Equivalent Capacitance of Capacitor connected in Series and Parallel Questions in Hindi

(A) सही विन्यास चित्र में दिखाया गया है,जहाँ दो संधारित्र ($C_2$ और $C_3$) समानांतर में जुड़े हैं,और यह संयोजन अन्य दो संधारित्रों ($C_1$ और $C_4$) के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
दिया गया है: $C_1 = C_2 = C_3 = C_4 = 4 \mu F$.
सबसे पहले,समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $(C_p)$ की गणना करें:
$C_p = C_2 + C_3 = 4 \mu F + 4 \mu F = 8 \mu F$.
अब,कुल तुल्य धारिता $(C_{eq})$ $C_1$,$C_p$ और $C_4$ का श्रेणी संयोजन है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{2 + 1 + 2}{8} = \frac{5}{8} \mu F^{-1}$.
$C_{eq} = \frac{8}{5} \mu F = 1.6 \mu F$.

(B) यह परिपथ श्रेणीक्रम में जुड़े दो भागों से बना है।
पहला भाग (बायां): ऊपरी शाखा में $C$ धारिता के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं और निचली शाखा में भी दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। बीच वाला संधारित्र इन शाखाओं के साथ समांतर क्रम में है।
ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता = $C/2$.
निचली शाखा की तुल्य धारिता = $C/2$.
ये दोनों शाखाएं बीच वाले संधारित्र $C$ के साथ समांतर क्रम में हैं।
अतः,$C_{eq1} = C/2 + C/2 + C = 2C$.
दूसरा भाग (दायां): ऊपरी शाखा में $C$ धारिता के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं और निचली शाखा में भी दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता = $C/2$.
निचली शाखा की तुल्य धारिता = $C/2$.
ये दोनों शाखाएं समांतर क्रम में हैं।
अतः,$C_{eq2} = C/2 + C/2 = C$.
अब,$C_{eq1}$ और $C_{eq2}$ श्रेणीक्रम में हैं।
$C_{eq} = \frac{C_{eq1} \times C_{eq2}}{C_{eq1} + C_{eq2}} = \frac{2C \times C}{2C + C} = \frac{2C^2}{3C} = \frac{2C}{3}$.
दिया गया है $C = 3 \mu F$,इसलिए:
$C_{eq} = \frac{2 \times 3 \mu F}{3} = 2 \mu F$.

(A) दी गई प्रणाली चार प्लेटों से बनी है। मान लीजिए कि प्लेटों को ऊपर से नीचे $1, 2, 3, 4$ क्रमांकित किया गया है।
चित्र से,प्लेट $1$ और $3$ बिंदु $A$ से जुड़ी हैं,और प्लेट $2$ और $4$ बिंदु $B$ से जुड़ी हैं।
यह तीन समानांतर प्लेट संधारित्र बनाती है जो समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं:
$1$. प्लेट $1$ और $2$ द्वारा निर्मित संधारित्र,जिसका पृथक्करण $2d$ है: $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{2d}$
$2$. प्लेट $2$ और $3$ द्वारा निर्मित संधारित्र,जिसका पृथक्करण $d$ है: $C_2 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$
$3$. प्लेट $3$ और $4$ द्वारा निर्मित संधारित्र,जिसका पृथक्करण $2d$ है: $C_3 = \frac{A \varepsilon_0}{2d}$
चूंकि ये संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए समतुल्य धारिता $C_{AB}$ होगी:
$C_{AB} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{AB} = \frac{A \varepsilon_0}{2d} + \frac{A \varepsilon_0}{d} + \frac{A \varepsilon_0}{2d}$
$C_{AB} = \frac{A \varepsilon_0 + 2A \varepsilon_0 + A \varepsilon_0}{2d} = \frac{4A \varepsilon_0}{2d} = \frac{2A \varepsilon_0}{d}$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) यह व्यवस्था तीन समांतर प्लेट संधारित्रों से बनी है जो समांतर क्रम में जुड़े हैं।
प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल $A = l^2$ मान लीजिए।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चित्र से,हम तीन संधारित्रों की पहचान करते हैं:
$C_1$ जो प्लेट $1$ और $2$ द्वारा $3d$ दूरी पर बनता है: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d}$।
$C_2$ जो प्लेट $3$ और $4$ द्वारा $d$ दूरी पर बनता है: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 l^2}{d}$।
$C_3$ जो प्लेट $5$ और $6$ द्वारा $3d$ दूरी पर बनता है: $C_3 = \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d}$।
चूंकि ये संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d} + \frac{\varepsilon_0 l^2}{d} + \frac{\varepsilon_0 l^2}{3d}$
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 l^2}{d} (\frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3}) = \frac{\varepsilon_0 l^2}{d} (\frac{1+3+1}{3}) = \frac{5 \varepsilon_0 l^2}{3d}$।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(A) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर संचित आवेश $Q$ समान होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
$C_1 = 2 \mu F$ और $C_2 = 4 \mu F$ धारिता वाले दो संधारित्रों के लिए,संचित ऊर्जा क्रमशः $U_1 = \frac{Q^2}{2C_1}$ और $U_2 = \frac{Q^2}{2C_2}$ है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{Q^2 / 2C_1}{Q^2 / 2C_2} = \frac{C_2}{C_1}$ है।
मान रखने पर,$\frac{U_1}{U_2} = \frac{4 \mu F}{2 \mu F} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,संचित ऊर्जा का अनुपात $2: 1$ है।

(D) दिए गए परिपथ को एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के रूप में फिर से बनाया जा सकता है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य संधारित्र के सिरों पर विभवांतर शून्य होता है,इसलिए इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
मध्य संधारित्र को हटाने के बाद,ऊपर के दो संधारित्र ($4 \mu F$ और $4 \mu F$) श्रेणीक्रम में हैं,और नीचे के दो संधारित्र ($4 \mu F$ और $4 \mu F$) श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता $C_1 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ है।
निचली शाखा की तुल्य धारिता $C_2 = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ है।
ये दोनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$ है।

(A) इस परिपथ में $C_1 = 2 \mu F$ संधारित्र,$C_2 = 6 \mu F$ और $C_3 = 3 \mu F$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
सबसे पहले,$C_2$ और $C_3$ के श्रेणी संयोजन की तुल्य धारिता $C'$ की गणना करें:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$
अतः,$C' = 2 \mu F$.
अब,$C_1$ और $C'$ के समानांतर संयोजन की कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना करें:
$C_{eq} = C_1 + C' = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$.
इस प्रकार,प्रभावी धारिता $4 \mu F$ है।

(A) प्रभावी धारिता तब न्यूनतम होती है जब सभी संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eff}$ का सूत्र है:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
यहाँ $C_1 = 1 \ pF$,$C_2 = 2 \ pF$,और $C_3 = 4 \ pF$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$
$\frac{1}{C_{eff}} = \frac{4 + 2 + 1}{4} = \frac{7}{4} \ pF^{-1}$
अतः,$C_{eff} = \frac{4}{7} \ pF$।

(B) सबसे पहले, $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता ज्ञात करने के लिए हम परिपथ को सरल बनाते हैं।
$1$. बीच में लगे दो $3 \, \mu F$ संधारित्र समांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 3 \, \mu F + 3 \, \mu F = 6 \, \mu F$ है।
$2$. अब, परिपथ में चार संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं: $6 \, \mu F$, $3 \, \mu F$, $6 \, \mu F$ (समांतर संयोजन का परिणाम) और $3 \, \mu F$।
$3$. तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2+1+2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \, \mu F^{-1}$। अतः, $C_{eq} = 1 \, \mu F$।
$4$. श्रेणी संयोजन से प्रवाहित कुल आवेश $q = C_{eq} \times V = 1 \, \mu F \times 60 \, V = 60 \, \mu C$ है।
$5$. चूंकि सभी संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं, इसलिए प्रत्येक संधारित्र से समान आवेश $q = 60 \, \mu C$ प्रवाहित होता है।
$6$. $6 \, \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = \frac{q}{C} = \frac{60 \, \mu C}{6 \, \mu F} = 10 \, V$ होगा।

(B) यह परिपथ $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर में जुड़ी दो शाखाओं से बना है।
प्रत्येक शाखा में $1 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
बीच वाला संधारित्र ऊपरी और निचले तारों के बीच जुड़ा है,लेकिन यह $A$ और $B$ के बीच विभवांतर को इस तरह प्रभावित नहीं करता है कि बाहरी शाखाओं का श्रेणी-समानांतर विन्यास बदल जाए।
बाईं शाखा के लिए,तुल्य धारिता $C_1$ का मान $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{1 \mu F} + \frac{1}{1 \mu F} = 2 \mu F^{-1}$ है,इसलिए $C_1 = 0.5 \mu F$।
इसी प्रकार,दाईं शाखा के लिए,तुल्य धारिता $C_2 = 0.5 \mu F$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{AB} = C_1 + C_2 = 0.5 \mu F + 0.5 \mu F = 1 \mu F$ होगी।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब उन्हें समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{p} = C + C = 2C$ होती है।
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$ होती है,जिसका अर्थ है $C_{s} = \frac{C}{2}$।
प्रश्न के अनुसार,इन तुल्य धारिताओं का अंतर $6 \mu F$ है:
$C_{p} - C_{s} = 6 \mu F$
$2C - \frac{C}{2} = 6 \mu F$
$\frac{3C}{2} = 6 \mu F$
$3C = 12 \mu F$
$C = 4 \mu F$.

(D) परिपथ आरेख से,हम संधारित्रों के संयोजन को इस प्रकार समझ सकते हैं:
$1$. दो $ 100 pF $ के संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी समतुल्य धारिता $ C_1 $ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{100} + \frac{1}{100} = \frac{2}{100} \implies C_1 = 50 pF$.
$2$. यह $ C_1 = 50 pF $ ऊपर वाले $ 50 pF $ संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। मान लीजिए यह समांतर संयोजन $ C_2 $ है। $ C_2 = 50 pF + 50 pF = 100 pF$.
$3$. अंत में,यह $ C_2 = 100 pF $ टर्मिनल $ B $ से जुड़े नीचे वाले $ 50 pF $ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल समतुल्य धारिता $ C_{AB} $ इस प्रकार होगी: $\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{50} = \frac{1+2}{100} = \frac{3}{100}$.
$4$. अतः,$ C_{AB} = \frac{100}{3} pF $.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 4 \mu F$ है।
परिपथ को देखने पर,हम बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर में जुड़ी दो शाखाओं की पहचान कर सकते हैं।
प्रत्येक शाखा में श्रेणीक्रम में दो संधारित्र हैं।
ऊपरी शाखा के लिए,$4 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$1/C_1 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_1 = 2 \mu F$।
इसी प्रकार,निचली शाखा के लिए,$4 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार है:
$1/C_2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2 \implies C_2 = 2 \mu F$।
अब,ये दोनों शाखाएं ($C_1$ और $C_2$) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
अतः,प्रभावी धारिता $C_{eq}$ होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$।

(C) मान लीजिए प्लेटों को ऊपर से नीचे $1, 2, 3, 4$ क्रमांकित किया गया है।
प्लेट $1$,$X$ से जुड़ी है।
प्लेट $2$ और $4$ एक साथ जुड़ी हुई हैं।
प्लेट $3$,$Y$ से जुड़ी है।
आसन्न प्लेटों के बीच तीन संधारित्र बनते हैं:
प्लेट $1$ और $2$ के बीच $C_1$,प्लेट $2$ और $3$ के बीच $C_2$,और प्लेट $3$ और $4$ के बीच $C_3$ है।
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्लेट $1$ विभव $V_X$ पर है। प्लेट $3$ विभव $V_Y$ पर है।
प्लेट $2$ और $4$ समान विभव $V_P$ पर हैं।
संधारित्र $C_1$,$X$ और $P$ के बीच है। संधारित्र $C_2$,$P$ और $Y$ के बीच है। संधारित्र $C_3$,$Y$ और $P$ के बीच है।
संधारित्र $C_2$ और $C_3$,$P$ और $Y$ के बीच समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनकी समतुल्य धारिता $C_2 + C_3 = 2C$ है।
यह संयोजन $C_1$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
समतुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{2C} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} = \frac{3}{2C}$ है।
अतः,$C_{eq} = \frac{2}{3} C = \frac{2}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$।

(C) सबसे पहले, संधारित्र $C$ के दाईं ओर के नेटवर्क को सरल बनाएं। $6 \mu F$ और $12 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं, जिससे $C_{6,12} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 \mu F$ प्राप्त होता है। यह $4 \mu F$, $2 \mu F$ संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है, जिससे $C_{p1} = 4 + 2 = 6 \mu F$ प्राप्त होता है। यह $6 \mu F$, $4 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है, जिससे $C_{s1} = \frac{6 \times 4}{6 + 4} = 2.4 \mu F$ प्राप्त होता है।
इसके बाद, $1 \mu F$ और $2 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं, जिससे $C_{1,2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \mu F$ प्राप्त होता है। यह $2 \mu F$ संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है, जिससे $C_{p2} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \mu F$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं समांतर क्रम में हैं, इसलिए $C_{eq_rest} = 2.4 + \frac{8}{3} = \frac{12}{5} + \frac{8}{3} = \frac{36 + 40}{15} = \frac{76}{15} \mu F$।
अंत में, यह $8 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है, जिससे $C_{total_rest} = \frac{(\frac{76}{15}) \times 8}{(\frac{76}{15}) + 8} = \frac{608}{76 + 120} = \frac{608}{196} = \frac{152}{49} \mu F$ प्राप्त होता है।
चूंकि कुल तुल्य धारिता $3 \mu F$ दी गई है, इसलिए $\frac{C \times (152/49)}{C + (152/49)} = 3$। $C$ के लिए हल करने पर $C = 48 \mu F$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि संधारित्र दो समूहों में व्यवस्थित हैं।
पहले समूह में,तीन संधारित्र इनपुट और मध्यवर्ती नोड के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,इस समूह की समतुल्य धारिता $C_{123} = C + C + C = 3 C$ है।
इसी प्रकार,दूसरे समूह में,तीन संधारित्र मध्यवर्ती नोड और बिंदु $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,इस समूह की समतुल्य धारिता $C_{456} = C + C + C = 3 C$ है।
ये दोनों समूह एक-दूसरे के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,बिंदु $A$ और $B$ के बीच कुल प्रभावी धारिता $C_{\text{eq}}$ इस प्रकार है:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_{123} \times C_{456}}{C_{123} + C_{456}} = \frac{(3 C)(3 C)}{3 C + 3 C} = \frac{9 C^2}{6 C} = 1.5 C$.

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों की प्रभावी धारिता $C$ का सूत्र है: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{C} = \frac{1}{2 \mu F} + \frac{1}{4 \mu F} = \frac{2+1}{4 \mu F} = \frac{3}{4 \mu F}$.
अतः,$C = \frac{4}{3} \mu F = \frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}$.
श्रेणी संयोजन में संचित विद्युत आवेश $Q = C V$ है।
$Q = (\frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}) \times 6 \text{ V} = 8 \times 10^{-6} \text{ C} = 8 \mu C$.
निकाय में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
$U = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{3} \times 10^{-6} \text{ F}) \times (6 \text{ V})^2 = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times 10^{-6} \times 36 = 24 \times 10^{-6} \text{ J} = 24 \mu J$.

(C) दिया गया है, $C_1 = C_2 = C_3 = C_4 = C_5 = 4 \mu F$।
सर्किट को देखने पर, हम पहचान सकते हैं कि संधारित्र $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5$ एक ब्रिज नेटवर्क बनाते हैं।
मान लें कि नोड्स $X$ (इनपुट), $Y$ (आउटपुट) और मध्यवर्ती नोड्स $A, B, C$ हैं।
विभव वितरण का विश्लेषण करके, हम देख सकते हैं कि सर्किट दो शाखाओं के समानांतर संयोजन के बराबर है।
विशेष रूप से, $C_1$ और $C_2$ श्रेणी में वाली शाखा, $C_4$ और $C_5$ श्रेणी में वाली शाखा के समानांतर है।
हालाँकि, इसे देखने का एक सरल तरीका यह है कि सर्किट दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है, जिसमें प्रत्येक शाखा में श्रेणी में दो संधारित्र होते हैं।
$C_{eq} = (C_1 \text{ श्रेणी में } C_2) + (C_4 \text{ श्रेणी में } C_5)$।
चूंकि सभी $C = 4 \mu F$ हैं, इसलिए दो $4 \mu F$ संधारित्रों का श्रेणी संयोजन $\frac{4 \times 4}{4 + 4} = 2 \mu F$ होता है।
अतः, $C_{eq} = 2 \mu F + 2 \mu F = 4 \mu F$।

(C) श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{15+10+6}{30} = \frac{31}{30} \mu F^{-1}$
अतः,$C = \frac{30}{31} \mu F$.
श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $q$ समान होता है:
$q = C \times V = \left(\frac{30}{31} \times 10^{-6} \ F\right) \times 155 \ V = 150 \times 10^{-6} \ C = 150 \mu C$.
प्रत्येक संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_i = \frac{q}{C_i}$ है:
$V_1 = \frac{150 \mu C}{2 \mu F} = 75 \ V$
$V_2 = \frac{150 \mu C}{3 \mu F} = 50 \ V$
$V_3 = \frac{150 \mu C}{5 \mu F} = 30 \ V$
वोल्टेज की तुलना करने पर,$V_3 = 30 \ V$ सबसे कम विभवांतर है। अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) परावैद्युतांक $K$ वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के लिए,$C_1 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ और $C_2 = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ है।
श्रेणीक्रम में तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A} + \frac{d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{4 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{4 \epsilon_0 A}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$ प्राप्त होता है।
$A$ क्षेत्रफल और $d'$ दूरी वाले तुल्य वायु संधारित्र $(K=1)$ के लिए,धारिता $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{d'}$ होती है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\epsilon_0 A}{d'} = \frac{4 \epsilon_0 A}{3d}$।
$d'$ के लिए हल करने पर,हमें $d' = \frac{3d}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) बैटरी का विभवांतर $V = 100 \, V$ है।
$C_1 = 4 \, \mu F$ और $C_2 = 8 \, \mu F$ के श्रेणी संयोजन के लिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1}{8} = \frac{3}{8} \, \mu F^{-1}$
अतः,$C = \frac{8}{3} \, \mu F = \frac{8}{3} \times 10^{-6} \, F$.
श्रेणी संयोजन में संचित ऊर्जा $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{2} C V^2$
मान रखने पर:
$E = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8}{3} \times 10^{-6} \right) \times (100)^2$
$E = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times 10^{-6} \times 10^4$
$E = \frac{4}{3} \times 10^{-2} \, J$
$E \approx 1.33 \times 10^{-2} \, J$

(D) माना धारिताएँ $C_1 = x, C_2 = 2x, C_3 = 3x, C_4 = 4x$ हैं।
परिपथ से,$C_3$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और यह संयोजन $C_1$ के साथ श्रेणीक्रम में है। माना ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता $C_{up}$ है।
$\frac{1}{C_{up}} = \frac{1}{C_3} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_1} = \frac{1}{3x} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{x} = \frac{2+3+6}{6x} = \frac{11}{6x}$।
अतः,$C_{up} = \frac{6x}{11}$।
ऊपरी शाखा पर आवेश $Q_{up} = C_{up} V = \frac{6xV}{11}$ है।
चूंकि $C_2$ ऊपरी शाखा में है,इसलिए $C_2$ पर आवेश $Q_2 = Q_{up} = \frac{6xV}{11}$ है।
संधारित्र $C_4$ सीधे वोल्टेज स्रोत $V$ के समानांतर जुड़ा है,इसलिए $C_4$ पर आवेश $Q_4 = C_4 V = 4xV$ है।
आवेशों का अनुपात $\frac{Q_2}{Q_4} = \frac{6xV/11}{4xV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$ है।

(A) यह परिपथ $5 \mu F$ के एक संधारित्र और तीन संधारित्रों $(4 \mu F, 8 \mu F, 4 \mu F)$ के समानांतर संयोजन के श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले,समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $(C_p)$ की गणना करें:
$C_p = 4 \mu F + 8 \mu F + 4 \mu F = 16 \mu F$.
अब,परिपथ $C_1 = 5 \mu F$ और $C_p = 16 \mu F$ का एक श्रेणी संयोजन है जो $63 V$ के स्रोत से जुड़ा है।
$5 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_1)$ संधारित्रों के लिए वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है:
$V_1 = \left( \frac{C_p}{C_1 + C_p} \right) V_{total}$
$V_1 = \left( \frac{16}{5 + 16} \right) \times 63 V$
$V_1 = \left( \frac{16}{21} \right) \times 63 V = 16 \times 3 V = 48 V$.

(A) परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि चारों संधारित्र बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
चूंकि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 8 \mu F$ है,इसलिए समांतर संयोजन के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + C_4$
$C_{eq} = 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F + 8 \mu F = 32 \mu F$
अतः,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $32 \mu F$ है।

(C) श्रेणी संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_1 = Q_2$ है।
माना बिंदु $D$ पर विभव $V$ है।
संधारित्र $C_1$ पर आवेश $Q_1 = C_1(V_1 - V)$ है।
संधारित्र $C_2$ पर आवेश $Q_2 = C_2(V - V_2)$ है।
आवेशों को बराबर करने पर: $C_1(V_1 - V) = C_2(V - V_2)$।
पदों का विस्तार करने पर: $C_1 V_1 - C_1 V = C_2 V - C_2 V_2$।
$V$ के लिए हल करने पर: $C_1 V_1 + C_2 V_2 = V(C_1 + C_2)$।
अतः,बिंदु $D$ पर विभव $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ होगा।

(A) संधारित्रों के समानांतर संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = 4 + 6 + 12 = 22 \mu F$ है।
संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन के लिए,तुल्य धारिता $C_s$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3+2+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \mu F^{-1}$.
अतः,$C_s = 2 \mu F$.
श्रेणीक्रम और समानांतर क्रम में प्रभावी धारिता का अनुपात $\frac{C_s}{C_p} = \frac{2}{22} = 1: 11$ है।

(A) इस परिपथ में आठ संधारित्र हैं,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C = 2 \mu F$ है।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच परिपथ की समरूपता का विश्लेषण करने पर,हम व्यवस्था को इस प्रकार पहचान सकते हैं:
$1$. ऊपरी शाखा में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं: $C_{top} = C/2$।
$2$. निचली शाखा में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं: $C_{bottom} = C/2$।
$3$. दो मध्य शाखाओं में प्रत्येक में दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं: $C_{mid1} = 2C$ और $C_{mid2} = 2C$।
ये चारों शाखाएँ बिंदु $A$ और $B$ के बीच समानांतर क्रम में जुड़ी हुई हैं।
अतः,तुल्य धारिता $C_{AB}$ होगी:
$C_{AB} = C_{top} + C_{bottom} + C_{mid1} + C_{mid2}$
$C_{AB} = \frac{C}{2} + \frac{C}{2} + 2C + 2C = C + 4C = 5C$
चूंकि $C = 2 \mu F$ दिया गया है,इसलिए:
$C_{AB} = 5 \times 2 \mu F = 10 \mu F$।

(B) दिया गया है: $C_1 = 4 \mu F$,$C_2 = 6 \mu F$,और $V = 500 \ V$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ इस प्रकार है:
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 6}{4 + 6} = \frac{24}{10} = 2.4 \mu F$.
श्रेणीक्रम संयोजन में संचित कुल आवेश $Q$ है:
$Q = C_{\text{eq}} V = 2.4 \mu F \times 500 \ V = 1200 \mu C$.
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_1 = Q = 1200 \mu C$.
$4 \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_1)$:
$V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{1200 \mu C}{4 \mu F} = 300 \ V$.

(D) दिया गया परिपथ एक अनंत लैडर नेटवर्क है। परिपथ की समरूपता के कारण,ऊर्ध्वाधर $1 \mu F$ संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर शून्य है। अतः,इन संधारित्रों को परिपथ से हटाया जा सकता है।
ऊर्ध्वाधर संधारित्रों को हटाने के बाद,परिपथ दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है,जिनमें से प्रत्येक में $1 \mu F, 3 \mu F, 9 \mu F, 27 \mu F, \dots$ मान वाले संधारित्रों की एक अनंत श्रृंखला है जो एक गुणोत्तर श्रेणी में है।
मान लीजिए कि एक शाखा की तुल्य धारिता $C'$ है। एक शाखा के लिए तुल्य धारिता का व्युत्क्रम व्यक्तिगत संधारित्रों के व्युत्क्रमों के योग द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \dots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = \frac{1}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \mu F^{-1}$.
इसलिए,$C' = \frac{2}{3} \mu F$.
चूंकि $A$ और $B$ के बीच समानांतर में ऐसी दो शाखाएं जुड़ी हुई हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{AB}$ है:
$C_{AB} = C' + C' = 2 \times \frac{2}{3} \mu F = \frac{4}{3} \mu F$.

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज विन्यास है। मान लीजिए संधारित्र $C_1 = 1 \mu F$,$C_2 = 3 \mu F$,$C_3 = 2 \mu F$,$C_4 = 6 \mu F$ हैं,और मध्य संधारित्र $C_5 = 5 \mu F$ है।
भुजाओं में संधारित्रों के अनुपात की जाँच करें: $\frac{C_1}{C_3} = \frac{1}{2}$ और $\frac{C_2}{C_4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\frac{C_1}{C_3} = \frac{C_2}{C_4}$,इसलिए व्हीटस्टोन ब्रिज संतुलित है।
एक संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज में,मध्य संधारित्र $C_5$ से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है,इसलिए इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: एक में $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,और दूसरी में $C_3$ और $C_4$ श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता: $C_{up} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 3}{1 + 3} = \frac{3}{4} \mu F$।
निचली शाखा की तुल्य धारिता: $C_{low} = \frac{C_3 C_4}{C_3 + C_4} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \mu F$।
चूँकि ये दोनों शाखाएँ समानांतर में हैं,कुल तुल्य धारिता $C_{AB} = C_{up} + C_{low} = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 6}{4} = \frac{9}{4} \mu F$।

(D) धारिता वाले $n$ समान संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$C_{eq} = \frac{C}{n}$
यहाँ $n = 25$ और $C = 2 \mu F = 2 \times 10^{-6} F$ दिया गया है।
$C_{eq} = \frac{2 \times 10^{-6}}{25} F = 0.08 \times 10^{-6} F = 8 \times 10^{-8} F$.
आरोपित विभवांतर $V = 100 \ V$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन में संचित कुल आवेश $Q$ प्रत्येक संधारित्र पर आवेश के समान होता है,जो इस प्रकार है:
$Q = C_{eq} \times V$
$Q = (8 \times 10^{-8} F) \times (100 \ V)$
$Q = 8 \times 10^{-6} C$.

(B) और $B$ के बीच तुल्य धारिता ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को दाईं ओर से बाईं ओर सरल करते हैं।
$1$. सबसे दाईं शाखा में $1 \mu F$ और $2 \mu F$ के दो संधारित्र समानांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1 = 1 + 2 = 3 \mu F$ है।
$2$. अब,यह $3 \mu F$ ऊपर वाले $3 \mu F$ संधारित्र और नीचे वाले $3 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। इन तीनों की श्रेणी क्रम में तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq1} = 1 \mu F$ है।
$3$. यह $1 \mu F$,$2 \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_2 = 1 + 2 = 3 \mu F$ है।
$4$. अब,यह $3 \mu F$ ऊपर वाले अगले $3 \mu F$ संधारित्र और नीचे वाले $3 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq2}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq2} = 1 \mu F$ है।
$5$. यह $1 \mu F$,$2 \mu F$ संधारित्र के साथ समानांतर क्रम में है। उनकी तुल्य धारिता $C_3 = 1 + 2 = 3 \mu F$ है।
$6$. अंत में,यह $3 \mu F$ ऊपर वाले पहले $3 \mu F$ संधारित्र और नीचे वाले $3 \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। कुल तुल्य धारिता $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow C_{eq} = 1 \mu F$ है।

(B) दिया गया है,समान धारिता $C$ वाले दो संधारित्र।
श्रेणी क्रम में,तुल्य धारिता $C_S$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_S = \frac{C}{2}$
समांतर क्रम में,तुल्य धारिता $C_P$ इस प्रकार है:
$C_P = C + C = 2C$
परिणामी धारिता का अनुपात:
$\frac{C_P}{C_S} = \frac{2C}{C/2} = \frac{4}{1} = 4:1$
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
समांतर क्रम में,$C_P = 2C > C$,इसलिए धारिता बढ़ती है।
श्रेणी क्रम में,$C_S = C/2 < C$,इसलिए धारिता घटती है।
अतः,कारण $(R)$ भी सत्य है,लेकिन यह $4:1$ के अनुपात के लिए गणितीय व्युत्पत्ति प्रदान करने के बजाय संधारित्रों के संयोजन के सामान्य व्यवहार का वर्णन करता है। इसलिए,$R$,$A$ की सही व्याख्या नहीं है।

(B) दिया है: प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 2 \times 10^{-6} \ F$ है।
प्रत्येक संधारित्र की भंजन वोल्टता $V = 5000 \ V$ है।
जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_S$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_S} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$
$C_S = \frac{C}{2} = \frac{2 \times 10^{-6}}{2} = 10^{-6} \ F$।
जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो संयोजन की कुल भंजन वोल्टता व्यक्तिगत भंजन वोल्टताओं का योग होती है:
$V_S = V + V = 5000 \ V + 5000 \ V = 10000 \ V$।

(D) दिए गए परिपथ आरेख से, हम संधारित्रों के संयोजन को पहचान सकते हैं:
$1$. संधारित्र $C_2$ $(150 \text{ F})$ और $C_3$ $(150 \text{ F})$ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी समतुल्य धारिता $C_{23}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{150} + \frac{1}{150} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75} \implies C_{23} = 75 \text{ F}$.
$2$. यह संयोजन $C_{23}$ संधारित्र $C_1$ $(75 \text{ F})$ के साथ समांतर क्रम में है। उनकी समतुल्य धारिता $C_{123}$ है:
$C_{123} = C_1 + C_{23} = 75 + 75 = 150 \text{ F}$.
$3$. अंत में, यह संयोजन $C_{123}$ बिंदुओं $A$ और $B$ से जुड़े संधारित्र $C_4$ $(100 \text{ F})$ के साथ श्रेणीक्रम में है। कुल समतुल्य धारिता $C_{AB}$ है:
$\frac{1}{C_{AB}} = \frac{1}{C_{123}} + \frac{1}{C_4} = \frac{1}{150} + \frac{1}{100} = \frac{2 + 3}{300} = \frac{5}{300} = \frac{1}{60}$.
अतः, $C_{AB} = 60 \text{ F}$.

(A) दिया गया है: $C_1 = 1 \ \mu F, C_2 = 2 \ \mu F, V_1 = 6 \ kV, V_2 = 4 \ kV$.
प्रत्येक संधारित्र द्वारा धारण किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश है:
$Q_1 = C_1 V_1 = 1 \ \mu F \times 6 \ kV = 6 \ \mu C$.
$Q_2 = C_2 V_2 = 2 \ \mu F \times 4 \ kV = 8 \ \mu C$.
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होना चाहिए। इसलिए,संयोजन द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश उस संधारित्र द्वारा सीमित होता है जिसकी आवेश क्षमता कम है,जो कि $Q_{max} = 6 \ \mu C$ है।
श्रेणीक्रम संयोजन की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \ \mu F$ है।
संयोजन द्वारा सहन किया जा सकने वाला कुल विभव $V_{max} = \frac{Q_{max}}{C_{eq}} = \frac{6 \ \mu C}{\frac{2}{3} \ \mu F} = 6 \times \frac{3}{2} \ kV = 9 \ kV$ है।

(B) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ का सूत्र: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 4 + 1}{20} = \frac{7}{20} \mu F^{-1}$।
अतः,$C_{\text{eq}} = \frac{20}{7} \mu F$।
$14 \text{ V}$ के $DC$ स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{\text{eq}} \times V = \frac{20}{7} \mu F \times 14 \text{ V} = 40 \mu C$ है।
श्रेणीक्रम परिपथ में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है और यह स्रोत द्वारा प्रदान किए गए कुल आवेश के बराबर होता है।
अतः,$5 \mu F$ के संधारित्र पर आवेश $40 \mu C$ है।

(B) यह परिपथ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
ऊपरी शाखा में,$20 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{20} + \frac{1}{20} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \implies C_1 = 10 \mu F$.
निचली शाखा में,$10 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \implies C_2 = 5 \mu F$.
चूंकि दोनों शाखाएं समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल प्रभावी धारिता $C_{\text{eq}}$ होगी:
$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = 10 \mu F + 5 \mu F = 15 \mu F$.

(A) बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच प्रभावी धारिता ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ का चरण-दर-चरण विश्लेषण करते हैं।
$1$. परिपथ में पाँच संधारित्र (capacitors) हैं,जिनमें से प्रत्येक की धारिता $C$ है।
$2$. नोडल विश्लेषण या समरूपता का उपयोग करके परिपथ को सरल बनाने पर,हम देखते हैं कि परिपथ को एक सरल समतुल्य परिपथ में बदला जा सकता है।
$3$. समतुल्य परिपथ आरेख में दिखाए अनुसार,यह संयोजन $2C$ के दो संधारित्रों के श्रेणीक्रम और उनके साथ समांतर क्रम में $C$ धारिता वाले संधारित्र में सरल हो जाता है।
$4$. $2C$ के दो संधारित्रों का श्रेणी संयोजन $C_{s} = \frac{2C \times 2C}{2C + 2C} = \frac{4C^2}{4C} = C$ देता है।
$5$. यह $C$ शेष संधारित्र $C$ के साथ समांतर क्रम में है,इसलिए कुल प्रभावी धारिता $C_{eq} = C + C = 2C$ है।

(A) दिए गए परिपथ आरेख से,संधारित्र $3 C$ और $2 C$ समान दो नोड्स के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
इसलिए,उनकी तुल्य धारिता $C_p$ इस प्रकार है:
$C_p = 3 C + 2 C = 5 C$
अब,यह तुल्य संधारित्र $C_p = 5 C$,संधारित्र $C$ के साथ श्रेणी क्रम में है।
बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{AB}$ श्रेणी क्रम के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$C_{AB} = \frac{C \times C_p}{C + C_p} = \frac{C \times 5 C}{C + 5 C} = \frac{5 C^2}{6 C} = \frac{5}{6} C$

(B) $4 \mu F$ संधारित्र,$2 \mu F$ और $3 \mu F$ संधारित्रों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
जब $4 \mu F$ संधारित्र की ऊपरी प्लेट पर $+80 \mu C$ का आवेश रखा जाता है,तो उसकी निचली प्लेट पर समान और विपरीत $-80 \mu C$ का आवेश प्रेरित होता है।
यह $+80 \mu C$ आवेश तब $2 \mu F$ और $3 \mu F$ संधारित्रों की ऊपरी प्लेटों के बीच वितरित हो जाता है,जो समानांतर में जुड़े हुए हैं।
चूंकि संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए आवेश $q$ उनकी धारिता के अनुपात में वितरित होता है:
$q_1 = \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) Q_{total}$
$3 \mu F$ संधारित्र के लिए:
$q = \left( \frac{3 \mu F}{3 \mu F + 2 \mu F} \right) \times 80 \mu C$
$q = \left( \frac{3}{5} \right) \times 80 \mu C = 3 \times 16 \mu C = 48 \mu C$.

(D) परिपथ आरेख से,हम कनेक्शन की पहचान कर सकते हैं:
$1$. संधारित्र $C_1$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं।
$2$. यह संयोजन $C_2$ के साथ समानांतर क्रम में है।
$3$. अंत में,यह पूरा ब्लॉक $C_4$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
प्रत्येक संधारित्र $C = 9 pF$ दिया गया है:
चरण $1$: $C_1$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं।
$C_{13} = \frac{C_1 \times C_3}{C_1 + C_3} = \frac{9 \times 9}{9 + 9} = \frac{81}{18} = 4.5 pF$.
चरण $2$: $C_{13}$,$C_2$ के साथ समानांतर क्रम में है।
$C_{123} = C_{13} + C_2 = 4.5 + 9 = 13.5 pF$.
चरण $3$: $C_{123}$,$C_4$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
$C_{AB} = \frac{C_{123} \times C_4}{C_{123} + C_4} = \frac{13.5 \times 9}{13.5 + 9} = \frac{121.5}{22.5} = 5.4 pF$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$5.4 pF$,$5 pF$ के सबसे निकट है।

(B) परिपथ को देखने पर, हम बिंदु $A$ और $B$ के बीच जुड़ी तीन समानांतर शाखाओं की पहचान कर सकते हैं।
$1$. बाईं शाखा में श्रेणीक्रम में $2 C$ के दो संधारित्र हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{left} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = C$ है।
$2$. मध्य शाखा में $C$ धारिता का एक संधारित्र है। अतः, $C_{middle} = C$ है।
$3$. दाईं शाखा में $2 C$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में $C$ के दो संधारित्रों का समानांतर संयोजन है। समानांतर संयोजन $C_{parallel} = C + C = 2 C$ देता है। यह $2 C$, $2 C$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है, इसलिए $C_{right} = \frac{2 C \times 2 C}{2 C + 2 C} = C$ है।
चूंकि तीनों शाखाएं समानांतर में हैं, इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_{left} + C_{middle} + C_{right} = C + C + C = 3 C$ है।

(A) जब संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो तुल्य धारिता $C_{net}$ इस प्रकार होती है:
$C_{net} = \frac{C_1 \times C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 8}{2 + 8} = 1.6 \text{ mF} = 1.6 \times 10^{-3} \text{ F}$.
स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q$ है:
$Q = C_{net} \times V = 1.6 \times 10^{-3} \times 300 = 0.48 \text{ C} = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
श्रेणीक्रम परिपथ में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश समान होता है,इसलिए $Q_1 = Q_2 = 480 \times 10^{-3} \text{ C}$.
$C_1$ के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{480 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = 240 \text{ V}$ है।
$C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{480 \times 10^{-3}}{8 \times 10^{-3}} = 60 \text{ V}$ है।
कुल संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{net} V^2 = \frac{1}{2} \times 1.6 \times 10^{-3} \times (300)^2 = 0.8 \times 10^{-3} \times 90000 = 72 \text{ J}$ है।

(D) दिए गए परिपथ में,बाईं ओर के दो संधारित्र श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए उनकी तुल्य धारिता $C_s$ है।
$C_s = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C^2}{2C} = \frac{C}{2}$.
अब,यह तुल्य संधारित्र $C_s$,मध्य जंक्शन और बिंदु $N$ के बीच जुड़े तीसरे संधारित्र $C$ के साथ समांतर क्रम (parallel) में है।
इसलिए,बिंदुओं $P$ और $N$ के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = C_s + C = \frac{C}{2} + C = \frac{3C}{2}$.

(B) परिपथ आरेख का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि तीनों संधारित्र $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं।
समानांतर संयोजन में,तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं के योग द्वारा दी जाती है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3$
चूंकि सभी संधारित्रों की धारिता $C$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$C_{eq} = C + C + C = 3C$
अतः,$A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $3C$ है।

(C) जब संधारित्रों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{10 + 5 + 2}{10} = \frac{17}{10} \ \mu F^{-1}$
$C_{eq} = \frac{10}{17} \ \mu F$
श्रेणीक्रम संयोजन में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है:
$Q = C_{eq} \times V = \left( \frac{10}{17} \ \mu F \right) \times 10 \ V = \frac{100}{17} \ \mu C$
$2.0 \ \mu F$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_2$ है:
$V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{100/17 \ \mu C}{2 \ \mu F} = \frac{50}{17} \ V$

(B) यह परिपथ एक ब्रिज जैसी संरचना है। आइए इसे सरल करें।
$1$. ऊपरी शाखा में (बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच) स्थित दो $4 \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,अतः $C_1 = 2 \mu F$।
$2$. निचली शाखाओं में (बिंदु $C$ से जुड़े) स्थित दो $4 \mu F$ के संधारित्र भी एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_2$ है: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$,अतः $C_2 = 2 \mu F$।
$3$. यह $C_2$ बीच वाले $4 \mu F$ के संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है। अतः,इस मध्य भाग की तुल्य धारिता $C_3 = C_2 + 4 \mu F = 2 \mu F + 4 \mu F = 6 \mu F$ है।
$4$. अंत में,$C_1$ और $C_3$ बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच समांतर क्रम में हैं। इसलिए,कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_3 = 2 \mu F + 6 \mu F = 8 \mu F$ है।

(C) संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं। तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{5 \mu F} + \frac{1}{10 \mu F} = \frac{2+1}{10 \mu F} = \frac{3}{10 \mu F}$
$C_{eq} = \frac{10}{3} \mu F = \frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F$
श्रेणी संयोजन में संचित कुल ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$
$U = \frac{1}{2} \times (\frac{10}{3} \times 10^{-6} \ F) \times (300 \ V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10^{-6} \times 90000$
$U = \frac{1}{2} \times \frac{10}{3} \times 10^{-6} \times 9 \times 10^4$
$U = \frac{1}{2} \times 30 \times 10^{-2} = 15 \times 10^{-2} \ J = 0.15 \ J$