Faraday's and Lenz's Law Questions in Gujarati

(B) પરિપથમાંથી વહેતો પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{\Delta \phi}{R}$.
અહીં,$\Delta \phi = N \cdot B \cdot A$,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$B$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા છે,અને $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $N = 40$,$A = 4.0 \, cm^2 = 4.0 \times 10^{-4} \, m^2$,$Q = 2.0 \times 10^{-4} \, C$,અને $R = 80 \, \Omega$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $2.0 \times 10^{-4} = \frac{40 \times B \times 4.0 \times 10^{-4}}{80}$.
$B$ માટે ઉકેલતા: $B = \frac{2.0 \times 10^{-4} \times 80}{40 \times 4.0 \times 10^{-4}}$.
$B = \frac{160 \times 10^{-4}}{160 \times 10^{-4}} = 1 \, Wb/m^2$.

(D) લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = B \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = L^2$ એ ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમય અને અવકાશમાં સમાન હોવાથી,અને લૂપ આ ક્ષેત્રની અંદર ગતિ કરે છે,લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ રહે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\phi = B \cdot L^2$ અચળ છે,તેથી $\frac{d\phi}{dt} = 0$.
તેથી,પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = 0$ થાય છે.
પરિણામે,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = 0$ થાય છે.

(A) ડાયનેમોની કાર્યપદ્ધતિ વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર આધારિત છે.
જ્યારે કોઈ ગૂંચળાને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં સતત ફેરફાર થાય છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો આ ફેરફાર ગૂંચળામાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ અને પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ (ચુંબકીય બળરેખાઓની સંખ્યા) છે.
જ્યારે ગૂંચળું ભ્રમણ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = BA \cos(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ એ $e = -\frac{d}{dt}(BA \cos(\omega t)) = BA\omega \sin(\omega t)$ છે.
જ્યારે ચુંબકીય બળરેખાઓની સંખ્યા મહત્તમ હોય,ત્યારે $\phi$ મહત્તમ હોય છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos(\omega t) = 1$ (એટલે કે $\omega t = 0$ અથવા $\pi$).
આ સ્થાનો પર,$\sin(\omega t) = 0$ થાય છે,તેથી પ્રેરિત $e.m.f.$ $(e)$ શૂન્ય બને છે.
તેથી,જ્યારે બળરેખાઓ મહત્તમ હોય,ત્યારે પ્રેરિત $e.m.f.$ શૂન્ય હોય છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$Loop-A$ માં બદલાતો પ્રવાહ $Loop-B$ માંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,$Loop-B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે.
જેમ કે $Loop-A$ માં પ્રવાહ વધી રહ્યો છે,તેથી $Loop-B$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધી રહ્યું છે.
આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,$Loop-B$ માં એક પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થશે જે $Loop-A$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવશે.
વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહેતા બે સમાંતર લૂપ એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
તેથી,$Loop-B$ એ $Loop-A$ દ્વારા અપાકર્ષાય છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = B A \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે સમતલ ક્ષેત્રને લંબ છે,$\theta = 0^\circ$ અને $\cos 0^\circ = 1$ થાય.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = (B_2 - B_1) A = (1 - 2) \times 0.01 = -0.01 \, Wb$.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ: $|\varepsilon| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}| = \frac{0.01}{10^{-3}} = 10 \, V$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H$ એ $H = \frac{\varepsilon^2 \Delta t}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{(10)^2 \times 10^{-3}}{0.01} = \frac{100 \times 10^{-3}}{0.01} = \frac{0.1}{0.01} = 10 \, J$.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રેરિત પ્રવાહ તે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે સમાન દિશામાં પ્રવાહ ધરાવતા બે સમાન કોએક્સિયલ લૂપ્સ એકબીજાની નજીક આવે છે,ત્યારે બીજા લૂપના ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે દરેક લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે.
આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,દરેક લૂપમાં મૂળ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે.
મૂળ પ્રવાહ ઘડિયાળની દિશામાં હોવાથી,પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
તેથી,દરેક લૂપમાં ચોખ્ખો પ્રવાહ ઘટે છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત emf $e$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે, જે ચુંબક અને કોઈલ વચ્ચેના સાપેક્ષ વેગ પર આધાર રાખે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં, ચુંબક સ્થિર કોઈલ તરફ $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે. સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v$ છે. પ્રેરિત emf $e = k \cdot v$ છે, જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
બીજા કિસ્સામાં, ચુંબક અને કોઈલ એકબીજાથી દૂર જાય છે, દરેક $v$ ઝડપથી. તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v'_{rel} = v - (-v) = 2v$ છે.
પ્રેરિત emf સાપેક્ષ વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી, નવું પ્રેરિત emf $e'$ આ મુજબ હશે:
$e' = k \cdot (2v) = 2(k \cdot v) = 2e$.
તેથી, કોઈલમાં પ્રેરિત emf $2e$ હશે.

(B) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,કોઇલમાં ઉત્પન્ન થતો પ્રેરિત પ્રવાહ તેના ઉત્પાદનના કારણનો વિરોધ કરશે.
જેમ ડાબી બાજુના ચુંબકનો $N$-ધ્રુવ આગળથી કોઇલ તરફ આવે છે,તેમ કોઇલની આગળની સપાટી તેને અપાકર્ષવા માટે $N$-ધ્રુવ જેવું વર્તન કરશે. આ માટે આગળથી જોતા પ્રવાહ વિષમઘડી (anticlockwise) હોવો જોઈએ.
તે જ રીતે,જેમ જમણી બાજુના ચુંબકનો $S$-ધ્રુવ પાછળથી આવે છે,તેમ કોઇલની પાછળની સપાટી તેને અપાકર્ષવા માટે $S$-ધ્રુવ જેવું વર્તન કરશે. આ માટે પણ આગળથી જોતા પ્રવાહ વિષમઘડી હોવો જોઈએ.
બંને ચુંબકો વિષમઘડી પ્રવાહમાં ફાળો આપતા હોવાથી,પ્રવાહ કોઇલ દ્વારા પ્લેટ $2$ થી પ્લેટ $1$ તરફ વહે છે.
તેથી,પ્લેટ $1$ ધન વીજભારિત અને પ્લેટ $2$ ઋણ વીજભારિત બનશે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = |\frac{d\phi}{dt}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = B \cdot A$ છે.
સોલેનોઈડના ક્ષેત્રફળ $A$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(t) = B_0 + \alpha t$ સમાન હોવાથી,રીંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B(t) \cdot A = (B_0 + \alpha t)A$ થશે.
પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = |\frac{d}{dt}((B_0 + \alpha t)A)| = A \frac{d}{dt}(B_0 + \alpha t) = A \alpha$ મળે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ (જો પરિપથ બંધ હોત તો) ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરશે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર જમણી તરફ છે અને વધી રહ્યું છે,તેથી પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ડાબી તરફ હોવું જોઈએ. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (જમણી બાજુથી જોતા) વહેશે.
ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ વહેતા,છેડા $X$ પર ધન વિદ્યુતભાર અને છેડા $Y$ પર ઋણ વિદ્યુતભાર જમા થશે. આમ,છેડા $X$ પર ધન વિદ્યુતભારનો વધારો થશે.

(B) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રેરિત emf એ $\phi-t$ આલેખના ઢાળના સમપ્રમાણમાં છે.
$1$. $A$ અને $B$ ની વચ્ચે,ઢાળ અચળ અને ધન છે,તેથી પ્રેરિત emf અચળ અને ઋણ છે.
$2$. $B$ બિંદુ પર,ફ્લક્સ અચાનક ધન મૂલ્યથી શૂન્ય પર બદલાય છે. ઢાળ $\frac{d\phi}{dt}$ ઋણ અને ખૂબ મોટો છે,તેથી પ્રેરિત emf એક મોટું ધન મૂલ્ય છે.
$3$. $B$ અને $C$ ની વચ્ચે,ઢાળ અચળ અને ઋણ છે,તેથી પ્રેરિત emf અચળ અને ધન છે.
$4$. $C$ અને $E$ ની વચ્ચે,વક્રનો ઢાળ સતત બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય અને દિશા બદલાય છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ ખોટું છે કારણ કે $B$ અને $C$ વચ્ચે ઢાળ અચળ હોવાથી emf અચળ રહે છે,મહત્તમ નથી.

(A) પ્રેરિત પ્રવાહ $i$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $i = \frac{|e|}{R} = \frac{1}{R} \left| \frac{d\phi}{dt} \right|$.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $|d\phi| = i R \, dt$.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કુલ ફેરફાર $\Delta \phi$ એ સમયગાળા દરમિયાન $i R \, dt$ નું સંકલન છે:
$\Delta \phi = R \int i \, dt$.
સંકલન $\int i \, dt$ એ $i-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $t = 0.1 \, s$ અને ઊંચાઈ $i = 4 \, A$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 4 = 0.2 \, C$.
તેથી,ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = R \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 10 \times 0.2 = 2 \, Wb$.

(B) પ્રેરિત emf ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon = A \left| \frac{dB}{dt} \right|$.
ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ $B-t$ આલેખના ઢાળના મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\varepsilon \propto \left| \frac{dB}{dt} \right|$.
$1$. પ્રદેશ $b$ માં,ઢાળ ધન અને વધારે છે,તેથી ઢાળનું મૂલ્ય વધારે છે.
$2$. પ્રદેશ $d$ અને $e$ માં,ઢાળ ઋણ છે પરંતુ અચળ છે,અને તેનું મૂલ્ય પ્રદેશ $b$ કરતા ઓછું છે.
$3$. પ્રદેશ $a$ અને $c$ માં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ અચળ છે,તેથી ઢાળ $0$ છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રેરિત emf $0$ છે.
ઢાળના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $\text{slope}_b > \text{slope}_d = \text{slope}_e > \text{slope}_a = \text{slope}_c = 0$.
તેથી,સાચો ક્રમ $b > (d = e) > (a = c)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ એ ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમનું સંકલિત સ્વરૂપ દર્શાવે છે.
આ નિયમ મુજબ,બંધ લૂપમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ એ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = N A (B_f - B_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $N = 100$,$A = 1 \times 10^{-3} \ m^2$,$B_i = 1 \ Wb/m^2$ અને $B_f = -1 \ Wb/m^2$ છે.
$\Delta \phi = 100 \times 1 \times 10^{-3} \times (-1 - 1) = 0.1 \times (-2) = -0.2 \ Wb$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q = \frac{|\Delta \phi|}{R}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $R = 10 \ \Omega$ હોવાથી,$Q = \frac{0.2}{10} = 0.02 \ C = 2 \times 10^{-2} \ C$.

(B) પ્રેરિત $emf$ ફેરાડેના નિયમ મુજબ મળે છે: $e = -N \frac{d\phi}{dt} = -N \frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t}$.
અહીં,$\phi = BA \cos \theta$.
પ્રારંભિક ફ્લક્સ $\phi_1 = BA \cos 0^o = BA$.
અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_2 = BA \cos 180^o = -BA$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = -2BA$.
આપેલ છે: $N = 1000$,$A = 500 \ cm^2 = 500 \times 10^{-4} \ m^2 = 0.05 \ m^2$,$B = 2 \times 10^{-5} \ Wb/m^2$,$\Delta t = 0.2 \ s$.
$e = -N \frac{-2BA}{\Delta t} = \frac{2NBA}{\Delta t}$.
$e = \frac{2 \times 1000 \times 2 \times 10^{-5} \times 0.05}{0.2} = \frac{0.002}{0.2} = 0.01 \ V$.
$0.01 \ V = 10 \ mV$.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 400 \,\Omega$,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 50t^2 + 4 \,Wb$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = -100t \,V$.
$t = 2 \,s$ સમયે,પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = |-100(2)| = 200 \,V$ થાય.
ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ મળે છે: $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$.
$I = \frac{200 \,V}{400 \,\Omega} = 0.5 \,A$.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $X$ થી $Y$ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈલ $abcd$ માંથી કોઈલના સમતલને લંબ રૂપે (પાનાની અંદરની તરફ) પસાર થાય છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન કોઈલની નજીક આવે છે,તેમ કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરશે અને વિરુદ્ધ દિશામાં (પાનાની બહારની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જે વિષમઘડી દિશા $(adcb)$ ને અનુરૂપ છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન કોઈલથી દૂર જાય છે,તેમ કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. પ્રેરિત પ્રવાહ હવે આ ઘટાડાનો વિરોધ કરશે અને મૂળ ક્ષેત્રની દિશામાં (પાનાની અંદરની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જે સમઘડી દિશા $(abcd)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન કોઈલની આગળ નીકળી જશે તેમ પ્રવાહ તેની દિશા બદલશે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપ $1$ માટે (ત્રિજ્યા $R > r$): ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1$ ફક્ત $r$ ત્રિજ્યાના તે વિસ્તાર સાથે સંકળાયેલ છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,$\phi_1 = B \cdot A = B(\pi r^2)$.
પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon_1 = -\frac{d}{dt}(B \pi r^2) = -\pi r^2 \frac{dB}{dt}$ થશે.
લૂપ $2$ માટે (ત્રિજ્યા $R$): આ લૂપ તે વિસ્તારની સંપૂર્ણપણે બહાર છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,લૂપ $2$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = 0$ છે.
પ્રેરિત $e.m.f.$ $\varepsilon_2 = -\frac{d\phi_2}{dt} = 0$ થશે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.1 \; m$, આંટાની સંખ્યા $N = 500$, અવરોધ $R = 2 \; \Omega$, સમય $\Delta t = 0.25 \; s$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_H = 3.0 \times 10^{-5} \; T$.
ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = N B_H A \cos(0^{\circ}) = N B_H A$ છે।
$180^{\circ}$ ફેરવ્યા પછી, ફ્લક્સ $\phi_f = N B_H A \cos(180^{\circ}) = -N B_H A$ થાય છે।
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -2 N B_H A$ છે।
ફેરાડેના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત e.m.f. $\varepsilon = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = \frac{2 N B_H A}{\Delta t}$ છે।
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \; m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = \frac{2 \times 500 \times (3.0 \times 10^{-5}) \times (0.01 \pi)}{0.25}$.
$\varepsilon = \frac{1000 \times 3.0 \times 10^{-5} \times 0.0314}{0.25} = \frac{0.03 \times 0.0314}{0.25} = \frac{0.000942}{0.25} = 0.003768 \; V \approx 3.8 \times 10^{-3} \; V$.

(B) આપેલ છે: $n = 2 \times 10^4\, \text{turns/m}$,$I_i = 4\, A$,$I_f = 0\, A$,$N = 100$,$r = 0.01\, m$,$R = 10\pi^2\, \Omega$.
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_0 n I$ છે.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_i = N B_i A = N (\mu_0 n I_i) (\pi r^2)$.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ: $\phi_f = N B_f A = N (\mu_0 n I_f) (\pi r^2) = 0$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર: $|\Delta \phi| = |\phi_f - \phi_i| = N \mu_0 n I_i \pi r^2$.
$|\Delta \phi| = 100 \times (4\pi \times 10^{-7}) \times (2 \times 10^4) \times 4 \times \pi \times (0.01)^2$.
$|\Delta \phi| = 100 \times 8\pi \times 10^{-3} \times \pi \times 10^{-4} = 32\pi^2 \times 10^{-5}\, Wb$.
પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q = \frac{|\Delta \phi|}{R} = \frac{32\pi^2 \times 10^{-5}}{10\pi^2} = 3.2 \times 10^{-6}\, C = 32\, \mu C$.

(A) પરિપથમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ સૂત્ર $Q = \frac{\Delta \phi}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર છે અને $R$ એ કુલ અવરોધ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 100$
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \times 10^{-3} \ m^2$
અવરોધ $R = 10 \ \Omega$
પ્રારંભિક ચુંબકીય પ્રેરણ $B_i = 1 \ Wb/m^2$
અંતિમ ચુંબકીય પ્રેરણ $B_f = -1 \ Wb/m^2$ (વિરુદ્ધ દિશા)
ચુંબકીય પ્રેરણમાં ફેરફાર $\Delta B = |B_f - B_i| = |(-1) - 1| = 2 \ Wb/m^2$.
ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = N \cdot A \cdot \Delta B$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = 100 \times (1 \times 10^{-3}) \times 2 = 0.2 \ Wb$.
હવે,વિદ્યુતભારની ગણતરી કરતા: $Q = \frac{0.2}{10} = 0.02 \ C = 2 \times 10^{-2} \ C$.

(A) પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$.
બલ્બ સંપૂર્ણ તેજસ્વીતા સાથે પ્રકાશવા માટે,પ્રેરિત $EMF$ બલ્બના રેટ કરેલા વોલ્ટેજ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $|e| = 10 \, V$.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_i - \phi_f = B \cdot A - 0 = B \cdot A$.
ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (10.0 \, cm)^2 = (0.1 \, m)^2 = 0.01 \, m^2$ છે.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = B \cdot A = 20 \, T \times 0.01 \, m^2 = 0.2 \, Wb$ છે.
સૂત્ર $\Delta t = \frac{|\Delta \phi|}{|e|} = \frac{0.2 \, Wb}{10 \, V} = 0.02 \, s$ નો ઉપયોગ કરતા.
મિલીસેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $0.02 \, s = 0.02 \times 1000 \, ms = 20 \, ms$.

(A) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = at(T - t) = aTt - at^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\xi = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
$\xi = -\frac{d}{dt}(aTt - at^2) = -(aT - 2at) = 2at - aT$.
$dt$ સમયમાં લૂપમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $dQ = \frac{\xi^2}{R} dt$ છે.
$\xi$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $dQ = \frac{(2at - aT)^2}{R} dt$ મળે છે.
$t = 0$ થી $t = T$ સુધી ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉષ્મા $Q$ છે:
$Q = \int_{0}^{T} \frac{(2at - aT)^2}{R} dt = \frac{1}{R} \int_{0}^{T} (4a^2t^2 - 4a^2Tt + a^2T^2) dt$.
$Q = \frac{a^2}{R} [\frac{4t^3}{3} - 2Tt^2 + T^2t]_{0}^{T}$.
$Q = \frac{a^2}{R} [\frac{4T^3}{3} - 2T^3 + T^3] = \frac{a^2}{R} [\frac{4T^3 - 6T^3 + 3T^3}{3}] = \frac{a^2 T^3}{3R}$.

(C) શરૂઆતમાં લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = B \cdot A \cdot \cos(0^o) = BA$ છે.
લૂપને $180^o$ ફેરવ્યા પછી,લૂપનો લંબ સદિશ ચુંબકીય ક્ષેત્રની સાપેક્ષમાં વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશ કરે છે,તેથી અંતિમ ફ્લક્સ $\phi_f = B \cdot A \cdot \cos(180^o) = -BA$ થાય છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -BA - BA = -2BA$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
કારણ કે $\varepsilon = I \cdot R = R \frac{dq}{dt}$,તેથી $R \frac{dq}{dt} = -\frac{d\phi}{dt}$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,કુલ વિદ્યુતભાર $q = \int dq = -\frac{1}{R} \int d\phi = -\frac{\Delta \phi}{R}$ મળે છે.
ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર મૂકતા,$q = -\frac{-2BA}{R} = \frac{2BA}{R}$ મળે છે.

(B) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,તારમાં $A$ થી $B$ તરફ વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર લૂપના સમતલની અંદરની તરફ હોય છે.
જેમ કે પ્રવાહનું મૂલ્ય વધી રહ્યું છે,લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ અંદરની દિશામાં વધે છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપમાં ઉદ્ભવતો પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરે.
અંદરની તરફના ચુંબકીય ફ્લક્સનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહે બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,લૂપમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો પ્રવાહ બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી,લૂપમાં ઉદ્ભવતો પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ, પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે.
કિસ્સા $I$ માં, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ છે અને તે ઘટી રહ્યું છે।
આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે, પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ હોવું જોઈએ।
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ હોવા માટે, પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેવો જોઈએ।
મોટા ચોરસ લૂપ $(ahgb)$ માટે, ઘડિયાળના કાંટાની દિશા $a \rightarrow h \rightarrow g \rightarrow b \rightarrow a$ છે, તેથી $ab$ વિભાગમાં પ્રવાહ $b$ થી $a$ તરફ વહે છે।
નાના ચોરસ લૂપ $(cdef)$ માટે, ઘડિયાળના કાંટાની દિશા $c \rightarrow d \rightarrow e \rightarrow f \rightarrow c$ છે, તેથી $cd$ વિભાગમાં પ્રવાહ $d$ થી $c$ તરફ વહે છે।
તેથી, પ્રવાહ $b$ થી $a$ અને $d$ થી $c$ તરફ વહે છે।
આમ, વિકલ્પ $C$ સાચો છે।

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે કે જેથી તે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે.
કિસ્સા $II$ માં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમતલની અંદરની તરફ ($\times$ દ્વારા દર્શાવેલ) છે અને તે ઘટી રહ્યું છે.
આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ સમતલની અંદરની તરફ $(\otimes)$ હોવું જોઈએ.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,બહારના લૂપ $abgh$ માટે,પ્રવાહ ઘડિયાળની દિશામાં ($a$ થી $b$,$b$ થી $g$,$g$ થી $h$ અને $h$ થી $a$) વહેવો જોઈએ.
અંદરના લૂપ $cdef$ માટે,અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવવા માટે પ્રવાહ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ($f$ થી $e$,$e$ થી $d$,$d$ થી $c$ અને $c$ થી $f$) વહેવો જોઈએ.
તેથી,પ્રવાહ બહારના લૂપમાં $b$ થી $a$ અને અંદરના લૂપમાં $f$ થી $e$ વહે છે. આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) જ્યારે ગૂંચળા $A$ માં પ્રવાહ $i$ વધે છે,ત્યારે ગૂંચળા $B$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ગૂંચળા $B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે કે જે તેના ઉત્પન્ન થવાના કારણનો વિરોધ કરે,જે અહીં ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો વધારો છે.
ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,ગૂંચળું $B$ એવી ચુંબકીય ધ્રુવીયતા વિકસાવશે જે ગૂંચળા $A$ ને અપાકર્ષે.
તેથી,જ્યારે પ્રવાહ $i$ વધારવામાં આવે ત્યારે ગૂંચળા $A$ અને ગૂંચળા $B$ વચ્ચે અપાકર્ષણનું બળ લાગશે.

(D) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,રીંગમાં પ્રેરિત પ્રવાહ એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે જે ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે.
ચુંબકની બાજુથી જોતા,રીંગમાં વિષમઘડી પ્રવાહ એ ચુંબકની સામે રહેલા ઉત્તર ધ્રુવ $(N)$ ને અનુરૂપ છે.
કિસ્સો $1$: જો ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ રીંગની સામે હોય અને તે રીંગ તરફ ગતિ કરે,તો રીંગ તેને અપાકર્ષવા માટે ઉત્તર ધ્રુવ પ્રેરિત કરશે,જેના પરિણામે વિષમઘડી પ્રવાહ ઉત્પન્ન થશે.
કિસ્સો $2$: જો ચુંબકનો દક્ષિણ ધ્રુવ રીંગની સામે હોય અને તે રીંગથી દૂર ગતિ કરે,તો રીંગ તેને આકર્ષવા માટે ઉત્તર ધ્રુવ પ્રેરિત કરશે,જે પણ વિષમઘડી પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરશે.
તેથી,બંને $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,લૂપ $B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ એવી દિશામાં વહેશે જે તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે.
લૂપ $A$ માં પ્રવાહ સમય સાથે વધતો હોવાથી,લૂપ $B$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે.
આ ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,લૂપ $B$ માં એવો પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન થશે જે લૂપ $A$ ના ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે.
આના પરિણામે બંને લૂપ વચ્ચે અપાકર્ષણ બળ લાગે છે.
તેથી,લૂપ $B$ એ લૂપ $A$ દ્વારા અપાકર્ષાય છે.

(A) બંધ લૂપમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ $V$ ને પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા વિદ્યુતભારને લૂપની આસપાસ એકવાર ફેરવવા માટે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ કરવામાં આવેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$V = \frac{W}{Q}$,જ્યાં $W$ એ કરવામાં આવેલ કાર્ય છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
તેથી,$Q$ વિદ્યુતભારને લૂપ પર એકવાર લઈ જવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = QV$ થશે.
કારણ કે પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર બિન-સંરક્ષી (non-conservative) છે,તેથી કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય નથી અને તે વિદ્યુતભાર અને પ્રેરિત $e.m.f.$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $(E)$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $E = -\frac{d\phi}{dt}$.
આપેલ છે કે $\phi = (3t^2 + 2t + 3) \times 10^{-3} \ Wb$ (કારણ કે $\phi$ એ $mWb$ માં છે).
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 2t + 3) \times 10^{-3} = (6t + 2) \times 10^{-3} \ Wb/s$.
તેથી,પ્રેરિત $emf$ એ $E = -(6t + 2) \times 10^{-3} \ V = -(6t + 2) \ mV$ થશે.
$t = 2 \ s$ સમયે પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય:
$|E| = |-(6(2) + 2)| = |-(12 + 2)| = |-14| = 14 \ mV$.

(D) ચોરસ લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = (10.0 \, cm)^2 = (0.1 \, m)^2 = 0.01 \, m^2$ છે.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_i = B \cdot A = 20 \, T \times 0.01 \, m^2 = 0.2 \, Wb$ છે.
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_f = 0 \, Wb$ છે કારણ કે ક્ષેત્ર શૂન્ય થઈ જાય છે.
પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|e| = |\frac{\Delta \phi}{\Delta t}|.$
આપેલ છે કે બલ્બ $e = 10 \, V$ પર સંપૂર્ણ તેજસ્વીતા સાથે પ્રકાશિત થાય છે,તેથી:
$10 = \frac{|0 - 0.2|}{\Delta t}$
$10 = \frac{0.2}{\Delta t}$
$\Delta t = \frac{0.2}{10} = 0.02 \, s.$
મિલીસેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા: $\Delta t = 0.02 \times 1000 \, ms = 20 \, ms.$

(A) લેન્ઝના નિયમ અનુસાર,કોઈલ (ગૂંચળા) માં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે હંમેશા તેને ઉત્પન્ન કરતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમતલની અંદરની તરફ છે અને તે ઘટી રહ્યું છે. તેથી,લૂપ્સ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટી રહ્યું છે.
આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા માટે,દરેક લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહે સમતલની અંદરની દિશામાં વધારાનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ (જેથી હાલના ક્ષેત્રને ટેકો મળે).
બાહ્ય લૂપ $abcd$ માટે,સમતલની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રવાહ ક્લોકવાઇઝ દિશામાં વહેવો જોઈએ.
આંતરિક લૂપ $efgh$ માટે પણ,સમતલની અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવા માટે પ્રવાહ ક્લોકવાઇઝ દિશામાં વહેવો જોઈએ.
આમ,બંને લૂપમાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા ક્લોકવાઇઝ છે.

(C) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,લૂપમાં પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = |\frac{d\phi}{dt}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi = B \cdot A$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $a$ ત્રિજ્યાના વિસ્તારમાં મર્યાદિત હોવાથી,$r \ge a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કોઈપણ લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot (\pi a^2)$ છે.
પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = \frac{d}{dt}(B \pi a^2) = \pi a^2 \frac{dB}{dt}$ છે.
નોંધો કે પ્રેરિત $emf$ માત્ર તે વિસ્તારના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે,વાયર લૂપની ત્રિજ્યા પર નહીં,જો લૂપ સમગ્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિસ્તારને આવરી લેતું હોય.
કારણ કે બંને લૂપ્સ ($b$ અને $2b$ ત્રિજ્યાના) $a$ ત્રિજ્યાના સમગ્ર વિસ્તારને આવરી લે છે,તેથી બંને લૂપ્સમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ સમાન છે.
તેથી,$2b$ ત્રિજ્યાના લૂપમાં પ્રેરિત $emf$ એ $b$ ત્રિજ્યાના લૂપમાં પ્રેરિત $emf$ જેટલું જ હશે,જે $\varepsilon$ છે.

(B) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ડાબી બાજુ) અને બહારની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર (જમણી બાજુ) ને કારણે થતા ફ્લક્સનો સરવાળો છે. ધારો કે ડાબા વિસ્તારમાં લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A_L$ છે અને જમણા વિસ્તારમાં $A_R$ છે. લૂપ સપ્રમાણ હોવાથી,$A_L = A_R = A/2$ થાય. કુલ ફ્લક્સ $\phi = B_L A_L - B_R A_R$ છે (અંદરની દિશાને ધન લેતા).
જો લૂપ જમણી તરફ ખસે છે,તો જમણા વિસ્તારમાં ક્ષેત્રફળ $(A_R)$ વધે છે અને ડાબા વિસ્તારમાં ક્ષેત્રફળ $(A_L)$ ઘટે છે. આમ,બહારની તરફનું ફ્લક્સ વધે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ ક્લોકવાઇઝ પ્રવાહ દર્શાવે છે.
જો લૂપ ડાબી તરફ ખસે છે,તો ડાબા વિસ્તારમાં ક્ષેત્રફળ $(A_L)$ વધે છે અને જમણા વિસ્તારમાં ક્ષેત્રફળ $(A_R)$ ઘટે છે. આમ,અંદરની તરફનું ફ્લક્સ વધે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જે એન્ટિક્લોકવાઇઝ પ્રવાહ દર્શાવે છે.

(A) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,કોઈલ $B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
આપેલ છે કે કોઈલ $B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ વિષમઘડી છે,જે અવલોકનકાર તરફ (સમતલની બહાર) નિર્દેશિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે.
આ પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્રે કોઈલ $A$ ના પરિભ્રમણને કારણે થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારાનો વિરોધ કરવો જોઈએ.
કોઈલ $B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ વિષમઘડી હોવા માટે,$B$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધતું હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $B$ ના સ્થાન પર કોઈલ $A$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વધતું હોવું જોઈએ.
ચુંબકીય ફ્લક્સ વધવા માટે,કોઈલ $A$ માં પ્રવાહ એવો હોવો જોઈએ કે તે $B$ માં પ્રેરિત ક્ષેત્રની દિશામાં જ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$B$ માં વિષમઘડી પ્રવાહ એ સમતલની બહાર નિર્દેશિત ચુંબકીય ક્ષેત્રને અનુરૂપ છે.
તેથી,કોઈલ $A$ માં પ્રવાહ સમઘડી હોવો જોઈએ જેથી તે એવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે જે શરૂઆતમાં તે દિશામાં વધતું હોય જે $B$ ના પરિભ્રમણ દરમિયાન તેમાં વિષમઘડી પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે ત્યારે તેમાં પ્રેરિત પ્રવાહ વહે છે.
આ કિસ્સામાં,લૂપ $B$ સ્થિર છે અને લૂપ $A$ તેની તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે.
$B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ વહેવા માટે,$A$ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોવું જોઈએ જે $A$ ની ગતિ સાથે બદલાય.
જો $A$ માં અચળ પ્રવાહ વહેતો હોય,તો તે $B$ ની નજીક આવતા તેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર બદલાશે,જેનાથી $B$ માંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાશે અને પ્રવાહ પ્રેરિત થશે.
જોકે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ જ્યારે $A$ ગતિ કરવાનું બંધ કરે છે ત્યારે $B$ માં પ્રવાહ બંધ થઈ જાય છે.
જો $A$ માં અચળ પ્રવાહ હોય,તો $A$ સ્થિર હોય ત્યારે પણ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અસ્તિત્વમાં રહેશે,પરંતુ ફ્લક્સ અચળ રહેશે,જેના પરિણામે પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય થશે. આ અવલોકન સાથે સુસંગત છે.
આકૃતિ જોતા,$B$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત પ્રવાહ ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે.
જો $A$ માં ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અચળ પ્રવાહ વહેતો હોય,તો તે પાનાની અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. જેમ $A$,$B$ તરફ ગતિ કરે છે,તેમ $B$ માં અંદરની તરફનું ફ્લક્સ વધે છે. આનો વિરોધ કરવા માટે,$B$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે.
તેથી,$A$ માં અચળ પ્રવાહ હોવો જોઈએ.

(D) લૂપની ત્રિજ્યા સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે,તેથી $r(t) = kt$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B(r) = \frac{C}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એક અચળાંક છે.
લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ ક્ષેત્રફળ પર સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે: $\phi = \int B(r) dA = \int_{0}^{r} \left(\frac{C}{r'}\right) (2\pi r' dr') = \int_{0}^{r} 2\pi C dr' = 2\pi C r$.
$r = kt$ મૂકતા,આપણને $\phi = 2\pi C (kt) = (2\pi C k) t$ મળે છે.
પ્રેરિત emf $E$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = -\frac{d\phi}{dt}$.
$E = -\frac{d}{dt} [(2\pi C k) t] = -2\pi C k$.
અહીં $C$ અને $k$ અચળાંક હોવાથી,emf $E$ અચળ રહે છે.

(B) બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
ત્રિકોણમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = (B_0 e^{-\lambda t}) \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right)$ છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt} = -\frac{d}{dt} \left( B_0 e^{-\lambda t} \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) = B_0 \lambda e^{-\lambda t} \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
ત્રણ અવરોધો $R$ લૂપમાં શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,તેથી કુલ અવરોધ $R_{eq} = 3R$ છે.
પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R_{eq}} = \frac{B_0 \lambda e^{-\lambda t} \frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{3R} = \frac{\sqrt{3} a^2 \lambda B_0 e^{-\lambda t}}{12R} = \frac{a^2 \lambda B_0 e^{-\lambda t}}{4\sqrt{3} R}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\left( \frac{a^2 \lambda}{4\sqrt{3} R} B_0 \right) e^{-\lambda t}$ છે.

(A) જ્યારે ચુંબક બંધ ગૂંચળામાંથી પડે છે,ત્યારે ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ ગૂંચળામાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થવાથી ગૂંચળામાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ અને પ્રવાહ પ્રેરિત થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,આ પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા એવી હોય છે કે તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે તેને ઉત્પન્ન કરનાર ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
જેમ ચુંબક નીચે પડે છે,તેમ પ્રેરિત પ્રવાહ એક ચુંબકીય બળ ઉત્પન્ન કરે છે જે ચુંબક પર ઉપરની તરફ લાગે છે અને તેની નીચેની ગતિનો વિરોધ કરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ ની વિરુદ્ધ ઉપરની તરફ બળ લાગતું હોવાથી,ચુંબક પર લાગતું ચોખ્ખું નીચેની તરફનું બળ $F_{net} = mg - F_{magnetic}$ થાય છે.
$F_{net} < mg$ હોવાથી,ચુંબકનો પ્રવેગ $a = F_{net}/m$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે લાગતા પ્રવેગ $(g)$ કરતા ઓછો હોય છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે અને વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ પૈડાની પરિઘ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉત્પન્ન કરે છે. પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = \left| -\frac{d\phi}{dt} \right| = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = E(2\pi a)$ છે.
$\phi = B(\pi b^2)$ હોવાથી,$\varepsilon = \pi b^2 \frac{dB}{dt}$ મળે.
બંનેને સરખાવતા,$E(2\pi a) = \pi b^2 \frac{dB}{dt}$,તેથી $E = \frac{b^2}{2a} \frac{dB}{dt}$.
વીજભાર $dq = \lambda(2\pi a)$ પર લાગતું બળ $dF = E dq$ છે. ટોર્ક $\tau = a F = a(E \cdot 2\pi a \lambda) = 2\pi a^2 \lambda E$ છે.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$\tau = 2\pi a^2 \lambda \left( \frac{b^2}{2a} \frac{dB}{dt} \right) = \pi a b^2 \lambda \frac{dB}{dt}$.
$\tau = I \frac{d\omega}{dt}$ નો ઉપયોગ કરતા,$I \frac{d\omega}{dt} = \pi a b^2 \lambda \frac{dB}{dt}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$I \omega = \pi a b^2 \lambda B$,તેથી $\omega = \frac{\pi a b^2 \lambda B}{I}$.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ ચુંબકીય ક્ષેત્રના ફેરફારનો વિરોધ કરે છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઘટતું હોવાથી,પૈડું એવી દિશામાં ફરશે જે ફ્લક્સમાં થતા ઘટાડાનો વિરોધ કરે,જે ઉપરથી જોતા ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં છે.

(A) લૂપની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
લૂપનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_i = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \ m^2$ છે.
લૂપનું અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_f = 0 \ m^2$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર $\Delta \phi = B \cdot \Delta A = B(A_f - A_i) = 1 \times (0 - 0.01 \pi) = -0.01 \pi \ Wb$ છે.
લાગતો સમય $\Delta t = 0.314 \ s$ છે.
ફેરાડેના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રેરિત સરેરાશ emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = \left| -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right| = \frac{0.01 \pi}{0.314}$ છે.
અહીં $\pi \approx 3.14$ હોવાથી,$|\varepsilon| = \frac{0.01 \times 3.14}{0.314} = \frac{0.0314}{0.314} = 0.1 \ V$ મળે છે.

(B) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = (5t^2 + 10t + 5) \times 10^{-3} \, Wb$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $e.m.f.$ નું મૂલ્ય $e = |\frac{d\phi}{dt}|$ દ્વારા મળે છે.
$e = \frac{d}{dt} [(5t^2 + 10t + 5) \times 10^{-3}] \, V$.
$e = (10t + 10) \times 10^{-3} \, V$.
$t = 5 \, s$ સમયે,પ્રેરિત $e.m.f.$:
$e = (10 \times 5 + 10) \times 10^{-3} \, V$.
$e = (50 + 10) \times 10^{-3} \, V = 60 \times 10^{-3} \, V = 0.06 \, V$.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ હંમેશા તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરે છે.
આકૃતિ-$I$ માં,જેમ ચુંબક સ્થિર ગૂંચળા તરફ પડે છે,તેમ ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. ગૂંચળું એક પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે જે તેની ઉપરની સપાટી પર ચુંબકીય ધ્રુવ (ઉત્તર ધ્રુવ) બનાવે છે જેથી પડતા ચુંબકને અપાકર્ષી શકાય. આ અપાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો વિરોધ કરે છે. આમ,ચુંબકનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_1 < g$ છે.
આકૃતિ-$II$ માં,જેમ ગૂંચળું સ્થિર ચુંબક તરફ પડે છે,તેમ ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાય છે. ગૂંચળું એક પ્રેરિત પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે જે તેની નીચેની સપાટી પર ચુંબકીય ધ્રુવ (ઉત્તર ધ્રુવ) બનાવે છે જેથી તેની નીચે રહેલા ચુંબકને અપાકર્ષી શકાય. આ અપાકર્ષણ બળ પડતા ગૂંચળા પર ઉપરની તરફ લાગે છે,જે તેના વજનનો વિરોધ કરે છે. આમ,ગૂંચળાનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_2 < g$ છે.
તેથી,બંને $a_1 < g$ અને $a_2 < g$ છે.

(A) પરિપથમાંથી વહેતો પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q$ એ $q = \frac{\Delta \phi}{R}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta \phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર છે અને $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર મળે છે: $\Delta \phi = q \times R$.
વિદ્યુતભાર $q$ એ પ્રવાહ-સમય $(I-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આપેલ આલેખ $b = 0.1 \, s$ પાયા અને $h = 4 \, A$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે,તેથી ક્ષેત્રફળ $q = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 0.1 \times 4 = 0.2 \, C$ થાય.
ફ્લક્સના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\Delta \phi = 0.2 \, C \times 10 \, \Omega = 2 \, Wb$.

(D) આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 0.05\,m^2$
આંટાની સંખ્યા $N = 800$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times 10^{-5}\,Wb/m^2$
સમયગાળો $\Delta t = 0.1\,s$
પ્રારંભિક ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_1 = N \cdot B \cdot A \cdot \cos(0^o) = N \cdot B \cdot A$
અંતિમ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_2 = N \cdot B \cdot A \cdot \cos(90^o) = 0$
ફેરાડેના નિયમ મુજબ સરેરાશ પ્રેરિત emf:
$e = -\frac{\Delta \phi}{\Delta t} = -\frac{\phi_2 - \phi_1}{\Delta t} = -\frac{0 - NAB}{\Delta t} = \frac{NAB}{\Delta t}$
$e = \frac{800 \times 4 \times 10^{-5} \times 0.05}{0.1}$
$e = \frac{1600 \times 10^{-5}}{0.1} = 16000 \times 10^{-5} = 0.016\,V$

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ચુંબક સ્થિર કોઈલ તરફ $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે. ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારનો દર સાપેક્ષ વેગના પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $e \propto v$.
બીજા કિસ્સામાં,ચુંબક અને કોઈલ બંને એકબીજાથી $v$ ઝડપથી દૂર જાય છે. તેમની વચ્ચેનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v - (-v) = 2v$ છે.
પ્રેરિત $emf$ એ ચુંબક અને કોઈલ વચ્ચેના સાપેક્ષ વેગના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,નવું પ્રેરિત $emf$ $e' \propto 2v$ થશે.
તેથી,$e' = 2e$.