^2) \times \frac{10^{-2} \, Wb \, m^{-2}}{10^{-2} \, s}$.
$e = 1000 \times 4 \times 10^{-4} = 0.4 \, V$.
$mV$ માં ફેરવતા: $0.4 \, V = 400 \, mV$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ (emf) $e = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલનો અવરોધ $R$ હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ $i = \frac{e}{R}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $e = iR$.
$e$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $iR = \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ મળે છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર મળે છે: $\Delta \phi = R \times (i \cdot \Delta t)$.
પદ $(i \cdot \Delta t)$ એ પ્રવાહ-સમય $(i-t)$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $0.1\,s$ અને ઊંચાઈ $4\,A$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 4 = 0.2$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta \phi = 10 \times 0.2 = 2\,Wb$ મળે છે.
તેથી,મૂલ્ય $\left| \Delta \phi \right| = 2\,Wb$ છે.

(B) જ્યારે અનિયમિત આકારનો તાર વર્તુળાકાર લૂપમાં ફેરવાય છે,ત્યારે લૂપનું ક્ષેત્રફળ વધે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળની અંદરની દિશામાં હોવાથી,જેમ ક્ષેત્રફળ વધે છે તેમ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરે.
અંદરની તરફના ચુંબકીય ફ્લક્સનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળની બહારની દિશામાં હોવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર કાગળની બહારની દિશામાં હોય તે માટે પ્રેરિત પ્રવાહ વિષમઘડી (counter-clockwise) દિશામાં વહેવો જોઈએ,જે $adcba$ ની દિશા છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ સમય સાથે બદલાય ત્યારે લૂપમાં $emf$ પ્રેરિત થાય છે.
જ્યારે લૂપને તેની ધરી પર ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે,તેથી ફ્લક્સ બદલાતું નથી.
જ્યારે લૂપને વ્યાસની આસપાસ ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ખૂણો $\theta$ સમય સાથે બદલાય છે,જેના કારણે ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે,જે લૂપમાં $emf$ પ્રેરિત કરે છે.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થાનાંતરિત ગતિ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સને બદલતી નથી,તેથી કોઈ $emf$ પ્રેરિત થતો નથી.

(B) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 40$,ક્ષેત્રફળ $A = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$,વિદ્યુતભાર $q = 2 \times 10^{-4} \, C$,અવરોધ $R = 80 \, \Omega$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q$ નું સૂત્ર $q = \frac{\Delta \phi}{R}$ છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર છે.
કોઈલને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી દૂર કરવામાં આવતી હોવાથી,અંતિમ ફ્લક્સ $0$ થાય છે. તેથી,$\Delta \phi = N \cdot A \cdot B$.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{N \cdot A \cdot B}{R}$.
$B$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $B = \frac{q \cdot R}{N \cdot A}$.
$B = \frac{(2 \times 10^{-4} \, C) \times (80 \, \Omega)}{40 \times (4 \times 10^{-4} \, m^2)}$.
$B = \frac{160 \times 10^{-4}}{160 \times 10^{-4}} = 1 \, Wb \, m^{-2}$.

(C) આપેલ છે કે,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = (2t^2 + 4t + 6) \, mWb = (2t^2 + 4t + 6) \times 10^{-3} \, Wb$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(\varepsilon)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દરના મૂલ્ય જેટલું હોય છે:
$\varepsilon = \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$
$\varepsilon = \frac{d}{dt} [(2t^2 + 4t + 6) \times 10^{-3}] \, V$
$\varepsilon = (4t + 4) \times 10^{-3} \, V$
$t = 4 \, s$ સમયે:
$\varepsilon = (4 \times 4 + 4) \times 10^{-3} \, V$
$\varepsilon = (16 + 4) \times 10^{-3} \, V$
$\varepsilon = 20 \times 10^{-3} \, V = 0.02 \, V$.

(C) જ્યારે કી $K$ દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે સોલેનોઇડમાં પ્રવાહ શૂન્યથી વધીને સ્થિર મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે.
પ્રવાહમાં થતા આ ફેરફારને કારણે વાહક રીંગમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ અનુસાર,રીંગમાં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,આ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે.
આ કિસ્સામાં,રીંગમાંથી પસાર થતા વધતા ચુંબકીય ફ્લક્સને કારણે રીંગની સોલેનોઇડ તરફની સપાટી પર એક ચુંબકીય ધ્રુવ બને છે,જે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટના ધ્રુવ જેવી જ ધ્રુવીયતા ધરાવે છે.
સમાન ધ્રુવો એકબીજાને અપાકર્ષતા હોવાથી,રીંગ ઉપરની તરફ અપાકર્ષણ બળ અનુભવે છે અને કોરમાંથી બહાર કૂદી જાય છે.

(B) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ તે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરે છે.
ચુંબકની બાજુથી જોતા,રીંગમાં એન્ટિક્લોકવાઇઝ પ્રવાહ ચુંબક તરફ નિર્દેશિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે (જે ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે).
જો ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ રીંગની સામે હોય અને તે તેની તરફ ગતિ કરે,તો રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,રીંગ ચુંબકને અપાકર્ષવા માટે ઉત્તર ધ્રુવ પ્રેરિત કરે છે.
જો ચુંબકનો દક્ષિણ ધ્રુવ રીંગની સામે હોય અને તે તેનાથી દૂર ગતિ કરે,તો રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,રીંગ ચુંબકને આકર્ષવા માટે ઉત્તર ધ્રુવ પ્રેરિત કરે છે.
તેથી,ઉત્તર ધ્રુવ રીંગની સામે હોય અને તે તેની તરફ ગતિ કરતું હોય,અથવા દક્ષિણ ધ્રુવ રીંગની સામે હોય અને તે તેનાથી દૂર ગતિ કરતું હોય,બંને કિસ્સામાં એન્ટિક્લોકવાઇઝ પ્રવાહ ઉત્પન્ન થશે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$B$ એક સાચી શક્યતા છે.

(C) લૂપમાં પ્રેરિત $emf$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $emf = -\frac{d\phi}{dt}$,જ્યાં $\phi = B A \cos\theta$.
$(a)$ જો લૂપને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ અચળ રહે છે,તેથી કોઈ $emf$ પ્રેરિત થતો નથી.
$(b)$ જો લૂપને તેની ધરી પર ફેરવવામાં આવે,તો ક્ષેત્રફળ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ અચળ રહે છે,તેથી $\phi$ બદલાતું નથી. કોઈ $emf$ પ્રેરિત થતો નથી.
$(c)$ જો લૂપને વ્યાસની આસપાસ ફેરવવામાં આવે,તો ખૂણો $\theta$ સમય સાથે બદલાય છે,જેના કારણે ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. આમ,$emf$ પ્રેરિત થાય છે.
$(d)$ જો લૂપને વિકૃત કરવામાં આવે,તો તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાય છે,જેના કારણે ફ્લક્સ $\phi$ બદલાય છે. આમ,$emf$ પ્રેરિત થાય છે.
તેથી,કિસ્સાઓ $(c)$ અને $(d)$ માં $emf$ પ્રેરિત થાય છે.

(A) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ,$A = 10 \, cm \times 10 \, cm = 100 \, cm^2 = 10^{-2} \, m^2$.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi_1 = B_1 A \cos \theta = 0.1 \times 10^{-2} \times \cos 45^{\circ} = 0.1 \times 10^{-2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{10^{-3}}{\sqrt{2}} \, Wb$.
લૂપ સાથે સંકળાયેલ અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ,$\phi_2 = 0 \, Wb$ (કારણ કે $B_2 = 0$).
લૂપમાં પ્રેરિત $EMF$,$e = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t} = -\frac{0 - \frac{10^{-3}}{\sqrt{2}}}{0.7} = \frac{10^{-3}}{0.7 \times 1.414} \approx 10^{-3} \, V$.
લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહ,$I = \frac{e}{R} = \frac{10^{-3} \, V}{1 \, \Omega} = 10^{-3} \, A = 1.0 \, mA$.

(B) $1$. જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,તારમાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણી બાજુ (રીંગ $B$ ની નજીક) પાનાની અંદરની તરફ અને ડાબી બાજુ (રીંગ $A$ ની નજીક) પાનાની બહારની તરફ હોય છે.
$2$. જ્યારે તારમાં વિદ્યુતપ્રવાહ ઘટે છે,ત્યારે બંને રીંગમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે.
$3$. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ આ ફેરફારનો વિરોધ કરશે અને ઘટતા ફ્લક્સને ટેકો આપવા માટે પોતાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે.
$4$. રીંગ $A$ (ડાબી બાજુ) માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બહારની તરફ છે અને ઘટી રહ્યું છે. આને ટેકો આપવા માટે,પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેશે જેથી બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય.
$5$. રીંગ $B$ (જમણી બાજુ) માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે અને ઘટી રહ્યું છે. આને ટેકો આપવા માટે,પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેશે જેથી અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય.
$6$. તેથી,પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ $A$ માં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં અને $B$ માં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે.

(D) લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન અને અચળ હોવાથી,અને આખી લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ધરાવતા વિસ્તારમાં ગતિ કરી રહી હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા ઘેરાયેલ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ સમય સાથે બદલાતું ન હોવાથી,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર $d\phi/dt$ શૂન્ય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -d\phi/dt$ છે.
$d\phi/dt = 0$ હોવાથી,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = 0$ થાય છે.
પરિણામે,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \varepsilon/R = 0$ થાય છે.
તેથી,લૂપમાં કોઈ પ્રવાહ પ્રેરિત થતો નથી.

(B) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,બંધ લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જેમ જેમ સોલેનોઇડ લૂપની નજીક આવે છે,તેમ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે.
આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,લૂપ સોલેનોઇડના ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે.
સોલેનોઇડ એક ગજિયા ચુંબક જેવું વર્તે છે જેનો ઉત્તર ધ્રુવ લૂપની સામે છે.
તેથી,લૂપે તેને અપાકર્ષવા માટે સોલેનોઇડની સામેની બાજુએ ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તવું પડશે.
લૂપ ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે તે માટે,સોલેનોઇડની બાજુથી જોતા પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેવો જોઈએ.
જો કે,અવલોકનકાર લૂપની બીજી બાજુએ છે. અવલોકનકારની બાજુથી જોતા,પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં એટલે કે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતો દેખાશે.

(A) સોલેનોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 100\, turns/cm = 10^4\, turns/m$ અને $I = 5\, A$ છે.
$B = (4\pi \times 10^{-7}) \times 10^4 \times 5 = 20\pi \times 10^{-3}\, T = 0.02\pi\, T$.
કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = N B A_{coil}$ છે,જ્યાં $N = 100$ અને $A_{coil} = \pi r^2 = \pi (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4}\, m^2$ છે.
જ્યારે પ્રવાહ ઉલટાવવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = (-NBA) - (NBA) = -2NBA$ થાય છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{2NBA}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $q = \frac{2 \times 100 \times (0.02\pi) \times (\pi \times 10^{-4})}{20} = \frac{4 \times 10^2 \times 0.01 \times \pi^2 \times 10^{-4}}{20} = \frac{4 \times 10^{-4} \times \pi^2}{20}$.
$\pi^2 \approx 10$ લેતા,$q = \frac{4 \times 10^{-4} \times 10}{20} = 2 \times 10^{-4}\, C$.

(B) જ્યારે રીંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે, ત્યારે રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે, જે ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ, આ પ્રવાહ તેના ઉત્પાદનના કારણનો વિરોધ કરે છે.
એકવાર રીંગ સંપૂર્ણપણે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર આવી જાય, પછી તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ રહે છે. ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી $(\frac{d\phi}{dt} = 0)$, પ્રેરિત $emf$ અને પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે.
જ્યારે રીંગ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવાનું શરૂ કરે છે, ત્યારે તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ફરીથી બદલાય છે. આ પ્રવેશના તબક્કાની તુલનામાં વિરુદ્ધ દિશામાં $emf$ અને પ્રવાહને પ્રેરિત કરે છે.
તેથી, પ્રવેશ દરમિયાન પ્રવાહ શૂન્ય નથી, અંદર હોય ત્યારે શૂન્ય છે, અને બહાર નીકળતી વખતે (વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે) શૂન્ય નથી. આલેખ $B$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 10t^2 - 50t + 250$ છે.
ફેરાડેના ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં ફ્લક્સનું વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(10t^2 - 50t + 250) = 20t - 50$.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ $e = -(20t - 50) = 50 - 20t$ છે.
$t = 3 \ s$ સમયે,પ્રેરિત $emf$:
$e = 50 - 20(3) = 50 - 60 = -10 \ V$ થાય.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,બંધ લૂપમાં પ્રેરિત $emf$ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ બદલાતું હોવાથી,રેખીય સંકલન $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l}$ શૂન્યતર છે.
જો કોઈ ક્ષેત્રનું બંધ લૂપ પરનું રેખીય સંકલન શૂન્ય હોય,તો તે ક્ષેત્રને સંરક્ષી ક્ષેત્ર કહેવાય છે. અહીં રેખીય સંકલન શૂન્યતર હોવાથી,પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ અસંરક્ષી ક્ષેત્ર છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે અને કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) વિધાન લેન્ઝના નિયમનું વર્ણન કરે છે,જે જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે. જો પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારને મદદ કરતો હોત,તો તે ઉર્જામાં અનંત વધારો તરફ દોરી જાત,જે ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનું ઉલ્લંઘન છે.
તેથી,કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(D) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત $emf$ ની દિશા હંમેશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ નિયમ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.
જો પ્રેરિત $emf$ ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારને મદદ કરતું હોત,તો તે કોઈપણ બાહ્ય કાર્ય વિના ઉર્જામાં વધારો કરત,જે અશક્ય છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે અને કારણ સાચું છે.

(C) ફેરાડેનો નિયમ,ખાસ કરીને લેન્ઝનો નિયમ,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે. જો આ સાચું ન હોત,તો આપણે શૂન્યમાંથી ઉર્જા ઉત્પન્ન કરી શકત,જે ભૌતિક નિયમોનું ઉલ્લંઘન છે.
શુદ્ધ અવરોધક $AC$ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ $(emf)$ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે. તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ છે. તેથી,કારણમાં આપેલું વિધાન ખોટું છે.
આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમો એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે. જો આવું ન હોત,તો આપણે શૂન્યમાંથી ઉર્જા ઉત્પન્ન કરી શકત,જે ભૌતિકવિજ્ઞાનના મૂળભૂત નિયમોનું ઉલ્લંઘન કરે છે.
શુદ્ધ અવરોધક $A.C.$ પરિપથમાં,પ્રવાહ અને $e.m.f.$ (વોલ્ટેજ) સમાન કળામાં હોય છે. તેમની વચ્ચેનો કળા તફાવત $0$ હોય છે. પ્રવાહ $e.m.f.$ કરતા પાછળ રહે છે તે વિધાન ખોટું છે,કારણ કે આવું ફક્ત ઇન્ડક્ટિવ પરિપથમાં જ થાય છે.
તેથી,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ ખોટું છે.

(N/A) મોટું આવર્તન મેળવવા માટે,નીચેનામાંથી એક અથવા વધુ પગલાં લઈ શકાય છે:
$(i)$ કોઈલ $C_2$ ની અંદર નરમ લોખંડનો સળિયો વાપરો.
$(ii)$ કોઈલને વધુ શક્તિશાળી બેટરી સાથે જોડો.
$(iii)$ આખી રચનાને ટેસ્ટ કોઈલ $C_1$ ની નજીક અથવા દૂર વધુ ઝડપથી ગતિ કરાવો.
$(b)$ ગેલ્વેનોમીટરને બદલે એક નાનો બલ્બ વાપરો,જેવો કે નાની ટોર્ચમાં જોવા મળે છે. બે કોઈલ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિને કારણે બલ્બ પ્રકાશિત થશે અને આમ પ્રેરિત પ્રવાહની હાજરી દર્શાવશે.
પ્રાયોગિક ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં,વ્યક્તિએ નવીનતા લાવતા શીખવું જોઈએ. માઈકલ ફેરાડે,જેમને અત્યાર સુધીના શ્રેષ્ઠ પ્રાયોગિક વૈજ્ઞાનિકોમાંના એક ગણવામાં આવે છે,તેઓ તેમની નવીન કુશળતા માટે પ્રખ્યાત હતા.

(A) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (10 \; cm)^2 = 100 \; cm^2 = 10^{-2} \; m^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ સદિશ (પૂર્વ-પશ્ચિમ સમતલને લંબ) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = B A \cos \theta = 0.10 \times 10^{-2} \times \cos(45^{\circ}) = \frac{10^{-3}}{\sqrt{2}} \; Wb$ છે.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_f = 0 \; Wb$ છે.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = |\phi_f - \phi_i| = \frac{10^{-3}}{\sqrt{2}} \; Wb$ છે.
પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = \frac{|\Delta \phi|}{\Delta t} = \frac{10^{-3}}{\sqrt{2} \times 0.70} \approx 1.01 \times 10^{-3} \; V \approx 1.0 \; mV$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{1.01 \times 10^{-3} \; V}{0.5 \; \Omega} \approx 2.02 \times 10^{-3} \; A \approx 2.0 \; mA$ છે.

(N/A) $(i)$ લંબચોરસ લૂપ $abcd$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રદેશમાં ગતિ કરવાને કારણે તેમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. પ્રેરિત પ્રવાહ $bcdab$ માર્ગ પર વહેવો જોઈએ જેથી તે વધતા ફ્લક્સનો વિરોધ કરી શકે.
$(ii)$ બહારની તરફની ગતિને કારણે,ત્રિકોણાકાર લૂપ $abc$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે,જેના કારણે પ્રેરિત પ્રવાહ $bacb$ માર્ગ પર વહે છે,જેથી ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરી શકાય.
$(iii)$ જેમ જેમ અનિયમિત આકારની લૂપ $abcd$ ચુંબકીય ક્ષેત્રના પ્રદેશમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે,તેથી પ્રેરિત પ્રવાહ $cdabc$ માર્ગ પર વહે છે,જેથી ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરી શકાય.
નોંધો કે જ્યાં સુધી લૂપ્સ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર અથવા બહાર હોય ત્યાં સુધી કોઈ પ્રેરિત પ્રવાહ મળતો નથી.

(N/A) બંધ લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા લેન્ઝના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે જણાવે છે કે પ્રેરિત emf ની ધ્રુવીયતા એવી હોય છે કે તે એવા પ્રવાહનું નિર્માણ કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
$(a)$ જેમ ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ કોઈલ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,કોઈલ ચુંબકની સામેના ભાગમાં ઉત્તર ધ્રુવ બનાવે છે. આમ,પ્રેરિત પ્રવાહ $qrpq$ ની દિશામાં વહે છે.
$(b)$ જેમ ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ કોઈલથી દૂર જાય છે,તેમ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,કોઈલ ચુંબકની સામેના ભાગમાં દક્ષિણ ધ્રુવ બનાવે છે. આમ,ડાબી કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ $prqp$ ની દિશામાં અને જમણી કોઈલમાં $zyxz$ ની દિશામાં વહે છે.
$(c)$ જ્યારે ટેપિંગ કી બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ડાબા લૂપમાં પ્રવાહ વધે છે,જે વધતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,જમણું લૂપ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. દિશા $zyxz$ છે.
$(d)$ જ્યારે રિયોસ્ટેટ સેટિંગ બદલીને અવરોધ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે જમણા લૂપમાં પ્રવાહ ઘટે છે,જેનાથી ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઘટાડો થાય છે. ડાબું લૂપ આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. દિશા $yzxy$ છે.
$(e)$ જ્યારે ટેપિંગ કી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રાથમિક કોઈલમાં પ્રવાહ શૂન્ય થઈ જાય છે,જેના કારણે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ઝડપી ઘટાડો થાય છે. ગૌણ કોઈલ આ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. દિશા $xryx$ છે.
$(f)$ કોઈ પ્રવાહ પ્રેરિત થતો નથી કારણ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ લૂપના સમતલને સમાંતર છે,જેના પરિણામે લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ હંમેશા શૂન્ય રહે છે.

(N/A) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,પ્રેરિત emf ની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
$(a)$ જેમ જેમ તાર વર્તુળ બનાવવા માટે વિસ્તરે છે,તેમ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ વધે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર પાનાની અંદરની તરફ (ચોકડીઓ દ્વારા દર્શાવેલ) હોવાથી,લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે પાનાની બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ પ્રવાહની વિષમઘડી (anticlockwise) દિશાને અનુરૂપ છે,એટલે કે $adcba$ માર્ગે.
$(b)$ જ્યારે વર્તુળાકાર લૂપને સાંકડા સીધા તારમાં વિકૃત કરવામાં આવે છે,ત્યારે લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે,જેના પરિણામે લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે પાનાની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ પ્રવાહની સમઘડી (clockwise) દિશાને અનુરૂપ છે,એટલે કે $abcda$ માર્ગે.

(B) એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = 15 \; \text{turns/cm} = 1500 \; \text{turns/m}$ છે.
નાના લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = 2.0 \; \text{cm}^2 = 2.0 \times 10^{-4} \; \text{m}^2$ છે.
પ્રવાહમાં થતો ફેરફાર $\Delta I = 4.0 \; \text{A} - 2.0 \; \text{A} = 2.0 \; \text{A}$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 0.1 \; \text{s}$ છે.
લાંબા સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = BA = \mu_0 n I A$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત $emf$ $e = \left| \frac{d\phi}{dt} \right| = \mu_0 n A \left( \frac{dI}{dt} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$e = (4\pi \times 10^{-7} \; \text{T m/A}) \times (1500 \; \text{m}^{-1}) \times (2.0 \times 10^{-4} \; \text{m}^2) \times \left( \frac{2.0 \; \text{A}}{0.1 \; \text{s}} \right)$.
$e = (4 \times 3.14159 \times 10^{-7}) \times 1500 \times 2.0 \times 10^{-4} \times 20$.
$e = 7.5398 \times 10^{-6} \; \text{V} \approx 7.54 \times 10^{-6} \; \text{V}$.

(0.75 T) આપેલ છે:
કોઈલનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2 \; cm^{2} = 2 \times 10^{-4} \; m^{2}$
આંટાની સંખ્યા,$N = 25$
કુલ વિદ્યુતભાર,$Q = 7.5 \; mC = 7.5 \times 10^{-3} \; C$
કુલ અવરોધ,$R = 0.50 \; \Omega$
પ્રેરિત emf ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -N \frac{d\phi}{dt}$.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{e}{R} = -\frac{N}{R} \frac{d\phi}{dt}$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ સમયની સાપેક્ષે પ્રવાહનું સંકલન છે: $Q = \int I \; dt = -\frac{N}{R} \int_{\phi_i}^{\phi_f} d\phi = -\frac{N}{R} (\phi_f - \phi_i)$.
કોઈલને ક્ષેત્રમાંથી બહાર કાઢવામાં આવતી હોવાથી,અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_f = 0$ અને પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_i = BA$ છે.
તેથી,$Q = \frac{N \phi_i}{R} = \frac{NBA}{R}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે સૂત્ર: $B = \frac{QR}{NA}$.
કિંમતો મૂકતા: $B = \frac{7.5 \times 10^{-3} \times 0.50}{25 \times 2 \times 10^{-4}} = \frac{3.75 \times 10^{-3}}{50 \times 10^{-4}} = \frac{3.75 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-3}} = 0.75 \; T$.
આમ,ચુંબકની ક્ષેત્ર પ્રબળતા $0.75 \; T$ છે.

(N/A) લાંબા સમય સુધી વિદ્યુત અને ચુંબકત્વને અલગ અને અસંબંધિત ઘટનાઓ માનવામાં આવતી હતી. $19$ મી સદીના શરૂઆતના દાયકાઓમાં,ઓર્સ્ટેડ,એમ્પીયર અને અન્ય કેટલાક વૈજ્ઞાનિકોના પ્રયોગોએ સ્થાપિત કર્યું કે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વ એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે. તેઓએ શોધી કાઢ્યું કે ગતિશીલ વિદ્યુતભારો ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે.
ઇંગ્લેન્ડમાં માઈકલ ફેરાડે અને $USA$ માં જોસેફ હેનરીએ $1830$ ની આસપાસ પ્રયોગો દ્વારા સાબિત કર્યું કે જ્યારે બંધ ગૂંચળાઓને બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં વિદ્યુત પ્રવાહ પ્રેરિત થાય છે.
જે ઘટનામાં બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા વિદ્યુત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે,તેને વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) ફેરાડેએ તેમની શોધ જાહેર કરી હતી કે ગજિયા ચુંબક અને વાયરના લૂપ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ લૂપમાં વિદ્યુત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણની ઘટના માત્ર સૈદ્ધાંતિક રસનો વિષય નથી,પરંતુ તે અત્યંત વ્યવહારુ ઉપયોગિતા ધરાવે છે. વીજળી વગરની દુનિયાની કલ્પના કરો - કોઈ ઇલેક્ટ્રિક લાઇટ નહીં,કોઈ ટ્રેન નહીં,કોઈ ટેલિફોન નહીં અને કોઈ કમ્પ્યુટર નહીં. વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ એ વીજળી ઉત્પન્ન કરવા પાછળનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે.
ફેરાડે અને હેનરીના પાયાના પ્રયોગો સીધા જ આધુનિક જનરેટર,મોટર અને ટ્રાન્સફોર્મરના વિકાસ તરફ દોરી ગયા. આજની સભ્યતા તેની પ્રગતિ માટે મોટાભાગે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણની શોધની ઋણી છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણની ઘટના $1831$ માં $Michael \ Faraday$ દ્વારા શોધવામાં આવી હતી. તેમણે અવલોકન કર્યું કે કોઈલમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાથી તેમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ પ્રેરિત થાય છે. જોસેફ હેનરીએ પણ આ જ સમયગાળામાં સ્વતંત્ર રીતે આ ઘટના શોધી હતી, પરંતુ આ શોધ અને તેના અનુગામી નિયમો માટે મુખ્યત્વે $Michael \ Faraday$ ને શ્રેય આપવામાં આવે છે.

(N/A) વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ એ વાહક સાથે સંકળાયેલા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરીને તેમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ અથવા પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરવાની ઘટના છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ નું મૂલ્ય પરિપથમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દર જેટલું હોય છે,જે $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ ઘટના ઇલેક્ટ્રિક જનરેટર,ટ્રાન્સફોર્મર અને ઇન્ડક્શન મોટર્સની કામગીરી પાછળનો મૂળભૂત સિદ્ધાંત છે.

(N/A) આકૃતિમાં ગેલ્વેનોમીટર $G$ સાથે જોડાયેલ ગૂંચળું $C_{1}$ દર્શાવેલ છે.
જ્યારે ગજિયા ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ ગૂંચળા તરફ ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરનો દર્શક કોણાવર્તન પામે છે,જે ગૂંચળામાં વિદ્યુત પ્રવાહની હાજરી સૂચવે છે. જ્યાં સુધી ગજિયો ચુંબક ગતિમાં હોય ત્યાં સુધી આ કોણાવર્તન ચાલુ રહે છે. જ્યારે ચુંબકને ગૂંચળાથી દૂર ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર વિરુદ્ધ દિશામાં કોણાવર્તન દર્શાવે છે,જે પ્રવાહની દિશા ઉલટાઈ ગઈ હોવાનું સૂચવે છે. જ્યારે ચુંબકને સ્થિર રાખવામાં આવે ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર કોઈ કોણાવર્તન દર્શાવતું નથી. વધુમાં,જ્યારે ગજિયા ચુંબકનો દક્ષિણ ધ્રુવ ગૂંચળા તરફ કે ગૂંચળાથી દૂર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાં જોવા મળતું કોણાવર્તન ઉત્તર ધ્રુવ માટે સમાન ગતિ દરમિયાન જોવા મળતા કોણાવર્તન કરતા વિરુદ્ધ દિશાનું હોય છે.
વધુમાં,જ્યારે ચુંબકને ગૂંચળા તરફ ઝડપથી ધકેલવામાં આવે અથવા દૂર ખેંચવામાં આવે ત્યારે કોણાવર્તન (અને તેથી પ્રવાહ) મોટું જોવા મળે છે.
તેના બદલે,જ્યારે ગજિયા ચુંબકને સ્થિર રાખવામાં આવે અને ગૂંચળું $C_{1}$ ચુંબક તરફ કે ચુંબકથી દૂર લઈ જવામાં આવે,ત્યારે પણ સમાન અસરો જોવા મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ચુંબક અને ગૂંચળા વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ જ ગૂંચળામાં વિદ્યુત પ્રવાહના નિર્માણ (પ્રેરણ) માટે જવાબદાર છે.

(N/A) આકૃતિમાં બે ગૂંચળા $C_{1}$ અને $C_{2}$ દર્શાવેલ છે. ગૂંચળું $C_{1}$ ગેલ્વેનોમીટર $G$ સાથે જોડાયેલ છે અને ગૂંચળું $C_{2}$ બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
ગૂંચળા $C_{2}$ માં વહેતો સ્થાયી પ્રવાહ સ્થાયી ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે ગૂંચળા $C_{2}$ ને ગૂંચળા $C_{1}$ ની નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાં આવર્તન જોવા મળે છે. આ દર્શાવે છે કે ગૂંચળા $C_{1}$ માં વિદ્યુત પ્રવાહ પ્રેરિત થાય છે.
જ્યારે $C_{2}$ ને દૂર લઈ જવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર ફરીથી આવર્તન દર્શાવે છે,પરંતુ આ વખતે વિરુદ્ધ દિશામાં.
આ આવર્તન ત્યાં સુધી રહે છે જ્યાં સુધી ગૂંચળું $C_{2}$ ગતિમાં હોય છે.
જ્યારે ગૂંચળું $C_{2}$ ને સ્થિર રાખવામાં આવે અને $C_{1}$ ને ગતિ કરાવવામાં આવે,ત્યારે પણ સમાન અસરો જોવા મળે છે. ફરીથી,તે ગૂંચળાઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ જ છે જે વિદ્યુત પ્રવાહને પ્રેરિત કરે છે.

(N/A) આકૃતિમાં બે ગૂંચળા $C_{1}$ અને $C_{2}$ સ્થિર રાખેલા દર્શાવ્યા છે. ગૂંચળું $C_{1}$ ગેલ્વેનોમીટર $G$ સાથે જોડાયેલું છે,જ્યારે બીજું ગૂંચળું $C_{2}$ એક ટેપિંગ કી $K$ દ્વારા બેટરી સાથે જોડાયેલું છે.
એવું જોવા મળે છે કે જ્યારે ટેપિંગ કી $K$ દબાવવામાં આવે છે ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાં ક્ષણિક આવર્તન જોવા મળે છે. ગેલ્વેનોમીટરનો કાંટો તરત જ શૂન્ય પર પાછો આવે છે. જો કીને સતત દબાવી રાખવામાં આવે,તો ગેલ્વેનોમીટરમાં કોઈ આવર્તન જોવા મળતું નથી.
જ્યારે કી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે ફરીથી ક્ષણિક આવર્તન જોવા મળે છે,પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં. એવું પણ જોવા મળે છે કે જ્યારે ગૂંચળાઓની અક્ષ પર લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે ત્યારે આવર્તન નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
આમ,આ પ્રયોગ પરથી નિષ્કર્ષ કાઢી શકાય છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ માટે સાપેક્ષ ગતિ એ અનિવાર્ય શરત નથી.

(B) ના,$emf$ પ્રેરિત કરવા માટે સાપેક્ષ ગતિ એ નિરપેક્ષ શરત નથી. ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે પણ પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે ત્યારે $emf$ પ્રેરિત થાય છે. ચુંબકીય ફ્લક્સમાં આ ફેરફાર ઘણી રીતે પ્રાપ્ત કરી શકાય છે:
$1$. સમય સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બદલીને (દા.ત.,નજીકના ગૂંચળામાં પ્રત્યાવર્તી પ્રવાહનો ઉપયોગ કરીને).
$2$. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A$ બદલીને.
$3$. ચુંબકીય ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં લૂપનું ઓરિએન્ટેશન (ખૂણો $\theta$) બદલીને.
તેથી,જો ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોત અને વાહક વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ ન હોય તો પણ,જો ચુંબકીય ક્ષેત્ર પોતે સમય સાથે બદલાતું હોય,તો $emf$ પ્રેરિત થઈ શકે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકને કોઈલ તરફ વધુ વેગથી ગતિ કરાવવામાં આવે છે, ત્યારે કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર $(\frac{d\phi}{dt})$ વધે છે.
પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોવાથી, પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(e)$ વધે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ, $I = \frac{e}{R}$, જ્યાં $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
અહીં $e$ વધે છે અને $R$ અચળ રહે છે, તેથી પ્રેરિત પ્રવાહ $(I)$ વધશે.

(N/A) ફેરાડેનો નિયમ જણાવે છે કે: "પરિપથમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય તે પરિપથ સાથે સંકળાયેલા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના સમય દર જેટલું હોય છે."
ગાણિતિક રીતે, પ્રેરિત emf $\varepsilon$ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\varepsilon = -\frac{d \phi_{B}}{d t}$ ... $(1)$
ઋણ નિશાની $\varepsilon$ ની દિશા (લેન્ઝનો નિયમ) દર્શાવે છે, જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જો ગૂંચળામાં $N$ આંટાઓ હોય, તો દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર સમાન હોય છે. તેથી, કુલ પ્રેરિત emf માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\varepsilon = -N \frac{d \phi_{B}}{d t}$ ... $(2)$
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય ગૂંચળાના આંટાઓની સંખ્યા $N$ વધારીને અથવા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{d \phi_{B}}{d t}$ વધારીને વધારી શકાય છે.

(B) ફેરાડેનો વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણનો નિયમ $\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં ઋણ નિશાની લેન્ઝના નિયમનું ગાણિતિક નિરૂપણ છે.
લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહ (અને તેથી પ્રેરિત $EMF$) ની દિશા એવી હોય છે કે તે હંમેશા તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
તેથી,ઋણ નિશાની ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફાર સામેના વિરોધને સૂચવે છે.

(A) માઈકલ ફેરાડેએ $1831$ માં વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણની ઘટના શોધી હતી. તેમણે દર્શાવ્યું હતું કે બંધ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરફાર કરવાથી વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે,જે બદલામાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર બનાવે છે. આ ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે,જે જણાવે છે કે પ્રેરિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(10 V) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\phi = 3t^2 - 2t + 5$ આપેલ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5) = 6t - 2$ મળે છે.
પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = |6t - 2|$ છે.
$t = 2 \ s$ સમયે,$|\varepsilon| = |6(2) - 2| = |12 - 2| = 10 \ V$ થાય.

(N/A) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત emf ની ધ્રુવીયતા એવી હોય છે કે તે એવા પ્રવાહને ઉત્પન્ન કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણની સાબિતી:
ધારો કે એક ગજિયા ચુંબકને બંધ ગૂંચળા તરફ ધકેલવામાં આવે છે. જેમ ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ ગૂંચળા તરફ ગતિ કરે છે,તેમ ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે ગૂંચળાની ચુંબક તરફની સપાટી પર ઉત્તર ધ્રુવ બનાવે છે. આ ચુંબક અને ગૂંચળા વચ્ચે અપાકર્ષી બળ ઉત્પન્ન કરે છે.
ચુંબકને ગૂંચળા તરફ ગતિ ચાલુ રાખવા માટે,આપણે આ અપાકર્ષી બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ આ યાંત્રિક કાર્ય વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ તરીકે દેખાય છે. જો પ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોત (ચુંબકને આકર્ષતો હોત),તો ચુંબક ગૂંચળા તરફ પ્રવેગિત થાત,જેનાથી ફ્લક્સ અને પ્રવાહમાં વધુ વધારો થાત,જે કોઈપણ કાર્ય કર્યા વિના ઉર્જામાં અનંત વધારો તરફ દોરી જાત,જે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે. આમ,લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(C) લેન્ઝનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આ વિરોધનો અર્થ એ છે કે ચુંબકને ખસેડવા અથવા સર્કિટમાં પ્રવાહ બદલવા માટે ચુંબકીય બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કરવામાં આવેલું કાર્ય સર્કિટમાં વિદ્યુત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,લેન્ઝનો નિયમ એ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.